Apostila Nivelamento Matemática Básica

Prévia do material em texto

Curso Matemática Básica Algebra 
 
1 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO I - OPERAÇÕES 
 
ORGANIZANDO OS NÚMEROS 
 
O primeiro contato que temos com os números é 
pela contagem, quando surgem, de maneira natural, os 
números 1, 2, 3, 4 etc. Mais tarde, quando estudamos 
nosso sistema de numeração, aparece o 0 (zero). Ele é 
usado para indicar a ausência de unidades numa 
determinada ordem de um número. Chamamos de 
conjunto dos números naturais – símbolo 

 – o 
conjunto formado pelos números 0, 1, 2, 3, ... 
 

 = {0, 1, 2, 3, ...} 
 
Neste conjunto são definidas as operações 
elementares: adição, subtração, multiplicação e divisão. 
Quais dessas operações têm sempre como resultado 
um número natural? Isso é o mesmo que perguntar: 
 
 A soma de dois números naturais é sempre um 
número natural? 
 A diferença de dois números naturais é sempre 
um número natural? 
 O produto de dois números naturais é sempre 
um número natural? 
 O quociente de dois números naturais é 
sempre um número natural? 
 
Então verificamos que: 
A soma e o produto de dois números naturais são 
sempre números naturais. 
 
Veja: 7 - 3 = 4 é um número natural. 
 3 - 7 = -4 não é um número natural 
 
Quando queremos fazer uma subtração em que 
o primeiro número é menor que o segundo, precisamos 
usar os números negativos, que não são números 
naturais. 
Para tornar possível qualquer subtração 
passamos a trabalhar com um conjunto de números 
formado pelos números naturais mais os números 
negativos: os números inteiros. 
Chama-se conjunto dos números inteiros – 
símbolo 
Z
 – o seguinte conjunto: 
 
Z
 = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} 
 
Este conjunto pode ser representado numa reta 
numérica da seguinte maneira: 
 
 
Observamos que: 
 
*os números negativos estão à esquerda do zero, 
portanto todo número negativo é menor que zero; 
 
*os números positivos estão à direita do zero, portanto 
todo número positivo é maior que zero; 
 
*um número é sempre menor que o número que está à 
sua direita. 
 
*os números negativos estão à esquerda dos números 
positivos, logo todo número negativo é menor que 
qualquer número positivo; 
 
Exemplos: » - 3 < 0 (- 3 é menor que zero) 
» - 1 < 1 (- 1 é menor que 1) 
» - 3 < - 1 (- 3 é menor que - 1) 
» 2 > - 1 (2 é maior que - 1) 
» 0 > - 7 (zero é maior que - 7) 
 
No conjunto 
Z
 distinguimos três subconjuntos 
notáveis: 
Z + = {0, 1, 2, 3, ...} =  
(chamado conjunto dos inteiros não negativos) 
 
Z
- = {0, -1, -2, -3, ...} 
(chamado conjunto dos inteiros não positivos) 
 
Z
* = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, ...} 
(chamado conjunto dos inteiros não nulos) 
 
Os números inteiros são geralmente utilizados nos 
seguintes casos: 
. Temperaturas acima ou abaixo de 0oC; 
 . Altitudes acima e abaixo do nível do mar 
 
Agora temos que: 
 
 A soma de números inteiros é um inteiro; 
 O produto de números inteiros é um inteiro; 
 A subtração de números inteiros é um inteiro; 
 
Também já sabemos que: 
 
Na divisão de dois números naturais, o 
quociente só será um número natural quando o primeiro 
número (o dividendo) for múltiplo do segundo (o 
divisor). 
Assim: 
16
4
 = 4 é um número natural. 
Quando isso não acontece, usamos outros números 
para indicar o quociente. 
 
Exemplos : 
5
2
 = 2,5 ou 
1
3
= 0,333 
 
Assim, chamamos de conjunto dos números 
racionais – símbolo  – o conjunto dos números que 
tem representação finita ou infinita periódica (frações, 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
2 
dízimas periódicas, decimais exatos e os números 
inteiros). 
Neste conjunto podemos destacar os seguintes 
subconjuntos: 
  + = conjunto dos racionais não negativos 
  - = conjunto dos racionais não positivos 
  * = conjunto dos racionais não nulos 
 
Agora temos: 
 . As operações de adição, subtração, 
multiplicação e divisão são sempre possíveis no 
conjunto dos números racionais. 
. Qualquer número racional pode ser 
representado por um ponto na reta numérica. 
 
Exemplo: Assinale na reta numérica um número 
racional entre 0 e 1: 
 
Será possível marcar na reta outro número 
racional entre 0 e 1 diferente de 0,5? Entre 0 e 0,5, 
dividindo ao meio o segmento, podemos marcar o 
número 0,25. E agora, será que ainda podemos marcar 
outro número racional entre 0 e 0,25? O mesmo 
processo pode ser repetido: dividindo o novo segmento 
ao meio, marcaremos o número 0,125. Continuando 
sempre o mesmo raciocínio, podemos imaginar que 
entre dois números racionais existem infinitos outros 
números racionais. Daí a impossibilidade de escrever 
todos eles. 
Para ter uma idéia mais clara dos conjuntos 
numéricos, é interessante representá-los por 
diagramas, que são representações gráficas de 
conjuntos por meio de uma curva fechada. Podemos 
escrever os elementos do conjunto dentro do diagrama 
ou apenas o nome do conjunto junto à curva. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1-) Escreva os números inteiros menores que 1. 
 
2-) Escreva um número racional maior que 2. 
 
3-) Escreva ao lado de cada sentença V se ela for 
verdadeira ou F se ela for falsa: 
a) ( ) - 6 é um número inteiro, logo é racional. 
b) ( ) 2,516 é um número decimal exato, logo é racional. 
c) ( ) 0,494949... é um número racional. 
d) ( ) - 5 é um número natural. 
 
4-) Dê exemplos de dois números racionais maiores 
que - 1,4. 
5-) Assinale na reta numérica os números: 
1
3
; -2; 1,5; 
-
1
4
. 
 
A RETA E OS NÚMEROS REAIS 
 
Vimos que os números racionais podem ser: 
frações, inteiros, decimais exatos e dízimas periódicas. 
Observe estes dois números: 0,25 e 0,252525... 
O primeiro tem duas casas decimais, portanto um 
número finito de casas decimais. Por isso, é chamado 
de decimal exato. O segundo tem um número infinito de 
casas decimais com um período que se repete (25). 
Esse número é conhecido como dízima periódica. 
Vejamos o que acontece com o número decimal: 
 
0,010110111... 
Ele tem uma infinidade de casas decimais que 
não se repetem, portanto, não é decimal periódico. 
Pense um pouco e descubra as casas que virão a 
seguir nesse número. Após a vírgula, a 1ª casa decimal 
é o zero, seguido do número 1; depois outro zero, 
seguido duas vezes do número 1, e assim por diante. 
Logo, os próximos algarismos serão o zero e depois 
quatro vezes o número 1. Esse número não é racional. 
Ele é um exemplo de número irracional. 
Todo número irracional tem representação 
decimal infinita e não periódica. 
Outro exemplo de número irracional, bastante 
conhecido e muito importante em Matemática, 
especialmente usado em geometria, é o número  = 
3,141592... Ao estudar a operação de radiciação, e 
particularmente a raiz quadrada, vimos que nem todo 
número natural tem raiz quadrada natural. Os números 
naturais 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, são 
chamados quadrados perfeitos. As raízes quadradas 
desses números são também números naturais: 
 
0 0
 
16 4
 
64 8
 
 
1 1
 
25 5
 
81 9
 
 
4 2
 
36 6
 
100 10
 
 
9 3
 
49 7
 
 
Os outros números naturais, diferentes dos 
números quadrados perfeitos, têm como raízes 
quadradas números irracionais. Outras raízes, com 
índices diferentes de 2 e que não são números 
naturais, também são números irracionais. Por 
exemplo: 
 
3 4
 
4 5
 
3 100
 
 
Ao fazer o cálculo das raízes abaixo, numa calculadora, 
encontramos os seguintes resultados: 
2 1,414213...
 
3 1,73205...
 
5 2,23606...
 
Os pontos que aparecem no final do número não 
aparecemno visor da máquina de calcular. Eles 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
3 
indicam que as casas decimais continuariam a aparecer 
se a máquina fosse maior e comportasse mais 
algarismos. 
Vimos também que podemos assinalar todos os 
números racionais na reta numérica, associando a cada 
número um ponto da reta bem determinada. Podemos 
fazer o mesmo com os números irracionais? Vejamos a 
representação de 
2
na reta numérica, com auxílio de 
uma construção geométrica. 
Vamos construir um triângulo retângulo isósceles 
de catetos iguais a 1 sobre a reta numérica: 
Calculamos a medida da hipotenusa aplicando o 
Teorema de Pitágoras: 
x² = 1² + 1² 
x² = 1 + 1 
x² = 2 
x =
2
 
 
Para marcar na reta a medida da hipotenusa, que 
é 
2
, posicionamos em O a ponta sem grafite (ponta 
seca) de um compasso, com abertura igual ao tamanho 
da hipotenusa. Descrevendo um arco com o compasso, 
encontramos o ponto na reta que corresponde a 
2
: 
 
Na prática, localizamos uma raiz quadrada na 
reta quando conhecemos um valor aproximado da raiz. 
Por exemplo: localize o número 5 na reta numérica. 
Vejamos quais são os números quadrados perfeitos 
mais próximos de 5: 
 
 5 está entre 4 e 9 = 4<5<9 
 
5
 está entre 
4
 e 
9
 = 
4
< 
5
< 
9
 
 
5
 está entre 2 e 3 = 2 < 
5
< 3 
 
Assim, podemos assinalar a 
5
 entre os números 2 e 
3. 
Procurando o valor de 
5
 por tentativa, teremos uma 
localização mais exata. Sabendo que 
5
 está entre 2 
e 3, podemos escrever que 
5
 = 2 ,... 
 
Experimentamos então alguns números, por exemplo: 
2,1 = (2,1)² = 4, 41, que é um valor ainda distante de 5. 
2,2 = (2,2)² = 4, 84, que é bem próximo de 5. 
Então, podemos representar 
5
 na reta com uma 
localização razoável, ou seja, próxima do valor exato do 
número: 
 
 
Sabendo que é possível representar na reta os 
números racionais e os irracionais, podemos chamá-la 
reta real. Na reta real os números estão ordenados. O 
número a é menor que qualquer número x colocado à 
sua direita e maior que qualquer número x à sua 
esquerda. 
O conjunto dos números reais (R), que é a reunião do 
conjunto dos números racionais com o conjunto dos 
números irracionais. Veja o diagrama abaixo: 
 
 
Assim concluímos que o conjunto dos números 
reais é aquele formado por todos os números com 
representação decimal, isto é, os decimais exatos ou 
periódicos (que são os números racionais) e os 
decimais não exatos e não periódicos (números 
irracionais). 
O diagrama mostra a relação entre os diversos 
conjuntos: todo número natural é inteiro; todo número 
inteiro é racional; todo número racional é real, assim 
como, todo número irracional é também real. 
Inversamente, todo ponto de reta real representa um 
número, que pode ser racional ou irracional. 
Destacamos em  três outros subconjuntos: 
 
 + = conjunto dos reais não negativos 
- = conjunto dos reais não positivos 
 * = conjunto dos reais não nulos 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Assinale na reta numérica os seguintes números 
reais: - 2,5 0,75 
2
 π - 0,666... 
2) Assinale V se a afirmação for verdadeira ou F se for 
falsa: 
a)( ) 
1
3
é um número real menor que 1. 
b)( ) 
10
é um numero real menor que 3 
c)( ) 2,151617... é um número racional. 
d)( ) - 5 é um número inteiro, logo é um número real. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
4 
e)( ) π não é um número real. 
f)( )
3
 é um número real 
g)( )
3
 é um número racional 
 
REVENDO AS OPERAÇÕES 
 
A Matemática é uma ciência que está sempre 
presente em nosso dia-a dia. Neste capítulo, 
recordaremos algumas propriedades das operações 
com números naturais de grande utilidade para a 
resolução de problemas que necessitam de um cálculo 
mais rápido, ou seja, o cálculo mental. 
Estudaremos também as expressões numéricas, 
suas regras e seus sinais de pontuação. 
Observe a seguinte situação: 
Fazendo compras num “shopping”, uma pessoa 
resolveu somar mentalmente seus gastos. Qual a 
melhor maneira de fazer esse cálculo, para a seguinte 
soma: 
R$ 18,00 + R$ 40,00 + R$ 32,00? 
18 + 40 + 32 = 
Trocar a ordem das duas parcelas. 
= 40 + 18 + 32 = 
Associar as duas últimas parcelas e somar. 
= 40 + (18 + 32) = 
= 40 + 50 = 90 
 
As etapas seguidas para esse tipo de cálculo 
foram baseadas, intuitivamente, nas propriedades da 
adição: propriedade comutativa (comutar = trocar) e 
associativa (associar = juntar). Na 1ª propriedade, 
vimos que é possível trocar a ordem das parcelas sem 
alterar o resultado. 
 
“A ordem das parcelas não altera a soma”. 
 
Na 2ª propriedade, vimos que a associação de duas ou 
mais parcelas pode ser feita de maneiras diferentes, 
sem que o resultado seja alterado. 
Veja como poderia ser feito, de outra maneira, a adição 
do exemplo anterior: 
18 + 40 + 32 = 
Somar as duas primeiras parcelas 
= (18 + 40) + 32 = 
Decompor a última parcela 
= 58 + 30 + 2 = 
Trocar a ordem das duas parcelas 
= (58 + 2) + 30 = 
Associar as duas primeiras parcelas e somar. 
= 60 + 30 = 90 
 
Será que na multiplicação podemos aplicar as mesmas 
propriedades da adição? Veja os exemplos. 
Exemplo 1 
Calcule a área de um terreno retangular de 15 m de 
largura x 20 m de comprimento. 
 
Multiplicando as dimensões do terreno, temos: 
Área do retângulo: 
20 x 15 = 300 m² ou 15 x 20 = 300 m² 
Logo, concluímos que a propriedade comutativa 
também é válida para a multiplicação, portanto: 
 
“A ordem dos fatores não altera o produto.” 
 
Em relação à propriedade associativa, podemos 
concluir o mesmo resultado, ou seja, a associação de 
dois fatores de uma multiplicação, de diferentes 
maneiras, não altera o produto. 
No exemplo a seguir, aplicaremos a propriedade 
associativa para facilitar o cálculo mental: 
237 x 25 x 4 = 
= 237 x (25 x 4) = 
= 237 x 100 = 
= 23.700 
Agora, veremos uma propriedade que relaciona a 
multiplicação e a adição ou a multiplicação e a 
subtração. Observe: 
Exemplo 2 
Calcule o perímetro de um terreno retangular de 
15 m de largura x 20 m de comprimento. 
Como o perímetro é a soma dos lados do terreno, esse 
cálculo pode ser feito de duas maneiras diferentes: 
 
*Multiplicando as dimensões do terreno por 2 e 
somando o resultado: 
Perímetro = 2 x 15 + 2 x 20 = 30 + 40 = 70 m 
*Somando as duas dimensões e multiplicando o 
resultado por 2: 
Perímetro = 2 x (15 + 20) = 2 x 35 = 70 m 
 
Observe que, nos dois casos, o resultado é o mesmo. 
Então, podemos concluir que: 
2 x (15 + 20) = 2 x 15 + 2 x 20 
Nesse caso, utilizamos a propriedade distributiva da 
multiplicação em relação à adição. 
Essa propriedade também é válida quando relacionada 
à subtração, podendo ser aplicada ao cálculo mental. 
Por exemplo: 
Multiplique 18 por 99, sem efetuar a conta de 
multiplicação: 
18 x 99 = 18 x (100 - 1) = 1.800 - 18 = 1782 
 
Podemos assim resumir as propriedades da adição e 
da multiplicação: 
 1) Associativa da Adição:(a + b)+ c = a + (b + c) 
 2) Comutativa da Adição: a + b = b + a 
 3) Elemento Neutro da Adição: a + 0 = a 
 4) Associativa da Multiplicação: (ab)c = a(bc) 
 5) Comutativa da Multiplicação: a . b = b . a 
 6) Elemento Neutro da Multiplicação: a . 1 = a 
 7) Distributiva da Multiplicação relativamente à 
adição: a(b + c) = ab + ac 
 
Além das propriedades das operações que vimos até 
aqui, é preciso conhecer as regras adequadas para a 
resolução de expressões numéricas. Expressão 
numérica é uma seqüência de números que seguem 
determinadas operações. 
 
Veja os exemplos: 
 
- Calcular o valor da expressão: 15 + 12 - 10 
Esse exemploenvolve duas operações - a adição e a 
subtração - que devem ser efetuadas na ordem em que 
aparecem: 15 + 12 - 10 = 27 - 10 = 17 
- Calcular o valor da expressão: 98 - 12 . 3 + 
36
3
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
5 
Essa expressão apresenta as quatro operações: 
adição, subtração, multiplicação e divisão. Inicialmente, 
devemos efetuar as multiplicações e divisões, na ordem 
em que aparecem. Em seguida, efetuamos as adições 
e subtrações, também na ordem em que ocorrem: 
98 - 12 . 3 + 
36
3
 = 98 - 36 + 12 = 62 + 12 = 74. 
Se tentarmos calcular essa expressão de outra 
maneira, o resultado poderá ser diferente. Nesse caso, 
é preciso estabelecer uma determinada ordem para 
calcular a expressão. 
Para que isso aconteça, é preciso obedecer aos sinais 
de pontuação. Um dos sinais mais utilizados é 
chamado de parênteses ( ). Ao encontrá-lo em uma 
expressão, devemos efetuar as operações que estão 
dentro dele e, em seguida, continuar resolvendo as 
outras. 
Além dos parênteses, temos também os colchetes [ ] e 
as chaves { }, que podem aparecer em algumas 
expressões. Assim, após resolvermos as operações 
que estão entre os parênteses, devemos resolver as 
que estão entre os colchetes e, em último lugar, as que 
estão entre chaves. 
Observe as expressões abaixo: 
1) 5 + 
(12 3)
3

 = 5 + 
15
3
 = 5 + 5 = 10 
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetua-se a 
divisão e, em seguida, a adição. 
 
2) 
[(11 12).3 9]
15
 
 = 
[23.3 9]
15

 =
[69 9]
15

 = 
60
15
 = 4 
Efetua-se a operação entre parênteses. Efetuam-se as 
operações entre colchetes, de acordo com a ordem 
estabelecida. Calcula-se o valor da expressão. 
 
3)
{15 [2.(9 3)]}
3
 
=
{15 [2.6]}
3

 =
{15 12}
3

=
3
3
= 1 
Efetuam-se as operações entre parênteses, de acordo 
com a ordem estabelecida. Efetua-se a operação entre 
colchetes. Efetua-se a operação entre chaves. 
Determina-se o valor da expressão. Em caso de 
ocorrerem expressões numéricas que apresentem 
operações de potenciação e radiciação, ou apenas uma 
delas, estas deverão ser efetuadas antes da 
multiplicação e da divisão. Veja: 
 
(5² - 6 x 2²) x 3 = (25 - 6 x 4) x 3 = 
= (25 - 24) x 3 = 1 x 3 = 
= 3. 
Efetuam-se as potenciações. Efetuam-se as operações 
entre parênteses, na ordem estabelecida. Calcula-se o 
valor da expressão. 
Para calcular uma expressão numérica, devemos 
seguir a seguinte regra sobre a ordem das operações: 
1º) Efetuam-se as potenciações e radiciações na ordem 
em que aparecem. 
2º) Efetuam-se as multiplicações e divisões, na ordem 
em que aparecem. 
3º) Efetuam-se as adições e subtrações, na ordem em 
que aparecem. 
Se houver sinais de pontuação, efetuam-se primeiro as 
operações entre parênteses ( ), depois as entre 
colchetes [ ] e,por último,as que estão entre chaves { }. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) De acordo com a sentença abaixo, escreva uma 
expressão e determine o seu valor: 
“Somei 127 com 356 e subtraí o resultado de 1000”. 
 
2) Demonstre a maneira mais simples para calcular, 
mentalmente, o resultado da operação: 
300 + 895 + 700 = 
 
3) Na expressão 180-40:5-6 acrescente parênteses de 
maneira a encontrar resultados diferentes, conforme a 
posição em que forem colocados. 
 
4) Coloque parênteses nas expressões, de modo a 
obter os resultados indicados: 
a) 72 + 60: 12 - 8 = 87 b) 10 - 2. 3 + 1 = 25. 
 
5) Calcule o valor da expressão: 123 - 
[30 (5.4 2)]
2
 
 
Nível 2 
 
1) Quantos algarismos serão gastos quando se 
escrever de 1 a 249? 
 
2) Escrevendo-se a sucessão dos números sem 
separar os algarismos, o último algarismo ocupou o 
456º lugar. Qual é esse algarismo? 
 
3) Se um livro tiver 2593 páginas, quantos algarismos 
são necessários para numerá-los? 
 
4) Qual o número que aumenta de 312 unidades, 
quando se acrescenta o algarismo 6 à sua direita? 
 
5) Numerando-se as páginas de um livro, verificou-se 
que a última página tinha o número 249. Quantos 
algarismos foram utilizados nesta numeração? 
 
6) Um número é composto de 3 algarismos, cuja soma 
é 18. O algarismo das unidades é o dobro do das 
centenas e o das dezenas é a soma do das unidades e 
das centenas. Qual é o número? 
 
7) Um número de 6 algarismos começa à esquerda por 
1. Mudando-se esse algarismo 1 da esquerda para a 
direita, o número obtido é o triplo do primeiro. Qual é 
esse número? 
 
8) Qual o dobro do número que aumenta de 189 
unidades, quando se acrescenta um zero à sua direita? 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 6 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO II – DIVISIBILIDADE 
 
DIVISIBILIDADE 
 
Um número a é divisível por b quando existir um 
número inteiro k tal que a=b.k. Nesse caso, também 
dizemos que b é divisor de a e a é múltiplo de b. 
 
 Exemplos 
4 é divisível por 2, pois 4 = 2 x 2 
6 é divisível por 3, pois 6 = 2 x 3 
20 é divisível por 4, pois 20 = 4 x 5 
120 é divisível por 5, pois 120 = 24 x 5 
 
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE 
 
. Divisibilidade por 2 – um número será divisível 
por 2 se, e somente se, ele for par, ou seja, o 
algarismo das unidades for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8. 
Exemplos: 4, 12, 26, 138 
 
 . Divisibilidade por 3 – um número é divisível por 3 
se, e somente se, a soma de seus algarismos for 
divisível por 3. Exemplos: 3, 6, 12, 336 
 
. Divisibilidade por 4 – um número é divisível por 4 
se, e somente se, o número formado por seus dois 
últimos algarismos for divisível por 4. 
Exemplos: 128, 12328, 72, 164 
 
. Divisibilidade por 5 – um número é divisível por 5 
se , e somente se, o seu último algarismo for 0 ou 5. 
Exemplos: 5, 2025, 20, 770 
 
. Divisibilidade por 6 – um número é divisível por 6 
se, e somente se, for divisível por 2 e 3 ao mesmo 
tempo. Exemplos: 18,138, 960, 1254 
 
. Divisibilidades por 8 – um número é divisível por 8 
se, e somente se, o número formado pelos seus três 
últimos algarismos for divisível por 8. 
Exemplos: 134.128, 472, 7.936, 128 
 
. Divisibilidade por 9 – um número é divisível por 9 
se, e somente se, a soma dos seus algarismos for 
divisível por 9. Exemplos: 9, 18, 135, 13464 
 
. Divisibilidade por 10 – um número é divisível por 
10 se, e somente se, o seu último algarismo for 0. 
Exemplos: 10, 13540, 1110 
 
. Divisibilidade por 11 – um número é divisível por 
11 se, e somente se, a soma dos seus dígitos de 
ordem ímpar menos a soma de seus dígitos de 
ordem par for divisível por 11. Exemplos: 
 121 1-2+1 = 0 
 1331 1-3+3-1 = 0 
902 9 – 0 +2 = 11 (11 é divisível por 11) 
 
NÚMEROS PRIMOS 
Um número inteiro p,com p 0, p 1 e p-1 é dito 
primo quando este é divisível apenas pelos inteiros 
–p, -1, 1 e p. 
 Exemplos: 2,3,5,7,11,13,... 
* Observação: 1 não é primo. 
 
Decomposição de um número em fatores 
primos 
Todo número inteiro pode ser decomposto ou 
fatorado num produto de números primos. 
Exemplos: 6, decomposto como 2 x 3. 
 12, decomposto como 2 x 2 x 3. 
 25, decomposto como 5 x 5. 
 17, decomposto como 17. 
 135, decomposto como 3 x 3 x3 x 5. 
 Além disso, a menos da ordem dos fatores e do 
“sinal dos fatores”, a decomposição em fatores 
primos é única. 
 
Regra para decompor um número em 
fatores primos 
. Passo 1: Divida o número pelo seu menor divisor 
primo; 
. Passo 2: Divida o quociente da divisão anterior 
pelo seu menor divisor primo, e faça isto 
sucessivamente. 
Exemplos: 
72 2 
36 2 
18 2 
9 3 
3 3 
1 
 
 DIVISORES DE UM NÚMERO 
Na prática, determinamos todos os divisores de um 
número utilizando sua fatoração em números primos. 
Segue-se a seguinte regra: 
 1º) Decompõe-se o número em fatores 
primos; 
 2º)Traça-se uma linha vertical e do seu lado 
direito escreve-se o número 1 no alto, pois 1 é 
divisor de qualquer número; 
3º)Multiplica-se sucessivamente cada fator 
primo pelos divisores já obtidos e escreve-se esses 
produtos ao lado de cada fator primo; 
 4º)Os divisores já obtidos não precisam ser 
repetidos. 
 1 
90 2 2 
45 3 3 – 6 
15 3 9-18 
5 5 5 – 10 – 15 – 30 – 45 - 90 
1 
34 2 
17 17 
1 
 
Curso Matemática Básica Algebra 7 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO III – MDC E MMC 
 
 
MDC 
 
Sejam dois ou mais números inteiros não 
simultaneamente nulos, esses números podem ter 
divisores comuns. O máximo divisor comum entre 
esses números é o maior dos divisores comuns a 
esses números. 
 Exemplos: 
 mdc(6,12) = 6 mdc(20,24) = 4 
 mdc(12,20,24) = 4 mdc(6,12,15) = 3
 
 
Para calcular o m.d.c. de dois ou mais números, 
devemos seguir uma série de etapas: 
 Decompomos os números em fatores 
primos. 
 Tomamos os fatores comuns com o menor 
expoente. 
 Multiplicamos esses fatores entre si. 
 
Exemplo: 
Queremos calcular o m.d.c. de 20 e 21. 
 
 20 2 8 2 20 = 22 x 5 e 8 = 23 
 10 2 4 2 
 5 5 2 2 O fator comum é 22, portanto o 
 1 1 MDC (20,8) = 4 
 
 
Outro exemplo: 
12 = 22 x 3 20 = 22 x 5 24 = 23 x 3 
mdc(12,20,24) = 22 = 4 
 
Números Primos entre si 
 
.Dois números inteiros a e b, não nulos, são 
chamados primos entre si se, e somente se, os 
únicos divisores comuns de a e b são 1 e –1, ou 
seja o m.d.c. entre eles é 1. 
 .Dois números inteiros consecutivos são 
primos entre si. 
 .Dois números primos, distintos e não 
simétricos são primos entre si. 
 
MMC 
 
Um número a é múltiplo de b, quando existir 
um número inteiro k, tal que a=b.k. 
 Exemplos: 4 é múltiplo de 2, pois 4 = 2 x 2 
 325 é múltiplo de 13, pois 325 = 13 x 25 
 
 Então os múltiplos de um número são 
calculados multiplicando esse pelos números 
inteiros. 
 
 Observação: .O número 1 tem infinitos múltiplos 
.Zero é múltiplo de qualquer inteiro diferente de zero. 
 
Sejam dois ou mais números inteiros não 
nulos, esses números podem ter múltiplos comuns. 
O mínimo múltiplo comum entre esses números é o 
menor número, diferente de zero, que é múltiplo 
comum desses números. 
Exemplos: 
 15 = 3 x 5 24 = 23 x 3 60 = 22 x 3 x 5 
 mmc(15,24,60) = 23 x 3 x 5 = 120 
 
Observação: Dados números primos entre si, o 
m.m.c entre eles é o produto deles. 
 
Para calcular o m.m.c. de dois ou mais números, 
devemos seguir também uma série de etapas: 
 Decompomos os números em fatores 
primos. 
 Tomamos os fatores comuns e não-comuns 
com o maior expoente. 
Multiplicamos esses fatores entre si. 
 
Exemplo: Calculemos o m.m.c. dos números do 
primeiro exemplo, 15 e 24. 
Como já foram decompostos em fatores primos, 
temos: 
15 = 3 x 5 Os fatores comuns e não comuns 
24 = 23 x 3 O maior expoente são 23, 3 e 5. 
Assim, o m.m.c. (15, 24) = 23 X 3 X 5 = 120 
 
Dois exercícios simples: 
 
1 - O máximo divisor comum de dois números é igual 
a 10 e o mínimo múltiplo comum deles é igual a 210. 
Se um deles é igual a 70, qual o outro? 
 
Solução: 
Ora, pelo que vimos acima: 
10.210 = 70.n 

 n = 30. 
 
2 – Encontre MDC(180, 1200) pelo método da 
fatoração e pelo método do algoritmo de Euclides. 
Compare as vantagens e desvantagens dos dois 
métodos. 
 
Solução: 
180 = 22. 32.5 1200 = 24.3. 52 
Fatores comuns com MENOR expoente: 22.3.5 
Portanto: MDC(180, 1200) = 22.3.5 = 60 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
8 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Ache o MMC e MDC entre os números: 
a) 10 e 5 
b) 56 e 60 
c) 100 e 150 
 
Nível 2 
 
1) O pedreiro Pedro Natal possui 3 fios de arame de 
comprimentos diferentes. O primeiro tem 40 metros, 
o segundo tem 42 metros, e o terceiro tem 60 
metros. Ele deseja cortar os fios em partes de 
mesmo comprimento, de forma que não haja sobra 
de arame. Qual o maior comprimento possível para 
cada corte dos fios, de forma que os 3 fios sejam 
cortados em pedaços do mesmo tamanho? 
 
2) A lâmpada de um farol pisca 40 vezes a cada 
minuto.Outro farol possui uma lâmpada que pisca 30 
vezes a cada minuto. Sabendo que elas começam a 
piscar juntas, depois de quanto tempo voltarão a 
piscar juntas novamente? 
 
3) Determinar os dois menores múltiplos comuns dos 
números 45, 54 e 81. 
 
 
4) Determine o valor de X no número N=3.52.2x+1, 
para que o M.D.C entre 96, N e 240 seja 24. 
 
 
5) Sabendo que o produto de dois números é 1134 e 
que o M.M.C entre eles é 81, determine o M.D.C 
deles. 
 
6) O produto de dois números é 2160 e o M.D.C é 6. 
Calcular o M.M.C desses números. 
 
7) Determine m e n nos números A=2m.15 e B = 4.3n, 
sabendo-se que o M.M.C de A e B é 360. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 9 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO IV - FRAÇÕES 
 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES PARTE I 
 
Neste capítulo vamos rever operações com 
frações, verificando a validade das propriedades 
operatórias dos números racionais. Veremos 
também o cálculo de expressões numéricas com 
frações, de acordo com a ordem em que as 
operações devem ser efetuadas. 
 
Dado o símbolo a , sendo a e b números 
 b 
naturais e b diferente de zero. 
Chamamos: 
.a de fração; 
 b 
. a de numerador; 
 . b de denominador. 
Temos que se a é múltiplo de b, então 
a
b
 é um 
número natural. 
Por exemplo: Na fração 
24
3
 temos: 24 é o 
numerador e 3 é o denominador. A divisão de 24 por 
3, nos dá o quociente 8. Assim a fração representa 
um número natural e 24 é múltiplo de 3. 
 
O significado de uma fração 
Como já vimos anteriormente os números 
fracionários constituem o conjunto dos números 
racionais e podem ser números naturais ou não. 
 Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir 
algo em partes iguais. Dentre essas partes, 
consideramos uma ou algumas, conforme nosso 
interesse. 
 Exemplo: Fulgêncio comeu
3
4
 de um chocolate. 
Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 
partes iguais, Fulgêncio teria comido 3 partes: 
 
 
 
Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes 
comidas por Fulgêncio, e a parte branca é a parte 
que sobrou do chocolate. 
 
Classificação das frações 
 As frações se classificam das seguintes 
maneiras: 
 
.Fração própria: o numerador é menor que o 
denominador: 2 , 1 , 7 
 4 3 9 
 
.Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao 
denominador:
4 5 10
, ,
3 5 8
 
.Fração aparente: o numerador é múltiplo do 
denominador: 
6 24 8
, ,
3 12 4
 
.Frações equivalentes: frações que têm o mesmo 
valor, mas cujos termos são diferentes: 
1 2
,
2 4
 
Para obtermos frações equivalentes, é preciso 
multiplicar ou dividir o numerador e o denominador 
de uma fração por um mesmo número natural 
diferente de zero. 
 
Exemplo: 
Ao determinarmos as frações equivalentes a 
2
3
, 
temos: 
 
 
Toda fração equivalente representa o mesmo 
número fracionário. 
 
Simplificação de frações 
 Uma fração equivalente a 
9
12
, com termos 
menores, é3
4
. 
A fração 
3
4
 foi obtida dividindo-se ambos os termos 
da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração 
3
4
 é uma fração simplificada de 
9
12
. 
A fração 
3
4
 não pode ser simplificada, por isso é 
chamada de fração irredutível. A fração não pode 
ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum 
fator comum 
 
Adição e subtração de números fracionários 
 
Temos que analisar dois casos: 
 
 1º) Frações homogêneas (que têm 
denominadores iguais) 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
10 
 A adição e a subtração de frações 
homogêneas (que têm denominadores iguais) são 
efetuadas, repetindo-se os denominadores e 
efetuando-se as devidas operações com os 
numeradores. Veja: 
 
a)
3 2 3 2 5
7 7 7 7

  
 
 
b) 
5 3 5 3 2
8 8 8 8

  
 
 
As propriedades da adição de números naturais 
também são válidas para a adição de números 
fracionários. 
 
Propriedade comutativa: a ordem das parcelas não 
altera a soma 
 
2 1 1 2 3
5 5 5 5 5
   
 
 
Propriedade associativa: podemos associar duas 
ou mais parcelas, de maneiras diferentes, sem que o 
resultado (soma) seja alterado. 
3 1 5 3 1 5 9
8 8 8 8 8 8 8
   
        
   
 
Uma fração do tipo 
9
8
, que tem o numerador maior 
que o denominador (imprópria), é maior que a 
unidade (
8
8
). Portanto, pode ser escrita na forma de 
número misto. 
O número misto é formado por uma parte inteira e 
uma parte fracionária: 
9 8 1 1 1
1 1
8 8 8 8 8
    
 → número misto lê-se: 
um inteiro e um oitavo 
 
2º) Frações heterogêneas (que têm 
denominadores diferentes) 
 
No caso de efetuarmos a adição e a 
subtração com frações heterogêneas (que têm 
denominadores diferentes), é preciso transformá-las 
em frações equivalentes diferentes que tenham 
denominadores iguais. 
 As frações equivalentes que servem como 
ferramenta para efetuar a adição ou subtração terão 
denominadores iguais ao mmc dos denominadores 
das frações iniciais. 
 
Vamos efetuar a seguinte adição: 
 
 
 
 
 
Como o número 6 é múltiplo comum a 2 e a 3, ele 
será o denominador das frações equivalentes às 
frações dadas. 
3 2
6 6
 
 
3 2 5
6 6


 
 
Então, é preciso multiplicar o numerador e o 
denominador de cada fração, pelo mesmo número, 
de maneira a obtermos o denominador 6. 
Para subtrair frações, seguimos o mesmo 
procedimento: 
5 1 15 4 15 4 11
8 6 24 24 24 24

    
(Múltiplo comum:24) 
 
Sempre que efetuamos qualquer operação com 
frações, devemos encontrar o resultado mais simples 
possível, ou seja, uma fração equivalente com 
numerador e denominador menores. 
O processo usado para simplificar uma fração é a 
aplicação da mesma propriedade usada para 
encontrar frações equivalentes, ou seja: 
Na simplificação da fração 
64
60
, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
16
15
 é a forma simplificada da fração 
64
60
 : 
Vejamos alguns exemplos de expressões com 
frações: 
 
5 7 3
6 12 8
  
 Múltiplo comum: 24 
 
20 14 9
24 24 24
   
 
6 9
24 24
 
 
 
Efetuar as operações na ordem em que aparecem. 
15 5
24 8
 
 Simplificar o resultado 
 
1 2
1
10 5
  
 Múltiplo comum: 10. 
 
10 1 4
10 10 10
  
 O número inteiro pode ser escrito 
como uma fração, no caso: 
10
10
. 
9 4
10 10
 
5 1
10 2

 Simplificar o resultado. 
1 1
2 3
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
11 
Quando as expressões apresentam os sinais de 
pontuação, devemos seguir as regras das 
expressões numéricas, ou seja: 
1) Inicialmente, efetuamos as operações que estão 
entre parênteses (). 
2) Em seguida, as que estão entre colchetes []. 
3) E, por último, as que estão entre chaves {}. 
 
Observe: 
3 1 1 15 4 1
2 2
4 5 6 20 20 6
      
             
      
 
 
11 1 33 10 23
2 2 2
20 6 60 60 60
   
          
   
 
 
120 23 97 60 37 37
1
60 60 60 60 60 60
    
 
 
 
Multiplicação e divisão de frações 
 
Na figura abaixo, dividida em quatro partes 
iguais, temos assinalado uma das partes que 
representa 
1
4
 da figura. 
 
 
 
 
 
 
Para representar 
1
3
 da parte assinalada, ou seja, 
1
3
 
de 
1
4
, vamos dividir essa parte (
1
4
) em três partes 
iguais e, em seguida, estender a divisão para a 
figura toda. 
 
 
1
3
 de 
1
4
 é 
1
12
 
 
Observe que cada parte da figura, após a segunda 
divisão, equivale a 
1
12
 da figura toda, logo: 
1
3
 de 
1
4
 = 
1
3
.
1
4
= 
1
12
 
 
Então: 
Para multiplicar frações, devemos multiplicar 
os numeradores e os denominadores entre si. 
Quando fazemos uma multiplicação de frações, 
podemos simplificar a operação usando o processo 
de cancelamento. Veja: 
1
2
5 4 5 4 5
. .
8 9 8 9 18
 
 
Para multiplicar uma fração por um número inteiro, 
devemos multiplicar esse número pelo numerador da 
fração e repetir o denominador. Por exemplo: 
 2 . 
3 6
5 5

 
Na divisão de números fracionários, 
devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da 
segunda fração, como é mostrado no exemplo 
abaixo: 
 
8
8 3 243 2
4 3 4 12
3
x   
 
Nas expressões numéricas com frações, devemos 
lembrar que a ordem em que as operações devem 
ser efetuadas é a mesma que já aprendemos no 
capítulo anterior, ou seja: 
 Potenciação e radiciação 
 Multiplicação e divisão 
 Adição e subtração. 
 
Exemplo: 
Resolver a expressão: 
1 2 4 5 6 4
3 2. 3 2.
3 5 5 15 15 5
      
             
      
 
 
 
11 4 22 4 22 12
3 2. 3 3
15 5 15 5 15 15
     
             
     
 
10 45 10 30
3 2
15 15 15 15
    
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Um lojista vende três partes de uma peça de 
tecido: 78m, 12m e 14m. Quantos metros vendeu ao 
todo? 
 
1
4
1
4
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
12 
2) Ao receber seu salário, Pedro gastou 
2
5
 com o 
aluguel e ½ do que sobrou em custos com 
alimentação. Que fração do salário ainda restou? 
 
3) Coloque em ordem crescente os seguintes 
números racionais: 
15 11 18 47 2
, , ,1,
16 12 19 48 3
e
 
 
4) Complete o quadro de modo que a soma dos 
números de cada linha, de cada coluna e da 
diagonal seja a mesma: 
 
2
3
 
1
12
 
1
2
 
 
5
12
 
7
12
 
1
3
 
 
1
6
 
 
5) Efetue e simplifique o resultado, sempre que 
possível: 
a) 
3
4
- 
1
2
+ 
3
20
 b) (
2
3
+ 
1
6
) – (1 - 
3
10
) 
c) 
3
10
 + 
2
3
. 
5
4
 d) 
9
10
.(4 - 
1
3
.10) 
 
6) Calcule o valor de: 
a) 
0,2.0,7 4.0,01
0,5.0,2


 
 
7) Determine a maior fração entre 
3 4 2 5 8
, , ,
8 5 3 6 11
e
 
 
8) Resolva: 
a) 
2 5 2 3
: 0,5
4 3 5 4
0,63: 0,1
x x
   
   
    
b) 
2 1 5 2
3 : 5. 3
5 2 3 4
1
0,75
5
x
x
   
    
    
 
Nível 2 
 
1)Transforme P em uma fração irredutível, sendo P 
dado por:P = (1-
1
4
) x (1-
1
9
) x (1-
1
16
)...(1-
1
225
) 
 
 
DÍZIMAS PERIÓDICAS 
 
Sabemos que, quando dividimos um número 
inteiro por outro, podemos encontrar como quociente 
um número inteiro ou um número decimal. Por 
exemplo: 
20
5
= 4 
100
40
= 2,5 
Vejamos, agora, o que acontece quando dividimos 
41 por 9: 
41
9
= 4,555... 
Se continuarmos a conta, encontraremos sempre o 
algarismo 5 no quociente, e o resto será sempre o 
mesmo (5). 
Se fizermos essa conta numa máquina de calcular, 
aparecerá no visor o número 4.5555555 (ou seja, 
4,5555555). Nesse caso, o algarismo 5 aparece 
repetido 7 vezes. Se a mesma conta for feita numa 
máquina maior, encontraremos um resultado com o 
algarismo 5 repetido mais vezes (9 ou 11 vezes). 
Concluímos, então, que a divisão de 41 por 9 nunca 
termina e que os pontos indicam que o algarismo 5 
se repete indefinidamente. O número 4,555... é 
chamado de dízima periódica e o algarismo 5 é o 
período da dízima. Podemos também representar a 
dízima periódica colocando um traço sobre o 
período: 
4, 5
. 
Como essa dízima é gerada pela divisão
41
9
, 
dizemos que a geratriz da dízima periódica é a 
fração 
41
9
. 
Assim, uma dízima periódica é um número decimal 
que tem uma quantidade infinita de algarismos que 
se repetem periodicamente. 
 
Vejamos outros exemplos de geratrizes e as 
respectivas dízimas periódicas: 
17
9
= 1, 8... O período é 8, a parte inteira é 1. 
7
33
= 0,21... O período é 21, a parte inteira é zero. 
 
Nesses dois exemplos, os períodos aparecem logo 
após a vírgula. Elas são chamadas de dízimas 
periódicas simples. As dízimas nas quais aparece 
um outro número entre a vírgula e o período, são 
chamadas de dízimas periódicas compostas. Por 
exemplo: 
 
1,4888... O período é 8, a parte não-periódica é 4, a 
parte inteira é 1. 
0,3272727... O período é 27, a parte não-periódica é 
3, a parte inteira é zero. 
Os números que vimos até agora podem ter muitas 
representações, como: 
 5; 5,0; 
10
2
... 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
13 
 0,8; 0,80; 
4
5
... 
 0,666; 
6
9
; 
8
12
... 
 
Além disso, observamos que todos esses 
números podem ser representados em forma de 
fração. Eles são chamados números racionais. 
Geratriz de uma dízima periódica 
 Podemos notar que todo número na forma 
decimal exata ou de dízima periódica pode ser 
convertido à forma de fração 
a
b
 e, portanto, 
representa um número racional. 
 Quando o número decimal tem uma 
quantidade finita de algarismos, diferentes de zero 
ele é chamado de um decimal exato e ao transformá-
lo na forma de fração obtemos um número 
fracionário cujo numerador é um número natural e 
cujo denominador é o algarismo 1 seguido de tantos 
zeros quantas forem as casas decimais do número 
dado. 
 Exemplos: 
 
45
0,45
100

 
731235
73,1235
10.000

 
 
Quando o número decimal é uma dízima periódica é 
possível determinar a fração que originou a dízima 
periódica. Esta fração é denominada de geratriz da 
dízima periódica. 
Seguem abaixo exemplos de como transformar uma 
dízima periódica em fração: 
 
1º) 0,5555... 
. 50,555... 9 5
9
10 5,555...
x x x
x
    

 
 
 2º) 0,4747... 
47
0,474747... 99 47
99
100 47,4747...
x x x
x
    

 
 
3º) 0,2373737... 
0,2373737...
235
10 2,3737... 990 235
990
1000 237,3737...
x
x x x
x

    

 
 
 
4º) 7,989898... 
791
7,989898... 99 791
99
100 798,989898...
x x x
x
    

 
 
5º) 3,68424242.... 
 
3,68424242...
36474
100 368,424242... 9.900 36474...
9.900
10.000 36842,424242...
x
x x x
x

    

 
 
Veja o número 0,10110111011110 .... 
Ele tem infinitas casas decimais, mas sem período. 
Será que você pode concluir como serão as casas 
decimais seguintes? A parte decimal começa com 1 
seguido de zero, depois 11 seguido de zero, depois 
111 seguido de zero e assim por diante. Ou seja, o 
número nunca terá um fim nem um período. Ele não 
é um número racional. Um número desse tipo é 
chamado de número irracional. Um número irracional 
não é resultado de nenhuma divisão de números 
inteiros; ele não pode ser escrito em forma de fração. 
Já estudamos um número irracional muito 
conhecido, o número , que vale aproximadamente 
3,1416. Você verá mais adiante exemplos de 
números irracionais que surgem naturalmente em 
muitos cálculos matemáticos. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Escreva a representação decimal de: 
a) 
13
99
 b)
7
20
 c)
56
9
 d) 
64
15
 
 
2) Efetue as divisões com quociente decimal: 
a) 
1
9
 b)
2
9
 c)
3
9
 
 
3) Agora, sem efetuar a conta, dê o resultado 
decimal de: 
a) 
4
9
 b)
5
9
 c) 
6
9
 
 
4) Escreva estes números racionais na forma de 
fração: 
a) 3 b) 2,5 c) 0,555... d) 0 
 
6) Coloque na forma de uma fração irredutível os 
seguintes números racionais: 
a) 0,4 b) 0,444... c) 0,32 
d) 0,323232... e) 54,2 f) 5,423423423... 
 
7)Escreva se a representação decimal é finita, 
infinita e periódica ou infinita e não-periódica: 
a)
17
5
 b) 3,45 c) 0,35 
d) 0,12131415... e) 
4
6
 f) π 
 
8)Diga se estes números são racionais ou 
irracionais: 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
14 
a) 4 b) 4,333 c) 4,33... 
d)1,010010001... e) 4,330 f) 0 
 
Nível 2 
 
1) Resolva as expressões: 
a)






18
9
3
2
54,3
44,1...555,1
2,1...777,0
 
b)0,363636... 
45012,0 
= 
c)
9
1
3
06,0...333,0


 
d) 
75,0
5
1
3
4
2
3
5
5
2
3
5
4
2














 
 
e) 
0,2.0,7 4.0,01
0,5.0,2


 
 
f) 
1 1
5 30,999...
3 1
5 15

 

 
 
g) 0,363636 

 0,012 x 4,5 
 
 
h) 
0,333... : 0,06
1
3 1
9

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 15 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO V – RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES 
 
1) Razão 
 A razão entre dois números a e b  0, nessa 
ordem, é o quociente
a
b
 (lê-se “a está para b” ou “a 
para b”). 
 Este é um conceito bastante importante em 
nosso cotidiano. Vejamos: 
 
A distância entre Rio de Janeiro e São Paulo é 
de 400 km. Como podemos representar a distância 
entre as duas cidades em um mapa feito na escala 
de 1 : 200.000? 
 
Se uma caixa d’água produz uma sombra de 
20 m e um homem com 1,80 m de altura produz uma 
sombra de 1,20 m, medidas no mesmo local e na 
mesma hora, qual é a altura da caixa? 
Comparando o comprimento da sombra do homem 
com sua altura, medidos em centímetros (cm), 
encontramos: 
 
120
180
= 
2
3
 , depois de simplificar a fração. 
 
A razão é uma das formas que usamos para 
comparar dois números. Dizemos que a razão entre 
o comprimento da sombra e a altura do homem é de 
2
3
 ou 2/3 ou 2 : 3 que se lê 2 para 3. Como as 
medidas foram feitas na mesma hora e no mesmo 
local, a razão entre o comprimento da caixa d’água e 
sua altura também será 
2
3
 . A alturada caixa d’água 
é igual a 30 m, pois a razão 
20
30
 é igual a 
2
3
. 
 
.Haviam 1200 inscritos num concurso, 
passaram na prova um total de 240 candidatos. 
Qual a razão dos candidatos aprovados nesse 
concurso: 
 
 
 
 
 
(de cada 5 candidatos 
inscritos, 1 foi 
aprovado). 
 
No caso de mapas geográficos, plantas de casas ou 
maquetes de projetos, a escala determina a relação 
entre as medidas de um desenho e as medidas reais 
que correspondem a ele. 
 
Exemplo 1: 
A planta de uma sala retangular está desenhada na 
escala 1:100. Determine as medidas reais dessa 
sala. 
 
 escala 
1
100
 ou 1:100 
A razão entre as medidas que aparecem na planta 
da sala e as medidas reais são de 1: 100 ou 
1
100
 
(lê-se 1 para 100), o que significa que as medidas 
reais são 100 vezes maiores do que as medidas 
assinaladas na planta. 
Para determinar as medidas reais da sala, vamos 
multiplicar as medidas da planta por 100: 
6 cm . 100 = 600 cm = 6 m 
8 cm . 100 = 800 cm = 8 m 
 
As medidas reais da sala são, portanto, 6 m e 8 m. O 
mesmo deveria ser feito com qualquer outra medida 
que aparecesse na planta, como, por exemplo, 
largura e altura de portas e janelas. Vimos que uma 
razão compara dois números pela divisão. 
 
Assim podemos definir: 
 
Dados os números a e b cuja razão é dada 
por 
a
b
 temos que o número a é chamado 
antecedente ou primeiro termo e o número b é 
chamado conseqüente ou segundo termo. 
 
Observações: 
 
. A razão entre dois números racionais pode 
ser apresentada de três formas. 
 Exemplo 2: razão entre 1 e 4: 1:4 ou 
1
4
 ou 
0,25. 
 A razão entre dois números racionais pode ser 
expressa com sinal negativo, desde que seus termos 
tenham sinais contrários. 
 Exemplo 3: A razão entre 1 e -8 é 
1
8

 
 
. Duas razões são denominadas inversas 
entre si quando o produto delas é igual a 1. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
16 
 Exemplo: 
6 8 6 8
. 1
8 6 8 6
e  
 
 
O conceito de razão tem diversas aplicações em 
ciências variadas, dentre elas podemos citar a 
Física, a Geografia e a Química. Nessas áreas, 
utilizamos várias vezes razões entre grandezas de 
espécies diferentes. 
Vejamos: 
 - Raquel foi passar suas férias no Rio de Janeiro, 
apesar de ter se encantado com a cidade, teve que 
voltar para São Paulo. A viagem durou 5 horas e o 
percurso total tinha 450 Km. Qual a razão entre a 
medida dessas grandezas? O que significa essa 
razão? 
 
Razão = 
450
90 /
5
km
km h
h

 
Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora"). 
Essa razão significa que a cada hora foram 
percorridos em média 90 km. 
 
- O estado do Ceará no último censo teve uma 
população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua 
área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o 
número de habitantes e a área desse estado. O que 
significa essa razão? 
 
Razão = 
2
6.701.924 tan
145.694
habi tes
km
 
Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por 
quilômetro quadrado"). 
 Essa razão significa que em cada quilômetro 
quadrado existem em média 46 habitantes. 
 
- Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa 
igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o 
volume desse corpo. O que significa essa razão? 
 
Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3 
Razão = 
3
7,8
1
q
cm
 
Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro 
cúbico"). 
Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g. 
 
2) Proporção 
 
 Quando encontramos uma igualdade entre 
duas razões, a relação matemática é chamada de 
proporção, e dizemos que as quantidades medidas 
são proporcionais. 
Os números a, b, c e d, com b0 e d0 
formam, nessa ordem, uma proporção se, e somente 
se, a razão entre a e b for igual à razão entre c e d. 
Representa-se por: 
a c
b d

 
(lê-se a está para b assim como c está para d) 
Os números a e d são chamados extremos e os 
números b e c são chamados meios. 
Exemplos: 
3 27
4 36

 
 
 
- Propriedades das Proporções 
 
 Se os números a, b, c e d formam, nessa 
ordem, uma proporção, então: 
a) 
a c
ad bc
b d
  
 
 O produto dos extremos é igual ao produto dos 
meios. 
 
b) 
a c a b c d
b d b d
 
  
 
A soma (ou diferença) dos dois primeiros está 
para o segundo, assim como a soma (ou 
diferença) dos dois últimos está para o último. 
 
 
c) 
a c a c a c
b d b d b d

   

 
A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos conseqüentes 
assim como cada antecedente está para o 
correspondente conseqüente. 
 
Exemplo 4: 
Uma pessoa viaja 120 km em 2 horas. Quantas 
horas levará a mesma pessoa para percorrer 180 km 
com a mesma velocidade? 
120
2
 = 
180
?
 
Essa igualdade é uma proporção, e os números que 
medem as distâncias e o tempo são proporcionais. 
Quanto maior a distância, maior será o tempo para 
percorrê-la. Como calcular o número que não se 
conhece na proporção desse exemplo? 
Substituindo o ponto de interrogação (?) pela letra x, 
que é usada em lugar do termo desconhecido, 
 
120
2
= 
180
x
 e aplicando uma das propriedades que 
vimos anteriormente: 
120x = 2.180 
120x = 360 
x = 
360
120
 (Aplicando operação inversa) 
x = 3 
Então, a pessoa levará 3 horas para percorrer os 
180 km. 
 
- Grandezas Proporcionais 
 
 Entendemos por grandeza tudo aquilo que 
pode ser medido, contado. As grandezas podem ter 
suas medidas aumentadas ou diminuídas. 
 Alguns exemplos de grandeza: o volume, a 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
17 
massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a 
velocidade, o tempo, o custo e a produção. 
São comuns ao nosso dia-a-dia situações em que 
relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo: 
 
- Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", 
quanto maior for a velocidade, menor será o tempo 
gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a 
velocidade e o tempo. 
 
- Num forno utilizado para a produção de ferro 
fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, 
maior será a produção de ferro. Nesse caso, as 
grandezas são o tempo e a produção. 
 
Uma grandeza A é diretamente 
proporcional a uma grandeza B se, e somente se, a 
razão entre A e B for igual a uma constante de 
proporcionalidade K. 
 
A
K
B

 
 
Exemplo: Um forno tem sua produção de ferro 
fundido de acordo com a tabela abaixo: 
 
Tempo 
(minutos) 
Produção 
(Kg) 
5 100 
10 200 
15 300 
20 400 
 
Observe que uma grandeza varia de acordo com a 
outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. 
Observe que: 
 
Quando duplicamos o tempo, a produção também 
duplica. 
 
5min 100
10min 200
kg
kg


 
 
Quando triplicamos o tempo, a produção também 
triplica. 
 
5min 100
15min 300
kg
kg


 
 
Verifique na tabela que a razão entre dois valores de 
uma grandeza é igual a razão entre os dois valores 
correspondentes da outra grandeza. 
 5 100 1
15 300 3
10 200 1
20 400 2
 
 
 
 
Uma grandeza A é inversamente proporcional a 
uma grandeza B se, e somente se, o produto entre A 
e B é igual a uma constante de proporcionalidade K. 
 
 A . B = K 
 
Exemplo: Um ciclista faz um treino para a prova de 
"1000 metros contra o relógio", mantendo em cada 
volta uma velocidade constante e obtendo, assim, 
um tempo correspondente, conforme a tabela 
abaixo: 
 
Velocidade 
(m/s) 
Tempo (s) 
5 200 
8 125 
10 100 
16 62,5 
20 50 
 
Observe que uma grandeza varia de acordocom a 
outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. 
Observe que: 
Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. 
 
5 / 200
10 / 100
m s s
m s s


 
 
Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à quarta parte. 
 
5 / 200
20 / 50
m s s
m s s


 
 
Atenção: Em geral, quando se fala em 
“grandezas proporcionais” subentende-se que 
são “grandezas diretamente proporcionais”. 
 
 - Divisão Proporcional 
 
1) Divisão em partes diretamente proporcionais 
Dividir um número N em partes diretamente 
proporcionais aos números a, b e c significa 
determinar os números x, y e z, de tal modo que: 
 
 
x y z
a b c
 
 e 
x y z N  
 
 
 
2) Divisão em partes inversamente proporcionais 
Dividir um número M em partes inversamente 
proporcionais aos números m, n e p é o mesmo que 
dividir M em partes x, y e z diretamente 
proporcionais aos inversos de m, n e p,com m.n.p  
0. 
 m + n + p = M e x.m = y.n = z.p 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
18 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Determinar x na proporção: 
3 1
6 2
x
x



 
Resolução: 
   
3 1
2. 3 1. 6
6 2
x
x x
x

    

 
 
2. 2.3 6.1 1.
2 6 6
2 6 6
3 12 4
x x
x x
x x
x x
  
  
  
  
 
 
2) Se (3,x,14,...) e (6,8,y,...) forem grandezas 
diretamente proporcionais, quanto vale x + y? 
Resolução: Se (3,x,14,...) e (6,8,y,...) forem 
grandezas diretamente proporcionais, então: 
3 14
6 8
x
y
 
 
De 
3
6 8
x

, temos 
3.8
4
6
x  
 e de
3 14
6 y

, temos: 
6.14
28
3
y  
 Assim sendo, x + y = 32 
 
3) Calcule x e y sabendo-se que (1,2,x,...) e 
(12,y,4,...) são grandezas inversamente 
proporcionais. 
Resolução: 
(1,2,x,...) e (12,y,4,...) são grandezas inversamente 
proporcionais. 
1.12 2. .4 2 12y x y   
 e 4x =12 
 y = 6 e x = 3 
 
4) Dividir o número 954 em partes diretamente 
proporcionais a 2,3,5. 
Resolução: Tendo x, y e z as partes, temos: 
2 3 5
954
x y z
x y z
 
  
 
3
3 2
2 3 2
5
5 2
2 5 2
x y x
x y y
x z x
x z z
    
    
 
Como x + y + z = 954, então: 
3 5 2 3 5
954 954
2 2 2 2 2
x x x x x
x      
 
2 3 5 10
954 954 10 2.954
2 2
x x x x
x
 
      
 
1908
10 1908 190,8
10
x x x    
 
x = 190,8 
Logo: 
3 3.190,8 190,8
3. 3.94,5 286,2
2 2 2
5 5.190,8 190,8
5. 5.95,4 477
2 2 2
x
y y
x
z z
     
     
 
As partes são: 190,8; 286,2; 477 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Nesta tabela, devemos encontrar vários pares de 
números A e B. Complete a tabela de modo que a 
razão de A para B seja sempre o número 
6
7
 . 
 A B Razão 
A/B 
Forma mais 
simples de A/B 
a) 12 14 
12
14
 
6
7
 
b) 21 
c) 30 
d) 100 
e) 100 
 
2) Dois números na razão de 2 para 3. 
Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na 
razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois 
números é: 
a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) –124 
3) A razão entre dois números é 
3
8
. Se a soma do 
maior com o dobro do menor é 42. O maior deles é: 
a) 9 b) 15 c) 24 d) 30 e) 32 
 
4)Assinale a falsa, supondo 
  *, , , , , , , ,a b c d e f    
 
 
)
)
)
. . .
)
. . .
a c a b c d
a
b d b d
a c a b c d
b
b d a c
a c e a c e a
c
b d f b d f b
a c e a c e a
d
b d f b d f b
  
  
 
  
 
  
 
   
 
 
   
 
 
 
5) Determine o valor de x em cada uma das 
seguintes igualdades de modo que elas se tornem 
verdadeiras: 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
19 
a) 
20
8
= 
6
x
 b) 
14
30
= 
90
x
 c) 
3
x
 = 
75
15
 d) 
4
x
 = 
36
27
 
 
6) Para que as sucessões (9; x; 5; ....) e (y; 8; 20;...) 
sejam diretamente proporcionais (isto é, para que 
verifiquem as igualdades 
9 5
8 20
x
y
  
...) os 
valores de x e y devem ser, respectivamente: 
a) 2 e 36 
b) 
1 1
4 5
e
 
c) 2 e 5 
d) 5 e 35 
e) 5 e 36 
 
7) As seqüências (a; 2; 5;...) e (3; 6; b;...) são de 
números inversamente proporcionais e a+mb=10. O 
valor de m é: 
a) 0,4 
b) 1 
c) 2 
d) 2,5 
e) 5 
 
8) A diferença, o produto e a soma de dois números 
estão entre si como 2, 3 e 4. Calcule tais números, 
sabendo-se que pertencem a * . 
 
9) São dados três números reais, a<b<c. Sabe-se 
que o maior deles é a soma dos outros dois e o 
menor é um quarto do maior. Então a, b, e c são 
respectivamente, proporcionais a: 
a) 1,2 e 3 
b) 1,2 e 5 
c) 1,3 e 4 
d) 1,3 e 6 
e) 1,5 e 12 
 
10) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2,3 e 
5 a soma entre a menor e a maior parte é: 
a) 35 
b) 49 
c) 56 
d) 42 
e) 28 
11) Sabe-se que
2 1,5
5 6 3
a b c
 
e que a+3b-2c=100. 
O valor de a+b-c é: 
a) 100 
b) 80 
c) 70 
d) 60 
e) 50 
 
12) Numa sala de aula há 30 alunos, dos quais 12 
são meninas: 
a)Qual a razão do número de meninas para o total 
de alunos da turma? 
b)Qual é a razão do número de meninos para o total 
de alunos da turma? 
c)Qual é a razão do número de meninas para o 
número de meninos? 
 
13) A planta de uma casa foi feita em escala de 1: 
50. Quanto medirá na planta uma parede que mede 
20 m? 
 
14) Quanto custa 12 canetas se 4 custam R$ 3,50? 
 
15) Dividindo-se 660 em partes proporcionais aos 
números
1 1 1
, ,
2 3 6
,obtêm-se, respectivamente: 
a) 330,220 e110 
b) 120,180 e 360 
c) 360,180 e 120 
d) 110,220 e 330 
e) 200,300 e 160 
 
16) Determine x, y e z, sabendo-se que 
4 12 20
x y z
 
e 3x+2z=39.4 
 
Nível 2 
 
1) Dividir o número 4200 em partes diretamente 
proporcionais a 6,10 e 12 e, ao mesmo tempo, em 
partes inversamente proporcionais a 3,2 e 4. 
 
2) Um número foi dividido em partes proporcionais a 
3,5 e 7. Sabendo-se que a terceira parte vale 420, 
calcular os valores da primeira parte, da segunda e 
do número. 
 
3) Repartiu-se certa quantia entre 3 pessoas em 
partes proporcionais a 5,7 e 9. Sabendo-se que a 
terceira pessoa recebeu R$1.000 a mais que a 
segunda pessoa, qual a quantia repartida? 
 
4) Três pessoas montam uma sociedade, na qual 
cada uma delas aplica, respectivamente, 
R$20.000,00, R$30.000,00 e R$50.000,00. O 
balanço anual da firma acusou um lucro de 
R$40.000,00. 
Supondo-se que o lucro seja dividido em partes 
diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada 
sócio receberá, respectivamente: 
a) R$5.000,00; R$10.000,00 e R$25.000,00 
 
b) R$7.000,00; R$11.000,00 e R$22.000,00 
 
c) R$8.000,00; R$12.000,00 e R$20.000,00 
 
d) R$10.000,00; R$10.000,00 e R$20.000,00 
 
e) R$12.000,00; R$13.000,00 e R$15.000,00 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 20 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO VI – REGRA DE TRÊS 
 
REGRA DE TRÊS 
Este assunto é muito útil para resolver os 
seguintes tipos de problemas: 
 
1) Num acampamento, há 48 pessoas e alimento 
suficiente para um mês. Se 16 pessoas forem embora, 
para quantos dias ainda haverá alimento? 
 
2) Observe a seguinte situação: 
 
 Uma pessoa paga pelo quilo de feijão R$ 1,20. 
 Se comprar 2 quilos de feijão, pagará R$ 2,40. 
 Se comprar 3 quilos, pagará R$ 3,60. 
 
Quando a quantidade de feijão comprada aumenta de 1 
para 2 quilos, o preço aumenta na mesmarazão, pois 
passa de R$ 1,20 para R$ 2,40. Podemos, então, 
escrever que a razão de 1 para 2 é igual à razão de 
1,20 para 2,40. 
Em linguagem matemática: 
1 1,20
2 2,40

 que se lê: 1 está 
para 2, assim como 1,20 está para 2,40. 
Da mesma forma, quando o aumento é de 1 para 3 
quilos, o preço aumenta na mesma razão: 
1 1,20
3 3,60

 
Como já foi visto anteriormente, a igualdade entre duas 
razões é uma proporção. O preço do feijão, no caso, é 
proporcional à quantidade de quilos de feijão. 
 
1) Regra de Três Simples 
 
EXEMPLO 1: 
Se um ônibus percorre uma estrada com 
velocidade média de 80 km/h, quantos quilômetros 
percorrerá em 2 horas? 
Podemos organizar os dados do problema numa tabela, 
da seguinte maneira: 
 
Tempo Espaço 
1h 80 km 
2h x 
 
A letra x representa o valor desconhecido do 
problema. 
Tempo e espaço são proporcionais, pois, quando o 
valor do tempo aumenta, o valor do espaço percorrido 
aumenta na mesma razão, ou seja, de 1 para 2. 
Dizemos que tempo e espaço são grandezas que 
variam da mesma forma e na mesma razão. Se uma 
aumenta, a outra também aumenta; se uma diminui, a 
outra também diminui. 
Da tabela acima, podemos escrever a seguinte 
proporção: 
1
2
 = 
80
x
, 1 está para 2, assim como 80 está para x. 
Recordando a propriedade fundamental das 
proporções: 
 
O produto do numerador da primeira fração com o 
denominador da segunda fração é igual ao produto 
do denominador da primeira fração com o 
numerador da segunda. 
 
Então: 1 . x = 2 . 80 (lembre-se que 1 . x = x) 
 x = 160 
Portanto, o espaço percorrido pelo ônibus em 2 horas 
será de 160 km. 
Nesse exemplo, três elementos eram conhecidos 
e faltava determinar o quarto elemento. 
Dois dos elementos conhecidos são medidas de uma 
mesma grandeza (tempo) e o terceiro é medida de 
outra grandeza (espaço). O quarto elemento, aquele 
que será calculado, é medida da segunda grandeza 
(espaço). O método usado para resolver problemas 
desse tipo é chamado regra de três. No exemplo 
anterior, as grandezas tempo e espaço são diretamente 
proporcionais e a regra de três é direta. 
 
Definição 
 Sendo a e b dois valores correspondentes da 
grandeza A e, c e d os valores correspondentes da 
grandeza B, chama-se de regra de três simples ao 
processo prático para determinar um desses quatro 
valores, sendo conhecidos os outros três. 
 
 
 
 Se A e B forem grandezas diretamente 
proporcionais, então: 
 a = c 
 b d 
Se A e B forem grandezas inversamente 
proporcionais, então: 
 
ac = bd a = d 
 b c 
 
EXEMPLO 2: 
Dois pintores gastam 18 horas para pintar uma 
parede. Quanto tempo levaria 4 pintores para fazer o 
mesmo serviço? 
Veja a tabela e verifique se as grandezas são 
diretamente proporcionais: 
 
Pintores Tempo 
2 18h 
4 x 
 
Se o número de pintores dobrar, passando de 2 para 4, 
será que o tempo gasto no serviço também dobrará? 
Grandeza 
A 
Grandeza 
B 
A c 
B d 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
21 
Pense um pouco e observe que o tempo gasto 
no serviço não pode aumentar, pois são mais homens 
trabalhando. Aumentando o número de pintores, o 
tempo de serviço deve diminuir. Como o número de 
pintores dobrou, o tempo será reduzido à metade 
(razões inversas). Logo, os pintores gastarão 9 horas 
para pintar a parede. Nesse caso, dizemos que as duas 
grandezas do problema (número de pintores e tempo 
de serviço) são grandezas inversamente proporcionais, 
e a regra de três é inversa. 
 
EXEMPLO 3: 
Cinco operários constroem uma casa em 360 
dias. Quantos dias serão necessários para que 15 
operários construam a mesma casa? 
 
Operários Dias 
5 360 
15 x 
 
Aumentando-se o número de operários de 5 
para 15, ou seja, triplicando-se o número de operários, 
o que acontecerá com o número de dias necessários 
para a construção da casa? 
Da mesma forma que no exemplo anterior, essas 
grandezas são inversamente proporcionais. Isso quer 
dizer que variam na razão inversa, e a razão inversa de 
3 é 
1
3
. Então: 
1
3
 de 360 = 
360
3
 = 120 
Portanto, os 15 operários construirão a casa em 
120 dias. 
 
 Vimos que, para resolver problemas de regra 
de três, é importante determinar se as grandezas 
envolvidas no problema são direta ou inversamente 
proporcionais. Quando as grandezas são inversamente 
proporcionais, a proporção entre os valores não é 
representada por uma mesma razão, mas, sim, por 
razões inversas. Portanto, no caso de grandezas 
inversamente proporcionais, deve-se inverter uma das 
razões para escrever a proporção relativa ao problema. 
 
EXEMPLO 4: 
Um ônibus, em velocidade média de 80 km/h, 
leva 5 horas para percorrer uma estrada. Quanto tempo 
gastará para percorrer a mesma estrada se 
desenvolver velocidade média de 100 km/h? 
 
Tempo(h) Velocidade 
média (km\h) 
5 80 
X 100 
 
 As grandezas tempo e velocidade são direta ou 
inversamente proporcionais? 
Desenvolvendo maior velocidade média, o ônibus 
gastará menos tempo para percorrer a estrada. As 
grandezas envolvidas são, portanto, inversamente 
proporcionais. Assim, escreveremos a proporção 
invertendo umas das razões: 
5
x
 = 
100
80
 
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, 
temos: 
100 . x = 5 . 80 
100x = 400 
x = 
400
100
 x = 4 
Desenvolvendo velocidade média de 100 km/h, 
o ônibus levará 4 horas para percorrer a estrada. 
 
 2) Regra de Três Composta 
 
 Neste método, temos mais de duas grandezas 
proporcionais. 
 Na resolução destes problemas usaremos as 
seguintes propriedades: 
 
a-)Se uma grandeza A é diretamente proporcional a 
uma grandeza B e a uma grandeza C, então: A = B . C 
Ou seja: A é diretamente proporcional ao produto das 
grandezas B e C. 
 
b-) Se uma grandeza A é diretamente proporcional a 
uma grandeza B e inversamente proporcional a uma 
grandeza C, então: A =
B
C
 
Exemplos: 
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de 
areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão 
necessários para descarregar 125m3? 
Horas Caminhões Volume 
8 20 160 
5 X 125 
 Identificação dos tipos de relação: 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na 
coluna que contém o x (2ª coluna). 
 
 A seguir, devemos comparar cada grandeza com 
aquela onde está o x. 
 Observe: 
 Aumentando o número de horas de trabalho, 
podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a 
relação é inversamente proporcional (seta para cima 
na 1ª coluna). 
Aumentando o volume de areia, devemos 
aumentar o número de caminhões. Portanto a relação 
é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª 
coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo 
x com o produto das outras razões de acordo com o 
sentido das setas. 
Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
22 
 
 
Logo, serão necessários 25 caminhões. 
 2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 
20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão 
montados por 4 homens em 16 dias? 
Homens Carrinhos Dias 
8 20 5 
4 x 16 
 Observe: 
 Aumentando o número de homens, a produção 
de carrinhos aumenta. Portanto a relação é 
diretamente proporcional (não precisamos inverter a 
razão). 
 Aumentando o número de dias, a produção de 
carrinhos aumenta. Portanto a relação também é 
diretamente proporcional (não precisamos inverter a 
razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x 
com o produto das outras razões. 
Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
20 8 5
.
4 16
20.4.16
32
8.5
x
x

 
 
Logo, serão montados 32 carrinhos.3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um 
muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e 
aumentando a altura para 4m, qual será o tempo 
necessário para completar esse muro? 
 Inicialmente colocamos uma seta para baixo na 
coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas 
concordantes para as grandezas diretamente 
proporcionais com a incógnita e discordantes para as 
inversamente proporcionais, como mostra a figura a 
seguir. 
Montando a proporção e resolvendo a equação 
temos: 
 
 
Logo, para completar o muro serão necessários 12 
dias. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1-) Calcular a altura de uma torre que projeta uma 
sombra de 28,80m no mesmo instante em que uma 
árvore de 4,2m de altura, plantada verticalmente, 
projeta uma sombra de 3,6m. 
Resolução: 
Altura Sombra 
x 28,8 
4,2 3,6 
 
Como a altura e a sombra são grandezas diretamente 
proporcionais, temos: 
28,8 4,2.28,8
33,6
4,2 3,6 3,6
x
x x    
 
 
Resposta: A altura da torre é 33,6m. 
 
2-) A ração existente em um quartel de cavalaria é 
suficiente para alimentar 30 cavalos durante 30 dias. 
Quantos dias duraria a ração se existissem apenas 20 
cavalos? 
Resolução: 
 
Número de cavalos Número de dias 
30 30 
20 X 
 
Como as duas grandezas são inversamente 
proporcionais, temos: 
30 30.30
45
20 30 20
x
x x    
 
 
Resposta: A ração duraria 45 dias. 
 
3-) Se 25 operários trabalhando 10 horas por dia 
abriram um canal de 238 metros de comprimento em 17 
dias, quantos operários serão necessários para abrir 
686 metros do mesmo canal em 25 dias de 7 horas de 
trabalho? 
Resolução: 
 
Operários Horas / dia Comprimento N º de dias 
25 10 238 17 
X 7 686 25 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
23 
.Número de operários e número de horas são 
grandezas inversamente proporcionais. 
.Número de operários e Comprimento são grandezas 
diretamente proporcionais. 
.Número de operários e Números de dias são 
grandezas inversamente proporcionais. 
Assim sendo: 
25 7 238 25 25 7.238.25
. .
10 686 17 10.686.17x x
   
 
 
10.686.17.25
70
7.238.25
x x   
 
Resposta: Serão necessários 70 operários. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Nível 1 
1) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 
em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em 
quanto tempo limpará uma área de 11900m2? 
a-) 7 horas b-) 5 horas c-) 9 horas d-) 4 horas 
 
2) Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de 
largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada 
para 1,2m de largura. O comprimento correspondente 
será: 
a-)0,685m b-) 1,35m c-) 2,1m d-) 6,85m e-) 18m 
 
3) Cem quilogramas de trigo fornecem 85kg de farinha. 
Quantos quilogramas de farinha se obtêm com 150 
sacas de trigo de 75kg cada uma? 
 
4) Quatorze pedreiros levam 180dias para construir 
uma casa.Quanto tempo levarão 10 pedreiros para 
construir a mesma casa? 
 
5) Um trem percorre 240km em 3 horas. Quanto tempo 
levará esse trem, com a mesma velocidade, para 
percorrer 400km? 
 
6) O eixo de um motor dá 2376 voltas em 9 minutos. 
Quantas voltas dará em 1h27min? 
 
7) Uma torneira enche um tanque em 2 horas. Em 
quanto tempo (em minutos) 3 torneiras iguais a primeira 
encherão o mesmo tanque? 
 
8) Se 16 operários levam 3 dias para completar uma 
obra, quantos operários seriam necessários para 
completar essa obra em 2 dias? 
 
9) Qual é a altura de um edifício cuja sombra tem 6 m 
no mesmo instante em que um poste de 2 m de altura 
projeta uma sombra de 0,6 m? 
10) Trabalhando durante 40 minutos, uma máquina 
produz 100 peças. Quantas peças essa máquina 
produzirá em 2 horas? 
11) Para percorrer 360 km de uma estrada, um 
automóvel consome 30L de gasolina. Para percorrer 
450 km, quanto consumirá? 
 
12) Numa classe de 40 alunos, 18 são meninas. Qual é 
a taxa de porcentagem das meninas dessa classe? 
 
Nível 2 
1) Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de 
fazenda e R$768 por uma outra de mesma qualidade. 
Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-
se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda? 
 
2) De duas fontes, a primeira jorra 
18
 por hora e a 
segunda 
80
. Qual é o tempo necessário para a 
segunda jorrar a mesma quantidade de água que a 
primeira jorra em 25 minutos? 
 
3) Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de 
tecido de 60cm de largura.Qual será o comprimento do 
tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de 
lã para se obter uma largura de 0,90m? 
 
4) Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 
dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários 
para alimentar-se durante 5 dias, estando ausentes 2 
pessoas? 
 
5) Uma equipe de 15 homens extrai, em 30 dias 3600kg 
de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em 
quantos dias conseguirá extrair 5600kg de carvão? 
 
6) Vinte operários trabalhando 8 horas por dia, gastam 
18 dias para construir um muro de 30 metros. Quanto 
tempo levará um a turma de 16 operários, trabalhando 
9 horas por dia, para construir um muro de 255 metros? 
 
7) Dez operários, com capacidade de trabalho igual a 
45, fazem 150 metros de uma obra em 20 dias. Qual 
deve ser a capacidade de trabalho de 5 operários para 
fazer 20 metros da mesma obra em 60 dias? 
 
8) Com 16 máquinas de costura aprontaram-se 720 
uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas 
serão necessárias para confeccionar 2160 uniformes 
em 24 dias? 
 
9) Um avião consome 400 litros de gasolina por hora. 
Calcular o consumo numa etapa de 2 horas 10 
minutos e 3 segundos. 
10) Uma pessoa ao falir só pode pagar 
17
36
 do que 
deve. Se possuísse mais R$ 23.600,00 poderia pagar 
80% da dívida. Quanto era a dívida? 
 
11) Gastei 30% do meu salário comprando um vestido. 
Calcule meu salário sabendo que paguei R$ 60,00 pelo 
vestido. 
 
12)Quando se aplicam R$ 2.000,00 à taxa de 12% ao 
ano, qual será a quantia recebida após 5 anos? 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 24 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO VII – MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
PORCENTAGEM E JUROS 
 
Neste capítulo, estudaremos os juros, as 
taxas, os aumentos e os descontos que fazem parte 
de nosso cotidiano. Veja alguns exemplos 
 
EXEMPLO 1: 
Ao comprar uma mercadoria de R$ 40,00, o 
dono da loja me concedeu desconto de R$ 5,00. 
Qual foi o percentual relativo a esse desconto? 
A proporção entre o desconto e o preço inicial é de 
5
40
 ou 
1
8
. Para sabermos o percentual, calculamos 
uma fração equivalente a essa proporção, cujo 
denominador seja 100. 
Sendo x o percentual, temos: 
100
x
 = 
1
8
 

 
100
8
 = 12,5 
 
Assim, concluímos que o desconto foi de 12,5%. 
 
EXEMPLO 2: 
O salário de uma pessoa passou de R$ 
70,00 para R$ 100,00. Qual o foi percentual do 
aumento? 
Como o aumento foi de R$ 30,00, a proporção entre 
o aumento e o salário era de 
30
70
 = 
3
7
. 
Sendo x o percentual, temos: 
100
x
 = 
3
7
 

 7x = 300 

 42,85 
Portanto, o aumento foi de aproximadamente 
42,85%. 
Observação: A proporção ou o percentual que 
representa o aumento é chamado de taxa de 
aumento. Assim, no exemplo acima, a taxa de 
aumento foi de 
3
7
 ou 42,85%. 
 
EXEMPLO 3: 
Oferecendo um desconto de 20% para 
pagamento à vista, a quanto sairia um artigo cujo 
preço é R$ 48,00? 
Desconto de 20% sobre o preço = 20% de 48,00 = 
0,20 x 48 = 9,6 
Logo, o preço à vista seria de: 
R$ 48,00 - R$ 9,60 = R$ 38,40 
 
Juros 
De modo geral, os juros são expressos como 
uma porcentagem, que é chamada taxa de juros. 
Assim, há os juros que correspondem à compra de 
uma mercadoria a prazo, ao atraso de uma conta, ao 
empréstimo de dinheiro etc. Observe: 
EXEMPLO 4: 
Depositando-se R$ 600,00 numacaderneta de 
poupança, ao final do mês obtêm-se R$ 621,00. 
Calcule a taxa de porcentagem do rendimento. 
 R$ 600,00 é a quantia principal, também 
chamada apenas de principal. 
 R$21,00 é o rendimento, que foi obtido 
subtraindo-se 600 de 621. 
 Devemos calcular a taxa, ou seja, “quantos 
por cento” correspondem ao rendimento 
obtido, R$ 21,00. 
Vamos escrever a regra de três observando que, 
se a taxa de porcentagem do rendimento fosse de 
100%, então o rendimento seria igual ao principal 
(R$ 600,00). A taxa x%, procurada, corresponde ao 
rendimento obtido (R$ 21,00). 
 
R$ % 
600,00 100 
21,00 x 
 
Neste caso, a regra de três é direta, pois, 
aumentando-se o rendimento, a taxa correspondente 
também aumentará. Logo: 
600
21
 = 
100
x

600 . x = 21 . 100

600 x = 
2.100

 
 2.100
600
 = 3,5 
Assim, a taxa de rendimento é de 3,5%. 
 
EXEMPLO 5: 
Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de 
comissão 5% do valor da venda, recebendo R$ 
2.500,00. Qual foi o valor da venda? 
Vamos organizar os dados: 
 R$ 2.500,00 é o valor da porcentagem 
recebida; 
 5% é a taxa de porcentagem; 
 x é o valor da venda do imóvel. 
R$ % 
X 100 
2500,00 5 
5.x=2.500.100

5x=250.000

x=
250.000
5
 = 
50.000 
 
O preço de venda do imóvel foi de R$ 50.000,00 . 
 
EXEMPLO 6 
Pedi um empréstimo de R$ 10.000,00 a um 
banco, que me cobrará 8% de juro mensal. Quanto 
pagarei de juro? 
 R$ 10.000,00 é o capital; 
 8% é a taxa de juro; 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
25 
Juro é a quantia que pagarei mensalmente em troca 
do empréstimo. 
 
R$ % 
10000,00 100 
X 8 
Novamente vamos resolver o problema por uma 
regra de três direta, pois a taxa e o juro variam da 
mesma forma. 
10.000
x
 = 
100
8

100 x = 80.000 
x = 
80.000
100
 = 800 
Pagarei de juro pelo empréstimo R$ 800,00 por mês. 
 
EXEMPLO 7: 
Pedro comprou um eletrodoméstico por R$ 
100,00 e pretende pagá-lo em quatro prestações 
iguais. Consultando uma tabela, o vendedor diz que 
cada uma das prestações sairá por R$ 37,00. Qual o 
valor da taxa de juros embutida na compra? 
Sabendo que R$ 37,00 x 4 = R$ 148,00, temos um 
aumento de R$ 48,00 sobre o preço à vista, ou seja, 
um aumento de 48%. 
Dividindo esse percentual por meses, temos 
48
4
 = 
12. 
Portanto, a taxa de juros foi de 12% ao mês. 
Nesse exemplo os juros são todos iguais porque 
foram calculados sobre o mesmo valor (R$ 100,00). 
 
EXEMPLO 8: 
Uma pessoa consegue um empréstimo de 
R$ 500,00 reais para pagar ao fim de quatro meses. 
O banco cobra uma taxa de juros de 18% ao mês. 
Qual será o total da quantia a ser paga por essa 
pessoa ao final desse período? 
Juros por mês: R$ 500,00 x 0,18 = R$ 90,00 
Total de juros: R$ 500,00 x 0,18 x 4 = R$ 360,00 
Total devolvido ao banco: R$ 500,00 + R$ 360,00 = 
R$ 860,00. 
Assim, o total da quantia a ser paga por essa pessoa 
será de R$ 860,00. 
 
Os Juros Simples 
Denominamos juros simples aqueles que são 
calculados sempre a partir do capital inicial. Os 
juros simples são, portanto, diretamente 
proporcionais ao capital e ao tempo de aplicação. 
 
Dando nome aos bois: 
Capital é uma determinada quantia de 
dinheiro, tomada por empréstimo. Montante é o total 
a ser pago por essa quantia. 
No exemplo anterior, o capital foi de R$ 
500,00 e o montante foi de R$ 860,00. 
Há uma fórmula matemática para o cálculo dos juros, 
que pode ser expressa por: 
 j = C . i . t 
 100 
Onde: 
j = juro c = capital i = taxa de juro. t = temp. 
O montante é a soma do capital com os juros 
calculado: m = c + j 
Assim sendo, um capital C aplicado a uma 
taxa i% ao mês, durante t meses, rende juros j. 
Observação: A taxa i e o tempo t referem-se 
sempre à mesma unidade de tempo, qualquer que 
seja ela (dias, semanas, meses, anos,...). 
 . Para efeito de cálculo, o ano é considerado 
de 12 meses de 30 dias cada um. 
 
Os juros compostos 
 Denominamos juros compostos aqueles que 
são calculados a partir do montante que é a soma do 
capital inicial com os juros. 
Os juros usados no Mercado Financeiro são 
os chamados juros compostos. Observe o exemplo. 
 
EXEMPLO 9: 
Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 
200,00 reais, a juros de 10% ao mês. Ao final de um 
mês, essa pessoa deverá o montante de: 
J = R$ 200,00 x 0,10 x 1 = R$ 20,00. 
M = R$ 200,00: 20 = R$ 220,00. 
 
Se essa dívida for adiada por mais um mês, haverá 
um novo acréscimo. Veja: 
 
J = R$ 220,00 x 0,10 x 1 = R$ 22,00. 
M = R$ 220,00 + 22 = R$ 244,00. 
 
Esse tipo de juro, calculado ao fim de cada período 
sobre o montante anterior é chamado de juro 
composto. 
 
Aumentos e descontos sucessivo. 
 
Imagine que um produto sofra dois aumentos 
sucessivos de 20% e 30%. Qual será a taxa de 
aumento. Muita gente pensa que esse aumento pode 
ser calculado pela soma dos percentuais (30% + 
20% = 50%); no entanto, esse raciocínio é incorreto. 
Veja o cálculo correto para essa questão. 
Vamos imaginar um produto que custa R$ 100,00 
(podemos comparar com o preço igual a 100, pois é 
o mesmo que comparar com a unidade); como o 
primeiro aumento é de 20% sobre R$ 100,00 (0,20 x 
R$ 100,00 = R$ 20,00) temos um montante de R$ 
120,00. Sabendo que o segundo aumento é de 30% 
sobre R$ 120,00 (0,30 x R$ 120,00 = R$ 36,00), o 
preço do produto é elevado a R$ 120,00 + R$ 36,00 
= R$ 156,00. Portanto, o aumento é de R$ 56,00 
sobre um preço de R$ 100,00. E a taxa total é de. 5. 
= 0,56 = 56%. 
Vejamos outros exemplos. 
 
EXEMPLO 10: 
O preço de um artigo sofreu dois descontos 
sucessivos de 15% e 12%. Qual foi a taxa total de 
descontos? 
Já vimos que podemos comparar o preço do artigo 
com o valor de R$100,00. Com o desconto de 15% 
sobre R$ 100,00 (0,15 x R$ 100,00 = R$ 15,00), o 
artigo passa a custar R$ 85,00. Com o segundo 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
26 
desconto é de 12% sobre R$ 85,0 (0,12 x R$ 85,00 = 
10,20), o preço do artigo vai para R$ 74,80. Sabendo 
que desconto foi de. 25. 2. = 0,252%. 
Veja que o preço do artigo passou de 100 reais a 
74,80, sofrendo um desconto total de 100 - 74,80 = 
25,20. 
 
EXEMPLO 11: 
Sabendo que um produto em promoção é 
vendido com 20% de desconto qual será a 
porcentagem de aumento com relação ao preço 
normal? 
Desconto: 20% sobre 100 = 0,20 x R$ 100,00 = R$ 
20,00. 
Portanto, o produto é vendido a um preço 
promocional de R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00. 
Para retornar ao preço inicial ele deve ter um 
aumento de R$ 20,00 sobre o valor de R$ 80,00. 
Ou seja, 
20
80
 = 
1
4
 = 0,25. 
Assim, a taxa de aumento deverá ser de 25%. 
 
À vista ou à prazo? 
Muitas lojas costumam atrair os consumidores 
com promoções do tipo: 
20% DE DESCONTO À VISTA OU EM DUAS 
VEZES SEM ACRÉSCIMO 
No caso de um artigo que custa R$ 100,00, vejamos 
as opções oferecidas. 
À vista com 20% de desconto. 
R$ 100,00 x 0,20 = R$ 20,00. 
R$ 100,00 - R$ 20,00 = R$ 80,00. 
O artigo sairá por R$ 80,00. 
Em duas vezes sem acréscimo. 
100 : 2 = R$ 50,0. 
O artigo sairá por duas prestações de R$ 50,00, 
cada. 
Qual a porcentagem da taxa de juros embutida no 
preço do artigo? 
 Como a diferença entre o pagamento à vista e a 
prazo é de R$ 20,00, temos. 
R$ 
20,00
80,00
 = 
1
4
= 0,25 
Portanto, a taxa de juros embutida no preço é 25%. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Ao vender um objeto por R$ 90,00, uma pessoa 
obteve um lucro de 20%. Quanto deve ter lhe 
custado esse objeto? 
 
2) Os funcionários de uma empresa foram 
agrupados em três faixas etárias (A, B e C), que 
correspondem, respectivamente, às idades de 18 a 
25 anos, de 25 a 35anos e acima de 35 anos. O 
gráfico abaixo indica o total de funcionários em cada 
faixa etária. Indique a afirmação errada: 
 
 
a) B tem 50% a mais que A. 
b) A tem 50% a mais que C. 
c) B tem 200% a mais que C. 
d) C tem 50% a menos que A. 
e) A tem 50% a menos que B e C juntos. 
 
3)Qual o aumento total correspondente a dois 
aumentos sucessivos de 20% e 30%. 
 
4)Sabendo que o salário de Pedro passou para R$ 
450,00, após um reajuste de 70%, responda: qual 
era o salário de Pedro antes do aumento? 
 
5)Calcule 8% de 30 centésimos de 0,03 em forma 
percentual. 
 
6)Calcule 20% dos 40% de 4 milésimos, 
apresentando o resultado sob a forma de fração 
irredutível. 
 
7)Um livro que marcava o preço de R$ 600,00, ao 
ser vendido sofreu uma depreciação de 
2
3
 dos 
3
5
 
de 75%. O livro foi vendido por quanto? 
 
8) Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm 
menos de 40 anos de idade. Qual a porcentagem 
dos que têm 40 anos ou mais? 
 
9) Uma casa é comprada por R$345.000,00 e 
vendida por R$386.400,00. O lucro foi de: 
a) 8% b) 10% 
c) 12% d) 15% 
e) 18% 
 
10) Uma certa mercadoria, que custava R$12,50, 
teve um aumento, passando a custar R$13,50. A 
majoração sobre o preço antigo é de: 
a) 2,0% b)10,0% 
c) 12,5% d)8,0% 
e) 10,8% 
 
11) Em uma promoção numa revenda de carros, 
está sendo dado um desconto de 18% para 
pagamento à vista. Se um carro é anunciado por 
R$16.000,00, então o preço para pagamento à vista 
desse carro será: 
a) R$13.120,00 b) R$13.220,00 
c) R$13.320,00 d) R$13.420,00 
e) R$13.520,00 
 
Nível 2 
1) O preço de certa mercadoria aumentou de 250%. 
Para que o preço da mercadoria volte a ser o que 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
27 
era antes do aumento, de quanto se deve diminuir o 
novo preço da mercadoria? 
 
2) Um capital é empregado à taxa de 8% ao ano. No 
fim de quanto tempo os juros simples produzidos 
ficam iguais a 
3
5
 do capital? 
3) O salário de Antônio é igual a 90% do de Pedro. A 
diferença entre os salários é de R$500,00. O salário 
de Antônio é: 
a) R$5.500,00 
b) R$45.000,00 
c) R$4.000,00 
d) R$ 4.500,00 
e) R$3.500,00 
 
4) Um capital C colocado a render juros simples 
durante 18 meses produziu o montante de R$ 
63.000,00. Colocado nas mesmas condições durante 
2 anos produziu o montante de R$ 72.000,00. Qual a 
taxa anual? 
 
5) De certa população, 12% de seus membros foram 
afetados por uma doença epidêmica. Das pessoas 
atingidas pela doença, 20% morreram. Qual a 
porcentagem da população que morreu vitimada pela 
doença? 
a) 2,4% 
b) 1,8% 
c) 3,6% 
d) 3,2% 
e) 0,8% 
6) É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a: 
a) 0,045 de x 
b) 4% de x 
c) 40% de x 
d) 0,004% de x 
e) 0,4% de x 
 
7) A casa do Sr.Rafael foi adquirida através do 
sistema financeiro de habitação. A prestação mensal 
de sua casa aumentou 30%. Mas, por recurso 
judicial, a partir deste mês, aquele que pagar até o 5° 
dia útil do mês tem direito a um desconto de 20%. 
Se o Sr. Rafael pagou sua casa no dia 02(dois), o 
aumento real sobre a prestação do mês anterior foi 
de: 
a) 10% 
b) 8% 
c) 6% 
d) 4% 
e) 2% 
 
8) Produção e vendas, em setembro, de três 
montadoras de automóveis 
Montadora Unidades 
produzidas 
Porcentagem 
vendida 
A 3.000 80% 
B 5.000 60% 
C 2.000 X% 
Sabendo-se que nesse mês as três montadoras 
venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, o 
valor de x é: 
 
9) Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço 
de venda de seus produtos deve ser o mínimo 44% 
superior ao preço de custo. Porém ele prepara a 
tabela de preços de venda acrescentando 80% ao 
preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de 
obter desconto no momento da compra. Qual é o 
maior desconto que ele pode conceder ao cliente, 
sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? 
a) 10% 
b) 15% 
c) 20% 
d) 25% 
e) 36% 
 
10) Sobre o preço de um carro importado incide um 
imposto de importação de 30%. Em função disso, o 
seu preço para o importador é de 
R$19.500,00.Supondo que tal imposto passe de 30% 
para 60%, qual será, em reais, o novo preço do 
carro, para o importador? 
a) R$22.500,00 
b) R$24.000,00 
c) R$25.350,00 
d) R$31.200,00 
e) R$39.000,00 
 
11) Um negociante vendeu um objeto por R$1232, 
tendo um prejuízo de 12% sobre o preço de custo. 
Qual o preço de custo? 
 
12) Jorge vendeu a Carlos sua motocicleta com um 
lucro de 20% sobre o preço que vendeu. Tendo a 
moto custado a Jorge a importância de R$6.400, 
quanto pagou Carlos? 
 
13) Uma pessoa adquiriu uma bicicleta por R$4.000 
e revendeu com um lucro de 20% sobre o preço de 
venda. Por quanto a revendeu? 
 
14) Um terreno quadrado de 256 ares de superfície, 
foi comprado por R$6.400 e logo depois vendido por 
R$89.600. Pergunta-se: qual o lucro por metro 
quadrado? 
 
15) A área da superfície de uma esfera cresce 4,04% 
quando o raio dessa esfera sofre um aumento de: 
a) 3% 
b) 2,25% 
c) 2,2% 
d) 2% 
e) 1,5% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 28 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO VIII – OPERANDO COM POTÊNCIAS 
 
OPERANDO COM POTÊNCIAS 
 
Operações com potências são muito utilizadas 
em diversas áreas da Matemática, e em especial no 
cálculo algébrico. O conhecimento das propriedades 
operatórias da potenciação pode facilitar a resolução 
de cálculos com expressões algébricas, que de outra 
forma seriam bastante trabalhosos. 
Para estudar essas propriedades, vamos antes rever 
algumas definições de potências com expoentes 
inteiros e bases reais. Potenciação, por definição, é 
uma forma prática e simples de se representar uma 
multiplicação de fatores iguais. Na potenciação, o 
fator da multiplicação chama-se base e o número de 
vezes que o fator se repete é representado pelo 
expoente. 
 
Definição: Seja a um número real e n um número 
natural maior que 1. Potência de base a e expoente 
n é o produto de n fatores iguais a a. Representa-se 
a potência pelo símbolo an. Assim: 
 
 an = a . a . a ….. a, para todo n 
 
 
 n vezes 
 
Por exemplo: 
 
5 x 5 = 25 5² = 25 
Onde 5 é a base e 2 é o expoente. 
Lê-se: 5 ao quadrado. 
 
2 x 2 x 2 = 8 2³ = 8 
Onde 2 é a base e 3 é o expoente. 
Lê-se: 2 ao cubo. 
 
3 x 3 x 3 x 3 = 81 34 = 81 
Onde 3 é a base e 4 é o expoente. 
Lê-se: 3 à 4ª potência. 
 
De maneira geral, podemos escrever: 
 a x a x a ...x a = an (a vezes a n vezes) 
 
 
 n vezes 
 
Alguns casos especiais da potenciação: 
a 1 = a para qualquer a 
a 0 = 1 se a ≠ 0 
a-n = 
1
na
 se a ≠ 0 
 
Além dessas definições, convenciona-se 
ainda que: 
- 3² significa - (3)² = - (3 . 3) = - 9 e 
(- 3)² = (- 3) . (- 3) = + 9 
Portanto: - 3² ≠ (- 3)² 
Isso nos leva a concluir que, se a base é um número 
negativo e está elevada a um expoente positivo, é 
indispensável o uso dos parênteses. Caso os 
parênteses não sejam utilizados o resultado 
encontrado poderá ser incorreto. 
 
Vejamos alguns exemplos numéricos de 
aplicação das propriedades vistas até aqui: 
 70= 1 
 61 = 6 
 -22 = -4 
 (-2)2 = +4 
 3-2 = 
1
3²
= 
1
9
 
 
31( )
2

 = 
3
1
1
( )
2
=
1
1
( )
8
 = 8 
 
Para calcular o valor de uma potência, quase 
sempre precisamos efetuar a multiplicação 
equivalente. Assim, por exemplo, para comparar 
duas ou mais potências é necessário conhecer antes 
os seus valores. Por exemplo: 
 As potências 3-2 e (-3)-2 são iguais ou 
diferentes? 
3-2 = 
1
3²
= 
1
9
 e (-3)-2= 1/(-3)-2 = 
1
9
 
 
Portanto as duas potências são iguais e podemos 
escrever: 3-2 = (- 3)-2 
 
 Qual é a maior 6-2 ou -62? 
6-2 = 
1
6²
 = 
1
36
 ou -62 = -(6.6) = -36 
 
Vimos que 6-2 resulta num número positivo e -62 
resulta num número negativo. Todo número positivo 
é maior que qualquer número negativo. 
Logo: 6-2 > -62. 
Qual é o número menor 
51( )
2

 ou 
31( )
2

? 
 
5
1 1 1 1 1 1 1
. . . .
2 2 2 2 2 2 32
           
                   
           
e 
3
1 1 1 1 1
. .
2 2 2 2 8
       
             
       
 
 
 
Se as frações fossem positivas, a menor seria a que 
tem o maior denominador, portanto 
1
32
. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
29 
Como as frações são negativas o resultado é ao 
contrário e teremos como resposta: 
31( )
2

>
51( )
2

. 
Sugestão: represente as frações obtidas na reta 
numérica. 
 
Para efetuar operações com potências, também é 
necessário calcular antes o valor de cada potência. 
Por exemplo: 
 32 + 23 = 9 + 8 = 17 
 53 – 72 = 125 - 49 = 76 
 23· . 32 = 8 . 9 = 72 
 42: 23 = 16 : 8 = 2 
 
- Casos especiais de potenciação 
 
1) O expoente é zero e a base é um número 
qualquer diferente de zero: a potência, por 
convenção, é sempre igual a 1. Logo a0 = 1 
 
2)O expoente é igual a 1 e a base é qualquer 
número: a potência é sempre igual à base. Logo: a1 
= a 
3)A base é igual a 1 e o expoente é qualquer 
número diferente de zero: a potência é sempre igual 
a 1. Por exemplo: 15 = 1.1.1.1.1 
 
4)A base é zero e o expoente é qualquer 
número diferente de zero: a potência é sempre igual 
a zero. Por exemplo: 03 = 0.0.0 
 
5)A base é 10 e o expoente é qualquer 
número diferente de zero: a potência é um número 
que começa com 1 e tem um número de zeros igual 
ao expoente. Por exemplo: 104 = 10.000 
 
Propriedades da potenciação 
 
Vamos apresentar agora as propriedades 
operatórias, no caso especial das potências de 
bases iguais. Nesses casos, podemos resolver a 
multiplicação sem efetuar as potências e obteremos 
o resultado em forma de potência. 
 
Multiplicação de potências de bases iguais 
 
4 2 4 2 62 .2 2 2 
 
 
 4 vezes 
 
porque 
4 22 .2
 = 2x2x2x2x2x2 
 
 2 vezes 
 
5 3 5 ( 3) 5 3 27 .7 7 7 7     
 
 
Generalizando, para multiplicar potências de 
bases iguais, repetimos a base e somamos os 
expoentes. 
am . an = am+n 
 
Divisão de potências de bases iguais 
 
4
2
2
5 5.5.5.5
5.5 5
5 5.5
  
 
 
3
3 2 5
2
7
7 7
7

   
 
 
4
4 6 2
6
9
9 9
9
  
 
 
Então, para dividir potências de bases iguais, 
repetimos a base e subtraímos os expoentes. 
am : an = am-n 
 
Potenciação de potência 
 
 (32)3= (32) . (32) . (32) = 32 x 3 = 36 
 
 3 vezes 
 
Então, para elevar uma potência a um expoente, 
repetimos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
(am)n = am.n 
 
 
Distributividade da potenciação em relação à 
multiplicação 
 
       
3
2 3 2 3 . 2 3 . 2 3 2.2.2.3.3.3 8.27x x x x  
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
1 1
5 7 5 7
5 75 7
x x
xx
    
 
 
Para elevar um produto a um expoente, elevamos 
cada fator ao mesmo expoente. 
 
(a . b)m = am . bm 
 
 
Distributividade da potenciação em relação à 
divisão 
 
2
7
3
 
 
 
= 
7 7
.
3 3
   
   
   
7 7
.
3 3

2
2
7
3
 
 
 2 vezes 
 
3 3
3
4 4
5 5
 

 
 
 
 
 
Para elevarmos um quociente (ou uma fração) a um 
expoente, elevamos o dividendo e o divisor (ou o 
numerador e o denominador) ao mesmo expoente. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
30 
 
m m ma b a b  
 ou 
( )m
a
b
 = m
m
a
b
 
- Observações 
 Se os expoentes forem inteiros negativos, 
todas as propriedades já descritas também valem. 
Lembrar, porém, que nestes casos as bases devem 
ser diferentes de zero. 
 
Aplicações 
 
Como já foi dito no início da aula, uma das 
maiores aplicações das propriedades operatórias 
das potências de bases iguais está no cálculo 
algébrico. Foram efetuadas em aulas passadas a 
adição e a subtração de expressões algébricas. 
Vejamos nos exemplos, a multiplicação e a 
divisão dessas expressões e verificaremos o uso 
constante das propriedades estudadas. 
 
   
 
     
2 3 5 10
2 2 1 2 2 2 2 4 3 2
3 3 3 3 3 3
3
2 6 7
5 4 3 5 3 4 3 2
. .
. 1 . . .1
2 2 . . 8
. 4 . 4 4
2 3 . 2 . 3 . 2 3
x x x x
y y y y y y y y y y y
xy x y x y
x x x x x
x x x x x x x x x

       
    
    
    
 As propriedades podem ser usadas em 
expressões numéricas como uma forma de 
simplificação dos cálculos. Veja: 
 
7 5 13
2
3 6 2 4
2 3 2 3 4
1
4 5
2.128.32 2.2 .2 2
4 16 4 4 4
5 .5 5 .5 5
5 5
625 5 5
 
   
   
 
 
Curiosidades 
1. De onde surgiu a expressão ao quadrado 
para expressar um número elevado à 2º 
potência? Por exemplo, 3². 
 Os nove pontos formam um quadrado de 
lado com 3 pontos. Por isso dizemos que 9 é o 
quadrado de 3. 
 
 
2. De onde surgiu a expressão ao cubo para 
expressar um número elevado à 3º potência? Por 
exemplo 2³. 
 Na figura estão marcados 8 pontos que 
formam um cubo de lado com 2 pontos. Por isso, 
dizemos que 8 é o cubo de 2. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1-) Calcular 23;(-2)3; -23 
Resolução: 
a-) 23 = 2.2.2=8 
b-) (-2)3 = (-2).(-2).(-2) = -8 
c-) –23 = -2.2.2 = -8 
 
2-) Calcular 24, (-2)4, -24 
Resolução: 
a-) 24 =2.2.2.2 = 16 
b-) (-2)4 = (-2).(-2).(-2).(-2) = 16 
c-) –24 = -2.2.2.2 = -16 
 
3-) Calcular: 
3 2 41( ) , (0,5) , (0,1)
5
 
Resolução: 
a-) 
3 1 1 1 11( ) . .
5 5 5 5 125
 
 
 
b-) (0,5)2 = (0,5).(0,5) = 0,25 
 
c-) (0,1)4 = (0,1).(0,1).(0,1).(0,1) = 0,0001 
 
4-) Calcule (-5)2 – 32+20 
(-5)2=(-5).(-5)=25 
-32= -3.3= -9 
20 =1 
Assim, (-5)2 - 32 + 20 = 25 – 9 + 1 = 17 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Calcular 
a) 23 b) 210 c) 33 
d) 43 e) 102 f) 1002 
g) (3/4)2 
2
2
3
)
4
5
)
6
h
i
 J) (1,02)2 K) 13 
 
2) Verifique se as sentenças são verdadeiras (V) ou 
falsas (F): 
a)( ) 4-2 = - 16 b)( ) 7-3. 73 = 1 
c) ( ) 
1
xx = x2 d) ( ) -3-2 = 1
9
 
3) Qual é o maior 
21( )
5

ou 
31( )
5

? 
 
4) Calcular: 
a) (-3)2 
b) (-3)3 
c) (-2)4 
d) (-2)5 
e) -32 
f) -33 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
31 
2
3
2
)
3
1
)
5
g
h
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Calcular: 
a) 40 b) 50 c) (-6)0 
d) -60 
0
0
0
0
2
)
3
3
)
4
) ( 4)
)0
e
f
g
h
 
 
 
 
 
 
6) Calcular: 
a) 2-2 b) (-5)-3 c) –2-3 
 
3
1
3
1
3
1
2
1
)
2
2
)
3
3
)
5
2
)
3
3
)
5
2
)
3
d
e
f
g
h
i







 
 
 
 
 
 
 
 
7) Calcular: 
a) 23 x 22 = b) 103 :10 = 
c) 23 x 33 = d) 303 : 63 = 
e) ((23)2)1 = f) ((32)5)0 = 
g) 322 = h) 232 = 
i) 44 :26 = j) 95 :32 = 
k) 272:93 = l) 93:32 = 
 
8) Calcular: 
a) 811/2 = b) 81/ 3 = 
c) 321/ 5 = d) 813/ 4 = 
e) 1/3827
 
 
 
 f) 2/3125
8
 
 
 
 
g) 8 –1/ 3 = h) 3/ 41
16

 
 
 
 
 
i) (-27)1/ 3 = j) –81/3 = 
l) –21/2 = 
 
9) Se 2x = 4, qual é o valor de 21+x? E qual o valor de 
23-x? 
 
10) Efetue as operações nas seguintes expressões 
algébricas: 
a) x3 . (x + x2 + x4) = 
b) (7x5 - 8x4) : x4 = 
c) (6x3 + 3x2) : (-3x) = 
d) (x2 + y) . xy = 
 
RADICIAÇÃO 
 
Vejamos agora a operação inversa da 
potenciação, a radiciação. Considere a pergunta: 
qual é o número que elevado ao quadrado dá 81? 
Você sabe que 9.9 = 81. 
Então: 9² = 81 e 
81
=9, 
que se lê: a raiz quadrada de 81 é 9. 
 
Definição: Seja a um número real e n um número 
natural não–nulo. O número x é chamado raiz 
enésima de a se, e somente se, elevado ao 
expoente n reproduz a. 
x é raiz enésima de a  xn = a 
 
Organizamos uma tabela de quadrados para facilitar 
a determinação da raiz quadrada. Veja: 
 
Número 0 1 2 3 4 5 6 7... 
Quadrado 0 1 4 9 16 25 36 49.
.. 
Veja que, na 2º linha (a dos quadrados) não 
aparecem todos os números. Os números que não 
aparecem não são quadrados e, por isso, não 
possuem raiz quadrada natural. Por exemplo: 2 não 
tem raiz quadrada natural. 
 
Vejamos agora a inversa do cubo (3º potência). 
Qual é o número que elevado ao cubo dá 27? 
Vejamos uma tabela de cubos: 
 
Número 0 1 2 3 4 5 6 7... 
Cubo 0 1 8 27 64 125 216 243.
.. 
 
Assim, podemos responder à pergunta: 
33 = 27 e 
3 27
 = 3 que se lê: a raiz cúbica de 27 é 3. 
 a raiz cúbica é a inversa do cubo; 
 o sinal é o radical e o 3 é o índice. 
 
Assim como no quadrado, podemos observar que 
nem todo número natural possui raiz cúbica natural. 
Por exemplo: 93 não tem raiz cúbica natural. 
 
- Existência e notação em  
 
 Da definição conclui-se que: determinar 
todas as raízes enésimas de a é o mesmo que 
determinar as soluções da equação xn = a . 
 Conclui-se, então, que: 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
32 
 a) a = 0 e n (pertence aos naturais não 
nulos) 
 
A única raiz enésima de zero é o próprio zero e é 
representada pelo símbolo 
0n
 . Logo 
 
0n
 = 0 , 

 n 

* 
 
 b) a  0 e n par (e não-nulo) 
O número a possui duas raízes enésimas. Estas 
duas raízes são simétricas. A raiz enésima positiva 
de a, também chamada de raiz aritmética de a, é 
representada pelo símbolo 
n a
. A raiz enésima 
negativa de a, por ser simétrica da primeira, é 
representada pelo símbolo - 
n a
. 
 
Exemplo: 
 
O número 81 tem duas raízes quartas. A raiz quarta 
positiva de 81 é representada pelo símbolo 
4 81
 e 
vale 3. A raiz quarta negativa de 81 é representada 
pelo símbolo -
4 81
 e vale -3. Assim sendo: As 
raízes quartas de 81 são 3 e – 3. 
 
 c) a  0 e n par (e não-nulo) 
Não existe raiz com índice n par de número 
negativo. 
Exemplo: Não existe raiz quadrada de –9, pois não 
existe nenhum número real x, tal que x2= -9 
 
 d) a  0 e n ímpar 
O número a possui uma única raiz enésima. Esta 
raiz tem o mesmo sinal de a e é representada pelo 
símbolo 
n a
. 
 
 Exemplos: 
a) O número 8 tem uma única raiz cúbica, que é 
representada com o símbolo 
3 8
 e vale 2. 
 
b) O número –8 tem uma única raiz cúbica, que é 
representada pelo símbolo - 
3 8
 e vale –2. 
 
 - Observações 
a) No símbolo 
n a
 dizemos que : 
o sinal é o radical; 
a é o radicando; 
n é o índice da raiz. 
 
b) Por convenção, na raiz quadrada, omite-se o 
índice. 
 Escreve-se , por exemplo, 
4
 em lugar de 
2 4
. 
 
 - Propriedades 
 Sendo a e b números reais positivos e n um 
natural não-nulo, valem as seguintes propriedades: 
a) Radicais de mesmo índice 
Para multiplicar, mantém-se o mesmo índice e 
multiplicam-se os radicandos. 
 
n a
. 
n b
 = 
.n a b
 
 
Para dividir, mantém-se o mesmo índice e dividem-
se os radicandos. 
 
n a
 

 
n b
 =
n
a
b
 , b  0 
 
b) Para calcular uma raiz de outra raiz, 
mantém-se o radicando e multiplicam-se os índices. 
 n m a = .n m a , m  * 
 
c) Calcular a raiz e em seguida a potência é 
o mesmo que calcular a potência e em seguida a 
raiz. (
n a
) m = n ma , m  
 
d) Multiplicar ou dividir índice e expoente 
por um mesmo número não altera o resultado. 
n ma
 = . .n p m pa , m  , p  * 
 
Observação: Mantidas as respectivas restrições, as 
propriedades apresentadas são válidas também para 
radicandos negativos, desde que nestes casos o 
índice seja ímpar. 
 
- Potência de expoente racional 
Seja a um número real positivo, n um 
número natural não-nulo e 
m
n
 um número racional 
na forma irredutível. 
A potência de base a e expoente racional 
m
n
 é 
definida por: 
 / nm n ma a 
Valem para as potências de expoente racional as 
mesmas propriedades válidas para as potências de 
expoente inteiro. 
 
- Racionalização de denominadores 
 
Racionalizar o denominador de uma fração significa 
eliminar todos os radicais que existem no 
denominador da mesma, sem, porém, alterar seu 
valor. 
 
Exemplo: 
 Note que 
2
2 2 3 2. 3 2 3
.
33 3 3 ( 3)
  
 
Conclui-se que 2 3
3
 é igual a 
2
3
 e possui o 
denominador racionalizado. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
33 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1-) Simplificar 
72
 
Resolução: 
72 8.9 8. 9 2 2.3 6 2   
 
 
2-) Simplificar 
3 54
 
Resolução: 
3 33 3 354 27.2 27. 2 3 2  
 
 
3-) Simplificar 17 29
.
58 34
 
Resolução: 17 29 17 29 17.29
. .
58 34 58 34 58.34
  
 
17.29 1 1 1 1
2.29.2.17 2.2 4 24
    
 
 
4-) Reduzir os radicais 
2
 e 
5 3
 ao mesmo índice 
10 
Resolução: 
2.5 102 1 1.5 5 102 2 2 2 32   
 
5 5.2 101 1.2 25 103 3 3 3 9   
 
Resposta: 
10 32
 e 
10 9
. 
 
5-) Transforme em único radical a expressão 
52. 3
 
Resolução: Devemos reduzir os radicais dados para 
o mesmo índice 10 (que é o mínimo comum entre 2 
e 5) e em seguida usamos uma das propriedades 
das raízes. Veja: 
5 10 10 10 102. 3 32. 9 32.9 288  
 
 
6-) Escreva na forma de um único radical a 
expressão 6 5
4 3
2
2
 
Resolução: 6 6.2 125 5.2 10 10
1212
93.44 123 3.3 9
2 2 2 2
2
22 2 2
   
 
7-) Simplifique 
2
 
Resolução: 
1/82.2.2 82 2 2 2  
 
 
8-) Racionalize: 
5
7
8
 
Sabemos que 
5 35 58 2.2.2 2 
.Mutiplicar 
numerador e denominador da fração por 
5 22
teremos: 
5 5 553 2 3 2 52 . 2 2 .2 2 2  
,logo: 
5 5 5 52 2 2 2
5 5 5 5 53 3 2 55 53 2
7 7 7 2 7 2 7 2 7 2
28 2 2 2 22 . 2
     
 
57 4
2

 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Escreva e calcule: 
a) treze ao quadrado; 
b) quatro ao cubo. 
 
2) Com 25 pontos é possível formar um quadrado, 
assim: 
 
 
 
Se for possível, forme um quadrado desse tipo com: 
 
a) 9 pontos 
b) 10 pontos 
c) 16 pontos 
 
3) Calcule: 
a)81 
b) 120 
c) 80 
d) 14 
e) 1010 
 
4) Calcule: 
a)
49
 
b) 
64
 
c) 
1
 
d) 
100
 
e) 
36
 
 
5) Calcule: 
a) 
3 8
 
b) 
3 1
 
c)
3 1000
 
d) 
3 64
 
e) 
3 0
 
 
6) Calcule: 
a) 
81
 
b) -
81
 
c) 
3 64
 
d) 
3 64
 
 
7) Calculando-se 
2
51
243

 
 
 
, obtém-se: 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
34 
a)-81 
b) –9 
c) 9 
d) 81 
e) um número não real8) O valor de 3
2(9)
+(32)0,8 é: 
a) 43 
b) 25 
c) 11 
d) 36 
e) 17 
 
9) Simplificando-se o radical 13 12
5 3
3 3
2 : 2
 , obtém-se: 
a) 
243
2
 
b) 
81
2
 
c) 729 
d) 243 
e) 
729
2
 
10) A expressão com radicais
8 18 2 2 
 é 
igual a: 
a) 
2
 
b)
12
 
c) 
3 2
 
d) 
8
 
 
11) A expressão 
18 50
é equivalente a: 
a) 
2 17
 
b) 34
2
 
c) 8
2
 
d)
5 3
 
e) 2
2
 
 
12) Escrever a expressão 
32 2 2
na forma de um 
único radical. 
 
13) Escrever na forma de um único radical, supondo 
a>0 e b>0: 
a) 
32. 3
 
b) 
3 4.a b
 
c) 
5 2
a
a
 
 
14) Racionalize o denominador das seguintes 
frações: 
a) 
1
5
 
b) 
3
3
 
c) 
1
2 2
 
d) 
3
2
3
 
 
 
15) Calcular o valor numérico da expressão 
1
1
6 2
2
6 4 1729
9 2

     
      
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 
 35 
 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO IX – FATORAÇÃO 
 
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 
Expressão numérica é aquela que apresenta 
uma seqüência de operações e de números. 
Também já sabemos que as letras são usadas em 
Matemática para representar números 
desconhecidos ou para generalizar propriedades e 
fórmulas da Geometria, por exemplo. As expressões 
que apresentam letras, além de operações e 
números são chamadas expressões algébricas e as 
letras são as variáveis. 
 
Todo número natural multiplicado por 1 é igual a 
ele mesmo. 
 
Em linguagem matemática, essa propriedade 
pode ser escrita da seguinte maneira: x . 1 = x 
Onde x representa um número natural qualquer. 
Veja o exemplo: 
Uma pessoa ganha R$ 20,00 por dia de trabalho. 
Para calcular quanto essa pessoa ganhará, após 
alguns dias de trabalho, podemos escrever a 
expressão algébrica: 20. x, onde x representa o 
número de dias trabalhados. 
Se a pessoa trabalhar dois dias, receberá 
R$ 20,00 x 2 = R$ 40,00. 
Se a pessoa trabalhar dez dias, receberá 
R$ 20,00 x 10 = R$ 200,00. 
Portanto, a expressão algébrica nos permite calcular 
o ganho dessa pessoa, por meio da multiplicação da 
variável x que é número de dias trabalhados, é: 
 Ganho= 20.x 
A expressão algébrica da área de um quadrado de x 
cm de lado é determinada elevando-se a medida do 
seu lado ao quadrado. Veja: 
 Área = x² 
 x 
 
Assim, podemos determinar a área de qualquer 
quadrado por meio da substituição da variável x pela 
medida do lado do quadrado. 
 
Observações: 
1º) Nas expressões algébricas não é usual se 
escrever o sinal de multiplicação, veja: 
 
2 . x se escreve 2x 
a . b se escreve ab 
 
2º) Podemos ter expressões algébricas com mais de 
uma variável ou ainda sem variável: 
2xy : expressão com duas variáveis: x e y 
5a² b c³: expressão com três variáveis: a, b e c 
25 : expressão sem variável. 
 
Valor numérico 
 
Quando substituímos as variáveis de uma 
expressão por números e efetuamos as operações 
indicadas, o resultado encontrado é o valor numérico 
da expressão. 
O valor numérico da expressão 5x + 4 para x = 2, por 
exemplo, é: 
 5 x 2 + 4 = 10 + 4 = 14 
 
Sabendo que a expressão ab representa a área de 
um retângulo, responda: 
Qual a área de um retângulo com dimensões a = 2,5 
cm e b = 4 cm. 
O valor numérico de ab é: 2,5 x 4 = 10 
Logo, a área do retângulo é 10 cm². 
As expressões algébricas que não apresentam 
adições e subtrações entre os números e as 
variáveis, são chamadas de monômios. Por 
exemplo: 6x, 3x²y² ab, 10 etc. A parte numérica de 
um monômio é o coeficiente e a outra parte formada 
por letras é a parte literal. De acordo com os 
exemplos anteriores, vamos destacar o coeficiente e 
a parte literal de cada monômio: 
 
6x → coeficiente: 6 3x ² y² →coeficiente: 3 
 Parte literal: x Parte literal: x ² y² 
 
10 → coeficiente 10 
 parte literal: não tem 
 
ab → coeficiente: 1 (ab é o mesmo que 1 ab) 
 Parte literal: ab 
 
Dois ou mais monômios que possuem a mesma 
parte literal e coeficientes diferentes são chamados 
de monômios semelhantes. Para somar ou subtrair 
monômios eles devem ser semelhantes. Caso 
contrário a adição e a subtração serão apenas 
indicadas e não efetuadas. A expressão seguinte é 
um exemplo de operações com monômios: 
 
4xy + 7xy - 5xy = (4 + 7 - 5)xy = 6xy 
 
Veja outro exemplo: 
 
No retângulo abaixo, assinalamos as medidas dos 
seus lados em cm. De acordo com a figura, vamos 
determinar a expressão algébrica mais simples (com 
menos termos) que representa o perímetro desse 
retângulo. 
 
 
 
 x-3 
 
 
 2x + 1 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 36 
O perímetro de um retângulo é calculado somando-
se as medidas de seus lados: 
2 (2x + 1) + 2 (x - 3) = Propriedade distributiva da 
multiplicação. 
= 4x + 2 + 2x - 6 = Propriedade comutativa da 
adição. 
= 4x + 2x + 2 - 6 = Efetuando-se as operações dos 
monômios semelhantes. 
Portanto, a expressão mais simples que representa o 
perímetro do retângulo acima é 6x - 4. 
 
Polinômios 
 
Uma expressão formada por adições e 
subtrações de monômios é chamada de polinômio 
(poli = muitos). 
Uma expressão como 4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²² 
é um polinômio formado por seis monômios ou 
termos. Como existem termos semelhantes nesse 
polinômio, podemos reduzi-los efetuando as 
operações indicadas na seqüência: 
 
4a²² - 7ab + b²² - 2a²² - ab - b²² 
= 4a²² - 2a²² - 7ab - ab + b²² - b²² = 
= 2a²² - 8ab + 0 = 2a²² - 8ab 
 
A expressão encontrada é chamada de forma 
reduzida do polinômio, pois as operações com os 
termos restantes não podem mais ser efetuadas. 
Assim, para somar ou subtrair polinômios, basta 
reduzir seus termos semelhantes. 
Somando o polinômio 3x² - 4xy + y² com - x² - 2xy + 
4y² , temos: 
(3x² - 4xy + y²) + (- x² - 2xy + 4y²) = Retirar os 
parênteses. 
=3x² - 4xy + y² - x² - 2xy + 4y² = Aplicar a 
propriedade comutativa. 
=3x² - x² - 4xy - 2xy + y² + 4y² = Reduzir os termos 
semelhantes. 
=2x² - 6xy + 5y² = Soma dos dois polinômios. 
 
No caso da subtração de dois polinômios, temos o 
exemplo: 
(- 14ab + 7a) - (- 12ab + 6a) = Retirando os 
parênteses e trocando os sinais do 2º polinômio. 
= - 14ab + 7a + 12ab - 6a = 
= - 14ab + 12ab + 7a - 6a = 
= - 2ab + a Diferença dos dois polinômios. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1)A expressão 2x representa um número múltiplo de 
2. Escreva a expressão que representa os múltiplos 
de 5. 
 
2)Escreva a propriedade comutativa da adição, 
usando uma expressão algébrica. 
 
3)Responda: 
a) qual o monômio que ao somar com - 2x y resulta 
zero? 
b) qual o resultado de - 2a² - 5a²? 
4) Escreva a expressão mais simples (reduzida) que 
possa representar a área da figura: 
 
 
5) Determine o valor numérico da expressão: 
x³y² - x² + y³ para x = 2 e y = -1. 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
O cálculo algébrico é uma valiosa ferramenta 
para a álgebra e para a geometria. Em capítulos 
anteriores, já vimos algumas operações com 
expressões algébricas. 
Neste capítulo, estudaremos alguns produtos 
especialmente importantes porque aparecem com 
muita freqüência no cálculo algébrico. Esses 
produtos são conhecidos pelo nome de produtos 
notáveis. Produto por ser resultado de uma 
multiplicação, e notável por ser importantes, digno de 
nota, que se destaca. 
Vamos verificar que podemos calcular a área 
de algumas figuras de maneiras diferentes. 
 
Primeiroproduto notável 
 
Vejamos a área da figura abaixo, cujo lado 
mede a. 
 
 
 
 a 
 Área: a2 
 
 
 a 
 
Aumentando de b a medida de cada lado desse 
quadrado, determinamos um quadrado de lado a + b, 
assim: 
 
 
 
Área = (a+b)2 
 
 
 
Outra maneira de calcular a área desse quadrado é 
somando as áreas de cada uma das figuras que o 
formam. Observe que temos dois quadrados, de 
lados a e b respectivamente, e dois retângulos 
iguais, cujas dimensões são a e b: 
a 
a 
b 
b 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 
 37 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos ainda calcular a área desse 
quadrado usando cálculo algébrico: 
     
2
.a b a b a b   
 
Elevar ao quadrado é o mesmo que multiplicar dois 
fatores iguais. 
Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação. 
    2 2.a b a b a ab ba b     
 
2 2 2 22a ab ab b a ab b      
 
Somandoo os termos semelhantes. 
 
Logo: 
 
 
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2 
 
 
O trinômio obtido é chamado de trinômio 
quadrado perfeito por ser o resultado do quadrado 
de (a + b). Observe novamente esse produto: 
 
Portanto, o primeiro produto notável pode ser 
lido assim: 
 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao 
quadrado do 1º termo, mais duas vezes o produto 
do 1º pelo 2º, mais o quadrado do 2º termo. 
 
EXEMPLO 1: 
 
Podemos calcular (2 + 3)2 de duas maneiras: 
(2 + 3)2 = 52 = 25 
(2 + 3)2 = 22 +2.2.3 +32 =4 + 12 + 9 = 25 
 
Encontramos o mesmo resultado nos dois caminhos 
usados. 
 
É claro que, nesse exemplo, não faz sentido usar a 
conclusão do produto notável, pois, como os termos 
da soma são números, podemos achar diretamente 
o resultado, somando os números e elevando o 
resultado ao quadrado. 
 
No caso de uma soma algébrica, é impossível 
efetuar a adição, e então temos de usar a regra do 
produto notável. 
 
EXEMPLO 2: 
 
 (x + 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2+ 2x +1 
 (3x +4) = (3x)2 + 2. (3x).4 + 42 = 9x2 + 24x +16 
 (a2 + 3b)2 = (a2)2 + 2.a2.3b + (3b)2 = a4 + 6a2b + 9b2 
 
2 2 2
2 22.
2 2 2 4
x x x x
y y y xy y
     
           
     
 
Segundo produto notável 
 
O segundo produto notável é o quadrado da 
diferença entre dois termos e é praticamente igual ao 
primeiro produto, sendo a única diferença o sinal. 
Vamos calculá-lo: 
 
(a-b)2 = (a-b).(a-b) = a2 –ab –ba +(-b)2 = a2 – ab – ab 
+b2 = a2 – 2ab +b2 
 
Logo: 
 
(a- b)2 = a2 – 2ab +b2 
 
 
que pode ser lido assim: 
 
O quadrado da diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do 1º termo, menos duas vezes o 
produto do 1º termo pelo 2º termo, mais o 
quadrado do 2º termo. 
 
EXEMPLO 3: 
 
(a – 2)2 = a2 – 2.a. 2 + 22 = a2 – 4a + 4 
 (x2 – 2y)2 = (x2)2 - 2.x2.2y + (2y)2 = x4 - 4x2y + 4y2 
 
Terceiro produto notável 
 
O terceiro produto notável pode ser mostrado 
por meio do cálculo da área de uma figura. Essa 
área será calculada também de duas maneiras 
diferentes. 
 
 
A área que devemos calcular é a da figura pintada 
em forma de L que tem três dimensões diferentes a, 
b e c. Completando as linhas tracejadas, obtemos 
um quadrado maior de lado a e um quadrado menor 
de lado b. 
 
A área da figura pintada pode ser calculada fazendo-
se a diferença entre a área do quadrado maior e a 
área do quadrado menor: 
Área do L = área do quadrado maior - área do 
quadrado menor: 
 
Área do L = a2 – b2 
 
Outra maneira para calcular a área do L é decompor 
a figura em dois retângulos, assim: 
 
 
2
a b
 = 
2a
 + 
2 a b 
 + 
 
a b 
a 
b 
a 
a 
a 
a 
b 
b 
b 
b 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 38 
 c 
 
 
Observe na figura anterior, que c = a – b 
 
Como os dois retângulos têm uma das dimensões 
iguais (c), vamos colocá-los juntos de maneira a 
formar um só retângulo de medidas a + b e a - b. 
 
comprimento: a + b 
largura: a –b 
 
Calculando a área do retângulo, que é igual à área 
do L, temos: 
Área do retângulo: (a + b) (a - b) 
 
Então: 
 
 (a+b).(a-b) = a2 – b2 
 
 
que pode ser lido: 
 
O produto da soma pela diferença de dois termos 
é igual ao quadrado do 1º termo menos o 
quadrado do 2º termo. 
 
EXEMPLO 4: 
 
(x + 2)(x – 2) = x2 – 22 = x2 – 4 
 
(2x – 5y)(2x+5y) = (2x)2 – (5y)2 = 4x2 – 25y2 
 
(a2 + b)(a2 – b) = (a2)2 – b2 = a4 –b2 
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 4 9
x y x y x y x y      
           
      
 
 
Observações: 
 
1. Quando se diz “o quadrado da soma de 
dois números”, essa sentença é representada 
algebricamente por (x+y)2. 
 
2. Quando se diz “a soma dos quadrados de 
dois números”, a expressão correspondente é x2 + 
y2. 
3. Da mesma forma, “o quadrado da 
diferença” representa-se por (x-y)2 e “a diferença 
entre dois quadrados” por x2 – y2. . 
 
 Quarto produto notável 
 
 O quarto produto notável pode ser mostrado 
utilizando o primeiro produto notável: 
 
 (a + b)3 = (a + b) . (a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) 
 (a + b)3 = a3 +2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3 
 
Logo: 
 
 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 +b3 
 
 
que pode ser lido assim: 
 
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo 
do primeiro termo, mais três vezes o quadrado 
do primeiro termo vezes o segundo, mais três 
vezes o quadrado do segundo termo vezes o 
primeiro, mais o cubo do segundo termo. 
 
Quinto Produto Notável 
 
O quinto produto notável pode ser mostrado 
utilizando o segundo produto notável: 
 
 (a - b)3 = (a - b) . (a - b)2 = (a - b)(a2 - 2ab + b2) 
 (a - b)3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3 
 
Logo: 
 
 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
 
 
que pode ser lido assim: 
 
O cubo da diferença de dois termos é igual ao 
cubo do primeiro termo, menos três vezes o 
quadrado do primeiro termo vezes o segundo, 
mais três vezes o quadrado do segundo termo 
vezes o primeiro, menos o cubo do segundo 
termo 
 
Sexto Produto Notável 
 
 O sexto produto notável é a soma de dois 
cubos e pode ser demonstrado da seguinte maneira: 
 
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
Logo : 
a3 + b3 = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 
a3 + b3 = (a + b) 3 – 3ab(a + b) 
a3 + b3 = (a + b) [(a + b) 2 – 3ab] 
a3 + b3 = (a + b) (a2 + 2ab + b2 – 3ab) 
 
 
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 
 39 
 
Sétimo Produto Notável 
 
 O sétimo produto notável é a diferença de 
dois cubos e pode ser demonstrado da seguinte 
maneira: 
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
Logo : 
a3 - b3 = (a - b)3 + 3a2b - 3ab2 
a3 - b3 = (a - b) 3 + 3ab(a - b) 
a3 - b3 = (a - b) [(a - b) 2 + 3ab] 
a3 - b3 = (a - b) (a2 - 2ab + b2 + 3ab) 
 
 
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) 
 
 
 
Resumindo: 
Os sete produtos notáveis estudados são: 
 
1. Quadrado da soma de dois termos: 
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2 
2. Quadrado da diferença de dois termos: 
(a - b)2 = a2 - 2ab +b2 
3. Produto da soma pela diferença de 
dois termos: 
(a+b).(a-b) = a2 – b2 
4. Cubo da soma de dois termos: 
(a + b)3 = a3 +3a2b+ 3ab2 +b3 
5. Cubo da diferença de dois termos: 
 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
6. Soma do cubo de dois termos: 
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) 
7. Diferença do cubo de dois termos: 
a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
1) Desenvolva (5x+7)2 
 (5x + 7)2 =(5x)2 +2.(5x).(7) + 72 = 52.x2 + 2.5.7.x + 49 
 (5x + 7)2 = 25x2 + 70x + 49 
 
2) Desenvolva (3a + 4b)2 
=(3a)2+2.(3a).(4b)+(4b)2=32.a2+2.3.a.4.b+42.b2 
(3a +4b)2 = 9a2+24ab+16b23) Desenvolva (a -3)2 
(a -3)2 = (a)2 –2. a. 3 + 32 = a2 – 6a + 9 
 
4) Desenvolva (-x + y)2 
(-x + y)2 = (y - x)2 = y2 – 2yx + x2 
 
5) Desenvolva (2a + b)3 
(2a + b)3 = (2a)3 + 3 (2a)2.b+3.(2a).b2+b3 
(2a + b)3 = 23.a3 + 3.22.a2.b+3.2.a. b2 + b3 
(2a + b)3 = 8 a3 + 12 a2b + 6ab2 + b3 
 
6) Desenvolva (a - 3b)3 
(a - 3b)3 = a3 - 3.a2.(3b) + 3.a(3b)2-(3b)3 = 
= a3 - 3.a2.3.b + 3.a. 32.b2 - 33.b3 = a3 - 9 a2b + 27ab2 -
27b3 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Desenvolva: 
a) (x + y)2 b) (-x –y)2 
c) (x – y)2 d) (3a-ab)2 
e) 22
3 2
x y 
   
 
 f) 23 4
2 5
x y 
  
 
 
 
g) (x + y) (x – y) h) (2x + 3b) (2x –3b) 
i) (x +y)3 j) (2a + 3b)3 
k) (x - y)3 l) (- x - y)3 
m) (-2a - 5b)3 n) (2x + 3y)2 
o) (x2 – 2xy)(x2+2xy) p) 2
2
y
x
 
  
 
 
 
2) Desenvolva: 
a) (2 a+b)2+(3 a-b)2-(-5 a-b)2 
b) (a+2)2-3(a+1)2 
c) (a+1)3-(a-2)3 
d) (x+y)2-(x-y)2 
 
3) Sabendo que x2 + y2 = 29 e (x + y)2 = 49 são 
números inteiros positivos, determine: 
a) x + y b) xy c) x e y 
Sugestão: 
Desenvolver (x + y)2 e substituir (x + y)2 e x2 + y2 
pelos seus valores dados pelo enunciado. 
 
4) Qual o polinômio que somado a: (a + 2)(a - 2) dá 
(a + 2)2 como resultado? 
 
5)Observe os seguintes trinômios quadrados 
perfeitos e determine os quadrados 
correspondentes: 
a) x2 + 2ax + a 
b) 4x2 + 4x + 1 
 
6) Desenvolver: (a+b+c)2 
7) Desenvolver: 
 
2
12 3 1  
 
 
FATORAÇÃO 
 
A palavra fatoração nos leva a pensar em 
fatores, e, como já sabemos, fatores são os 
elementos de uma multiplicação. Fatorar um número, 
portanto, é escrevê-lo na forma de uma multiplicação 
de fatores. Por exemplo, o número 16 pode ser 
escrito como uma multiplicação de fatores, de várias 
maneiras: 
 
16 = 2 x 8 
16 = 4 x 4 
16 = 2 x 2 x 2 x 2 
16 = 2 4 
 
No caso de uma expressão numérica cujas parcelas 
têm um fator comum, podemos fatorá-la, assim: 
7 x 2 + 5 x 2 = (7 + 5) x 2 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 40 
Vamos aprender, neste capítulo, a fatoração de 
expressões algébricas, que é muito utilizada para a 
simplificação dos cálculos algébricos. Vamos 
considerar um terreno formado por dois lotes de 
comprimentos diferentes e de mesma largura: 
 
 
 
Podemos calcular a área total do terreno de duas 
maneiras diferentes: 
 
 Calculando a área de cada lote e depois as 
somando. 
 Somando os comprimentos dos dois lotes e 
calculando diretamente a área total do terreno. 
 
As duas maneiras dão o mesmo resultado; portanto, 
podemos escrever: 
 
Área do lote I: ax Área do lote II: bx 
Comprimento total do terreno: (a + b) 
Área do terreno: (a + b) x 
Logo: ax + bx = (a + b) x 
 
Portanto, sempre que numa soma de duas ou mais 
parcelas houver um fator comum a todas as parcelas 
(como o x em ax + bx), podemos fatorar essa 
expressão, e esse fator comum será um dos fatores 
da expressão após ser fatorada. 
Como fazer para descobrir o outro fator da 
expressão fatorada? Basta dividir a expressão que 
vai ser fatorada pelo fator comum. 
 
EXEMPLO 1: 
Fatore a expressão: 3xy + 6x. Temos que 3 e 
x são fatores comuns às duas parcelas. Podemos, 
então, escrever a expressão assim: 
3xy + 6x = 3x. ( 
3
3
xy
x
 + 
6
3
x
x
 ) 
Simplificamos as frações: 3xy + 6x = 3x( y + 2) 
Dizemos que o fator 3x foi colocado “em evidência”, 
isto é, em destaque. Na prática, as divisões feitas 
dentro dos parênteses são feitas de cabeça. 
 
EXEMPLO 2: 
Fatore 2a²b - 4ab². 
Os fatores comuns são 2, a e b. 
Colocando 2.a.b “em evidência”, temos: 
2a²b - 4ab² = 2ab. (a - 2b) (divisão feita de cabeça) 
 
Para ter certeza de que a divisão foi feita 
corretamente, você pode fazer a verificação assim: 
2ab (a - 2b) = 2a²b - 4ab² 
Ou seja, foi usada a propriedade distributiva da 
multiplicação para verificar se a fatoração está 
correta. 
 
Podemos também fatorar as expressões algébricas 
que são resultados de produtos conhecidos, como os 
produtos notáveis estudados no capítulo anterior. A 
expressão a² - b² é resultado do produto (a + b) · (a - 
b); então podemos fatorar toda expressão da 
seguinte maneira: 
 
4x² - 9 = (2x + 3) (2x + 3) (forma fatorada) 
36a² - 1 = (6a + 1) (6a - 1) 
16 - 
25
x²
 = ( 4 + 
5
x
) . ( 4 – 
5
x
) 
 
Os outros dois produtos notáveis resultam em 
trinômios quadrados perfeitos. 
Então, sempre que tivermos um trinômio quadrado 
perfeito podemos fatorá-lo escrevendo-o na forma de 
um quadrado da soma ou da diferença de dois 
termos. Por exemplo: 
x² + 8x + 16 = (x + 4)² 
 x4 - 2x² + 1 = (x² - 1)² 
 
EXEMPLO 3 
 Fatorar x3+1 
Utilizando o produto notável já conhecido (soma de 
cubos) temos: 
 
x3+1 = x3+13 = (x+1)(x2 – x.1 + 12) 
 
EXEMPLO 4 
 Fatorar x3+ 2x2 + 2x + 1 
 
Temos que: 
x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x3+ 1) + 2x(x + 1) 
 
Desenvolvendo o produto notável da soma dos 
cubos temos: 
 x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)(x2 – x.1 + 12) + 2x(x + 1) 
x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 – x.1 + 12 + 2x) 
x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 – x + 1 + 2x) 
x3+ 2x2 + 2x + 1 = (x+1)( x2 + x + 1) 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
1) Calcule o valor de 5.36 + 5.24 + 5.15 fatorando 
antes a expressão. 
 
2) Fatore as expressões algébricas, colocando o 
fator comum em evidência: 
a) x² + 11x 
b) a²b + 4ab + ab² 
 
3) Verifique se o trinômio x² - 12x + 64 é um trinômio 
quadrado perfeito, justificando a resposta. 
 
4) Fatore o trinômio a²x² + 2ax + 1. 
 
5) Fatore a expressão x 4 - 16 e, se ainda for 
possível, fatore o resultado obtido. Isso quer dizer 
fatorar completamente a expressão. 
 
6) Simplifique a fração (a² -10a + 25) / (a – 5), 
fatorando antes o numerador da fração. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Álgebra 
 41 
 
7) Complete o trinômio quadrado perfeito com o 
termo que está faltando: 
x² -.... + 9y² 
 
Nível 2 
1) Observe as igualdades a seguir: 
3² + 4² = 5² 7² + 24² = 25² 
 
5² + 12² = 13² 9² + 40² = 41² 
Considere a igualdade 17² + x² = y² e com base nos 
exemplos anteriores, podemos concluir que x + y é 
igual a: 
a) 289 b) 121 c) 81 d) 144 e) 196 
 
2) O valor numérico da expressão a4 – 2a²b² +b4 
para a = 
8
17
 e b = 
9
17
 é um número N tal que: 
a) 1<N < 10 b) 10-4 < N < 10-3 
c) 10-3 < N < 10-2 d) 10-2 < N < 10-1 
e) 10-1 < N < 1 
 
3)Se n ≠ 0 a expressão (( 20 / (22n + 4 + 22n + 2 ))1 / n 
vale: 
a)
1
2
 . (5)1 / n b) 4
n
 
c) 
1
5
2
n 
 
 
 d)
1
4
 
e) 
1
4
.
1
5
2
n 
 
 
 
 
4) Fatore x³ + x² - x -1 
 
5) Fatore a² + 6a – 7 
 
6) A diferença entre 2 números é 280, e a razão 
entre suas raízes quadradas é 6. Determinar os 
números. 
 
Nível 3 
1) A fração 
37
13
 pode ser escrita da forma: 
2 + (1 / (x +1 / (y + 1 / z))) onde (x,y,z,) é igual a: 
a) (11,2,5) 
b) (1,5,2) 
c) (5,2,1) 
d) (1,2,5) 
e) (13,1,2) 
2)Se x é um número real e positivo e (
1x
x

)² = 7, 
então 
1x
x
³
³
 é igual a: 
a) 4
7
-21 
b) 7
7
-21 
c) 5
7
-21 
d) 6
7
-21 
e) 10
7
-21 
3) O valor de 
2611
+ 
2611
é igual a: 
a) 7 
b) 6 
c) 
22
 
d) 3 
e) 2 
 
4) O valor da soma abaixo é: 
1009999100(
1
...
)3223(
1
)2112(
1





a) 
1
10
 b) 
9
10
 c) 
1
9
 d) 
10
9
 e) 
11
10
 
 
5) Efetuando o produto (x +1) . (x100 - x99 + x98– x97+ ...x² - 
x + 1 ) , encontramos: 
a)x100 – 1 b)x200 + 1 c)x101 + x50 – 1 
d)2x100 +2 e)x101 + 1 
6) Ache o valor de 
3 33 2 2 2 3 2 2 2  
 
 
7) Simplifique as frações: 
 
a) 2 2 2
2 2 2
4 2
4 4
x y z xy
x z yz y
  
  
 b) 4 4
3 3 2 2
x y
x y xy x y

  
 
c)  
 
2 2
22
x y z
x y z
 
 
 d) 
   
3
2 2
1
b b
by y b

  
 
 
 
8) Simplifique: 
 
2 2 24 6 4 12 9a ab ac b bc c    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
42 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO X – LINGUAGEM MATEMÁTICA 
 
LINGUAGEM MATEMÁTICA 
A linguagem é uma forma de expressar 
determinada idéia. Na vida prática, existem 
diferentes maneiras de comunicar as idéias: pela 
linguagem falada, pela escrita, pela musical etc. 
A Matemática também criou uma forma de 
comunicação. Ela se utiliza de uma linguagem 
universal para transmitir suas idéias de maneira 
simples, curta e precisa. Simples e curta porque com 
apenas alguns símbolos ela pode expressar frases 
que, se escritas na linguagem corrente, usariam 
maior quantidade de símbolos. Por exemplo, a frase: 
Dois somado com três é igual a cinco, se escrita na 
linguagem matemática, usa apenas cinco símbolos, 
que podem ser compreendidos por qualquer pessoa 
familiarizada com símbolos matemáticos: 2 + 3 = 5 
Ainda, a linguagem matemática deve ser precisa 
porque deve indicar uma idéia com precisão, com 
exatidão, isto é, sem falhas. 
 
O Uso de Letras na Matemática 
Além dos algarismos e dos sinais de operação 
(+, -, ¸: , , etc), a linguagem matemática também 
utiliza letras em sua comunicação. Veja alguns 
exemplos: 
 
EXEMPLO 1: 
Considere as multiplicações do número 1 por 
outros números: 
1 . 0 = 0 1 . 1 = 1 
1 . 2 = 2 1 . 3 = 3 
Você já deve ter percebido que o número 1 
multiplicado por um número qualquer sempre resulta 
nesse mesmo número. Daí pode usar uma letra para 
representar esse fato: 
1 . x = x, onde a letra x está representando um 
número qualquer. 
EXEMPLO 2: 
Considere dois números quaisquer cuja 
soma seja igual a 5.Esse fato pode ser representado 
por: 
a + b = 5, onde a e b representam os números que 
somados dão 5. 
 
EXEMPLO 3: 
As propriedades da adição ou da 
multiplicação também podem ser expressas por 
letras. É o caso, por exemplo, da propriedade 
distributiva da multiplicação sobre a adição o, que 
você já aprendeu e que pode ser representada por: 
a x (b + c) = a x b + a x c, onde as letras a, b e c 
representam números quaisquer. 
Vejamos agora uma outra situação. Observe: 
0 + 0 = 0. 0 2 + 2 = 2. 2 
Será que esses exemplos são suficientes para 
afirmar que x + x = x. x? 
Basta escolher um exemplo bem simples para 
verificar que não o: 1 + 1 não é igual a 1 . 1. 
Portanto, como esse fato não é válido para qualquer 
número, não podemos escrever que x + x = x · x. 
 
O Uso de Letras na Geometria 
As letras também podem ser usadas para indicar 
algumas “fórmulas” da geometria. Por exemplo: 
 A área de um quadrado pode ser expressa 
por L² , onde L representa o lado desse quadrado. 
 A área de um retângulo pode ser expressa 
por a x b, onde a e b representam as dimensões do 
retângulo. 
 O perímetro de um retângulo pode ser 
expresso por 2a + 2b ou 2 (a + b). 
 A soma dos ângulos internos de um polígono 
convexo qualquer pode ser expressa por (n - 2) · 
180º onde n representa o número de lados do 
polígono convexo. 
 
A Linguagem Matemática e a Resolução 
de Problemas 
 
A linguagem matemática tornou-se, hoje em 
dia, um instrumento importante para resolver 
problemas. Com ela podemos traduzir os dados do 
problema que estão em linguagem corrente, ou seja, 
podemos equacionar o problema. 
Nos exemplos seguintes, há uma tabela com o 
problema em linguagem corrente e sua tradução 
para a linguagem matemática. No momento, não 
vamos aprender a resolver equações. Nosso 
objetivo, agora, é apenas saber o que é e para que 
serve a linguagem matemática. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
Linguagem corrente Linguagem matemática 
Uma pessoa tinha 
uma determinada 
quantia de dinheiro. 
x 
No primeiro mês 
gastou R$ 100,00 
x – 100 
No 2º mês gastou a 
metade do que 
sobrou, 
(
100
2
x 
) 
Ficando com 
R$ 80,00 
80 
Qual era a quantia 
inicial? 
x = ? 
x=100+(
100
2
x 
) + 80 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
43 
Linguagem corrente Linguagem 
matemática 
A metade de um 
número é igual a 6. 
2
x
 = 6 
Qual é esse numero? x = ? 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Escreva as seguintes frases em linguagem 
matemática: 
a) O dobro de um número. 
b) O triplo de um número. 
c) Um número menos sete. 
d) Metade de um número, mais um. 
 
2) Como você escreveria em linguagem matemática 
as frases seguintes? 
a) A ordem dos fatores não altera o produto. 
b) A ordem das parcelas não altera a soma. 
 
3) Considere um retângulo cujo perímetro é 20 cm. 
a) Escreva, em linguagem matemática, uma 
expressão para representar esse fato. 
b)Dê alguns exemplos para as medidas das 
dimensões desse retângulo. 
 
4) Complete a frase: 
Sempre que o desconto é de 50%, pagamos apenas 
metade do preço. Se o preço é x, pagamos 
........................ 
 
EQUACIONANDO PROBLEMAS 
 
Você já percebeu que a Matemática é um 
excelente recurso para resolver muito dos problemas 
do nosso dia-a-dia. Mas a Matemática também pode 
ser vista sob um outro aspecto: o da brincadeira. 
Problemas que envolvem jogos e desafios lógicos 
têm contribuído para estimular a inteligência do ser 
humano ao longo de toda a história. Há registro 
desse tipo de brincadeiras desde a Antigüidade. 
Neste capítulo, nós vamos apresentar alguns desses 
desafios. Certamente, você também se sentirá 
estimulado a resolvê-los. Afinal, quem nunca brincou 
de adivinhar? Como descobrir o número pensado por 
outra pessoa? Essa é uma brincadeira bastante 
antiga (livros do século XII já faziam referência a 
esse tipo de jogo como uma atividade comum entre 
pessoas). Consiste no seguinte: uma pessoa propõe 
a outra que pense em um número qualquer. Após 
alguns comandos, a pessoa que propôs o jogo 
adivinha o número pensado pela outra. Vamos ver 
um exemplo. 
 
Duas pessoas, A e B, estão jogando. A dá alguns 
comandos para B. 
Comandos Operações 
matemáticas 
*Pense num número 
qualquer 
*encontre seu dobro 
*some três ao resultado 
*triplique o valor 
*B pensou no número 
5 
*5 x 2 = 10 
*10 + 3 = 13 
*13 x 3 = 39 
encontrado 
*subtraia 9 do resultado 
*divida tudo pro 6 
*quanto deu? 
Este é o número no qual 
você pensou ! 
 
*39 – 9 = 30 
*
30
6
 = 5 
*5 
Vamos escrever em linguagem matemática o que 
ocorreu: 
 Pense um número qualquer: x 
 Encontre o seu dobro: 2 . x = 2x 
 Some 3 ao resultado: 2x + 3 
 Triplique o que você achou: 3.(2x + 3)=6x+ 9 
 Subtraia 9 ao resultado: 6x + 9 - 9 = 6x 
 Divida tudo por 6: 6x : 6 = x 
 
Porque esse jogo dá certo? 
Observe que há comandos que anulam os 
anteriores, como por exemplo: 
“Achar o dobro” e “triplicar” são anulados pelo 
comando “divida tudo por 6”. 
 
Os comandos que se anulam são determinados 
pelas operações inversas. 
 
Recordando operações inversas 
Uma operação é inversa de outra quando desfaz o 
que a outra faz. 
 A adição e a subtração são operações 
inversas 
 A multiplicação e a divisão são operações 
inversas. 
 A potenciação e a radiciação são operações 
inversas. 
 
A pessoa A diz os seguintes comandos para a 
pessoa B: 
 Pense em um número par. 
Triplique o número escolhido. 
 Divida o resultado por 2. 
 Triplique o resultado. 
 Divida o que foi encontrado por 9. 
 Multiplique por 2. 
A: O resultado final é o número que você pensou. 
 
Vamos ver em linguagem matemática o que ocorreu: 
 Comandos Linguagem 
matemática 
Pense em um número par 2x 
Triplique o número 
pensado 
2x . 3 = 6x 
Divida o resultado por 2 
6
2
x
 = 3x 
Triplique o resultado 3x . 3 = 9x 
Divida o que deu por 9 
9
9
x
 = x 
Multiplique o resultado por 
2 
x . 2 = 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
44 
Observe que, novamente, foram feitas operações 
inversas, permitindo que se retornasse ao número 
pensado inicialmente. 
 
Vamos ver agora um problema bastante antigo que 
pode ser traduzido para a linguagem da álgebra. 
Um cavalo e um burro caminhavam juntos 
levando no lombo pesados sacos. Lamentava-se o 
cavalo de sua pesada carga, quando o burro lhe 
disse: “De que te queixas? Se eu levasse um dos 
teus sacos, a minha carga seria o dobro. Pelo 
contrário, se te desse um saco, a tua carga seria 
igual à minha”. Qual a carga de cada um dos 
animais? 
 
Vamos equacionar o problema, isto é, escrevê-lo na 
linguagem da álgebra: 
Sejam x = a carga do cavalo e y a carga do burro. 
Linguagem corrente Linguagem 
matemática 
Se eu levasse um dos teus 
sacos, 
x – 1 
A minha carga y + 1 
Seria o dobro da tua y+1 = 2(x- 1) 
Se eu te desse um saco y - 1 
A tua carga x + 1 
Seria igual à minha y – 1 =x + 1 
 
Temos, então, um sistema com duas equações do 1º 
grau: 
y + 1 = 2 (x - 1) → y - 2x = - 3 
y - 1 = x + 1 → y - x = 2 
 
Resolvendo o sistema, temos x = 5 e y = 7. 
 
Logo, a carga do burro era de 7 sacos e a do cavalo, 
de 5 sacos. Este é um dos mais curiosos problemas 
que se conhece. E também um dos mais antigos: 
tem mais de 2000 anos! 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1-) Um número, sua metade e sua terça parte 
somam 77. Qual é o número? 
 
2-) Pensei num número, multipliquei-o por 2 e ao 
resultado somei 8, obtendo 20. Em que número 
pensei? 
 
3-) Descubra o valor das letras, na conta abaixo, 
considerando que letras iguais representam o 
mesmo número: 
 
AB + BA = CAC 
 
4-) Que comandos anulam os seguintes comandos? 
a) Somar 8 e multiplicar por 2. 
b) Triplicar e multiplicar por 5. 
 
ÁLGEBRA 
 
Uma barra de rapadura pesa 1 kg mais meia 
barra de rapadura. Quanto pesa a barra de 
rapadura? 
 
Hoje, Isabel tem 40 anos e seu filho André tem 
8 anos. Daqui a quantos anos a idade de André será 
igual à metade da idade da mãe? 
Na figura abaixo, a balança está em equilíbrio e 
as três melancias têm o mesmo peso. Nessas 
condições, qual é o peso (em kg) de cada melancia? 
 
Em outros capítulos, vimos que, em linguagem 
matemática, podemos representar um número, uma 
quantidade ou até mesmo uma frase, usando letras. 
Agora, vamos aprofundar um pouco mais esse 
assunto, estudando uma parte da Matemática 
chamada Álgebra. A álgebra se caracteriza 
fundamentalmente pelo uso de letras e é uma 
ferramenta poderosa na solução de muitos 
problemas. 
 
EXEMPLO 1: 
A soma de dois números consecutivos é 13. Quais 
são esses números? Este é um problema com 
quantidades pequenas. Por isso, é possível calcular 
mentalmente que os números são 6 e 7. 
Mas, como na vida real nós nem sempre 
trabalhamos com quantidades pequenas, vamos 
aprender a equacionar e a resolver problemas como 
esse. 
Primeiro vamos equacionar o problema: 
 dois números consecutivos: x e x + 1 
 sua soma é = 13 
Agora, vamos resolver a equação: 
x + (x + 1) = 13 

x + x + 1 = 13 

2x + 1 = 13 

 
2x + 1 - 1 = 13 – 1 

2x + 0 = 12

2x = 12

x = 6 
Então x = 6 e x + 1 = 7. Ou seja, os números 
procurados são 6 e 7. 
 
O que é uma equação? 
Um dos significados apresentados pelo 
dicionário para a palavra equação é este: “qualquer 
igualdade entre seres matemáticos que só é 
satisfeita para alguns valores”. 
De um modo mais simples, podemos dizer que toda 
equação tem: 
 Uma letra que indica um número 
desconhecido; 
 Um sinal de igualdade (=). 
A letra é a incógnita da equação. Por exemplo: na 
equação, 2x + 5 = 21 , a letra x é a incógnita, isto é, 
o termo desconhecido. 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
45 
A palavra incógnita significa desconhecida e a 
palavra equação significa igualdade (o prefixo -equa, 
em latim, quer dizer igual). 
 
Numa equação, a expressão que fica à esquerda do 
sinal de igual é chamada de 1º membro e a que fica 
à direita é chamada de 2º membro. 
 
 
2 5 21x 
 
 
 
 1º membro 2º membro 
 
Resolver uma equação sem perder o 
equilíbrio 
Podemos comparar uma equação a uma balança em 
equilíbrio. 
 
Isso significa que os dois pratos devem estar 
em equilíbrio. Se alguma coisa for acrescentada a 
um dos pratos, um peso igual deve ser acrescentado 
ao outro prato, para não se perder o equilíbrio. E o 
mesmo deve ser feito quando alguma coisa é 
retirada de um dos pratos. 
 
Na balança da figura anterior, as 2 abóboras 
mais um peso de 2 kg somam um peso igual a 10 kg. 
Isso pode ser escrito da seguinte maneira: 2x + 2 = 
10, onde x é a incógnita que representa o peso de 
cada abóbora. 
Retirando o peso de 2 Kg de um 
dos pratos, temos que retirar um 
peso igual do outro prato, que ficará com 8 Kg. 
 
Substituindo o peso de 8 Kg por dois de 4 Kg, 
podemos perceber que cada abóbora pesa 4 Kg. 
 
Portanto, x = 4. 
 
Traduzindo para a linguagem matemática, fica 
assim: 
2x + 2 = 10 
Subtraindo 2 dos dois membros 
2x + 2 – 2 = 10 – 2 
2x = 8 
Dividindo por 2 os dois membros 
2 8
2 2
x

 
 
x = 4 
Uma das etapas na solução de um problema é 
verificar se a resposta encontrada está correta. Para 
isso, devemos substituir na equação valor 
encontrado, no caso x = 4. 
2 x + 2 = 10

2 . 4 + 2 = 10

8 + 2 = 10

10 = 10 
 
Um pouco de História 
 
A palavra Álgebra tem origem na palavra árabe al-
jabr (às vezes também escrita como al-gebr), título 
de um livro escrito em Bagdá, por volta do ano 825, 
pelo matemático árabe Mohammed Al-Khowarizmi: 
Livro sobre as operações al-jabr e qabalah. 
O termo al-jabr significa restauração e refere-se à 
transposição de termos para o outro lado da 
equação: 
 6x = 2x + 8 
Subtraindo 2x dos dois membros 
 6x – 2x =8 
 
O termo qabalah significa equilíbrio e refere-se à 
redução de termos semelhantes: 
 
6x - 2x = 8 

4x = 8

x = 8/4

x = 2 
 
Al-Khowarizmi resolvia as equações de modo 
semelhante a nós. A diferença é que tudo era 
expresso em palavras. O primeiro matemático a 
escrever as equações usando letras, por volta de 
1590, foi François Viète. Por isso, ele é chamado de 
“Pai da álgebra”. A partir de então, as equações 
passaram a ser interpretada como as entendemos 
hoje: 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) A soma de dois números consecutivos é 1.349. 
Quais são esses números? 
 
2) Resolva as equações: 
a) 4x + 2 = 14 
b) 4(x - 2) = 3 (x - 1) 
c) x/2 – 3 = 2 
 
3) Uma caneta custa R$ 1,00 a mais que um lápis. 
Comprei 2 canetas e 4 lápis e gastei R$ 3,20. 
a) Escreva uma equação que solucione o problema. 
b) Qual o valor de cada caneta? 
c) Qual o valor de cada lápis? 
 
4) Somando 6 ao triplo de um número, o resultado é 
42. Qual é esse número? 
Equação é o idioma da álgebra 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
46 
 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO XI – EQUAÇÕES DO 1°GRAU 
 
EQUAÇÕES PARTE I 
 
Nos capítulos anteriores, você aprendeu a 
resolver algumas equações bem simples. Neste 
capítulo, aprofundaremos o estudo dessas 
equações. Portanto,é preciso que você saiba o 
significado: 
 Incógnita de uma equação 
 Membros de uma equação 
 Termos de uma equação 
 
 A importância do estudo das equações está 
no fato de que elas facilitam a resolução de certos 
problemas. 
 
Exemplo 1: 
Dois pacotes juntos pesam 22 kg. Quanto 
pesa cada um deles, se o maior tem 6 kg a mais que 
o menor? 
 
Já vimos que podemos representar quantidades 
desconhecidas usando a álgebra. Nesse caso, 
temos: 
 
Pacote menor = x 
Pacote maior = x + 6 
Então, teremos a seguinte equação: x + (x + 6) = 22 
 
Efetuando as devidas equações: 
x + (x + 6) = 22 Eliminar os parênteses 
x + x + 6 = 22 Somar os termos semelhantes 
2x + 6 = 22 
2x + 6 - 6 = 22 - 6 Subtrair 6 nos dois membros 
2x = 16 
x = 8 Efetuar uma divisão por 2, nos dois 
membros 
 
Desse modo, o peso do pacote menor é de 8 kg e do 
pacote maior é de 8 + 6 = 14 kg. 
 
A Equação e a Balança 
 
As equações têm propriedades semelhantes 
às transformações realizadas para manter uma 
balança em equilíbrio. Ao retirarmos 6 unidades de 
um dos pratos, devemos fazer o mesmo com o outro, 
caso contrário, a balança perderá o equilíbrio. Por 
esse motivo, indicamos a subtração de 6 nos dois 
membros e a divisão por 2 nos dois membros, 
quando resolvemos a equação x + (x + 6) = 22. 
 
A equação e a operação inversa 
 
Na prática, não costumamos resolver uma 
equação pensando numa balança, nem fazendo 
todas as operações. Observe que quando 
subtraímos 6 nos dois membros, na equação acima, 
zeramos o 6 que estava no primeiro membro: 
 
2x + 6 - 6 = 22 – 6

 2x = 22 – 6 
 
Por isso, dizemos simplesmente que o 6 
passa para o outro lado e muda de sinal. Da mesma 
forma, costumamos dizer que o 2 que está 
multiplicando um termo no primeiro membro, passa 
para o segundo membro dividindo. 
2x = 16

 x = 
16
2

 x = 8 
É importante observar que nessa regra de 
“passar para o outro lado”, está embutido um 
conceito matemático chamado operação inversa. 
A operação inversa da adição é a subtração: 
+ 6 virou - 6 
A operação inversa da multiplicação é a divisão: 
. 2 virou /2 
EXEMPLO 2: 
 
Sabendo que o quádruplo de um número 
somado com 9 é igual ao número somado com 6, 
descubra qual é esse número. 
Um número: x Quádruplo do número: 4x 
Equação correspondente: 4x + 9 = x + 6 
 
Resolução : 
4x + 9 = x + 6

4x - x=6 – 9 
passar + 9 para o segundo membro(fica- 9) e + x 
para o primeiro membro (fica –x). 
3x = - 3 

x = - 1( divisão é operação inversa da 
multiplicação) 
Portanto, o número procurado é -1. 
 
A Verificação da Solução 
 
A verificação da solução é tão importante 
quanto a própria resolução da equação. Pois ela nos 
dá a possibilidade de descobrir se cometemos algum 
erro de cálculo, por exemplo, e corrigi-lo. Para fazer 
a verificação, basta experimentar o valor encontrado 
na incógnita. Veja: 
4x + 9 = x + 6 substituindo x por - 1 
4 (-1) + 9 = (- 1) + 6

- 4 + 9 = - 1 + 6

5 = 5 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
47 
Logo,x = -1 é um valor que torna a equação: 
4x - 9 = x – 6 verdadeira. 
Experimente substituir x por qualquer outro valor, e 
veja o que acontece. 
 
A Raiz de Uma Equação 
A solução de uma equação, isto é, o valor 
encontrado para a incógnita, é chamado, pela 
matemática, de raiz da equação. 
 
x = - 1 é raiz da equação 4x + 9 = x + 6 
 
EXEMPLO 3: 
Uma estante custa três vezes o preço de 
uma cadeira. Qual o preço da estante, se as duas 
mercadorias juntas custam R$ 64,00? 
Equacionando o problema: 
Preço da cadeira: x Preço da estante: 3x 
Equação correspondente: x + 3x = 64 
 
Resolução: 
x + 3x = 64

4x = 64

x = 
64
4
 = 16 
Verificação da raiz: 
16 + 3. 16 = 64. 

16 + 48 = 64

 64 = 64 
A estante custa R$ 48,00. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
1) Resolva as equações: 
a) 4x + 8 = 3x – 5 b) 3a - 4 = a + 1 
c) 9y - 11 = - 2 d) 5x - 1 = 8x + 5 
 
2) Verifique se - 7 é raiz da equação: 
2(x + 4) – 
3
x
 = x – 1 
 
3)Invente um problema cuja solução pode ser 
encontrada através da equação: 2x - 3 = 16 
 
4) Ana e Maria são irmãs e a soma de suas idades é 
igual a 35. Qual a idade de Ana, se Maria é 5 anos 
mais nova? 
 
5) Qual é o número que dividido por 5 é igual a 6? 
 
6) Qual é o número que multiplicado por 7 é igual a 
3? 
 
7) Qual é o número que somado com 5 é igual a 11? 
 
8) Qual é o número que somado com 6 é igual a - 
13? 
 
9) Uma indústria produziu este ano 600.000 
unidades de um certo produto. Essa produção 
representou um aumento de 20%, em relação ao ano 
anterior. Qual a produção do ano anterior? 
 
Nível 2 
1) Uma nova operação @ entre dois números A e B 
é definida por A@B= 
( )
2
A B
. Se X@(X@14) = X, 
quanto vale X? 
 
2) Qual o valor de m para que a equação 
(m – 1) x = m – 2 seja impossível? 
 
3) Determine “a” para que a equação ax + 1 = 2x – a 
tenha uma única solução? 
 
4) Calcule “r” e “s” na equação rx + 3 = x + s de 
forma que ela seja indeterminada. 
 
5) Se a equação 4x + 3m = 2 tem raiz 1 então m 
vale..... 
 
6) O terço e a metade de um número fazem juntos 
75. Calcule-os. 
 
7) O dobro de um número, aumentado de sua 
metade, da sua quarta parte, de uma unidade dá 
100. Qual é o número? 
 
8) Um gavião ao passar por um bando de pombas, 
falou: “Bom-dia minhas cem pombinhas!” Uma das 
pombas replicou: “Cem pombas não somos, mas se 
a nós for acrescentada a metade de nós mais você, 
gavião, cem pombas seremos nós.”Quantas eram as 
pombas?” 
 
EQUAÇÕES PARTE II 
 
Nas equações que estudamos até agora, os 
coeficientes eram sempre números inteiros. 
Em muitas situações, porém, precisaremos resolver 
equações com coeficientes fracionários.Por exemplo: 
 
2
x
 + 
5
x
 - 
1
4
 = 50 
Antes de resolvermos esse tipo de equação, 
devemos igualar todos os denominadores e, em 
seguida, eliminá-los. Desse modo, transformamos a 
equação inicial em um equivalente a ela, sem 
denominadores. Veja, a seguir, algumas situações 
que deverão ser resolvidas a partir de equações com 
coeficientes fracionários: 
 
EXEMPLO 1: 
Um terço do salário de uma pessoa é 
utilizado para o pagamento do aluguel de R$ 110,00. 
Qual é o salário dessa pessoa? 
Escrevendo a equação do problema enunciado, 
temos: 
1
3
 . x = 110 
O coeficiente do termo x é 
1
3
 e o termo 
independente (110) é um número inteiro. 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
48 
Então, devemos escrever o número inteiro em forma 
de fração, com denominador igual a 1: 
3
x
=
100
1
 (Igualando os denominadores)

 
3
x
 = 
330
3
 
 
Numa equação, podemos multiplicar os dois 
membros por um mesmo número, diferente de zero. 
 3 . (
3
x
) = 3 . (
330
3
) 

 x =330 
Portanto, o salário daquela pessoa é de R$ 330,00. 
Na prática, essa equação poderia ser resolvida pela 
chamada multiplicação em cruz: 
 
3
x
= 
100
1
 

 x = 3 . 100 

 x = 330 
 
EXEMPLO 2: 
Uma pessoa quer construir uma casa que 
ocupará 
1
4
 de seu terreno, sendo que 
1
3
 será 
reservado para o jardim. Sabendo que ainda sobrará 
uma área de 375 m², responda: qual a área total do 
terreno? 
Área total do terreno: x Área ocupada pela casa: 
4
x
 
Área reservada para jardim: 
3
x
 
Equação do problema: 
4
x
 + 
3
x
 + 375 = x 
Igualando os denominadores: 
 
3
12
x
 + 
4
12
x
 + 375· 
12
12
 = 
12
12
x 
 
 
(3 4 4500)
12
x x 
 =12
12
x  (7 4500)
12
x 
 = 
12
12
x
 
 
7x + 4500 = 12x

4500 = 12x - 7x

4500 = 5x

 
x = 
4500
5

x = 900 
De acordo com a verificação da solução, substituindo 
x por 900 na equação, temos: 
900
4
 + 
900
3
 + 375 = 900

225 + 300 + 375 = 
900

 
900 = 900 

 igualdade verdadeira. 
Logo, a área total do terreno é de 900 m² 
 
EXEMPLO 3: 
Uma pessoa diz que daqui a 18 anos, a terça 
parte de sua idade será a metade da sua idade atual. 
Qual a idade dessa pessoa? 
Equacionando o problema: 
Idade atual: x A metade: 
2
x
 
Idade daqui a 18 anos: x + 18 
A terça-parte: 
( 18)
3
x 
 
Equação do problema: 
( 18)
3
x 
 = 
2
x
 
 
 
Igualando os denominadores: 
 
2( 18)
6
x 
 = 
3
6
x 
 2(x + 18) = 3x 

2x + 36 = 
3x

 36 = 3x - 2x

36 = x 
 
EXEMPLO 4: 
Determine as medidas de um retângulo cujo 
perímetro é 24 m, sabendo que o lado menor é igual 
a 1 / 3 do lado maior. 
Lado maior: x Lado menor: 
3
x
 
Perímetro do retângulo: 2(x +
3
x
) 
 
Equação do problema: 
2(x + 
3
x
) = 24

 2x + 
2
3
x
 = 24 (tirando o 
mínimo) 
(
6 2
3
x x
) = 
72
3

8x = 72 → x = 9 
O lado maior do retângulo mede 9m. 
O lado menor mede 
9
3
 = 3m 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1)Resolva as equações: 
a)
( 3)
2
x 
 + 
( 10)
3
x 
 = 4 
b) 
(2 5)
3
x 
 - 3x -10 = 0 
 
2)Uma construtora vai aproveitar um terreno de 
1.275 m², reservando 
1
3
 dessa área para 
estacionamento. 
Determine: 
a) A área ocupada pela construção. 
b) A área reservada para o estacionamento. 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
49 
3)Ao receber seu salário, André gastou 
1
3
 com 
despesas médicas, 
1
3
 com compras diversas e 
1
4
 
com o aluguel de sua casa. Qual o salário de André 
se, após pagar todas essas contas, ele ficou com 
R$ 40,00? 
4) Achar o número de alunos de uma classe, se 
1
3
 
deles está lendo, 
1
4
 está escrevendo e os 20 
restantes estão fazendo contas. 
 
5)Duas torneiras enchem um tanque em 4 horas. 
Uma delas, sozinha, enchê-lo-ia em 7 horas. Em 
quantos minutos a outra sozinha, encheria o tanque? 
6) Um jogador perdeu numa partida 
1
3
 do que tinha 
mais R$ 90,00, na 2ª perdeu 
1
5
 mais R$ 60,00 e na 
terceira perdeu R$ 60,00, ficando sem nada. Quanto 
possuía? 
7)Uma pessoa gasta 
3
5
 do seu ordenado com 
despesas e 
1
4
 do resto consigo mesmo, 
economizando mensalmente R$ 4.500,00. Qual o 
ordenado? 
8)Um negociante vendeu a um freguês 
2
5
 das 
laranjas que possuía mais três laranjas, e a um 
segundo freguês vendeu 
1
4
das laranjas que possuía 
inicialmente mais sete laranjas. Quantas laranjas 
possuía o negociante, sabendo-se que o primeiro 
freguês recebeu oito a mais que o segundo? 
 
9)Se M é ponto médio de AB, determine x e m(AB). 
 
 
 
10) Resolva as equações: 
a)
( 4)
( 5)
x
x


 = 
( 1)
( 3)
x
x


 
b)
( )a bx
bc

 + 
( )b cx
ac

 + (
( )c ax
ab

 = 0 
 c)
1
( )ax bx
 – 
1
( )ax bx
 = 
( )
b
a b
²
² ²
 
 
 
 
Nível 2 
 
1) Sejam a e b dois números naturais consecutivos. 
Calcular o maior deles, sabendo que 
1 1 13
42a b
 
. 
2) Ache o valor de x: 
1 1
21 1
1 5
1
1
x x
x x
x x
x
 

  
 


. 
 
3) Um operário faz um serviço em 12 dias e um outro 
operário faz o mesmo serviço em 24 dias. Em 
quantos dias os 2 juntos fariam o serviço? 
 
4) Duas estradas de dimensões iguais começam 
simultaneamente a serem construídas por 15 
operários cada uma delas. Mas, exclusivamente 
devido a dificuldades no terreno, percebe-se que 
enquanto uma turma avançou 
2
3
 na sua obra, a 
outra avançou 
4
5
 da sua. Quantos operários devem-
se retirar de uma e por na outra, para que as duas 
obras fiquem prontas ao mesmo tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
50 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO XII – SISTEMAS DO 1º GRAU 
 
SISTEMAS DO 1º GRAU 
 
Pedro e José são amigos. Ao saírem do 
trabalho, passaram por uma livraria onde havia 
vários objetos em promoção. Pedro comprou 2 
cadernos e 3 livros e pagou R$ 17,40, no total. José 
gastou R$ 11,20 na compra de 2 livros e 1 caderno. 
Os dois ficaram satisfeitos e foram para casa. No dia 
seguinte, quiseram contar a um terceiro colega sobre 
suas compras, mas não se lembravam do preço 
unitário dos livros. Sabiam apenas que todos os 
livros, assim como todos os cadernos, tinham o 
mesmo preço. E agora? Será que existe algum modo 
de descobrir o preço de cada livro ou caderno com 
as informações que temos? 
Em capítulos anteriores, você viu que existem 
equações do 1º grau com duas incógnitas, como por 
exemplo: 
 x + y = 5 x - y = 3 x + 2y = 8 
As equações do 1º grau com duas variáveis admitem 
infinitas soluções: 
 
Observando as tabelas de soluções das duas 
equações, verificamos que o par (4; 1), isto é, x = 4 e 
y = 1, é solução para as duas equações. Dessa 
forma, podemos dizer que as equações x + y = 5 e x 
- y = 3 formam um sistema de equações do 1º grau 
que admitem uma solução comum. 
 
A Matemática utiliza o símbolo “{“ para indicar que 
duas (ou mais) equações formam um sistema. Veja 
os exemplos: 
 
5
3
x y
x y
 

 
 4
2 9
x y
x y
 

 
 
 
 
3 2 5
2 5 1
x y
x y
 

 
 
2 1
3 4
2
x y z
x y z
x
  

  
 
 
 
 
Observação: Aqui, vamos estudar apenas os 
sistemas do 1º grau com duas equações de duas 
variáveis. 
 
Resolução de Sistemas 
Resolver um sistema é encontrar um par de 
valores (x e y) que tornem verdadeiras as equações 
que o formam. 
 
Por exemplo, o par (3; 2) é solução do sistema 
 
 1
5
x y
x y
 

 
 
 
Para verificar substituímos os valores x = 3 e y = 2 
em ambas as equações: 
 x – y = 1

 3 – 2 = 1 

1=1 (verdadeiro) 
 x + y = 5 

3 +2 = 5 

5 = 5 (verdadeiro) 
 
Sim, o par (3; 2) é solução do sistema, pois torna as 
equações verdadeiras. 
 
O Método da Substituição 
Esse método de resolução de um sistema 
consiste em “tirar” o valor de uma incógnita e 
substituir esse valor na outra equação. Veja um 
exemplo: 
1
5
x y
x y
 

 
 
 
Escolhemos uma das equações e “tiramos” o valor 
de uma das incógnitas, ou seja, estabelecemos seu 
valor em função da outra incógnita, assim: 
x –y = 1  x = 1+ y 
Agora, temos o valor de x em função de y e 
podemos substituir esse valor na outra equação: 
x + y =5  1+ y +y = 5  1 + 2y = 5  2y = 5 –1  
2y = 4 y =2 
 
Como x = 1 + y  x = 1 + 2  x = 3. 
Temos então que o par (3; 2) é solução do sistema. 
 
Qual é Mesmo o Preço do Livro? 
Releia o problema proposto na introdução 
deste capítulo e acompanhe sua resolução. Uma 
etapa importante na solução de um problema é a 
tradução dos dados em linguagem matemática. Para 
essa etapa, vamos usar as variáveis x e y em vez de 
caderno e livro. Organizamos os dados assim: 
Pedro: 3 livros + 2 cadernos = R$ 17,40  3x + 2y = 
17,40 
José: 2 livros + 1 caderno = R$ 11,20  2x + y = 
11,20 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra51 
Temos, assim, o sistema: 
3 2 17,40
2 11,20
x y
x y
 

 
 
 
Estabelecendo o valor de y em função de x na 2º 
equação, temos: y = 11,20 - 2x 
Substituindo esse valor na 1º equação: 
3x + 2 (11,20 - 2x) = 17,40 
Temos uma equação do 1º grau, com apenas uma 
incógnita. Resolvendo essa equação: 
3x + 22,40 – 4x = 17,40

-x = 17,40 – 22,40

 

-x = -5

x = 5 
Como y = 11,20 - 2x  y = 11,20 - 10  y = 1,20 
Cada livro custou R$ 5,00 e cada caderno, R$ 1,20. 
 
Verificação: 
Pedro: 3 . 5 + 2 . 1,20 = 15 + 2,40 = 17,40 
José: 2 . 5 + 1,20 = 10 + 1,20 = 11,20 
 
O Método da Adição 
Esse outro método de resolução de um 
sistema consiste em somar os termos das equações. 
Veja o exemplo: 
x - y = -4
2x + y = 9



 
Somando as equações x – y = -4 
 2x + y = 9 + 
 3x = 5 
 x = 5 
 3 
Veja que quando somamos as duas equações o 
termo em y se anula. Por que isso ocorreu? Pense! 
Para obter o valor de y, devemos substituir o valor de 
x, encontrado em uma das equações: 
x – y = -4  5 - y = -4  -y = -4 – 5 
 3 3 
-y = -12 - 5  -y = -17  y = 17 
 3 3 3 
 
A solução do sistema é o par 
5 17
;
3 3
 
 
 
 
Verificação: 
x – y = -4  5 – 17 = -4  -12 = -4 (verdadeiro) 
 3 3 3 
2x +y = 9  2. 5 + 17 = 9  10 + 17 = 9  27 = 9 
 3 3 3 3 3 
 
(verdadeiro) 
 
Usando um Artifício de Cálculo 
Vamos resolver o sistema abaixo pelo 
método da adição: 
 
 3x + 2y = 4
2x + 3y = 1



 
 
Se somarmos as equações do jeito que estão, não 
conseguiremos anular um dos termos. Por isso, 
vamos usar um artifício de cálculo: 
 primeiro, multiplicamos a 1ª equação por +2; 
 depois, multiplicamos a 2ª equação por -3. 
O sistema sofrerá a seguinte transformação: 
 x 2 
 3x + 2y = 4  6x + 4y = 8 
 
 x (-3) 
 2x + 3y = 1  -6x –9y = -3 
 
Agora, podemos somar o sistema: 
 6x + 4y = 8 
 -6x - 9y = -3 + 
 -5y = 5 
 y = -1 
 
Para obter o valor de x, devemos substituir o valor de 
y em uma das equações: 
2x + 3y = 1

2x + 3(-1) =1

2x – 3 = 1

2x = 4  
x = 2 
 
Portanto, a solução do sistema é o par: (2; -1). 
 
Verificação: 
3x + 2y =4 3.2 + 2.(-1) = 4  6 – 2 = 4 
(verdadeiro) 
2x + 3y =1 2.2 + 3.(-1) = 1  4 – 3 = 1 
(verdadeiro) 
 
Observação: Você deve ter percebido que o artifício 
de cálculo, usado para resolver esse sistema, 
permitiu que a variável x desaparecesse. Isso 
ocorreu porque a variável x, nas duas equações, 
ficou com coeficientes simétricos. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
Nível 1 
 
1) Resolva o sistema por substituição: 
 
3x + 5y = 20
2x + y = 11



 
 
2) Resolva os sistemas por adição: 
 
a) x + y = 10 
x - y = -6



 
 
b) 5x -2y =1
7x + 2y = 11



 
 
3) Resolva os sistemas: 
a) x -y = -3 
x + 2y = 3



 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
52 
 
b) 
4x + y = 3 
2x -2y = -1



 
 
4) Verifique se o par (1; 2) é solução para o sistema: 
 
10x - 2y = 6 
x + 5y = 11



 
 
5) Escreva um sistema que corresponda à seguinte 
situação: Um armário custa o triplo de uma mesa. Os 
dois juntos custam R$ 120,00. 
 
6) Resolva o sistema do Exercício 5. 
 
Nível 2 
 
1) Num quintal há galinhas e coelhos, num total de 8 
cabeças e 22 pés. Quantos animais há de cada 
espécie? 
 
2) Tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu 
tinha a idade que tens, quando tu tiveres a idade que 
tenho, a soma das nossas idades será 63 anos. 
Quais as idades hoje? 
 
3) Estando todos irmãos reunidos à mesa, um 
menino diz: “Vejo tanto irmãos quanto irmãs” Uma 
menina diz: “Vejo que o número de meus irmãos é o 
dobro do de minhas irmãs”. Quantos são os 
meninos? E as meninas? 
 
Nível 3 
 
1) Resolva o sistema: 
 
 
1
x
 +
1
y
 = 1 
 
1
2
 - 
2
y
 = -1 
 
2-) Resolva os sistemas: 
a)
4 8 12
2 3 4 10
a b c
a b c

 

   
 b) 
4 5 7
3 2 594
a b c
a b c

 

   
 
 
c) 
3 15 6 9
7680
a b c d
abcd

  

 
 d) 
2 2
10 5
12
b c
b c



  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
53 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO XIII – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA I 
 
 Você já percebeu que os gráficos são cada 
vez mais usados na comunicação. Podemos 
encontrá-los em vários tipos de publicação, 
expressando as mais diversas situações, como por 
exemplo, em: 
 
 Relatórios de empresas 
 Análises governamentais 
 Relatórios de pesquisas 
 Balanços financeiros 
 
Por isso é tão importante saber interpretar um 
gráfico. 
 
Neste capítulo, vamos estudar mais um tipo de 
gráfico: o gráfico de uma equação. Em capítulos 
anteriores, você aprendeu o que é uma equação e 
como resolvê-la. Agora vai aprender a resolver 
graficamente uma equação do 1º grau, ou seja, a 
representá-la no plano cartesiano. 
Vamos começar com um exemplo bem simples. 
 
EXEMPLO 1: 
A soma de dois números é igual a 5. Quais 
são esses números? 
Equacionando o problema: 
Dois números: x e y 
Equação correspondente: x + y = 5 
 
Existem muitos números que satisfazem essa 
equação. Esses números são representados pelas 
variáveis (x e y). Vamos criar uma tabela com alguns 
valores das variáveis e os respectivos pares 
ordenados. 
 
x y = 5 – x (x; y) 
0 5 (0;5) 
0,5 4,5 (0,5;4,5) 
1 4, (1;4) 
1,5 3,5 (1,5;3,5) 
2 3 (2;3) 
3 2 (3;2) 
4 1 (4;1) 
5 0 (5;0) 
6 -1 (6;-1) 
 
Como a cada par ordenado obtido corresponde um 
ponto no gráfico, vamos marcar alguns pontos no 
plano cartesiano. 
 
 
Observe que todos os pontos do gráfico estão 
alinhados, portanto, ligando esses pontos, temos 
uma reta. Essa reta é a representação gráfica da 
equação: x + y = 5. 
Como a reta é uma figura geométrica formada por 
infinitos pontos, podemos concluir que existem 
infinitos valores que satisfazem a equação x + y = 5. 
 
A Equação do 1º Grau 
 
Equação do 1º grau é toda equação que 
pode ser escrita na forma: 
ax + by = c, onde a, b e c são os coeficientes, x e y 
são as incógnitas (ou variáveis) e têm sempre 
expoente 1. 
 
Observação: As equações do 1º grau estudadas em 
capítulos anteriores são equações do 1º grau com 
uma variável; já as equações estudadas nesta aula 
são equações do 1º grau com duas variáveis. 
 
Quantos pontos determinam uma reta? 
 
Imagine um plano e um ponto, como mostra a figura: 
 
 
Quantas retas passam por esse ponto? Experimente 
desenhar! … isso mesmo! Se você quiser traçar 
todas as retas, não vai acabar nunca... No plano, 
existem infinitas retas que passam por um ponto. 
Agora, se desenharmos mais um ponto nesse plano, 
quantas retas, você conseguirá desenhar? 
Experimente! 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
54 
 
Você somente conseguirá desenhar uma 
reta! No plano,existe apenas uma reta que passa, 
ao mesmo tempo, por dois pontos. Por esse motivo, 
podemos dizer que dois pontos determinam uma 
reta. 
 
A Equação do 1º Grau e a Reta 
 
Vamos representar graficamente a 
equação:x + 2y = 8. Para isso, precisamos construir 
uma tabela com os valores das variáveis e os 
respectivos pares ordenados. (Agora você já sabe: 
bastam dois pontos, e a reta está determinada). 
 
x 
y = 
8
2
x
 
(x;y) 
0 4 (0;4) 
1 
7
3,5
2

 
(1;3,5) 
 
Marcando esses pontos no plano cartesiano, temos: 
 
 
A reta que aparece é a reta da equação x + 2y = 8. 
Veja algumas consideráveis sobre esse gráfico: 
 A reta corta o eixo dos x no ponto (8; 0); 
 À medida que os valores de x aumentam 
(crescem), os valores de y diminuem, 
(decrescem); 
 Utilizando o gráfico, podemos determinar 
outros pontos que pertencem à reta, como 
por exemplo, (2; 3), (4; 2), (6; 1), (10; -1) etc. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Construa as tabelas e os respectivos gráficos das 
equações seguintes. Sugestão: use uma folha 
quadriculada. 
a) x + y = 1 c) 2x + 2y = 4 
b) y + 2x = 5 d) 3x - y = 0 
 
2) Represente num mesmo gráfico as equações: 
A: x + y = 0 B: x - y = 0 
O que você pode concluir observando as retas? 
 
 3) Observando o gráfico abaixo, responda: 
 
 
a) Quais as coordenadas dos pontos A, B, C e D? 
b) No instante em que a reta corta o eixo dos x, qual 
a abscissa do ponto? 
c) O que acontece com os valores de y à medida que 
os valores de x aumentam? 
 
4) Represente num mesmo gráfico as equações: 
A: 2x + y = 1 
B: 2x + y = 2 
C: 2x + y = 3 
D: 2x + y = 0 
E: 2x + y = 5 
O que você pode concluir observando as retas? 
 
5) Analisando os gráficos abaixo, o que podemos 
afirmar sobre os valores de y à medida que os 
valores de x aumentam? 
 
 
6) Invente uma equação do 1º grau com duas 
variáveis. Construa o gráfico dessa equação. 
 
7) Represente num mesmo gráfico as equações: 
 x + y = 4 e 2x - y = 1 O que você concluiu? 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA II 
 
Você já deve ter observado a freqüência com 
que os gráficos aparecem em jornais, revistas e 
livros. Usados em diversas áreas de conhecimento, 
eles facilitam a visualização dos dados e nos 
permitem uma melhor interpretação dos resultados. 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
55 
Já apresentamos vários tipos de gráficos. Agora, 
faremos uma revisão desses gráficos, por meio de 
suas construções e interpretações. 
 
Gráfico de Segmentos 
O gráfico abaixo, mostra a variação do 
consumo de energia elétrica de uma residência, em 
kWh (quilowatt-hora) entre os meses de janeiro e 
agosto de 1994. 
 
 
Esse tipo de gráfico é feito, geralmente, em 
papel quadriculado, com duas retas perpendiculares 
- uma horizontal e outra vertical. 
Na reta horizontal marcamos os meses em que 
foram anotados os consumos e na reta vertical 
marcamos o consumo de cada mês. 
Os segmentos de reta que ligam o consumo de um 
mês ao outro tem inclinações diferentes. 
No período de março a abril, por exemplo, a queda 
do consumo foi bastante acentuada (de acordo com 
a inclinação correspondente a esse período, ou seja, 
para baixo). Sabemos que o consumo de energia 
elétrica varia em função de vários fatores, por 
exemplo: o uso de aparelhos elétricos - ventiladores, 
ferro de passar roupa, chuveiros elétricos, etc. - e o 
número de pessoas da casa. Baseando-se nas 
informações da conta de energia, podemos construir 
um gráfico que nos permite observar a variação do 
consumo de energia. 
 
Gráfico de Barras (ou de Colunas) 
Esse tipo de gráfico também é utilizado para 
representar comparações entre elementos 
semelhantes, da mesma forma que o de segmentos. 
No entanto, há situações cuja representação fica 
mais adequada em gráfico de barras: a variação do 
número de empregados de uma fábrica, por 
exemplo, num período de cinco anos. Assim, 
representamos o período numa reta horizontal e o 
número de empregados numa reta vertical. Tanto o 
espaço entre as barras quanto à largura delas 
devem ser iguais. 
 
 
 
Gráfico de Setores (ou Gráfico Circular) 
Esse tipo de gráfico é usado para representar 
as relações das partes de um todo entre si e entre as 
partes e o todo. Desse modo, quando os resultados 
de uma pesquisa são marcados em um círculo, que 
representa o todo (o universo pesquisado), as partes 
são representadas por setores desse círculo. 
Para analisar esse tipo de gráfico, precisamos 
calcular o arco, em graus, relativo a cada uma das 
partes. 
Numa pesquisa de opiniões foi feita a seguinte 
pergunta: “Você acha que o brasileiro respeita as leis 
de trânsito?”. 
O resultado obtido foi o seguinte: 
 
Sim : 55% 
 Não: 34,5% 
Não responderam: 10,5% 
 
Para representar esse resultado num círculo, 
precisamos calcular que parte do círculo representa 
cada resposta fornecida pela pesquisa. Então, 
teremos: 
55% de 360° = 198° 
34,5% de 360° = 124,2° 
10,5% de 360° = 37,8° 
 
Assim, desenhamos um círculo e marcamos 
com um transferidor, a partir um ponto inicial P, os 
arcos calculados: 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
56 
Mostraremos, a seguir, um exemplo de gráfico 
de um sistema de equações do 1º grau. Esse gráfico 
pode ser utilizado para resolver problemas que 
resultam em duas equações, com duas incógnitas. 
No gráfico cartesiano representaremos as duas retas 
que correspondem às equações do sistema e 
determinaremos sua solução, caso exista. 
 
Seja o sistema: x + 3y = 34
-x + 5y = 30



 
 
Faremos as tabelas contendo os pares ordenados (x, 
y) de cada uma das equações, para representá-las 
no gráfico: 
 
 
 
Esse gráfico facilita a determinação da 
solução do sistema, que é representada pela 
intersecção das duas retas, no ponto (10,8). 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1) Uma família gasta 30% de sua renda familiar em 
alimentos, 20% em roupas, 20% em aluguel, 20% 
em despesas diversas e guarda 10%. Represente 
essa situação num gráfico de setores. 
 
2) Resolva graficamente o sistema: 
 
3x + 2y = 6
 x - y =7



 
 
3) O gráfico abaixo representa o rendimento de um 
carro, em função da velocidade desenvolvida. 
 
 
 
Responda: 
a)Quando a velocidade constante é de 80 km/h, 
quantos quilômetros por litro faz o automóvel? 
b) E se a velocidade constante for de 120 km/h? 
c) Qual é a velocidade mais econômica? 
 
4) O gráfico abaixo representa a folha de pagamento 
do Estado de São Paulo, de janeiro a maio de 1995. 
 
 
 
Responda: 
a) Em que mês a folha de pagamento tem o menor 
valor? 
b) Em que mês a folha de pagamento tem o maior 
valor? 
c) Em que meses houve aumento na folha de 
pagamento? 
d) De quanto foi a diferença dos valores entre os 
meses de março e abril? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
57 
ÁLGEBRA 
Nivelamento 
CAPÍTULO XIV – NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
As medidas associadas a certas grandezas 
podem ser representadas por números gigantescos, 
como a massa da Lua, estimada em 
73.400.000.000.000.000.000 t ou por números 
minúsculos, como a medida de 0,0000002 m das 
menores bactérias conhecidas. A dificuldade de 
trabalhar com esses números levou os cientistas a 
estabelecerem uma notação simplificada para 
representá-los: a notação cientifica. 
Por exemplo, o número 73.400.000.000.000.000.000 
pode ser escrito da seguinte forma: 
7,34x10x10x10x10 
x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x10x1
0. 
Dessa forma, podemos representar a massa da Lua 
sob a notação cientifica 7,34. 1019 t. Analogamente, 
observando que 0,0000002 = 2 / (10 . 10 . 10 . 10 . 10 . 
10 . 10) = 2. 71
10
 
 
 
 podemos representaro 
comprimento das menores bactérias conhecidas sob 
a notação cientifica 2x10-7 m. 
Todo número decimal não nulo, com infinitas casas 
decimais, pode ser representado sob a forma K.10m 
e, que m é um número inteiro e k é um número real 
com módulo menor que 10 e maior ou igual a 1. 
Essa forma de representação do número é chamada 
de notação cientifica. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Escreva usando notação científica: 
a)3000 
b)100,32 
c)0,0001 
d)0,13232 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
58 
GABARITO 
Nivelamento- Álgebra 
 
 
Cap.I 
 
OPERAÇÕES: 
 
Organizando os números: 
 
1) -1,-2,-3,-4... 2) qualquer numero da forma a/b 
onde a e b são inteiro e a dividido por b seja 
maior que 2 ex: 5/2 
3) VVVF 4) -1,33 e -1,22 são exemplos 
5) 
 
A reta e os números reais: 
 
2) VFFVFVF 
 
Revendo as operações: 
 Nível 1: 
1) 1000-(127+356)=517 
2) 2) some (300+700)+895=1985 
3) ((180-40):5)-6=22 180-(40:5)-6=166 
4) A) 72+(60:(12-8))=87 b)((10-2).3)+1=25 
5) 117 
Nível 2 
1) 639 2) 8 3) 4671 4) 34 5) 639 6) 396 7) 142857 
 8) 42 
 
 
Cap.II 
 
DIVISIBILIDADE: 
 
 
Cap.III 
 
MDC e MMC: 
 
Nível 1: 
1) a) MMC=10 MDC=5 b) MMC=840 MDC=4 
c) MMC=300 MDC=50 
 
Nivel 2: 
1) MDC= 2 metros 2) MMC= 120 minutos 3) 810, 1620 
4) 2 5) 14 6) 360 7) m=3, n=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cap. IV 
 
FRAÇÕES: 
 
Operações com frações: 
Nível 1: 
1) 104m 2) 3/10 3) 2/3<11/12<15/16<18/19<47/48<1 
4) 
2/3 1/12 1/2 
1/4 5/12 7/12 
1/3 3/4 1/6 
 
5) a) 2/5 b) 2/15 c) 17/15 d) 3/5 6) 1 7) 5/6 
8) a)104/567 b) 29/55 
 
Nível 2: 
1) 8/15 
 
Dízimas periódicas: 
 
Nível 1: 
1) a) 0,1313... b) 0,35 c) 6,222... d) 4,2666.. 
2) a) 0,111... b) 0,222... c) 0,333... 
3) a) 0,444... b) 0,555... c) 0,666... 
4) a) 3/1 b) 5/2 c) 5/9 d) 0/1 
5) a) 2/5 b) 4/9 c) 8/25 d) 32/99 e) 271/5 f) 602/111 
6) a) finita b) finita, c) finita d) infinita não-periódica 
e) infinita e periódica f) infinita e não-periódica 
7) a) racional b) racional c) racional d) irracional 
e) racional f) racional 
 
Nível 2: 
1) a) 139/150 b) 25/297 c) 25/13 d) 52/57 e) 1 f) 1,999... 
g) 2000/297 h) 50/17 
 
Cap. V 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES: 
Nível I 
1) 
 
A 
 
B 
 
Razão A/B 
Forma 
mais 
simples 
de A/B 
a) 12 14 12/14 6/7 
b) 18 21 18/21 6/7 
c) 30 35 30/35 6/7 
d) 600/7 100 (600/7)/100 6/7 
e) 100 700/6 100/(700/6) 6/7 
 
2) B 3) C 4) B 5) a)15 b) 42 c)15 d)16/3 6) A 7) D 
8) 1 e 3 9 ) C 10) B 11) A 12) a) 2/5 b) 3/5 c) 2/3 
13) 0,4m 14) 10,50 15) A 16) x=12; y=36 z=60 
 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
 
59 
Nível II 
1) 
 
2) 180 e 300 
3) 
4) C 
 
 
Cap.VI 
 
REGRA DE TRÊS 
 
Nível I 
1) A 2) C 3) 9562,5 4) 252 dias 5) 5 h 6) 22968 7) 40 
8) 24 9) 20 m 10) 300 11) 12) 45% 
 
Nível II 
1) 48 m e 60 m 2) 3) 2000 m 
4) 20 5) 35 6) 170 dias 7) 4 8) 12 9) 
10) 11) 12) 
 
 
 
Cap.IIV 
 
PORCENTAGEM E JUROS 
 
 
Nível I 
1) 2) 3) 4) 5) 
6) 7) 8) 9) 10) 11) 
 
Nível II 
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 
8) 9) 10) 11) 12) 
13) 14) 130% 15) 
 
 
Cap.VIII 
 
OPERANDO COM POTÊNCIAS 
 
1) a) b) c) d) e) f) g) 
h) i) j) k) 
2) a) b) c) d) 3) 4) a) b) c) 
d) e) f) g) h) 
5) a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1/4 f)1 g) 1 h) 1 i) 1 j) 1 
h) indefindo 
6) a) b) c) d) e) f) g) 
 h) i) 
7) a) b) c) d) e) f) g) h) 
i) j) k) l) 
8) a) b) c) d) e) f) g) h) i) 
 j) l) 
9) 
10) a) b) c) d) 
 
RADICIAÇÃO 
 
1) a) b) 
2) a) b) c) 
3) a) b) c) d) e) 
4) a) b) c) d) e) 
5) a) b) c) d) e) 
6) a) b) c) d) 
7) 8) 9) 10) 11) 12) 
 13) a) b) c) 
14) a) b) c) d) 15) 
 
 
Cap. IX 
 
FATORAÇÃO: 
 
Expressões algébricas: 
 
1) 5X 2) a+b=b+a 3) a) 2xy b) -7a² 4) x(2y-x) 5) 3 
 
Produtos notáveis: 
 
1) a) x²+2xy+y² b) x²+2xy+y² c) x²-2xy+y² 
 d) 9a²-6a²b+a²b² e) 4x²/9 – xy/3+ y²/4 
f) 9x²/4+12xy/5+16y²/25 g) x²-y² h) 4x²-9b² 
i) x³+3x²y+3xy²+y³ j) 8a³+36a²b+54ab²+27b³ 
k) x³-3x²y+3xy²-y³ l) -x³-3x²y-3xy²-y³ 
m) -8a³-60a²b-150ab²-125b³ n) 4x²+12xy+9y² 
o) x4-4x²y² p) x²-xy+y²/4 
2) a) -12a²-12ab+b² b) -2a²-2ª+1 c) 9(a²-a+1) d) 4xy 
3) a) 7 b) 10 c) 2 e 5 4) 4ª+8 5) a) (x+a)² b) (2x+1)² 
6) a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc 7) 
28 6 3
 
 
Fatoração: 
 
Nível 1: 
1) 5(36+24+15)=15(12+8+5)=375 
 2) a) x(x+11) b) ab(a+4+b) 
3) não, pois fazendo x²-12x+64=(x+a)² a=-6 e a²=64, 
impossível 
4) (ax+1)² 5) (x²+4)(x+2)(x-2) 6) a+5 7) x²-6xy+9y² 
 
Nível 2: 
1) A 2) C 3) D 4) (X+1)(X-1)² 5) (a-1)(a+7) 6) 8 e 288 
 
Nível 3: 
1) B 2) E 3) B 4) E 5) E 6) 2 
 
 
 
Curso Matemática Básica Algebra 
 
60 
 7) a)
( 2 )
( 2 )
x y z
x y z
 
 
 b) x-y c) 
( )
( )
x y z
x y z
 
 
 d) 
² 1
b
y 
 
8) a+2b+3c 
 
 
 
 
 
Cap.X 
 
FATORAÇÃO: 
 
Linguagem matemática: 
 
1) 674 e 675 2) a) x=3 b) x=5 c) x=10 
3) a) seja l=preço do lápis e c= preço da caneta então: 
I) c=l+1 II) 2c+4l=3,20 
b) R$ 1,20 c) R$ 0,20 
4) 3x+6=42 logo x=12 
 
 
Cap.XI 
 
EQUAÇÕES DO 1º GRAU: 
 
Parte I: 
 
Nível I: 
 
1) a) x=-13 b) a=5/2 c) y=1 d) x=-2 
2) não é raiz 
3) --- 4) 20 anos 5) 30 6) 3/7 7) 6 8) -19 9) 500.000 
 
Nível 2: 
 
1) 14 2) m=1 3) a≠2 4) r=1, s=3 5) m=-2/3 6) 90 
 7) 36 8) 66 pombas 
 
Parte II 
 
Nível I: 
 
1) a) x=7 b) x=-25/7 2) a) 850 m² b) 425 m² 
3) R$ 480,00 4) 48 alunos 5) 9 horas e 20 minutos 
6) R$ 450,00 7) R$ 10.000,00 8) 80 laranjas 
9) x=5 e m(AB)=22 10) a) x=7 b)
² ² ²a b c
x
ab ac bc
 

 
 c) 
2/b 
 
Nível 2: 
 
1) 6 e 7 2) x=2 3) 8 dias 4) 5 homens 
 
 
 
Cap.XII 
 
SISTEMAS DO 1º GRAU: 
 
NIVEL 1: 
 
1) X=5, Y=1 2) a) x=2, y=8 b) x=1, y=2 
 3) a) x=-1, y=2 b) x=1/2, y=1 4) (1;2) é solução 
5) seja a e m preço do armário e da 
mesa
3
120
a m
a m


 
6) a=R$ 90,00 e m=R$ 30,00 
 
Nível 2: 
1) 3 coelhoes e 5 galinhas 2) 21 e 28 anos 
3) 4 meninos e 3 meninas 
 
Nivel 3: 
1) x=4, y=4/3 
2) a) a=0,5, b=1, c=1,5 b) a=264, b=330, c=462 
c) a=4, b=20, c=8, d=12 d) b=4, c=2 ou b= - 4 e c=-2 
 
Cap.XIII 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: 
 
PARTE I: 
 
3) a) A=(4;5), B=(2;3), C=(0;1), D=(-3;-2) b) y=-1 
c) aumentam 
5) a) y aumenta b) y diminui c) y permanece inalterado 
 
PARTE II: 
 
3) a) 4 km/l b) 7,5 km/l c) 120 km/h obs( os valores do 
gráfico estão invertidos se considerássemos invertidos 
teríamos: 8 km/l b) 4,5 km/l c) 60 km/h, o que faz mais 
sentido). 
4) a) fevereiro b) maio c) março e maio d) 45 milhões 
 
 
Cap.XIV 
 
NOTAÇÃO CIENTÍFICA: 
 
1) a) 3,0x10³ b) 1,0032x10² c) 1,0x10-4 d) 1,3232x10-1