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Lista 1: A´lgebra Linear I
Ê Considere os seguintes sistemas de equac¸o˜es. Fac¸a operac¸o˜es de linha e
verifique se as duas matrizes sa˜o equivalentes. (possuem a mesma matriz
reduzida por filas)
a.
{
x− z = 0
y + 3z = 0,
and

−x + y + 4z = 0
x + 3y + 8z = 0
x + 2y + 5z = 0.
b.
{
x− y = 0
2x + y = 0,
and
{
3x + y = 0
x + y = 0.
Ë Considere as seguintes matrizes. Fac¸a operac¸o˜es de linha e verifique que
as duas matrizes na˜o sa˜o equivalentes. Por que?2 0 01 −1 0
1 −1 3
, and
 1 1 2−2 0 −1
1 3 5
.
Ì Encontre as soluc¸o˜es do sistema Ax = 0 se:
a. A =
3 −1 22 1 1
1 −3 0

b. A =

1 6 −18
−4 0 5
−3 6 −13
−7 6 −8

c. A =
 1 2 −1 5−4 0 2 −1
2 3 −3 1

Í Encontre todas as soluc¸o˜es, caso existam, do sistema Ax = b se:
A =

1 6 −18
−4 0 5
−3 6 −13
−7 6 −8
 and b =

1
0
−1
−2
 .
1
A =
 1 2 −1 5−4 0 2 −1
2 3 −3 1
 and b =
 10
−1
 .
Î Considere os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares.
x− y + 2z = 1
2x + 2z = 1
x− 3y + 4z = 2,

2x1 − 3x2 − 7x3 + 5x4 + 2x5 = −2
x1 − 2x2 − 4x3 + 3x4 + x5 = −2
2x1 − 4x3 + 2x4 + x5 = 3
x1 − 5x2 − 7x3 + 6x4 + 2x5 = −7.
Os sistemas possuem soluc¸a˜o? Caso afirmativo, encontre todas as soluc¸o˜es
do sistema.
Ï Explique por que o seguinte sistema na˜o possui soluc¸o˜es.
x− 2y + z + 2w = 1
x + y − z + w = 2
x + 7y − 5z − w = 3.
Ð Seja
A =
(
a b
c d
)
Use operac¸o˜es de linha para determinar que A e´ invert´ıvel so´ no caso em
que ad− cb 6= 0.
Ñ Quais das seguintes matrizes possuem inversa? Encontre-as.
(
2 −1
1 3
)
,
 9 −36 30−36 192 −180
30 −180 180
,
2 5 −14 −1 2
6 4 1
,

2 5 −1 1
4 0 2 −1
6 4 1 −2
−1 0 2 1
.
Ò Encontre as soluc¸o˜es dos sistemas:
a.

x− 2y + 2z + w = 1
x + y − z + 2w = 2
x + 7y − 5z − w = 3
2x− 3y + z − w = −1.
b.

2x + y + 2z + w = 0
x− y − z + 2w = −1
3x− 2y + 5z − w = 3
x− 3y − z − w = −1.
c.

x− 3y + 2z = 1
2x + y + z = 2
3x + y − 5z = −1
2