1363785 ENG CN34 lista02 interpolação

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PUC MINAS - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA 
2a Atividade - 2018 - 1º semestre 
 
Disciplina: Cálculo Numérico 
 
Instruções: 
• Os exercícios devem ser feitos à mão (favor não digitar) em folhas A4; 
• CADA folha de resposta deve ser ASSINADA pelo aluno; 
• Para entregar pelo SGA, você deve ESCANEAR ou FOTOGRAFAR cada folha com as soluções; 
• O SGA só aceita o envio de um ÚNICO arquivo e ele não pode ser muito grande (creio que o máximo 
seja 4 MB). 
• Se seu arquivo PDF estiver muito grande, há sites online que ajudam a reduzir o tamanho de 
arquivo PDF (smallpdf.com/pt/compressor-de-pdf) ou mesmo reduz tamanho das imagens/fotos 
(www.imagesmaller.com). 
• Atividades entregue fora do SGA, será penalizada com perda de pontos; 
• Atividades Ilegíveis ou impossibilitados de abrir, serão zeradas; 
• Bom aprendizado. 
 
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QUESTÃO 1) A tabela abaixo exibe o número de acessos a um site da internet em alguns meses do ano de 
20XX. 
 
Mês janeiro março junho 
mm/201XX 1 3 6 
Acessos (em milhares) 33 27 10 
 
a) Usando um polinômio interpolador linear, dê o valor aproximado do número de acessos ao site no 
mês de abril. 
b) Usando um polinômio interpolador quadrático, dê o valor aproximado do número de acessos ao site 
no mês de abril. 
c) O polinômio obtido em “b” poderia ser usado também para estimar o número de acessos ao site no 
mês de julho? Justifique a sua resposta. 
Resp: (a)P1(x) 44 – 4,6666667x P(“abril”) = ? (b) P2(x) 34.4 - 0.8666667x - 0.5333333x^2 P2(“abril”) = ? c) 
 
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QUESTÃO 2) A tabela a seguir mostra cinco pontos da função y = f(x) de uma chapa metálica varia conforme 
o tempo segundo a tabela a seguir 
 
𝑖 0 1 2 3 4 
𝑥𝑖 0 𝜋/6 𝜋/4 𝜋/3 𝜋/2 
𝑦𝑖 0,00 0,33 0,56 0,74 0,78 
 
Dê um valor aproximado de 𝑓(𝜋/5). 
a) Usando um polinômio interpolador quadrático com três pontos a sua escolha. 
b) Usando um polinômio de 4º grau, onde os coeficientes 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3𝑒 𝑎4 devem ser obtidos usando 
o Scilab (ou Matlab, se preferir) 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3 + 𝑎4𝑥
4 
 
--> clc() // limpa o console 
--> pi = %pi // pi = 3.141516 
--> x = [0;pi/6;pi/4;pi/3;pi/2]; // vetor com valores de x 
--> y = [0.00;0.33;0.56;0.74;0.78]; // vetor com valores de y 
--> // ---------------------------------------------------------------- 
--> // Os coeficientes do polinômio de 4o grau 
--> // P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + a4x^4 são obtidos 
--> // resolvendo o sistema linear HA = y, onde A = (a0,a1,a2,a3,a4) 
--> // ---------------------------------------------------------------- 
--> um = ones(5,1) // vetor coluna com um´s 
--> H = [um x x^2 x^3 x^4]; // matriz 5x5 
--> A = H\y; // solução do SL HA = y usando barra invertida 
 
 
 
 
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QUESTÃO 3) A temperatura de uma chapa metálica varia conforme o tempo segundo a tabela a seguir. 
 
Temperatura (oC) 3,8 4,1 5,2 6,1 7,2 
Tempo (seg) 1,2 1,4 1,5 1,8 2,0 
 
Dê o valor aproximado da temperatura (y) após passar 1,52 segundo, usando o polinômio de Lagrange com 
todos os pontos da tabela. Resp: Y = -16.354244 
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QUESTÃO 4) (Barroso, pag 203, modificado) A velocidade de som na água varia com a temperatura, 
conforme a tabela abaixo obtida experimentalmente. Usando todos os pontos da tabela e o polinômio 
interpolador de Newton determine: Resp a) Y = 1542.93925 b) 106.79018 
 
a) O valor aproximado da velocidade do som na água a 100 oC. 
b) O valor aproximado da temperatura da água se a velocidade do som for 1535 m/s. 
 
 
 
 
Temperatura 
oC 
Velocidade 
(m/s) 
86,0 1552 
93,3 1548 
98,9 1544 
104,4 1538 
110,0 1532 
 
 
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QUESTÃO 5) (Barroso, pag 197) Durante três dias consecutivos foi tomada a temperatura (em oC) numa 
região de uma cidade, por quatro vezes no período das 6 às 12 horas. Usando o polinômio de Gregory-
Newton de grau 4, determine a média das temperaturas dos três dias às 9 horas. Resp: 22,0208 
 
hora 
Dias 
1 2 3 
6 18 17 18 
8 20 20 21 
10 24 25 22 
12 28 27 23 
 
 
 
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QUESTÃO 6) (Barroso, pag 189, modificado) A figura abaixo mostra o esboço do leito de um rio. A partir de 
uma linha reta, próxima a uma das margens, foram medidas distâncias (em m) entre esta linha reta e as duas 
margens do rio, de 15 em 15 metros, a partir de um ponto tomado como origem. Tais dados foram registrados 
no quadro abaixo. Determine o valor aproximado da largura do rio (D) no ponto que dista 40 metros da 
origem tomado em linha reta. Escolha algum método interpolador. Resp: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 0 15 30 45 60 
Y (M1) 50,00 86,00 146,00 73,50 50,00 
Y(M2) 112,50 154,50 195,00 171,00 95,50 
 
0 15 30 40 45 60 X 
Y 
D 
M2 
M1