(20171113194011)Filas 17 2 4exercicios 3

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D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l I I 
T e o r i a d a s F i l a s - L i s t a d e E x e r c í c i o s : 0 4 
S e g u n d a f e i r a , 2 3 d e o u t u b r o d e 2 0 1 7 
 
 
Prof . Lor í V ia l i e prof . Fernando Lemos 
01. Uma estação de serviço é formada por um único servidor que pode atender um cliente em 10,5 minutos, 
em média. Os clientes chegam solicitando serviço a um intervalo médio de oito minutos e 24 segundos. A 
capacidade do sistema é de cinco clientes. 
(i) Qual a probabilidade de que o servidor esteja desocupado? 
(ii) Na média quantos clientes potenciais são perdidos por hora? 
(iii) Quanto tempo um cliente leva sendo atendido? 
(iv) Quanto tempo um cliente deve esperar, em média, para ser atendido? 
(v) Qual a probabilidade de que um cliente não seja atendido? 
02. Uma média de um carro a cada 96 segundos tenta utilizar o drive-in do restaurante Baita Rango. Se um 
total de oito carros estiverem na fila (incluindo o carro sendo atendido) um cliente não encontrará espaço 
na fila e irá procurar outro restaurante. Leva, em média, 210 segundos para que um cliente seja atendido. 
(i) Qual é o número médio horário de carros na fila? 
(ii) Eu recém entrei na fila. Quanto tempo vai levar até receber minha comida? 
(iii) Em um período de funcionamento diário de 12 horas, quantos clientes, em média, serão perdidos? 
(iv) Qual a probabilidade de que um cliente seja atendido? 
(v) O gerente sugeriu aumentar a capacidade da fila para diminuir significativamente a perda de clientes. 
Essa é uma medida eficaz para evitar a perda? Justifique. 
03. Um lava rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma distribuição 
de Poisson com um tempo médio de 8 minutos e podem esperar num estacionamento com cinco vagas 
disponíveis. Se o estacionamento estiver cheio os clientes que chegam desistem e procuram outro lava 
rápido. O tempo para lavar e limpar um carro segue uma distribuição exponencial, com uma média de sete 
minutos e 30 segundos. O proprietário quer determinar o impacto das vagas limitadas sobre a perda de 
clientes para a concorrência. Considerando essa situação, determine: 
(i) A probabilidade de que um carro que chega passe imediatamente à baia de lavagem. 
(ii) Tempo de espera estimado até o início do serviço. 
(iii) Número esperado de vagas vazias no estacionamento. 
(iv) A probabilidade de todas as vagas estarem ocupadas. 
(v) A taxa de utilização do servidor. 
04. Considere o lava rápido do exemplo anterior. (i) Determine o número de vagas que deve existir no 
estacionamento para que o percentual de carros perdidos para a concorrência fique o mais próximo 
possível de 5%. (ii) Neste caso, qual é o número médio de clientes perdidos para a concorrência, ao longo 
de um mês, considerando que o lava rápido trabalha doze horas por dia. 
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Prof . Lor í V ia l i e prof . Fernando Lemos 
05. A montagem de geradores elétricos na Electro é realizada à taxa de 10 unidades por hora de acordo 
com uma distribuição de Poisson. Em seguida, os geradores são transportados por uma esteira rolante 
até o departamento de inspeção para um teste final. A esteira pode transportar no máximo oito 
geradores. Um sensor eletrônico para automaticamente a esteira quando ela estiver cheia, o que impede 
que o departamento de montagem final monte mais unidades até haver espaço disponível. O tempo para 
inspecionar os geradores segue uma exponencial, com média de nove minutos. 
(i) Qual é a probabilidade do departamento de montagem final parar a produção? 
(ii) Qual é o número médio de geradores na esteira transportadora? 
06. Um serviço de engraxar sapatos em um aeroporto tem três cadeiras e um único atendente. Um cliente 
que chega e encontra uma cadeira livre e o atendente ocupado senta e espera pelo serviço. Os clientes 
potenciais que encontram as duas cadeiras ocupadas procuram outro serviço ou desistem. Supondo que 
a chegada dos clientes é uma exponencial com média de 6 minutos e que o tempo necessário para engraxar 
um sapato é exponencialmente distribuído com média de 8 minutos, determine: 
(i) O percentual de tempo que o atendente está ocupado. 
(ii) O número médio de clientes atendidos em um dia de 8 horas de trabalho. 
(iii) Qual o percentual de clientes que conseguem ter seus sapatos engraxados? 
(iv) Explique por que o aumento da capacidade em um modelo desse tipo aumenta a fila? 
07. Uma barbearia com um barbeiro tem seis cadeiras para acomodar fregueses esperando atendimento. 
Os fregueses que chegam quando as seis cadeiras estão cheias, vão embora sem esperar. Os fregueses 
chegam a taxa média de tres por hora e ficam em média 15 minutos na cadeira do barbeiro. 
(i) Qual a probabilidade de um freguês chegar e ir direto para a cadeira do barbeiro? 
(ii) Qual o no médio de fregueses esperando atendimento? 
(iii) Qual a taxa efetiva de clientes que são atendidos? 
(iv) Quanto tempo, em média, um freguês fica na barbearia? 
(v) Que percentual dos fregueses potenciais vai embora sem esperar atendimento? 
08. Em uma barbearia de um único barbeiro a taxa média de chegadas é de 3 fregueses por hora. A barbearia 
só tem lugar para acomodar 2 pessoas esperando e os eventuais fregueses que chegam quando o salão 
está cheio, não entram. O barbeiro é capaz de atender em média 2 fregueses por hora e cobra $7 por 
um corte de cabelo. Como muitos fregueses estão indo embora sem poderem ser atendidos, o barbeiro 
está pensando em mudar o seu método de trabalho. Após alguns estudos ele identificou 2 alternativas: 
(i) Trabalhar um pouco mais rápido do que atualmente, diminuindo um pouco a qualidade do corte de 
cabelo, mas diminuindo o preço do corte para $6 para evitar reclamações. Com esta alternativa a sua 
taxa de serviço média iria para 3 fregueses por hora. 
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Prof . Lor í V ia l i e prof . Fernando Lemos 
(ii) Trabalhar bem mais rápido do que atualmente, cobrando somente $5 por corte de cabelo pois haveria 
uma queda acentuada na qualidade. Neste caso sua taxa de serviço média passaria a 4 fregueses por 
hora. 
O barbeiro deseja fazer uma avaliação econômica entre a situação atual e as 2 alternativas estudadas. 
O tempo perdido pelos fregueses na fila de espera está estimado em $2/hora e como o serviço feito 
pelo barbeiro é muito cansativo, ao tempo que ele pode descansar (por não ter nenhum freguês 
esperando) foi atribuído o valor de $4/hora, ou seja, cada hora que ele descansa é como se tivesse 
ganho $4. Considerando que o dia tem 8 horas de trabalho, faça a análise econômica para o barbeiro. 
09. O setor de reclamações das lojas Tabajara possui capacidade para no máximo quatro clientes. Sabe-se 
que chega um cliente a cada 20 minutos para fazer uma reclamação e que há um único funcionário 
trabalhando no mesmo. Sabe-se também que esse funcionário leva em média 18 minutos para atender um 
cliente. 
(i) Qual a probabilidade do setor de reclamações ter apenas um cliente efetuando uma reclamação? 
(ii) Qual a probabilidade de que alguém que queira fazer uma reclamação tenha que esperar na fila? 
(iii) Determine o número esperado de clientes que não serão atendidos em um dia normal de 8 horas de 
trabalho do atendente. 
(iv) O gerente acha que o funcionário está fazendo corpo molee que ele poderia atender mais clientes 
em uma hora, de modo, a diminuir o número de clientes rejeitados e o tempo médio de espera na fila. 
Determine em quanto tempo um cliente deveria ser atendido para que tempo médio de espera na fila 
seja de no máximo 10 minutos. 
(v) Calcule o percentual de perda horário de clientes antes da sugestão do gerente e após a sugestão do 
mesmo, considerando que o funcionário consiga reduzir o seu tempo de atendimento. 
10. O escritório de uma empresa aérea tem um funcionário atendendo telefonemas para reserva de voos. 
Uma chamada pode ficar em espera até que o funcionário esteja disponível para atender. Se as 3 linhas 
disponíveis estiverem com clientes a chamada recebe o sinal de ocupado e a reserva é perdida. As 
chamadas ocorrem aleatoriamente (Poisson) a uma taxa média de uma a cada dois minutos e 24 segundos. 
A duração de cada ligação tem uma distribuição exponencial com uma média de 2 minutos. Determine: 
(i) Quantas chamadas serão perdidas ao longo de um período de 8 horas? 
(ii) A probabilidade de que uma chamada seja imediatamente atendida. 
(iii) O número de clientes efetivamente atendidos ao longo de uma hora. 
(iv) A probabilidade de que a chamada fique em espera. 
(v) A probabilidade de que chamada receba o sinal de ocupado. 
 
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Prof . Lor í V ia l i e prof . Fernando Lemos 
A notação utilizada na teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns: 
λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo; 
µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo; 
L = número médio de clientes no sistema; Lq = número médio de clientes na fila; 
Ls = número médio de clientes sendo atendidos; 
W = tempo médio que o cliente fica no sistema; Wq = tempo médio que o cliente fica na fila; 
Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido; 
P(T > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema; 
P(Tq > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t na fila. 
Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little) 
L = λW Lq =λWq Ls = λWs 
1p
0k
k =∑
∞
=
, onde pk = probabilidade de que existam k clientes no sistema. 
Sistema M/M/1/GD/c/∞ 
λc = λ(1 – pc) = µ(1 – p0) 
Aceitos no sistema ρ−
ρ−
=
+1c0 1
1
p 
ρ−
ρρ−
=
+1
1
1
c
j
j
)(
p se ρ ≠ 1 
)1)(1(
]c)1c(1[
L
1c
1cc
ρ−ρ−
ρ+ρ+−ρ
=
+
+
 LLL sq −= = L – 1 + p0 p1L 0s −= 
)p1(
L
W
c−λ
= 
)p(
L
WW
c
q
q
−λ
=
µ
−=
1
1
 µ
=
−λ
−
=
1
)p1(
LL
W
c
q
s 
Se λ = µ, isto é, ρ = 1 L = c/2 c ..., 1, 0, j
1c
1
pj =+
= 
ρs = λcWs = λ(1 – pc)Ws = ρ(1 – pc) = 1 – p0 
Taxa de utilização do servidor ou probabilidade de que ele esteja ocupado 
r = λpc 
Taxa de rejeitados pelo sistema