GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES (Parte 1)

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Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – URI 
Campus de Santo Ângelo 
Departamento de Ciências Exatas e da Terra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
Curso: Engenharia Elétrica 
Disciplina: Geometria Analítica e Vetores 
Semestre: 
Acadêmico(a): 
Professora: Rubia Diana Mantai 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santo Ângelo, Fevereiro de 2016 
 
2 
 
1.1 Conceitos fundamentais: 
 
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de geometria 
cartesiana, é o estudo da geometria por meio de um sistema de coordenadas e dos princípios 
da álgebra e da análise. A geometria analítica é muito utilizada na física e na engenharia. Em 
geral, o sistema de coordenadas cartesianas é usado para 
manipular equações para planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas 
por vezes também em três ou mais dimensões. 
 
1.2 VETORES 
 
 Grandezas Escalares: são aquelas que ficam completamente definidas por apenas um 
número real (acompanhado de uma unidade adequada), ex: comprimento, área, volume, 
temperatura, etc 
 Grandezas Vetoriais: são aquelas que necessitamos conhecer seu módulo (comprimento), 
sua direção e seu sentido. Ex: velocidade, aceleração, força, etc. 
 
 Tanto no plano como no espaço, vetores são segmentos orientados, determinados por um 
par ordenado de pontos, o primeiro denominado origem do segmento e o segundo, chamado 
extremidade do segmento. Na figura abaixo todos os segmentos orientados, de mesmo 
sentido, direção e comprimento, representam o mesmo vetor, que será indicado por, 
 AB ou A-B 
Onde A é a origem e B a extremidade do segmento. 
 
 
 
 
 
 
 
Indica-se o módulo de v por v ou v . 
 Com origem em cada ponto do espaço, podemos visualizar um representante de um vetor. 
 
Casos de Vetores: 
Vetores paralelos: 
Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se por v//u , se os seus representantes tiverem a 
mesma direção. Na figura, tem-se wv ////u , onde u e v tem o mesmo sentido, porém 
sentido contrário de w. 
 
Vetor Nulo 
O vetor nulo é indicado por 0 ou AA (a origem coincide com a extremidade). 
3 
 
Vetores Opostos 
Cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto - v , de mesmo módulo e mesma 
direção, porém com sentido contrário. Se ABv , o vetor BA é o oposto de AB , isto é, 
ABBA  . 
 
Vetor unitário 
Um vetor u é unitário se 1u . 
 
Versor 
Versor de um vetor não nulo u é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de v . 
 
Vetores ortogonais 
Dois vetores u e v são ortogonais, e indica-se por vu , se algum representante de u 
formar ângulo reto com algum representante de v . 
 
Vetores colineares 
Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, u e v são colineares 
se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou retas paralelas. 
 
 
 
Vetores coplanares 
Os vetores u , v , t , não nulos, são coplanares, se possuem representantes AB, CD e EF 
pertencentes a um mesmo plano. 
 
 
 
Equipolência e suas propriedades 
 Dois vetores u e v são iguais ou equipolentes, e indica-se por AB ~ CD ou u = v , se 
tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. 
Obs: Dois segmentos nulos são sempre equipolentes. 
 
Propriedades da equipolência: 
I) AB ~ AB (reflexiva) 
II) Se AB ~ CD, CD ~ AB (simétrica) 
III) Se AB ~ CD e CD ~ EF, então AB ~ EF (transitiva) 
IV) Dado um segmento AB e um ponto C, existe um único ponto D tal que AB ~ CD. 
 
 
4 
 
1.3 Igualdade de Vetores 
 Dois vetores ),( 11 yxu  e ),( 22 yxv  ao iguais se, e somente se, 21 xx  e 21 yy  , 
escrevendo vu  . 
Exemplo: O vetor )4 ,1(  xu é igual ao vetor 6)-2y ,5(v , se x+1=5 e 2y-6=4, ou x=4 
e y=5. Assim, se vu  , então x=4 , y=5 e )4,5( vu 
 
1.4 Operações com Vetores 
 
Adição de vetores 
Seja ),...,,( 21 nxxxu  e ),...,,( 21 nyyyv  
),...,,( 2211 nn yxyxyxvu  
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as correspondentes coordenadas. 
 
Interpretação geométrica no R² 
 Quando os vetores não possuem a mesma direção, obtém-s a adição de vetores através da 
regra do paralelogramo, ou seja, vu  é a diagonal do paralelogramo formado por eles. 
ACvu  
ACADAB  
 
 
 
 
 
 O vetor )( vu  , escreve-se vu  , é chamado diferença entre u e v . 
 
Propriedades da adição: 
Sendo u , v e w vetores quaisquer, a adição admite as seguintes propriedades: 
I) Comutativa: uvvu  
II) Associativa: )()( wvuwvu  
III) Elemento neutro: uu 0 
IV) Elemento oposto: 0)(  uu 
5 
 
 Multiplicação de um número real por Vetor 
 O produto de um vetor v por um escalar 0k , resulta em um novo vetor vkp  que 
possui a mesma direção e o mesmo sentido de v e o comprimento de k vezes o comprimento 
de v . 
 Se 0k , então vkp  terá sentido oposto ao vetor v 
 Se 0k , então vkp  será igual ao vetor nulo 
Propriedades: 
I) Associativa: vabvba )()(  
II) Distributiva em relação ao escalar: vbvavba  )( 
III) Distributiva em relação ao vetor: vauavua  )( 
IV) Elemento neutro: uu  1 
 
 
1.5 Ângulo de dois vetores 
O ângulo de dois vetores u e v não nulos, é o ângulo  formado pelas semirretas OA e 
OB, tal que  0 
 Se   , então u e v tem a mesma direção, mas sentidos contrários. 
 Se 0 , então u e v tem a mesma direção e o mesmo sentido. 
 Se 
2

  , então u e v são ortogonais )( vu  . 
Assim temos que, 
22
2)( uvvu  
 
 
 
Exercícios: 
A figura abaixo apresenta o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o ponto de 
interseção das diagonais deste losango. 
 
 
 
 
1) Decida se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 
a) OGEO  b) CHAF  c) HGDO  
d) BOOC  e) H – E = O – C f) CDAF // 
g) OCAO// h) OHAB i) HFAO 
 
6 
 
2) Com base na figura acima, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no 
ponto A. 
a) CHOC b) BGEO c) HOOG 
d) OCOE 22  e) AOFOAF  f) EHBC 
2
1
 
3) Determinar o vetor x nas figuras: 
a) b) c) 
 
 
 
4) Dados os vetores u e v da figura abaixo, mostrar, em um 
gráfico, um representante do vetor, e sua soma. 
a) vu  b) uv 2 c) vu 32  
 
5) Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60°, determinar o ângulo formado pelos 
vetores 
a) u e v b) u e v2 c) u3 e v5 
 
6) Dados os vetores coplanares u , v e w representados na figura ao lado, 
determinar 
a) o ângulo entre os vetores v3 e w 
b) o ângulo entre os vetores u2 e w 
 
 
7) Represente graficamente os vetores: 
a) uma força de 15 kg numa direção de 30° com o norte, apontada para o nordeste; 
b) uma força de 20 kg numa direção de 45° com o leste, apontada para o sudeste. 
 
8) Na Geometria Analítica fazemos o estudo de vetores. Em relação à importância e 
aplicabilidade dos vetores em engenharia, é correto afirmar: 
a) ( ) Como os vetores têm propriedades de direção, sentido e módulo similar a aplicações de 
forças no espaço e a algumas propriedades elétricas também como por exemplo em campo 
elétrico, fundamental para áreas de tecnologia como física, fenômeno dos transportes, 
circuitos; tem se a necessidade de se aprender cálculo vetorial para ser aplicado como uma 
ferramenta em tais áreas de tecnologia. 
b) ( ) Vetores não têm importância nenhuma nas áreas da engenharia, é apenas um tópico que 
o MECexige no currículo de um curso Superior de Engenharia. 
c) ( ) Como o engenheiro trabalha bastante com escalas lineares e os vetores nada mais são 
do que linhas com cotas e inclinações, daí a aplicabilidade de vetores escalas lineares. 
d) ( ) Como o curso de Engenharia tem bastante matemática, devemos aprender cálculo 
vetorial, pois é necessário no currículo de um engenheiro. 
7 
 
1.6 Vetores no plano 
 
Decomposição de um vetor 
 Consideremos dois vetores 1v e 2v não-paralelos, representados com a origem no mesmo 
ponto O, sendo r1 e r2 retas contendo estes representantes, respectivamente, 
 
 
 Os vetores u , v w , t , x e y , representados na figura, são expressos em função de 1v e 
2v sendo; 
21 45 vvu  21 32 vvv  214 vvw  
t x y 
 
 De modo geral podemos escrever: 
2211 vavav  (1) 
 
 A figura ao lado ilustra uma situação onde 1v e 2v são vetores não-paralelos quaisquer e 
v é um vetor arbitrário do plano determinado por 1v e 2v . 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o vetor v é expresso como (1), diz-se que v é combinação linear de 1v e 2v . O 
conjunto  21,vvB  é chamado de base no plano. Os números 1a e 2a da igualdade (1) são 
chamados componentes ou coordenadas de v na base B. 
 Na prática, as bases mais utilizadas são as ortonormais. Uma base  21,ee é dita 
ortonormal se os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é, 21 ee  e 121  ee . 
 A base mais importante é a que determina o conhecido sistema cartesiana ortogonal xOy. 
Os vetores ortogonais e unitários, neste caso, são simbolizados por i e j , ambos com origem 
em O e extremidades em (1,0) e (0,1), respectivamente, sendo a base  jiC ,  chamada 
canônica. Portanto, )0,1(i e )1,0(j . 
 
 Dado um vetor v qualquer do plano, existe uma só dupla de números x e y tal que 
 
 
jyixv  (2) 
 Os números x e y são as componentes de v na base canônica. A primeira componente 
chamada abscissa de v e a segunda componente y é a ordenada de v . O vetor v em (2) será 
também representado por 
 
 yxv , (3) 
 Dispensando-se a referência à base canônica C. 
9 
 
Vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais 
 O par (x, y) é chamado expressão analítica de v 
Ex.:  5,353  ji  0,44  i  3,03 j 
 
Relembrando: 
Operações com vetores 
Sejam os vetores ),( 11 yxu  e ),( 22 yxv  e R . Define-se: 
a)  2121 , yyxxvu  
b)  21 , xxu   
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Dados os vetores )3,2( u e )4,1(v determinar vu 23  e vu 23  . 
 
 
 
2) Determinar o vetor x na igualdade xvux 
2
1
23 , sendo dados  1,3 u e 
 4,2v 
 
 
3) Encontrar os números 1a e 2a tais que 2211 vavav  , sendo 
     2,1 e ,5,3 ,2,10 21  vvv . 
 
 
 
10 
 
1.7 Vetor definido por dois pontos 
Consideremos o vetor AB de origem no ponto  11, yxA e extremidade em  22 , yxB , 
figura ao lado. 
 Sabendo que os vetores OA e OB têm expressões analíticas: 
 11, yxOA e  22 , yxOB 
Do triângulo OAB da figura vem 
OBABOA  
   1122 ,, yxyxABOAOBAB  
Assim: 
 1212 , yyxxAB  
Ou seja, ABAB  . 
Um vetor tem infinitos representantes que são segmentos orientados de mesmo comprimento, 
mesma direção e mesmo sentido. E, dentre os infinitos representantes do vetor AB , o que 
melhor o caracteriza é aquele que tem origem em O (0,0) e extremidade em 
 1212 , yyxxP  
 
 
Exemplo: 
Dados os pontos A(-1, 2), B(3, -1) e C(-2, 4), determinar o ponto D de modo que ABCD
2
1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
1.8 Paralelismo de dois Vetores 
 
Se dois vetores  11, yxu  e  22 , yxv  são paralelos, existe um número real  tal que 
vu  , ou seja, 
   2211 ,, yxyx  ou    2211 , , yxyx  
Que pela condição de igualdade resulta em 

2
1
2
1
y
y
x
x
 
 
Esta é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos se suas 
componentes forem proporcionais. 
 
Exemplo: Verifique se os vetores  3,2u e  6,4v são paralelos. 
 
 
 
1.9 Módulo de um vetor 
 
Seja o vetor  yxu , , temos que 
²² yxu  
 
Exemplo: Se  3,2 u , então 
 
 
Obs: 
a) A distância entre dois pontos  11, yxA e  22 , yxB é o comprimento (módulo) do vetor 
AB , ou seja,   ABABd  
 
 
b) Vetor Unitário ou Versor: o vetor v é unitário se 1v . 
Para qualquer vetor v não nulo, o vetor 
v
v
u  é unitário na direção de v 
 
Exemplo: O versor de  4,3 v é: 
 
 
12 
 
Exercícios: 
1) Dados os vetores jiu 32  , jiv  e jiw  2 , determinar 
a) vu 2 b) wuv 2 c) wvu  2
2
1
 
 
2) Dados os vetores  4,2 u ,  1,5v e  6,12w , determinar 1a e 2a tais que 
vauaw 21  
 
3) Sejam os pontos P(2,3), Q(4,2) e R(3,5). 
a) representar em um mesmo gráfico os vetores posição de u , v e w de modo que uPQ  , 
vQR  e wRP  
 
b) determinar wvu  
 
4) Sendo A(2,1) e B(5,2) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, 3) o 
ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 
 
5) Dados os vetores  1,1u ,  4,3v e  6,8 w , calcular: 
a) u b) v c) vu  d) wu 2 
e) uw 3 f) 
v
v
 g) 
u
u
 
6) Calcular os valores de a para que o vetor  2, au tenha módulo 4. 
 
7) Calcular os valores de a para que o vetor 






2
1
,au seja unitário. 
 
8) Prove que os pontos A(-2,-1), B(2,2), C(-1,6) e D(-5,3) nesta ordem, são vértices de um 
quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
1.10 Produto Escalar 
 
Chama-se produto escalar de dois vetores k j 11 1 zyixu  e k j 22 2 zyixv  , e se 
representa por vu  , ao número real 
2 12 12 1 zzyyxxvu  
 
 O produto escalar de u por v também é indicado por vu , e se lê “u escalar v ” 
 
Exemplo: Dados os vetores k 8j 53  iu e k j 24  iv , qual o produto escalar de vu  ? 
 
 
 
 
Propriedades do produto escalar 
 Para quaisquer vetores u , v e w e o número real  , é fácil verificar que: 
I) uvvu  
II)   wuvuwvu  e   wvwuwvu  
III)      vuvuvu   
IV)  0,0,00 se ,0 e 0 se 0  uuuuuu . 
V) 
2
uuu 
 
Exemplo: Sendo 4u  , 2v  e 3vu , calcular    vuvu 423  
 
 
 
1.11 Definição Geométrica de Produto Escalar 
Se u e v são vetores não-nulos e  o ângulo entre eles, então 
cosvuvu  
 
Mostre a definição acima através da lei dos cossenos ao triângulo ABC abaixo: 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Exemplo 2. Sendo 2u  , 3v  e 120 o ângulo entre u e v , calcular: 
a) vu  
 
b) vu  
 
 
 
 
1.12 Ortogonalidade de Dois Vetores 
 
Dois vetores vu e são ortogonais se, e somente se, 0vu 
 
Exemplo 3. Mostrar que os seguintes pares de vetores são ortogonais: 
a)  3,2,1 u e  2,5,4v 
 
b) ji e 
 
Exemplo 4. Determinar um vetor ortogonal aos vetores  0,1,11 v e  1,0,12 v . 
 
Exemplo 5. Demonstrar que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si. 
 
 
 
1.13 Ângulo de Dois Vetores 
 
 Da desigualdade, cos vuvu  , temos 
vu
vu
 
cos

 
 
Fórmula a partir da qual se calcula o ângulo  entre os vetores vu e não-nulos. 
 
Exemplo 6. Calcular o ângulo entre os vetores    2,2,1 e 1,1,4  vu 
 
 
 
Exemplo7. Sabendo que o vetor  1,1,2 v forma um ângulo de 60° com o vetor AB , 
determinado pelos pontos A(3,1,-2) e B(4,0, m), calcular m. 
15 
 
Ângulos Diretores e Co-Senos Diretores de um Vetor 
 Seja o vetor kzjyixv  
Ângulos diretores de v são os ângulos  e , que v forma com os vetores kji e , , , 
respectivamente. 
 
 Co-senos diretores de v são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos , cos e 
cos . 
 Para o cálculo dos co-senos diretores utilizaremos as fórmulas: 
v
x
 
1 
)0,0,1(),,(
 
cos 




v
zyx
iv
iv
 
v
y
 
1 
)0,1,0(),,(
 
cos 




v
zyx
jv
jv
 
v
z
 
1 
)1,0,0(),,(
 
cos 




v
zyx
kv
kv
 
 
Obs: 1²cos²cos²cos   
 
Exemplo 8. Calcular os co-senos diretores e os ângulos diretores do vetor )3,2,6( v 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 9. Dados os pontos A(2,2,-3) e B(3,1,-3), calcular os ângulos diretores do vetor AB
. 
 
 
 
16 
 
 
Exercícios: 
1) Sejam os vetores  1,2,3u e  1,4,1 v . Calcular 
a)    vuvu  2 
b) uu  
c) u0 
 
2) Dados os vetores  1,,4  u e  3,2,v e os pontos A(4,-1,2) e B(3,2,-1), determinar 
o valor de e  tal que e   5 BAvu 
 
3) Mostrar que 
222
2 vvuuvu  
 
4) Mostre as seguintes desigualdades, para os vetores  2,1,4 u e  2,2,3 v 
a) vuvu  
b) vuvu  
 
5) Determine o ângulo entre os vetores: 
a) i = (0, 1) e v = (3, 4) 
b) j = (1, 1, 1/2) e w = (1, -1, 4) 
c) u = (-2, 1, 0) e z = (0, -3, 2) 
 
6) Calcular o valor de m de modo que seja 120° o ângulo entre os vetores  1,2,1u e 
 1,1,2  mv 
 
7) Sendo os pontos P = (x, 4), Q = (5, 6), R = (7, 8) e S = (10, 11), determine x para que os 
valores PQ e RS sejam ortogonais. 
 
8) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3,-3,3), B(2,-1,2) e C(1,0,2) 
 
9) Provar que os pontos A(-1,2,3), B(-3,6,0) e C(-4,7,2) são vértices de um triângulo 
retângulo. 
 
10) Determinar o vetor u tal que 2u , o ângulo entre u e  0,1,1 v é 45° e u é 
ortogonal a  0,1,1w . 
 
11) Um vetor v forma com os vetores i e j ângulos de 60º e 120º, respectivamente. 
Determinar o vetor v , sabendo que 2v . 
 
12) Os ângulos diretores de um vetor são  , 45° e 60°. Determinar  . 
 
 
 
17 
 
ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
 
 Consideremos dois vetores não paralelos,  bau , e  dcv , , aplicados num ponto A. 
Seja B a extremidade de u e C a extremidade de v. Vamos calcular a área S do triângulo ABC. 
 Sendo  o ângulo entre u e v , e h a altura relativa ao lado AB, temos: 


senvuS
senvh
huS








2
1
2
1
 
Como  1800  e 
vu
vu


cos , temos que 
 
   
     
vu
vuvu
vu
vu
sen





222
22
²
1 
Logo: 
     
     
    
  bcadbcadS
cbabcddaS
dbabcdcadbcbdacaS
bdacdcbaS
vuvuS
vu
vuvu
vuS








2
1
²
2
1
²²2²²
2
1
²²2²²²²²²²²²²
2
1
²²²²²
2
1
2
1
2
1
222
222
 
Fazendo bcad
dc
ba
 concluímos que 

2
1
S 
 
Exemplo: 
Dados A(3,1), B(7,5) e C(2,4) calcule a área do triângulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS 
 
 Dados três pontos ),( 11 yxA , ),( 22 yxB e ),( 33 yxC , seja  o determinante cujas linhas são 
formadas pelas componentes dos vetores AB e AC : 
 
  1313
1212
1313
1212
,
,
yyxx
yyxx
yyxxACAC
yyxxABAB









 
 Se A, B e C são vértices de um triângulo, então, a área desse triângulo é 
2
1
 e, portanto, 
0 . Assim, se 0 podemos concluir que A, B e C não são vértices de um mesmo 
triângulo e, portanto, são pontos colineares. 
 Por outro lado, observemos que os pontos A, B e C são colineares se,e somente se, os 
vetores AB e AC tem a mesma direção (são paralelos). Assim: 
A, B e C são colineares,  ABkACRk / 
    
   
0
 e 
1212
1212
12131213





yykxxk
yyxx
yykyyxxkxx
 
Logo: 
 
A, B e C são colineares 0 
 
 
Exemplo: 
1) Dados A(-1,-1), B(1,3) e C(4,9), verifique se os pontos estão alinhados, ou seja, são 
colineares. 
 
 
 
 
 
 
2) Para que valor de x os pontos A(2,5), B(7,15) e C(x,38) são colineares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
PRODUTO VETORIAL 
 
 O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar vu  que é um escalar. 
Definição: Chama-se produto vetorial de dois vetores 
kzjyixu 111  e kzjyixv 222  , tomados nesta ordem, e se representa por vu  , 
ao vetor 
k
yx
yx
j
zx
zx
i
zy
zy
vu 
22
11
22
11
22
11  
 
Também podemos resumir o desenvolvimento por 
222
111
zyx
zyx
kji
vu  
 
Exemplo: Calcular vu para kjiu 345  e kiv  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Características do vetor vu 
Sendo os vetores  111 ,, zyxu  e  222 ,, zyxv  
 
a) Direção de vu 
 O vetor vu é simultaneamente ortogonal a u e v 
 
Exemplo: Dados dois vetores  2,1,3u e  5,2,2v , verifique se o seu produto vetorial é 
ortogonal. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
b) Sentido de vu  
O sentido de vu  pode ser determinado utilizando um 
dispositivo mnemônico para lembrar dos seis produtos vetoriais 
possíveis com três vetores unitários que determinam o sistema 
cartesiano. 
Associando estes vetores a três pontos distintos de uma 
circunferência, e adotando o sentido anti-horário, o produto 
vetorial de dois vetores sucessivos quaisquer é o seguinte. 
Assim, neste dispositivo temos imediatamente kji  (sentido 
anti-horário) e, consequentemente, kij  (sentido horário). 
x i j k 
i 0 k j 
j k 0 i 
k j i 0 
 
c) Comprimento de vu  
Se  é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então 
senvuvu  
 
Exemplo 1: Determinar o vetor x , tal que x seja ortogonal ao eixo dos y e vxu  , sendo 
)1,1,1( u e )1,1,2( v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Sejam os vetores )4,1,1( u e )2,2,3( v . Determinar um vetor que seja: 
a) ortogonal a u e v : 
b) ortogonal a u e v e unitário: 
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4: 
 
 
21 
 
Exercícios: 
1) Em cada caso, verificar se os pontos A, B e C são colineares ou se definem um triângulo. 
Se definirem um triângulo, dar a sua área. 
a) A=(3,11), B=(4,13), C=(6,18) 
b) A=(0,-1), B=(2,5), C=(-1,-4) 
c) A=(-2,1), B=(1,-10), C=(-4,7) 
d) A=(6,5), B=(-4,0), C=(0,2) 
 
2) Para que valores de x os pontos A(1,0), B(8,3) e C(x,6) definem um triângulo de área igual 
a 6? 
 
 
3) Dados A=(1,0) e B=(4,0), determinar um ponto C no eixo dos y de tal modo que o 
triângulo ABC tenha área igual a 5. 
 
 
4) Calcular a área do paralelogramo de lados definidos pelos vetores u=(4,-1) e v=(-2,-3). 
 
5) Dados os pontos A(2,1,-1), B(3,0,1) e C(2,-1,-3), determinar o ponto D tal que 
ACBCAD  
 
6) Dados os pontos A(1,-1,2), B(-1,2,0) e C(5,1,4), determine: 
a) AB X AC: 
b) BA . AB: 
c) O ângulo entre AB e AC: 
 
7) Dados u=(1,-1,3), v=(2,1,-2) e w=(1,0,-1), determine )( wvu  
 
8) Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores u=(1,2) e v=(2,1).9) Determine a área do triângulo de vértices A(0,0), B(2,5) e C(0,4). Observando que a área 
procurada é a metade da área do paralelogramo determinado pelos vetores AB e AC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
PRODUTO MISTO 
 
A combinação dos produtos escalar e vetorial define um novo produto de vetores, 
denominado produto misto. 
Dados os vetores kzjyixu 111  , kzjyixv 222  e kzjyixw 333  do 
R3, tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u , v e w ao número real 
 wvu  . Indica-se o produto misto por  wvu ,, . Tendo em vista que: 
k
yx
yx
j
zx
zx
i
zy
zy
zyx
zyx
kji
wv 
33
22
33
22
33
22
333
222  
e levando em consideração a definição de produto escalar de dois vetores, o valor de  wvu  
é dado por: 
  z ,,
33
22
1
33
22
1
33
22
1
yx
yx
zx
zx
y
zy
zy
xwvu  
ou 
 
333
222
111
,,
zyx
zyx
zyx
wvu  
 
Obs: 
* Esse produto envolve um produto vetorial e um produto escalar, necessariamente, o produto 
vetorial deve ser efetuado primeiro. 
* Pela comutatividade do produto escalar temos     uwvwvu  
* Pela anticomutatividade do produto vetorial temos    vwuwvu  
 
Exemplo: Calcular o produto misto dos vetores kjiu 532  , kjiv 33  e 
kjiw 234  
 
 
 
 
Propriedades do produto misto 
I)   0,, wvu se um dos vetores é nulo, se dois deles são colineares, ou se os três são 
coplanares. 
a) se u é nulo a suas componentes são (0,0,0): 
 
 
23 
 
b) Se nem u , nem v são nulos, mas se u e v são colineares: 
vmu  ou kmzjmyimxu 222  
 
 
 
 
c) Se u , v e w são coplanares, o vetor wv , por ser ortogonal aos vetores v e w é ortogonal 
ao vetor u . 
 Se u e v x w são ortogonais, o produto escalar  wvu  é nulo. 
Ou seja, se u , v e w são coplanares,   0,, wvu . 
 
 
II) O produto misto independe da ordem circular dos vetores, isto é: 
     vuwuwvwvu ,,,,,,  
Entretanto, o produto misto muda de sinal quando se trocam as posições de dois vetores 
consecutivos, isto é: 
   wuvwvu ,,,,  
 
III)      rvuwvurwvu ,,,,,,  
 
IV)        wvumwvumwvmuwmvu ,,,,,,,,  
 
 
Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto 
Geometricamente, o produto misto  wvu  é igual, em módulo, ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores , e , ACwABvADu  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de um paralelepípedo: V = (área base) . (altura) hAbV  
mas: 
wvAb  
24 
 
e sendo  o ângulo entre os vetores wvu  e , lembrando que o vetor wv é perpendicular à 
base, a altura do paralelepípedo é dada por 
cos uh  
 logo, o volume do paralelepípedo é: 
 cos uwvV  ou cos wvuV  ou    wvuwvuV ,, 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Dados os vetores )1,2,3( ),0,5,(  vxu e )1,1,1( w , calcular o valor de x para que o 
volume do paralelepípedo determinado pelos vetores seja 24 u.v. (unidades de volume). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duplo Produto Vetorial 
 Dados os vetores kzjyixu 111  , kzjyixv 222  e kzjyixw 333  , 
chama-se duplo produto vetorial dos vetores u , v e w ao vetor )( wvu  . 
Obs: Como o produto vetorial não é associativo, em geral, wvuwvu  )()( . 
 
Decomposição do Duplo Produto Vetorial 
 O duplo produto vetorial pode ser decomposto na diferença de dois vetores com 
coeficientes escalares: 
 wvuvwuwvu )( )()(  
O vetor )( wvu  é coplanar com wv e , isto é: 
 wnvmwvu )(  
Esta fórmula pode ser escrita sob a forma de determinante: 
wuvu
wv
wvu

 )( 
25 
 
Exemplo: Se kjiu 623  , jiv  2 e kjiw 43  , calcule )( wvu  : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1, m, 1), determinar o valor de m para 
que seja de 20 unidade de volume o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores AB
AC e AD . 
 
 
2) Dado kjiu 623  , jiv  2 e kjiw 43  , calcule )( vuw  . 
 
3) Dado os vetores )1,1,2( u , )0,1,1( v e )2,2,1(w , calcule: 
a) vw . 
b) )( uwv  
c) )()( vuvu  
d) vu 32  
e) wvu  )( e )( wvu  
f) wvu  )( e )( wvu  
g) )()( wuvu  
 
 
4) Sejam os vetores )0,1,1(u , )1,0,2(v , vuw 231  , vuw 32  e kjiw 23  
Determinar o volume do paralelepípedo definido por 1w , 2w e 3w . 
 
 
5) Verificar se são coplanares os pontos: 
a) A(1,1,1), B(-2,-1,-3), C(0,2,-2), D(-1,0,-2) 
b) A(1,0,2), B(-1,0,3), C(2,4,1), D(-1,-2,2) 
c) A(2,1,3), B(3,2,4), C(-1,-1,-1), D(0,1,-1)