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Capítulo 13 Oscilações mecânicas Prof: José Luiz Fernandes Foureaux Apresentação 2 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Energia VIBRANDO em diferentes frequências dá origem às partículas elementares que constituem TUDO o que existe no universo! É o que diz a Teoria das cordas... (“A teoria das cordas é um modelo físico cujos blocos fundamentais são objetos extensos unidimensionais, semelhantes a uma corda, e não pontos sem dimensão (partículas), que eram a base da física tradicional.” - http://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_cordas) “O Om (ॐ) é o mantra mais importante do hinduísmo e outras religiões; é a vibração primordial que deu origem a tudo que existe. Estar em sintonia com este mantra e pratica-lo é estar cada vez mais próximo do Criador, da Fonte que Tudo é, Brahman.” (http://www.ladozen.com.br/textos/40) Vibração... Oscilação... Desde antigos textos religiosos, passando por teorias recentes da Física até chegar à tecnologia que nos cerca em nosso dia a dia (corrente alternada, rádio, televisão, celulares, internet, wifi, infravermelho, etc) vibrações se fazem presentes em nossa vida. Neste capítulo iniciamos o estudo deste assunto na Física. Sumário Seção 1: Introdução Seção 2: Movimento Harmônico Simples Seção 3: Oscilador massa-mola Seção 4: Pêndulo simples Seção 5: Pêndulo de torção Seção 6: Pêndulo físico Seção 7: Oscilações forçadas - Ressonância Seção 8: Composição de oscilações Seção 9: Considerações de energia 3 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Objetivos específicos Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 1. Definir a. movimento periódico b. oscilação c. período d. frequência e. elongação f. amplitude 2. Definir MHS 3. Descrever o MHS como projeção do MCU 4. Citar a equação do MHS 5. Calcular a. posição b. velocidade c. aceleração d. fase e. diferença de fase no MHS 4 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Objetivos específicos Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 6. Descrever as transformações de energia que ocorrem num corpo em MHS 7. Descrever o comportamento de um oscilador massa-mola 8. Citar a equação característica do oscilador massa-mola 9. Calcular os elementos envolvidos 10.Descrever as transformações de energia no oscilador massa-mola 11.Descrever o pendulo simples 12.Citar a equação que permite calcular o período do pendulo simples 13.Determinar a aceleração da gravidade com o pendulo simples 14.Descrever o experimento do pendulo de Foucault 15.Descrever a constituição e o funcionamento do pendulo de torção 16.Calcular o período do pendulo de torção 17.Usar o pendulo de torção para determinar o momento de inércia de um corpo 18.Conceituar pendulo físico 5 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Objetivos específicos Ao terminar o estudo deste capítulo você deverá ser capaz de: 19.Determinar a. período b. comprimento reduzido do pendulo físico 20.Explicar o que se entende por oscilações forçadas 21.Conceituar ressonância 22.Descrever como ocorre a ressonância entre 2 osciladores harmônicos 23.Citar as leis da ressonância 24.Descrever como o amortecimento afeta o MHS 25.Descrever como se dá a composição a. de um MHS com um MRU b. de 2 MHS de mesmo T, mesma A, em fase, c. com diferença de fase T/2, d. com A e fases diferentes 26.Explicar a. o que são b. quando ocorrem as figuras de Lissajous. 6 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pré-requisitos Antes de iniciar o estudo do atual capítulo você já deverá ser capaz de lidar satisfatoriamente com os seguintes assuntos: Capítulo 2: Medidas e unidades Capítulo 5: Representação gráfica de funções Capítulo 6: Cinemática escalar Capítulo 8: Vetores e Cinemática vetorial Capítulo 9: Relação entre força e movimento Capítulo 11: Trabalho e energia Funções trigonométricas (seno e coseno) Derivada das funções trigonométricas 7 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Introdução Relembrando o MCU 8 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Estado em que se acha um corpo que, após intervalos iguais de tempo, passa pelo mesmo ponto de sua trajetória com velocidade de mesma intensidade, mesma direção e mesmo sentido. Exemplos: MCU Movimento de um pêndulo Vibrações mecânicas: Lâmina, corda http://www.youtube.com/watch?v=4cmiFp0Iays (33 s) Introdução Movimento periódico 9 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilação Movimento periódico que se produz para um lado e para outro de uma posição de equilíbrio.. Exemplo: Massa de ar no interior de um tubo sonoro http://www.youtube.com/watch?v=T5o-SAHdlnI (41 s) Introdução 10 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Outros exemplos http://www.youtube.com/watch?v=VKtEzKcg6_s (8:17 ) Introdução 11 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Um exemplo final http://www.youtube.com/watch?v=RmeZnW8Nc_A (44 s) Introdução 12 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Prédios em Tóquio (Japão) durante um terremoto Período e frequência Período Tempo para descrever uma oscilação completa. Unidade SI: segundo (s) Frequência Número de oscilações descritas na unidade de tempo. Unidade SI: s-1 = hertz (Hz) A frequência de um movimento oscilatório é 1 Hz quando o objeto descreve 1 oscilação por segundo. 13 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Relação entre a frequência e o período 1 1 1 Tf T f f T T f 1 1 1 oscilação = período T f oscilações = 1 segundo 14 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Movimento Harmônico Simples MHS 15 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Conceitos de Trigonometria Revisão MHS Estado em que se acha um corpo que se desloca para um lado e para outro de uma posição de equilíbrio pela ação de uma força constantemente dirigida para a posição de equilíbrio e cuja intensidade é proporcional ao deslocamento do corpo. Posição de equilíbrio d 2d F 2F Ver simulação MHS Definição 16 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux O movimento de um ponto é MHS quando sua trajetória é uma reta e a equação do movimento é da forma ) 2 ( t T senAkx Onde k, A, T e Φ são constantes. (eq. 13.1) ) 2 cos( t T Akx (eq. 13.1) ou, o que, em se tratando de solução de equação diferencial, é a mesma coisa: MHS Outra definição 17 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux MHS como projeção do MCU Raios luminosos paralelos Sombra projetada A B C D E F G H K L M N O Enquanto o disco vermelho percorre a circunferência tracejada, descrevendo MCU, sua sombra percorre a reta KLMNO, descrevendo um MHS. Ver simulação MHS 18 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Elongação e amplitude Elongação De um corpo em MHS é a distância que separa o corpo da posição de equilíbrio (M) em um determinado instante. Por exemplo, MN na figura ao lado. Representaremos a elongação por “x”. Amplitude De um corpo em MHS éo maior valor da elongação. Por exemplo ME na figura ao lado. Representaremos a amplitude por “A”. I B D E F H M A N x MHS 19 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Raios luminosos paralelos B C D E F G H O O’ D’ D’’ α α x ) 2 ( 2 '''' . t T Asenx t T t senAx A x sen OD DO OD OD sen hipotenusa opostocateto sen (eq. 13.2) A equação do MHS MHS 20 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux x t A -A 4 T 2 T 4 3T T ) 2 ( t T Asenx Nos instantes t = 0, t = T/2 e t = T, 0) 2 ( t T sen e por isso x = 0. Nos instantes t = T/4 e 3T/4, 1) 2 ( t T sen e por isso x = ±A. Gráfico X x t MHS 21 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux ) 2 ( t T Asenx Lembre-se que o gráfico mostra COMO A POSIÇÃO VARIA COM O TEMPO. O gráfico NÃO É a trajetória do corpo! http://www.youtube.com/watch?v=Eq8XaVH3l1A 18 s Importante! MHS 22 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Um corpo descreve um MHS de amplitude A = 20 cm e período T = 10 s. a) Qual a posição do corpo no instante t = 0 s? b) Qual a posição do corpo no instante t = 10 s? c) Em que instante o corpo passa pela posição x = -20 cm? ) 2 ( t T senAx cmxsensenx 0020020)0 10 2 (20 cmxsensenx 0020)2(20)10 10 2 (20 sttttarcsen tsentsentsen 5,7 2 155 2 3 2 3 52 3 )1( 1) 5 () 10 2 ( 20 20 ) 10 2 (2020 a) b) c) Exercício 1 MHS 23 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux t = 7,5 O período (tempo para uma oscilação completa) é T = 10 s. A = 20 cm A = 20 cm t = 0 t = 2,5 t = 5 t = 10 x = 20 x = -20 x = 0 Exercício 1 – o porque da resposta MHS Posição inicial Posição final 24 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux A B C D E F G H O O’ D’ D’’ α α α V VX VX ) 2 cos( 2 2 )cos( cos cos t T A T V T tAV t AV VV AVAR RV x x x x Para o círculo vermelho: Essa velocidade é a velocidade do corpo em MHS Velocidade MHS (eq. 13.3) 25 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux ) 2 cos( 2 2 )cos( ))(( )( t T A T v T tAv tsenA dt d v dt dx v tsenAx (eq. 13.3) Outra maneira de deduzir a equação da velocidade MHS 26 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 22 2222222 22222 2 222 222 2 2 22 2 22 2 2 2 22 )()( 11 1cos xAV xAVxAV xAV A Ax AV A x A V A V A x sen (eq. 13.4) Da equação da posição vem: Da equação da velocidade vem: A x tsentsenAxt T senAx )()() 2 ( A V ttAV )cos()cos( Como tem-se: Velocidade em função da elongação MHS 27 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Qual será a velocidade do corpo do exercício anterior (A = 20 cm e T = 10 s) nos instantes t = 0 s, t = 2,5 s e t = 5 s? ) 2 cos( 2 t T A T v Exercício 2 MHS 414)0cos(4)0 10 2 cos(20 10 2 v t= 0 s: m/s 004) 2 cos(4)5,2 10 2 cos(20 10 2 vt= 2,5 s: m/s 4)1(4)cos(4)5 10 2 cos(20 10 2 v t= 5 s: m/s 28 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux ) 2 cos( 2 t T A T v t = 7,5 A = 20 cm A = 20 cm t = 0 t = 2,5 t = 5 t = 10 x = 20 x = -20 x = 0 Ponto de partida Velocidade (V>0) diminui Velocidade (V<0) aumenta Velocidade (V < 0) diminui Velocidade (V>0) aumenta Movimento inverte V = 0 Movimento inverte V = 0 Velocidade máxima Exercício 2 – o porque da resposta MHS 29 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux A B C D E F G H O O’ D’ D’’ α α aC ax xa senAx senAaAa senaa a a sen x xc cx c x 2 22 Como a variação da elongação é sempre oposta à velocidade (x diminui quando Vx aumenta e vice- versa) “x” e “ω” têm sinais contrários. Por isso xax 2 Aceleração MHS (eq. 13.5) 30 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux xa xtsenA tsenAa tsenA dt dv a tAv 2 2 )( )( )()( )cos( Como (Eq. 13-5) Outra maneira de deduzir a equação da aceleração MHS 31 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux A B C D E F G H O O’ D’ D’’ α α aC ax Pela segunda lei de Newton a força resultante é proporcional à aceleração e tem a mesma direção e sentido que ela, logo: xmF xmF amF amF x x xx 2 2 )( A força “Fx” é proporcional à elongação “x” e sempre dirigida para a posição de equilíbrio. (Eq.13-6) Força MHS 32 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Raios luminosos paralelos A B C D E F G H O D’’ α x No MCU “fase” é o ângulo “α” que o raio vetor do ponto faz com o eixo tomado como referência. Considerando o MHS da sombra do ponto, desse ângulo dependerá o “estado de movimento” da sombra, ou seja, a posição que ela ocupa e o sinal de sua velocidade. Como t T t 2 é a fase do MHS. (Eq. 13-7) Fase MHS 33 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Se dois MHS têm mesmo período “T”, eles são “síncronos”. Se eles começam juntos eles estão “em fase”, ou “em concordância de fase”. Se não começam juntos, existe entre eles uma “defasagem”, ou “diferença de fase”. A “diferença de fase” é o atraso (ou adiantamento) de um movimento em relação ao outro. 1 2 1 1 2 1 1 1 )cos( )( xmF xa tAv tsenAx 2 2 2 2 2 2 2 2 )cos( )( xmF xa tAv tsenAx Ver simulação Diferença de fase MHS 34 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilador massa-mola 35 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux http://pt.wikipedia. org/wiki/Oscilador_ harm%C3%B4nico A força restauradora (resultante) é dada pela lei de Hooke: A equação do oscilador massa-mola fica: XkF 0 2 2 kX dt xd m )cos( tAx (Eq. 13.8) (Eq. 13.9) Equação do OMM e sua solução Oscilador massa-mola 36 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações- prof. Foureaux Funções matemáticas periódicas para as quais a derivada segunda é a própria função com o sinal trocado são o seno e o coseno. Por isso a solução da equação acima é Ver simulação A velocidade é )( tAsenV dt dx v e a aceleração )cos(2 2 2 tAa dt xd dt dV a (Eq. 13.10) (Eq. 13.11) Velocidade e aceleração Oscilador massa-mola 37 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux k m TT m k m k tA m k tA x m k akxamkxF 2 2 )cos()cos( . 2 2 Substituindo a expressão da aceleração na lei de Hooke: (Eq. 13.12) (Eq. 13.13) Outras relações Oscilador massa-mola 38 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux f TT m k f T f 2 1 2 2 2 11 (Eq. 13.14) (Eq. 13.15) Outras relações Oscilador massa-mola 39 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilador_arm%C3%B3nico Para saber mais Um corpo oscila com MHS de acordo com a equação ) 3 3cos(6 tx m Quais são, no instante t = 2 s: a) A elongação b) A velocidade c) A aceleração Achar também: d) A fase inicial e) A pulsação f) O período do movimento mx 35,06) 3 19 cos(6) 3 23cos(6 s m sensenV 39) 3 19 (18) 3 23(63 2 222 273)3( s m xa rad 3 s rad 3 sT T 67,0 3 222 Fonte: Física – Resnick.Halliday – parte 1 – cap. 15 – prob. 3 Exercício 3 Oscilador massa-mola 40 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Quando forças de resistência (atrito) estão presentes, o movimento é amortecido. A força de resistência geralmente é proporcional à velocidade (FR = b x V, onde “b” é uma constante), e SEMPRE SE OPÕE AO MOVIMENTO! A força de resistência atua simultâneamente com a força restauradora (que SEMPRE APONTA PARA A POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO): FR FR Movimento Harmônico amortecido Oscilador massa-mola 41 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux A equação do movimento fica )'(2 tseneAx t m b (Eq. 13.16) Nessa equação: “X” é a elongação “A” é a amplitude (sem amortecimento) “e” é a base dos logaritmos naturais (e = 2,71828...) “b” depende do atrito e caracteriza o amortecimento “m” é a massa do corpo “ω’ ” é a pulsação “t” é o tempo Θ é a fase inicial 0 2 2 2 2 kX dt dX b dt Xd m kX dt dX b dt Xd mXkVbamamF Movimento Harmônico amortecido - Equação Oscilador massa-mola 42 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Se “b” é pequeno a solução é: Comparando a equação com a equação do MHS )( tsenAx é fácil perceber que a amplitude do movimento amortecido t m b eAA 2' diminui à medida que o tempo aumenta, tendendo para 0. A frequência natural do sistema, ω’, também diminui: 2) 2 (' m b m k e o período (T = 1/f ) aumenta. Se “b” for grande a solução não vale. O corpo não oscila. (Eq. 13.17) (Eq. 13.18) Movimento Harmônico amortecido – Análise da equação Oscilador massa-mola A Matemática permite prever que o oscilador irá parar! 43 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux )'(2 tseneAx t m b http://www.youtube.com/watch?v=7NBlrmSx4EU (33 s) http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream /handle/mec/10642/amortecido.swf?sequence=1 Versão original (em Flash) Comparação MHS com MHA Oscilador massa-mola 44 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Supercrítico As duas forças se equivalem. O amortecimento fica entre os dois anteriores. Amortecimento crítico. subcrítico Supercrítico crítico Ver simulação Força restauradora x força de atrito Oscilador massa-mola Como o corpo irá se mover depende da relação entre a força restauradora (força que faz o corpo voltar para a posição de equilíbrio – é a responsável pela oscilação) e a força de atrito. Três situações podem ocorrer: A força restauradora tem mais influência que o atrito – amortecimento fraco ou subcrítico. A amplitude diminui gradativamente até o corpo parar. A força de atrito prevalece sobre a força restauradora. Não há oscilação e o corpo tende lentamente para a posição de equilíbrio. Amortecimento forte ou supercrítico. 45 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo simples 46 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux http://es.wikipedia.org/ wiki/P%C3%A9ndulo Pêndulo Relógio de pendulo O nome vem do latim “pendulus” = pendente. Existem muitos tipos... Pêndulos usados no Esoterismo Metrônomo Pêndulo de Newton 47 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo simples ou pêndulo matemático Corpo de massa “m” e tamanho desprezível (massa puntiforme) suspenso por um fio inextensível e sem massa a um ponto fixo “O”, chamado centro de suspensão. A distância entre “m” e “O” é o comprimento “L” do pendulo. m L O 48 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo simples em repouso P As forças que atuam sobre o corpo são o peso (P = m.g) e a tração do fio. Como T = P a resultante é zero. Essa posição é chamada “posição de equilíbrio” do pêndulo. Na posição de equilíbrio o prumo indica a direção vertical. (O que é vertical de um lugar? Por que o prumo mostra a vertical?) T É o “fio de prumo” do pedreiro. 49 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Escolhendo o eixo y na direção do fio, e o eixo x tangente ao arco descrito pelo pêndulo, o peso pode ser decomposto em 2 componentes: • A radial, N, igual à tensão no fio, responsável pela mudança da direção da velocidade, • A tangencial, F, que é a força restauradora, sempre dirigida para a posição de equilíbrio. Para valores pequenos de Ө (medido em rad!) podemos fazer senӨ = Ө. A força F fica proporcional ao deslocamento e o movimento pode ser considerado MHS. PF ~Posição de equilíbrio A B C P F θ θ P F θ θ N N T T cos PTN (Eq. 13.19) http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo Animação copiada de Pêndulo simples oscilando senPF 50 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Sendo MHS, as equações são as mesmas anteriores, em “formato” angular, ou seja: )(max tsen )cos(max tV dt d v 2max2 )( atsen dt dv a (Eq. 13.20) (Eq. 13.21) (Eq. 13.22) Pêndulo simples oscilando As mesmas equações do MHS 51 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Lei do isocronismo das pequenas oscilações Para oscilações de pequena amplitude (<5º) o período de oscilação é constante e independente da amplitude. g L T 2 Essa lei foi descoberta por Galileu Galilei por volta de 1640. Ver simulação (Eq. 13.23) O valor do período é dado por Pêndulo simples Para pêndulos de mesmo comprimento, situados no mesmo local, a duração da oscilação independe da massa e da substância de que o pendulo é feito. 52 Curso de Física - capítulo13 - Oscilações - prof. Foureaux g L T mg mL L mg m T 2 22 Dedução da equação do período x L mg P L x mgP L x mgP sen mgP mgsenP mgP xx x y x cos P PX PY Ө (só quando Ө é pequeno!) O período do oscilador harmônico é k m T 2 (A força não é proporcional ao deslocamento. O movimento não é MHS!) (O movimento passou a ser MHS! O pêndulo é um OHS) Por isso a massa não influi! Pêndulo simples (Tipo F = k.X) (Eq. 13.23) 53 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Em 1656 o holandês Christian Huyghens construiu o primeiro relógio de pêndulo. Isso melhorou a precisão na medida do tempo de 15 minutos por dia para 15 segundos por dia, com inúmeras conseqüências. O relógio de pendulo passou por sucessivos melhoramentos, desde o uso da ciclóide para tornar o período realmente independente da amplitude, o mecanismo de escape de âncora, artifícios para tornar o período independente da temperatura (dilatação térmica), etc. Foi o dispositivo mais preciso para se medir tempo até a 2ª guerra mundial, só foi superado após a invenção (em 1927) do oscilador controlado a cristal de quartzo. Aplicação: Medição do tempo Pêndulo simples 54 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Quem pela primeira vez sugeriu que o pêndulo poderia ser usado para medir a força da gravidade foi Robert Hooke, em 1666. Em 1671 Jean Richer descobriu que um relógio de pêndulo atrasava 2 minutos e meio por dia quando levado de Paris para Caiena. Issac Newton mostrou em 1687 que isso acontecia por que a Terra não é uma esfera perfeita, sendo achatada nos pólos por causa da força centrípeta, e que por isso a gravidade aumenta com a latitude. Isso fez com que o pendulo passasse a ser usado como gravímetro de precisão, e resultou em diversos modelos para a forma da Terra. Usando um pêndulo simples a aceleração da gravidade pode ser calculada por 2 24 T L g (Eq. 13.24) Aplicação: Gravimetria Pêndulo simples 55 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux O experimento de Foucault fundamenta-se no fato de que o plano de oscilação do pêndulo permanece constante no espaço. O tempo para uma volta completa é onde q é a latitude. No polo t é 24 h, no equador t é infinito. O experimento foi realizado em 1851. A massa do pêndulo era 28 kg, tinha 67 m de comprimento , período de 17 s. Em 1 h o plano de oscilação girou 11º, e em 32 h completaria a circunferência (oscilou durante 6 h) Jean Bernard Léon Foucault(1819-1868). Além do experimento com o pêndulo propôs um método para medir a velocidade da luz, descobriu as “correntes de Foucault” no eletromagnetismo e inventou o giroscópio (1852). Uma das crateras da Lua tem o seu nome. Demonstração experimental da rotação da Terra Pêndulo simples 56 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux )( 24 qsen t Pêndulo de Foucault – Museu de Valencia http://www.youtube.com/watch?v=fv_FD5lCwUA Pêndulo simples 57 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 4 Qual é o comprimento de um pêndulo que “bate o segundo” (o período T = 1 s) num local onde g = 9,8 m/s2 ? mL L gT L g L T g L T 25,0 4,39 8,9 )14,3(4 8,91 4 42 2 2 2 22 g L T 2 Pêndulo simples 58 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Um pendulo está suspenso no teto de um elevador parado e seu período é determinado. Descreva as mudanças do período, se houver, quando: a) O elevador acelera para cima b) O elevador acelera para baixo c) O elevador se move com velocidade constante. g L T 2 ).(.... gamTgmamTgmTam a) Aceleração > g. T diminui (pêndulo oscila mais rápido) ).(.... agmTamgmTTgmam b) Aceleração < g. T aumenta (pêndulo mais lento) gmTam .0. c) Aceleração = g. T não varia. 59 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 5 Pêndulo simples Um homem trabalha numa torre muito alta e precisa saber sua altura. Ele observa que um pêndulo longo se estende do teto até o chão e o seu período é 12 s. Qual a altura da torre? mL L gT L g L T g L T 8,35 4,39 2,1411 )14,3(4 8,9)12( 4 42 2 2 2 2 22 60 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 6 Pêndulo simples g L T 2 (UFRS) A figura a seguir representa seis pêndulos simples, que estão oscilando num mesmo local. O pêndulo P executa uma oscilação completa em 2 s. Qual dos outros pêndulos executa uma oscilação completa em 1 s? mL L gT L g L T g L T 25,0 4,39 8,9 )14,3(4 8,91 4 42 2 2 2 22 61 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 7 Pêndulo simples g L T 2 Pêndulo de torção 62 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux (http://scienceblogs.com.br/caderno/) Ver simulação Consiste de um fio de seção reta circular suspenso verticalmente, com a extremidade superior fixa e a extremidade inferior presa a um corpo de momento de inércia conhecido I k k I T 2 Frequência angular Período K – coeficiente de torção do fio I – momento de inércia (Eq. 13.25) (Eq. 13.26) m k Para comparar Oscilador massa-mola Conhecido “k” e medido “T” pode-se determinar experimentalmente “I” para qualquer corpo! 63 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo de torção Coeficiente de torção e momentos de inércia L D Gk 4 32 D – diâmetro da haste L – comprimento G – Módulo de rigidez (ou de elasticidade) 2 2MR I 12 2ML I 5 2 2MR I Momento de inércia de um cilindro maciço em torno do eixo do cilindro Momento de inércia de uma vareta delgada em torno da perpendicular ao eixo (ponto médio) Momento de inércia de uma esfera maciça em torno de qualquer diametro (Eq. 13.27) 64 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo de torção Pêndulo físico 65 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Pêndulo físico ou pêndulo composto Qualquer corpo rígido capaz de oscilar num plano vertical em torno de algum eixo que passe por ele. O período, para oscilações de pequena amplitude é Mgd I T 2 onde: I = momento de inércia do corpo M = massa do corpo g = aceleração da gravidade d = distância do centro de massa ao eixo de oscilação A posição de equilíbrio é aquela em que a vertical que passa pelo centro de massa passa pelo eixo. (Eq. 13.28) 66 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilações forçadas Ressonância 67 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilações livres e oscilações forçadas Oscilação livre é aquela que ocorre quando o corpo é afastado da posição de equilíbrio e solto, deixado sob a ação da força restauradora (e de eventual força de amortecimento). Oscilação forçada é aquela que tem lugar quando uma força oscilatória externa atua. Como o corpo irá responder depende da relação entre sua frequência natural deoscilação e a frequência da força. Admitindo que sobre um corpo capaz de oscilar atue uma força restauradora Frest = -kx, uma força amortecedora Famort = -bv, e uma força oscilatória Fosc = Fm cos(ω’’.t), onde Fm é o valor máximo da força externa e ω’’ a frequência angular, tem-se: )''cos( 2 2 tF dt dx bkx dt xd m m 68 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Quando as duas frequências ω’’ e ω são muito diferentes, o fator “G” é grande e a elongação resultante é pequena. Quando as frequências ω’’ e ω tem valores próximos, “G” e pequeno e a elongação aumenta. Quando as duas frequências são quase iguais a elongação atinge um valor máximo. O fenômeno é chamado ressonância, e a frequência ω’’ recebe o nome de frequência de ressonância. Quem limita a elongação, nesse caso, passa a ser o atrito. Se este for pequeno, a elongação atinge valores muito altos, podendo originar situações perigosas. )''( tsen G F x m 222222 '')''( bmG G b '' arccos 69 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux ω = frequência natural do oscilador ω’’ = frequência da força Oscilações livres e oscilações forçadas Ressonância http://www.youtube.com/watch?v=tnS 0SYF4pYE (24s) http://www.youtube.com/watch?v=LV_UuzEznHs (3:43) 70 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilações livres e oscilações forçadas Frequência natural de oscilação e ressonância Ressonância pode significar perigo! http://www.youtube.com/watch?v=3CMlXyV2XnE http://www.youtube.com/watch?v=dvRHK4yA8rc 13s Ponte de Tacoma (4:25) 71 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Ressonância pode significar perigo! http://www.youtube.com/watch?v=fQJry_tQL4E (33 s) http://www.youtube.com/watch?v=qy1c5_vYTVo (40 s) 72 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Composição de oscilações 73 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Se as duas frequências (ωx e ωy ) forem iguais e as duas fases iniciais (Өx e Өy ) também forem iguais a trajetória resultante será reta. Dois MHS simultâneos de mesma frequência e em fase Um mesmo corpo pode estar animado de 2 MHS ortogonais simultâneos: )cos( xxx tAx )cos( yyy tAy Se ωx = ωy e Өx = Өy x xxxxx A x ttAx )cos()cos( y yyyyy A y ttAy )cos()cos( x A A y A x A y x y xy que é equação de uma reta (y=k.x) 74 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Composição de oscilações )cos( xxx tAx )cos( yyy tAy Se as duas frequências (ωx e ωy ) forem iguais e houver uma diferença de fase de 90º entre x e y é como se a equação de uma das coordenadas (x ou y) fosse função do seno e a outra coordenada fosse função do coseno. )cos( tAx x )( tsenAy y 75 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Dois MHS simultâneos de mesma frequência e com dif. fase 90º Composição de oscilações As duas constituiriam as equações paramétricas de uma elipse que, no caso de as amplitudes serem iguais, resultariam numa circunferência. Ver simulação Se as duas frequências forem diferentes o movimento resultante só será periódico se uma das frequências for múltiplo inteiro da outra. As trajetórias resultantes da composição de 2 MHS constituem as figuras de Lissajous. 76 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Dois MHS simultâneos de frequências diferentes Composição de oscilações Figuras de Lissajous no osciloscópio http://www.youtube.com/watch?v=2_VLdkaXg4I (2:46) 77 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Composição de oscilações (1:50) http://www.youtube.com/watch?v=KYDUUFwtyMM 78 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Figuras de Lissajous desenhadas com areia Composição de oscilações Pêndulo duplo de Airy-Blackburn Considerações de energia 79 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Conservação da energia no movimento oscilatório 80 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilador massa-mola O trabalho realizado para afastar a massa da posição de equilíbrio fica armazenado sob forma de energia potencial elástica na mola deformada. Quando a massa é solta essa energia transforma-se em energia cinética, em seguida volta a ser potencial elástica, e assim por diante. Pêndulos O trabalho realizado para afastar a massa pendular da posição de equilíbrio fica armazenado sob forma de energia potencial gravitacional. Quando a massa é solta essa energia transforma-se em cinética, volta a ser potencial gravitacional, e assim por diante. 2 2 1 mvEc mghE gp 2 2 1 kxE Ep 81 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Oscilador Harmônico Amortecido A energia cinética vai sendo gradativamente dissipada na forma de calor para o ambiente. A energia mecânica diminui gradualmente e por isso a amplitude diminui, fazendo o corpo voltar ao repouso. Oscilações forçadas A força externa realiza trabalho extra, repondo a energia perdida pela ação do amortecimento. Em alguns casos (ressonância) a energia mecânica aumenta.. Na ausência de forças dissipativas a energia mecânica (soma da energia cinética com a potencial) é sempre a mesma, em todos os pontos da trajetória. Conservação da energia no movimento oscilatório pcM EEE Glossário Termos introduzidos neste capítulo. Movimento periódico Pêndulo Oscilador amortecido Oscilação Pêndulo simples Figura de Lissajous Período Pêndulo de torção Força restauradora Frequência Pêndulo de Foucault Gravímetro Elongação Pêndulo físico Giroscópio Amplitude Momento de inércia Módulo de elasticidade Movimento harmônico simples Comprimento reduzido Aceleração da gravidade Fase Oscilação livre Centro de massa Diferença de fase Oscilação forçada Equilíbrio Oscilador massa-mola Ressonância Trabalho Energia potencial elástica Energia mecânica Energia cinética Energia potencial gravitacional Movimento Circular Uniforme Velocidade linear Velocidade angular Aceleração centrípeta Movimentos síncronos 82 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Equações Equações introduzidas neste capítulo. m k f T xmF xa xAV tAV tAsenx T f 2 2 )cos( )( 1 2 2 22 )cos( )( 2 2 1 2 0max 0max tV tsen g L T m k f k m T kxF t 2 2 0 2 2 ) 2 (' ' )'( m b m k AeA tsenAex a t m b t m b 83 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Biografias Pessoas mencionadas no capítulo Galileu Galilei Christian Huyghens Robert Hooke Jean Richer Isaac Newton Jean Bernard Leon Foucault http://pt.wikipedia.org/wiki/Galileu_Galilei http://pt.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens http://pt.wikipedia.org/wiki/Robert_Hooke http://es.wikipedia.org/wiki/Jean_Richer http://pt.wikipedia.org/wiki/Jean_Bernard _L%C3%A9on_Foucault http://pt.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton http://www.mcnbiografias.com/app- bio/do/show?key=lissajous-jules-antoine JulesAntoine Lissajous 84 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Atividades propostas As atividades a seguir apresentam situações que devem ser resolvidas aplicando a teoria estudada. Destinam-se, além de ilustrar onde e como a teoria pode ser usada, a oferecer oportunidade de fixar os conhecimentos adquiridos. Sugerimos que você leia primeiro o enunciado, procurando entender a situação descrita. Em seguida procure identificar as grandezas que são conhecidas e, após, o que se quer determinar. Assim você conseguirá descobrir (se for o caso), qual(is) equação(ões) deve(m) ser usada(s). Consulte o texto, as fontes indicadas, discuta com seus colegas, verifique se não se trata de dúvidas frequentes... Em último caso procure o professor, em sala de aula ou através do fórum. 85 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Atividades propostas Exercícios do livro Sears: Capítulo 13 Exercícios 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 30, 33, 42, 43, 44, 45, 47 Capítulo 13 do livro Sears (em espanhol) http://www.slideshare.net/joseantonio2809/capitulo-13-sears 86 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 8 Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,2 cm e uma frequência de 6,6 Hz? 2 22 8,37022,0)47,41( 47,416,614,322 s m Aa s rad f 87 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 9 Uma partícula com uma massa de 1,0 × 10-20 kg descreve um movimento harmônico simples com um período de 1,0×10-5 s e uma velocidade máxima de 1,0 × 103 m/s. Calcule (a) a frequência angular (b) o deslocamento máximo da partícula. m v AAv s rad T 3 5 3 5 5 106,1 102 101 102 101 22 88 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 10 Em um barbeador elétrico a lâmina se move para frente e para trás, ao longo de uma distância de 2 mm, em um movimento harmônico simples com uma frequência de 120 Hz. Determine (a) a amplitude (b) a velocidade máxima da lâmina (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina. s m Aa s m Av s rad f mmm mm A 5,568101)240( 75,010124024012022 1011 2 2 322 3 3 89 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 11 Um sistema oscilatório bloco-mola oscilante leva 0,75 s para começar a repetir seu movimento. Determine (a) o período (b) a frequência em Hertz (c) a frequência angular em radianos por segundo. s rad f Hz T f sT 35,833,122 33,1 75,0 11 75,0 90 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 12 Um alto-falante produz um som musical através das oscilações de um diafragma cuja amplitude é limitada a 1 µm. (a) Para que frequência o módulo da aceleração do diafragma é igual a “g”? (b) Para frequências maiores, “a” é maior ou menor que “g”? Hzff s rad gRa 500 2 1013,3 2 2 1013,3 101 8,9 101 3 3 6 622 b) Maior, por que “f” é proporcional a ω e ω é proporcional a “g” 91 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 13 Na figura duas molas iguais, de constantes elásticas 7580 N/m, estão ligadas a um bloco de massa 0,245 kg. Qual é a frequência de oscilação no piso sem atrito? Hzff m k f f m k m N k XkF 8,39 245,0 15160 2 1 2 2 160.1575802 92 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 14 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um certo instante t a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração são x = 0,1 m, v = −13,6 m/s e a = −123 m/s2. Calcule (a) a frequência de oscilação, (b) a massa do bloco (c) a amplitude do movimento. kg k m m k Hzf s rad Xa 33,0 1230 400 6,5 2 1,35 2 1,35 1,0 123 2 2 93 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 14 (continuação) mA AAA AA ttsen A tsentAsenv A ttAx 4,0 01,1232 28,197 1 01,1232 32,1296,184 1 01,1232 96,18401,0 1) 1,35 6,13 () 1,0 (1cos 6,13 1,0 coscos 222 2222 94 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 15 Determine a energia mecânica de um sistema bloco-mola com uma constante elástica de 1,3 N/cm e uma amplitude de oscilação de 2,4 cm. JE XkEE mcmx m N cm N k m pm 2 222 2 1074,3 )104,2(130 2 1 2 1 104,24,2 1303,1 95 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 16 Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,0 J, uma amplitude de 10 cm e uma velocidade máxima de 1,2 m/s. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco (c) a frequência de oscilação Hzfff m k kgmmVmE m N kkXkE c p 9,1 2 39,1 200 2 39,1)2,1( 2 1 1 2 1 200)1,0( 2 1 1 2 1 22 22 96 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 17 Suponha que um pêndulo simples consiste em um pequeno peso de 60,0 g na extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por θ = (0,0800 rad)cos[(4,43 rad/s)t + φ] quais são (a) o comprimento do pêndulo (b) sua energia cinética máxima? mL g L T sT T 5,0 4 8,9)42,1( 2 42,1 43,4 22 2 2 97 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Exercício 17 (continuação) L d h d + h = L d = L.cosӨ = 0,5.cos0,08 =0,5.0,9968 = 0,4984 m h= 0,5 – 0,4984 = 0,0016 m Ep = m.g.h = 60 x 10 -3 . 10 .0,0016 = 9,6 x 10-4 J 98 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux Para ir além É evidente que esse capítulo não esgota completamente o assunto tratado. Caso você deseje aprofundar o estudo, indicamos abaixo outras fontes que você pode consultar. http://es.wikipedia.org/wiki/Curva_de_Lissajous Gravimetria http://www.ufrgs.br/museudetopografia/artigos/gravimetria.pdf http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/RefTerre/Foucault0.html Animação mostrando o princípio do Pendulo de Foucault 99 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux http://www.fis.unb.br/gefis/index.php?option=com_content&view=article&id=124&Itemid =237&lang=pt http://www.feiradeciencias.com.br/sala10/10_28.asp http://www.sciences.univnantes.fr/sites/genevieve_tulloue/Meca/Systemes/pendule_double.html Figuras de Lissajous Pêndulo duplo de Airy-Blackburn Pêndulo duplo (animação em Flash) Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. Foureaux 100 http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_de_torsi%C3%B3n Pêndulo de torção http://www.youtube.com/watch?v=VIlBI6nrnRc Vibrações (3:59 - inglês) http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/oscda.html#c3Oscilador amortecido (inglês) http://www.youtube.com/watch?v=4vw31Il22pI Pendulo de Foucault – Panteão de Paris http://es.wikipedia.org/wiki/P%C3%A9ndulo_f%C3%ADsico Pêndulo físico https://www.youtube.com/watch?v=EE9TMwXnx-s Animação – balança de torção de Cavendish Para ir além O seno é aproximadamente igual ao ângulo para ângulos pequenos medidos em radianos Grau Radiano seno 1 0,017453 0,017452 2 0,034907 0,034899 3 0,05236 0,052336 4 0,069813 0,069756 5 0,087266 0,087156 6 0,10472 0,104528 7 0,122173 0,121869 8 0,139626 0,139173 9 0,15708 0,156434 10 0,174533 0,173648 Grau Radiano seno 11 0,191986 0,190809 12 0,209439 0,207912 13 0,226893 0,224951 14 0,244346 0,241922 15 0,261799 0,258819 16 0,279253 0,275637 17 0,296706 0,292372 18 0,314159 0,309017 19 0,331612 0,325568 20 0,349066 0,34202 101 Curso de Física - capítulo 13 - Oscilações - prof. 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