Res Mat 2 Apostila 04 1 Flexão Lista de Exercícios

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 1/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 1 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS DE FLEXÃO 
 
1 – FLEXÃO PURA 
1.1 – Calcular as tensões máximas que ocorrem na viga de madeira, de seção 
transversal 10 cm x 40 cm. 
 
1.2 – Determinar o valor máximo da força P se a viga de madeira possui as seguintes 
características: σt_adm = 100 kgf/cm2 ; σc_adm = 60 kgf/cm2 
Obs.: dimensões da seção transversal em centímetros. 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 2/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 2 
 
2 – FLEXÃO SIMPLES 
2.1 – Dada a viga de madeira abaixo, calcular: 
 As tensões normais e cisalhante atuantes no ponto “P” da seção transversal da 
seção “S” da viga; 
 As máximas tensões normais e cisalhante na seção “S”; 
 Os diagramas de tensões normais e tensões cisalhantes. 
 
2.2 Calcular a tensão máxima de cisalhamento na alma da viga T, submetida a um 
esforço cortante máximo de 5000 kgf. 
 
2.3 - Traçar os diagramas de tensão cisalhante para a seção transversal da viga 
submetida a um cortante máximo de 24 tf. 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 3/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 3 
 
2.4 – Traçar os diagramas de tensões normais e tangenciais para a seção “S” da viga 
abaixo, nos pontos 1, 2, 3, 4 e 5 indicados na seção transversal da viga: 
 
 
 
 
2.5 - A viga, com seção transversal em caixão, suporta duas cargas de 16 tf, como 
mostrado. Pede-se determinar: 
a) Traçado dos diagramas de esforços solicitantes; 
b) As máximas tensões normais de tração e compressão; 
c) A máxima tensão de cisalhamento; 
d) Traçado dos diagramas de tensões normais e de cisalhamento. Indicar o tipo 
de tensão normal no diagrama. 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 4/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 4 
 
2.6 - Determinar a menor altura “h” que deve ter a viga mostrada, se o material 
possui as seguintes características: 
a) Tensão máxima de tração: σadm-t = 80 kgf/cm
2; 
b) Tensão máxima de compressão: σadm-c = 60 kgf/cm
2; 
c) Tensão máxima de cisalhamento: τadm = 10 kgf/cm
2; 
 
 
 
3 – FLEXÃO OBLÍQUA 
3.1 – Calcular as tensões atuantes em cada aresta da seção transversal abaixo e 
traçar o diagrama de tensões normais (DTN). 
Dados: Mx = 10 tf.m ; My = 6 tf.m 
 
3.2 – O momento resultante de 2 tf.m atua na seção transversal de uma viga. 
Determinar as tensões normais máximas, inclinação da linha neutra e o diagrama 
de tensões normais. 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 5/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 5 
 
3.3 – Determinar as tensões máximas na seção transversal da viga engastada, devido 
a flexão oblíqua. 
Dado: α = 40º 
 
3.4 – Calcular as máximas tensões normais na viga onde α = 60º. 
Obs.: Dimensões da seção em centímetros. 
 
3.5 – Dado o DMF abaixo, determine os valores das tensões atuantes em cada aresta 
da seção transversal da viga, para a seção onde ocorre o momento fletor 
máximo. Dado: α = 110º. 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 6/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 6 
 
 
3.6 – Uma terça de telhado com inclinação de 30º deve suportar uma carga de 3 
kN/m. A terça é considerada uma viga bi-apoiada com 1,20 m de vão e seção 
6 cm x 12 cm. Calcular as tensões máximas. 
 
 
 
 
3.7 – Para a viga engastada abaixo, com seção transversal em “T”, pede-se: 
a) As tensões normais nos pontos “A”, “B” e “C” indicadas na seção transversal; 
b) As tensões máximas atuantes na seção; 
c) O diagrama de tensões normais. 
Dado: α = 140º 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 7/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 7 
 
3.8 – Para a seção mais solicitada, determinar a posição do plano solicitante e da 
linha neutra. Calcular as tensões máximas e traçar o DTN. 
 
3.9 – Em um perfil laminado C 10” x 22,7 kg/m, em aço ASTM A 36, atuam os 
momentos Mx = -10 tf.m e My = - 20 tf.m. Calcular as tensões máximas. 
Características Geométricas 
do Perfil laminado 
Peso 22,7 kg/m 
Área 20 cm2 
Jx 2800 cm4 
Jy 95 cm4 
dCG 1,61 cm 
H 25,4 cm 
bf 66,04 mm 
tw 6,1 mm 
tf 11,10 mm 
 
3.10 – Calcular as tensões máximas atuantes na barra engastada, de seção circular. 
Dado: α = 120º 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 8/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 8 
 
4 – FLEXÃO COMPOSTA 
 
4.1 – Calcular as tensões normais atuantes na seção do pilar pela ação da força N de 
350 tf. Traçar o DTN. 
 
 
4.2 – Calcular as tensões máximas e as tensões nos pontos A e B, indicados na seção 
transversal. Traçar o DTN. 
` 
4.3 – Idem ao problema anterior, considerando também a ação de uma carga 
uniformemente distribuída de 10 kN/cm em todo o comprimento da viga. 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 9/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 9 
 
4.4 – Determinar a posição do centro de ataque (CA) e da linha neutra. Traçar o DTN 
na seção crítica. 
 
4.5 –Determinar a posição do centro de ataque (CA), da linha neutra e traçar o DTN 
para o pilar submetido à ação das cargas P1 = 40 kNe P2 = 120 kN. 
 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 10/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 10 
 
GABARITO - FLEXÃO PURA 
1.1 – Inércia = 53333 cm4 ; σ sup = 75 kgf/cm2 (compressão) ; σ inf = 75 kgf/cm2 (tração) 
_______________________________________________________________________________ 
1.2 - YCG-Sup = 12,5 cm ; YCG-Inf = 17,5 cm ; Ix = 30833 cm
4 
 Pmáx pela tensão admissível a tração = 1468 kgf 
 Pmáx pela tensão admissível a compressão = 1233 kgf 
 Conclusão: Pmáx = 1233 kgf 
======================================================================== 
GABARITO - FLEXÃO SIMPLES 
2.1 – QMÁX = 1000 kgf ; MfMÁX = 50000 kgf.cm ; Inércia = 1440 cm4 ; 
 
σS_P = 140 kgf/cm2 ; σS_MÁX = 208 kgf/cm2 ; µP = 100 cm3 ; µLN = 180 cm3 ; 
 
τS_P = 7 kgf/cm2 ; τLN_MÁX = 12,5 kgf/cm2 
_________________________________________________________________________ 
2.2 A = 64 cm2 ; YCG-Sup = 6,63 cm ; YCG-Inf = 13,37 cm; Ix = 2556 cm
4 ; 
µ1-1 = 0 ; µ2-2 = 158 cm3 ; µ3-3 = 179 cm3 ; µ4-4 = 0 ; 
τ1-1 = 0 ; τ 2-2-mesa = 22 kgf/cm2 ; τ 2-2-alma = 155 kgf/cm2 ; τ 3-3 = 175 kgf/cm2 ; τ 4-4 = 0 
_________________________________________________________________________ 
2.3 - YCG-Sup = 10 cm ; YCG-Inf = 10 cm ; Ix = 4587 cm
4 ; 
µ1-1 = 0 ; µ2-2 = 216 cm3 ; µ3-3 = 280 cm3 ; µ4-4 = µ2-2 = 216 cm3 ; µ5-5 = 0 ; 
τ1-1 = 0 ; τ 2-2-mesa = τ 4-4-mesa = 94 kgf/cm2 ; τ 2-2-alma = τ 4-4-alma = 565 kgf/cm2 ; 
 τ 3-3 = 733 kgf/cm2 ; τ 5-5 = 0 
_________________________________________________________________________ 
2.4 - RA = 1800 kgf ; RB = 600 kgf ; QS = +1000 kgf ; MfS = -800 kgf.m ; A = 68 cm
2 ; 
YCG-Sup = 5,4 cm ; YCG-Inf = 8,6 cm ; Ix = 1406 cm
4 ; σt = 307 kgf/cm2 ; σc = 489 kgf/cm2 
µ1-1 = 0 ; µ2-2 = 136 cm3 ; µ3-3 = 137,96 cm3 ; µ4-4 = 91,20 cm3 ; µ5-5 = 0 ; 
τ1-1 = 0 ; τ 2-2-mesa = 10 kgf/cm2 ; τ 2-2-alma = 48 kgf/cm2 ; τ 3-3 = 49 kgf/cm2 ; 
τ 4-4-mesa = 32 kgf/cm2 ; τ 4-4-alma = 11 kgf/cm2 ; τ 5-5 = 0 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 11/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 11 
 
_________________________________________________________________________ 
2.5 - RA = 28 tf ; RB = 4 tf ; Qmax = -16 tf ; Mfmáx = -16 tf.m ; Ix = 24833 cm
4 ; 
σt = σc = 966 kgf/cm2 
µ1-1 = 0 ; µ2-2 = 875 cm3 ; µ3-3 = 1075 cm3 ; µ4-4 = 875 cm3 ; µ5-5 = 0 ; τ1-1 = 0 ; 
τ 2-2 = 40 kgf/cm2 ; τ 2-2 = 141 kgf/cm2 ; τ 3-3 = 173 kgf/cm2 ; 
τ 4-4 = 141 kgf/cm2 ; τ 4-4 = 40 kgf/cm2 ; τ 5-5 = 0 
_________________________________________________________________________ 
2.6 - RA = 3,33 tf ; RB = 4,67 tf ; Qmax = +4670 kgf ; Mfmáx = -727000 kg.cm ; 
Pela tensão admissível a tração: hmínimo = 85,26 cm; 
Pela tensão admissível a cisalhamento: hmínimo = 70,05 cm ; 
Conclusão: hmínimo >= 85,26 cm. 
 
======================================================================== 
GABARITO - FLEXÃO OBLÍQUA 
3.1 - Ix = 1280000 cm4 ; Iy = 180000 cm4 ; θ = 30,96º 
α = 120,96º ; σtr = σcomp = 81,25 kgf/cm2 ; β = -76,81º 
Tensões atuantes nas arestas: iniciando na aresta superior direita e sentido anti 
horário: σ1 = -18,75 kgf/cm2 ; σ2 = +81,25 kgf/cm2 ; σ3 = +18,75 kgf/cm2 ; 
 σ4 = -81,25 kgf/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.2 - My = 1 tf.m ; Mx = 1,732 tf.m ; Ix = 208333,33 cm4 ; Iy = 33333,33 cm4 ; α = 60º ; 
β = +74,51º ; σtr = σcomp = 50,78 kgf/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.3 - Mfmáx = 6 tf.m ; My = 459,63 tf.cm ; Mx = 385,67 tf.cm ; 
Ix = 1406,25 cm4 ; Iy = 156,25 cm4 ; Ângulo do vetor momento resultante (θ) = 50º ; 
β = 84,67º ; σtr = σcomp = 9,41 tf/cm2 
 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 12/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 12 
 
_______________________________________________________________________ 
3.4 - Reação_esq – 7,4 tf ; Reação_dir = 15,6 tf ; Mfmáx = 12 tf.m (na seção do apoio direito); 
 Mx = 1039,23 tf.cm ; Mx = 600 tf.cm ; ysup = 8,45 cm ; yinf = 21,55 cm ; θ = 30º ; 
Ix = 47143,6 cm4 ; Iy = 173500 cm4 ; β = 8,9º ; 
 σcomp = 0,492 tf/cm2 ; σtração = 0,307 tf/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.5 – Mfmáx = Mr = 10 tf.m ; Mx = 939690 kgf.cm ; My = 342020 kgf.cm ; 
θ = 20º ; ysup = 9,97 cm ; yinf = 24,03 cm ; xesq = 9,97 cm ; xdir = 24,03 cm ; 
Ix = Iy = 27605,08 cm4 ; β = -20º 
Tensões máximas atuantes: σmáx_comp = 891,96 kgf/cm2 ; σtr = 462,90 kgf/cm2 
Tensões atuantes nas arestas: iniciando na aresta superior direita e sentido anti 
horário: σ1 = 41,66 kgf/cm2 ; σ2 = 462,90 kgf/cm2 ; σ3 = 694,47 kgf/cm2 ; 
 σ4 = 744,02 kgf/cm2 ; σ5 = 277,19 kgf/cm2 ; σ6 = 94,50 kgf/cm2 
Arestas com tensão de tração: 1, 2 e 5 
Arestas com tensão de compressão: 3, 4 e 6 
________________________________________________________ 
3.6 - Mfmáx = 0,54 kN.m ; My = 0,27 kN.m ; Mx = 0,47 kN.m ; 
Ix = 864 cm4 ; Iy = 216 cm4 ; β = 66,59º ; σtr = σcomp = 0,7 kN/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.7 - Mfmáx = 40 kN.m ; My = 30,64 kN.m ; Mx = 25,71 kN.m ; θ = 50º ; 
ysup = 16,11 cm ; yinf = 33,89 cm ; Ix = 235666,67 cm
4 ; Iy = 185760,0 cm4 ; 
β = -56,51º ; σA = -0,03 kN/cm2 ; σB = +0,56 kN/cm2 ; σC = -0,19 kN/cm2 ; 
σcomp = 0,47 kN/cm2 ; σtr = 0,67 kN/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.8 - Mx = -150 kN.m ; My = +140 kN.m ; Mr = 205,18 kN.m ; θ = 43,03º ; 
ysup = 34,02 cm ; yinf = 32,98 cm ; xesq = 34,76 cm ; xdir = 20,24 cm ; 
Ix = 644122,84 cm4 ; Iy = 182512,47 cm4 ; β = -73,11º ; 
σcomp = 2,32 kN/cm2 ; σtr = 3,46 kN/cm2 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 13/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 13 
 
_______________________________________________________________________ 
3.9 - Mr = 22,36 tf.m ; θ = 63,43º ; β = -89º ; 
σcomp = 38,43 tf/cm2 ; σtr = 109,67 tf/cm2 
_______________________________________________________________________ 
3.10 – Mfmáx = 2560 kgf.m ; Mx = 2217 kgf.m ; My = 1280 kgf.m ; θ = 30º ; 
Ix = Iy = 1017,88 cm4 ; β = -30º ; σcomp = σtr = 1509 kgf/cm2 
 
======================================================================== 
GABARITO - FLEXÃO COMPOSTA 
4.1 - A = 3600 cm2 ; Ix = Iy = 1080000 cm4 ; My = 7000 tf.cm ; i2x = i2y = 300 cm2 
Somatório dos Esforços: My = 7000 tf.cm ; N = 350 tf 
Posição do CA: No próprio ponto de atuação da carga N: xc = 20 cm 
Posição da LN: x0 = 15 cm 
σcomp = 0,292 tf/cm2 ; σtração = 0,097 tf/cm2 
_______________________________________________________________________ 
4.2 - A = 58 cm2 ; Ix = 2189,33 cm4 ; = Iy = 336,71 cm4 ; i2x = 37,76 cm2 ; i2y = 5,81 cm2 
Somatório dos Esforços: Mx = 350 kN.cm ; My = 125 kN.cm ; N = 50 kN 
Posição do CA: No próprio ponto de atuação da carga N (4º quadrante): 
 xc = 2,5 cm ; yc = 7 cm 
Posição da LN: x0 = 2,32 cm ; y0 = 5,39 cm 
σtr-max = 2,27 kN/cm2 ; σcompr-max = 4,00 kN/cm2 ; 
σA = -0,18 kN/cm2 ; σB = -1,76 kN/cm2 
_______________________________________________________________________ 
4.3 - Somatório dos Esforços: Mx = 72350 kN.cm ; My = 125 kN.cm ; N = 50 kN 
Posição do CA: 4º quadrante: xc = 2,5 cm ; yc = 1447 cm 
Posição da LN: x0 = 0,026 cm ; y0 = 2,324 cm 
σtr-max = 265,37 kN/cm2 ; σcompr-max = 267,09 kN/cm2 ; 
σA = +197,14 kN/cm2 ; σB = +195,56 kN/cm2 
UNIVERSIDADE ESTÁCIO DE SÁ – CAMPUS NITERÓI 
CURSO DE GRADUAÇÃO: ENGENHARIA CIVIL 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II 
 14/14 
 
Resistência dos Materiais II 
Lista de Exercícios sobre Flexão 
Prof.: Valéria Nunes e Alexandre Bettoni Página 14 
 
_______________________________________________________________________ 
4.4 - A = 6000 cm2 ; Ix = 11.250.000 cm4 ; = Iy = 800.000 cm4 ; 
 i2x = 1875 cm2 ; i2y = 133,33 cm2 
Somatório dos Esforços: Mx = 120.000 kN.cm ; N = 500 kN 
Posição do CA: yc = 240 cm 
Posição da LN: y0 = 7,81 cm 
σtr-max = 0,72 kN/cm2 ; σcompr-max = 0,88 kN/cm2 ; 
_______________________________________________________________________ 
4.5 - A = 1200 cm2 ; Ix = 90.000 cm4 ; Iy = 160.000 cm4 ; i2x = 75 cm2 ;i2y = 133,33 cm2 
Somatório dos Esforços: Mx = 1440 kN.cm ; My = 1000 kN.cm ; N = 160 kN 
Posição do CA: 1º quadrante: xc = 6,25 cm ; yc = 9 cm 
Posição da LN: x0 = 2,13cm ; y0 = 8,33 cm 
 σcomp_máx = 0,49 kN/cm2 ; σtr_máx = 0,23 kN/cm2 
_________________________________________________________________________