VA Matematica Financeira Aula 3 Tema 3

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Matemática Financeira
Prof. Esp. Leonardo T. Otsuka
Tema 3 – Valor Presente e Valor Futuro 
(Juros Compostos)
Valor Presente e Valor Futuro
• Para compreender qualquer conceito que
envolva juros compostos, inicialmente é
preciso que se tenha uma clara definição
de Valor Presente e de Valor Futuro.
(GIMENES, 2012, p. 69)
• Portanto, vamos resolver vários exercícios
de juros compostos, através da fórmula:
Terminologia
• PV (Present Value) – Valor Presente é o
valor inicial de uma operação,
representado no instante “zero”. Valor
Atual, Principal ou Capital.
• FV (Future Value) – Valor Futuro é um
valor que é representado num momento
futuro. Pode ser chamado de Montante
ou Capital + Juros.
• FV= PV + J.
Terminologia
• J (Juros) – Representam a remuneração
do Capital empregado em alguma atividade
produtiva; R$.
• i (interest rate) Taxa de Juros – A taxa
de juros indica qual remuneração será
paga ao dinheiro emprestado, para um
determinado período. Ex.: 1,5% ao mês.
• n – número de períodos na operação.
É o prazo, o tempo.
Tempo Utilizado: Ano Comercial
• Um ano possui 360 dias.
• Um mês possui 30 dias.
Calculadora Científica – Casio Fx-82ms
Fonte: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Casio_fx-82MS.jpg?uselang=pt-br
• O Caderno de Atividades
(Tema 3), possui um
passo-a-passo de como
configurar e utilizar esta
calculadora.
Exemplo 1
Você tomou emprestado de um banco o valor
de R$ 5.000,00 que serão pagos em 12
meses. A taxa de juros compostos cobrada
pelo banco é de 2,5% ao mês. Calcule o
montante a ser pago ao banco.
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
PV = 5000
n = 12 meses
i = 2,5% ao mês
i = 2,5/100 = 0,025
FV = ?
Exemplo 1 – Resolução pela HP 12C
PV = 5000
n = 12 meses
i = 2,5% ao mês
FV = ?
FV
PV5 000
n12
=-6.724,44
i2,5
f Clx
Aceita %, não 
precisa dividir 
por 100.
Exemplo 2
Você tomou emprestado de um banco o valor
de R$ 10.000,00 e que serão pagos em 5
anos. A taxa de juros compostos cobrada pelo
banco é de 1,5% ao mês. Calcule o montante
a ser pago ao banco.
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
Verificar se o “n” e o “i” estão no mesmo
período de tempo:
PV = 10000
n = 5 anos
i = 1,5% ao mês
FV = ?
5 anos x 12 = 60 meses
1,5 / 100 = 0,015
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
PV = 10000
n = 60 meses
i = 0,015
FV = ?
Exemplo 3
Seu irmão lhe emprestou certa quantia há 8
meses. Se a taxa contratada foi de 3,5% a.m.,
qual o valor presente desse empréstimo se
hoje você deve R$ 5.000,00? (GIMENES,
2012, p. 81, adaptado)
Exemplo 3 – Resolução pela Fórmula
n = 8 meses
i = 3,5% a.m.
i = 3,5/100 = 0,035
FV = 5000
PV = ?
Exemplo 3 – Resolução pela HP 12C
n = 8 meses
i = 3,5% a.m.
FV = 5000
PV = ?
PV
FV5 000
n8
=-3.797,06
i3,5
f Clx
Cálculo do Prazo (n) e da Taxa de
Juros (i) – (Juros Compostos)
Continuando
Cálculo do Prazo (n) e da Taxa de 
Juros (i) – Juros Compostos
• Agora vamos ver como é o cálculo do prazo
e da taxa de juros no regime de juros
compostos.
• O desafio matemático é maior, pois envolve
a utilização de propriedades de Radiciação
e Logaritmo.
Fórmulas – Cálculo do Prazo (n)
O ln é o logaritmo natural
é o logaritmo na base 10
(log).
Obs.: As operações de logaritmo na
calculadora científica, ver Tema 3 (CA).
Fórmulas – Cálculo da Taxa de Juros 
(i)
ou
Exemplo 1
Você aplicou R$ 1.000,00 a uma taxa de 10%
a.m. Depois de algum tempo, o valor
disponível para resgate era de R$ 1.610,51.
Qual o tempo dessa aplicação? (GIMENES,
2012, p.86).
Revisão de matemática básica:
= n.log a
= 2.log 5
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
PV = 1000
i = 10% a.m.
i = 10/100 = 0,10
FV = 1610,51
n = ?
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
PV = 1000
i = 10% a.m.
i = 10/100 = 0,10
FV = 1610,51
n = ?
Exemplo 1 – Resolução pela Fórmula
Exemplo 1 – Resolução pela HP 12C
PV = 1000
i = 10% a.m.
FV = 1610,51
n = ?
n
PV1 000
i10
=5 meses
f Clx
CHS1610,51 FV
Exemplo 2
A que taxa mensal o valor de R$ 1.500,00
deve ser aplicado por 18 meses para que o
valor de resgate seja de R$ 2.540,35?
(GIMENES, 2012, p.91)
Revisão de matemática básica:
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
i = ? mensal
PV = 1500
n = 18 meses
FV = 2540,35
Exemplo 2 – Resolução pela Fórmula
i = ? mensal
PV = 1500
n = 18 meses
FV = 2540,35
Exemplo 2 – Resolução pela HP 12C
i = ? mensal
PV = 1500
n = 18 meses
FV = 2540,35
• A HP12C já mostra o resultado em %,
portanto não é necessário multiplicar por
100.
i
PV1 500
n18
=2,97% a.m.
f Clx
CHS2540,35 FV
Valor Presente e Valor Futuro (Juros
Compostos)
Agora é a sua vez
Exercício 1
Você deve deixar R$ 1.400,00 aplicados por
36 meses. Se a taxa de juros for de 6,4% ao
semestre, quanto você resgatará ao final do
período? (GIMENES, 2012, p. 77)
Exercício 1 – Resolução pela Fórmula
PV = 1400
n = 36 meses
i = 6,4% ao semestre
FV = ?
/ 6 meses = 6 semestres
/ 100 = 0,064
Exercício 1 – Resolução pela HP12C
PV = 1400
n = 6 semestres
i = 6,4% a.s.
FV = ?
FV
PV1 400
n6
=-2.031,32
i6,4
f Clx
Exercício 2
Um renomado banco remunerou uma
aplicação que você efetuou à taxa de juros de
1,60% ao mês. Após 8 meses, você resgatou
R$ 6.300,00. Calcule o valor aplicado.
(GIMENES, 2012, p. 81)
Exercício 2 – Resolução pela Fórmula
i = 1,60% a.m.
i = 1,6/100 = 0,016
n = 8 meses
FV = 6.300,00
PV = ?
Exercício 2 – Resolução pela HP 12C
i = 1,60% a.m.
n = 8 meses
FV = 6.300,00
PV = ?
PV
FV6 300
n8
=-5.548,69
i1,6
f Clx
Exercício 3
Uma aplicação de R$ 20.000,00 rendeu R$
5.000,00 de juros. Determine o tempo que
esse capital ficou aplicado à taxa de 6% ao
trimestre. (GIMENES, 2012, p. 86)
Exercício 3 – Resolução pela Fórmula
PV = 20.000
J = 5.000
FV = PV+J
FV = 25.000
i = 6% a.t.
i = 6/100 = 0,06
n = ?
Exercício 3 – Resolução pela Fórmula
Exercício 3 – Resolução pela HP 12C
PV = 20.000
J = 5.000
FV = PV+J
FV = 25.000
i = 6% a.t.
n = ? n
PV20 000
= 4 trimestres
i6
f Clx
CHS25 000 FV
A HP 12C não está programada para
achar o prazo (n) nos juros compostos.
Exercício 4
O saldo final de uma aplicação de R$ 800,00 é
de R$ 1.200,00 após 7 meses. Calcule a taxa
de juros dessa aplicação. (GIMENES, 2012, p.
90)
Exercício 4 – Resolução pela Fórmula
PV = 800
FV = 1200
n = 7 meses
i = ?
Exercício 4 – Resolução pela HP 12C
PV = 800
FV = 1200
n = 7 meses
i = ?
i
PV800
n7
=5,96% a.m.
f Clx
CHS1 200 FV
Valor Presente e Valor Futuro (Juros
Compostos)
Finalizando
Valor Presente e Valor Futuro
• Neste tema aprendemos como utilizar a
fórmula dos Juros Compostos:
• Iniciamos com o cálculo do Valor Futuro
(FV) e depois do Valor Presente (PV).
• O desafio matemático acontece quando
efetuamos o cálculo do prazo (n) e da taxa
de juros (i).
Outras fórmulas
• Para o cálculos do prazo “n” utilizamos a
seguinte fórmula:
• Para o cálculo da taxa de juros:
Valor Presente e Valor Futuro
• As aplicações práticas são inúmeras.
• Os Juros compostos são utilizados para
calcular FV, PV, n, i.
• Vai depender do aluno a escolha das
ferramentas adequadas para atingir um
objetivo.
• Alguns optaram pela HP12C, outros pela
Calculadora Científica.
Valor Presente e Valor Futuro
• Atentar, antes de iniciar os cálculos, a
sempre fazermos a seguinte pergunta:
• O “n” e o “i” estão no mesmo período de
tempo?
• Caso negativo, os acertos deverão ser
feitos.
• Priorize a alteração do “n”, pois não
devemos alterar o “i” nos juros compostos
(por enquanto).
Terminologia
• PV (PresentValue) – Valor Presente é o
valor inicial de uma operação,
representado no instante “zero”. Valor
Atual, Principal ou Capital.
• FV (Future Value) – Valor Futuro é um
valor que é representado num momento
futuro. Pode ser chamado de Montante
ou Capital + Juros.
• FV= PV + J.
Terminologia
• J (Juros) – Representam a remuneração
do Capital empregado em alguma atividade
produtiva; R$.
• i (interest rate) Taxa de Juros – A taxa
de juros indica qual remuneração será
paga ao dinheiro emprestado, para um
determinado período. Ex.: 1,5% ao mês.
• n – número de períodos na operação.
É o prazo, o tempo.
Tempo Utilizado: Ano Comercial
• Um ano possui 360 dias.
• Um mês possui 30 dias.
Coleta de Dados
• Antes de iniciar a resolução, é muito
importante que você faça a coleta de
dados.
• A coleta de dados vai te dar uma visão
geral da situação e evita os erros.
• Vamos ver no exemplo a seguir a
importância da coleta de dados:
Exemplo de Cálculo do FV 
Importância da Coleta de Dados 
Se você aplicar R$ 8.000,00 hoje à taxa de
juros compostos de 2% ao mês, quanto terá
disponível daqui 1 ano? (GIMENES, 2012, p.
76, adaptado.)
Exemplo de Cálculo do FV 
PV = 8000
i = 2% a.m.
n = 1 ano
n = 12 meses
FV = ?
/100 = 0,02
Exemplo de Cálculo do FV 
PV = 8000
i = 2% a.m.
n = 1 ano
n = 12meses
FV = ? FV
PV8 000
n12
=-10.145,93
i2
f Clx
Exemplo de Cálculo do PV
Se a taxa de aplicação é de 1,5% a.m.,
determine o valor que deve ser aplicado para
que se resgatem R$ 400.000,00 após 10
anos.
Exemplo de Cálculo do PV
Coleta de Dados:
i = 1,5% a.m.
PV = ?
FV = 400.000
n = 10 anos
n = 10.12 = 120 meses
/100 = 0,015
Exemplo de Cálculo do PV
Como Estudar Matemática Financeira?
• É necessário bastante treino.
• Para saber se você realmente sabe, tente
fazer os exercícios sem olhar resolução.
• Consulte seu PLT.
Referências
• GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática
financeira com HP12C e Excel. São Paulo:
Pearson Education, 2012. Pearson – PLT –
Programa do Livro-Texto.
• Caderno de Atividades.