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05 5ANSD – Análise de Sistemas Lineares Professora: Poliana Pastorele da Silva Quirino Horário: 18:35 às 21:35 Sala: 304 Introdução: Sinais e Sistemas O que é um Sinal? “Função que veicula informação sobre a natureza de um fenômeno físico” (Haykin, 2002) “Um conjunto de dados ou informação” (Lathi, 2004) “Função que representa uma quantidade ou variável física, a qual tipicamente contém informações sobre o comportamento ou a natureza do fenômeno” (Hsu, 2011) Ex: corrente ou voltagem em um transmissor, ar para uma válvula, tensão em um capacitor, vazão de reagentes etc. O que é um Sinal? Matematicamente, um sinal é representado por uma função de uma ou mais variáveis Dependente de uma variável Unidimensional Dependente de 2 ou + variáveis Multidimensional Exemplos de sinais Sinal unidimensional Ex: Sinal de áudio - Nada mais é do que a variação de amplitudes com o passar do tempo. f(t) varia à medida que t(s) varia. No caso de sinais de áudio, a grandeza predominante é a amplitude de tensão. O fato da tensão variar em função do tempo (somente esta grandeza) determina que este sinal é “unidimensional”. Sinal multidimensional Sinal de imagem: brilho, intensidade das cores variam ao longo das duas dimensões. Sinal bidimensional Pegando-se uma linha da imagem, pode-se mostrar como varia a intensidade das cores vermelha, verde e azul. pixels p ix e ls Exemplos de sinais na medicina Exemplos de sinais na medicina Exemplos de sinais na medicina Exemplos de sinais no dia a dia Previsão do tempo Variação de temperatura Índice pluviométrico Umidade relativa do ar Investimentos Rentabilidade Risco Cotações Fonte: Cienc. Rural vol.38 no.8 Santa Maria Nov. 2008 Classificação dos Sinais Os sinais existentes podem ser classificados de diversas maneiras: Contínuos e discretos no tempo; Analógicos e digitais; Periódicos e não periódicos (aperiódicos); Determinísticos e aleatórios; Energia e potência; Sinais contínuos e discretos no tempo Sinal contínuo no tempo Um sinal x(t) contínuo no tempo é aquele definido para todo intervalo de tempo t. Para qualquer ponto t neste fragmento de sinal, encontramos um valor correspondente em x. Esta característica denota “continuidade”. Uma forma de resumir esta ideia é dizer que em um sinal contínuo, encontramos infinitos valores. x(t) Sinais contínuos e discretos no tempo Sinal discreto no tempo Um sinal é dito discreto quando apenas os pontos relevantes do mesmo podem ser encontrados. Isso implica perdas de informação em sinais discretos. Entretanto, os pontos remanescentes representam de forma fidedigna o sinal a ser reproduzido, sem causar danos ao mesmo. x(t) pontos onde as setas inexistem, indicam a ausência de valor. Ex: Sinal de áudio em suas formas “contínua” e “discreta”. Sinais contínuos e discretos no tempo Notações Tempo contínuo: x(t) t = tempo (em segundos) (t ∈ R) O sinal x(t) é função do tempo Tempo discreto: x[n] n = instante (n ∈ Z) A seqüência x[n] é função do instante Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo. Sinais contínuos e discretos no tempo Contínuos Temperatura Pressão Nível Corrente e Tensão Energia e Potência Amostragem de sinais contínuos Discretos No de peças Status: ligado x desligado Limite de variáveis Alta (H) Baixa (L) Muito alta (HH) Muito baixa (LL) Exemplo de um sinal discreto no tempo Sinais Analógicos e Digitais Sinais Analógicos Um sinal analógico varia no tempo de modo análogo ao da propriedade física que esteve na sua origem. São sinais contínuos e podem assumir qualquer valor entre dois limites. Ex: se um sinal varia seus valores de 0 a 10, o sinal analógico passa por todos os valores intermediários possíveis (0.01 , 0.566 , 4.565 , 8.55...) Sinal Analógico do Transmissor Alguns exemplos Padrão de sinal elétrico: 4 a 20 mA Padrão de sinal pneumático: 3 a 15 psi (20 kPa a 100 kPa, no SI); Transmissor de temperatura de 0 a 100 oC 4mA 20mA 00C 1000C 4 mA significa 0 oC 20 mA significa 100 oC 0 mA significa problema na malha (fio partido, sem alimentação) Sinais em malhas de controle I - 1 E-1 V-1 I/P Transmissor de Temperatura (mV para corrente) água Corrente quente de processo Corrente de processo resfriada Água de resfriamento Válvula de controle Trocador de calor Sensor (termopar) S-1 Controlador Set point (SP) Suprimento de ar para instrumento 3 a 15 psig (sinal) 4 a 20mA (sinal) 4 a 20mA (sinal) Campo Sala de controle Malha de controle de vazão Fonte: M.A. Ribeiro e R. A. Kalid. Notas de aulas Malha de controle de nível Malha de controle de pressão Sinais Analógicos e Digitais Sinais Digitais São os que assumem valores específicos, valores binários, 1 e 0, “on" e “off", "alto" e "baixo", “high and low". São sinais processados por máquinas ou equipamentos para serem utilizados em um meio digital. São muito menos sensíveis a interferências ou ruídos, quando comparados com os sinais analógicos; É possível transmitir mais informação através de sistemas digitais ao invés de sistemas analógicos; Podem ser enviados diretamente a computadores, que são equipamentos que utilizam sistemas digitais. Digitalizando um sinal O processo de transformação de um sinal analógico em um sinal digital consiste em três fases: Amostragem, que consiste em retirar amostras do sinal original conforme uma frequência pré-determinada; Quantização, que consiste em refinar o sinal amostrado; Codificação, que transforma o sinal quantizado em um sinal binário. Digitalizando um sinal Amostragem retirar amostras do sinal original conforme uma frequência pré-determinada Digitalizando um sinal Quantização realiza-se um "arredondamento" dos diversos valores amostrados sobre níveis de valores estabelecidos, Se um sinal varia seus valores de 0 a 10, o sinal digital assumirá os valores discretos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). Ex: valor de um sinal de 4,25 em qualquer instante de tempo será representado pelo valor mais próximo discreto, neste caso o 4. Digitalizando um sinal Sinais periódicos e não periódicos Sinais Periódicos Os sinais são ditos “periódicos” se suas subpartes se repetem com o passar do tempo. Para que o sinal seja categorizado desta forma, as subpartes do sinal devem se repetir fielmente. T é o período “fundamental” do sinal (T ∈ R+) f = 1/T frequência “fundamental”. Em Hertz ω = 2π/T Em radianos/s Sinais periódicos e não periódicos Sinais não periódicos ou aperiódicos um sinal é dito aperiódico se suas subpartes não se repetem fielmente de tempos em tempos. Neste caso, não há qualquer tipo de restrição quanto a repetição dos períodos dos sinais. Sinais pares e ímpares Equivalente a idéia de funções pares e ímpares Sinal par: x(t) = x(–t), para todo t ∈ R. (simétrico em relação ao eixo das ordenadas) Sinal ímpar: x(-t) = – x(t), para todo t ∈ R. (assimétrico em relação ao eixodas ordenadas) Sinais determinísticos e aleatórios Sinal Determinístico: não existe nenhuma incerteza com respeito ao seu valor em qualquer instante de tempo (a). Sinal aleatório: há incertezas associadas ao seu valor em qualquer instante de tempo (b). (a) (b) Algumas operações com sinais Mudança de escala de tempo (escalonamento temporal); Reversão no tempo; Deslocamento no tempo; Operações combinadas (deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo). Mudança de escala de tempo 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑎𝑡) 𝑆𝑒 𝑎 > 1, 𝑦 𝑡 será a versão comprimida de 𝑥(𝑡) 𝑆𝑒 0 < 𝑎 < 1 𝑦 𝑡 será a versão expandida de 𝑥(𝑡) Reversão temporal A reversão temporal consiste em uma rotação de 180 graus em torno do eixo das ordenadas. O sinal 𝑦 𝑡 será a versão refletida de x(t) em relação ao eixo das ordenadas. 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) 𝑦 𝑡 Reversão temporal Exemplo: Determinar o sinal 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) Deslocamento temporal Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. A versão de x(t) deslocada no tempo é definida por: 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 𝑡0 > 0 deslocamento para a direita (atraso); 𝑡0 < 0 deslocamento para a esquerda (avanço). y9 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑡0) 𝑡0 𝑡0 Operações Combinadas Deslocamento no tempo e mudança de escala de tempo Sequências possíveis: deslocamento temporal de 𝑥(𝑡) por 𝑏 para obter 𝑥(𝑡 − 𝑏) . escalonamento temporal do sinal, deslocando 𝑥(𝑡 − 𝑏) por 𝑎. escalonamento temporal do sinal, deslocando 𝑥(𝑡) por 𝑥(𝑎𝑡). deslocamento temporal do sinal 𝑥 𝑎𝑡 por 𝑏/𝑎 (substitua t por b/a). 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑎𝑡 − 𝑏) Exercícios de fixação 𝑨) 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 4) 𝑩) 𝑦 𝑡 = 𝑥( 𝑡 1,5 ) 𝑪) 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) 𝑫) 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 − 4) 𝑬) 𝑦 𝑡 = 𝑥(2 − 𝑡) Exercício de fixação Dado o sinal x(t) abaixo, determinar o sinal 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3). O que é um Sistema? “Entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, produzindo, assim, novos sinais” (Haykin, 2002) “Os sistemas processam os sinais, modificando-os ou extraindo informação adicional” (Lathi, 2004) “Modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta).” (Hsu, 2011) Sinal de saída Sistema Sinal de entrada Sistemas Um sistema físico pode ser caracterizado pela sua relação entrada/saída Classificação dos sistemas Os sistemas podem ser classificados em: Lineares e não lineares; Variantes e invariantes no tempo; Estáveis e instáveis. Classificação quanto à linearidade Sistemas lineares quando as equações diferenciais que compõem o sistema são todas lineares; não existem produtos de variáveis, variáveis com fatores exponenciais, etc; os coeficientes associados podem ser constantes ou variantes (funções do tempo); Vale o princípio da superposição. Sistemas não-lineares quando o sistema resulta em equações não-lineares; necessidade de linearização em torno do ponto de operação para se utilizar as técnicas de análise de sistemas lineares. Sistemas lineares Exemplo de Sistema Linear Invariante no tempo: Exemplo de Sistema Linear Variante no Tempo: u1(t) u2(t) y (t) Sistemas lineares Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada provoca o mesmo deslocamento na saída y (t) Sistemas não lineares Exemplo de Sistema Não-Linear: Motivação para o estudo de modelos lineares Mais fáceis de serem estudados. Solução de modelos não lineares é mais complexa. Boa parte dos fenômenos físicos podem ser descritos aproximadamente por comportamentos lineares. ao menos em torno de pontos de operação especificados. Poderosas ferramentas para análise e síntese de comportamentos lineares estão disponíveis. Ex: transformada de Laplace (função de transferência). Sistema estável x instável Sistema estável Sistema instável o Para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entrada, o sinal de saída é também limitado. o Ao ser aplicado um sinal de amplitude limitada em sua entrada, sua saída divergirá com o passar do tempo, ou seja, a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente. Exemplos de Sistemas Reconhecimento automático de locutor Sensoreamento remoto Processo de adquirir informações sobre um objeto de interesse sem estar em contato físico com ele (ex: satélites) Identidade do locutor Computador Voz Monte Shasta (Califórnia) Sistemas de comunicação Transmissor: converte o sinal de mensagem para uma forma apropriada ao Canal Canal: ar, fibra óptica, cabo coaxial, canal de satélite, canal de rádio, etc. Receptor: processa o sinal recebido, corrige os efeitos do canal e recupera a mensagem. Sinal transmitido Transmissor Canal Receptor Informação Sinal recebido Estimativa da informação Sistemas de controle Processo Sensores Transmissor Controlador Elemento final de controle Cada um destes elementos deve ser visto como um sistema físico com uma entrada e uma saída, podendo ser descrito por uma equação diferencial. Sistemas de controle A válvula de controle pode ser vista como um sistema Sinal de entrada: ar (pneumática) Sinal de saída: abertura da válvula - vazão ( ) v v x P F C f SG F: vazão (gpm), Cv: coeficiente de tamanho da válvula, x: posição da haste, f(x): fração da área total da válvula, SG: densidade relativa à água, Pv: perda de carga em (psi) Sistema Válvula de controle Sistemas de controle fs(t) fe(t) h(t) LT LC sp FC 0 5 10 15 20 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 tempo h de sv io P PI P PI Sistemas de Controle Digital Processo Sensor D/A Algoritmo de controle A/D clock y(t) b(t) b(kt) u(kt) u(t) Os blocos de conversão de sinal analógico-digital – conversor A/D - desempenham o papel de converter o sinal analógico de entrada num sinal digital, o que permite o seu processamento no domínio digital como um vetor de bits. A tarefa complementar de construção ou reconstrução de um sinal analógico de saída, a partir de um conjunto de bits é feita por um bloco de conversão digital- analógico (D/A). Processos discretos Indústrias automobilísticas, aeronáuticas e fábricas de peças em geral A maioria dos produtos de manufatura discreta pode ser desmontada e devolvida aos seus componentes originais Processos Contínuos São aqueles cujo processo produtivo envolve de maneira mais significativa variáveis contínuas no tempo. Processo contínuo e controlador analógico Processo contínuo e controlador digital
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