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Aula_01_IntroducaoaSinaiseSistemas

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05 5ANSD – Análise de Sistemas 
Lineares 
 
 Professora: Poliana Pastorele da Silva Quirino 
 
 Horário: 18:35 às 21:35 
 Sala: 304 
Introdução: Sinais e Sistemas 
O que é um Sinal? 
“Função que veicula informação sobre a natureza de um 
fenômeno físico” (Haykin, 2002) 
“Um conjunto de dados ou informação” (Lathi, 2004) 
“Função que representa uma quantidade ou variável 
física, a qual tipicamente contém informações sobre o 
comportamento ou a natureza do fenômeno” (Hsu, 2011) 
 
Ex: corrente ou voltagem em um transmissor, ar para 
uma válvula, tensão em um capacitor, vazão de reagentes 
etc. 
O que é um Sinal? 
Matematicamente, um sinal é representado por uma 
função de uma ou mais variáveis 
 
 
Dependente de uma variável Unidimensional 
 
 
Dependente de 2 ou + variáveis Multidimensional 
 
 
 
Exemplos de sinais 
Sinal unidimensional 
Ex: Sinal de áudio - Nada mais é do que a variação de 
amplitudes com o passar do tempo. 
 f(t) varia à medida que t(s) varia. No caso de sinais de áudio, a 
grandeza predominante é a amplitude de tensão. 
 O fato da tensão variar em função do tempo (somente 
esta grandeza) determina que este sinal é “unidimensional”. 
Sinal multidimensional 
Sinal de imagem: brilho, intensidade das cores 
variam ao longo das duas dimensões. 
 Sinal bidimensional 
Pegando-se uma linha da imagem, pode-se 
mostrar como varia a intensidade das cores 
vermelha, verde e azul. 
pixels 
p
ix
e
ls
 
Exemplos de sinais na medicina 
Exemplos de sinais na medicina 
Exemplos de sinais na medicina 
Exemplos de sinais no dia a dia 
Previsão do tempo 
 Variação de temperatura 
 Índice pluviométrico 
 Umidade relativa do ar 
 
Investimentos 
 Rentabilidade 
 Risco 
 Cotações 
Fonte: Cienc. Rural vol.38 no.8 Santa Maria Nov. 2008 
Classificação dos Sinais 
Os sinais existentes podem ser classificados de 
diversas maneiras: 
 Contínuos e discretos no tempo; 
 Analógicos e digitais; 
 Periódicos e não periódicos (aperiódicos); 
 Determinísticos e aleatórios; 
 Energia e potência; 
 
Sinais contínuos e discretos no tempo 
Sinal contínuo no tempo 
 Um sinal x(t) contínuo no tempo é aquele definido para todo 
intervalo de tempo t. 
 Para qualquer ponto t neste fragmento de sinal, encontramos um 
valor correspondente em x. Esta característica denota 
“continuidade”. 
 Uma forma de resumir esta ideia é dizer que em um sinal contínuo, 
encontramos infinitos valores. 
x(t) 
Sinais contínuos e discretos no tempo 
Sinal discreto no tempo 
 Um sinal é dito discreto quando apenas os pontos relevantes 
do mesmo podem ser encontrados. 
 Isso implica perdas de informação em sinais discretos. 
Entretanto, os pontos remanescentes representam de forma 
fidedigna o sinal a ser reproduzido, sem causar danos ao 
mesmo. 
x(t) 
pontos onde as setas inexistem, 
indicam a ausência de valor. 
Ex: Sinal de áudio em suas 
formas “contínua” e “discreta”. 
Sinais contínuos e discretos no tempo 
Notações 
 Tempo contínuo: x(t) 
 t = tempo (em segundos)  (t ∈ R) 
 O sinal x(t) é função do tempo 
 
 Tempo discreto: x[n] 
 n = instante  (n ∈ Z) 
 A seqüência x[n] é função do instante 
 Reforçando: não existe n = 1,5, por exemplo. 
Sinais contínuos e discretos no tempo 
Contínuos 
 Temperatura 
 Pressão 
 Nível 
 Corrente e Tensão 
 Energia e Potência 
Amostragem de sinais contínuos 
 Discretos 
 No de peças 
 Status: ligado x desligado 
 Limite de variáveis 
 Alta (H) 
 Baixa (L) 
 Muito alta (HH) 
 Muito baixa (LL) 
Exemplo de um sinal discreto no tempo 
Sinais Analógicos e Digitais 
Sinais Analógicos 
 Um sinal analógico varia no tempo de modo análogo ao da 
propriedade física que esteve na sua origem. 
 São sinais contínuos e podem assumir qualquer valor entre 
dois limites. 
 Ex: se um sinal varia seus valores de 0 a 10, o sinal analógico 
passa por todos os valores intermediários possíveis (0.01 , 0.566 , 
4.565 , 8.55...) 
Sinal Analógico do Transmissor 
 Alguns exemplos 
 Padrão de sinal elétrico: 4 a 20 mA 
 Padrão de sinal pneumático: 3 a 15 psi (20 kPa a 100 
kPa, no SI); 
 Transmissor de temperatura de 0 a 100 oC 
 
 
4mA 
20mA 
00C 
1000C 4 mA significa 0 
oC 
20 mA significa 100 oC 
0 mA significa problema na malha 
(fio partido, sem alimentação) 
Sinais em malhas de controle 
I
-
1
E-1
V-1
I/P 
Transmissor de 
Temperatura 
(mV para corrente) 
água 
Corrente quente de 
processo 
Corrente de 
processo resfriada 
Água de resfriamento 
Válvula de controle 
Trocador de calor 
Sensor 
(termopar) 
S-1
Controlador 
Set point (SP) 
Suprimento de ar para 
instrumento 
3 a 15 psig 
(sinal) 
4 a 20mA 
(sinal) 
4 a 20mA 
(sinal) 
Campo 
Sala de controle 
Malha de controle de vazão 
Fonte: M.A. Ribeiro e R. A. Kalid. Notas de aulas 
Malha de controle de nível 
Malha de controle de pressão 
Sinais Analógicos e Digitais 
Sinais Digitais 
 São os que assumem valores específicos, valores binários, 1 e 0, “on" 
e “off", "alto" e "baixo", “high and low". São sinais processados por 
máquinas ou equipamentos para serem utilizados em um meio 
digital. 
 São muito menos sensíveis a interferências ou ruídos, quando 
comparados com os sinais analógicos; 
 É possível transmitir mais informação através de sistemas 
digitais ao invés de sistemas analógicos; 
 Podem ser enviados diretamente a computadores, que são 
equipamentos que utilizam sistemas digitais. 
 
 
 
 
 
Digitalizando um sinal 
O processo de transformação de um sinal analógico 
em um sinal digital consiste em três fases: 
 Amostragem, que consiste em retirar amostras do sinal 
original conforme uma frequência pré-determinada; 
 Quantização, que consiste em refinar o sinal amostrado; 
 Codificação, que transforma o sinal quantizado em um sinal 
binário. 
 
Digitalizando um sinal 
Amostragem 
 retirar amostras do sinal original conforme uma frequência 
pré-determinada 
 
Digitalizando um sinal 
Quantização 
 realiza-se um "arredondamento" dos diversos valores amostrados 
sobre níveis de valores estabelecidos, 
 Se um sinal varia seus valores de 0 a 10, o sinal digital assumirá os valores 
discretos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10). 
 Ex: valor de um sinal de 4,25 em qualquer instante de tempo será 
representado pelo valor mais próximo discreto, neste caso o 4. 
 
Digitalizando um sinal 
Sinais periódicos e não periódicos 
Sinais Periódicos 
 Os sinais são ditos “periódicos” se suas subpartes se repetem 
com o passar do tempo. 
 Para que o sinal seja categorizado desta forma, as subpartes do 
sinal devem se repetir fielmente. 
  T é o período “fundamental” 
do sinal (T ∈ R+) 
 f = 1/T  frequência 
“fundamental”. Em Hertz 
 ω = 2π/T 
Em radianos/s 
Sinais periódicos e não periódicos 
Sinais não periódicos ou aperiódicos 
 um sinal é dito aperiódico se suas subpartes não se 
repetem fielmente de tempos em tempos. 
 Neste caso, não há qualquer tipo de restrição quanto a 
repetição dos períodos dos sinais. 
Sinais pares e ímpares 
Equivalente a idéia de funções pares e ímpares 
 Sinal par: 
 x(t) = x(–t), para todo t ∈ R. 
 (simétrico em relação ao eixo das ordenadas) 
 
 
 Sinal ímpar: 
 x(-t) = – x(t), para todo t ∈ R. 
 (assimétrico em relação ao eixodas ordenadas) 
Sinais determinísticos e aleatórios 
 
Sinal Determinístico: não existe nenhuma 
incerteza com respeito ao seu valor em qualquer 
instante de tempo (a). 
Sinal aleatório: há incertezas associadas ao seu 
valor em qualquer instante de tempo (b). 
 
(a) (b) 
Algumas operações com sinais 
Mudança de escala de tempo (escalonamento 
temporal); 
Reversão no tempo; 
Deslocamento no tempo; 
Operações combinadas (deslocamento no tempo e 
mudança de escala de tempo). 
 
 
Mudança de escala de tempo 
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑎𝑡) 
𝑆𝑒 𝑎 > 1, 𝑦 𝑡 será a versão comprimida de 𝑥(𝑡)
𝑆𝑒 0 < 𝑎 < 1 𝑦 𝑡 será a versão expandida de 𝑥(𝑡)
 
Reversão temporal 
A reversão temporal consiste em uma rotação de 180 
graus em torno do eixo das ordenadas. 
 O sinal 𝑦 𝑡 será a versão refletida de x(t) em relação ao eixo 
das ordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) 
𝑦 𝑡 
Reversão temporal 
Exemplo: Determinar o sinal 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) 
 
Deslocamento temporal 
Seja x(t) um sinal de tempo contínuo. A versão de 
x(t) deslocada no tempo é definida por: 
 
 
 
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
 𝑡0 > 0 deslocamento para a 
direita (atraso); 
 𝑡0 < 0 deslocamento para a 
esquerda (avanço). 
y9 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 𝑡0) 
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑡0) 
𝑡0 
𝑡0 
Operações Combinadas 
Deslocamento no tempo e mudança de escala de 
tempo 
 
Sequências possíveis: 
 deslocamento temporal de 𝑥(𝑡) por 𝑏 para obter 𝑥(𝑡 − 𝑏) . 
 escalonamento temporal do sinal, deslocando 𝑥(𝑡 − 𝑏) por 𝑎. 
 
 
 escalonamento temporal do sinal, deslocando 𝑥(𝑡) por 𝑥(𝑎𝑡). 
 deslocamento temporal do sinal 𝑥 𝑎𝑡 por 𝑏/𝑎 (substitua t por 
b/a). 
 
 
𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑎𝑡 − 𝑏) 
Exercícios de fixação 
𝑨) 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡 − 4) 
𝑩) 𝑦 𝑡 = 𝑥(
𝑡
1,5
) 
𝑪) 𝑦 𝑡 = 𝑥(−𝑡) 
𝑫) 𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 − 4) 
𝑬) 𝑦 𝑡 = 𝑥(2 − 𝑡) 
 
 
Exercício de fixação 
Dado o sinal x(t) abaixo, determinar o sinal 
𝑦 𝑡 = 𝑥(2𝑡 + 3). 
 
O que é um Sistema? 
“Entidade que manipula um ou mais sinais para realizar uma função, 
produzindo, assim, novos sinais” (Haykin, 2002) 
 
“Os sistemas processam os sinais, modificando-os ou extraindo 
informação adicional” (Lathi, 2004) 
 
“Modelo matemático de um processo físico que relaciona o sinal de 
entrada (ou excitação) com o sinal de saída (ou resposta).” (Hsu, 2011) 
 
Sinal de saída 
Sistema 
Sinal de entrada 
Sistemas 
Um sistema físico pode ser caracterizado pela sua 
relação entrada/saída 
 
Classificação dos sistemas 
Os sistemas podem ser classificados em: 
Lineares e não lineares; 
Variantes e invariantes no tempo; 
Estáveis e instáveis. 
Classificação quanto à linearidade 
Sistemas lineares 
 quando as equações diferenciais que compõem o sistema são 
todas lineares; 
 não existem produtos de variáveis, variáveis com fatores 
exponenciais, etc; 
 os coeficientes associados podem ser constantes ou variantes 
(funções do tempo); 
 Vale o princípio da superposição. 
 
Sistemas não-lineares 
 quando o sistema resulta em equações não-lineares; 
 necessidade de linearização em torno do ponto de operação para 
se utilizar as técnicas de análise de sistemas lineares. 
Sistemas lineares 
Exemplo de Sistema Linear Invariante no tempo: 
 
 
 
 
 
 Exemplo de Sistema Linear Variante no Tempo: 
 
u1(t) 
u2(t) 
y (t) 
Sistemas lineares 
Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento 
na entrada provoca o mesmo deslocamento na saída 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y (t) 
Sistemas não lineares 
Exemplo de Sistema Não-Linear: 
 
 
 
 
Motivação para o estudo de modelos 
lineares 
 
Mais fáceis de serem estudados. 
Solução de modelos não lineares é mais complexa. 
Boa parte dos fenômenos físicos podem ser descritos 
aproximadamente por comportamentos lineares. 
 ao menos em torno de pontos de operação especificados. 
Poderosas ferramentas para análise e síntese de 
comportamentos lineares estão disponíveis. 
 Ex: transformada de Laplace (função de transferência). 
Sistema estável x instável 
Sistema estável 
 
 
 
 
Sistema instável 
o Para todo sinal de amplitude 
limitada aplicado em sua entrada, o 
sinal de saída é também limitado. 
 
o Ao ser aplicado um sinal de amplitude 
limitada em sua entrada, sua saída 
divergirá com o passar do tempo, ou 
seja, a amplitude do sinal de saída 
tenderá a crescer indefinidamente. 
Exemplos de Sistemas 
Reconhecimento automático de locutor 
 
 
 
Sensoreamento remoto 
 Processo de adquirir informações sobre um objeto de 
interesse sem estar em contato físico com ele (ex: satélites) 
Identidade do locutor 
Computador 
Voz 
Monte Shasta (Califórnia) 
Sistemas de comunicação 
 Transmissor: 
 converte o sinal de mensagem para uma forma apropriada ao 
Canal 
 Canal: 
 ar, fibra óptica, cabo coaxial, canal de satélite, canal de rádio, 
etc. 
 Receptor: 
 processa o sinal recebido, corrige os efeitos do canal e recupera 
a mensagem. 
Sinal 
transmitido 
Transmissor Canal Receptor 
Informação 
Sinal 
recebido 
Estimativa da 
informação 
Sistemas de controle 
Processo 
Sensores 
Transmissor 
Controlador 
Elemento final de controle 
 Cada um destes elementos deve ser visto como um sistema físico com uma 
entrada e uma saída, podendo ser descrito por uma equação diferencial. 
Sistemas de controle 
A válvula de controle pode ser vista como um sistema 
 Sinal de entrada: ar (pneumática) 
 Sinal de saída: abertura da válvula - vazão 
( )
v
v x
P
F C f
SG


F: vazão (gpm), Cv: coeficiente de tamanho da válvula, x: posição da haste, f(x): fração da 
área total da válvula, SG: densidade relativa à água, Pv: perda de carga em (psi) 
Sistema 
Válvula de controle 
Sistemas de controle 
fs(t) 
fe(t) 
h(t) 
LT LC 
sp 
FC 
0 5 10 15 20
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
tempo
h 
de
sv
io
P
PI
P
PI
Sistemas de Controle Digital 
Processo 
Sensor 
D/A 
Algoritmo de 
controle 
A/D 
clock 
y(t) 
b(t) 
b(kt) u(kt) u(t) 
Os blocos de conversão de sinal analógico-digital – conversor A/D - 
desempenham o papel de converter o sinal analógico de entrada num sinal digital, 
o que permite o seu processamento no domínio digital como um vetor de bits. 
A tarefa complementar de construção ou reconstrução de um sinal analógico de 
saída, a partir de um conjunto de bits é feita por um bloco de conversão digital-
analógico (D/A). 
Processos discretos 
Indústrias automobilísticas, aeronáuticas e fábricas 
de peças em geral 
A maioria dos produtos 
de manufatura discreta 
pode ser desmontada e 
devolvida aos seus 
componentes originais 
Processos Contínuos 
São aqueles cujo processo 
produtivo envolve de 
maneira mais significativa 
variáveis contínuas no 
tempo. 
Processo contínuo e controlador analógico 
Processo contínuo e controlador digital

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