Filas 17 2 3

Prévia do material em texto

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I 
T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 3 
S e g u n d a f e i r a , 1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 7 
 
 
Professores Fernando Lemos e Lorí V ia l i 
01. Os clientes chegam a um banco, em média, a cada 40 segundos. O banco tem dois caixas atendendo com 
a mesma eficiência e eles são capazes de atender, em média, um cliente em 1 minuto e 12 segundos. 
Considere que o tempo de atendimento é exponencial e as chegadas ocorrem de acordo com uma Poisson. 
Determine: 
(i) O número esperado de clientes no banco. 
(ii) O tempo médio, em minutos, que um cliente gasta na fila do banco. 
(iii) A fração de tempo que um caixa está ocupado. 
(iv) A probabilidade de que existir mais de 10 clientes na fila do banco. 
(v) A probabilidade de que um cliente gaste mais do que cinco minutos no banco. 
02. Estudantes chegam a um laboratório de computação de acordo com Exponencial de média igual 48 
segundos. Cada estudante gasta em média 18 minutos utilizando um computador e assume-se que este 
tempo seja, também, exponencialmente distribuído. O laboratório tem atualmente 24 computadores e 
os alunos têm reclamado que os tempos de espera são muito longos. 
(i) Calcule a probabilidade de um aluno chegar e encontrar um computador disponível. 
(ii) Determine o tamanho médio da fila e o tempo médio de espera. 
(iii) Quantos computadores o laboratório deveria ter, mantidos as taxas de acesso e utilização, para que 
o tempo de espera por um computador fique abaixo de um minuto? 
(iv) Determine a probabilidade de que um aluno tenha que esperar na fila por mais do que 25minutos. 
(v) Se dois computadores ficarem fora de operação (quebrarem) o que deve ocorrer com o sistema? 
Como você explica a situação? 
(vi) Determine qual seria o número de computadores necessários para que a probabilidade de que um 
aluno encontre um disponível seja maior do que 80%? 
03. Uma pequena cidade é atendida por duas empresas de tele-táxi, sendo que cada uma tem dois táxis e 
dividem o mercado igualmente. Os telefonemas chegam a central de cada empresa, em média, a cada 
7,5 minutos de acordo com uma Poisson. O tempo médio de cada corrida é de 12 minutos e segue um 
modelo exponencial. Um investidor comprou as duas empresas e tem interesse em consolidá-las em uma 
única central de atendimento. 
(i) Analise se a junção das duas empresas em uma só é vantajosa para o novo proprietário. Utilize como 
critério: o número médio de clientes esperando por um táxi, o tempo médio que um cliente espera 
por um táxi e a probabilidade de ter que esperar mais do que 5 minutos por um táxi. 
D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I 
T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 3 
S e g u n d a f e i r a , 1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 7 
 
 
Professores Fernando Lemos e Lorí V ia l i 
(ii) Se o tempo médio por viagem fosse de 13,5 minutos (ao invés de 12 minutos), qual das condições 
acima representaria o maior percentual de redução? 
(iii) Suponha que um cliente tenha disposição para esperar, em média, 3 minutos por um táxi, em quanto 
o tempo médio de cada corrida deveria ser reduzido para alcançar esse valor: (i) se as empresas 
atuarem separadamente? (b) se elas atuarem em conjunto? 
04. Um trailer de Xis tem três atendentes. Os clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson 
a cada 2 minutos e 30 segundos em média e são atendidos pelo primeiro servidor que estiver livre. O 
tempo que um atendente leva para fazer um Xis “ no capricho” é, em média, de 5 minutos e 37,50 
segundos. O trailer tem atualmente cinco vagas para esperar sentado. Como o lanche é bom e o preço 
também os clientes estão dispostos a fazer fila e esperar em pé caso necessário. 
(i) Determine o número lugares que o trailer deve ter, de modo que a probabilidade de que um cliente 
tenha que esperar em pé, seja de no máximo 0,05. 
(ii) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais de 10 minutos na fila para ser 
atendido. 
05. Um centro que trabalha com pessoas em crise é gerenciado por uma equipe de voluntários treinados que 
atendem telefonemas de pessoas depressivas. A experiência mostrou que à medida que o Natal se 
aproxima eles devem estar preparados para atender uma demanda crescente que chega a uma taxa de 
chamadas de uma a cada 10 minutos. Cada chamada requer aproximadamente 20 minutos de um 
atendente para acalmar e convencer a pessoa que ligou a não tomar nenhuma atitude impensada. No 
momento o centro está planejando ter 5 atendentes para dar conta da demanda de Natal. 
(i) Analise a situação do centro determinando as suas estatísticas básicas (L, Lq, Ls, W, Wq e Ws) e 
verificando se o número mínimo de atendentes voluntários planejado é suficiente para que o tempo 
médio, de espera de uma pessoa em crise que ligou, não supere 15 segundos. 
(ii) Qual é o desvio padrão do número de atendimentos. 
(iii) Qual seria o tempo médio de espera se o centro contar com seis voluntários. 
(iv) Se a taxa de chamadas aumentar para uma a cada 8 minutos, qual seria o número mínimo de 
atendentes para que o tempo de espera seja inferior a 5 segundos? 
06. O gerente de um banco observa que quando os seus três caixas estão ocupados e a fila é maior do que 
seis clientes, os clientes que chegam dão uma rápida olhada para a fila e deixam o estabelecimento, 
pensando em voltar em alguma outra ocasião ou mesmo trocam de banco em virtude da frustração. 
D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I 
T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 3 
S e g u n d a f e i r a , 1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 7 
 
 
Professores Fernando Lemos e Lorí V ia l i 
Assumindo que as chegadas ocorrem de acordo com uma Poisson, em média, a cada 105 segundos e que 
o tempo de atendimento é exponencial de média igual a cinco minutos, verifique o que é melhor para o 
gerente do banco: (i) contratar um novo caixa ou (ii) por intermédio de incentivos monetários persuadir 
os caixas atuais a trabalharem 20% mais rápido. O principal critério a ser considerado é minimizar a 
probabilidade de um cliente abandonar o banco em virtude do tamanho da fila. Um segundo critério a 
ser considerado é o tempo de espera para ser atendido. 
07. Bill First é o gerente geral da loja de departamentos Worthmore e estimou que cada hora que um cliente 
gasta na fila esperando ser atendido custa para a loja $10,00 em vendas perdidas e reputação. Os 
clientes chegam aos caixas a uma taxa de 30 por hora de acordo com uma Poisson e o tempo médio de 
serviço é de 3 minutos e 50,4 segundos de acordo com uma exponencial. O número de caixas pode ser 
dois ou três, com cada um trabalhando a mesma taxa. Bill estima que, entre salários e benefícios, cada 
caixa receba $15 por hora. A loja fica aberta 10 horas por dia. (i) Encontre o tempo médio de fila se 
dois ou três caixas forem utilizados. (ii) Qual é o número médio de clientes na loja se dois ou três caixas 
forem utilizados. (iii) Calcule o custo de espera diário total e o custo de serviço se dois ou três caixas 
forem utilizados. Qual é o custo diário mínimo? 
08. Uma empresa está planejando instalar um serviço de proteção de bagagens em um novo aeroporto. Ela 
traçou a norma de que uma pessoa não deve esperar mais do que 20% das vezes que ela tenta usar o 
serviço. A demanda de uso é estimada como sendo Poisson com uma média de 15 por hora. A tempo de 
serviço tem uma distribuição exponencial com uma média de 5 minutos por aparelho utilizado. Quantas 
aparelhos devem ser instalados? 
09. Deseja-se determinar o número ótimo decaixas em uma agência bancária. O custo do tempo que cada 
cliente “perde” esperando dentro da agência está estimado em $10/hora e o custo de um caixa é de 
$8/hora. Os clientes chegam a taxa média de 5/4 por minuto de acordo com uma Exponencial e um caixa 
podem atender, em média, 25 clientes por hora de acordo com uma Poisson. 
10. Uma empresa têxtil tem um grande número de teares semelhantes cuja taxa de quebras do fio é 
estimado em 60 por dia de serviço de 8 horas. Existem 3 funcionários para reparar os fios com cada 
um podendo reparar até 25 fios rompidos ao dia (i) Qual a probabilidade de que um funcionário esteja 
ocupado? (ii) Qual é a probabilidade que todas os funcionários estejam ociosos? (iii) Qual é o número 
médio de teares esperando para reparo? (iv) Qual é o número médio de teares sofrendo reparos? (v) 
Qual a probabilidade de se ter somente um funcionário ocioso? Dois funcionários? (vi) Qual é o número 
D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I 
T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 3 
S e g u n d a f e i r a , 1 6 d e o u t u b r o d e 2 0 1 7 
 
 
Professores Fernando Lemos e Lor í V ia l i 
esperado de funcionários ociosos? (vii) Qual é, em média, o tempo que um tear que teve o fio rompido 
fica parado? (viii) Qual é a perda diária, estimada, da companhia se cada tear parado tem um custo de 
R$30,00 a hora. 
A notação utilizada na teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns: 
λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo; 
µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo; 
L = número médio de clientes no sistema; Lq = número médio de clientes na fila; 
Ls = número médio de clientes sendo atendidos; 
W = tempo médio que o cliente fica no sistema; Wq = tempo médio que o cliente fica na fila; 
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido; 
W(t) = P(T > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema; 
Wq(t) = (Tq > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t na fila. 
Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little) 
L = λW Lq =λWq Ls = λWs 
O sistema M/M/s/GD/∞/∞ 
µ
λ
=ρ
s
 
1
1s
0i
si
0 )1(!s
)s(
!i
)s(
P
−
−
= 







∑ ρ−
ρ
+
ρ
= s..., 2, 1, j
!j
p)s(
p 0
j
j =
ρ
= 
µ
λ
+= qLL ρ−
ρ≥
=
1
)sj(P
Lq µ
λ
=Ls ... 2,s 1,s s, j
s!s
P)s(
p
sj
0
j
j ++=
ρ
=
−
 
µ
+
λ−µ
≥
=
λ
=
1
s
)sj(PL
W 
λ−µ
≥
=
λ
=
s
)sj(PL
W
q
q µ
=
1
Ws 
p
S
...p
S
S
p
S
S
p S 1210
121
−
+
−
+
−
+ 
)1(!s
P)s(
)sj(P 0
s
ρ−
ρ
=≥ 
(*) Se s - 1 = sρ, então 
)]1(tsexp[)sj(P)t(Wq ρ−µ−≥= 
Obs. O valor ρρρρ é denominado de taxa de ocupação do sistema. 
(*)
)s1s(
)]s1s(t(Exp1[
)sj(P1)t(Exp)t(W






ρ−−
ρ−−µ−−
≥+µ−=
]t)sj(P1[e)t(W t µ≥+= µ−