Desconto Simples

Prévia do material em texto

Objetivos da aprendizagem
61
UNIDADE
DESCONTOS SIMPLES
v Reconhecer e distinguir os títulos de créditos
mais utilizados em operações financeiras ;
v Distinguir desconto comercial de desconto
nacional;
v Resolver problemas que envolvam esses tipos
de descontos;
v Calcular a taxa de juro efetiva;
v Relacionar taxa de juro simples e taxa de
desconto simples;
v Fazer a equivalência de capitais diferidos; e
v Calcular o valor atual de um título de crédito.
3
62
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Você nunca ficou curioso em saber se duas formas de pagamentos são
equivalentes?
Se é mais vantajoso pagar uma conta à vista ou parcelar o pagamento dessa
conta, aplicando o resto do dinheiro para render juro?
Como calcular a diferença existente entre taxa de juro e taxa de desconto?
Essas e outras questões estão relacionadas as operações de desconto que
serão discutidas nessa unidade.
Antes de mais nada, dirija-se ao livro texto e estude o Capítulo 9. Nesse capítulo
há um estudo detalhado sobre desconto simples.
Então, vamos reforçar alguns conceitos.
No mundo econômico-financeiro, as diferentes transações de compra e venda
que ocorrem entre os empresários ou entre empresários e consumidores, podem ser feitas
à vista ou a prazo.
Quando a transação comercial é feita à vista, quem paga, ao receber o serviço
ou a mercadoria, tem direito a um abatimento. Agora, quando a transação comercial é feita
a prazo, quem compra, assume a obrigação de pagá-la no futuro. Nesse caso, a mercadoria
ou o serviço foi comprado a crédito.
O crédito é, por conseguinte, o ato de confiança pelo qual quem tem dinheiro
para emprestar, ou mercadorias e serviços para vender, o faz a outrem em troca de uma
promessa de pagamento futuro.
É natural então, que quem comprou ou emprestou para pagar no futuro, entregue
ao credor um comprovante dessa dívida, em que ele, o comprador, reconhece a dívida e
assina, para resgatá-la posteriormente.
Os documentos que comprovam dívidas a serem pagas no futuro são
denominados de Títulos de Crédito.
Os títulos de crédito mais utilizados são: a nota promissória, a duplicata e a letra
de câmbio.
UNIDADE 3 – Descontos Simples
63
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Na nota promissória devem constar: valor nominal, data de vencimento, nome
e assinatura do devedor e nome do credor.
Na duplicata deve constar: aceite do cliente, valor nominal, data de vencimento,
nome do devedor, nome do credor. Uma duplicata só tem valor legal, se for feita tendo por
base uma nota fiscal.
Na letra de câmbio deve constar: valor de resgate, data de vencimento e quem
deve pagar.
Já sabemos, que se uma pessoa paga à vista, ela tem direito a um abatimento.
Da mesma forma, uma pessoa que contraiu dívidas para pagar no futuro, caso deseje
antecipar o pagamento dessa dívida, também tem direito a um abatimento sobre o valor da
mesma.
Esse benefício, obtido de comum acordo, que quem paga à vista ou quem antecipa
um pagamento tem direito, recebe o nome de Desconto.
O desconto também ocorre, quando o titular de um documento de crédito, cujo
vencimento ocorrerá dentro de um certo prazo, necessite de seu dinheiro antes da data de
vencimento. Nesse caso, ele pode negociar o titulo de crédito com um terceiro, que pagará
ao proprietário do título uma quantia menor que aquela fixada no titulo de crédito;
caracterizando assim uma operação de desconto. Se esse terceiro for um banco, o
proprietário do título receberá como pagamento o valor nominal do título, diminuído de um
valor, assim constituído:
· Um juro a ser abatido do valor do título, como pagamento pelo adiantamento
do capital, que é o desconto propriamente dito; e
· Uma parte relativa a taxas e comissões cobradas pelo banco com a finalidade
de garantir as despesas e riscos decorrentes da operação.
Dessa forma, desconto é a quantia que deve ser abatida do valor nominal do
título de crédito, isto é, a diferença entre o valor nominal e o valor atual do título.
Há dois tipos de descontos: o desconto comercial e o desconto racional.
O desconto comercial é calculado sobre o valor nominal do título.
O desconto racional é calculado sobre o valor atual do título.
64
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Após esses comentários, retorne ao livro texto e reveja os conceitos de: desconto
racional, desconto comercial, valor nominal, valor atual, dia de vencimento, tempo ou prazo,
taxa de juro efetiva e equivalência de capitais.
Agora que você já reviu todos esses conceitos, vamos resolver alguns problemas
sobre operações de desconto, lembrando que:
1) Valor do desconto comercial:
niNd ××= 
VALOR DO DESCONTO COMERCIAL
VALOR NOMINAL DO TÍTULO
TAXA DE DESCONTO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
 
ANd -= 
VALOR DO DECONTO COMERCIAL
VALOR NOMINAL DO TÍTULO
VALOR ATUAL DO TÍTULO
2 ) Taxa de juro efetiva:
 
nA
d
if
*
=
 
TAXA DE JURO EFETIVA
VALOR ATUAL COMERCIAL DO TÍTULO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
 VALOR DO DESCONTO COMERCIAL
3 ) Valor atual comercial:
 ( )niNA ×-×= 1 
VALOR ATUAL DO TÍTULO
VALOR NOMINAL DO TÍTULO
TAXA DE DESCONTO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
UNIDADE 3 – Descontos Simples
65
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
4 ) Valor do desconto racional:
 
VALOR DO DESCONTO RACIONAL
VALOR ATUAL RACIONAL
TAXA DE DESCONTO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
 niArdr ××=
5 ) Valor do desconto racional em função do valor nominal:
 
VALOR DO DESCONTO RACIONAL
TAXA DE DESCONTO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
VALOR NOMINAL DO TÍTULO
 ni
niN
dr
×+
××
=
1
6 ) Valor do desconto racional em função do desconto comercial:
 
 VALOR DO DESCONTO RACIONAL
 TAXA DE DESCONTO
 TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
 DESCONTO COMERCIAL
ni
d
dr
×+
=
1
7 ) Valor atual racional:
 
VALOR ATUAL RACIONAL
TAXA DE DESCONTO
TEMPO OU PRAZO DE ANTECIPAÇÃO
VALOR NOMINAL DO TÍTULO
ni
N
Ar
×+
=
1
66
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
8 ) Relação entre taxa de desconto e taxa de juro simples e vice-versa:
8.1 
TAXA DE JURO SIMPLES
TAXA DE DESCONTO SIMPLES
TEMPO OU PRAZO
nid
id
i
×-
=
1
8.2 
TAXA DE DESCONTO SIMPLES
TAXA DE JURO SIMPLES
TEMPO OU PRAZO
ni
i
id
×+
=
1
Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
Uma nota promissória de R$ 12.000,00 vai ser descontada a taxa de 3,6% ao
mês, faltando 73 dias para o seu vencimento. Calcule:
a) O valor do desconto comercial;
b) O valor do desconto racional;
c) O valor atual comercial;
d) O valor atual racional;
e) A taxa de juro efetiva.
UNIDADE 3 – Descontos Simples
67
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Destacamos todos os dados do problema:
· Valor da promissória : R$ 12.000,00 Þ N = 12000
· Taxa de desconto : 3,6% a.m Þ i = 3,6% a.m.
· Tempo de antecipação : 73 dias Þ n = 73
2º Passo:
Solução do item a: É imediata. É só aplicar a fórmula do desconto comercial nos
dados do problema, tendo apenas o cuidado de colocar a taxa e o tempo na mesma unidade
referencial.
 i = 3,6% a.m ¸ 30 = 0,12% a.d. = 0,0012 a.d
 d = N . i . n
 d = 12000 . 0,0012 . 73 Þ d = 1051,2
logo, o desconto comercial será de R$ 1.051,20
3º Passo:
Solução do item b: Também é imediata. Vamos aplicar os dados que nós já
conhecemos na fórmula para o cálculo do desconto racional.
 
ni
niN
dr
×+
××
=
1
 730012,01
730012,012000
×+
××=dr
 0876,01
20,1051
+
=dr
 0876,1
20,1051=dr 53,966=Þ dr
Logo, o valor do desconto racional seráR$ 966,53.
68
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
Observação: Note como o valor do desconto racional é menor que o valor do
desconto comercial, calculada no item a deste problema. Você poderia calcular o desconto
racional também fazendo uso da fórmula :
ni
d
dr
×+
=
1
4º Passo:
Solução do item c: Também é imediata. Vamos aplicar os dados do problema já
conhecidos na fórmula do valor atual comercial.
( )niNA ×-×= 1
( )730012,0112000 ×-×=A
( )0876,0112000 -×=A
80,948.109124,012000 =Þ×= AA
Logo, o valor atual comercial será R$ 10.948,80.
Observação: Você também poderia calcular o valor atual comercial usando a
fórmula:
ANd -= dNA -=Þ
5º Passo:
Solução do item d: Também tem solução imediata. Basta aplicar os dados
conhecidos do problema na fórmula do valor atual racional.
ni
N
Ar
×+
=
1
730012,01
12000
×+
=Ar
0876,01
12000
+
=Ar
0876,1
12000=Ar 47,033.11=Þ Ar
 Logo, o valor atual racional será R$ 11.033,47.
UNIDADE 3 – Descontos Simples
69
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Observação: Note que o valor atual comercial é menor que o valor atual racional.
Isso se deve ao fato de que, o desconto comercial é maior que o desconto racional.
O valor atual racional, poderia também ser calculado pelo uso da expressão :
6º Passo:
Solução do item e: Este item também tem solução imediata, já que todas as
incógnitas da fórmula são conhecidas, temos:
nA
d
if
×
=
7380,10948
20,1051
×
=if
40,799262
20,1051=if
daif .001315212,0= ..0394,0 maif = ou maif .%94,3=
Observação: Note que a taxa de juro efetiva é maior que a taxa de juro de
desconto; isso acontece, para que haja igualdade entre o capital empregado e o valor atual
do título.
Exemplo 2:
Um empresário deseja substituir três títulos, um de R$ 8.000,00 para 60 dias,
outro de R$ 20.000,00 para 90 dias e outro de R$ 32.000,00 para 120 dias, por dois outros
títulos de valores nominais iguais, com vencimento para 45 e 90 dias, respectivamente.
Qual o valor nominal comum dos novos títulos, sabendo que taxa de desconto comercial da
transação é de 3% ao mês ?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
ArNdr -= drNAr -=
1º Passo: Esse é um problema de equivalência de capitais . Primeiro,
destacamos todos os dados do problema, colocando juntos aqueles dados que se
correspondem:
I1 = i2 = i3 = i4 = i5 = 3% a.m = 0,03 a.m
70
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
2º Passo: Calculamos os valores atuais comerciais de cada título:
Título1: A1 = N1.(1 – i1.n1) = 8000.(1 – 0,03 . 2) = 8000.0,94 = 7520
Título2: A2 = N2.(1 – i2.n2) = 20000.(1 – 0,03.3) = 20000.0,91 = 18200
Título3: A3 = N3.(1 – i3.n3) = 32000.(1 – 0,03.4) = 32000.0,88 = 28160
Título4: A4 = N4.(1 – i4.n4) = X . (1 – 0,03.2,5) = X . 0,925 = 0,925X
Título5: A5 = N5 . (1 – i5.n5) = X . (1 – 0,03.3) = X . 0,91 = 0,91X.
3º Passo: Somamos os valores atuais dos títulos que o empresário deseja
substituir (t1,t2,t3), e igualamos a soma dos valores atuais dos títulos que ele está se propondo
pagar (t4,t5). Assim:
 A4 + A5 = A1 + A2 + A3
 0,925X + 0,91X = 7520+18200+28160
 1,835X = 53880
 X = 53880 Þ X = 29362,40
 1,835
Logo, o valor nominal do título 4 e do título 5 será R$ 29.362,40, cada.
Exemplo 3:
Se a taxa de desconto comercial for de 5% ao mês, e o prazo de vencimento de
uma duplicata for de 3 meses, qual a taxa mensal de juro simples da operação?
 Título 1 
N1 = 8000 
n1 = 60d = 2m 
Título 2 
N2 = 20000 
n2 = 90d = 3m 
Título 3 
N3 = 32000 
n3 = 120d = 4m 
Título 4 
N4 = X 
n4 = 45d = 2,5m 
Título 5 
N5 = X 
n5 = 90d = 3m 
UNIDADE 3 – Descontos Simples
71
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Destacamos todos os dados do problema:
· Taxa de desconto comercial : 5% a.m Þ id = 5% = 0,05
· Tempo de vencimento : 3 meses Þ n = 3
2º Passo: Agora pegamos a fórmula que relaciona taxa de juro com taxa de
desconto simples e fazemos as devidas substituições:
nid
id
i
×-
=
1
305,01
05,0
×-
=i
15,01
05,0
-
=i
85,0
05,0=i 0588,0=Þ i ou ma.%88,5
Logo, a taxa mensal de juro simples é 5,88% a.m.
Exemplo 4:
Uma duplicata com prazo de vencimento de 5 meses foi descontada em num
banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros simples igual a 4,5% ao mês. Qual a taxa de
desconto utilizada?
Solução: Procedemos da seguinte maneira:
1º Passo: Vamos primeiro destacar todos os dados do problema:
· Prazo de vencimento da duplicata : 5 meses Þ n = 5
· Taxa de juro simples : 4,5% a.m. Þ i = 4,5% = 0,045
2º Passo: Agora aplicamos esses dados na fórmula que relaciona taxa de
desconto com taxa de juro simples:
72
Universidade da Amazônia – UNAMA
MATEMÁTICA COMERCIAL E FINANCEIRA
ni
i
id ×+
=
1
5045,01
045,0
×+
=di
225,01
045,0
+
=di
225,1
045,0=di 0367,0=Þ id ou ma.%67,3
logo, a taxa de desconto será 3,67% a.m.
Agora que nós já revisamos os conceitos propostos nessa unidade e resolvemos
alguns problemas com as respectivas aplicações de fórmulas, retorne ao livro texto e reveja
minuciosamente, os exercícios resolvidos nas páginas 100,101,102,104,105 e 107. Só os
exercícios resolvidos.
Estamos concluindo os estudos de mais uma unidade. É hora de colocar em
prática os seus conhecimentos.
Vá a ferramenta ATIVIDADES, Atividade 9 - Aprimorando Meus
Conhecimentos Sobre Desconto Simples, e reforce os seus
conhecimentos resolvendo alguns problemas. Ah! Junte-se a mais
um colega de turma.
UNIDADE 3 – Descontos Simples
73
Núcleo de Educação a Distância – NEAD
 SÍNTESE DA UNIDADE
Principais Títulos de Crédito: Nota promissória, duplicata e letra de câmbio.
Desconto: É a quantia a ser abatida do valor nominal, isto é, a diferença entre o
valor nominal e o valor atual.
Desconto Comercial, Bancário ou Por Fora: É aquele calculado sobre o valor
nominal do título.
Fórmula para o Cálculo do Desconto Comercial: d = N . i. n
Fórmula para o Cálculo do Valor Atual Comercial: A = N . (1 – i. n)
Fórmula para o Cálculo da Taxa de Juro Efetiva: 
nA
d
if
.
=
Equivalência de Capitais Diferidos: Dizemos que dois ou mais capitais
diferidos são equivalentes, em certa época, quando seus valores atuais, nessa época, são
iguais.
Desconto Racional ou por Dentro: É aquele calculado sobre o valor atual de
um título.
Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional: dr = A . i . n
Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional em Função do valor
Nominal:
dr= 
ni
niN
.1
..
+
Fórmula para o Cálculo do Valor Atual Racional: Ar = ni
N
.1+
Fórmula para o Cálculo do Desconto Racional em Função do Desconto
Comercial:
dr = ni
d
.1+