Exercícios - Integrais Duplas

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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba 
 
 Disciplina: Calculo III 
 
 Professores: Onildo Freire 
 
1ª Lista de Exercícios – Unidade I – Integrais Duplas 
 
1. Calcule as integrais abaixo: 
 
a) 
  
2
1
2
1
32 )812( dxdyxyx
 
36: R
 
 
b) 
  
2
1 1
2
x
x
dxdyyx
 
120
163
:R
 
 
c) 
  
2
0
2
2
)4(
y
y
dydxyx
 
5
36
:R
 
 
d) 
  60
2
0
)coscos(
 
dxdyxyyx
 
144
7
:
2
R
 
 
e) 
 



1
0
1
1
22 )(
y
y
dydxyx
 
3
5
:R
 
 
2. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações abaixo e ache sua área utilizando 
uma ou mais integrais duplas. 
 
a) 
24 xxy 
 e 
yx 
 . 
..
6
125
auA R 
 
 
 
b) 
23 xy 
 e 
24 xy 
 . 
..
3
16
auA R 
 
 
 
c) 
62  xy
 e 
032  xy
 . 
..
3
32
auA R 
 
 
 
d) 
1 yx
 , 
177  yx
 e 
32  yx
 . 
..15 auA R 
 
 
e) 
2
2x
y 
 e 
4 xy
 . 
..18 auA R 
 
 
f) 
6 xy
 , 
03  xy
 e 
02  xy
 . 
..22 auA R 
 
 
g) 
xy 
 , 
4 yx
 e 
3
y
x 
 . 
..2 auA R 
 
h) 
3xy 
 e 
xy 
 . 
..
2
1
auA R 
 
 
i) 
2yx 
 , 
2 xy
 , 
2y
 e 
3y
 . 
..
6
115
auA R 
 
 
j) 
xy  2
 , 
2xy 
 e acima de 
3 xy 
 . 
..
12
49
auA R 
 
 
l) 
3yx 
 , 
2 yx
 e 
0y
 . 
..
4
5
auA R 
 
 
m) 
xseny 
 e o eixo 
x
 com 
0x
 até 
2x
 . 
..4 auA R 
 
 
3. Reverta a ordem de integração das integrais abaixo e, em seguida, calcule o valor da 
integral resultante. 
 
a) 
 
2
0
1
2
2
y
x dydxe
 
1: eR
 
 
b) 
 

1
0
1
2
2
x
y dxdyex
 
)1(
4
1
: 1  eR
 
 
c) 
 
1
0
1
3 )(
y
dydxxsen
 
)1cos1(
3
1
: R
 
 
d) 
  
2
0
2
24 )(cos
x
dxdyyxy
 
)8cos1(
3
1
: R
 
 
e) 
 
1
0
x
x
y
x
dxdye
 
1
2
: 
e
R
 
 
4. Encontre o volume da superfície cuja base é o triângulo contido no plano 
xy
, limitado pelo 
eixo 
x
 e pelas retas 
xy 2
 e 
3x
 cujo topo está no plano 
29),( xyxfz 
. 
 
Resposta: 
..18 vu
 
 
5. Encontre o volume da superfície cuja base é o triângulo contido no plano 
xy
, limitado pelo 
eixo 
x
 e pelas retas 
xy 
 e 
x
 cujo topo está no plano 
x
xsen
yxf ),(
 . 
Resposta: 
..2 vu
 
 
6. Reverta a ordem de integração das integrais resultantes abaixo: 
 
a) 
 
1
0
1
2
x
x
dxdy
 
   
2
1
2
1
1
0
2
0
:
y
y
y
dydxdydxR
 
 
b) 
 
3
0
9
2x
dxdy
 
 
9
0 0
:
y
dydxR
 
 
c) 
 
2
0
4
0
2x
dxdy
 
 
4
0
4
0
:
y
dydxR
 
 
d) 
 
1
0
2 2x
x
dxdy
 
  


2
1
2
0
1
0 0
2
:
yy
dydxdydxR
 
 
e) 
  
9
0
y
y
dydx
 
 
3
3
9
2
:
x
dxdyR
 
 
f) 
 
1
1
2 2
2
x
x
dxdy
 
  



2
1
2
2
1
0
2
2
:
y
y
y
y
dydxdydxR
 
 
g) 
 
1
1
2
3
x
x
dxdy
 
     
3
1
3
2
1
3
3
1
:
y
y
y
dydxdydxR
 
 
7. Seja 
R
 a região delimitada pelos gráficos das curvas 
2xy 
 e 
xy 2
. Calcule 
 R dAyx )4(
3
 de duas maneiras diferentes. Resposta: 
..
3
32
vu
 
 
8. Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações 
42  yz
 , 
zx  4
 
0x
 e 
63  zy
, e expresse seu volume através de uma ou mais integrais múltiplas. 
 
  


2
5
4
63
4
0
2
:
y
y
z
dydzdxR