Apresentação MF com HP12C

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José Carlos Moretti Junior 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
COM O USO DA HP-12C
José Carlos Moretti Junior
Administrador, Bacharel em Ciências Contábeis e
Pós-graduado em Administração Contábil e Financeira
Controller da Água Doce Sabores do Brasil
Professor Universitário
Perito Judicial
terça-feira, 18 de março de 2014
José Carlos Moretti Junior 2
Programa
 Calculadora HP-12C
 Juros Simples
 Juros Compostos
 Descontos
 Série Uniforme de Pagamentos
 Sistemas de Amortização
 Análise de Projetos e Decisões de 
Investimentos
José Carlos Moretti Junior 3
Introdução
 Estudo do valor do dinheiro no tempo;
 Efetuar análises e comparações dos vários 
fluxos de entrada e saída de dinheiro 
verificados em diferentes momentos;
 o Regra nº 1: taxa de juros e prazo sempre 
na mesma unidade.
José Carlos Moretti Junior 4
Introdução
 Se um amigo lhe pedisse $100,00 para lhe 
pagar os mesmos $100,00 daqui a um ano, o 
que você acharia ?
José Carlos Moretti Junior 5
Introdução
 Com certeza, por melhor que fosse seu 
amigo, a proposta não seria vista com 
bons olhos !!!
 Alguns pontos vêm a mente :
 Será que ele vai me pagar ?
 Será o poder de compra dos $100,00 
daqui a um ano será o mesmo ?
 Se eu permanecesse com os $100,00 
poderia aplicá-los na poupança e 
ganhar rendimentos !!!
José Carlos Moretti Junior 6
Introdução
Dinheiro tem umDinheiro tem um
custo associadocusto associado
ao tempo ao tempo 
 Em outras palavras ...
2
José Carlos Moretti Junior 7
Componentes do Custo do $
 Os pontos questionados remetem ao 
custo do dinheiro.
 Ao transportar $ no tempo, 
existe um custo que pode ser 
decomposto em :
 inflação
 risco de crédito
 taxa real de juros
José Carlos Moretti Junior 8
Regra Básica
Nunca some valoresNunca some valores
em datas diferentesem datas diferentes
Atenção !!!Atenção !!!
 Sendo assim, existe outra regra básica da 
matemática financeira que deverá ser sempre 
respeitada ...
José Carlos Moretti Junior 9
Introdução
0 1
C = Capital
Capital + ALGO EM TROCAALGO EM TROCA
ALGO EM TROCA = JUROALGO EM TROCA = JURO
José Carlos Moretti Junior 10
Introdução
Valor dos Juros = Taxa de Juros x Valor disponível
J = i x CJ = i x C
JURO
Remuneração pelo uso do dinheiro durante um 
certo período de tempo
TAXA DE JUROS 
é um coeficiente (percentual) que, multiplicado 
por um certo valor , produz o valor dos 
juros
(i)(i)
(J)(J)
(C)(C)
José Carlos Moretti Junior 11
Introdução
Entradas / Recebimentos
Saídas / Pagamentos
Diagrama de Fluxo de CaixaDiagrama de Fluxo de Caixa
José Carlos Moretti Junior 12
Introdução
0 1
C
C = Capital disponível
M1
Que valor deveríamos 
ter no final do 1º 
período ?
M1 = C + J1
MM11 = C x (1 + i)= C x (1 + i)
J1
J1 = Remuneração 
por dispor do Capital 
CC durante o período 1
i
i = Taxa de juros
M1 = C + (i x C)
3
José Carlos Moretti Junior 13
Introdução
C
0 1 2
M2
M2 = C + J1 + J2
M2 = C + (i x C) + (i x ?)
M1
J1 J2
O cálculo do Valor JO cálculo do Valor J22 depende do Regime de depende do Regime de 
Capitalização dos Juros adotadoCapitalização dos Juros adotado
Que valor 
deveríamos ter 
no final do 2º 
período ?
José Carlos Moretti Junior 14
Introdução
Um amigo nosso resolveu 
aplicar hoje $400,00 por 
quatro meses. Sabendo que 
ele recebeu $80,00 de juros, 
calcule o valor do resgate e 
desenhe o diagrama de 
fluxo de caixa da operação.
José Carlos Moretti Junior 15
Introdução
--400,00400,00
+480,00+480,00
44
taxa = 80/400 = 20%taxa = 80/400 = 20%
juros = $80,00juros = $80,00
ao períodoao período
00
José Carlos Moretti Junior 16
Introdução
Desenhe o Diagrama de Fluxo de Caixa para as 
seguintes situações:
a) Aplicação de $500,00 em dois meses;
b) Resgate de $700,00 após quatro meses;
c) Aplicação de $400,00 em dois meses com 
resgate de $600,00 após seis meses;
d) Recebimento de $800,00 hoje, com pagamento 
de $500,00 após 
30 dias e $600,00 após 120 dias.
José Carlos Moretti Junior 17
Introdução
a) Aplicação de $500,00 em dois meses;
2
--500,00500,00
José Carlos Moretti Junior 18
Introdução
b) Resgate de $700,00 após quatro meses;
4
+700,00+700,00
4
José Carlos Moretti Junior 19
Introdução
c) Aplicação de $400,00 em dois meses com 
resgate de $600,00 após seis meses;
6
+600,00+600,00
2
--400,00400,00
José Carlos Moretti Junior 20
Introdução
d) Recebimento de $800,00 hoje, com 
pagamento de $500,00 após 30 dias e 
$600,00 após 120 dias.
+800,00+800,00
30
--500,00500,00
120
--600,00600,00
0
José Carlos Moretti Junior 21
Calculadora HP-12C
Apresentação
José Carlos Moretti Junior 22
Calculadora HP-12C
Apresentação
José Carlos Moretti Junior 23
Calculadora HP-12C
Teste automática de circuitos
► Aperte a tecla com o sinal de multiplicação
mantenha-a pressionada enquanto liga a
máquina pela tecla e em seguida solte a
tecla .
►A calculadora leva entre 20 e 25 segundos
para realizar esse procedimento. Enquanto
isso, o visor apresentará a mensagem running.
Quando o teste estiver concluído, aparecerá no
visor a seguinte indicação:
José Carlos Moretti Junior 24
Calculadora HP-12C
Teste automática de circuitos
► Mensagem de erro: Caso o teste automático
resulte em Error 9 ou não apareça nada, é sinal
de que a máquina apresenta problemas.
5
José Carlos Moretti Junior 25
Calculadora HP-12C
Característica
► Criada em 1981, a HP 12 C é a calculadora
mais antiga e mais bem vendida de toda a
história da HP
► Duas de suas características principais são:
- A lógica RPN (Reversa Polonesa Notação)
- A pilha de operadores
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Calculadora HP-12C
Característica
► A soma dos números 4 e 5 pode ser feita em
uma operação algébrica da seguinte forma:
Lógica algébrica : 4 + 5 =
Resposta: 9
► Na lógica RPN, os operandos (os números)
devem vir primeiro e os operadores (os sinais)
depois
- Não é necessário o sinal de igualdade (=)
- Para separar os números usa-se a tecla
[ENTER]
Lógica RPN : 4 ENTER 5 +
Resposta: 9
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Calculadora HP-12C
Característica
Álgebra convencional …Álgebra convencional …
235235
Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121
121121++ ==
OperandosOperandos
OperadorOperador InstruçãoInstrução
356356
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Calculadora HP-12C
Característica
OperandosOperandos
Notação polonesa …Notação polonesa …
235235 121121 ++
OperadorOperador
InstruçãoInstrução
356356
EN
TE
R
Soma de 235 e 121Soma de 235 e 121
José Carlos Moretti Junior 29
Calculadora HP-12C
Pilha de Registradores
Registradores da
HP 12C
Last X
Outros T
registradores Z
Y
Visor X
Além do número exposto no visor,
a HP 12C possui um pilha de registradores
que facilita as operações.
José Carlos Moretti Junior 30
Calculadora HP-12C
Pilha de Registradores
 Registradores que processam as 
operações
TT
ZZ
YY
XX Visor:Visor:
Registrador XRegistrador X
Clear XClear X
Limpa oLimpa o
registrador Xregistrador X
6
José Carlos Moretti Junior 31
Calculadora HP-12C
Pilha de Registradores
TT
ZZ
YY
XX
EnterEnter
88
88
44
44 ++1212
José Carlos Moretti Junior 32
Calculadora HP-12C
Característica
► Com o auxílio da HP12C calcule:
45 + 53
(45 + 4) x 2
80 / (15 +5)
José Carlos Moretti Junior 33
Calculadora HP-12C
Apresentação
1. Entrada de Dados
2. Operações Básicas
3. Potência, Raiz e 
Inverso de um Valor
4. Armazenamento de 
Dados
5. Funções Financeiras
6. Porcentagem
7. Calendário
8. Limpeza 
José Carlos Moretti Junior 34
Calculadora HP-12C
Teclado
► Função primária → caracteres em branco (na 
face central da tecla)
► Funçõessecundárias → caracteres em 
dourado (na face superior da tecla) e azul (na 
face inferior da tecla).
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Calculadora HP-12C
Funções Secundárias
Apenas teclas amarelasApenas teclas amarelas José Carlos Moretti Junior 36
Calculadora HP-12C
Funções Secundárias
 Limpa a memória da calculadora
CLEARCLEAR
7
37
Calculadora HP-12C
Funções Secundárias
Apenas teclas azuisApenas teclas azuis
José Carlos Moretti Junior 38
Calculadora HP-12C
Funções Secundárias
 Calcula o logaritmo neperiano
José Carlos Moretti Junior 39
Calculadora HP-12C
Teclas de Clear - Limpeza
Tecla Função
[ CLx ] O visor (o registrador X).
[ f ] CLEAR [ ∑ ]
Os registradores estatísticos, os 
registradores da pilha operacional e o 
visor.
[ f ] CLEAR [ PRGM ] A memória de programação (somente quando pressionadas no modo PRGM).
[ f ] CLEAR [ FIN ] Os registradores financeiros.
[ f ] CLEAR [ REG ]
Os registradores de armazenamento de 
dados, os registradores financeiros, os 
registradores da pilha operacional, o 
último X (LAST X) e o visor. José Carlos Moretti Junior 40
Calculadora HP-12C
Teclas de Clear - Limpeza
Limpa o registrador XLimpa o registrador X
Troca X por YTroca X por Y
Rola a pilha para baixoRola a pilha para baixo
Limpa a memóriaLimpa a memória
CLEAR
José Carlos Moretti Junior 41
Calculadora HP-12C
Função “C” (teclas [ STO ] e [ EEX ]
(1) Exemplo
Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 
1.450,30, aplicado a taxa de 15% ao ano, durante 3,5 
anos.
Dados:
PV = R$ 1.450,30 
i = 15% a.a.
n = 3,5 anos
FV = ? 
José Carlos Moretti Junior 42
Calculadora HP-12C
Função “C” (teclas [ STO ] e [ EEX ]
Com o uso do “C” no visor
Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.450,30 1.450,30
[ CHS ] - 1.450,30
[ PV ] - 1.450,30
15 15,00
[ i ] 15,00
3,50 3,50
[ n ] 3,50
[ FV ] 2.365,38
8
José Carlos Moretti Junior 43
Calculadora HP-12C
Função “C” (teclas [ STO ] e [ EEX ]
Sem o uso do “C” no visor
Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.450,30 1.450,30
[ CHS ] - 1.450,30
[ PV ] - 1.450,30
15 15,00
[ i ] 15,00
3,50 3,50
[ n ] 3,50
[ FV ] 2.371,15 José Carlos Moretti Junior 44
Calculadora HP-12C
Função “C” (teclas [ STO ] e [ EEX ]
Sem o uso do “C” no visor
[ FV ] 2.371,15
Com o uso do “C” no visor
[ FV ] 2.365,38
Observe que existe uma diferença de R$ 5,77. Vejamos por quê: 
1º Passo: Determinar o valor 
futuro para o período de 3 
anos pelo regime de Juros 
Compostos.
FV = 1.450,30 (1,15)3
FV = R$ 2.205,73
2º Passo : Determinar o valor 
dos juros correspondente a 
meio ano pelo regime de 
Juros Simples.
J = (2.205,73 x 0,15 x 0,5)
J = R$ 165,43
3º Passo : Determinar o valor 
futuro (3,5 anos).
FV = R$ 2.205,73 + R$ 165,43
FV = R$ 2.371,15
José Carlos Moretti Junior 45
Calculadora HP-12C
Funções Financeiras
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Calculadora HP-12C
Funções Financeiras
[n] : Abastece ou calcula o número de períodos[n] : Abastece ou calcula o número de períodos
[i] : Abastece ou calcula a taxa de juros[i] : Abastece ou calcula a taxa de juros
[PV] : Abastece ou calcula[PV] : Abastece ou calcula
o Valor Presenteo Valor Presente
[PMT] : Abastece ou calcula a Prestação[PMT] : Abastece ou calcula a Prestação
[FV] : Abastece ou calcula o Valor Futuro[FV] : Abastece ou calcula o Valor Futuro
José Carlos Moretti Junior 47
Calculadora HP-12C
Funções Financeiras
Tecla Função Tecla Função
N Número de períodos i Taxa de juros
PV Valor presente PMT Pagamento
FV Valor futuro [ f ] AMORT Amortização
[ f ] INT Juros simples [ f ] NPV Valor presente líquido
[ f ] IRR Taxa interna de 
retorno [ g ] 12x Multiplica por 12
[ g ] 12÷ Divide por 12 [ g ] CF0 Fluxo inicial de 
caixa
José Carlos Moretti Junior 48
Calculadora HP-12C
Funções Financeiras
Tecla Função Tecla Função
[ g ] CFj Fluxos de caixa 
seguintes [ g ] Nj
Número de fluxos 
de caixa
[ f ] PRICE Preço do título ou debênture [ f ] YTM
Rendimento até o 
vencimento
[ f ] SL Depreciação pelo 
método linear
[ f ] 
SOYD
Depreciação pelo 
método das somas 
dos dígitos
[ f ] DB
Depreciação pelo 
método do 
declínio em dobro
[ g ] BEG Pagamentos 
antecipados
[ g ] END Pagamentos postecipados
9
José Carlos Moretti Junior 49
Calculadora HP-12C
Curiosidade
Curiosidade da HP 12CCuriosidade da HP 12C
Para ligar novamente :
ON PMTON PMT
45 45 EnterEnter | ON PMT (juntos) | | ON PMT (juntos) | 
ON PMT (juntos) | 1/xON PMT (juntos) | 1/x
Para desligar e travar a 
calculadora, impossibilitando o 
uso por terceiros pressione as 
seguintes teclas : 
José Carlos Moretti Junior 50
Diagramas de Fluxo de Caixa
 Representação gráfica da evolução do dinheiro no tempo
 Símbolos
TempoTempo
Movimentações de $Movimentações de $
(+) Entradas(+) Entradas
((--) Saídas) Saídas
Taxa de juros = Taxa de juros = 
JurosJuros
Valor InicialValor Inicial
Diagramas de Fluxo de Caixa
$100,00$100,00
Valor PresenteValor Presente
nn
1100 22 33
$5,00$5,00 $5,00$5,00 $5,00$5,00
$115,00$115,00
Valor FuturoValor Futuro
$15,00$15,00
JurosJuros
$100,00$100,00
Valor PresenteValor Presente
Incidência de JurosIncidência de Juros
 A representação gráfica seria ...
José Carlos Moretti Junior 52
Juros Simples
 Objetivos :
 apresentar os conceitos de juros simples
 proporcionalidade de taxas
 operações com equivalência de capitais
 descontos com juros simples
José Carlos Moretti Junior 53
Juros Simples
Jn
PV FV1
Que valor deveríamos ter
no final do período n ?
FV2 FV3 FVn
10 nn-121J1 J2 J3 3 ......
José Carlos Moretti Junior 54
Juros Simples
Juros Simples: J = PV x i x nJ = PV x i x n
Valor Presente: PV = J PV = J ÷÷ ((i x n) = FV i x n) = FV ÷÷ (1 + (1 + i x n)i x n)
Período: n = J n = J ÷÷ ((i x PV)i x PV)
Taxa: i = J i = J ÷÷ ((n x PV) = (FV n x PV) = (FV ÷÷ PV) PV) –– 11
Valor Futuro: FV = PV + J = PV xFV = PV + J = PV x (1 + (1 + i x n)i x n)
10
José Carlos Moretti Junior 55
Juros Simples
ImportanteImportante
Taxa (i)Taxa (i)
e 
Número de Períodos Número de Períodos 
(n)(n)
devem estar sempre na 
mesmamesma base !!
Sugestão Sugestão ::
altere sempre altere sempre nn e evite e evite 
alterar alterar ii
José Carlos Moretti Junior 56
Juros Simples
 niPVFV  1
 ni
FVPV


1
n
PV
FV
i





 

1
i
PV
FV
n





 

1
José Carlos Moretti Junior 57
Juros Simples
Pela HP-12C
1. Digite o número de dias e pressione [ n ].
2. Digite a taxa de juros anual e pressione [ i ].
3. Digite o valor do principal e pressione [ CHS ][1] [ PV ].
4. Aperte [ f ] INT para calcular e exibir os juros ordinários.
5. Se você quiser exibir os juros exatos, pressione [ R↓ ] [ x ≤≥ y ]
6. Aperte [ + ] para calcular o montante final (principal + juros)
[1] A tecla [ CHS ] é pressionada para trocar o sinal do principal antes de armazená-lo. Isso é 
necessário devido à convenção para sinais de fluxos de caixa, que se aplica principalmente a 
cálculos de juros compostos.
Observação: para calcular juros simples na HP-12C, a taxa de juros (i) 
deverá ser expressa em ano e o número de períodos (n) expresso em 
dias. As quantidades de n, i e PV podem ser informados em qualquer ordem. 
José Carlos Moretti Junior 58
Juros Simples
Pela HP-12C
(02) Exemplo
Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23
durante 5 meses com taxa de 5,5% ao mês.
Dados:
PV = R$ 1.250,23
i = 5,5% a.m.
n = 5 meses
J = ?
José Carlos Moretti Junior 59
Juros Simples
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.250,23 [ CHS ] -1.250,23
[ PV ] - 1.250,23
150,00 [ n ] 150,00
66,00 [ i ] 66,00
[ f ] INT 343,81
R$ 343,81
José Carlos Moretti Junior 60
Juros SimplesPela HP-12C
(03) Exemplo: 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 3.975,59 
aplicados em CDB pós-fixado de 90 dias, a uma taxa de 
1,54% ao mês?
Dados:
PV = R$ 3.975,59
i = 1,54% a.m. (1,54% a.m. x 12 meses = 18,48% a.a.)
n = 90 dias (90 dias ÷ 30 dias = 3 meses)
FV = ? 
11
José Carlos Moretti Junior 61
Juros Simples
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
3.975,59 [ CHS ] - 3.975,59
[ PV ] - 3.975,59
90,00 [ n ] 90,00
18,48 [ i ] 18,48
[ f ] INT 183,67
[ + ] 4.159,26
R$ 4.159,26
José Carlos Moretti Junior 62
Juros Simples
Pela HP-12C
(04) Exemplo:
Determine o valor da aplicação cujo valor de resgate 
bruto foi de R$ 4.248,00 por um período de 3 meses, 
sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% ao mês.
Dados:
FV = R$ 4.248,00
i = 1,77% a.m.
n = 3 meses (3 meses x 30 dias = 90 dias)
PV = ? 
José Carlos Moretti Junior 63
Juros Simples
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
4.248,00 [ ENTER ] 4.248,00
1,00 [ ENTER ] 1,00
0,0177 [ ENTER ] 0,0177
3,00 [ X ] 0,0531
[ + ] 1,0531
[ ÷ ] 4.033,80
R$ 4.033,80
José Carlos Moretti Junior 64
Juros Compostos
 Objetivos :
 apresentar o modelo de capitalização dos juros 
compostos.
 exemplificar como os recursos para juros 
compostos da HP 12C e do Excel podem ser 
utilizados.
José Carlos Moretti Junior 65
Juros Compostos
Jn
PV FV1
Que valor deveríamos ter
no final do período n ?
FV2 FV3 FVn
10 nn-121J1 J2 J3 3 ......
José Carlos Moretti Junior 66
Juros Compostos
Juros 
Compostos: J = PV x [(1+i)J = PV x [(1+i)nn –– 1]1]
Valor Presente: PV = FV PV = FV ÷÷ (1+i)(1+i)nn
Período: n = [LN(FV) n = [LN(FV) –– LN(PV)] LN(PV)] ÷÷ LN(1+i)LN(1+i)
Taxa: i = {(FV i = {(FV ÷÷ PV)PV)1/n1/n –– 1} . 1001} . 100
Valor Futuro: FV = PV x (1+i)FV = PV x (1+i)nn
12
José Carlos Moretti Junior 67
Juros Compostos
 niPVFV  1
 ni
FVPV


1
11
1






n
n
PV
FV
PV
FVi
)1log(
log
i
PV
FV
n








José Carlos Moretti Junior 68
Juros Compostos
Juros Compostos (J) Pela HP-12C
Para operar com juros compostos na 12C, você precisa
sempre ter uma incógnita. Suas principais variáveis são:
n (número de períodos), i (taxa de juros), PV (capital
principal ou inicial) e FV (montante ou valor futuro). A
partir daí, basta introduzir (na ordem desejada) os
valores conhecidos.
Lembre-se de que a taxa de juros (i) e o número de
períodos (n) devem estar na mesma unidade de tempo.
José Carlos Moretti Junior 69
Juros Compostos
Juros Compostos (J) Pela HP-12C
No Regime de Juros CompostosNo Regime de Juros Compostos
Nunca multiplique Nunca multiplique 
ou divida a taxa ou divida a taxa 
de juros !!!!de juros !!!!
José Carlos Moretti Junior 70
Juros Compostos
Juros Compostos (J) Pela HP-12C
(05) Exemplo:
Calcular os juros de capital de R$ 1.000,00 pelo prazo de 
5 meses à taxa de 10% ao mês.
Dados:
PV = R$ 1.000,00
i = 10% a.m.
n = 5 meses
J = ? 
José Carlos Moretti Junior 71
Juros Compostos
Juros Compostos (J) Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.000,00 [ CHS ] - 1.000,00
[ PV ] - 1.000,00
5,00 [ n ] 5,00
10,00 [ i ] 10,00
[ FV ] 1.610,51
[ RCL ] 1.610,51
[ PV ] -1000,00
[ + ] 610,51
R$ 610,51 José Carlos Moretti Junior 72
Juros Compostos
Valor Futuro (FV) Pela HP-12C
1. Digite o número de períodos e pressione [ n ].
2. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].
3. Digite o valor do principal e pressione [ CHS ] [ PV ].
4. Pressione [ FV ] para calcular e exibir o valor futuro.
13
José Carlos Moretti Junior 73
Juros Compostos
Valor Futuro (FV) Pela HP-12C
(07) Exemplo:
Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00 pelo 
prazo de 5 meses à uma taxa de 4% ao mês.
Dados:
PV = R$ 5.000,00
i = 4% a.m.
n = 5 meses
FV = ? 
José Carlos Moretti Junior 74
Juros Compostos
Valor Futuro (FV) Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
5.000,00 [ CHS ] - 5.000,00
[ PV ] - 5.000,00
5,00 [ n ] 5,00
4,00 [ i ] 4,00
[ FV ] 6.083,26
R$ 6.083,26
José Carlos Moretti Junior 75
Juros Compostos
Valor Presente (PV) Pela HP-12C
1. Digite o número de períodos e pressione [ n ].
2. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].
3. Digite o valor futuro e pressione [ CHS ] [ FV ].
4. Pressione [ PV ] para calcular e exibir o valor presente.
José Carlos Moretti Junior 76
Juros Compostos
Valor Presente (PV) Pela HP-12C
(06) Exemplo:
No final de dois anos, um correntista deverá efetuar um 
pagamento de R$ 2.000,00 a um banco, referente ao valor 
de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os 
juros devidos, correspondente a uma taxa de 4% ao mês. 
Qual o valor emprestado?
Dados:
FV = R$ 2.000,00
i = 4% a.m.
n = 2 anos = 24 meses
PV = ? 
José Carlos Moretti Junior 77
Juros Compostos
Valor Presente (PV) Pela HP-12C
R$ 780,24
780,24[ PV ]
4,00[ i ]4,00
24,00[ n ]24,00
- 2.000,00[ FV ]
- 2.000,00[ CHS ]2.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 78
Juros Compostos
Período (n) Pela HP-12C
1. Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ].
2. Digite o valor futuro e pressione [ FV ].
3. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].
4. Aperte [ n ] para calcular e exibir o número de períodos 
(prazo).
14
José Carlos Moretti Junior 79
Juros Compostos
Período (n) Pela HP-12C
(08) Exemplo:
Em que prazo um empréstimo de R$ 4.278,43 pode ser 
liquidado em um único pagamento de R$ 6.559,68, 
sabendo-se que a taxa contratada é de 3,25% ao mês?
Dados:
PV = R$ 4.278,43
FV = R$ 6.559,68
i = 3,25% a.m.
n = ? 
José Carlos Moretti Junior 80
Juros Compostos
Período (n) Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
4.278,43 [ CHS ] - 4.278,43
[ PV ] - 4.278,43
6.559,68 [ FV ] 6.559,68
3,25 [ i ] 3,25
[ n ] 14
14 meses
José Carlos Moretti Junior 81
Juros Compostos
Taxa (i) Pela HP-12C
1. Digite o número de períodos e pressione [ n ].
2. Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ].
3. Digite o valor futuro e pressione [ FV ].
4. Pressione [ i ] para calcular e exibir a taxa de juros.
José Carlos Moretti Junior 82
Juros Compostos
Taxa (i) Pela HP-12C
(09) Exemplo:
Uma loja financia a venda de uma máquina no valor de 
R$ 1.210,72, sem entrada, para pagamento em uma 
única prestação de R$ 1.695,01 no final de 270 dias. 
Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Dados:
PV = R$ 1.210,72
FV = R$ 1.695,01
n = 270 dias (270 dias ÷ 30 dias = 9 meses).
i = ? 
José Carlos Moretti Junior 83
Juros Compostos
Taxa (i) Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.210,72 [ CHS ] - 1.210,72
[ PV ] - 1.210,72
1.695,01 [ FV ] 1.695,01
9 [ n ] 9
[ i ] 3,809358
3,81% a.m.
José Carlos Moretti Junior 84
Taxa Nominal de Juros
É uma taxa de juros expressa para um período de 
tempo diferente do período de capitalização dos 
juros.
NÃO representa a taxa efetiva para o período em 
que é apresentada.
(10) Exemplo:
POUPANÇA
i = 6% ao ano com capitalização MENSAL 
i = 0,5% ao mês
Taxa efetiva = 6,17% ao ano
15
José Carlos Moretti Junior 85
Conversão de Taxas
Taxa Taxa 
EfetivaEfetiva
Taxa Taxa 
EfetivaEfetiva
Taxa Taxa 
NominalNominal
Taxa Taxa 
EfetivaEfetiva
Taxas 
Equivalentes
Taxas
Proporcionais
José Carlos Moretti Junior 86
Taxa Equivalente de Juros
Sejam duas taxas de juros:
• i1 válida para o período de tempo n1
• i2 válida para o período de tempo n2
Seja o PV aplicado por um certo período n:
n
PV
FV
José Carlos Moretti Junior 87
Taxa Equivalente de Juros
Se a aplicação for à taxa de juros i1 obteremos:
FV1 = PV x (1+i1)n
Se a aplicação for à taxa de jurosi2 obteremos:
FV2 = PV x (1+i2)n
Se FVSe FV11 = FV= FV22  ii11 é EQUIVALENTE a ié EQUIVALENTE a i22
Definição: duas taxas de juros (i1 válida para o período 
de tempo n1 e i2 válida para o período de tempo n2) são 
EQUIVALENTES entre si se, aplicadas sobre um 
Capital (PV) por um determinado período, gerarem o 
mesmo Montante (FV). José Carlos Moretti Junior 88
Conversão de Taxas
Taxa 
Equivalente: ii(eq)(eq) = [(1 + i= [(1 + icc))qq/qtqq/qt –– 1] x 100 1] x 100 
Onde:
i(eq) = taxa equivalente;
ic = taxa conhecida;
qq = quanto eu quero (o prazo da taxa a ser 
calculada); e
qt = quanto eu tenho (o prazo da operação que foi 
informada). 
José Carlos Moretti Junior 89
Conversão de Taxas
(11) Exemplo :
Taxa nominal de juros de 36% ao ano capitalizada 
mensalmente.
Prazo de capitalização = mês
Prazo da taxa = ano
Taxa de juros nominal = 36% a.a.
Taxa de juros proporcional simples = 36/12 = 3% a.m.
Taxa efetiva de juros = [(1 + 0,03)12 – 1] x 100 = 42,6% a.a.
José Carlos Moretti Junior 90
Conversão de Taxas
Taxa Equivalente Pela HP-12C
1. Digite a taxa conhecida (ic) e pressione [ ENTER ].
2. Digite 100 e pressione [ ÷ ].
3. Digite 1 e pressione [ + ].
4. Digite o prazo da taxa a ser calculada (qq) e pressione
[ ENTER ].
5. Digite o prazo da taxa informada (qt) e pressione [ ÷ ] [ yx ].
6. Digite 1 e pressione [ - ].
7. Digite 100 e pressione [ x ].
16
José Carlos Moretti Junior 91
Conversão de Taxas
Taxa Equivalente Pela HP-12C
Calcular a equivalência ao mês da taxa 79,5856% ao ano.
Dados:
ic = 79,5856% a.a.
i(eq) = ? 
(12) Exemplo:
José Carlos Moretti Junior 92
Conversão de Taxas
Taxa Equivalente Pela HP-12C
5,00% a.m.
4,999998[ x ]100,00
0,049999[ - ]1,00
1,049999[ yx ]
0,083333[ ÷ ]12,00
1,00[ ENTER ]1,00
1,795856[ + ]1,00
0,795856[ ÷ ]100,00
79,5856[ ENTER ]79,5856
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
qq
qt
José Carlos Moretti Junior 93
O que é descontar?
 Obter valor presente
 Retirando os juros do valor futuro
Desconto = Juros
José Carlos Moretti Junior 94
Sinônimos em Desconto
Valor futuro
Montante
Valor de face
Valor do título
Valor nominal
Valor presente
Capital inicial
Valor líquido
José Carlos Moretti Junior 95
Exemplo Genérico
 Pagar no futuro, receber a vista
0 n
Descontar
Retirar os juros
Valor nominal
Valor líquido
(-) Desconto
Preciso do dinheiro hoje!!!
Sinônimos
Valor nominal
Valor futuro
Valor líquido
Valor presente
Desconto
Juros
José Carlos Moretti Junior 96
Exemplo Usual
 Uma empresa possui uma 
duplicata a receber no valor 
de $4.000,00 em três meses
 Porém, precisa do dinheiro 
hoje
 Resolve descontar (trazer a 
valor presente) o título
 O banco cobra uma taxa de 
desconto igual a 6% a.m.
Qual o desconto sofrido?
$4.000,00
0 3
Situação original
-$4.000,00
VP
Nova situação
Usando o
desconto
racional …
17
José Carlos Moretti Junior 97
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”)
Desconto Racional Simples: Dr = Dr = Ar . i . n
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
N = valor nominal (também chamado de valor de 
face) é o valor do título apontado na data de vencimento.
Valor Atual: Ar = Ar = N - Dr
José Carlos Moretti Junior 98
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”)
Desconto RacionalDesconto Racional
A taxa de jurosA taxa de juros
incide sobre oincide sobre o
Valor PresenteValor Presente
ou Por Dentroou Por Dentro
José Carlos Moretti Junior 99
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”)
 niFVPV  1
 ni
PVFV


1
n
FV
PV
i





 

1
i
FV
PV
n





 

1
José Carlos Moretti Junior 100
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”)
AtençãoAtenção
Alguns sinônimos costumamAlguns sinônimos costumam
ser usados nas operações de desconto : ser usados nas operações de desconto : 
Valor Presente = Valor LíquidoValor Presente = Valor Líquido
Valor Nominal = Valor FuturoValor Nominal = Valor Futuro
José Carlos Moretti Junior 101
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”) Pela 
HP-12C
(13) Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é 
descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de 
juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto 
racional? E qual é o valor atual?
Dados:
N = R$ 25.000,00
n = 2 meses
i = 2,5% a.m.
Dr = ?
Ar = ? José Carlos Moretti Junior 102
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”) Pela 
HP-12C
R$ 1.190,48
1.190,48[ ÷ ]
1,05[ + ]
0,05[ x ]2,00
0,025[ ENTER ]0,025
1,00[ ENTER ]1,00
1.250,00[ x ]2,00
625,00[ x ]0,025
25.000,00[ ENTER ]25.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
Dr
18
José Carlos Moretti Junior 103
Desconto Simples
Desconto Racional Simples (“Por Dentro”) Pela 
HP-12C
Dr
R$ 23.806,52
23.806,52[ + ]25.000,00
-1.190,48[ CHS ]
R$ 1.190,48
VisorPressioneDigite
Ar
José Carlos Moretti Junior 104
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
 Nas operações de desconto 
comercial, com o objetivo de 
tornar mais fácil os cálculos, a 
instituição financeira costuma 
fazer incidir a taxa sobre o valor 
futuro
Cuidado! O banco 
apenas simplifica 
contra o bolso do 
cliente!!!
José Carlos Moretti Junior 105
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
Desconto Comercial Simples: Dc = Dc = N . i . n
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
N = valor nominal.
Valor Atual: AcAc = = N - Dc
Valor Atual: AcAc = = N . (1 – d . n)
José Carlos Moretti Junior 106
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
Desconto ComercialDesconto Comercial
A taxa de jurosA taxa de juros
incide sobre oincide sobre o
Valor FuturoValor Futuro
ou Por Foraou Por Fora
José Carlos Moretti Junior 107
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
 Objetivo :
 apresentar os conceitos de desconto comercial
 diferenciar taxas de desconto 
e efetivas
José Carlos Moretti Junior 108
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
 Uma empresa possui uma 
duplicata a receber no valor 
de $4.000,00 em três meses
 Porém, precisa do dinheiro 
hoje
 Resolve descontar (trazer a 
valor presente) o título
 O banco cobra uma taxa de 
desconto igual a 6% a.m.
Qual o desconto sofrido?
$4.000,00
0 3
Situação original
-$4.000,00
VP
Nova situação
Usando o
desconto
racional …
19
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
 Dc = N . i . n
 Cuidado: 
 i = taxa de desc comercial
 Do enunciado:
 N = 4000
 i = 6% a.m.
 n = 3 meses
 Desconto:
 Dc = N . i . n
 D = 4000 . 0,06 . 3 = $720,00
 Obs: anterior (racional simples) foi igual 
a $610,17
$4.000,00
0 3
-$4.000,00
0 3
VF = VP (1+in)
4000 = 3280 (1+i.3)
i = [(4000/3280)-1]/3
i = 7,32% a.m.
Situação original
Nova situação
Ta
xa
 e
fe
tiv
a
VP ou Líquido4000 – 720 = $3.280,00
E a taxa efetiva simples?
Importantíssimo!!!
José Carlos Moretti Junior 110
 A taxa de desconto comercial 
incide sobre o valor futuro!
 O valor futuro é sempre maior 
que o valor presente!
Cuidado!!!
 A taxa efetiva (que incide sobre 
o valor presente) será sempre 
maior!
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”)
José Carlos Moretti Junior
111
Uma empresa quer descontar um título 
a receber no valor de $10.000,00 em 5 
meses mediante desconto comercial a 
4% a.m. Calcule: a) desconto; b) valor 
líquido; c) taxa efetiva mensal simples.
--10.000,0010.000,00
+VP+VP
55
taxataxa = 2000/8000 = 25% = 2000/8000 = 25% aoao períodoperíodoDc = N . I . nDc = N . I . n
00 mesesmeses
Dc = 10000 x 0,04 x 5Dc = 10000 x 0,04 x 5
a) Dc = 2000a) Dc = 2000
b) Ac = N b) Ac = N -- Dc = 8000Dc = 8000
c) taxa = 5% ao mêsc) taxa = 5% ao mês
José Carlos Moretti Junior 112
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”) Pela 
HP-12C
(14) Exemplo:
Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é 
descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa 
de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto 
bancário? E qual é o valor atual?
Dados:
N = R$ 25.000,00
n = 2 meses
i = 2,5% a.m.
Dc = ?
Ac = ? 
José Carlos Moretti Junior 113
Desconto Simples
Desconto Comercial Simples (“Por Fora”) Pela 
HP-12C
R$ 23.750,00
23.750,00[ + ]25.000,00
-1.250,00[ CHS ]
R$ 1.250,00
1.250,00[ x ]2,00
625,00[ x ]0,025
25.000,00[ ENTER ]25.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
Dc
Ac
José Carlos Moretti Junior 114
Desconto Composto
Desconto Racional Composto
Desconto Racional Composto: Dr = Dr = N - Ar
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
N = valor nominal.
Valor Atual: Ar = Ar = N ÷÷ (1 + i)(1 + i)nn
20
José Carlos Moretti Junior 115
Desconto Composto
Desconto Racional Composto Pela HP-12C
(15) Exemplo:
Determinar o desconto racional composto e o valor atual 
de um título de valor nominal de R$ 25.000,00, 
considerando uma taxa de juros compostos de 2,5% ao 
mês, sendo descontado 2 meses antes de seu 
vencimento.
Dados:
N = R$ 25.000,00
n = 2 meses
i = 2,5% a.m.
Dr = ?
Ar = ? José Carlos Moretti Junior 116
Desconto Composto
Desconto Racional Composto Pela HP-12C
Dr
Ar
R$ 1.204,64
1.204,64[ + ]
25.000,00[ FV ]
-23.795,36[ RCL ]
R$ 23.795,36
-23.795,36[ PV ]
2,00[ n ]2,00
2,50[ i ]2,50
25.000,00[ FV ]25.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 117
Desconto Composto
Desconto Bancário ou Comercial Composto
Desconto Comercial Composto: Dc = Dc = N - Ac
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
N = valor nominal.
Valor Atual: Ac = Ac = N x (1 x (1 -- i)i)nn
José Carlos Moretti Junior 118
Desconto Composto
Desconto Bancário ou Comercial Composto Pela 
HP-12C
(16) Exemplo:
Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00, 60 dias para 
seu vencimento, é descontada a uma taxa de 2,5% ao 
mês, de acordo com o conceito de desconto composto. 
Calcular o valor atual creditado na conta e o valor do 
desconto concedido.
Dados:
N = R$ 25.000,00
n = 60 dias (60 dias ÷ 30 dias = 2 meses)
i = 2,5% a.m.
Ac = ?
Dc = ? 
José Carlos Moretti Junior 119
Desconto Composto
Desconto Bancário ou Comercial Composto Pela 
HP-12C
Ac
DcR$ 1.234,38
1.234,38[ + ]25.000,00
-23.765,62[ CHS ]
R$ 23.765,62
23.765,62[ x ]
0,950625[ yx ]2,00
0,975[ - ]0,025
1,00[ ENTER ]1,00
25.000,00[ ENTER ]25.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 120
Operações com taxas...
 Objetivos :
 discutir aspectos 
relacionados às operações
com taxas de juros
 taxas nominais ou over
 operações práticas no Brasil
21
José Carlos Moretti Junior 121
Cuidados com as taxas...
Taxas de MentirinhaTaxas de Mentirinha
Não podem ser Não podem ser 
operadasoperadas
algebricamentealgebricamente
CUIDADO !!!CUIDADO !!!
Over, Instantânea, etc.Over, Instantânea, etc.
José Carlos Moretti Junior 122
Operações com taxas...
Taxas AparentesTaxas Aparentes
Refletem variações Refletem variações 
nominais, incluindo a nominais, incluindo a 
variação inflacionáriavariação inflacionária
José Carlos Moretti Junior 123
Série Uniforme de Pagamentos 
Períodicos
 Objetivos :
 discutir os principais
aspectos associados às
séries uniformes
 diferenciar séries ante-
cipadas, postecipadas e
diferidas
José Carlos Moretti Junior 124
Série Uniforme de Pagamentos 
Períodicos
Características BásicasCaracterísticas Básicas
• Parcelas de mesmo Valor Nominal
• Intervalo constante entre as parcelas
ClassificaçãoClassificação
• Postecipada (ou postergada)
• Antecipada
• Diferida
José Carlos Moretti Junior 125
Série Uniforme de Pagamentos 
Períodicos
 Consistem em uma sequência de recebimentos 
ou pagamentos, cujos valores são iguais.
 Genericamente, as séries uniformes podem ser 
representadas de acordo com a figura seguinte.
José Carlos Moretti Junior 126
Série Uniforme de Pagamentos 
Períodicos Pela HP-12C
BEG (BEGin = início), quando os pagamentos forem 
realizados no início dos períodos; e
END (END = fim), quando os pagamentos forem 
realizados no final dos períodos[1].
[1] O indicador de estado BEG fica aceso no visor quando tal modalidade está em vigor. Se o 
BEG não estiver no visor, a modalidade de pagamento em vigor será END (padrão de fábrica).
22
José Carlos Moretti Junior 127
Série Uniforme de Pagamentos 
Períodicos Pela HP-12C
1. Digite o número de períodos e pressione [ n ]. (se for 
fornecido)
2. Digite o valor presente e pressione [ CHS ] [ PV ]. (se 
for fornecido)
3. Digite o valor futuro e pressione [ FV ]. (se for 
fornecido)
4. Digite a taxa de juros e pressione [ i ]. (se for 
fornecido)
5. Pressione [ PMT ] para calcular e exibir a prestação.
José Carlos Moretti Junior 128
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada
Valor PresenteValor Presente
n Pagamentos Periódicosn Pagamentos Periódicos
Sem EntradaSem Entrada
0
PostecipadaPostecipada
PMT
O pagamento ocorreO pagamento ocorre
ao final do primeiroao final do primeiro
períodoperíodo
José Carlos Moretti Junior 129
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada
1 2 3 n -1 n0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
tempo......
José Carlos Moretti Junior 130
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada
ParcelaPV: 
Onde:
i = taxa de desconto; e
n = período de desconto.
Valor Presente: PV = PMT x {[(1 + i)n - 1] ÷ [(1 + i)n x i]}
PMT = PV x {[(1 + i)PMT = PV x {[(1 + i)n x i] x i] ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)n -- 1]}1]}
José Carlos Moretti Junior 131
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada Pela HP-12C
(17) Exemplo:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado 
através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, 
vencendo a primeira parcela a 30 dias da liberação dos 
recursos, sendo de 3,5% ao mês a taxa de juros 
negociada na operação.
Dados:
PMT = R$ 1.500,00
n = 6 meses
i = 3,5% a.m.
PV = ?
José Carlos Moretti Junior 132
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada Pela HP-12C
R$ 7.992,83
7.992,83[ PV ]
3,50[ i ]3,50
6,00[ n ]6,00
-1.500,00[ PMT ]
-1.500,00[ CHS ]1.500,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
23
José Carlos Moretti Junior 133
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada
1 2 3 n -1 n0
PMT
PMT
PMT
PMT
tempo.......
PMT
José Carlos Moretti Junior 134
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada
Onde:
i = taxa de desconto; e
n = período de desconto.
Valor Futuro: 
ParcelaFV: 
FV = PMT x {[(1 + i)n - 1] ÷ i}
PMT = FV x {i PMT = FV x {i ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)n -- 1]}1]}
José Carlos Moretti Junior 135
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada Pela HP-12C
(18) Exemplo:
Determinar o valor de depósitos mensais que, quando 
aplicado a uma taxa de 4% ao mês durante 7 meses, 
produz um montante de R$ 5.000,00, pelo regime de 
juros compostos.
Dados:
FV = R$ 5.000,00
n = 7 meses
i = 4% a.m.
PMT = ? 
José Carlos Moretti Junior 136
Série Uniforme de Pagamentos
Postecipada Pela HP-12C
R$ 633,05
-633,05[ PMT ]
4,00[ i ]4,00
7,00[ n ]7,00
5.000,00[ FV ]5.000,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 137
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada
Valor PresenteValor Presente
N Pagamentos PeriódicosN Pagamentos Periódicos
Com EntradaCom Entrada
0
AntecipadaAntecipada
PMT
O pagamentoocorreO pagamento ocorre
no início do primeirono início do primeiro
períodoperíodo
José Carlos Moretti Junior 138
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada
1 2 3 n -1 n0
PMT
PMT
PMT
PMT
PMT
tempo......
24
José Carlos Moretti Junior 139
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada
ParcelaPV: 
Onde:
i = taxa de desconto; e
n = período de desconto.
Valor Presente: PV = PMT x {[(1 + i)PV = PMT x {[(1 + i)nn –– 1] 1] ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)nn--11 x i]}x i]}
PMT = PV x {[(1 + i)PMT = PV x {[(1 + i)nn--11 x i] x i] ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)nn –– 1]}1]}
José Carlos Moretti Junior 140
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada Pela HP-12C
(19) Exemplo:
Um automóvel que custa à vista R$ 17.800,00 pode ser 
financiado em 36 pagamentos iguais; sabendo-se que a 
taxa de financiamento é de 1,99% ao mês, calcule o 
valor da prestação mensal deste financiamento.
Dados:
PV = R$ 17.800,00
n = 36 meses
i = 1,99% a.m.
PMT = ? 
José Carlos Moretti Junior 141
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada Pela HP-12C
R$ 683,62
-683,62[ PMT ]
1,99[ i ]1,99
36,00[ n ]36,00
17.800,00[ PV ]17.800,00
0,00[ g ] CLEAR [ BEG ]
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 142
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada
1 2 3 n -1 n0
PMT
PMT
PMT
PMT
tempo.......
PMT
José Carlos Moretti Junior 143
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada
Onde:
i = taxa de desconto; e
n = período de desconto.
Valor Futuro: 
ParcelaFV: 
FV = PMT x {[(1 + i)FV = PMT x {[(1 + i)nn -- 1] 1] ÷÷ i} x (1 + i)i} x (1 + i)
PMT = FV x {i PMT = FV x {i ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)nn -- 1]} x [1 1]} x [1 ÷÷ (1 + i)](1 + i)]
José Carlos Moretti Junior 144
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada Pela HP-12C
(20) Exemplo:
Um poupador necessita acumular nos próximos 5 anos 
a importância de R$ 37.500,00, e acredita que, se na 
data de hoje abrir uma caderneta de poupança, com 
depósitos mensais de R$ 500,00, ele terá o valor que 
precisa. Considerando que a poupança pague, em 
média, uma taxa de 0,8% ao mês, o poupador 
conseguirá acumular o valor de que precisa?
Dados:
PMT = R$ 500,00
n = 5 anos (5 anos x 12 meses = 60 meses)
i = 0,8% a.m.
FV = ? 
25
José Carlos Moretti Junior 145
Série Uniforme de Pagamentos
Antecipada Pela HP-12C
R$ 38.618,43
38.618,43[ FV ]
0,80[ i ]0,80
60,00[ n ]60,00
-500,00[ PMT ]
-500,00[ CHS ]500,00
0,00[ g ] [ BEG ]
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 146
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida
VP = Valor PresenteVP = Valor Presente
PMT = Prestações ou PagamentosPMT = Prestações ou Pagamentos
0
n = número de pagamentos iguaisn = número de pagamentos iguais
CarênciaCarência
m +1m +1
José Carlos Moretti Junior 147
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida
1 n n + 3 n + n0
PMT
tempon + 2n + 1
PMT
PMT
PMT
José Carlos Moretti Junior 148
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
c = período de carência.
Valor Presente: 
ParcelaPV: 
PV = {PMT . {[1 PV = {PMT . {[1 -- (1 + i)(1 + i)--nn] ] ÷÷ i}} i}} ÷÷ (1 + i)(1 + i)cc--11
PMT = [PV . (1 + i)PMT = [PV . (1 + i)cc--11 . i] . i] ÷÷ [1 [1 -- (1 + i)(1 + i)--nn]]
José Carlos Moretti Junior 149
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
(21) Exemplo:
Uma mercadoria encontra-se em promoção e é 
comercializada em 5 prestações iguais de R$ 150,00; a 
loja está oferecendo ainda uma carência de 5 meses 
para o primeiro pagamento. Determine o valor à vista 
desta mercadoria, sabendo-se que a taxa de juros 
praticada pela loja é de 3% ao mês.
Dados:
PMT = R$ 150,00
n = 5 meses
c = 5 meses
i = 3% a.m.
PV = ? 
José Carlos Moretti Junior 150
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
R$ 686,96
686,96[ PV ]
3,00[ i ]3,00
5,00[ n ]5,00
-150,00[ PMT ]
-150,00[ CHS ]150,00
0,00[ g ] [ END ]
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
26
José Carlos Moretti Junior 151
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
R$ 610,35
610,35[ PV ]
4,00[ n ]4,00
0,00[ PMT ]0,00
-686,96[ PV ]
-686,96[ FV ]
-686,96[ CHS ]
R$ 686,96
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 152
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida
1 n n + 3 n + n0
PMT
tempon + 2n + 1
PMT
PMT
PMT
José Carlos Moretti Junior 153
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida
Onde:
i = taxa de desconto;
n = período de desconto; e
c = período de carência.
Valor Futuro: FV = PMT . {[(1 + i)n1 – 1] ÷ i} . (1 + i)n2
José Carlos Moretti Junior 154
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
(22) Exemplo:
Um poupador efetuava regularmente depósitos em uma conta de 
poupança. Após 12 meses este poupado teve de interromper os 
depósitos, mas não efetuou nenhum saque, e gostaria de saber 
quanto terá após 6 meses, considerando-se que os valores dos 
depósitos eram de R$ 200,00 e que a taxa média de juros para os 
primeiros 12 meses era de 1% ao mês e que para os próximos 6 
meses estimou-se uma taxa de 0,8% ao mês. Quanto o poupador 
terá após todo o período?
Dados:
PMT = R$ 200,00
i12 = 1% a.m.
i6 = 0,8% a.m.
n12 = 12 meses
n6 = 6 meses
FV = ? 
José Carlos Moretti Junior 155
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
R$ 2.536,50
-2.536,50[ FV ]
1,00[ i ]1,00
12,00[ n ]12,00
200,00[ PMT ]200,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
José Carlos Moretti Junior 156
Série Uniforme de Pagamentos
Diferida Pela HP-12C
R$ 2.660,71
-2.660,71[ FV ]
6,00[ n ]6,00
0,80[ i ]0,8
0,00[ PMT ]0,00
2.536,50[ PV ]
2.536,50[ CHS ]
R$ 2.536,50
VisorPressioneDigite
27
José Carlos Moretti Junior 157
Sistemas de Amortização de 
Empréstimos e Financiamentos
 Objetivos :
 discutir os principais sistemas de amortização
 Sistema americano
 Sistema francês ou
tabela Price
 Sistema de Amortizações 
Constantes (SAC)
José Carlos Moretti Junior 158
Sistemas de Amortização de 
Empréstimos e Financiamentos
Amortização é um processo de extinção de uma dívida 
através de pagamentos periódicos, que são realizados 
em função de um planejamento, de modo que cada 
prestação corresponde à soma do reembolso do 
Capital ou do pagamento dos juros do saldo devedor, 
podendo ser o reembolso de ambos, sendo que Juros 
são sempre calculados sobre o saldo devedor.
Em todos os sistemas de amortização, cada 
pagamento é a soma do valor amortizado com os juros 
do saldo devedor, isto é,
Pagamento = Amortização + Juros. 
José Carlos Moretti Junior 159
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
1. Digite a taxa de juros e pressione [ i ].
2. Digite o valor presente e pressione [ PV ].
3. Digite a parcela e pressione [ CHS ] [ PMT ].
4. Pressione [ g ] [ BEG ] ou [ g ] [ END ] para
estabelecer a modalidade de pagamento.
5. Digite o número de pagamentos a ser amortizado.
6. Pressione [ f ] [ AMORT ] para apresentar a partedo pagamento referente aos juros.
José Carlos Moretti Junior 160
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
7. Pressione [ x <> y ] para apresentar a parte dopagamento referente ao principal.
8. Para apresentar o número do pagamento amortizado(introduzido no item 6), pressione [ R ↓ ] [ R ↓ ].
9. Para apresentar o saldo devedor, pressione [ RCL ][ PV ].
10. Para apresentar o número total de pagamentos
amortizados, pressione [ RCL ] [ n ]
11. Repita os passos 5, 6, 7, 8, 9 e 10 para amortizar osdemais pagamentos.
José Carlos Moretti Junior 161
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
(23) Exemplo:
André pegou no banco um empréstimo de R$ 5.000,00 
com juros de 2,5% ao mês, durante três meses. Ele vai 
pagar mensalmente uma prestação de R$ 1.750,69. 
Construa a tabela de amortização para a dívida de 
André. (Modalidade: END)
Dados:
PV = R$ 5.000,00
i= 2,5% a.m.
PMT = R$ 1.750,69
n = 3 meses
José Carlos Moretti Junior 162
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
2,50 [ i ] 2,50
5.000,00 [ PV ] 5.000,00
1.750,69 [ CHS ] -1.750,69
[ PMT ] -1.750,69
[ g ] [ END ] -1.750,69
28
José Carlos Moretti Junior 163
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
1,00[ n ]
3.374,31[ RCL ]
3.374,31[ PV ]
1,00[ RCL ]
1,00[ R ↓ ]
-125,00[ R ↓ ]
-1.625,69[ X <> Y ]
-125,00[ f ] [ AMORT ]1,00
VisorPressioneDigite
Juros 1ª prestação
Principal da
1ª prestação
Saldo devedor
Nº prestações
amortizadas
José Carlos Moretti Junior 164
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
2,00[ n ]
1.707,98[ RCL ]
1.707,98[ PV ]
1,00[ RCL ]
1,00[ R ↓ ]
-84,36[ R ↓ ]
-1.666,33[ X <> Y ]
-84,36[ f ] [ AMORT ]1,00
VisorPressioneDigite
Juros 2ª prestação
Principal da
2ª prestação
Saldo devedor
Nº prestações
amortizadas
José Carlos Moretti Junior 165
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
3,00[ n ]
-0,01[ RCL ]
-0,01[ PV ]
1,00[ RCL ]
1,00[ R ↓ ]
-42,70[ R ↓ ]
-1.707,99[ X <> Y ]
-42,70[ f ] [ AMORT ]1,00
VisorPressioneDigite
Juros 3ª prestação
Principal da
3ª prestação
Saldo devedor
Nº prestações
amortizadas
José Carlos Moretti Junior 166
Sistemas de Amortização
Pela HP-12C
n Saldo Devedor
Principal 
Amortizado Juros Parcela
0 5.000,00 0,00 0,00 0
1 3.374,31 1.625,69 125,00 1.750,69
2 1.707,98 1.666,33 84,36 1.750,69
3 -0,01 1.707,99 42,70 1.750,69
∑ 5.000,01 252,06 5.252,07
José Carlos Moretti Junior 167
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price
 O sistema francês, algumas vezes denominado 
genericamente de tabela Price (vide comentário no 
livro) apresenta a característica de ser uma série 
uniforme:
 pagamentos ou recebimentos iguais
 Seu diagrama de fluxo de caixa pode ser visto na 
figura seguinte.
José Carlos Moretti Junior 168
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price
VP = Valor PresenteVP = Valor Presente
Pagamentos de Prestações Periódicas IguaisPagamentos de Prestações Periódicas Iguais
0
29
José Carlos Moretti Junior 169
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price
Onde:
PV = valor presente;
i = taxa de juros; e
n = período.
Parcela: PMT = PV . {[(1 + i)PMT = PV . {[(1 + i)nn . i] . i] ÷÷ [(1 + i)[(1 + i)nn -- 1]}1]}
Juro: J = PV . i . nJ = PV . i . n
Parcela de 
amortização: PAPAnn = PMT = PMT -- JJ
Saldo Devedor: SDSDnn = SD= SDANTERIORANTERIOR -- PAPAnn
José Carlos Moretti Junior 170
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
(24) Exemplo:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 
10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos iguais, sem 
prazo de carência, calculado pelo Sistema de Amortização 
Francês (S.A.F.). Pede-se elaborar a planilha de 
financiamento.
Dados:
PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% a.m.
PMT = ?
J = ?
PA = ?
SD = ? 
José Carlos Moretti Junior 171
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
[ g ] [ END ] 0,00
10.000,00 [ CHS ] -10.000,00
[ PV ] -10.000,00
10,00 [ i ] 10,00
5,00 [ n ] 5,00
[ PMT ] 2.637,97
José Carlos Moretti Junior 172
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
-6.560,26[ PV ]
1.801,77[ RCL ]
1.801,77[ X <> Y ]
836,20[ f ] [ AMORT ]1
-8362,03[ PV ]
1.637,97[ RCL ]
1.637,97[ X <> Y ]
1.000,00[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 1ª prestação
Principal da
1ª prestação
Saldo devedor
Juros 2ª prestação
Principal da
2ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 173
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
-2.398,18[ PV ]
2.180,14[ RCL ]
2.180,14[ X <> Y ]
457,83[ f ] [ AMORT ]1
-4.578,32[ PV ]
1.981,94[ RCL ]
1.981,94[ X <> Y ]
656,03[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 3ª prestação
Principal da
3ª prestação
Saldo devedor
Juros 4ª prestação
Principal da
4ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 174
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
-0,03[ PV ]
2.398,15[ RCL ]
2.398,15[ X <> Y ]
239,82[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 5ª prestação
Principal da
5ª prestação
Saldo devedor
30
José Carlos Moretti Junior 175
Sistemas de Amortização
Sistema Francês de Amortização (S.A.F.)
Sistema Price Pela HP-12C
n Saldo Devedor
Parcela de
Amortização Juros Parcela
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97
2 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97
3 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97
4 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97
5 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97
∑ 9.999,97 3.189,88 13.189,85
José Carlos Moretti Junior 176
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios
Neste caso, não haverá a parcela de amortização
durante o período de carência, apenas o pagamento dos
juros compensatórios.
José Carlos Moretti Junior 177
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
(25) Exemplo:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 
10% ao mês, para ser pago em 5 pagamentos iguais, com 
carência de 2 meses, calculado pelo Sistema de Amortização 
Francês (S.A.F.). Pede-se elaborar a planilha de financiamento.
Dados:
PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% a.m.
c = 2 meses
PMT = ?
J = ?
PA = ?
SD = ? José Carlos Moretti Junior 178
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
[ g ] [ END ] 0,00
10.000,00 [ ENTER ] 10.000,00
[ % ] 1.000,00
[ X <> Y ] 10.000,00
10 [ % ] 1.000,00
10.000,00 [ CHS ] -10.000,00
[ PV ] -10.000,00
10,00 [ i ] 10,00
5,00 [ n ] 5,00
[ PMT ] 2.637,97
n = 1
n = 2
José Carlos Moretti Junior 179
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
-6.560,26[ PV ]
1.801,77[ RCL ]
1.801,77[ X <> Y ]
836,20[ f ] [ AMORT ]1
-8362,03[ PV ]
1.637,97[ RCL ]
1.637,97[ X <> Y ]
1.000,00[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 3ª prestação
Principal da
3ª prestação
Saldo devedor
Juros 4ª prestação
Principal da
4ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 180
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
-2.398,18[ PV ]
2.180,14[ RCL ]
2.180,14[ X <> Y ]
457,83[ f ] [ AMORT ]1
-4.578,32[ PV ]
1.981,94[ RCL ]
1.981,94[ X <> Y ]
656,03[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 5ª prestação
Principal da
5ª prestação
Saldo devedor
Juros 6ª prestação
Principal da
6ª prestação
Saldo devedor
31
José Carlos Moretti Junior 181
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
-0,03[ PV ]
2.398,15[ RCL ]
2.398,15[ X <> Y ]
239,82[ f ] [ AMORT ]1
VisorPressioneDigite
Juros 7ª prestação
Principal da
7ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 182
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Juros Compensatórios 
Pela HP-12C
n Saldo Devedor
Parcela de 
Amortização Juros Parcela
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00
2 10.000,00 0,00 1.000,00 1.000,00
3 8.362,03 1.637,97 1.000,00 2.637,97
4 6.560,26 1.801,77 836,20 2.637,97
5 4.578,32 1.981,94 656,03 2.637,97
6 2.398,18 2.180,14 457,83 2.637,97
7 0,03 2.398,15 239,82 2.637,97
∑ 9.999,97 5.189,88 15.189,85
José Carlos Moretti Junior 183
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido
Neste caso,não se paga os juros compensatórios, na
verdade os juros serão acrescidos ao saldo devedor com
base no regime de capitalizado composta, e, na
seqüência, calcula-se a prestação com base no conceito
de uma série uniforme de pagamentos periódicos
postecipadas.
José Carlos Moretti Junior 184
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
(26) Exemplo:
Um banco empresta o valor de R$ 10.000,00, com a taxa de 10% 
ao mês, para ser pago em 5 pagamentos iguais, com carência de 2 
meses; porém, não haverá o respectivo pagamento de juros 
durante o período de carência, devendo, portanto, ser incorporado 
ao saldo devedor, calculado pelo Sistema de Amortização Francês 
(S.A.F.). Pede-se elaborar a planilha de financiamento.
Dados:
PV = R$ 10.000,00
n = 5 meses
i = 10% a.m.
c = 2 meses
PMT = ?
J = ?
PA = ?
SD = ?
José Carlos Moretti Junior 185
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
[ g ] [ END ] 0,00
10.000,00 [ ENTER ] 10.000,00
1,10 [ x ] 11.000,00
1,10 [ x ] 12.100,00
[ CHS ] -12.100,00
[ PV ] -12.100,00
10,00 [ i ] 10,00
5,00 [ n ] 5,00
[ PMT ] 2.637,97
n = 1
n = 2
José Carlos Moretti Junior 186
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
1 [ f ] [ AMORT ] 1.000,00
[ X <> Y ] 1.637,97
[ RCL ] 1.637,97
[ PV ] -8362,03
1 [ f ] [ AMORT ] 836,20
[ X <> Y ] 1.801,77
[ RCL ] 1.801,77
[ PV ] -6.560,26
Juros 3ª prestação
Principal da
3ª prestação
Saldo devedor
Juros 4ª prestação
Principal da
4ª prestação
Saldo devedor
32
José Carlos Moretti Junior 187
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
1 [ f ] [ AMORT ] 656,03
[ X <> Y ] 1.981,94
[ RCL ] 1.981,94
[ PV ] -4.578,32
1 [ f ] [ AMORT ] 457,83
[ X <> Y ] 2.180,14
[ RCL ] 2.180,14
[ PV ] -2.398,18
Juros 5ª prestação
Principal da
5ª prestação
Saldo devedor
Juros 6ª prestação
Principal da
6ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 188
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
1 [ f ] [ AMORT ] 239,82
[ X <> Y ] 2.398,15
[ RCL ] 2.398,15
[ PV ] -0,03
Juros 7ª prestação
Principal da
7ª prestação
Saldo devedor
José Carlos Moretti Junior 189
Sistemas de Amortização
S.A.F. com Carência e Saldo Devedor Corrigido 
Pela HP-12C
n Saldo Devedor
Parcela de 
Amortização Juros Parcela
0 10.000,00 0,00 0,00 0,00
1 11.000,00 0,00 0,00 0,00
2 12.100,00 0,00 0,00 0,00
3 10.118,05 1.981,95 1.210,00 3.191,95
4 7.937,91 2.180,14 1.011,81 3.191,95
5 5.539,75 2.398,15 793,79 3.191,95
6 2.901,78 2.637,97 553,98 3.191,95
7 0,01 2.901,77 290,18 3.191,95
∑ 12.099,99 3.859,76 15.959,75
José Carlos Moretti Junior 190
Outros Sistemas de Amortização
Existem vários outros sistemas de amortizações, tais 
como, o Sistema de Amortização Constante (S.A.C.), 
o Sistema de Amortização Misto (S.A.M.), o Sistema 
de Amortização Crescente (SACRE), o Sistema de 
Amortização Alemão e o Sistema de Amortização 
Americano (S.A.A.). 
José Carlos Moretti Junior 191
Outros Sistemas de Amortização
Sistema de Amortizações Constantes
 É caracterizado por apresentar pagamentos 
constantes do principal
 Juros e prestações caem com o passar do tempo
 Seu diagrama de fluxo de caixa pode ser visto na 
figura seguinte.
José Carlos Moretti Junior 192
Outros Sistemas de Amortização
Sistema de Amortizações Constantes
VP = Valor PresenteVP = Valor Presente
Amortizações IguaisAmortizações Iguais0
Pagamento de JurosPagamento de Juros
33
José Carlos Moretti Junior 193
Outros Sistemas de Amortização
Sistema Americano
VP = Valor PresenteVP = Valor Presente
Pagamentos de Juros PeriódicosPagamentos de Juros Periódicos
0
Pagamento do Valor NominalPagamento do Valor Nominal
José Carlos Moretti Junior 194
Análise de Projetos e Decisões 
de Investimentos
Fluxo de Caixa - Calculadoras
Série postecipada + Parcela finalSérie postecipada + Parcela final
1 2 3 nn - 1
ENDENDPV
PMT FV
0
José Carlos Moretti Junior 195
Análise de Projetos e Decisões 
de Investimentos
Fluxo de Caixa - Calculadoras
Série antecipada + Parcela finalSérie antecipada + Parcela final
1 2 3 nn - 1
BEGINBEGINPV
PMT FV
0
José Carlos Moretti Junior 196
Valor Presente Líquido (VPL)
Soma todos os FluxosSoma todos os Fluxos
de Caixa na data zerode Caixa na data zero
Valor Presente LíquidoValor Presente Líquido
José Carlos Moretti Junior 197
Valor Presente Líquido (VPL)
Processo de decisão sobre um projeto
Calcula-se o VPL do Fluxo de Caixa do projeto 
(Valor presente das entradas menos Valor presente 
das saídas), utilizando-se a Taxa de Oportunidade
VPL Taxa Real de Retorno
Negativo Menor que a taxa desejada (deve ser recusado).
Igual a 
Zero Igual a taxa desejada (indiferente).
Positivo Maior que a taxa desejada (deve ser aceito).
José Carlos Moretti Junior 198
Valor Presente Líquido (VPL)
VPL: VPL = ∑nj=1 [FCn ÷ (1 + i)n] – PV0
Onde:
FCn = fluxo de caixa para n períodos;
PV0 = valor do investimento inicial;
i = taxa de juros; e
n = período.
34
José Carlos Moretti Junior 199
Valor Presente Líquido (VPL)
Pela HP-12C
1. Pressione [ f ] CLEAR [ FIN ] para limpar o registrador financeiro.
2.
Introduza o investimento inicial, pressione [ CHS ] [ g ]
[ CF0 ]. Se não houver investimento inicial, pressione 0
[ g ] [ CF0 ].
3.
Introduza o próximo fluxo de caixa, pressione [ CHS ] se
o fluxo for negativo (prejuízo), depois [ g ] [ CFj ]. Se
não houver fluxo de caixa no próximo período, pressione
0 [ g ] [ CFj ].
4. Repita o passo 3 para todos os fluxos de caixa.
5. Introduza a taxa de juros (custo de oportunidade), e
aperte [ i ].
6. Pressione [ f ] [ NPV ]. José Carlos Moretti Junior 200
Valor Presente Líquido (VPL)
Pela HP-12C
(27) Exemplo:
Um investimento de R$ 1.200,00 gera 3 entradas de 
caixa consecutivos de R$ 650,00, R$ 250,00 e R$ 
450,00. Considerando uma taxa de 5% ao ano, 
determinar o valor presente líquido.
Dados:
Investimento Inicial (PV0) = R$ 1.200,00
Entradas de caixa (FCn) = R$ 650,00, R$ 250,00 e R$ 
450,00
Prazo (n) = 3 anos
Custo de oportunidade (i) = 5% a.a.
VPL = ?
José Carlos Moretti Junior 201
Valor Presente Líquido (VPL)
Pela HP-12C
1 2
0
3
650
250 450
1.200
Fluxo de CaixaFluxo de Caixa
José Carlos Moretti Junior 202
Valor Presente Líquido (VPL)
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.200,00 [ CHS ] -1.200,00
[ g ] -1.200,00
[ CF0 ] -1.200,00
650,00 [ g ] 650,00
[ CFj ] 650,00
250,00 [ g ] 250,00
[ CFj ] 250,00
450,00 [ g ] 450,00
[ CFj ] 450,00
Valor do 
investimento inicial
Fluxo de Caixa
(entradas)
José Carlos Moretti Junior 203
Valor Presente Líquido (VPL)
Pela HP-12C
Como o VPL foi positivo (VPL > 0), o projeto de ser 
aceito
Digite Pressione Visor
5 [ i ] 5,00
[ f ] 5,00
[ NPV ] 34,53
R$ 34,53
custo de 
oportunidade
Valor Presente 
Líquido
José Carlos Moretti Junior 204
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Valor da taxa de jurosValor da taxa de juros
que torna nulo o VPLque torna nulo o VPL
Taxa Interna de RetornoTaxa Interna de Retorno
35
José Carlos Moretti Junior 205
Taxa Interna de Retorno (TIR)
• A TIR representa a taxa de retorno composta anual.
• A TIR não representa o ganho efetivo de cada período.
• A TIR representa a rentabilidade média ponderada geométrica
dos retornos dos períodos.
• O pressuposto da TIR é que os fluxos de caixa intermediários são
reaplicados à mesma taxa que a TIR. Caso contrário a
rentabilidade (custo)efetivo são diferentes da TIR.
PORTANTO A TIR ESPERADA DE UMA DECISÃO DE 
INVESTIMENTO DEPENDE DOS RESULTADOS DE CAIXA 
PROJETADOS E DA TAXA DE REAPLICAÇÃO DESSES 
FLUXOS.
José Carlos Moretti Junior 206
Taxa Interna de Retorno (TIR)
TIR Taxa Real de Retorno
Negativo Menor que o custo de oportunidade (o projeto deve ser recusado).
Igual a 
Zero
Igual ao custo de oportunidade (o projeto é 
indiferente).
Positivo Maior que o custo de oportunidade (o projeto deve ser aceito).
José Carlos Moretti Junior 207
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pela HP-12C
1. Pressione [ f ] CLEAR [ FIN ] para limpar o registrador financeiro.
2.
Introduza os fluxos de caixa utilizando as instruções do
tópico anterior “VPL – Valor Presente Líquido (NPV - Net
Present Value)”.
3. Pressione [ f ] [ IRR ][1].
[1] [ f ] [ IRR ]: Internal Rate of Retorn= taxa interna de retorno. José Carlos Moretti Junior 208
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pela HP-12C
(28) Exemplo:
Um projeto está sendo oferecido nas seguintes 
condições: um investimento inicial de R$ 1.000,00, com 
entradas de caixas mensais de R$ 300,00, R$ 500,00 e 
R$ 400,00 consecutivas, sabendo-se que um custo de 
oportunidade aceitável é de 10% ao mês. O Projeto 
deve ser aceito?
Dados:
Investimento Inicial (CF0) = R$ 1.000,00
Entradas de caixa (FCn) = R$ 300,00, R$ 500,00 e R$ 
400,00
Custo de oportunidade (i) = 10% a.m.
TIR = ?
José Carlos Moretti Junior 209
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pela HP-12C
1 2
0
3
300 400
1.000
500
Fluxo de CaixaFluxo de Caixa
José Carlos Moretti Junior 210
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] CLEAR [ REG ] 0,00
1.000,00 [ CHS ] -1.000,00
[ g ] -1.000,00
[ CF0 ] -1.000,00
300,00 [ g ] 300,00
[ CFj ] 300,00
500,00 [ g ] 500,00
[ CFj ] 500,00
400,00 [ g ] 400,00
[ CFj ] 400,00
Valor do 
investimento inicial
Fluxo de Caixa
(entradas)
36
José Carlos Moretti Junior 211
Taxa Interna de Retorno (TIR)
Pela HP-12C
Digite Pressione Visor
[ f ] 400,00
[ IRR ] 9,26
9,26%
TIR < custo de oportunidade (TIR < 10%), o projeto 
não deve ser aceito 
José Carlos Moretti Junior 212
Operação de Leasing
Esta operação se assemelha, no sentido financeiro, a 
um financiamento que utilize o bem como garantia e 
que pode ser amortizado num determinado número de 
“alugueis” (prestações) periódicas, acrescidos do valor 
residual garantido e do valor devido pela opção de 
compra. Ao final do contrato de arrendamento, o 
arrendatário tem as seguintes opções:
• Comprar o bem por valor previamente contratado;
• Renovar o contrato por um novo prazo, tendo como 
principal o valor residual; ou
• Devolver o bem ao arrendador. 
José Carlos Moretti Junior 213
Operação de Leasing
Pela HP-12C
1. Pressione [ f ] CLEAR [ REG ] para limpar os 
registradores.
2. Digite o valor do bem e pressione [ CHS ] [ PV ][ ENTER ].
3. Digite a taxa do valor residual e pressione [ % ] [ CHS ][ FV ].
4. Digite a taxa de financiamento e pressione [ i ].
5. Digite o prazo da operação e pressione [ n ] [ PMT ](contraprestação SEM valor residual).
6. Digite 0 (zero) e pressione [ FV ] [ PMT ](contraprestação COM valor residual).
José Carlos Moretti Junior 214
Operação de Leasing
Pela HP-12C
(29) Exemplo:
Um automóvel no valor de R$ 18.500,00 está sendo 
adquirido através de uma operação de leasing, com taxa de 
2% ao mês, durante um período de 36 meses. O valor 
residual definido no ato da contratação será de 5% sobre o 
valor do automóvel, para ser pago com a prestação nº 36. 
calcular o valor da prestação com e sem o valor residual.
Dados:
PV0 = R$ 18.500,00
iR = 5%
i = 2% a.m.
n = 36 meses
PMT = ?
PMTL = ? 
José Carlos Moretti Junior 215
Operação de Leasing
Pela HP-12C
R$ 708,02
708,02[ PMT ]
36,00[ n ]36,00
2,00[ i ]2,00
925,00[ FV ]
925,00[ CHS ]
-925,00[ % ]5
-18.500,00[ ENTER ]
-18.500,00[ PV ]
-18.500,00[ CHS ]18.500,00
0,00[ f ] CLEAR [ REG ]
VisorPressioneDigite
Valor residual
SEM residual
José Carlos Moretti Junior 216
Operação de Leasing
Pela HP-12C
COM residualR$ 725,81
725,81[ PMT ]
0,00[ FV ]0,00
VisorPressioneDigite
37
José Carlos Moretti Junior 217
Referência Bibliográfica
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira e suas aplicações. 6 edição. 
São Paulo: Atlas, 2001.
BRANCO, Anísio C. C.. Matemática Financeira Aplicada – Método Algébrico, 
HP-12C, Microsoft Excel©. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
BRUNI, Adriano L.; FAMÁ, Rubens. Matemática Financeira com HP-12C e 
Excel©. 5 edição. São Paulo: Atlas, 2008.
FARIA, Rogério Gomes de. Matemática comercial e financeira. 5 edição. São 
Paulo: McGraw-Hill, 2000.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e Excel. São 
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HEWLETT-PACKARD. HP-12C – Manual do Proprietário e Guia para a Solução 
de Problemas. Brasil: Hewlett-Packard, 1981.
TEIXEIRA, James; NETTO, Scipione Di P. Matemática Financeira. São Paulo: 
Pearson Makron Books, 1998.
ZENTGRAF, Walter. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1995. 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
COM O USO DA HP-12C
OBRIGADO!!!
José Carlos Moretti Junior