Revisão de Movimento Circular Uniforme

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Relembrando o MCU 
(Movimento Circular Uniforme) 
Prof. José Luiz Fernandes Foureaux 
Círculo 
C r 
A 
P 
Círculo de centro “C” e raio “r” é o conjunto de pontos 
do plano cuja distância até “C” é menor ou igual a “r”. 
2 Revisão de MCU - prof. José Luiz Fernandes Foureaux 
http://www.brasilescola.com/matematica/circunferencia.htm 
Circunferência 
Dado um ponto “C” de um plano e uma distância “r”, chama-se 
circunferência de centro “C” e raio “r” ao conjunto dos pontos do 
plano que distam “r” de “C”. 
C r 
A 
P 
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Corda, diâmetro, perímetro e área 
C r 
4 Revisão de MCU - prof. José Luiz Fernandes Foureaux 
F 
E 
Corda: qualquer segmento cujas 
extremidades sejam pontos da 
circunferência. (MN) 
Diâmetro: corda máxima. Passa 
pelo centro da circunferência. (EF) 
rd  2
M 
N 
Perímetro: comprimento da 
circunferência. Pode ser medido 
contornando a circunferência com um 
barbante. Representaremos por “L”. 
Área: Região delimitada pela 
circunferência. Representaremos por “A”. 
Número π, perímetro e área 
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Número π: Quociente entre o 
perímetro e o diâmetro de uma 
circunferência. 
...141592,3
d
L
Perímetro: 
Área: 
rL
rLdL




2
2
2rA 
Arco e ângulo central 
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A 
B 
r 
C 
Arco: de uma circunferência é a 
parte da circunferência 
compreendida entre 2 pontos 
quaisquer da mesma. L 
Ө Os raios que ligam os 2 
extremos do arco ao centro da 
circunferência determinam um 
ângulo Ө. (chamado ângulo 
central, porque o vértice está no 
centro da circunferência) 
O comprimento “L” do arco é proporcional ao valor “Ө” do ângulo. 
Radiano e sua relação com o grau 
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A 
B 
r 
C 
1 radiano é o ângulo central que 
determina sobre a circunferência 
um arco de comprimento “L” igual 
ao raio “r”: 
L 
Ө 
Para uma volta completa na circunferência 
Ө = 360º = 2.π rad 
r
L

rad1º3,57
2
360360
1
2






Reta tangente à circunferência 
8 Revisão de MCU - prof. José Luiz Fernandes Foureaux 
s 
B 
r 
C 
Reta (s) que toca a circunferência 
em apenas um ponto (B) e é 
perpendicular ao raio (r) que 
passa naquele ponto. 
Movimento Circular Uniforme 
O movimento de um corpo que se desloca sobre uma 
circunferência com velocidade de valor constante pode ser 
descrito de duas maneiras diferentes: 
Considerando-se a distância 
que o corpo percorre ao 
longo da circunferência 
Considerando-se o ângulo 
descrito pelo raio vetor do 
corpo. 
x1 x1 
x2 x2 
d 
θ 
Ver simulação 
(MCU) 
Definições 
Considerando o ângulo descrito: 
Movimento Circular Uniforme é o estado em que se 
acha um corpo que se desloca sobre uma 
circunferência de maneira tal que o raio vetor 
descreve ângulos iguais em intervalos iguais de 
tempo, qualquer que seja o intervalo de tempo 
considerado 
Considerando a distância percorrida: 
Movimento Circular Uniforme é o estado em que se acha 
um corpo que se desloca sobre uma circunferência 
percorrendo arcos de mesmo comprimento no mesmo 
intervalo de tempo, qualquer que seja o intervalo de tempo 
considerado.. 
Período 
Intervalo de tempo necessário para que um corpo 
em MCU descreva uma volta completa na 
circunferência. 
 
É representado pela letra “T” (maiúscula). 
 
A unidade SI de “período” é o segundo – símbolo s. 
Frequência 
Número de voltas descritas sobre a circunferência, na 
unidade de tempo, por um corpo em MCU. 
Representada pela letra “f”. 
Se o corpo descreve “f” voltas por segundo, o tempo 
necessário para ele descrever uma volta será 
f
TfT
T
fs
1
1
1
1



A unidade SI de “freqüência” é o hertz – símbolo Hz. 
(Eq. MCU-1) 
Velocidade angular 
“ω” de um corpo em MCU é o quociente entre o 
ângulo “θ” descrito pelo raio vetor do corpo e o 
intervalo de tempo “t” necessário para descrevê-lo: 
t

 
A unidade SI de “velocidade angular” é o 
radiano por segundo – rad/s. 
(Eq. MCU-2) x1 
x2 
θ 
Velocidade linear 
“V” de um corpo em MCU é o quociente entre o 
comprimento “d” do arco percorrido pelo corpo ao 
longo da circunferência e o intervalo de tempo “t” 
necessário para percorre-lo: 
t
d
V 
A velocidade linear é um vetor 
que tangencia a circunferência 
em cada ponto. 
(Eq. MCU-3) 
A unidade SI de “velocidade linear” é o 
metro por segundo – m/s. 
x1 
x2 
d 
V 
V 
Equações das velocidades em função do 
período 
Se o corpo descreve uma volta completa sobre a 
circunferência, ele percorre uma distância igual ao 
perímetro da circunferência: 
Rd  2
e seu raio vetor descreve um ângulo 
rad)2(º360  
As velocidades linear e angular podem, portanto, 
serem expressas como: 
T
R
V


2
T




2
(Eq. MCU-4) (Eq. MCU-5) 
Relação entre velocidade linear e 
velocidade angular 
A equação 
T
R
V


2




T
2
pode ser escrita como: 
R
T
V 


2
Sabendo que 
concluímos : 
RV 
(Eq. MCU-6) 
Aceleração centrípeta 
No MCU, embora o valor da velocidade permaneça 
constante, sua direção muda continuamente. A 
aceleração responsável por essa mudança de 
direção é chamada “aceleração centrípeta”. É uma 
grandeza vetorial de módulo 
R
V
ac
2

que tem a direção do raio e aponta continuamente 
para o centro da circunferência (etimologicamente 
“centrípeta” significa “que pede o centro”). 
A unidade SI de “aceleração centrípeta” é 
metro por segundo quadrado – m/s2. 
(Eq. MCU-7) 
Rac 
2
(Eq. MCU-8) ou 
Exercício 1 
Calcule a velocidade angular dos ponteiros de horas, 
minutos e segundos de um relógio. 
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/f
ichaTecnicaAula.html?aula=33153 
Exercício 2 
Duas polias têm 30 cm e 60 cm de raio, respectivamente. 
São ligadas por uma correia. A primeira efetua 50 rotações 
por minuto. Calcule o número de rotações por minuto da 
segunda. 
R1 = 30 cm 
R2 = 60 cm 
ω1 = 50 rpm 
ω2 = ? 
Caixa de velocidades de uma 
furadeira de bancada 
V 
V 
rpm
R
R
RR
RV
RV
25
60
3050
2
11
22211
22
11








Exercício 3 
Uma locomotiva com rodas de 1 m de diâmetro percorre 180 
km em 5 h. Calcule o número de rotações por segundo, a 
velocidade angular e a velocidade linear de um ponto situado 
a 50 cm do eixo da roda. 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cicloide#me
diaviewer/Ficheiro:Cycloid_animated.gif 
Para saber mais 
http://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide 
Exercício 4 
Qual a velocidade linear de um ponto situado no paralelo 
terrestre de latitude λ = 30º? O raio equatorial da Terra é 
6.378.200 m. 
Exercício 5 
Certa curva de uma estrada tem raio igual a 1 km. Calcule o 
ângulo central que subtende o arco descrito por um 
automóvel em 15 s, se a velocidade do automóvel é 72 
km/h. 
Recorde do valor de π destruído... 
Revisão de MCU - prof. José Luiz Fernandes 
Foureaux 
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Pesquisadores da Universidade de Tsukuba, no Japão, destruíram o 
antigo recorde da constante pi, mais que duplicando o número de casas 
decimais conhecidas para 2,5 trilhões. Eles usaram um computador 
gigantesco, chamado T2K Tsukuba System, que realiza computação 
paralela. 
O T2K Tsukuba System é um clusterde 640 computadores com uma 
velocidade de processamento de 95 trilhões de flops. Ele calculou um 
total de 2.576.980.377.524 casas decimais em 73 horas e 36 minutos, 
uma fração das 600 horas usadas pelos antigos recordistas, a Hitachi e 
a Universidade de Tóquio, que calcularam só 1,2 trilhões de casas 
 
π=3.14159265358979323846264338327950288... 
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Flop – nº de operações de ponto flutuante por segundo 
http://gizmodo.uol.com.br/recorde-de-calculo-do-
numero-pi-destruido-25-trilhoes-de-casas-decimais/