Matemática01 - Matemática Básica (320)

Prévia do material em texto

1Matemáti	caMatemáti	ca	básica
Rua General Celso de Mello Rezende, 301 – Tel.: (16) 3238·6300
CEP 14095-270 – Lagoinha – Ribeirão Preto-SP
www.sistemacoc.com.br
SISTEMA COC DE ENSINO
Direção-Geral: Sandro Bonás
Direção Pedagógica: Zelci C. de Oliveira
Direção Editorial: Roger Trimer
Gerência Pedagódica: Luiz Fernando Duarte
Gerência Editorial: Osvaldo Govone
Gerência Operacional: Danilo Maurin
Gerência de Relacionamento: Danilo Lippi
Ouvidoria: Regina Gimenes
Conselho Editorial: José Tadeu B. 
Terra, Luiz Fernando Duarte, Osvaldo 
Govone e Zelci C. de Oliveira
PRODUÇÃO EDITORIAL
Autoria: Clayton Furukawa, Frederico R. F. 
do Amaral Braga e Jeferson Petronilho
Editoria: José F. Rufato, Marina A. 
Barreto e Paulo S. Adami
Coordenação editorial: Luzia H. Fávero F. López
Assistente Editorial: George R. Baldim
Projeto gráfico e direção de 
arte: Matheus C. Sisdeli
Preparação de originais: Marisa A. dos Santos 
e Silva e Sebastião S. Rodrigues Neto
Iconografia e licenciamento de texto: 
Cristian N. Zaramella, Marcela Pelizaro 
e Paula de Oliveira Quirino.
Diagramação: BFS bureau digital
Ilustração: BFS bureau digital
Revisão: Flávia P. Cruz, Flávio R. Santos, 
José S. Lara, Leda G. de Almeida e 
Maria Cecília R. D. B. Ribeiro.
Capa: LABCOM comunicação total
Fechamento: Matheus C. Sisdeli
Su
m
ár
io
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO 7
1. Potenciação 7
2. Radiciação 10
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS 17
1. Quadrado da soma de dois termos 17
2. Quadrado da diferença de dois termos 17
3. Produto da soma pela diferença de dois termos 17
4. Cubo da soma de dois termos 17
5. Cubo da diferença de dois termos 17
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO 19
1.	 Definição	 19
2. Casos de fatoração 20
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM 22
1. Introdução 22
2.	 Definição	 22
3. Forma decimal 22
4.	 Porcentagem	de	quantias	 22
5. Lucro 24
6. Aumento percentual 25
7. Desconto percentual 26
8. Aumentos e descontos sucessivos 28
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES 30
1. Conceitos básicos 30
2. Propriedades 33
3. Máximo divisor comum 35
4.	 Mínimo	múltiplo	comum	 36
5. MDC e MMC pelo método da decomposição isolada 36
6. MMC e MDC pelo método da fatoração simultânea 36
7. MDC pelo método das divisões sucessivas 37
8. Propriedades do MDC e do MMC 37
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES 39
1.	 Introdução	 39
2.	 Equação	matemática	 39
3.	 Raiz	(ou	solução)	de	uma	equação	 39
4.	 Resolução	de	equações	 39
5. Equações equivalentes 40
6. Equação do 1º grau 40
7.	 Problemas	matemáticos	 40
8.	 Passos	para	resolver	um	problema	matemático	 40
9.	 Equação	do	2º	grau	 43
10. Resolução de equações com mudança de variável 47
11. Equações irracionais 48
CAPÍTULO 07 TEORIA DOS CONJUNTOS 50
1. Introdução 50
2. Notação e representação 50
3.	 Relação	de	pertinência	 50
4. Relação de inclusão 51
5. Conjuntos especiais 51
6. Conjunto universo 52
7. Conjunto de partes 52
8. Igualdade de conjuntos 52
9.	 Operações	com	conjuntos	 52
10. Número de elementos da união e da intersecção de conjuntos 55
11. Conjuntos numéricos 56
12. Operações com intervalos 57
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 59
Capítulo 01 61
Capítulo 02 66
Capítulo 03 68
Capítulo 04 70
Capítulo 05 78 
Capítulo 06 83
Capítulo	07	 93
GABARITO 102
Teoria
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
7
Matemáti	ca
Exemplos
1. 105 · 102 = 105 + 2 = 10.000.000
2. (–10)5 · (–10)2 = (–10)5 + 2 = – 10.000.000
•	 P2: Quociente de potências de mesma 
base
Para	 dividirmos	 potências	 de	 mesma	 base,	
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
a
a
m
n
m n
= ≠a a= ≠a am n= ≠m na am na a= ≠a am na am n= ≠m n–m n= ≠m na am na a= ≠a am na a–a am na a= ≠a am na a, 0= ≠, 0= ≠a a= ≠a a, 0a a= ≠a a
Justificativa
a a a a e a a a am
m vezes
n
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅... ...� �� �� ��� ��
1º) Sendo m > n, temos:
a
a
a a a a
a a a a
a a a
m
n
m vezes
n vezes
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
...
...
...
upcurlybracketleft upcurlybracketmid� upcurlybracketright�
� �� �� (( )m n vezes
m na
–
–
��� �� =
2º) Se m = n: a
a
a a
m
n
m n
= = = =1 10( )–
3º) Se m < n: a
a a a a a
a
m
n
n m vezes
n m
m n
=
⋅ ⋅ ⋅
=
  =
1 1
...
( )
( )
( )
–
–
–
� �� ��
Exemplos
1. 
5
5
5 5 125
7
4
7 4 3
= = =
– 
2. 2
2
2 2
1
2
3
4
1
= = =
3 4– –
3. 2
2
2
2
x
=
2 x–
•	 P3: Produto de potências de mesmo 
expoente
Para	multiplicarmos	potências	de	mesmo	ex-
poente, conservamos o expoente e multipli-
camos as bases.
an · bn = (a · b)n
1. Potenciação
A. Defi	nições
Em todas as definições apresentadas abaixo, a 
representa um número real e n, um número 
natural diferente de zero.
1. Para n maior que 1, an é igual ao produ-
to	de	n	fatores	idênticos	a	a, isto é:
 
a a a a an
n
= · · ...
fatores idênticos
� �� ��
Notação: O elemento a é chamado base, n é 
denominado expoente e an, potência.
2. Para n= 1, define-se: a1 = a.
3. Para n = 0 e a ≠ 0, define-se: a0 = 1.
4. Expoente inteiro e negativo: a
a
n
n
–
=
1 , 
com a ≠ 0.
Exemplos
1. 105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10.000
2. 51 = 5
3. (–2)0 = 1
4. 3
1
3
1
3 3 3 3
1
81
4
4
–
= =
⋅ ⋅ ⋅
=
B. Propriedades
Consideremos os números reais a e b e os 
números naturais m e n. Então, são válidas as 
seguintes propriedades:
•	 P1: Produto de potências de mesma 
base
Para	multiplicarmos	potências	de	mesma	base,	
conservamos a base e somamos os expoentes.
am · an = am + n
 os expoentes.
Justificativa
a a a a a
a a a a a
a
m
m vezes
n
n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅





...
...
� �� ��
� �� ��
mm n
m vezes n vezes
m n
a
a a a a a a a a
a a a
⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ =
... ...� �� �� � �� ��
⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
a a a
m n vezes
...
( )
� �� ��
Assim: am · an = am + n
CAPÍTULO 01 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
8
Matemáti	ca
Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
n
n vezes
n
n vezes
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅
... ...
( )
� �� �� � ��� ���
bb a a a a b b b b
ab ab
n
n vezes n vezes
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅
... ...� �� �� � ��� ���
⋅⋅ ⋅ ⋅ab ab
n vezes
...� ���� ����
Assim: an · bn = (ab)n
Exemplos
1. 23 · 33 = (2 · 3)3 = 63
2. (a · b · c)2 = a2 · b2 · c2
•	 P4: Quociente de potências de mesmo 
expoente
Para	dividirmos	potências	de	mesmo	expoente,	
conservamos o expoente e dividimos as 
bases.
a
b
a
b
b
n
n
n
=
  , 0b, 0b ≠, 0≠
Justificativa
a a a a a e b b b b b
a
b
n
n vezes
n
n vezes
n
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
... ...� �� �� � ��� ���
aa a a a
b b b b
a
b
a
b
n vezes
n vezes
n
n
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
 
...
...
upcurlybracketleft upcurlybracketmid� upcurlybracketright�
� ��� ���
     ⋅ ⋅  
=
a
b
a
b
a
b
Assim
a
b
n vezes
n
n
...
:
� ���� ����
aa
b
n 
Exemplos
1. 
2
11
2
11
2
2
2
=
 
2. a
b c
a
b c
a
b c
3
3 3
3
3
3
⋅
=
⋅( )



 = ⋅




•	 P5: Potência de uma potência
Para	elevarmos	uma	potência	a	um	novo	ex-
poente, conservamos a base e multiplicamos 
os expoentes.
(am)n = am · n
Justificativa
a a a a
a a a a
m n m m m
n vezes
m n m m m m n m
( ) = ⋅ ⋅ ⋅
( ) ⋅ = ⇒( ) =+ + + ⋅
...
...
� ��� ���
nn
n vezesupcurlybracketleft upcurlybracketmid���� upcurlybracketright����
Exemplos
1. (25)2 = 25 · 2 = 210
2. 5 5 55
2 3 5 2 3 30( )( ) = =⋅ ⋅
ObservaçãoAs propriedades apresentadas podem ser es-
tendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a. 23 · 2–2 = 23 + (–2) = 21 (P1)
b. 5
5
2
3–
= 52 – (–3) = 52 + 3 = 55 (P2)
c. 5–3 · 2–3 = (5 · 2)–3 = 10–3 (P3)
d. 7
5
7
5
2
2
2
4
–
–
–
=
  ( )P
e. (2–2)–3 = 2(–2) · (–3) = 26
C. Situações especiais
A. (–a)n e –an
As	potências	(–a)n e –an, em geral, apresentam 
resultados diferentes, pois:
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( )
...
– – – – –
– –
a a a a a
a a a a
n
n vezes
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
� ���� ����
⋅⋅a
n vezes
� ��� ���
Exemplos 
1. (–2)2 = (–2) · (–2) = 4
2. –22 = –(2) · (2) = –4
 
PV
-1
3-
11
Matemática básica
9
Matemática
B. a e am n m( ) n
As	potências a e am n m( ) n , em geral, apresentam 
resultados diferentes, pois:
a a a a am n m m m m
n vezes
( ) = ( ) ⋅ ( ) ⋅ ( )⋅ ⋅( )...� ����� �����
e
a am m m m
n vezes
n
=
⋅ ⋅ ⋅...
upcurlybracketleftupcurlybracketmid� upcurlybracketright�
Exemplos
1. (25)2 = 25 · 2 = 210
2. 2 2 25 5 5 252 = =⋅
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. UFMG
O valor da expressão (a–1 + b–1)–2 é:
a. ab
a b( )+ 2
b. ab
a b( )2 2 2+
c. a2 + b2
d. a b
a b
2 2
2( )+
Resolução
a b
a b
b a
ab b a
ab
− −
−
−
−
+( ) = +

 =
+


 = + 



1 1 2
2 21 1 1



=
+



 = +( )
2
2
2 2
2
ab
a b
a b
a b
Resposta
D
02. UECE
Se a = 32 e b = a2, então o valor do produto ab 
é igual a:
a. 36
b. 38
c. 	96
d. 98
Resolução
a · b = a · a2 = a3 = ( )3 32 3 6=
Resposta
A
03. UFRGS
Sabendo-se que 6x + 2 = 72, tem-se que 6–x vale:
a. – 4
b. – 2
c. 0
d. 
1
2
 
e. 2
Resolução
6x + 2 = 72 → 6x · 62 = 72 → 6x = 72
36
 → 6x = 2
6–x = 1
6
1
2x
=
Resposta
D
04. ENEM
A resolução das câmeras digitais modernas é 
dada em megapixels, unidade de medida que 
representa um milhão de pontos. As informa-
ções sobre cada um desses pontos são arma-
zenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para 
evitar que as imagens ocupem muito espaço, 
elas são submetidas a algoritmos de compressão, 
que	reduzem	em	até	95%	a	quantidade	de	bytes 
necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 
1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB.
Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo 
algoritmo	de	compressão	é	95%,	João	fotogra-
fou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se 
ele deseja armazená-las de modo que o espa-
ço restante no dispositivo seja o menor espaço 
possível, ele deve utilizar:
a. um CD de 700 MB.
b. um pendrive de 1 GB.
Matemática básica
PV
-1
3-
11
10
Matemática
c. um HD externo de 16 GB.
d. um memory stick de 16 MB.
e. um cartão de memória de 64 MB.
Resolução
•	1	megapixel = 106 pontos
•	1	ponto	=	3	bytes
Após compressão, 1 ponto ocupará:
5
100
· 3 bytes = 0,15 byte
Trabalho de João:
150 · 2 · 106 · 0,15 = 45 · 106 bytes = 
 
=
⋅45 10
10
6
6 MB = 45 MB
Resposta
E
05. Ibmec-SP
Os astrônomos estimam que, no universo vi-
sível, existem, aproximadamente, 100 bilhões 
de galáxias, cada uma com 100 bilhões de es-
trelas. De acordo com esses números, se cada 
estrela tiver, em média, 10 planetas a sua vol-
ta, então existem no universo visível, aproxi-
madamente:
a. 1012 planetas.
b. 1017 planetas.
c. 1023 planetas.
d. 10121 planetas.
e. 10220 planetas.
Resolução
100 bilhões de galáxias: 102 · 109 = 1011 galáxias
100 bilhões de estrelas: 102 · 109 = 1011 estrelas 
em cada galáxia
Logo, temos:
(nº de galáxias) · (nº estrelas/galáxias)
1011 galáxias · 1011 estrelas = 1022 estrelas
Cada estrela tem, em média, 10 planetas. 
Assim, (nº de estrelas) · (nº de planetas/estrelas)
1022 · 10 = 1023 planetas
Resposta
C
2. Radiciação
A. Definições
1. Considere a um número real não negativo e n um número natural diferente de zero.
O símbolo an representa um número real b, não negativo, que satisfaz a igualdade bn = a.
Notação: O número a é chamado radicando, n é denominado índice e an é a raiz n-ésima de a.
Observação: O símbolo a representa o mesmo que a2 .
Exemplos
1. 25 = 5, pois 52 = 25 (raiz quadrada de 25)
2. 21 = 2, pois 21 = 2 (raiz primeira de 2)
3. 03 = 0, pois 03 = 0 (raiz cúbica de zero)
2. Considere a um número real e n um número natural ímpar.
O símbolo an representa um número real b que satisfaz a igualdade bn = a.
Exemplos 
1. 8 23 = , pois 23 = 8
2. – –8 23 = , pois (–2)3 = –8
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
11
Matemáti	ca
B. Raiz quadrada do quadrado 
de um número real
a a2 = , se a for um número real não negativo.
 a a2 = – , se a for um número real negativo.
Costuma-se indicar: a a2 = (valor absoluto de a), 
Exemplos 
1. 5 52 = 
2. – –(–5 5 5
2( ) = =)
3. 2 3 2 3 2 3 0
2
– – –( ) = >, pois
4. 2 5 2 5 5 2 2 5 0
2
– – – – –( ) = ( ) = <pois
Observação
Não devemos confundir 4 2 4 2= = ±com , 
pois é falso, de acordo com a definição.
Então, 2 = 4 e –2 = – 4.
Se considerarmos a equação x2 = 4, teremos 
como solução as raízes 2 e –2, pois:
x2 = 4 ⇒ x = ± 4 ⇒ x = ± 2
C. Potências	com	expoente	racional
Definição
a a com a
n
k nk= >, 0, n inteiro e k inteiro positivo.
Exemplo
5 5 5
1
2 12= =
Observação
Todas as propriedades apresentadas para po-
tências	de	expoentes	inteiros	são	válidas	para	
expoentes racionais.
D. Propriedades
Consideraremos os números reais a e b não 
negativos e os números naturais não nulos m, 
n e p. Então: 
•	 P1: Produto de radicais de mesmo índice
Para multiplicarmos radicais com o mes-
mo índice, conservamos o índice e multipli-
camos os radicandos.
a ba b abn nn na bn na b n⋅ =a b⋅ =a ba b⋅ =a b
Justificativa
a b a b a b a bn n n n n n⋅ = ⋅ = ⋅( ) = ⋅1 1 1
Exemplos
1. 10 10 10 10 10 1023 3 2 13 33⋅ = ⋅ = = 
2. 2 64 2 64 2 8 8 2⋅ = ⋅ = ⋅ =
 
P2: Divisão de radicais de mesmo índice 
Para dividirmos radicais com o mesmo índice, 
conservamos o índice e dividimos os radicandos.
a
b
a
b
n
n
= ≠= ≠= ≠n= ≠n ( )b( )b= ≠( )= ≠b= ≠b( )b= ≠b( )0( )
Justificativa
a
b
a
b
a
b
a
b
n
n
n
n
n
n= =
  =
1
1
1
Exemplos
1. 128
4
128
4
32 2
5
5
5 5= = =
2. 
4
25
4
25
2
5
0 4= = = ,
 
•	 P3: Potência de uma raiz
Para elevarmos uma raiz a um expoente, 
basta elevarmos o radicando a esse expoente.
a aa a
m
mna ana a( )( )a a( )a an( )n a a=a a
Justificativa
a a a an
m
n
m m
n mn( ) =   = =
1
Observação
A propriedade P3 também é válida quando o 
expoente m é inteiro negativo.
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
12
Matemáti	ca
Exemplos
1. ( )5 5 52 2= =
2. ( )2 2 43 2 23 3= =
 
•	 P4: Raiz de outra raiz
Exemplos
a. 10 10 1046 4 26 2 23= =::
b. 2 2 2208 20 48 4 5= =::
c. 5 5 548 12= =
E. Simplifi	cação	de	radicais
Simplificar um radical significa transformá-lo 
em uma expressão equivalente ao radical 
dado, porém escrita de forma mais simples. 
Obtemos essa transformação através da apli-
cação das propriedades anteriormente vistas.
Exemplos
a. 81 3
3 3
3
5 7 33 4 5 7 33
3 3 2 6 33
33 33 6
⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅
x y z x y z
x x y y z
x y33 33 23
2 23
3
3 3
⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
z x y
x y z x y
b. a b c a b b c b a bc2 65 2 55 25⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
c. 324 2 3 2 3 3
3 2 3 3 12
3 2 43 2 33
23 3
= ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ =
F. Redução de radicais 
ao mesmo índice
Para reduzirmos dois ou mais radicais a um 
mesmo índice, inicialmente, calculamos o 
MMC de todos os índices, obtendo, assim, o 
índice comum a todos os radicais. Em seguida, 
dividimos o novo índice por todos os índices 
anteriores, multiplicandoo resultado pelos ex-
poentes dos fatores do respectivo radicando.
Exemplos
a. xy x e y23 34;
 MMC (3, 4, 2) = 12, então:
 xy x y x x y y
23 4 812 34 912 612
= = =; ; 
b. 2 3 53 4, e
 MMC (2, 3, 4) = 12, então:
 2 2 3 3 5 5
612 3 412 4 312
= = =; ;
Para obtermos a raiz de uma outra raiz, bas-
ta conservarmos o radicando e multiplicar-
mos os índices.
a aa amn n ma a=a an m⋅n m
Justificativa
a a a a amn m
n m
n n m n m
= = = =
 
⋅
⋅
1
1
1
Exemplos
1) 7 7 754 2 4 5 40= =⋅ ⋅ 
2) 3 3 32 2 4= =⋅
•	 P5: Simplificação de radicais
Quando multiplicamos ou dividimos o índice 
de uma raiz e o expoente de seu radicando 
por um mesmo número natural não nulo, o 
valor da raiz não se altera.
a a pma ama an m pn p= ≠= ≠a a= ≠a aa a= ≠a am p= ≠m pn p= ≠n pa an pa a= ≠a an pa am p= ≠m p⋅m p= ≠m pn p⋅n p ( )p( )p= ≠( )= ≠p= ≠p( )p= ≠p( )0( )
Justificativa
a a a amn
m
n
m p
n p m pn p
= = =
⋅
⋅ ⋅
⋅
Exemplos
1. 5 5 53 3 42 4 128= =⋅⋅
2. 2 2 2 226 1 23 2 13 3= = =⋅⋅ 
Observação
Como podemos observar nos exemplos, o valor 
de uma raiz não se altera quando dividimos o 
índice do radical e o expoente do radicando 
por um fator comum natural não nulo.
a amn m pn p= ::
PV
-1
3-
11
Matemática básica
13
Matemática
Observações
1. Conforme vimos nas propriedades P1 e 
P2, a multiplicação e a divisão de raízes 
só devem ser efetuadas se os radicais 
tiverem índices iguais, então esta pro-
priedade, que permite reduzir os radi-
cais ao mesmo índice, é bastante im-
portante nesses casos.
Exemplo
5 2 3 5 2 3 5 2 33 4 412 612 312 4 6 312⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
2. Para que possamos comparar raízes, 
também	devemos	tê-las	com	os	índices	
iguais, e a maior raiz será aquela que 
tiver o maior radicando.
Exemplos
2 2 4
3 3 3
3 2
3 1 23 2 6
1 32 3 36
3= =
= =



⇒ >
⋅
⋅
⋅
⋅
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dê	o	valor	de:
a. 81
b. 164
c. 1253
d. –1253
e. 06
Resolução
a. 81 9= ,	pois	92 = 81
b. 16 24 = , pois 24 = 16
c. 125 53 = , pois 53 = 125
d. − = −125 53 , pois (–5)3 = –125
e. 0 06 = , pois 06 = 0
02. UECE
A expressão numérica 5 54 3 163 3– é igual a: 
a. 1 4583 .
b. 7293
c. 2 703
d. 2 383
Resolução
5 54 5 2 3 5 3 2 15 2
3 16 3 2 3 2 2 3 2 2 6 2
5 54 3
3 33 3 3
3 43 33 3 3
3
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
– 116 15 2 6 2 9 2
9 2 1458
3 3 3 3
33 3
= = =
= ⋅ =
–
Resposta
A
03. UFAL
A expressão 10 10 10 10+ ⋅ – é igual a:
a. 0
b. 10
c. 10 – 10
d. 3 10
e. 90
Resolução
10 10 10 10 10 10 10 10
10 10 100 10 90 3 102 2
+ − = +( ) −( ) =
− = − = =
.
Resposta
D
04. 
Forme uma sucessão decrescente com os 
números reais 2 3 3 2, e 2.
Resolução 
2 3 2 3 12 12
3 2 3 2 18 18
2 2 2 16
18 16 12
2 4
2 4
1 1 41 4 4
4 4 4
⋅ = ⋅ = =
⋅ = ⋅ = =
= = =
> >
⋅
⋅
Resposta
3 2 2 2 3⋅ > > ⋅
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
14
Matemáti	ca
05. UFC-CE
Dentre as alternativas a seguir, marque aquela 
que contém o maior número.
a. 5 63 ⋅
b. 6 53
c. 5 63
d. 5 63
e. 6 53
Resolução
5 6 30 30
6 5 6 5 1080 1 080
5 6 5 6 750 750
5 6
3 3 6
3 33 3 6
3 33 3 6
3
⋅ = =
⋅ = ⋅ = =
⋅ = = =
=
·
55 6 150 150
6 5 5 180 180
23 3 6
3 3 3 6
⋅ = =
= ⋅ = =6
O maior número é 1.080
2
6
== 6 53 .
Resposta
B
G. Racionalização de denominadores
Racionalizar um denominador de uma fração significa transformá-lo em outra sem radicais irra-
cionais no denominador, a fim de facilitar o cálculo da divisão. Em termos práticos, racionalizar 
um denominador significa eliminar o radical do denominador.
A racionalização pode ser feita multiplicando-se o numerador e o denominador da fração por um 
mesmo fator, obtendo, assim, uma fração equivalente à anterior.
Esse fator é chamado fator de racionalização ou fator racionalizante.
1º caso: Denominadores do tipo amn
Observamos que:
a aa a a a
a aa a a
ma ama an n mna ana a m na am na a mn
m na am na ama ama an nna ana a
⋅ =a a⋅ =a aa a⋅ =a an m⋅ =n m ⋅ =a a⋅ =a am n⋅ =m na am na a⋅ =a am na a m⋅ =m
= =a a= =a aa a= =a an= =n+m n+m na am na a+a am na a
n m–n m –
–a a–a a
Assim, nas frações que apresentarem denominador do tipo amn , basta multiplicarmos o seu 
numerador e o seu denominador por an mn n m–n m (fator racionalizante) para eliminarmos o radical 
(número irracional) do denominador.
Exemplos
Racionalizar os denominadores:
a. 1
5
1 5
5 5
5
5
=
⋅
⋅
= 
b. 2
4
2
2
2 2
2 2
2 2
8
2 2
2
2
3 23
3
23 3
3
3
3
3
= =
⋅
⋅
= = =
Notemos que, se no denominador aparecer uma raiz quadrada, o fator racionalizante é outra raiz 
quadrada igual à existente no denominador da fração.
PV
-1
3-
11
Matemática básica
15
Matemática
2º caso: Denominadores do tipo a b±
Neste caso, vamos relembrar o produto notável (A + B) · (A – B) = A2 – B2. Notamos que este pro-
duto notável, aplicado aos denominadores deste caso, produz resultado racional.
Ou seja:
a b a b a b a b+( )( ) = ( ) ( ) =– – –2 2
Portanto, se tivermos que racionalizar denominadores do tipo a b± , basta multiplicarmos 
o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do denominador, eliminando assim o 
radical (número irracional) do denominador.
Assim:
denominador: a b+ → conjugado: a b– 
denominador: a b– → conjugado: a b+ 
Exemplos
1) 1
3 2
1 3 2
3 2 3 2
3 2
3 2
3 2
– – –
=
⋅ +( )
( )⋅ +( ) =
+( )
= +( )
2) 
2
6 2 1
2 6 2 1
6 2 1 6 2 1
6 2 2
36 2 1
12 2
+
=
⋅( )
+( )⋅ ( ) =
⋅( )
⋅
=
–
–
–
–
–
71
Observação
A racionalização permite fazer divisões com erros menores. Por exemplo, na fração 1
5
há a 
divisão de 1 por 5 =2,2360679774....	Como	o	denominador	é	um	decimal	infinito	e	não	periódi-
co, fica difícil saber qual é a melhor aproximação para a 5 , mas, ao utilizar a fração equivalente 
5
5
, não só teremos o trabalho facilitado como também conseguiremos uma melhor aproximação.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Racionalize os denominadores e simplifique, 
se possível, as frações.
a. 1
5
b. 14
7
c. 6
7
d. 4
44
e. 3 7
3 7
+
–
Resolução 
a. 
1
5
5
5
5
5
· = 
Matemática básica
PV
-1
3-
11
16
Matemática
b. 
14
7
7
7
14 7
7
2 7·
·
·= =
c. 
6
7
7
7
42
7
· = 
d. 
4
4
4
4
4 4
4
2 2 2 2
4
34
34
34
64 3·
·
·= = = =
e. 3 7
3 7
3 7
3 7
9 6 7 7
9 7
8 3 7
+( )
−( )
+( )
+( ) =
+ +
−
= +·
02. UCSal-BA
Se x = − +
+
−
−
3 3
1
3 3
1
3 3
, então:
a. x ≥ 5
b. 3 ≤ x < 5
c. 1 ≤ x < 3
d. 0 ≤ x < 1
e. x < 0
Resolução
x = 3 3 
1
3 + 3
 
1
3 3
x = 3 3 + 
1
3 + 3
3 3
– –
–
–
–
+ ( ) ( )
( )
( )
·
33 3
x = 3 3 + 
9 3
 · 
3
3 9
–
–
–
–
–
– –
( ) ( )
+( )
+( )
( )
+
1
3 3
3 3
3 3
3 3 3
·
 
x = 3 3 + 
6
 
3
6
x = 3 3 + 
3
6
x = 3 3
–
–
–
–
–
–
3 3 3
3 3 3
6
6
4 3
+
+
+ +
+
=x
xx
x
≅
≅
4 1 7
2 3
– ,
,
Resposta
C
03. Fuvest-SP
2 3
3
+
=
a. 2 2 6 3
3
+ +
b. 5 2 6
3
+
c. 2 6
6
+
d. 3 6
3
+
e. 6 3
6
+
Resolução
2 3
3
3
3
6 3
3
6 3
32
+( )
=
+
( ) =
+·
·
Resposta
D
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
17
Matemáti	ca
CAPÍTULO 02 PRODUTOS NOTÁVEIS
Os produtos notáveis obedecem a leis espe-
ciais de formação e, por isso, sua utilização 
permite agilizar determinados tipos de cálcu-los que, pelas regras normais da multiplicação 
de expressões, ficariam mais longos. Apresen-
tam-se em grande número e dão origem a um 
conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R.
1. Quadrado da soma de dois termos
(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2. Quadrado da diferença 
de dois termos
(a – b)2 = (a – b) · (a – b) = a2 – 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
3. Produto da soma pela 
diferença de dois termos
(a + b) (a – b) = a2 – ab ab b+ – 2
(a + b) (a – b) = a2 – b2
4. Cubo da soma de dois termos
(a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5. Cubo da diferença de dois termos
(a – b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)
(a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – a2b + 2ab2 – b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a. (3x + 2)2
b. 1
2
x
x+  
c. (3x – 2y)2 
d. x x
2 2
3 4
–


Resolução
a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2 · (3x) · 2 + 22
 	 								=	9x2 + 12x + 4
Resposta
9x2 + 12x + 4
b. 
1 1
2
1
1 2
1
2
2 2
2
2
2
2
x
x
x x
x x
x
x
x
x
x
x
+
  =   + ⋅   ⋅ + =
= + + =
= + + 22
Resposta
1
2
2
2
x
x+ +
c. (3x – 2y)2 = (3x)2 – 2(3x) · (2y) + (2y)2 =
 																		=	9x2 – 12xy + 4y2
Resposta
9x2 – 12 xy + 4y2
d. x x x x x x
x
2 2 2 2 2 2
4
3 4 3
2
3 4 4
– –

 =







 ⋅
  +   =
=
yy
x x
x x x
–
–
2
12 4
9 6 4
3 2
4 3 2
+ =
= +
 
Resposta
x x x4 3 2
9 6 16
– +
Observe que, quando desenvolvemos o qua-
drado da soma ou da diferença de um binô-
mio, produzimos um trinômio chamado trinô-
mio quadrado perfeito.
Matemática básica
PV
-1
3-
11
18
Matemática
02. 
Desenvolva os produtos notáveis abaixo:
a. (3xy + 5) (3xy – 5)
b. 3 5 2 3 5 2+( )( )–
c. (x + 2)3 
d. (2x – 2)3 
Resolução
a. (3xy + 5) · (3xy – 5) = (3xy)2 – 52	=	9x2y2 – 25
Resposta
9x2y2 – 25
b. 3 5 2 3 5 2
3 5 2 9 5 4 41
2
2
+( )⋅( ) =
= ( ) = ⋅ =
–
– –
Resposta
41
c. (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 
+ 12x + 8
Resposta
x3 + 6x2 + 12x + 8
d. (2x – 2)3 = (2x)3 – 3 · (2x)2 · 2 + 3 · 2x · 22 – 23 = 
 = 8x3 – 3 · 4 · x2 · 2 + 3 · 2 · x · 4 – 8 =
 = 8x3 – 24x2 + 24x – 8
Resposta
8x3 – 24x2 + 24x – 8
03. 
Desenvolva: (x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4).
Resolução
(x – 1)2 – (2x + 4) (2x – 4) =
= (x – 1)2 – ((2x)2 – 42) =
= (x – 1)2 – (4x2 – 16) =
= x2 – 2x + 1 – (4x2 – 16) = 
= x2 – 2x – 4x2 + 17 =
= –3x2 – 2x + 17
Resposta
–3x2 – 2 x + 17
04. 
Calcule	31	·	29	usando	produto	notável.
Resolução
31	·	29	=	
= (30 + 1) · (30 – 1) = 
= (30)2 – 12 = 
=	900	–	1	=	
=	899
Resposta
899
05. 
Sendo x
x
+ =
1
2, determine x
x
3
3
1
+ .
Resolução
x+
1
x
=2
x + 3x ·
1
x
 + 3 · x ·
1
x
+
1
x
 = 8
x + 3x +
3
x
+
1
x
 = 
3
3
3 2
2 3
3
3
 
88
x
x + 3 2 + 
1
x
 = 8
x + 
1
x
 = 2
3
3
3
3
3
+ +
  + =
⋅
3
1 1
8
3
x
x x
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
19
Matemáti	ca
CAPÍTULO 03 FATORAÇÃO
1. Defi nição
Fatorar uma expressão algébrica é modificar 
sua forma de soma algébrica para produto, 
isto é, obter outra expressão que:
a. seja equivalente à expressão dada;
b. sua forma equivalente se apresente na 
forma de produto. 
Na maioria dos casos, o resultado de uma fato-
ração é um produto notável. 
Nas técnicas de fatoração que estudaremos a 
seguir, suponha a, b, c, x e y expressões não 
fatoráveis.
2. Casos de fatoração
A. Fator comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele 
numérico, literal ou misto; em seguida, coloca-
mos	em	evidência	esse	fator	comum	e	simplifi-
camos	a	expressão	deixando	entre	parênteses	
a soma algébrica.
Observe os exemplos abaixo.
a. ab + ac = a · (b + c) 
b. 3x3y – 6x2y3 = 3x2y(x – 2y2) 
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de 
modo que formem dois ou mais grupos entre 
os quais haja um fator comum e, em seguida, 
colocar	o	fator	comum	em	evidência.
Observe:
ax + ay + bx + by = 
= a · (x + y) + b · (x + y) = 
= (a + b) · (x +y) 
C. Diferença de quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de dife-
rença de quadrados sempre que dispuser-
mos da diferença entre dois monômios cujas 
literais tenham expoentes pares. A fatoração 
algébrica de tais expressões é obtida com os 
seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fato-
res numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das li-
terais;
3º) Escrevemos a expressão como produto 
da soma pela diferença dos novos mo-
nômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2 – b2 seria fatorada 
da seguinte forma:
a2 – b2 = (a + b) · (a – b)
D. Trinômio quadrado perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada 
como trinômio quadrado perfeito sempre que 
resultar do quadrado da soma ou diferença 
entre dois monômios.
Por exemplo, o trinômio x4 + 4x2 + 4 é quadrado 
perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2.
São, portanto, trinômios quadrados perfeitos 
todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, 
fatoráveis nas formas seguintes:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
e
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Fatore a expressão: 8x3 – 6x2
Resolução 
8x3 – 6x2 = 2x2(4x – 3)
Resposta
2x2(4x – 3)
02. 
Fatore a expressão: x3 – x2 + x – 1
Resolução
x3 – x2 + x – 1 = x2(x – 1) + 1(x – 1) = (x – 1) · (x2 + 1)
Resposta
(x – 1) · (x2 + 1)
Matemática básica
PV
-1
3-
11
20
Matemática
03. 
Fatore a expressão: x2 – 25y2
Resolução
x2 – 25y2 = x2 – (5y)2 = (x + 5y) · (x – 5y)
Resposta
(x + 5y) · (x – 5y)
04. 
Fatore: (x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1
Resolução 
(x2 + 2xy + y2) + 2(x + y) + 1 =
(x + y)2 + 2(x + y) + 1 = [(x + y) + 1]2 = (x + y + 1)2
Resposta
(x + y + 1)2
05. Vunesp
Por hipótese, considere a = b.
Multiplique ambos os membros por a.
a2 = ab.
Subtraia de ambos os membros b2. 
a2 – b2 = ab – b2
Fatore os termos de ambos os membros. 
(a + b) · (a – b) = b (a – b)
Simplifique os fatores comuns (a + b) = b.
Use a hipótese que a = b. 
2b = b 
Simplifique a equação e obtenha 2 = 1.
A explicação para isso é:
a. A álgebra moderna, quando aplicada à 
teoria	dos	conjuntos,	prevê	tal	resultado.
b. A hipótese não pode ser feita, pois 
como 2 = 1, a deveria ser (b + 1).
c. Na simplificação dos fatores comuns, 
ocorreu divisão por zero, gerando o 
absurdo.
d. Na fatoração, faltou um termo igual a 
– 2ab, no membro esquerdo.
e. Na fatoração, faltou um termo igual 
a +2ab, no membro esquerdo.
Resolução
(a + b) · (a – b) = b (a – b) ⇔ a + b = b
A	equivalência	acima	só	é	possível	 se	dividir-
mos os dois membros por (a – b), porém da 
hipótese a = b, assim a – b = 0, e a divisão por 
zero não é definida.
Resposta
C
06. 
Simplifique a expressão:
a a
a a
4 2
2
1
1
+ +
+ +
.
Resolução 
a a
a a
a a a a
a a
a a a
a a
4 2
2
4 2 2 2
2
4 2 2
2
1
1
1
1
2 1
1
+ +
+ +
=
+ + + −
+ +
=
+ + −
+ +
a a
a a
a a a a
a a
2 2 2
2
2 2
2
1
1
1 1
1
+( ) −
+ +
=
+ +( ) + −( )
+ +
=
= a2 - a + 1
Resposta
a2 – a + 1
E. Trinômio do 2º grau
Considerando o trinômio do 2º grau ax2 + bx + c, a ≠ 0 e suas raízes reais x1 e x2, a seguinte igual-
dade é verdadeira:
ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)
F. Soma e diferença de cubos
Observe a multiplicação: 
(a + b) · (a2 – ab + b2) = 
= a3 – a2b + ab2 + ba2 – ab2 + b3 = 
= a3 + b3
PV
-1
3-
11
Matemática básica21
Matemática
 
01. 
Fatore a expressão: x x2 1 2 2− + +( ) .
Resolução 
 
x x
S
P
x x
x x
2
1 2
1 2 2 0
1 2
2
1 2
1 2
–
– –
( )
;
( )( )
+ + =
= +
=
= =
∴
Resposta
( ) · ( )x x– –1 2
02. 
Fatore a expressão: x6 – y6.
Resolução
x6 – y6 = (x2)3 – (y2)3 =
= (x2 – y2) · (x2 + x2y2 + y2) =
= (x + y) · (x - y) · (x2 + (xy)2 + y2)
Resposta
(x + y) · (x – y) · (x2 + (xy)2 + y2)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
03. 
Simplifique a expressão:
x y
x y
x y
x y
3 3 3 3
−
−
−
+
+
Resolução 
x y
x y
x y
x y
x y x xy y
x y
x y x xy y
x y
3 3 3 3
2 2 2 2
−
−
−
+
+
=
=
−( ) + +( )
−
−
+( ) − +( )
+
=
= xx xy y x xy y xy2 2 2 2 2+ +( ) − − +( ) =
04. 
Sendo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e (a – b)3 = 
= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3, fatore as expressões:
a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1
b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3
Resolução
a. 8x3 + 12x2 + 6x + 1 = 
 = (2x)3 + 3 · (2x)2 · 1 + 3 · 2x · 12 + 13 =
 = (2x + 1)3
Como também já foi dado no enunciado, 
pode-se obter esse resultado sem esse proce-
dimento.
b. 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 
 8a3 – 12a2b + 6ab2 – b3 =
 = (2a)3 – 3 · (2a)2 · b + 3 (2a) · b2 – b3 =
 = (2a – b)3
A partir deste resultado, podemos fatorar a soma de dois cubos:
a3 + b3 = (a + b) · (a2 – ab + b2)
Pode-se mostrar, de modo semelhante, que a3 – b3 = (a – b) · (a2 + ab + b2).
Matemática básica
PV
-1
3-
11
22
Matemática
CAPÍTULO 04 PORCENTAGEM
1. Introdução
Em	 uma	 empresa	 há	 três	 categorias	 de	 fun-
cionários, A, B e C, que possuem salários di-
ferentes reajustados na mesma época. Para 
não haver desconforto, é necessário fazer o 
aumento de maneira proporcional. O funcio-
nário responsável pelos cálculos consegue 
aplicar	uma	proporção	idêntica	a	cada	catego-
ria,	recorrendo	apenas	à	regra	de	três	simples.	
Tal procedimento pode ser até viável nessa si-
tuação, porém, se aumentarmos a quantidade 
de salários distintos, este procedimento será 
inadequado, por isso foi preciso desenvolver 
uma técnica matemática para calcular propor-
ções equivalentes; tal técnica, utilizada desde 
o século XVII, é conhecida por porcentagem. 
2. Definição
A porcentagem (ou percentagem) é uma for-
ma de apresentar frações em que o denomina-
dor é igual a 100, podendo também ser consi-
deradas as formas equivalentes. Para facilitar a 
sua	representação	foi	criado	o	símbolo	%	que	
se	lê:	“por	cento”	e	que	significa:	“dividir	por	
cem”.
A	representação	30%	é	o	mesmo	que	 30
100
 .
3. Forma decimal
A	forma	percentual	30%	pode	ter	outras	repre-
sentações equivalentes:
30
30
100
3
10
0 3% ,= = =
•	 30%	é	a	representação	percentual.
•	
30
100
3
10
= são representações fracionárias.
•	 0,3 é sua representação decimal.
4. Porcentagem de quantias
O	cálculo	x%	de	P	é	efetuado	da	seguinte	ma-
neira: x P
100
⋅
x%	de	P
x
P=   ⋅100
Exemplo
35%	de	200	=		
35
100
200 70  ⋅ =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Calcule o valor de:
a. 30%	de	84
b. 2,5%	de	44
Resolução 
a.	 30%	de	84	=	0,30	·	84	=	25,20
b.	 2,5%	de	44	=	0,025	·	44	=	1,10
Resposta
a. 25,20
b. 1,10
02. Fuvest-SP
(10%)2 é igual a: 
a. 100%
b. 20%
c. 5%
d. 1%
e. 0,1%
Resolução
( %)
.
%10
10
100
10
100
100
10 00 0
1
100
12 = ⋅ = = =
Resposta
D
PV
-1
3-
11
Matemática básica
23
Matemática
03. 
Quatro é quantos por cento de cinco?
Resolução
Sendo	x%	a	taxa	percentual,	temos,	pela	defi-
nição, que:
x
100
5 4⋅ =
x
100
4
5
=
Ou, de outra forma:
4
5
0 8
80
100
80= = =, %
Resposta
80%	
04. Unicap-PE
Determine,	 em	 reais,	 10%	 do	 valor	 de	 um	
bem,	sabendo	que	15%	do	preço	do	 citado	
bem é R$ 18,00.
Resolução 
Valor do bem = x
15%	·	x	=	18
0,15x = 18
x =
18
0 15,
x = R$ 120,00
∴10% de R$ 120,00 = R$ 12,00 
Resposta
R$ 12,00
05. UFRGS-RS
O gráfico abaixo representa o valor de um dó-
lar em reais em diferentes datas do ano de 
2003.
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
R$
01/1 31/1 28/2 31/3 30/4 31/5 30/6 31/7 31/8 Dia
3,53
3
2,89
0
2,96
6
2,87
2
2,96
6
2,96
7
3,52
6
3,56
3
3,35
3
Evolução das cotações da moeda norte-americana
A partir desses dados, pode-se afirmar que, no 
primeiro semestre de 2003, o real, em relação 
ao dólar:
a. desvalorizou 0,661.
b. desvalorizou	mais	de	10%.
c. manteve seu valor.
d. valorizou	menos	de	10%.
e. valorizou	mais	de	20%.
Resolução
No início do semestre: 
1 dólar = R$ 3,533
Logo: 1 real = 
1
3 533,
No final do semestre:
1 dólar = 2,872 reais
Logo: 1 real = 
1
2 872,
Montando a equação da variação do real, temos:
1
3 533
1
2 872
3 533
2 872
1 23
,
·
,
,
,
,x x x= → = → ≅
Portanto,	uma	valorização	de	23%.
Resposta
E
06. ENEM
Para se obter 1,5 kg do dióxido de urânio puro, 
matéria-prima para a produção de combustível 
nuclear, é necessário extrair-se e tratar-se 
1,0 tonelada de minério. Assim, o rendimento 
(dado	em	%	em	massa)	do	tratamento	do	miné-
rio até chegar ao dióxido de urânio puro é de:
a. 0,10%
b. 0,15%
c. 	0,20%
d. 1,5%
e. 2,0%
Resolução
Massa do minério = 1,0 t = 1.000 kg
Massa do dióxido de urânio puro = 1,5 kg
1.000	kg	––––––	100%
 1,5 kg –––––– x
x	=	0,15%
Resposta
B
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
24
Matemáti	ca
07. Unicamp-SP modificado
Quando uma determinada marca de café custa 
R$12,00	o	quilo,	seu	preço	representa	40%	do	
preço do quilo de outra marca de café. Qual o 
preço do quilo desse café?
Resolução
Seja x o preço do quilo do café, assim 12 = 0,4 x 
∴ x = =
12
0 4
30
,
. 
Resposta
O preço do quilo é R$ 30,00.
08. ENEM 
A escolaridade dos jogadores de futebol nos 
grandes centros é maior do que se imagina, 
como mostra a pesquisa abaixo, realizada com 
os jogadores profissionais dos quatro princi-
pais clubes de futebol do Rio de Janeiro.
 
0
Fu
nd
am
en
tal
inc
om
ple
to
20
40
60
14
Fu
nd
am
en
tal
16
Total: 112 jogadores
Mé
dio
inc
om
ple
to
14
Mé
dio
54
Su
pe
rio
r
inc
om
ple
to
14
 
 O Globo, 24/7/2005. 
De acordo com esses dados, o percentual dos 
jogadores dos quatro clubes que concluíram o 
Ensino Médio é de, aproximadamente:
a. 14%
b. 48%
c. 	54%
d. 60%
e. 68%
Resolução
Observando o gráfico, o número de jogadores 
que concluiu o Ensino Médio é 68, sendo 54 
apenas do Ensino Médio e 14 do Superior in-
completo (que concluíram obrigatoriamente o 
Ensino Médio).
Assim, num total de 112 jogadores, o percen-
tual dos jogadores dos quatro clubes que con-
cluiu o Ensino Médio é 68
112
0 607= , .
Logo,	a	melhor	alternativa	é	a	que	traz	60%.
Resposta
D
5. Lucro
Chamamos de lucro a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízo = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Lucro sobre o custo = 
lucro
preço de custo
· %· %100· %
Lucro sobre a venda = 
lucro
preço de venda
· %· %100· %
Observação – A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
25
Matemáti	ca
01. PUC-SP
A semirreta representada no gráfico seguinte 
expressa o custo de produção C, em reais, de n 
quilos de certo produto.
C (reais)
180
80
200 n (quilogramas)
Se o fabricante vender um quilo desse produto 
a R$ 102,00, a porcentagem de lucro sobre o 
preço de custo será de:
a. 25%
b. 20%
c. 18%
d. 15%
e. 14%
ResoluçãoSe para 20 quilos o preço aumenta R$ 100,00, 
para cada 1 quilo, aumenta R$ 5,00.
Custo de 1 quilo = R$ 102,00
L = R$ 17,00
L
C
= = =
17
85
0 2 20, % 
Resposta
B
02. Fuvest-SP
Um vendedor ambulante vende os seus pro-
dutos	com	lucro	de	50%	sobre	o	preço	de	ven-
da. Então, o seu lucro sobre o preço de custo é 
de: 
a. 10%
b. 25%
c. 33,333...%
d. 100%
e. 120%
Resolução
Sejam: 
L : lucro, Pc : preço de custo e Pv : preço de venda
L P I
P L P P P P
P P P P II
Sub
v
C V C V V
C V V C
=
+ = ⇒ + =
= ⇒ =
0 50
0 50
0 50 2
, · ( )
, ·
, · · ( )
sstituindo I em II temos
L P L PC C
 ( ) ( ), :
, · ·= ⇒ =0 5 2
Portanto,	o	lucro	representa	100%	do	preço	de	
custo.
Resposta
D
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
6. Aumento percentual 
Consideremos	um	valor	inicial	V	que	deve	sofrer	um	aumento	de	p%	de	seu	valor.	Chamemos	de	
A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então:
A p de V
p
V= =A p= =A p de= =de V= =V ⋅%= =%= =
100
V V A V
p
VA = + = + ⋅100
V
p
VAVAV = +

= +

= += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += += +  ⋅1= +1= + 100
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
26
Matemáti	ca
em que 1
100
+
 
p é o fator de aumento.
Exemplos
Valor 
inicial
Aumento 
percentual
Fator de 
aumento
Valor após 
aumento
50 24% 1,24 1,24 · 50
40 5% 1,05 1,05 · 40
70 250% 3,50 3,50 · 70
7. Desconto percentual
Consideremos um valor inicial V que deve so-
frer	um	desconto	de	p%	de	seu	valor.	Chame-
mos de D o valor do desconto e VD o valor após 
o desconto. Então:
D p de V
p
V= =D p= =D p de= =de V= =V ⋅%= =%= =
100
V V D V
p
VD = = ⋅– – 100
V
p
VDVDV =
  ⋅1 100–
em que 1
100
–
p  é o fator de desconto.
Exemplos
Valor 
inicial
Desconto 
percentual
Fator de 
desconto
Valor após 
desconto
50 24% 0,76 0,76 · 50
40 5% 0,95 0,95	·	40
70 1,5% 0,985 0,985	·	70
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dado o valor V, exprimir em função de V:
a. o	valor	de	um	aumento	de	25%;
b. o	valor	após	um	aumento	de	25%;
c. o	valor	de	um	desconto	de	45%;
d. o	valor	após	um	desconto	de	45%.
Resolução
a. 	25%	de	V	=	 25
100
 · V = 0,25 V
b. V	+	25%	de	V	=	V	+	
25
100
 · V = V + 0,25 V = 1,25 V
c. 45%	de	V	= 45
100
 · V = 0,45 V
d. 	V	–	45%	de	V	=	V	–		
45
100
 · V = V – 0,45 V = 0,55 V
Resposta
a. 0,25 V 
b. 1,25 V 
c. 0,45 V 
d. 0,55 V
02. Fuvest-SP 
 Uma certa mercadoria, que custava R$ 12,50, 
teve um aumento, passando a custar R$ 13,50. 
A majoração sobre o preço antigo é de:
a. 					1,0%		
b. 		10,0%		
c. 				12,5%		
d. 		8,0%		
e. 		10,8%				
 Resolução 
Seja fA o fator de aumento.
Assim:
 
12 50 13 50
13 50
12 50
1 08, ,
,
,
,⋅ = ⇒ = =f fA A 
O	aumento	foi	de	8%.	 
Resposta
D
PV
-1
3-
11
Matemática básica
27
Matemática
03. Uespi
Joana e Marta vendem um perfume a domi-
cílio. Joana dá desconto de R$ 10,00 sobre o 
preço	do	perfume	e	recebe	de	comissão	15%	
do preço de venda. Marta vende o mesmo 
perfume com desconto de R$ 20,00 e recebe 
30%	de	comissão	sobre	o	preço	de	venda.	Se	
as duas recebem o mesmo valor de comissão, 
qual o preço do perfume?
a. R$ 26,00
b. R$ 27,00
c. R$ 28,00
d. R$	29,00
e. R$ 30,00
Resolução
Preço do perfume = x
Joana vende por x – 10 e ganha 0,15 · (x – 10)
Marta vende por x – 20 e ganha 0,3 · (x – 20)
0,15 · (x – 10) = 0,3 · (x – 20)
x = R$ 30,00
Resposta
E
04. Vunesp
O fabricante de determinada marca de papel hi-
giênico	fez	uma	“maquiagem”	no	seu	produto,	
substituindo as embalagens com quatro rolos, 
cada um com 40 metros, que custavam R$ 1,80, 
por embalagens com quatro rolos, cada um 
com 30 metros, com custo de R$ 1,62.
Nessas condições, pode-se concluir que o pre-
ço	do	papel	higiênico	foi:
a. aumentado	em	10%.
b. aumentado	em	20%.
c. aumentado	em	25%.
d. aumentado	em	10%.
e. mantido o mesmo.
Resolução
Seja x1: preço do metro na 1ª embalagem
 x2: preço do metro na 2ª embalagem
 f: fator (aumento ou desconto)
x centavos
x centavos
1
2
1 80
40
0 045
1 62
30
0 054
= =
= =
,
,
,
,
5,4 = f · 4,5
f =
5 4
4 5
,
,
f = 1,2
∴ o	aumento	foi	de	20%.
Resposta
B
05. Uespi
Um	artigo	é	vendido	à	vista	com	15%	de	des-
conto ou em duas parcelas iguais, sem descon-
to, uma paga no ato da compra e a outra após 
um	mês.	Quais	os	juros	mensais	embutidos	na	
compra a prazo? Indique o inteiro mais próximo.
a. 41%
b. 42%
c. 43%
d. 44%
e. 45%
Resolução
Preço do produto = x
À vista = 0,85 x
A prazo
parcela x
parcela x
1 0 5
2 0 5
ª ,
ª ,
=
=

Se vendesse sem juros, na segunda parcela de-
veria pagar 0,35x.
Logo, os juros são: 0,35x · j = 0,5x; J = fator de 
aumento
j @ 1,42 ∴	aumento	aproximado	de	42%
Resposta
B
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
28
Matemáti	ca
8. Aumentos e descontos sucessivos
A. Aumentos sucessivos
 Consideremos um valor inicial V, que irá sofrer 
dois aumentos sucessivos de p1%	e	p2%.	Sendo	
V1 o valor após o primeiro aumento, temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅ +




Sendo V2 o valor após o segundo aumento, te-
mos:
 V V p2 1 21 100= ⋅ +




V V
p p
2V V2V V
1 2p p1 2p p1
100
1 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V +

p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
1 21 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p ⋅ +1 2⋅ +1 21⋅ +11 211 2⋅ +1 211 2⋅ +1 2⋅ +1 2
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
⋅ +

⋅ +1 2⋅ +1 2
1 2
⋅ +1 2⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +1 2
1 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +1 2⋅ +1 21 2⋅ +1 21 2⋅ +1 21 2⋅ +1 2⋅ +⋅ +⋅ +⋅ +



 
B. Descontos sucessivos
Sendo V um valor inicial, vamos considerar 
que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de 
p1%	e	p2%.
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, 
temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅



–
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, 
temos:
V V
p
2 1
21
100
= ⋅



–
V V
p p
2 1V V2 1V V
1 2p p1 2p p1
100
11 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V 

p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
1 21 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p ⋅
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
1 21 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p


– –1– –1– –– –– –– –– – ⋅– –⋅ – –– –– –
C. Aumento e desconto sucessivos 
(Desconto e aumento sucessivo)
Seja V um valor inicial, vamos considerar que 
irá sofrer um aumento de p1	%	 e,	 sucessiva-
mente, um desconto de p2%.
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
V V
p
1
11
100
= ⋅ +



 ⋅
Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
V V
p
2 1
21
100
= ⋅



–
V V
p p
2V V2V V
1 2p p1 2p p1
100
11 211 2
p p1 2p p1
p p1 2p p
100
= ⋅V V= ⋅V V +

p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
1 21 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p ⋅
p pp p1 21 2p p1 2p pp p1 2p p
1 21 21 21 2p p1 2p pp p1 2p pp p1 2p pp p1 2p p


–
Observação: Se for um desconto seguido de 
aumento, teremos:
V V
p p
2
1 21
100
1
100
= ⋅



 ⋅ +



–
01. FGV-SP
Certo capital C aumentou em R$ 1.200,00 e, 
em	 seguida,	 esse	 montante	 decresceu	 11%,	
resultando em R$ 32,00 a menos do que C. 
Sendo assim, o valor de C, em R$, é:
a. 9.600,00
b. 9.800,00
c. 9.900,00
d. 10.000,00 
e. 11.900,00
Resolução
Chamaremos C de capital e M de montante. 
Logo, teremos o sistema:
M C
M M CM C
M C
= +
=
 ⇒
=
=

1 200
0 11 32
1 200
0 89 32
.
,
.
,– –
–
– – , 
Multiplicando a segunda equação inteira por 
(–1), temos:
PV
-1
3-
11
Matemática básica
29
Matemática
M C
M C
M M
M M
–
–
–
=
+ =
 ⇒ = ⇒
⇒ = ⇒ =
1 200
32
0 89 1 232
0 11 1 232
1 232
.
, .
, .
.
0,89
00 11
11 200
,
.=
Como M = 11.200, temos, da primeira equa-
ção: M – C = 1.200 ⇒ 11.200 – C = 1.200 ⇒ – C 
= 1.200 – 11.200 ⇒ C = 10.000
Resposta
D
02. Vunesp 
Uma instituição bancária oferece um rendi-
mento	 de	 15%	 ao	 ano	 para	 depósitos	 feitos	
numa certa modalidade de aplicação finan-
ceira. Um cliente deste banco deposita 1.000 
reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o ca-
pital que esse cliente terá em reais, relativo a 
esse depósito, é:
a. 1.000 + 0,15n
b. 1.000 – 0,15n
c. 1.000 · 0,15n
d. 1.000 + 1, 15n
e. 1.000 · 1,15n
Resolução
V
p
v
V
V
A
n
A
n
A
n
= +
  ⋅
= +
  ⋅
= ⋅
1
100
1
15
100
1 000
1 000 1 15
.
. ( , )
Resposta
E
 
 
03. Fuvest-SP
O	preço	de	uma	mercadoria	subiu	25%.	Calcu-
le a porcentagem que se deve reduzir do seu 
preço atual para que volte a custar o que cus-
tava antes do aumento.
Resolução
Se a mercadoria custa x, então, com o aumento 
de	25%,	ela	custará:
x x x
V desconto V
x D x
D
x
x
D
D
final inicial
+ =
=
⋅ =
=
=
=
1
4
5
4
5
4
5
4
4
5
0 8
·
,
∴	logo,	o	desconto	terá	sido	de	20%.
04. PUC-SP
Descontos	sucessivos	de	20%	e	30%	são	equi-
valentes a um único desconto de:
a. 25%
b. 26%
c. 44%
d. 45%
e. 50%	
Resolução
V V
V V V
V
D
D
D
=
  ⋅   ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅
=
1
20
100
1
30
100
0 8 0 7 0 56
0 56
– –
, , ,
, VV V=   ⋅1
44
100
–
Assim,	o	valor	do	desconto	é	de	44%.
 
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
30
Matemáti	ca
CAPÍTULO 05 MÚLTIPLOS E DIVISORES
1. Conceitos básicos
A. Números naturais
Os números 0, 1, 2, 3, ... formam o conjunto 
dos números naturais, que é representado 
pelo símbolo . 
Assim:
 = {0, 1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos números naturais 
não nulos por *.
Assim:
* = (1, 2, 3, ...} = N – {0}
B. Números inteiros
Os números..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... formam 
o conjunto dos números inteiros, que é repres-
sentado pelo símbolo ¢. Assim:
¢ = {..., –3, –2, –1, 2, 3,...}
Representamos o conjunto dos números intei-
ros não nulos por ¢*.
Assim sendo:
¢* = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Observemos algumas outras notações:
•	¢ +: conjunto dos inteiros não negativos:
¢ + = (0, 1, 2, 3, ...} = 
•	¢–: conjunto dos inteiros não positivos:
¢– = {..., –3, –2, –1, 0}
•		¢ *+ : conjunto dos inteiros positivos:
¢ *+ = {1, 2, 3, ...} = *
•	¢*– : conjunto dos inteiros negativos:
¢*– : {..., –3, –2, –1}.
C. Divisor de um número inteiro
Dados dois números inteiros, d e n, d é um di-
visor ou fator de n se existir um número intei-
ro k, satisfazendo: n = k · d.
Exemplos
1. 2 é um divisor de 6, pois 2 · 3 = 6. Nesse 
caso, 3 seria o valor de k.
2. 5 é um fator de –35, pois 5 · (–7) = – 35, 
nesse caso, –7 seria o valor de k.
3. Zero é divisor de zero, pois 0 · (k) = 0, 
para qualquer valor inteiro de k.
No entanto, 0(zero) não é divisor de 5, pois 
não existe um inteiro k, tal que:
0 · k = 5
Observemos que 1 é divisor de qualquer 
número inteiro k, pois sempre vai existir um 
número inteiro k tal que:
1 · k = k
Indicaremos por D (n) todos os divisores inteiros 
do número inteiro n.
Observemos algumas outras notações:
•	D*+ (n): divisores inteiros positivos (ou natu-
rais) do número inteiro n.
•	D*– ( n) : divisores inteiros negativos do nú-
mero inteiro n.
Observação: Sendo n não nulo
D*+ (n) = D* (n) = D*+ (n) = D+ + (n) e D* (n) e D*– (n) e D* (n) = D (n) e D* (n) = D (n) e D*– (n) = D– (n) e D*– (n) e D* (n) = D (n) e D*– (n) e D* – (n)– (n)– 
D. Múlti	plos	de	um	número	inteiro
Dados dois números inteiros d e n, n é um 
múltiplo de d se existir um número inteiro k, 
satisfazendo: n = k · d.
1. 35 é múltiplo de 5, pois 35 = 7 · 5. Nesse 
caso, 7 seria o valor de k.
2. –	38	é	múltiplo	de	2,	pois	–	38	=	–	19	·	2.	
Nesse	caso,	–	19	seria	o	valor	de	k.
3. Zero é múltiplo de qualquer número in-
teiro d, pois 0 = 0 · (d), para qualquer 
valor inteiro de d.
Indicaremos por M(d) todos os múltiplos 
inteiros do número inteiro.
Observemos algumas outras notações:
•	 M+(d): múltiplos inteiros não negativos 
(ou naturais) do número inteiro d.
•	 M– (d): múltiplos inteiros não positivos 
do número inteiro d.
•	 M*+ (d): múltiplos inteiros positivos do 
número inteiro d.
•	 M*+ (d): múltiplos inteiros negativos do 
número inteiro d.
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
31
Matemáti	ca
E. Paridade de números inteiros
Dizemos que um número inteiro a é par se, e 
somente se, a ∈M(2). Sendo, então, a um múl-
tiplo de 2, temos que a forma geral de apre-
sentarmos um número par é:
a = 2k, em que k ∈ ¢
Dizemos que um número inteiro b é ímpar se, 
e somente se, b ∉ M(2). A forma geral de apre-
sentarmos um número ímpar é:
b = 2k + 1, em que k ∈ ¢
F. Números primos e compostos
Um número inteiro é dito número primo quando 
na sua relação de divisores inteiros tivermos 
apenas quatro divisores.
p é primo ⇔ n [D(p)] = 4
Um número inteiro é dito número composto 
quando na sua relação de divisores inteiros ti-
vermos mais de quatro divisores.
a é composto ⇔ n [D(a)] ≥ = 4.
Para reconhecermos se um número é primo, 
devemos dividir este número, sucessivamente, 
pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... 
até obtermos um quociente x menor ou igual 
ao divisor. Se até então não tivermos obtido 
divisão exata, dizemos que o número é primo.
Exemplos
a) Reconhecer se o número 673 é primo.
 
673 2
1 336
 
673 3
1 224
 
673 5
3 134
 
673 7
1 96
 
673 13
2 61
 
673 13
10 51
 
673 17
10 39
 
673 19
8 35
 
673 23
6 29
 
673 29
6 23
Na última divisão, o quociente já é menor que 
o divisor e ainda não obtivemos divisão exata, 
portanto o 673 é um número primo.
Observações importantes
1) Os números –1, 0 e 1 não são classi-
ficados nem como primo nem como 
número composto.
2) Todo número composto pode ser fa-
torado ou decomposto num produto 
de fatores primos.
G. Divisibilidade	aritméti	ca
Podemos verificar quando um número é divisí-
vel por outro efetuando a operação de divisão. 
Existem, porém, critérios que nos permitem 
reconhecer a divisibilidade entre dois núme-
ros sem que façamos a divisão. Tais critérios se 
aplicam aos principais e mais usados divisores, 
como observaremos a seguir:
•	 divisibilidade por 2: um número é divi-
sível por 2 quando for par.
•	 divisibilidade por 3: um número é 
divisível por 3 quando a soma dos 
algarismos que o formam resultar em 
um número múltiplo de 3.
Exemplos
3.210 é divisível por 2, pois é par, e também é 
divisível por 3, pois a soma dos algarismos 
3 + 2 + 1 + 0 = 6 é divisível por 3.
•	 divisibilidade por 4: um número é divi-
sível por 4 quando o número formado 
pelos seus dois últimos algarismos da 
direita for divisível por 4.
Exemplo
1.840 é divisível por 4, pois os dois últimos al-
garismos, 40, é divisível por 4.
•	 divisibilidade por 5: um número é divi-
sível por 5 quando o seu algarismo da 
unidade for zero ou cinco.
•	 divisibilidade por 6: um número é divi-
sível por 6 quando for divisível, separa-
damente, por 2 e por 3.
•	 divisibilidade por 8: um número é divi-
sível por 8 quando o número formado 
pelos	três	últimos	algarismos	da	direita	
for divisívelpor 8.
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
32
Matemáti	ca
Exemplo
35.712 é divisível por 8, pois 712 é divisível por 8.
•	 divisibilidade por 9: um número é di-
visível	por	9	quando	a	soma	dos	alga-
rismos que o formam resultar em um 
número	múltiplo	de	9.
Exemplo
18.711 é divisível por 9, pois: 
 1	+	8	+	7	+	1	+	1	=	18	é	múltiplo	de	9.
•	 divisibilidade por 10: um número é 
divisível por 10 quando o seu algarismo 
da unidade for zero.
•	 divisibilidade por 11: um número é 
divisível por 11 quando a diferença entre as 
somas dos valores absolutos dos alga-
rismos de posição ímpar e a dos algaris-
mos de posição par for divisível por 11. 
Exemplo
 83.765 é divisível por 11, pois a diferença 
da soma dos algarismos de posição 
ímpar (5 + 7 + 8 = 20) e a soma dos 
algarismos	de	posição	par	(3	+	6	=	9)	é	
um número divisível por 11.
• divisibilidade por 12: um número é 
divisível por 12 quando for divisível, 
separadamente, por 3 e por 4.
H. Fatoração numérica
Todo número composto pode ser decomposto 
ou fatorado num produto de números primos. 
Assim,	por	exemplo,	o	número	90,	que	não	é	
primo, pode ser decomposto como:
90	=	2	·	45
O número 45, por sua vez, sendo composto, 
pode ser fatorado na forma:
45 = 3 · 15
Dessa forma, poderíamos apresentar o núme-
ro	90	com	uma	fatoração:
90	=	2	·	3	·	15
Sendo o número 15 também um número com-
posto, podemos apresentá-lo através do se-
guinte produto:
15 = 3 · 5
Teremos, finalmente, a fatoração completa do 
número	90:
90	=	2	·	3	·	3	·	5
Como procedimento geral, podemos estabe-
lecer uma regra para a decomposição de um 
número natural em fatores primos.
Regra
Para decompormos um número natural em 
fatores primos, dividimos o número dado 
pelo seu menor divisor primo; dividimos o 
quociente obtido pelo seu menor divisor 
primo e procedemos da mesma maneira 
com os demais quocientes obtidos até che-
garmos a um quociente igual a 1. O produto 
indicado de todos os fatores primos obtidos 
representa o número fatorado.
Exemplos
90
45
15
5
1
2
3
3
5
 
300
150
75
25
5
1
2
2
3
5
5
 
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3
90	=	2	·	32 · 5 300 = 22 · 3 · 52 72 = 23 · 32
I. Número de divisores de 
um número natural
Determinação dos divisores naturais do 
número 20
Decomposição prima do número 20: 20 = 22 · 5
Divisores de 20:
20 · 50 = 1
20 · 51 = 5
21 · 50 = 2
21 · 51 = 10
22 · 50 = 4
22 · 51 = 20
D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20}
Observação: É possível provar que:
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
33
Matemáti	ca
Regra
O número de divisores naturais de um nú-
mero natural N é igual ao produto dos ex-
poentes dos seus fatores primos aumenta-
do, cada expoente, do número 1.
Assim, se N = aα · bβ · cγ, com a, b e c primos, γ, com a, b e c primos, γ
temos:
n[D+ (N)] = (α + 1) · (β + 1) · (γ + 1)
Exemplo
Determinar os divisores naturais do número 
natural 60.
60
30
15
5
1
2
2
3
5
1
2 60
4
3 6 12
5 10 20 15 30 60
60 1 2 3 4
D
D
+
+ =
( )
, ,
, , , , ,
( ) { , , , ,, , , , , , , , }5 6 10 12 15 20 30 60
2. Propriedades
Os múltiplos e os divisores dos números na-
turais apresentam algumas propriedades que 
nos são muito úteis e que passaremos a estu-
dar a seguir.
•	 Propriedade 1
Exemplo
No exemplo anterior, n[D(20)] = (2 + 1) · (1 + 1) = 6
Como observação, podemos estabelecer que 
o número de divisores inteiros de um número 
natural é o dobro do número de divisores na-
turais, pois a cada divisor natural existem dois 
divisores inteiros: um positivo e o oposto .
Assim: n[D(N)] = 2 · n[D+ (N)]
Exemplo
Consideremos: 60 = 22 · 31 · 51
Temos que o número de divisores naturais de 
60 é:
n[D+(60)] = (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 12
Temos que, a partir desse resultado, o número 
de divisores inteiros de 60 é:
n[D(60)] = 2 · n[D+(60)] = 2 · 12 = 24
J. Determinação dos divisores 
de um número natural
Regra
Para estabelecermos os divisores de um 
número natural, inicialmente, devemos de-
compor o número em fatores primos e, à 
direita dessa fatoração, passamos um traço 
vertical. A seguir, colocamos ao lado direito 
do traço e acima do primeiro fator o número 
1. Os demais divisores do número dado são 
obtidos a partir da unidade, multiplicando-se 
cada um dos fatores primos que estão à es-
querda do traço pelos números que estão à 
direita e situados acima dele, evitando-se as 
repetições.
Se um número natural P dividido por um nú-
mero natural d deixa resto r, então (P – r) é 
múltiplo de d.
Justificativa
P d
r q P d q r P r d q⇒ = ⋅ + ⇒ = ⋅–
Portanto, (P – r) é múltiplo de d.
Exemplo
45 6
3 7 45 3 42⇒ =– que é, de fato, um 
múltiplo do divisor 6.
•	 Propriedade 2
Se um número natural P dividido por um nú-
mero natural d deixa resto r, então P + (d – r) 
é um múltiplo de d.
Justificativa
P d P d q r igualdade I
r q
⇒ = ⋅ + ( )
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
34
Matemáti	ca
Adicionando-se (d – r) aos dois membros da 
igualdade I, teremos:
P + (d – r) = d · q + r + (d – r)
P + (d – r) = d · q + d
Assim:
P + (d – r) = d · (q + 1)
Portanto, P + (d – r) é um múltiplo de d.
Exemplo
45 6 45 6 3 48
3 7
⇒ + =( )– , que é, de fato, um 
múltiplo do divisor 6.
•	 Propriedade 3
Se um número A é múltiplo de um número 
B, então o número A será múltiplo de todos 
os divisores de B.
Justificativa
Sendo A um múltiplo de B, temos que:
A = k · B, onde k ∈ ¢ (I).
Sendo d um divisor qualquer de B, temos que:
B = k1 · d, em que k1 ∈ ¢ (II)
Substituindo (II) em (I), temos:
A = k · k1 · d, em que k · k1 ∈ ¢
Portanto, A é um múltiplo de d.
Exemplo
O número 40 é múltiplo de 20, pois 40 = 20 · 2.
Os divisores naturais de 20 são: 1; 2; 4; 5; 10 
e 20.
O número 40 também é múltiplo dos divisores 
de 20.
•	 Propriedade 4
Para um conjunto com n números naturais 
não nulos consecutivos, um deles é múltiplo 
de n.
Justificativa
Consideremos	a	sequência	dos	números	natu-
rais não nulos:
1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,	12,	13,	14,	15,	16,...
Observemos que os múltiplos do número 3 
aparecem	de	 três	em	 três	nesta	 sequência	 e	
que,	 portanto,	 qualquer	 conjunto	 com	 três	
números consecutivos vai apresentar, neces-
sariamente, um múltiplo de 3.
Podemos extrapolar a ideia para todos os nú-
meros naturais, confirmando a propriedade.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. 
Dado o número inteiro 60:
a. decomponha-o em fatores primos;
b. determine o seu número de divisores 
naturais;
c. determine o seu número de divisores 
inteiros;
d. determine todos os seus divisores na-
turais;
e. determine todos os seus divisores inteiros.
Resolução
a. 60
30
15
5
1
2
2
3
5
∴ 60 = 22 · 3 · 5
b. D(60) = (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12
c. D(60) = 12 ·2 = 24
d. 1
60 2 2
30 2 4
15 3 3, 6, 12
5 5 5, 10, 20, 15, 30, 60
1
 
D+(60) ={1, 2, 4, 3, 6, 5, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
e. D(60) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, 
±15, ±20, ±30, ±60}
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
35
Matemáti	ca
02. UEPB
Se k é um número inteiro positivo, então o 
conjunto A formado pelos elementos k2 + k é, 
necessariamente:
a. o conjunto dos inteiros não negativos.
b. um conjunto de múltiplos de 3.
c. um conjunto de números ímpares.
d. um conjunto de números primos.
e. um conjunto de múltiplos de 2.
Resolução
k2 + k = k(k + 1)
Número par para qualquer k.
Resposta
E
03. 
Mostre que se a divisão de um número natural 
n, com n positivo, por 5, dá resto 1, então 
(n – 1) · (n + 4) é múltiplo de 25.
Resolução
Sabemos que: n n q
q
5 5 1
1
⇒ = ⋅ +
Pelas propriedades dos divisores:
•	n	–	1	é	múltiplo	de	5	 				n	–	1	=	5	K1 (1)
•	n	+	(5	–	1)	é	múltiplo	de	5			n	+	4	=	5	K2 (2)
Multiplicando 1 por 2:(n – 1) (n + 4) = 5 K1 · 5 K2
(n – 1) (n + 4) = 25 K1 · K2
K1 · K2 = K ∈ ¢
Logo, (n – 1) (n + 4) = 25 K
Assim, (n – 1) (n + 4) é múltiplo de 25.
04. UEPE
O número N = 63 ·104 · 15x, sendo x um inteiro 
positivo, admite 240 divisores inteiros e posi-
tivos. Indique x.
Resolução
A fatoração em primos de N é:
27 · 33+x · 54+x, logo seu número de divisores é 
8(4 + x)(5 + x) = 240.
Segue que (4+x)(5+x) = 30 
⇒ 20 + 4x + 5x + x2 = 30
⇒ x2	+	9x	+	10	=	m0
∴ x = 1 ou x = – 10 (não convém)
Resposta
x = 1
05. Fuvest-SP
Um	 número	 natural	 N	 tem	 três	 algarismos.	
Quando	dele	subtraímos	396,	resulta	o	número	
que é obtido invertendo-se a ordem dos algaris-
mos de N. Se, além disso, a soma do algarismo 
das centenas e do algarismo das unidades de N é 
igual a 8, então o algarismo das centenas de N é:
a. 4
b. 5
c. 6
d. 7
e. 8
Resolução
N abc
abc cba
a b c c b a
a c
a c
a
=
− =
+ + − = + +
− =
− =
396
100 10 396 100 10
99 99 396
4
++ =

=
=
c
a
c
8
6
2
Resposta
C
3. Máximo divisor comum
O máximo divisor comum (MDC) de dois ou mais 
números é o maior número, que é divisor comum 
de todos os números dados.
Matemáti ca básica
PV
-1
3-
11
36
Matemáti	ca
Podemos	estabelecer	uma	 sequência	de	eta-
pas até determinarmos o valor do máximo di-
visor comum de dois ou mais números como 
veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18)	=	{1,	2,	3,	6,	9,	18}
2. O número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Podemos descrever, agora, os divisores 
comuns a 18 e 24:
D+ (18) ∩ D+ (24) = {1, 2, 3, 6}
Observando os divisores comuns, podemos 
identificar o maior divisor comum dos números 
18 e 24, ou seja:
MDC (18, 24) = 6
4. Mínimo múlti plo comum
O mínimo múltiplo comum (MMC) de dois 
ou mais números é o menor número posi-
tivo que é múltiplo comum de todos os nú-
meros dados.
Podemos	estabelecer	uma	 sequência	de	eta-
pas até determinarmos o valor do mínimo 
múltiplo comum de dois ou mais números, 
como veremos a seguir, num exemplo.
Consideremos:
1. O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,...}
2. O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = (8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos posi-
tivos comuns:
M*+ (6) ∩ M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos 
identificar o mínimo múltiplo comum dos nú-
meros 6 e 8, ou seja: MMC (6, 8) = 24.
1) O máximo divisor comum (MDC) dos 
núneros é o produto de todos os fatores 
comuns às fatorações com os menores 
expoentes com os quais eles se apresentam 
nas suas respectivas decomposições.
2) O mínimo múltiplo comum (MMC) dos 
números é o produto de todos os fatores 
existentes nas decomposições, comuns ou 
não, considerados com os maiores ex-
poentes com os quais eles se apresentam 
nas suas respectivas decomposições.
Exemplo
Consideremos os números A, B e C já fatorados:
A = 23 · 3 · 52
B = 22 · 5 · 7
C = 24 · 32 · 53
Teremos que:
MDC (A, B, C) = 22 · 5 e MMC (A, B, C) = 24 · 32 · 53 · 7
6. MMC e MDC pelo método 
da fatoração simultânea
Podemos determinar o MDC e o MMC de dois 
ou mais números pelo uso de um procedimen-
to	que	prevê	a	fatoração	simultânea de todos 
os números dados.
Para este procedimento, inicialmente, decom-
pomos, simultaneamente, os números, divi-
dindo sucessivamente pelo menor fator primo 
e, no caso de algum número ou quociente não 
ser divisível pelo fator primo, o número deve 
ser repetido no algoritmo. Obtemos o MMC 
multiplicando todos os fatores primos da de-
composição.
Podemos, à medida que efetuamos fatoração 
simultânea, ir assinalando quais são os farores 
primos que dividem, ao mesmo tempo, todos 
os números ou quocientes. Obtemos o MDC 
multiplicando todos esses fatores assinalados.
5. MDC e MMC pelo método 
da decomposição isolada
Para determinarmos o MDC e o MMC de vários 
números, devemos colocar todos os números 
na forma fatorada. Após esse procedimento, 
podemos estabelecer:
PV
-1
3-
11
Matemáti ca básica
37
Matemáti	ca
Exemplo
Consideremos os números 2.520 e 2.700:
2 520 2 700
1 260 1 350
630 375
315 675
105 225
35 75
35 25
7 5
7
. , .
. , .
,
,
,
,
,
,
,11
1 1
2
2
2
3
3
3
5
5
7
,
*
*
*
*
*
Teremos que:
MDC (2.700, 2.520) = 22 · 32 · 5 e
MMC (2.700, 2.520) = 23 · 33 · 52 · 7
7. MDC pelo método das 
divisões sucessivas
A determinação do MDC pelo método das 
divisões sucessivas é um processo desenvol-
vido por Euclides e consiste, basicamente, 
em dividir o número maior pelo número me-
nor. Se a divisão for exata, o MDC será o me-
nor número. Porém, caso a divisão apresente 
resto diferente de zero, deveremos dividir o 
menor número pelo resto e, assim, sucessiva-
mente, até chegarmos a uma divisão exata. O 
último divisor será o MDC dos números.
Exemplos
a) Determinar o MDC dos números 252 e 
140.
1 1 4
252 140 112 28
112 28 0
quocientes
restos
MDC (252, 140) = 28
b) Determinar o MDC dos números 330, 
210 e 165. Tomemos, inicialmente, os 
dois maiores números:
1 1 1 3
330 210 120 90 30
120 90 30 0
MDC (330, 210) = 30
Posteriormente, tomamos o terceiro número 
com o MDC dos dois primeiros:
5 2
165 30 15
15 0
MDC (330, 210, 165) = 15
8. Propriedades do MDC e do MMC
•	 Propriedade 1
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
Justificativa
Consideremos os números A e B decompostos 
em fatores primos:
A a b c p e
B a b c p
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅
α β γ ε
α β γ δ
1 1 1
2 2 2 2
1
Para o cálculo do MDC (A, B), tomamos os 
fatores comuns com os menores expoentes; 
para o cálculo do MMC (A, B), tomamos to-
dos os fatores comuns ou não comuns com os 
maiores expoentes. Vamos considerar o caso 
do fator a:
α1 < α2, teremos α1 no MDC e α2 no MMC.
α1 > α2, teremos α1 no MMC e α2 no MDC.
No produto A · B, o fator a terá expoente 
(α1 + α2). No produto MDC (A, B) · MMC (A, B), 
o fator a também terá expoente (α1 + α2). 
Fazendo a mesma consideração para todos os 
outros fatores primos, verificaremos que os 
mesmos fatores, com os mesmos expoentes, 
que compõem o produto dos números A e B, 
compõem, também, o produto do MDC e o 
MMC desses números e, portanto:
MDC (A, B) · MMC (A, B) = A · B
•	 Propriedade 2
MDC (k · A, k · B) = k · MDC (A, B)
•	 Propriedade 3
MMC (k · A, k · B) = k · MMC (A, B)
Matemática básica
PV
-1
3-
11
38
Matemática
•	 Propriedade 4
Os divisores comuns de dois ou mais números 
naturais são os divisores do MDC desses números.
•	 Propriedade 5
Os múltiplos comuns de dois ou mais números 
naturais são os múltiplos do MMC desses números.
•	 Propriedade 6
Dois números são considerados primos entre 
si se o MDC deles é igual a 1.
Os números 5 e 7 são primos entre si, bem 
como	4	e	9,	pois	MDC	(5,	7)	=	1	e	MDC	(4,	9)	=	1.	
Notemos que, para que os números sejam primos 
entre si, não é necessário que eles sejam primos.
•	 Propriedade 7
Dois números naturais consecutivos são, sem-
pre, primos entre si.
•	 Propriedade 8
Para os dois números primos entre si, o MMC 
é o produto deles.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01. Unisul-SC 
Num	 painel	 de	 propaganda,	 três	 luminosos	 se	
acendem em intervalos regulares: o primeiro a 
cada 12 segundos, o segundo a cada 18 segun-
dos e o terceiro a cada 30 segundos. Se, em um 
dado	instante,	os	três	se	acenderem	ao	mesmo	
tempo, os luminosos voltarão a se acender, si-
multaneamente, depois de:
a. 2 minutos e 30 segundos.
b. 3 minutos.
c. 2 minutos.
d. 1 minuto e 30 segundos.
e. 36 segundos.
Resolução
Os luminosos se acendem simultaneamente 
em um tempo múltiplo dos intervalos, pela 
primeiravez no menor múltiplo .
mmc(12, 30, 18) = 180 s = 3 min
Resposta
B
02. 
Os restos das divisões de 247 e de 315 por x são 
7 e 3, respectivamente. Os restos das divisões 
de 167 e de 213 por y são 5 e 3, respectivamente. 
O maior valor possível para a soma x + y é:
a. 36
b. 34
c. 30
d. 25
e. 48
Resolução
247 – 7 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 240.
315 – 3 é múltiplo de x ⇒ x é divisor de 312.
O número x é o maior divisor comum de 240 e de 
312.
240 2 3 5
312 2 3 13
240 312 2 3 24 24
4
3
3
=
=

⇒ ( ) = = ∴ =. .
. .
, .mdc x
167 – 5 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 162
213 – 3 é múltiplo de y ⇒ y é divisor de 210
O número y é o maior divisor comum de 162 e de 210.
162 2 3
210 2 3 5 7
160 210 2 3 6 6
4
=
=
 ⇒ ( ) = = ∴ =
.
. . .
, .mdc y
Assim, o valor máximo de x + y é 30.
Resposta
C
03. Unicamp-SP
Uma sala retangular medindo 3 m por 4,25 m 
deve ser ladrilhada com ladrilhos quadrados 
iguais. Supondo que não haja espaço entre la-
drilhos vizinhos, pergunta-se:
a. Qual deve ser a dimensão máxima, em 
centímetros, de cada um desses ladri-
lhos para que a sala possa ser ladrilha-
da sem cortar nenhum ladrilho?
b. Quantos desses mesmos ladrilhos são 
necessários?
Resolução
Sala: 300 cm x 425 cm
a. Seja n o lado do ladrilho
 n = mdc (300, 425) ∴ n = 25 cm
b. No lado de 425 cm : 425 ÷ 25 = 17
 No lado de 300 cm : 300 ÷ 25 = 12
 Número de ladrilhos: 17 · 12 = 204 ladrilhos
Resposta
a. 15 cm
b. 204 ladrilhos
PV
-1
3-
11
Matemática básica
39
Matemática
1. Introdução
Observemos as igualdades abaixo:
I. 4 + 7 = 10
II. 4 + 7 = 11
III. 4 + x = 7
As duas primeiras igualdades são sentenças 
matemáticas fechadas, uma vez que cada uma 
delas admite uma, e somente uma, das se-
guintes classificações: FALSA ou VERDADEIRA. 
No caso acima, a sentença (I) é FALSA e a (II) é 
VERDADEIRA.
A igualdade (III) é uma sentença matemática 
aberta, pois não podemos classificá-la como 
FALSA ou VERDADEIRA, porque não sabe-
mos o valor que a letra x representa. Na sen-
tença matemática aberta, o ente matemáti-
co desconhecido, geralmente representado 
por uma letra, recebe o nome de incógnita, 
ou variável. Dependendo do valor que se 
atribui à incógnita em uma sentença aberta, 
pode-se obter uma sentença FALSA ou VER-
DADEIRA. Por exemplo, em (III), se atribuir-
mos o valor 3 para a letra x, teremos uma 
sentença VERDADEIRA, mas, se atribuirmos 
o valor 4, teremos uma sentença FALSA.
2. Equação matemática
As sentenças matemáticas abertas com uma 
ou mais incógnitas são denominadas equa-
ções matemáticas.
Exemplos de equações matemáticas:
01. 2x + 10 = 0
02. x2 + 1 = 0
03. x + x = 2
04. 
1
x + 1 = 1
05. x2 – 11x + 28 = 0
06. 0 · x = 1
07. 2x = 4
08. 0 · x = 0
3. Raiz (ou solução) de uma equação
É o número do conjunto universo que, quando 
colocado no lugar da incógnita, transforma a 
sentença matemática aberta em uma sen-
tença matemática fechada verdadeira. De 
maneira prática, podemos dizer que raiz é o 
número que, substituído no lugar da incógni-
ta,	“torna”	a	igualdade	verdadeira.
Observação – Conjunto universo de uma 
equação é o conjunto constituído dos possí-
veis valores que a incógnita pode assumir.
Exemplo 1 – Observe a equação 2x + 10 = 0 de-
finida em .
a. O conjunto universo é o conjunto , 
conjunto dos números reais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação 
2x + 10 = 0, teremos 2(– 5) + 10 = 0, 
que é uma igualdade verdadeira. Dize-
mos, então, que – 5 é raiz da equação.
c. O número 5, mesmo sendo um elemen-
to pertencente ao conjunto universo, 
não é solução da equação 2x + 10 = 0, 
pois 2(5) + 10 = 0 é falsa.
Exemplo 2 – Observe a equação 2x + 10 = 0 de-
finida em .
a. O conjunto universo é o conjunto , 
conjunto dos números naturais.
b. Se substituirmos x por – 5 na equação 
2x + 10 = 0, teremos: 2(– 5) + 10 = 0, que 
é uma igualdade verdadeira, mas – 5 não 
é raiz da equação, pois o número – 5 não 
é elemento pertencente ao conjunto .
4. Resolução de equações
Encontrar todas as raízes (ou soluções) da equa-
ção e representá-las em um conjunto denomi-
nado conjunto solução.
Ao resolver uma equação, é preciso estar aten-
to ao conjunto universo em que está definida 
a equação.
CAPÍTULO 06 EQUAÇÕES
Matemática básica
PV
-1
3-
11
40
Matemática
5. Equações equivalentes
São aquelas que possuem as mesmas raízes, 
isto é, o mesmo conjunto solução, no mesmo 
universo.
Exemplo
As equações 2x + 10 = 0 e x + 5 = 0 são equi-
valentes, pois ambas possuem uma única raiz, 
que é –5.
Os teoremas a seguir permitem transformar 
uma equação em outra equação equivalente.
T1. Adicionar (subtrair) um mesmo número, do 
conjunto universo, em ambos os membros da 
igualdade.
a = b ⇔ a + c = b + c ou a = b ⇔ a – c = b – c
T2. Multiplicar (dividir) um mesmo número dife-
rente de zero, do conjunto universo, em ambos 
os membros da igualdade.
a = b ⇔ a · c = b · c ou a = b ⇔ 
a
c
b
c=
Exemplo 
Observe a equação 2x + 10 = 0 definida em .
Considere os procedimentos a seguir:
2x + 10 = 0
2x + 10 = 0 (vamos subtrair 10 dos dois mem-
bros da igualdade, T1.) 
2x + 10 – 10 = 0 – 10)
2x = – 10 (agora, vamos dividir os membros da 
igualdade por 2, T2)
2
2
10
2
x
=
–
x = – 5
Pelo teorema T1, a equação 2x + 10 = 0 é equi-
valente à equação 2x = – 10 e, pelo teorema T2, 
esta é equivalente à equação x = – 5. Assim, 
podemos	dizer	que	as	três	equações	são	equi-
valentes entre si, sendo que a última é a mais 
simples e nos leva à solução. O uso de teore-
mas	de	equivalência	é	de	grande	auxílio	na	re-
solução de equações matemáticas.
6. Equação do 1º grau
Observando os oito exemplos de equações ci-
tados anteriormente, percebemos que há di-
versos tipos distintos de equações, por isso é 
preciso organizar as equações em grupos com 
características semelhantes.
O primeiro grupo que iremos organizar para 
estudo é o das equações do 1º grau.
Denominamos equação do 1º grau em , na 
incógnita x, toda equação que pode ser escrita 
na forma ax + b = 0, com a	≠	0,	a	∈ e b ∈. 
Dentre os oito exemplos de equações citados 
anteriormente, apenas a primeira equação é 
do 1º grau, e comparando a forma geral 
ax + b = 0 com a equação 2x + 10 = 0, verifica-
mos que a = 2 e b = 10.
Observe que a 6ª e a 8ª equações, embora 
possam ser escritas na forma ax + b = 0, não 
são equações do 1º grau, pois a = 0.
Os dois teoremas citados anteriormente nos 
auxiliam na resolução de equações do 1º grau. 
Observe:
Forma geral: ax + b = 0
(T1) Subtraindo b dos dois membros da 
igualdade: ax + b – b = 0 – b
Equação equivalente: ax = – b
(T2) Dividindo os dois membros por a: 
ax
a
b
a
=
–
Equação equivalente: x = – 
b
a (descobrimos o valor do x)
S =
b
a–
7. Problemas matemáticos
Proposição a ser resolvida a partir dos dados 
do problema, os quais são informações conti-
das no enunciado da questão de forma explí-
cita ou implícita. Um problema matemático 
pode ter uma solução, mais de uma solução 
ou não ter solução.
Para resolver um problema matemático, preci-
samos encontrar todos os possíveis valores das 
incógnitas propostas no enunciado da questão.
8. Passos para resolver um problema 
matemático
01. Equacionar o problema (organizar os 
dados da questão em uma ou mais 
equações matemáticas).
PV
-1
3-
11
Matemática básica
41
Matemática
02. Resolver as equações.
03. Analisar os resultados encontrados 
avaliando se algum serve, se todos ser-
vem ou se nenhum deles serve.
04. Apresentar a resposta final.
Exemplo
A soma das idades de dois irmãos é 30. A idade 
do mais velho excede a idade do mais novo em 
10 anos. Quais são as idades dos irmãos?
Podemos organizar os dados do problema em 
uma tabela, que é um artifício