Apostila Digital I Profº Vasco

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FACULDADE DE TECNOLOGIA 
DE SANTO ANDRÉ 
Curso de Autotrônica 
Disciplina Eletrônica Digital I 
 
 
Professores Fabio Delatore / Luiz Vasco Puglia 29 
FA FA EC EC 
Mauá Mauá 
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Santo André 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Teoria 
 
Disciplina Eletrônica Digital I 
 
 
 
 
Curso de Autotrônica – FATEC Santo André/SP 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila Elaborada a partir da 
Bibliografia Básica do curso 
 
Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações 
Ronald J. TOCCI & Neal S. WIDMER 
8ª Edição – Editora Prentice Hall 
Capítulo 1 – Apresentação de Sistemas Digitais 
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1.1 – Introdução 
 
 No mundo atual, o termo digital tornou-se parte integrante do vocabulário 
do dia a dia. Atualmente, tem-se a transmissão de dados de internet ou telefonia 
através de linhas de fibra óptica, a transmissão dos canais de televisão é dada 
através de um sistema digital, as músicas que são reproduzidas atualmente em 
formato digital (MP3, DVD, CD, Blue Ray Disc, etc), enquanto antigamente 
utilizava-se fita cassete ou disco de vinil, entre outros. 
 Dessa forma, o estudo da eletrônica digital tornou-se um item de 
fundamental importância nos cursos técnicos, tecnológicos e nas engenharias. O 
objetivo desse capítulo é de apresentar alguns conceitos básicos e fundamentais 
para o estudo de eletrônica digital. 
 
 
1.2 – Representação Digital x Representação Analógica 
 
 Um sistema analógico contém dispositivos que podem manipular 
quantidades físicas que são representadas de forma analógica. Na representação 
analógica, o valor de uma quantidade é proporcional ao valor de uma grandeza que 
assume valores distintos ao logo do tempo. 
 Já no sistema digital, tem-se uma combinação de dispositivos projetados 
para lidar com informações lógicas ou com quantidades físicas representadas de 
forma digital. Na representação digital, os valores são representados por uma 
grandeza capaz de assumir dois valores distintos, chamados de níveis lógicos, que 
podem ser o nível lógico alto e o nível lógico baixo. 
 Uma crescente maioria das aplicações na eletrônica, bem como em muitas 
outras áreas, utilizam técnicas digitais para realizar operações anteriormente 
realizadas de forma analógica. As principais razões dessa mudança são: 
 
• Facilidade no projeto de sistemas digitais, que geralmente são mais simples 
que os sistemas analógicos; 
• Facilidade no armazenamento de informações; 
• Maior exatidão e precisão; 
• Possibilidade na programação das operações; 
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• Maior imunidade a ruídos do que os circuitos analógicos; 
• Possibilidade de alocação de vários circuitos digitais em um único circuito 
integrado. 
 
 
1.3 – O Sistema de Numeração Decimal (Base 10) 
 
 Muitos sistemas de numeração são usados na tecnologia digital, onde o mais 
comum deles talvez seja o sistema decimal. Ele é composto de 10 algarismos ou 
símbolos, onde através da combinação desses símbolos, é possível representar ou 
expressar qualquer quantidade. 
 O sistema decimal é também chamado de sistema de base 10, porque 
possui 10 dígitos e evoluiu naturalmente do fato das pessoas possuírem 10 dedos 
nas mãos. 
 O sistema decimal é um sistema de valor posicional, isto é, é um sistema no 
qual o valor do dígito depende de sua posição. Por exemplo, considerando o 
número 453, tem-se que o dígito 4 representa 4 centenas, o dígito 5 representa 5 
dezenas e o dígito 3 representa 3 unidades. Sendo assim, o dígito 4 é o que possui 
o maior peso entre os três e a partir desse momento e ao longo do curso, toda vez 
que desejar-se representar o maior peso de um dígito, será associado a esse dígito 
a nomenclatura MSD – Most Significant Digit, ou seja, digito mais significativo. Da 
mesma forma, o dígito 3 representa o menor peso entre os três dígitos, e, 
analogamente ao MSD, a representação do menor peso de um dígito, será 
associado a nomenclatura LSD – Least Significant Digit. 
 
 
1.4 – O Sistema de Numeração Binária (Base 2) 
 
 Infelizmente, o sistema de numeração decimal não é o sistema mais 
adequado para a utilização em sistemas digitais. Fica bastante óbvio falar isso, pois 
seriam necessários 10 níveis diferentes de tensão para conseguir representar a 
numeração binária. 
 Porém, o sistema de numeração binária utiliza apenas dois níveis lógicos 
para a sua representação (nível lógico alto e nível lógico baixo), o que é 
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perfeitamente possível de ser desenvolvido na prática e de uma forma muito mais 
fácil de ser obtido. 
 No sistema binário, existem apenas dois símbolos, como já comentado 
anteriormente, que são os dígitos 0 e 1. Ainda assim, é possível que qualquer outro 
sistema de numeração seja representado através do sistema binário, estudo esse 
que será desenvolvido no capítulo 2. 
 
 
1.5 – O Sistema de Numeração Octal (Base 8) 
 
 O sistema de numeração octal é um sistema de numeração muito 
importante no trabalho com computadores digitais. A sua base de representação é 
de 8 dígitos, ou seja, existem 8 diferentes possibilidades de representação. As 
posições dos dígitos em um número octal têm pesos como segue: 
 
84 83 82 81 80, 8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 
 
 O maior dígito possível em um sistema octal é 7, portanto os dígitos são 
incrementados de 0 a 7. Dessa forma, uma vez alcançado o 7, retorna-se para o 0 
na próxima contagem, provocando o incremento da próxima posição do dígito mais 
alto. Por exemplo: 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 100. 
 
 
1.6 – O Sistema de Numeração Hexadecimal (Base 16) 
 
 O sistema de numeração em hexadecimal utiliza a base 16, e da mesma 
forma como nos sistemas anteriores, possui 16 símbolos diferentes e possíveis para 
representações. Esse sistema utiliza os dígitos de 0 a 9, mais as letras A, B, C, D, E 
e F, que representam na verdade os valores decimais de 10 a 15. 
 Outra observação importante, e que será estudada com mais detalhes no 
capítulo 2, é que, cada dígito em hexadecimal é representado por um grupo de 
quatro dígitos binários. 
 
 
 
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1.7 – Integração entre Sistemas: Os conversores A/D e D/A 
 
 Uma grande desvantagem do sistema digital é que o mundo real é 
totalmente analógico, pois a maioria das grandezas e das quantidades físicas são 
originalmente analógicas (ex. temperatura, velocidade, pressão, tempo, etc). 
Sendo assim, como é possível existir a troca de informações entre sistemas digitais 
e sistemas analógicos ? 
 A resposta para a pergunta acima é respondida através da utilização do 
conversor analógico/digital (A/D) e do conversor digital/analógico (D/A). Em sua 
grande maioria, o processamento das informações é realizado no formato digital 
por computadores ou micro controladores, utilizando um sinal de entrada,geralmente analógico, proveniente de um sensor, que deve ser convertido para o 
formato digital. Daí a necessidade do conversor A/D. 
 Da mesma forma, quando os dados processados devem retornar ao processo 
de forma analógica, ou seja, da mesma forma em que foram obtidos. Daí a 
necessidade da utilização do conversor D/A para o fornecimento dos dados 
processados para o sistema. A Figura 1.1 ilustra o fato apresentado anteriormente, 
com a representação de um sistema de controle de temperatura. 
 
 
Figura 1.1 – Sistema de Controle de Temperatura 
Capítulo 2 – Sistemas de Numeração 
 
2.1 – Introdução 
 
O sistema de numeração é um item de fundamental importância para o 
aluno que está iniciando na eletrônica digital, assim como a lei de ohm é um dos 
itens mais importantes para o estudo na eletrônica analógica. 
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Sendo assim, iremos concentrar o nosso estudo nos sistemas de numeração 
mais utilizados em eletrônica digital, bem como as suas respectivas conversões. Os 
sistemas de numeração a ser estudados serão: 
 
• Sistema de numeração binário (base 2) 
• Sistema de numeração decimal (base 10) 
• Sistema de numeração hexadecimal (base 16) 
• Sistema de numeração octal (base 8) 
 
 O sistema decimal é utilizado por nós no dia-a-dia e é, sem dúvida, o mais 
importante dos sistemas numéricos. Trata-se de um sistema que possui dez 
algarismos, com os quis podemos formar qualquer número, através da lei de 
formação. 
 Já os outros sistemas (binário, o octal e hexadecimal) são muito importantes 
na área de técnicas digitais e computação. No decorrer do estudo, perceber-se-á a 
ligação existente entre circuitos lógicos e estes sistemas de numeração. 
Existe também a representação BCD, que é facilmente confundida com outro 
sistema de numeração, o que não é verdade. A representação BCD é muito similar 
a binária, porém com algumas resalvas. Na verdade, o código BCD é apenas uma 
representação decimal com cada dígito equivalente com o seu binário puro. O 
código binário puro considera o número decimal completo e o representa em 
binário. 
 Para facilitar o estudo ao logo do curso de sistemas digitais, e também no 
decorrer desse capítulo, a tabela 1.1 a seguir ilustra as diversas bases 
apresentadas, relacionando-as com a base decimal, que é a mais comum e utilizada 
no dia a dia. Observe o a representação da última coluna, que é a BCD, 
comparando-a com a binária. 
 
Tabela 2.1 – Representações Numéricas em Sistemas Digitais 
Decimal Binário Octal Hexadecimal BCD 
0 0000 0 0 0000 
1 0001 1 1 0001 
2 0010 2 2 0010 
3 0011 3 3 0011 
4 0100 4 4 0100 
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5 0101 5 5 0101 
6 0110 6 6 0110 
7 0111 7 7 0111 
8 1000 10 8 1000 
9 1001 11 9 1001 
10 1010 12 A 0001 0000 
11 1011 13 B 0001 0001 
12 1100 14 C 0001 0010 
13 1101 15 D 0001 0011 
14 1110 16 E 0001 0100 
15 1111 17 F 0001 0101 
 
 
2.2 – Conversões dos Sistemas Binário para Decimal e Decimal para 
Binário 
 
2.2.1 – A Conversão Binário para Decimal 
 
 O sistema de numeração binário é um sistema posicional em que cada dígito 
binário (bit) tem um certo peso de acordo com a sua posição relativa ao seu bit 
menos significativo (LSB – Less Significative Bit). Qualquer número binário pode 
ser convertido para o seu equivalente decimal simplesmente somando-se os pesos 
das várias posições que contiverem 1 no número binário. Veja o exemplo a seguir, 
onde deseja-se converter o número binário 11011 para decimal: 
 
4 3 2 1 0
11011
1 2 1 2 0 2 1 2 1 2 16 8 0 2 1 27
Binário
x x x x x Decimal
→
+ + + + = + + + + = →
 
 
2.2.2 – A Conversão Decimal para Binário 
 
 A forma mais utilizada para a conversão de números decimais para binário é 
a técnica da divisão sucessiva. Essa técnica utiliza divisões sucessivas por dois, que 
é a base de numeração do sistema binário. A conversão requer repetidas divisões 
por 2 até que o quociente obtido seja igual a zero. Para ilustrar, observe o exemplo 
a seguir, onde se deseja converter o número 25 no seu respectivo binário: 
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2.2.3– Faixas de Contagem 
 
 Quando são utilizados N bits para a representação de um número, é possível 
que sejam contados 2N decimais diferentes, variando desde 0 até 2N-1. Por 
exemplo, para N=4, é possível realizar contagens desde 00002 até 11112, ou seja, 
desde 010 até 1510, totalizando 16 números diferentes. 
 
 
2.3 – Conversões dos Sistemas Octal para Decimal, Decimal para 
Octal, Octal para Binário e Binário para Octal 
 
2.3.1 – A Conversão Octal para Decimal 
 
 Um número octal pode ser facilmente convertido para o seu equivalente 
decimal, multiplicando-se cada dígito pelo seu peso posicional. Observe os 
exemplos a seguir: 
 
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( )
8
2 1 0
10
8
1 0 1
10
372
3 8 7 8 2 8 3 64 7 8 2 1 250
24,6
2 8 4 8 6 8 2 8 4 1 ,6 0.125 20,75
Octal
x x x x x x Decimal
Octal
x x x x x x Decimal−
→
+ + = + + = →
→
+ + = + = →
 
 
2.3.2 – A Conversão Decimal para Octal 
 
 Novamente, assim como foi realizada a conversão de decimal para binário, 
utilizando a técnica de divisões inteiras sucessivas, a conversão decimal para octal 
utilizará da mesma técnica, porém ao invés da divisão sucessiva por 2, será 
utilizada a divisão sucessiva por 8, como é possível de observar no exemplo a 
seguir. Observe que o primeiro resto se torna o dígito menos significativo do 
número octal, enquanto o último resto se torna o dígito mais significativo do 
número octal. 
 
 
 
Observação Importante: ao utilizar uma calculadora para facilitar os cálculos, o 
resultado apresentado será um número fracionário, e não um número inteiro com 
um resto. O resto pode ser obtido, multiplicando apenas a parte fracionária por 8, 
que é a base da conversão. No exemplo acima, dividindo 266 por 8, tem-se como 
resultado 33,25. Dessa forma, o resto é igual a 0,25 x 8, igualando a 2. 
Analogamente, 33 dividido por 8, tem-se 4,125 e o resto é obtido através da 
multiplicação de 0,125 x 8, encontrando como resposta 1. 
 
2.3.3 – A Conversão Octal para Binário 
 
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 Uma grande vantagem da utilização do sistema de numeração octal é a 
facilidade com que as conversões podem ser feitas entre os números binários e 
octais. A conversão de octal para binário é realizada convertendo-se CADA dígito 
octal nos três bits binários equivalentes. Dessa forma, é possível obter oito grupos 
de três bits cada um, para a representação de todos os dígitos octais em binário, 
conforme a Tabela 2.2 a seguir ilustra: 
 
Tabela 2.2– Representação Octal e o Correspondente em Binário 
Dígito Octal 0 1 2 3 4 5 6 7 
Equivalente Binário 000 001 010 011 100 101 110 111 
 
 
Exemplo: deseja-se converter o número 4728 para binário, utilizando os calores 
correspondentes apresentados pela Tabela 2.2: 
 
 
 
2.3.4 – A Conversão Binário para Octal 
 
 A conversão de números binários para octal é realizada simplesmente 
realizando o processo anterior de forma inversa, ou seja, os bits do número binário 
são agrupados em grupos de três bits, iniciando-se pelo LSB. Dessa forma, cada 
grupo é convertido para o seu equivalente em octal, usando novamente a Tabela 
2.2 como ferramenta de apoio as conversões. Caso o número binário não possua 
grupos completos de três bits, basta que seja adicionado um ou dois zeros a 
esquerda do bit mais significativo (MSB) do número binário para preencher o último 
grupo. Observe os exemplos a seguir, onde se deseja a conversão de 1001110102 e 
de 11010110 para octal: 
 
 
 
 
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2.4 – Conversões dos Sistemas Hexadecimal para Decimal, Decimal 
para Hexadecimal, Hexadecimal para Binário e Binário para 
Hexadecimal 
 
2.4.1 – A Conversão Hexadecimal para Decimal 
 
 Um número hexadecimal pode ser convertido para o seu equivalente decimal 
lembrando que dígito hexa tem um peso que é uma potência de 16. O LSD tem um 
peso de 160=1; a próxima posição de digito tem peso 161=16; a próxima posição 
tem peso igual a 162=256 e assim por diante. Observe o exemplo a seguir, 
realizando a conversão dos números 35616 e 2AF16 para a base decimal: 
 
16
2 1 0
10
16
2 1 0
10
356
3 16 5 16 6 16 3 256 5 16 6 1 854
2
2 16 10 16 15 16 2 256 10 16 15 1 687
→
+ + = + + = →
→
+ + = + + = →
Hexadecimal
x x x x x x Decimal
AF Hexadecimal
x x x x x x Decimal
 
 
2.4.2 – A Conversão Decimal para Hexadecimal 
 
 Relembrando as outras conversões que já foram desenvolvidas até agora 
utilizando divisões sucessivas, a decimal para binário (divisões sucessivas por 2), a 
decimal para octal (divisões sucessivas por 8), a conversão de decimal para 
hexadecimal seguirá a mesma linha de raciocínio, porém agora, com divisões 
sucessivas por 16. Observe os exemplos a seguir, onde são realizadas as 
conversões dos números 42310 e 21410 para hexadecimal: 
 
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2.4.3 – A Conversão Hexadecimal para Binário 
 
 Assim como no sistema octal de numeração, o sistema hexadecimal é usado 
principalmente como uma forma mais compacta de representação de números 
binários. O processo de conversão de um número hexa para binário é simples, 
bastando converter cada dígito em hexa para o seu correspondente em binário com 
quatro bits. Observe o exemplo a seguir, onde é ilustrada a conversão do número 
9F216 para binário. 
 
 
 
 
2.4.2 – A Conversão Binário para Hexadecimal 
 
 A conversão de binário para hexadecimal é apenas o inverso do processo 
descrito anteriormente. O número binário é reunido em grupos de quatro bits a 
partir do bit menos significativo (LSD) e cada grupo é convertido para o seu 
hexadecimal equivalente. Zeros poderão ser adicionados a esquerda do dígito 
binário mais significativo (MSD). 
 De modo a realizar estas conversões entre hexa e binário, é necessário 
saber a equivalência entre os números binários de quatro bits (0000 a 1111) e os 
dígitos hexadecimais. Observe no exemplo a seguir a conversão do número 
11101001102 para o seu equivalente em hexadecimal. 
 
 
 
 
2.5 – Exercícios de Fixação 
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1- Realize as conversões dos números binários a seguir para decimal: 
 
a) 101102 
b) 100011012 
c) 1001000010012 
d) 11110101112 
e) 101111112 
 
2- Converta os seguintes números decimais para o seu respectivo em binário: 
 
a) 3710 
b) 1410 
c) 18910 
d) 20510 
e) 231310 
f) 51110 
 
3- Converta cada um dos números octais abaixo para o seu equivalente em 
decimal: 
 
a) 7438 
b) 368 
c) 37778 
d) 2578 
e) 12048 
 
 
 
4- Converta cada um dos números decimais abaixo para o seu equivalente em 
octal: 
 
a) 5910 
b) 37210 
c) 91910 
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d) 6553610 
e) 25510 
 
5- Realize a conversão de cada um dos números abaixo expressos em hexadecimal 
para o seu equivalente em decimal: 
 
a) 9216 
b) 1A616 
c) 37FD16 
d) 2C016 
e) 7FF16 
 
6- Converta os seguintes números em decimal para hexadecimal: 
 
a) 7510 
b) 31410 
c) 204810 
d) 2561910 
e) 409510 
 
Capítulo 3 – Portas Lógicas e Álgebra Booleana 
 
3.1 – Introdução 
 
 Conforme já foi visto em capítulos anteriores, os circuitos digitais operam de 
modo binário onde cada tensão de saída ou entrada tem valor igual a 0 ou a 1, que 
representam intervalos de tensão pré-definidos. 
 Esta característica dos circuitos digitais permite que seja utilizada a álgebra 
de boole, desenvolvida pelo matemático George Boole (1845-1864) para o estudo 
da lógica. A álgebra booleana é uma ferramenta de análise e projetos de circuitos 
digitais, que permite a escrita das relações entre a saída e as entradas de um 
circuito através de uma equação, conhecida como expressão booleana. 
 Nesse capítulo será estudado as diferentes portas lógicas usadas em 
eletrônica digital, bem como as suas características. Também será definido o 
conceito de variáveis booleanas, tabelas verdades e implementação de expressões 
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booleanas em circuitos. Algumas técnicas de simplificações de expressões também 
serão estudadas. 
 
 
3.2 – Constantes, Variáveis Booleanas e Tabelas Verdades 
 
 Na álgebra booleana, as constantes e as variáveis possuem apenas dois 
valores permitidos, 0 ou 1. As variáveis booleanas são usadas geralmente para 
representar o nível de tensão presente nas ligações ou nos terminais de 
entrada/saída do circuito. 
 Já a tabela verdade, é uma maneira de descrever como a saída de um 
circuito lógico depende dos níveis lógicos presentes nas entradas do circuito. A 
tabela relaciona todas as combinações possíveis dos níveis lógicos presentes nas 
entradas. O número de combinações possíveis, gerando o tamanho final da tabela 
verdade, é dado em função de 2N, onde N é o número de entradas. A Figura 3.1 a 
seguir mostra alguns exemplos de tabelas verdade, com duas entradas (a), três 
entradas (b) e quatro entradas (c). 
 
Figura 3.1 – Exemplos de Tabelas Verdades 
 
 
3.3 – As Operações Lógicas 
 
3.3.1 – A Operação OR 
 
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 Em circuitos digitais, uma porta OR é um circuito que possui duas ou mais 
entradas e cuja saída é igual à combinação dessas entradas através da operação 
booleana OR. A expressão booleana para a operação OR é dada por: 
 
= +X A B , onde X é a saída do circuito; A e B são as entradas 
 
 A Figura 3.2 a seguir mostra a tabela verdade da porta lógica OR de duas 
entradas (a) e também o símbolo utilizado para a sua representação (b). 
 
 
Figura 3.2 – Porta lógica OR de duas entradas 
 
Figura 3.3 – Porta lógica OR de três entradas 
 
 
Observando as Figuras 3.2 e 3.3 anteriores, é possível elaborar um pequeno 
resumo de funcionamento e operação da porta lógica OR: 
 
• A operação OR produz 1 como resultado lógico quando QUALQUER uma das 
variáveis de entrada for igual a 1; 
• A operação OR produz 0 como resultado lógico somente quando TODAS as 
variáveis de entrada forem iguais a 0; 
 
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Existe ainda outra forma de representação das operações lógicas realizadas 
por um circuito é através da apresentação do seu diagrama temporal, conforme é 
possível de ser observado pela Figura 3.4 a seguir. Nela estão representadas as 
entradas A e B da porta lógica OR, bem como a sua saída em função do tempo. 
 
 
Figura 3.4 – Diagrama de tempos da Porta Lógica OR de duas entradas 
 
3.3.2 – A Operação AND 
 
Em circuitos digitais, uma porta AND é um circuito que possui duas ou mais 
entradas e cuja saída é igual à combinação dessas entradas através da operação 
booleana AND. A expressão booleana para a operação AND é dada por: 
 
*=X A B , onde X é a saída do circuito; A e B são as entradas 
 
 A Figura 3.5 a seguir mostra a tabela verdade da porta lógica AND de duas 
entradas (a) e também o símbolo utilizado para a sua representação (b). 
 
 
Figura 3.5 – Porta lógica AND de duas entradas 
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Figura 3.6 – Porta lógica AND de três entradas 
 
Observando as Figuras 3.5 e 3.6 anteriores, é possível elaborar um pequeno 
resumo de funcionamento e operação da porta lógica AND: 
 
• A operação AND produz 1 como resultado lógico somente quando TODAS as 
variáveis de entrada forem iguais a 1; 
• A operação AND produz 0 como resultado lógico quando QUALQUER uma 
das variáveis de entrada for igual a 0; 
Assim como na porta lógica OR, existe ainda outra forma de representação 
das operações lógicas realizadas por um circuito é através da apresentação do seu 
diagrama temporal, conforme é possível de ser observado pela Figura 3.7 a seguir. 
Nela estão representadas as entradas A e B da porta lógica AND, bem como a sua 
saída em função do tempo. 
 
 
Figura 3.7 – Diagrama de tempos da Porta Lógica AND de duas entradas 
 
 
3.3.3 – A Operação NOT 
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 A operação lógica NOT, ao contrário das anteriores, é realizada utilizando 
apenas uma única entrada. Por exemplo, se a variável A é sujeita à operação NOT, 
a saída X pode ser expressa como: 
__
=X A , onde X é a saída do circuito; A é a entrada 
 
A Figura 3.8 a seguir mostra a tabela verdade da porta lógica NOT (a), o 
símbolo utilizado para a sua representação (b) e também a sua carta de tempo (c). 
 
 
Figura 3.8 – Porta Lógica NOT 
3.4 – Combinando Portas Lógicas: As Portas Lógicas NOR e NAND 
 
 Existem outros dois tipos de portas lógicas, além das três já apresentadas 
anteriormente. Na verdade, estas portas nada mais são que combinações das 
portas já estudadas anteriormente. Por exemplo, a porta NAND é a combinação da 
porta AND com a porta NOT, assim como a porta NOR é a combinação da porta OR 
com a porta NOT. 
 
 
3.4.1 – A Porta Lógica NAND 
 
 A porta NAND tem o seu funcionamento e simbologia muito semelhante à 
porta AND. O seu símbolo difere da porta AND apenas pelo pequeno círculo 
existente em sua saída, representando uma operação de inversão. Além disso, a 
saída da porta NAND é exatamente o inverso da saída da porta AND, como é 
possível observar na Figura 3.14. 
 
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Figura 3.9 – Porta Lógica NAND 
 
 
 
Figura 3.10 – Diagrama de Tempo da Porta Lógica NAND 
 
3.4.2 – A Porta Lógica NOR 
 
A porta NOR tem o seu funcionamento e simbologia muito semelhante à 
porta OR. O seu símbolo difere da porta OR, assim como na porta NAND, apenas 
pelo pequeno círculo existente em sua saída, representando uma operação de 
inversão. Além disso, a saída da porta NOR é exatamente o inverso da saída da 
porta OR, como é possível observar na Figura 3.16. 
 
 
Figura 3.11 – Porta Lógica NOR 
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Figura 3.12 – Diagrama de Tempo da Porta Lógica NOR 
 
 
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: 
 
 Observe o circuito da Figura 3.13 a seguir, onde o diagrama do circuito 
lógico, bem como a sua expressão booleana podem ser vistos. A presença de dois 
sinais de inversão indica que a expressão (A+B+C) foi invertida e depois, invertida 
novamente, não alterando o resultado da expressão original. 
 
 
 
Figura 3.13 – Exemplo de dupla inversão 
 
 Dessa forma, sempre que duas barras de inversão estiverem sobre uma 
mesma variável ou expressão, elas se cancelam, como no exemplo apresentado. 
Porém, observe agora a situação e a posição das barras na expressão a seguir. 
________
__ __
= +X A B 
 
Nesse caso em particular, as barras não são canceladas, pois as barras de inversão 
menores simplesmente invertem individualmente as variáveis A e B, enquanto a 
barra maior inverte toda a expressão, ou seja: 
 
________
__ __
+ ≠ +A B A B 
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3.5 – Outras Portas Lógicas: As Portas Lógicas XOR e XNOR 
 
 Duas outras portas lógicas, além das já apresentadas anteriormente, 
aparecem muitas vezes em sistemas digitais, que são as portas exclusive-OR e 
exclusive-NOR. Na verdade, as portas lógicas aqui apresentadas, são uma 
combinação de outras portas lógicas já estudadas, obtendo uma expressão lógica 
de saída, que estudaremos mais adiante como a obtemos e executamos. 
 
 
3.5.1 – Exclusive-OR (XOR) 
 
 A porta XOR é uma porta que produz nível lógico alto para a sua saída 
sempre que as duas entradas estiverem em níveis lógicos opostos, ou seja, quando 
A está em nível lógico alto, B deve estar em nível lógico baixo paraproduzir nível 
lógico alto de saída. 
 
 
 
Figura 3.14 – Circuito Lógico da Porta XOR, a sua Tabela Verdade e o seu Símbolo 
 
 
3.5.2 – Exclusive-NOR (XNOR) 
 
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A porta XNOR é uma porta que opera de forma completamente oposta a 
porta apresentada anteriormente, ou seja, produz nível lógico alto para a sua saída 
sempre que as duas entradas estiverem em níveis lógicos iguais, ou seja, quando A 
está em nível lógico alto, B deve estar em nível lógico alto para produzir nível lógico 
alto de saída. 
 
 
 
Figura 3.15 – Circuito Lógico da Porta XNOR, a sua Tabela Verdade e o seu Símbolo 
 
3.5 – Descrevendo os Circuitos Lógicos Algebricamente 
 
 Qualquer circuito lógico, independentemente de sua complexidade, pode ser 
completamente descrito usando as operações booleanas previamente definidas 
anteriormente, pois as portas AND, OR e NOT são os blocos básicos para a 
construção de sistemas digitais. Considerando como exemplo o circuito 
apresentando pela Figura 3.16 a seguir, observa-se a presença de 3 entradas: A, B 
e C, com uma única saída, X. Usando as expressões booleanas de cada uma das 
portas lógicas envolvidas no circuito, facilmente chega-se a conclusão de que a 
saída X é igual a (A*B)+C. 
 
 
Figura 3.16 – Circuito Lógico com a sua Respectiva Função Booleana 
 
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 Outro exemplo pode ser observado pela análise da Figura 3.17, onde as 
mesmas entradas A, B, C são combinadas de forma diferente, produzindo a saída X 
igual a (A+B)*C. 
 
 
Figura 3.17 – Outro Circuito Lógico com a sua Respectiva Função Booleana 
 
 Ao acrescentar uma porta lógica NOT em um diagrama de circuitos lógicos, a 
expressão para a sua saída é simplesmente igual à expressão de entrada com uma 
barra sobre ela. Observe a Figura 3.18, onde são apresentados dois exemplos 
usando a porta lógica NOT. 
 
 
Figura 3.18 – Circuito Lógico usando a porta NOT 
 Dessa forma, tem-se no primeiro circuito (a), uma inversão da variável de 
entrada A, gerando /A antes de ser efetuada a operação lógica OR com a variável 
B. Analogamente, o segundo circuito, após a operação lógica OR ter sido 
executada, a saída X é invertida, gerando /(A+B). 
 A Figura 3.19 ilustra mais dois exemplos que devem ser estudados com 
atenção. Observe os conjuntos de parênteses utilizados em separados para obter a 
correta expressão lógica de saída X. 
 
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Figura 3.19 – Outros Exemplos de Utilização da porta NOT 
 
 
3.5 – Implementando de Circuitos Lógicos a Partir de Expressões 
Booleanas 
 
 Se a operação de um circuito lógico é definida por meio de uma expressão 
booleana, então um diagrama do circuito lógico pode ser implementado 
diretamente a partir dessa expressão. Por exemplo, deseja-se implementar e 
colocar em funcionamento, um circuito lógico que descreva a expressão booleana 
dada por X=A*B*C. Obviamente, fica claro que seria necessário apenas uma porta 
lógica AND de três entradas. 
 Observe agora o exemplo apresentado pela Figura 3.20, onde se deseja 
implementar um circuito lógico que representa a seguinte equação booleana: 
( )
__
* *⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠
X A B B C 
 
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Figura 3.20 – Circuito Lógico para a Expressão Descrita 
 
 
3.7 – Teoremas da Álgebra Booleana 
 
Dando seqüência ao estudo da álgebra booleana, serão apresentados alguns 
teoremas booleanos que serão de grande valia para auxiliar na análise de um 
circuito lógico ou na simplificação de uma expressão booleana. 
Para tal, esses teoremas serão divididos em dois grupos em função do seu 
número de variáveis, e estudados individualmente. 
 
3.7.1 – Teoremas de uma Variável 
 
 A Figura 3.21 mostra os 8 teoremas de uma única variável, juntamente com 
um exemplo provando o exposto em cada um dos oito itens. 
 
 
 Figura 3.21 – Teoremas de uma Variável da Álgebra Booleana 
3.7.2 – Teoremas com mais de uma Variável 
 
 Os teoremas a seguir envolvem o uso de mais de uma variável. Alguns deles 
são semelhantes aos teoremas da álgebra comum, porém alguns deles envolvem 
algumas particularidades que exigem um pouco de atenção do leitor. 
 Os teoremas (9) e (10) são conhecidos como leis da comutatividade, onde 
determinam que a ordem em que as operações AND e OR são executadas não são 
importantes, pois o resultado é o mesmo. 
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 Os teoremas (11) e (12) são conhecidos como leis da associatividade e 
afirmam que é possível agrupar as variáveis de expressões do tipo AND ou OR de 
qualquer forma. 
 Já o teorema (13) é conhecido como lei da distributividade, afirmando que 
uma expressão pode ser expandida multiplicando-se termo a termo, do mesmo 
modo que é feito na álgebra comum. Esse teorema também afirma que podemos 
fatorar uma expressão qualquer, colocando uma variável em evidência. 
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
__
9
10 * *
11
12 * * * * * *
13 * * *
13 * * * * *
14 *
15 *
→ + = +
→ =
→ + + = + + = + +
→ = =
→ + = +
→ + + = + + +
→ + =
⎛ ⎞→ + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
X Y Y X
X Y Y X
X Y Z X Y Z X Y Z
X Y Z X Y Z X Y Z
a X Y Z X Y X Z
b W X Y Z W Y X Y W Z X Z
X X Y X
X X Y X Y 
 
 Os teoremas (14) e (15), diferentemente dos anteriores, não possuem 
correspondentes na álgebra comum, e por isso são um pouco mais difíceis de 
serem lembrados. Porém, basta que o leitor forneça valores adequados para X e Y 
para verificar a veracidade do exposto nos itens apresentados. 
 
 
3.7.3 – Teoremas de DeMorgan 
 
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 Tão importantes como os 15 outros teoremas apresentados anteriormente, 
os teoremas de DeMorgan são extremamente importantes e úteis para simplificar 
expressões nas quais a soma (OR), ou produto (AND) das variáveis é invertido, ou 
seja, barrado. Os teoremas são: 
 
( ) ( )
( ) ( )
_________ __ __
_________ __ __
16 *
17 *
→ + =
→ = +
X Y X Y
X Y X Y
 
 
 O teorema (16) afirma que quando uma soma OR está invertida, esta 
é igual ao produto AND das variáveis invertidas. Já o teorema (17) diz que 
quando um produto AND de duas variáveis está invertido, este é igual a 
uma soma OR das variáveis invertidas. 
 
 
3.8 – Universalidade das Portas NAND e NOR 
 
 Todas as expressões booleanas consistem em várias combinações das 
operações básicas OR, AND e NOT. Sendo assim,qualquer expressão pode ser 
implementada usando-se combinações das portas apresentadas até o presente 
momento. 
 Entretanto, é possível implementar expressões lógicas utilizando apenas 
portas NAND, que em combinações apropriadas, podem ser usadas para 
representar cada uma das operações lógicas apresentadas (OR, AND e NOT), 
conforme é possível observar na Figura 3.22 a seguir. 
 
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Figura 3.22 – Combinações das Portas NAND para Implementar Qualquer Função Booleana 
 
 
 De forma análoga a porta NAND, é possível observar a mesma propriedade 
nas portas NOR, onde também é possível a implementação de qualquer função 
lógica (OR, AND e NOT) usando combinações adequadas da porta em questão, 
conforme pode ser observado na Figura 3.23 a seguir. 
 
 
Figura 3.23 – Combinações das Portas NOR para Implementar Qualquer Função Booleana 
 
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Capítulo 4 – Circuitos Lógicos Combinacionais 
 
4.1 – Introdução 
 
 Nos capítulos anteriores, foi abordado basicamente o estudo das operações 
das portas lógicas básicas, usando a álgebra booleana para descrição e a análise de 
circuitos desenvolvidos a partir de combinações de portas lógicas. Esses circuitos 
são conhecidos como circuitos lógicos combinacionais, onde em qualquer instante 
de tempo, o nível lógico da saída do circuito depende da combinação dos níveis 
lógicos da entrada do circuito, ou seja, não possui o efeito de retenção de 
informações ou de memória. 
 A partir de agora, o estudo será dirigido e aprofundado na parte direcionada 
para a simplificação de circuitos lógicos, usando técnicas de álgebra booleana e de 
mapeamento. Além disso, será também abordado algumas técnicas de projeto de 
circuitos lógicos visando satisfazer requisitos previamente estabelecidos. 
 
 
4.2 – Representações de Equações Lógicas 
 
4.2.1 – Forma Soma de Produtos (Forma Canônica Disjuntiva) 
 
 Os métodos de simplificação e projeto de circuitos lógicos que serão 
estudados exigirão que a expressão esteja na forma de soma de produtos, onde 
cada uma destas expressões consiste em dois ou mais termos AND que por sua vez 
são conectados a uma porta OR. Cada termo AND possui uma ou mais variáveis 
que aparecem individualmente complementadas ou não. Observe o exemplo a 
seguir. 
 
__ __
= +X ABC ABC 
 
A saída X é formada por uma soma de produtos de três variáveis lógicas (A, 
B e C), onde o primeiro grupo apresenta as variáveis na sua forma não 
complementar e o segundo grupo apresenta apenas as variáveis A e C 
complementadas (invertidas). 
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É importante lembrar ao leitor que o sinal de complementar deve cobrir 
apenas a variável em questão. 
 
 
4.2.2 – Forma Produto de Somas (Forma Canônica Conjuntiva) 
 
 Existe ainda outra forma de representação para expressões lógicas, 
conhecida como produto de somas, onde, novamente, cada das expressões lógicas 
são formadas com dois ou mais termos OR que por sua vez são conectados a uma 
porta AND. Cada termo OR possui uma ou mais variáveis que aparecem 
individualmente complementadas ou não. Observe o exemplo a seguir. 
 
( )
__ __
*⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
X A B C A C 
 
A saída X é formada por um produto da soma de três variáveis lógicas (A, B 
e C) com a coma de duas variáveis lógicas complementadas (A e C), onde o 
primeiro grupo apresenta as variáveis na sua forma não complementar e o segundo 
grupo apresenta apenas as variáveis A e C complementadas (invertidas). Vale 
lembrar novamente, que o sinal de complementar deve cobrir apenas a variável em 
questão e não a operação lógica. 
Os métodos de simplificação e projeto a serem estudados serão usados 
baseados em expressões do tipo soma de produtos e não será mais utilizada 
daqui em diante, a forma de representação ilustrada anteriormente, que é a forma 
de produto de somas. 
 
 
4.3 – Simplificações dos Circuitos Lógicos 
 
 Uma vez obtida a expressão de um circuito lógico, é possível reduzir essa 
expressão a uma forma mais simples, obtendo dessa forma um menor número de 
termos ou variáveis na expressão. Dessa forma, com essa nova expressão, é 
possível utilizá-la para programar um circuito original, porém contendo um número 
menor de portas lógicas e conseqüentemente, um número menor de conexões. 
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 Nas próximas seções, serão apresentados dois métodos utilizados para 
simplificar circuitos lógicos. Um dos métodos conhecidos como simplificação 
algébrica, faz uso dos teoremas da álgebra booleana e é um método bastante 
dependente da experiência do projetista e do estudante. 
 Já o outro método, que é o mapa de Karnaught, utiliza uma abordagem mais 
sistemática, com instruções passo a passo. 
 
 
4.3.1 – A Simplificação Algébrica 
 
 Como já foi dito anteriormente, a técnica de simplificação algébrica utiliza os 
teoremas da álgebra booleana como ferramenta básica. Porém, nem sempre fica 
óbvio qual o teorema que deve ser aplicado de modo a produzir o resultado mais 
simples. Além disso, não existe um modo fácil de constatar se a expressão obtida 
está em sua forma mais simples ou se poderia ser ainda mais simplificada. Dessa 
forma, esse método freqüentemente se torna um processo de tentativa e erro, mas 
que com a experiência, é possível de se obter bons resultados. 
 Os exemplos a seguir ilustram diferentes formas de utilização dos teoremas 
booleanos e também, dois passos essenciais que se repetem: 
 
1. A expressão original é colocada sob a forma de soma de produtos pela 
aplicação repetitiva dos teoremas de DeMorgan e pela multiplicação de 
termos; 
2. Uma vez que a expressão original esteja nesta forma, os termos produto são 
verificados quanto a fatores comuns, realizando-se a fatoração sempre que 
possível, resultando quase sempre na eliminação de um ou mais termos. 
 
Exemplo 1: Simplificar a expressão a seguir e projetar o seu circuito lógico 
reduzido. 
 
_______
__ __ __
* * * * *
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟= + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Z A B C A B A C 
 
 
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1º Passo: Aplicação do teorema de DeMorgan (teorema 17) 
 
( )
___ ___
__ __ __ __
__ __ __ __
* * * * * *
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= + + → + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
→ + + → + +
Z A B C A B A C ABC A B A C
ABC AB A ABC ABC AB ABC
 
 
2º Passo: A partir da última expressão obtida acima, que agora se apresenta sob a 
forma de soma de produtos, deve-se procurar fatorar os elementos, eliminando 
assim os termos em comum 
 
( )
__ __ __
__
__
* * 1
*
⎛ ⎞= + + → + →⎜ ⎟⎝ ⎠
→ + →
⎛ ⎞∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Z AC B B AB AC AB
AC AB
Z A C BFigura 4.1 – Circuito original (a) x Circuito minimizado (b) 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Simplificar a expressão a seguir e projetar o seu circuito lógico 
reduzido. 
 
__ __ __ __ __ __
__
__
__ __
*
0
0
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + → + + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
=
=
∴ = +
Z A B A B A A AB BA B B
A A
B B
Z AB AB
 
 
 
Figura 4.2 – Circuito original (a) x Circuito minimizado (b) 
 
 
4.3.2 – A Simplificação por Mapa de Karnaugh 
 
 O mapa de Karnaugh é um método gráfico usado para simplificar uma 
equação lógica ou para converter uma tabela verdade no seu circuito lógico 
correspondente. Apesar da técnica a ser apresentada pode ser utilizada em 
sistemas que possuam qualquer número de variáveis, por simplicidade e facilidade 
no desenvolvimento, serão limitados nos exemplos problemas com até quatro 
variáveis de entrada, pois problemas que apresentam um número maior de 
variáveis têm-se a sua resolução demasiadamente complicada. 
 O mapa de Karnaugh é um método de mostrar a relação entre as suas 
entradas e suas saídas, semelhante a tabela verdade. Observe no exemplo a seguir 
apresentado pela Figura 4.3, o mapa de Karnaugh para duas, três e para quatro 
variáveis. 
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Figura 4.3 – Mapas de Karnaugh para duas (a), três (b) e quatro (c) variáveis 
 
 Através da observação da Figura acima, alguns pontos tornam-se 
importantes de serem analisados e comentados: 
 
1. A tabela verdade e o mapa de Karnaugh fornecem o valor da saída X para cada 
combinação de valores de entrada, porém apenas com uma forma de 
representação diferente. Cada linha na tabela verdade corresponde a uma célula 
no mapa de Karnaugh. Os pontos sombreados são os valores da saída X que 
estarão em nível lógico alto; 
 
2. As células do mapa de Karnaugh são identificadas de modo que as células 
adjacentes horizontalmente e verticalmente se diferenciem apenas de uma 
variável uma da outra; 
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3. Para que as células adjacentes horizontais e verticais se diferenciem em apenas 
uma variável, a identificação de cima para baixo e da esquerda para a direita 
deve ser feita da seguinte forma: 
__ __ __ __
+ + +AB AB AB AB 
 
 
4.3.3 – O Agrupamento de Termos no Mapa de Karnaugh 
 
 A expressão para a saída X pode ser simplificada combinando-se 
adequadamente as células no mapa de Karnaugh que contém o nível lógico 1. A 
esse processo é denominado de agrupamento. Observe as Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 e 
as suas respectivas saídas X. Nessa Figura, são representados os agrupamentos de 
dois termos (ou agrupamento em pares), agrupamentos de quatro termos (ou 
agrupamento em quarteto) e os agrupamentos de oito termos (agrupamento em 
octeto). Dessa forma, ao agrupar um par de 1´s ou vários pares de 1´s adjacentes 
num mapa de Karnaugh, elimina-se a variável que aparece nas formas 
complementada e não complementada. 
 
 
Figura 4.4 – Mapas de Karnaugh e seus respectivos agrupamentos em pares 
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 Figura 4.5 – Mapas de Karnaugh e seus respectivos agrupamentos em quartetos 
 
 
Figura 4.6 – Mapas de Karnaugh e seus respectivos agrupamentos em octetos 
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 Deve ficar claro que um grupo maior de 1´s elimina mais variáveis, ou seja, 
um grupo de dois 1´s elimina-se uma variável; um grupo de quatro elimina-se 
duas variáveis; um grupo de oito elimina-se três variáveis. Sendo assim, os passos 
seguintes facilitarão no processo de obtenção da saída X a partir da observação das 
posições dos 1´s no mapa: 
 
• Passo 1: Construir o mapa de Karnaugh colocando os 1´s nas células 
correspondentes aos 1´s da tabela verdade do circuito. As demais células 
devem ser preenchidas com zeros; 
 
• Passo 2: Examinar o mapa e detectar os 1´s adjacentes e agrupar os 
demais 1´s não adjacentes a quaisquer outros 1´s; 
 
• Passo 3: Procurar pelos 1´s que são adjacentes a somente um outro 1. 
Agrupe todo par que contém tal 1; 
 
• Passo 4: Agrupe qualquer octeto, mesmo que ele contenha alguns 1´s que 
ainda não tenham sido combinados; 
 
• Passo 5: Agrupe qualquer quarteto que contém um ou mais 1´s que ainda 
não tenham sido combinados, certificando de usar o número mínimo de 
agrupamentos; 
 
• Passo 6: Agrupe quaisquer pares necessários para incluir quaisquer 1´s que 
ainda não tenham sido combinados, certificando de usar o número mínimo 
de agrupamentos; 
 
• Passo 7: Forme a soma OR de todos os termos gerados por cada 
agrupamento. 
 
Os passos descritos anteriormente são uma sugestão de desenvolvimento e 
obtenção da saída X minimizada, podendo o leitor criar o seu método próprio de 
inspeção e obtenção, desde que se chegue a mesma resposta. Os exemplos das 
Figuras 4.7 e 4.8 ilustram diferentes tipos de agrupamentos e as suas respectivas 
saídas X minimizadas. 
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Figura 4.7 – Mapas de Karnaugh e seus agrupamentos - 1 
 
 
 
 
Figura 4.8 – Mapas de Karnaugh e seus agrupamentos - 2 
 
 
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4.4 – Projetando Circuitos Lógicos Combinacionais 
 
 Quando um nível de saída desejado de um circuito lógico é dado para todas 
as condições de entrada possíveis, os resultados podem ser convenientemente 
apresentados em uma tabela verdade. Dessa forma, é possível de se obter a partir 
da tabela verdade, a expressão lógica booleana que representa o funcionamento do 
circuito. Por exemplo, deseja-se projetar o circuito lógico a partir da tabela verdade 
apresentado abaixo. Observe que o sinal de saída somente vai para o nível lógico 
igual a 1 quando temos a entrada A complementada (nível lógico baixo) e a entrada 
B em nível lógico alto. 
 
 
Figura 4.9 – Tabela verdade e o seu respectivo circuito lógico 
 
 Observe o exemplo seguinte, onde através da tabela verdade apresentada, 
foi projetado o circuito lógico combinacional: 
 
 
Figura 4.10 – Mais um exemplo da tabela verdade com o seu respectivo circuito lógico 
 
 Através dos exemplos apresentados anteriormente, é possível de se 
apresentar um roteiro de projeto completo para a implementação do circuito lógico 
a partir das portas lógicas apresentadas em capítulos anteriores. 
 
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• Passo 1: Montar a tabela verdade com as entradas e as possíveis saídas, 
indicando em quais condições a(s) saída(s) apresentam nível lógico alto, 
igual a 1; 
• Passo 2: Escrever o termo AND para cada caso onde a saída é igual a 1; 
• Passo 3: Escrever a expressão da soma de produtos para a saída; 
• Passo 4: Simplificar a expressão de saída obtida através das técnicas 
apresentadas anteriormente. 
• Passo 5: Substitua cada porta AND, porta OR e INVERSOR por portas 
NAND, facilitando assim o projeto final. 
 
 
Exemplos: 
 
1. Projete um circuito lógico que possui três entradas, A, B e C e cuja saída vai 
para nível lógico ALTO somente quando a maioria das entradas está em ALTO. 
 
 
2. Um conversor analógico digital está monitorando a tensão de uma bateria de 12 
Volts. A saída do conversor é um número binário de quatro bits ABCD, que 
corresponde a tensão de saída dessa bateria em degraus de 1 em 1 Volt, sendo 
o A o dígito MSB. As saídas desse circuito devem produzir nível lógico alto 
sempre que a tensão da bateria for maior ou igual a 6 Volts, ou seja, (0110)2. 
Projetar o circuito lógico que realiza essa função. 
 
 
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Capítulo 5 – Aritmética Digital – Operações e Circuitos 
 
5.1 – Introdução 
 
 Os computadores digitais e as calculadoras realizam as várias operações 
aritméticas sobre os números representados no display ou monitor, na forma 
binária. O tópico de aritmética digital pode ser bastante complexo se desejarmos 
entender todos os métodos computacionais e a teoria por trás deles. 
 Porém a abordagem que o capítulo irá se concentrar será nos princípios 
básicos necessários para entender como as máquinas digitais realizam as suas 
operações matemáticas. 
 
 
5.2 – A Adição Binária 
 
 A adição de dois números binários é realizada da mesma forma que a adição 
de números decimais, porém de uma forma mais simples. Observe a soma em 
decimal entre dois números, 376 + 461. 
 A posição do dígito LSD é efetuada primeiro, produzindo a soma de 7. Os 
dígitos da segunda coluna são somados, produzindo resultado igual a 13, que gera 
um carry (vai um) de valor 1 para a coluna da terceira posição (MSB). Isso resulta 
numa soma igual a 8 na terceira posição. 
 Para a adição binária, os passos seguidos são os mesmos, porém apenas 
quatro situações são possíveis de acontecer quando dois dígitos binários são 
somados, que são: 
 
0 0 0
1 0 1
1 1 10 0 1 
1 1 1 11 1 1
+ =
+ =
+ = = +
+ + = = +
carry
carry
 
 
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 O último caso ocorre quando os dois bits de uma determinada posição são 
iguais a 1 e existe o carry da posição anterior. 
 A adição de mais de dois números não será necessária ser abordada, pois 
em todos os sistemas digitais, as somas são executadas sempre de dois em dois 
números e o resultado obtido é usado para ser somado com o terceiro número, e 
assim por diante. Isto não é uma desvantagem séria, tendo em vista que os 
modernos computadores podem executar uma operação de soma em questão de 
nano segundos. 
 
 
5.2.1 – A Representação de Números com Sinal 
 
 Nos computadores digitais, os números binários são representados por um 
conjunto de dispositivos de armazenamento binário, onde cada dispositivo 
representa um bit. Por exemplo, é possível armazenar usando seis bits no sistema 
binário (26= 64 posições diferentes) números desde 0 até 63 em decimal. Isso 
representa a magnitude do número. 
 Porém, como a maioria dos computadores e calculadoras também opera com 
números negativos, é necessário que seja representado esse número negativo. Isso 
é possível adicionando-se um bit extra chamado de bit de sinal. 
 
 
Figura 5.1 – Representação de números com sinal na forma sinal-magnitude 
 
 Embora o sistema sinal-magnitude seja direto, calculadoras e computadores 
não o utilizam normalmente porque a implementação do circuito é mais complexa 
do que em outros sistemas. O sistema mais utilizado para a representação de 
números binários é o sistema de complemento de 2. A seguir, serão ilustrados as 
formas de se obter os complementos de 1 e de 2 de qualquer número binário. 
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• A Forma Complemento de 1 
 
O complemento de 1 de um número binário é obtido substituindo-se cada 
zero por 1 e cada um por zero. Em outras palavras, substitui-se cada bit no número 
binário pelo seu complemento. Observe o exemplo do número binário (101101)2 
sendo complementado de 1: 
 
1 0
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
→
→
→
→
→
→
 
 
 Dessa forma, o complemento de 1 do número binário (101101)2 é igual a 
(010010)2. 
 
 
• A Forma Complemento de 2 
 
O complemento de dois de um número binário é formado tomando-se o 
complemento de 1 do número binário em questão e somando-se um ao bit menos 
significativo (LSB) do número complementado. Observe para o mesmo número 
usado no exemplo anterior. 
 
1 0
0 1
1 0
1 0
0 1
1 0
010010 1 010011
→
→
→
→
→
→
+ →
 
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 Dessa forma, o complemento de 2 do número binário (101101)2 é igual a 
(010011)2. 
 
 
5.2.2 – A Representação de Números com Sinal Usando Complemento de 2 
 
 O sistema de complemento de 2 para representar números com sinal 
funciona do seguinte modo: 
 
• Se o número é positivo, a magnitude é representada na sua forma binária 
direta e um bit de sinal é colocado na frente do dígito MSB, igual a 0; 
• Se o número é negativo, a magnitude é representada na sua forma de 
complemento de 2 e um bit de sinal é colocado na frente do dígito MSB, 
igual a 1. 
 
 
Figura 5.2 – Representação de números com sinal na forma de complemento de 2 
 
 
Exemplos: 
 
Número Decimal Equivalente Binário com Sinal 
 
(+13)10 (01101)2 
(-9)10 (10111)2 
(+3)10 (00011)2 
(-2)10 (11110)2 
(-8)10 (11000)2 
 
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 Existe ainda, outra opção para determinação do número decimal a partir do 
número binário com o sinal. Para tal, basta realizar a operação conhecida como 
negação, onde é possível obter o número negativo de um original positivo e vice 
versa. Observe o exemplo a seguir. A cada conversão do número decimal +9, é 
realizado o complemento de 2 e obtido o número com sinal oposto. 
 
 01001 9
 2 10111 9
 01001 9
→ = +
→ = −
→ = +
iniciar com
complemento de
negar novamente
 
 
 
5.3 – A Adição Binária no Sistemade Complemento de 2 
 
 A partir de agora, será estudada a operação de adição usando a 
considerando o sinal do número, positivo ou negativo. Nos vários casos que serão 
considerados, é importante perceber que a operação realizada sobre os bits de 
magnitude é também feita sobre o bit de sinal. 
 
• Caso 1: Dois Números Positivos 
 
A adição de dois números positivos é realizada de forma direta. Considere a 
adição do número +9 com +4, que resulta em +13. Observe que os bits de sinal 
são iguais (em destaque com o quadrado) e também que ambas as parcelas 
possuem o mesmo número de bits (4 bits). Isso SEMPRE deve ser feito em um 
sistema de complemento de 2. 
 
9 0 1001
4 0 0100
___________
13 0 1101
+ →
+ →
+ →
 
 
 
 
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• Caso 2: Um Número Positivo e Outro Menor e Negativo 
 
Considere a adição do número +9 com -4, que resulta em +5. Observe que 
os bits de sinal são diferentes (em destaque com o quadrado) e também que 
ambas as parcelas possuem o mesmo número de bits (4 bits). O número -4 estará 
representado na sua forma de complemento de 2. 
 
9 0 1001
4 11100
___________
5 0 0101
+ →
− →
+ →
 
 
 Existe ainda um carry de 1 resultante da soma dos bits de sinal, que será 
desconsiderado. 
 
 
• Caso 3: Um Número Positivo e Outro Maior e Negativo 
 
Considere agora a adição do número -9 com +4, que resulta em -5. Observe 
que os bits de sinal são diferentes (em destaque com o quadrado) e também que 
ambas as parcelas possuem o mesmo número de bits (4 bits). O número -9 estará 
representado na sua forma de complemento de 2. 
 
9 1 0111
4 0 0100
___________
5 11011
− →
− →
− →
 
 
 Como o resultado da soma é negativo, ele está representado na sua forma 
de complemento de 2, de modo que os quatro últimos bits representam de fato o 
complemento de 2 do resultado. Para encontrar a magnitude verdadeira do 
resultado, deve-se fazer o complemento de 2 de 11011, resultado em 00101 = +5. 
 
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• Caso 4: Dois Números Negativos 
 
Considere a adição do número -9 com -4, que resulta em -13. Observe que 
os bits de sinal são diferentes (em destaque com o quadrado) e também que 
ambas as parcelas possuem o mesmo número de bits (4 bits). O número -9 e o 
número -4 estará representado na sua forma de complemento de 2. 
 
9 1 0111
4 11100
___________
13 1 0011
− →
− →
− →
 
 
 Existe ainda um carry de 1 resultante da soma dos bits de sinal, que será 
desconsiderado. O resultado final é novamente negativo, e fazendo o complemento 
de 2 do resultado, obtém-se como resultado 01101 = +13. 
 
 
5.4 – A Subtração Binária no Sistema de Complemento de 2 
 
 A operação de subtração que usa o complemento de 2 na verdade envolve a 
operação de soma, e não é diferente dos diversos casos de adição tratados no item 
5.3 anteriormente. Para efetuar a subtração de um número binário (subtraendo) de 
um outro número binário (minuendo), basta seguir os seguintes procedimentos: 
 
• Realizar a operação de negação do subtraendo, mudando o seu valor 
original para o seu equivalente com o sinal oposto; 
• Adicionar a esse número obtido ao minuendo, onde o resultado a ser obtido 
representa a diferença entre esses dois números. 
 
Mais uma vez, como eu todas as operações aritméticas em complemento de 
2, é necessário que os dois números tenham o mesmo número de bits em suas 
representações. Para exemplificar o exposto anteriormente, observe os 
procedimentos utilizados para realizar a subtração 9 – 4, que deverá ser igual a 
+5: 
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 9 01001
 4 00100
+ →
+ →
Minuendo
Subtraendo
 
 
Complementando de 2 o subtraendo (+4), tem-se: 
 
4 00100 11011 1
4 11100
+ → → +
∴− =
 
 
Efetuando agora a subtração usando a propriedade já estudada da soma de 
um número positivo com um outro negativo, tem-se: 
 
9 01001
4 11100
___________
5 00101
+ →
− →
+ →
 
 
 Observe agora o exemplo em que mostra a subtração de dois números: do 
número -4 com o número +9. O resultado esperado é o número -13, pois tem-se 
que -4 - (+9) = -4 – 9 = -13. 
 
4 11100
9 01001
9 10110 1 10111
4 9
4 11100
9 10111
___________
13 10011
− →
+ →
− → + →
∴− −
− →
− →
− →
 
 
OBSERVAÇÃO: quando o bit de sinal for igual a 1, o resultado será negativo e 
estará na forma de complemento de 2. 
 
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5.5 – A Multiplicação Binária no Sistema de Complemento de 2 
 
 A multiplicação de números binários é feita da mesma maneira que a 
multiplicação de números decimais. Na realidade, o processo é mais simples, visto 
que os dígitos multiplicadores só podem ser 0 ou 1, ou seja, a multiplicação será 
executada sempre multiplicando por 0 ou por 1 apenas e por nenhum outro dígito. 
Observe o exemplo a seguir: 
 
9 1001
11 1011
______________
 1001
 1001
 0000
 1001
_____________
99 1100011
+ →
+ →
+ →
 
 
 A operação acima mostrou a multiplicação de dois termos, com números 
positivos. Quando os dois números forem negativos, eles deverão estar na forma 
de complemento de 2, e para efetuar a multiplicação deles (que obviamente 
resultará em um número positivo), basta realizar o complemento de 2 de ambos os 
números, convertendo-os em números positivos. Porém, quando um dos números 
for negativo e o outro for positivo, deve-se complementar o negativo (usando o 
complemento de 2), realizando a multiplicação dos dois números positivos, obtendo 
o produto de magnitude correta, porém com sinal errado. Dessa forma, deve-se 
realizar o complemento de 2 do produto, obtendo o sinal correto da multiplicação. 
 Existe ainda outra forma de se obter a multiplicação é realizando a técnica 
de soma sucessiva do multiplicando, ou seja, somando-se N vezes esse número, 
podemos obter o mesmo resultado que o apresentado anteriormente. Observe o 
exemplo da multiplicação do número 5 x 2 em binário. Deseja-se multiplicar 5 
vezes o número 2, ou seja, podemos fazer uma soma sucessiva (5 somas) do 
número 2 (multiplicando): 
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2 00010
2 2 4 00010 00010 00100 2 
4 2 6 00100 00010 00110 3 
6 2 8 00110 00010 01000 4 
8 2 10 01000 00010 01010 5 
+ →
+ + = + → + = →
+ + = + → + = →
+ + = + → + = →
+ + = + → + = →
somas
somas
somas
somas
 
 
 
5.6 – A Divisão Binária no Sistema de Complemento de 2 
 
 Assim como na multiplicação, é possível executar a divisão binária da 
mesma forma que a divisão decimal, porém, é interessante notar que a divisão, 
também podeser obtida através da utilização da subtração sucessiva do dividendo 
pelo divisor, usando o complemento de 2 do divisor. 
 É claro que nem sempre a divisão resultará num número exato na resposta, 
gerando o chamado ponto binário, assim como existe o ponto decimal para 
representar os números fracionários. Observe o exemplo a seguir, da divisão do 
número 9 por 3 e do número 9 por 4, que irão gerar os resultados, 3 e 2.25 
respectivamente. 
 
9 01001
3 00011
3 11101
1ª :
9 ( 3) 6 01001 11101 00110
2ª :
6 ( 3) 3 00110 11101 00011
3ª :
3 ( 3) 0 00011 11101 00000
+ →
+ →
− →
+ + − = + → + →
+ + − = + → + →
+ + − = → + →
Subtração
Subtração
Subtração
 
 
 
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+9→ 01001
+4→ 00100
−4→11100
1ª Subtração :
+9+ (−4) = +5→ 01001+11100→ 00101
2ª Subtração :
+5+ (−4) = +1→ 00101+11100→ 00001
3ª Subtração :
+1+ (−4) = −3→ 00001+11100→11101
 
 
 Observando o resultado da terceira subtração, percebe-se que obteve-se 
como resultado um número negativo. Dessa forma, é preciso que seja executado 
um deslocamento de um ponto binário, para que seja possível expressar 
corretamente o resultado fracionário. Dessa forma, o deslocamento será feito a 
partir da última resposta positiva do resto, que é igual a +1, obtido na segunda 
subtração, gerando como um número inteiro igual a 2. 
 Para obter a parte fracionária, basta acrescentar um ou mais zeros a direita 
do último resto positivo obtido para que seja possível executar a subtração do 
complemento de 2 do divisor. A resposta da parte fracionária será obtida através da 
quantidade de vezes que é possível executar a subtração do valor do resto 
deslocado, e para cada deslocamento, o expoente da base diminui de um, como 
apresentado na tabela abaixo: 
 
 
24 23 22 21 20, 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 
 
 
 
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2ª :
5 ( 4) 1 00101 11100 00001
 1 :
00001 000010
( 2) ( 4) 2 000010 111100 1
 2 :
00001 0000100
( 4) ( 4) 0 0000100 1111100 0000000 !!!
: 000
+ + − = + → + →
→
+ + − = − → + ∴ +
→
+ + − = → + = ∴
Subtração
Deslocando zero
deslocar vez
Deslocando zeros
OK
RESPOSTA 10,01
 Parte Inteira: 2 00010
 Parte Fracionária: 0.25 01
→
→
 
5.7 - Exercícios de Fixação 
1 - Realize as operações indicadas abaixo: 
A (+17) + (+13) =
B (+16) + (-12) =
C (-15) + (+18) =
D (-19) - (+20) =
E (+12) x (+5) =
F (+11) x (-6) =
G (+15) ÷ (+4) =
H (+16) ÷ (+4) =
I (+52) ÷ (+8) =