CEP_2013_2_JonatasSes_Probabilidade

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Unijorge 
Disciplina: CEP 
Professor: Jonatas SES 
2013.2 
Embora os jogos de azar fossem conhecidos desde 
3500 a.c. pelos egípcios, somente no sec. XVII iniciou-
se oficialmente os estudos de probabilidade com base 
nesses jogos . 
Apesar de não ser possível precisar a origem da 
probabilidade, desconfia-se que em algumas 
civilizações antigas, já se estudava a existência de 
regularidade em fenômenos aleatórios. 
 
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O Cálculo das Probabilidades se desenvolveu, a partir do 
século XVII, de forma independente, porém, paralela ao 
desenvolvimento da Estatística como disciplina científica. 
Em 1651, Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre de Fermat (1601-
1665) estabeleceram os Princípios do Cálculo das Probabilidades 
a fim de solucionar os problemas de jogos de azar proposto por 
um amigo apaixonado por jogos, o Chevalier De Meré. 
 
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Diversos matemáticos foram interessando-se pelo estudo de 
Probabilidade e com isso grandes resultados surgiram. 
O matemático Laplace (1749-1827) incorporou os estudos que 
vinham sendo desenvolvidos em probabilidade no “Tratado 
analítico das probabilidades”, desenvolvendo a definição 
clássica de probabilidade 
 
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o Cálculo das Probabilidades e a Estatística, que vinham 
sendo desenvolvidas separadamente, incorporam-se de 
tal forma que hoje a Teoria das Probabilidades é uma das 
bases da Estatística. 
Com o Cálculo das Probabilidades, a Estatística pôde ser 
impulsionada teoricamente e chegar ao extraordinário 
desenvolvimento e aperfeiçoamento alcançado. 
 
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Além das aplicações formais de probabilidade, o conceito 
de probabilidade está no nosso dia-a-dia em frases como: 
 Provavelmente vai chover amanhã. 
 É provável que o avião atrase. 
 Há boas chances de eu comparecer amanhã. 
Essas expressões estão baseadas na probabilidade de que 
certo evento ocorra 
 
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Determinísticos: Ocorrem quando, dadas as condições de 
experimentação, pode-se determinar ou predizer, com certeza, o 
resultado final do experimento. 
Os modelos matemáticos consistem em uma simplificação da 
realidade. São uma idealização das características do 
fenômeno observado. Eles podem ser: 
Exemplo: Formulações matemáticas e 
físicas para comprovação de teorias, como 
a lei da queda e movimentos dos corpos. 
 
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Não – Determinísticos (ou probabilísticos ou estocásticos): 
Ocorrem quando não é possível predizer, com certeza, o resultado 
antes da realização do experimento. 
Exemplo: 
O estudo do efeito de um fertilizante químico em 
uma parcela do solo; 
A taxa de inflação do próximo mês. 
Um médico investigando o efeito de uma droga 
administrada em pacientes; 
 
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De uma forma em geral, a Teoria das Probabilidades 
visa definir um modelo matemático probabilístico que 
seja conveniente à descrição e interpretação de 
fenômenos aleatórios. 
 
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 Lançamento de um dado e observação dos resultados. 
 
 Utilização de um novo medicamento para uma dada doença 
em três pacientes e observação de cura ou não 
 
 Uma Lâmpada é fabricada e observa-se o seu tempo de vida. 
 
 Lançamento de duas moedas 
São aqueles onde o processo de experimentação está sujeito a 
influências de fatores casuais e conduz a resultados incertos. 
(E) 
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 Cada experimento poderá ser repetido um grande número de vezes 
sob as mesmas condições; 
 
 Em cada repetição do experimento, não podemos afirmar que 
resultado particular ocorrerá, porém podemos descrever o conjunto 
de todos os resultados possíveis do experimento - as possibilidades 
de resultado; 
 
 Quando o experimento é repetido um grande número de vezes, 
surgirá uma regularidade nos resultados. Esta regularidade, 
chamada de regularidade estatística, é que torna possível construir 
um modelo matemático preciso com o qual se analisará o 
experimento. 
Características de um experimento aleatório: 
(E) 
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Conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento 
E: Lançamento de um dado e observação dos resultados. 
E: Utilização de um novo medicamento para uma dada 
doença em três pacientes e observação de cura ou não. 
𝜴={1,2,3,4,5,6} 
C=representa o paciente curado e C =representa o paciente não curado. 
Cada um dos elementos de  que corresponde a um resultado 
recebe o nome de “ponto amostral” (). 
𝜴={(C,C,C),(C,C,C ),(C,C ,C),(C,C ,C ),(C ,C,C),(C ,C,C ),(C ,C ,C),(C ,C ,C )} 
() 
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Qualquer subconjunto do espaço amostral () de um 
experimento aleatório. 
A: Ocorrência de números pares no lançamento de 
um dado e observação dos resultados. 
B: Dois pacientes curados em um experimento de um 
novo medicamento com 3 pacientes. 
A={2,4,6} 
B=(C,C,C ),(C,C ,C),(C ,C,C)} 
Em relação aos dois experimentos do slides anterior teríamos: 
(A, B, ...) 
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Evento simples ou elementar 
 É o evento formado por um único ponto amostral. 
 Exemplo: D: A observação de três pacientes curados 
 Evento certo 
 É o evento formado por todos os pontos amostrais. 
 Exemplo: E: sair um número menor ou igual a 6: 
Evento impossível 
 É o evento que não possui elementos em . 
 Exemplo: F: Sair a face 7 no dado. 
D={(C,C,C)} 
E={1,2,3,4,5,6}=𝜴 
F={∅} 
(A, B, ...) 
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• Entre eventos em um mesmo espaço amostral são permitidas todas as operações 
relativas aos conjuntos contidos num mesmo conjunto universo, como: 
 A união de dois eventos A e B (𝑨 ∪ 𝑩) 
Representa a ocorrência de, pelo menos, um dos eventos A ou B. 
 A intersecção do evento A com o B (𝑨 ⋂ 𝑩) 
Representa a ocorrência simultânea de A e B. 
 A diferença entre A e B (𝑨 − 𝑩) 
 A ocorrência de todos os elementos de A, exceto os que também estejam em B. 
• Ao realizar um experimento aleatório diz-se que o evento A ocorreu 
se o resultado observado for um elemento do subconjunto A. 
 
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Dizemos que dois eventos são mutuamente exclusivos quando a 
ocorrência de um impossibilita a ocorrência do outro, ou seja, se 
A e B são eventos mutuamente exclusivos, então: 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅. 
E: Lançamento de um dado  𝜴={1,2,3,4,5,6} 
Exemplo: 
A: Ocorrência de número par  𝐀={2,4,6} 
B: Ocorrência de número ímpar  B={1,3,5} 
Logo A e B são eventos mutuamente exclusivos, visto que: 
𝑨 ∩ 𝑩 = ∅. 
 
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Dizemos que dois eventos são complementares, se a união entre 
eles resulta no espaço amostral e se a intersecção resulta num 
evento impossível, ou seja, se 𝐴 e 𝐴𝑐 são eventos 
complementares, então: 𝑨 ∩ 𝑨𝒄 = ∅ e 𝑨 ∪ 𝑨𝒄 = 𝛀 . 
E: Lançamento uma moeda  𝜴={cara, coroa} 
Exemplo: 
A: Ocorrência de Cara  𝐀={cara} 
𝐴𝑐: Ocorrência de Coroa  𝑨𝒄={coroa} 
Logo A e B são eventos mutuamente são complementares,pois: 
𝑨 ∩ 𝑨 = ∅ e 𝑨 ∪ 𝑨 = *𝒄𝒂𝒓𝒂, 𝒄𝒐𝒓𝒐𝒂+ = 𝜴. 
(𝑨𝒄 ou 𝑨 ) 
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B  D: representa sair uma face par e maior que 3  {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {4, 6} 
BC: representa sair uma face par e ímpar  {2, 4, 6}  {1, 3, 5} =  
BD: representa sair uma face par ou maior que 3  {2, 4, 6}  {4, 5, 6} = {2, 4,5,6} 
BC: representa sair uma face par ou ímpar  {2, 4, 6}  {1, 3, 5} = {1, 2, 3,4, 5, 6} 
Bc = C 
Cc = B 
E: Lançamento de um dado. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Evento B: representa sair face par => B = {2, 4, 6} 
Evento C: representa sair uma face ímpar => C = {1, 3, 5} 
Evento D: representa sair uma face maior que 3 => D = {4, 5, 6} 
Evento E: representa sair face 1 => E = {1} 
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a) Observar o sexo de uma criança ao nascer. 
b) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. Anotar 
a sequência de caras e coroas. 
c) Lançar uma moeda três vezes sucessivamente e observar a face voltada para cima. 
Registrar o número de caras ocorrido. 
d) Registrar o número de pessoas atendidas num ambulatório no período de 24 horas. 
e) Lançar uma moeda e um dado, simultaneamente, e registrar os resultados ocorridos nas 
faces voltadas para cima. 
f) Um lote de dez peças contém três peças defeituosas. As peças são retiradas uma a uma, 
sem reposição, até que a última peça defeituosa é encontrada. O número total de peças 
retiradas é registrado. 
g) Peças são fabricadas até que dez peças perfeitas sejam produzidas. O número total de 
peças fabricadas é anotado. 
1) Descrever o espaço amostral para cada um dos seguintes experimentos: 
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2) Com base no experimento do exercício 1.e), relacione os elementos dos 
seguintes eventos: 
a) aparece coroa e número ímpar. 
b) aparece coroa e número par. 
c) aparece coroa. 
d) aparece número ímpar. 
3) Sendo ={10;20;30;40;50;60;70;80;90;100}, listar cada um dos eventos: 
a) A={a | a é exatamente divisível por 3}. 
b) B={b | b é exatamente divisível por 4}. 
c) C=A U B. 
d) D=A∩B. 
e) E=𝐴 − 𝐵 
f) A –B 
g) B - A 
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Calcular uma probabilidade é medir a incerteza ou associar um 
grau de confiança aos resultados possíveis de um experimento. 
Por exemplo, ao escolher, ao acaso, uma carta de um baralho 
comum (bem embaralhado), o que é mais provável: 
Sair uma figura ( K, Q, J ) ou Sair o Ás de copas? 
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As probabilidades associam aos eventos um valor no intervalo 
[0,1]. Quanto maior o valor associado ao evento, maior a 
certeza de sua possibilidade de ocorrência. 
Seja W um espaço amostral. Uma função P definida para todos 
os eventos de W é chamada de probabilidade se: 
 0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1, para todo evento A ⊂ W; 
 P(W)=1; 
 Se A e B eventos são mutuamente exclusivos, 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃(𝐵). 
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Definição: Seja A um evento associado ao espaço amostral 
equiprovável W, de um experimento aleatório E. 
Vamos definir a probabilidade do evento A, P(A), como o 
quociente entre o número de elementos em A e o número de 
elementos em W: 
Um espaço amostral W é equiprovável quando todos os 
seus elementos têm a mesma chance de ocorrer. 
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E: Lançamento de um dado. W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Evento B: representa sair face par 
Evento C: representa sair uma face ímpar 
Evento D: representa sair uma face maior que 3 
Evento E: representa sair face 1 
Qual a P(B), P(C), P(D) e P(E)? 
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Na maioria das situações práticas, o espaço amostral não é equiprovável e 
não podemos calcular probabilidades usando a definição clássica. 
Neste caso, vamos calcular probabilidades baseado em observações obtidas de 
um experimento aleatório, e o valor obtido é uma estimativa da 
probabilidade. 
A probabilidade frequentista de um evento A é a frequência relativa desse 
evento quando repetimos o experimento E, n vezes, sob as mesmas condições: 
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛 𝐴 =
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝐴 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒
𝑛
 
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A terceira característica enunciada do experimento aleatório 
apresenta o conceito de regularidade estatística quando repetimos 
o experimento um grande número de vezes. 
E: Lançamento uma moeda  𝜴={cara, coroa} 
A: Ocorrência de Cara  𝐀={cara} 
𝐴𝑐: Ocorrência de Coroa  𝑨𝒄={coroa} 
Vamos repetir E 20 vezes, ou seja, jogar a moeda 20 vezes (n=20) 
Considere: 
𝑛𝐴 : o número de vezes que o evento A ocorreu nas n repetições de E. 
𝑓𝐴 = 
𝑛𝐴
𝑛 : frequencia relativa do evento A ocorreu nas n repetições de E. 
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Resultado referente aos 20 lançamentos da moeda 
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Gráfico correspondendo ao número de repetições do 
experimento versus frequência relativa: 
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1. P() = 0 
2. P(W) = 1 
3. Se 𝐴 ⊂ 𝐵 então P(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵) 
4. P(Ac) = 1- P(A) 
Se A e B são dois eventos quaisquer, então: 
5. P (A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 
6. P (A - B) = P(A) - P(A  B) 
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Em uma pesquisa entre estudantes de uma faculdade, 1162 
afirmaram que “colavam/pescaram” nos exames, enquanto 
2468 afirmaram não “colar/pescar”. 
Selecionando aleatoriamente um desses estudantes, determine 
a probabilidade deste estudante ter “colado/pescado” em um 
exame. 
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1) Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas. 
Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espada? 
3) O seguinte grupo de pessoas está em uma sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 
4 rapazes com menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com 
menos de 21 anos. Uma pessoa é escolhida ao acaso dentre as 18, Os seguintes 
eventos são definidos. A: a pessoa tem mais de 21 anos, B: a pessoa é um rapaz. 
Qual a P(A), P(B), P(AB), P(AB) 
2) Se dois dados são jogados. Qual a probabilidade 
de que a soma das faces sejam iguais a 7? 
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Exemplo 6: Determinado produto é produzido por uma indústria em dois 
turnos de trabalho. Segue dados da produção de um determinado dia: 
Turno Não Defeituosos Defeituosos Total 
Matutino 570 30 600 
Noturno 396 04 400 
Total 966 34 1000 
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Experimento aleatório: Uma peça é escolhida ao acaso deste lote. 
N: “Produto produzido no turno Noturno” 
D: “Produto apresenta algum defeito” 
N  D: “Produzido no turno Noturno e apresenta algum defeito” 
N  D: “Produzido no turno Noturno ou apresenta algum defeito” 
Calcule a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos: 
Se soubermos que o produto foi produzido no turno 
Noturno, qual é a probabilidade de ser defeituoso? 
Temos uma informação parcial (uma condição): o produto foi 
produzido no turno Noturno. 
P(D|N) 
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Em algumas situações (fenômenos), a ocorrência de determinado 
evento interfere na ocorrência de outro evento.A probabilidade de um evento D ocorrer, dado que um outro 
evento N ocorreu, é chamada probabilidade condicional do 
evento D dado N e é denotada por: 
Sejam A e B eventos associados a um mesmo espaço amostral 
W de um experimento aleatório qualquer, com P(B) > 0. A 
probabilidade condicional de A dado B é definida como: 
P(B)
)(
)|(
BAP
BAP


No Exemplo 6: Qual a probabilidade de produto 
selecionada ao acaso ter sido produzido no turno Matutino 
sabendo que o produto selecionado possui algum defeito? 
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A tabela a seguir resume informações de um levantamento das 
empresas industriais e comerciais de certo município em 
determinado ano, discriminando segundo o porte da empresa: 
Porte da Empresa Atividade Total 
Indústria Comércio 
Micro 40 50 90 
Pequena 20 40 60 
Média 15 20 35 
Grande 5 10 5 
Total 80 120 200 
Qual a probabilidade de selecionarmos ao acaso uma empresa 
comercial, sabendo que a empresa escolhida é uma pequena empresa? 
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Se A e B são dois eventos quaisquer associados ao mesmo espaço 
amostral, com probabilidades positivas, então, a probabilidade da 
ocorrência simultânea de A e B, P(A  B), é definida por: 
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝐵 . 𝑃(𝐵) = 𝑃 𝐵 𝐴 . 𝑃(𝐴) 
Exemplo 8: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 
peças do lote, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? 
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Dois eventos, A e B, são estatisticamente independentes se: 
ou seja, se o evento A é independente do evento B, então, 
Exemplo 9: Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Retira-se 2 
peças do lote, uma após a outra, com reposição. Qual a probabilidade 
de que ambas sejam boas? E a de que a primeira seja defeituosa e a 
segunda seja boa? 
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵), 
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃(𝐴) 𝑃 𝐵 𝐴 = 𝑃(𝐵) e 
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A tabela a seguir mostra os resultados de um levantamento no qual foi 
indagado a 102 homens e 103 mulheres, trabalhadores, com idade entre 25 e 
64 anos, se tinham poupado para emergência pelo menos um mês de salário: 
Poupado Sexo Total 
Homens Mulheres 
Menos de um salário 47 59 106 
Um salário ou mais 55 44 99 
Total 102 103 205 
a) Qual a probabilidade de um(a) trabalhador(a) selecionado ao acaso ter poupado um salário 
ou mais para emergência. 
b) Dado que um trabalhador selecionado ao acaso é homem, qual a probabilidade dele ter 
poupado menos de um salário. 
c) Dado que um trabalhador poupou um salário ou mais, qual a probabilidade de se tratar de 
uma mulher. 
d) Os eventos de ter poupado um salário ou mais e ser homem são independentes? Explique. 
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Considere que o espaço amostral  possa ser dividido em 
eventos mutuamente exclusivos, por exemplo, A e 𝐴 , sendo 𝐴 
o complementar de A, ou seja, AB= e AB=. 
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴 
 = 𝑃 𝐵 𝐴 . 𝑃(𝐴)+𝑃 𝐵 𝐴 . 𝑃(𝐴 ) 
Exemplo 11: Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna 
contém 4 bolas branca e 2 amarelas. Escolhe-se , ao acaso, uma urna e dela 
retira-se, também ao acaso, uma bola. Qual a probabilidade de que seja branca? 
Seja B um evento qualquer associado a  . A probabilidade 
associada ao evento B é dada por: 
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De modo geral, sejam 𝐴1, … , 𝐴𝑘 eventos mutuamente 
exclusivos. Então, para qualquer evento B: 
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴1 + 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴2 + …+ 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴𝑘 
 = 𝑃 𝐵 𝐴1 . 𝑃(𝐴1)+𝑃 𝐵 𝐴2 . 𝑃(𝐴2)+...+𝑃 𝐵 𝐴𝑘 . 𝑃 𝐴𝑘 
= 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 . 𝑃 𝐴𝑖
𝑘
𝑖=1
 
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Em uma fábrica de parafusos, as Máquinas 𝑀1, 𝑀2 e 𝑀3 são 
responsáveis, respectivamente, por 25%, 35% e 40% do total 
produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, 
respectivamente, são parafusos defeituosos. 
a) Qual a probabilidade do parafuso, escolhido ao acaso, ser 
defeituoso? 
b) Agora, escolhe-se um parafuso ao acaso e verifica-se que é 
defeituoso. Qual a probabilidade que o parafuso escolhido 
seja originário da máquina 𝑀1? 
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Sejam 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑘 uma coleção de k eventos mutuamente 
exclusivos e com 𝑃(𝐴𝑖) > 0, para todo 𝑖 = 1,… , 𝑘. Então, 
para qualquer evento B em que P(B) > 0 : 
𝑃 𝐴𝑗 𝐵 =
𝑃 𝐵∩𝐴𝑗
𝑃 𝐵
 = 
𝑃 𝐵 𝐴𝑗 .𝑃(𝐴𝑗)
 𝑃 𝐵 𝐴𝑖 .𝑃 𝐴𝑖
𝑘
𝑖=1
 
O teorema de Bayes é útil quando conhecemos as 
probabilidades dos 𝐴𝑖 e a probabilidade condicional de B dado 
𝐴𝑖, mas não conhecemos diretamente a probabilidade de B. 
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Suponha que um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite 
que utiliza da fazenda F1, 30% da fazenda F2 e 50% da fazenda F3. 
Um órgão de fiscalização inspecionou as fazendas de surpresa e 
observou que 20% do leite produzido na fazenda F1 estava 
adulterado por adição de água, enquanto que para F2 e F3, essa 
proporção era de 5% e 2%, respectivamente. 
Na indústria de sorvete os galões de leite são armazenados em um 
refrigerador sem identificação das fazendas. 
Para um galão escolhido ao acaso, vamos analisar o leite para decidir 
sobre sua adulteração. Se o galão escolhido está adulterado, qual a 
probabilidade do leite adulterado ser produzido pela fazenda F1? 
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Sejam E um experimento e  um espaço amostral associado E. 
Uma função X, que associe a cada elemento ω𝑖 ∈ Ω um 
número real, 𝑋(ω𝑖), é denominada variável aleatória (v.a.), 
ou seja, uma função cujo domínio é o espaço amostral e 
contradomínio é conjunto dos números reais. 
As variáveis aleatórias normalmente são representadas por 
letras maiúsculas, como X e Y, próximas ao final do alfabeto. 
𝑋: Ω → ℝ 
 ω𝑖 → 𝑥 = 𝑋(ω𝑖) 
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Considere o experimento E: lançar duas moedas. 
Ω={(CC),(CK),(KC),(KK)}={ω1,ω2,ω3,ω4} 
Seja X a variável aleatória que representa o 
número de coroas obtidas nos dois lançamentos. 
𝑋 ω1 = 2 𝑋 ω2 = 𝑋 ω3 = 1 𝑋 ω4 = 0 
Seja 𝑅𝑋 o conjunto dos possíveis valores de X: 
𝑅𝑋 = *0,1,2+ 
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A classificação das variáveis aleatórias é feita de acordo com os valores que assumem. 
Variável aleatória Discreta: Se a v.a. X assume valores em um 
conjunto finito ou infinito enumerável. 
Variável aleatória Contínua: Se a v.a. X assume valores em um 
conjunto infinito não enumerável. 
Exemplo 14: Sorteio de n indivíduos de uma população. Seja X o 
número de indivíduos do sexo masculino sorteados. X(Ω)={0,1,2,3,..,n} 
Exemplo 15: Templo de vida de uma lâmpada. X(Ω)={t|t ≥ 0} . 
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Exemplo 16: Suponha a condução de um estudo sobre o 
número de atendimentos que um balconista faz durante um 
dia de trabalho. Os valores possíveis da variável aleatória X 
são 0, 1, 2, 3, 4 e assim por diante. Uma vez que o conjunto de 
resultados possíveis pode ser enumerado, X é uma variável 
aleatória discreta. 
Exemplo 17: Outra maneira de conduzir o estudo seria medir 
o tempo gasto pelo balconista no atendimento durante um 
dia. Uma vez que o tempo gasto no atendimento pode ser 
qualquer número de 0 a 24 (incluindo frações e decimais), X é 
uma variável aleatória contínua. 
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É uma função matemática que associa probabilidades 
a valores assumidos pela variável aleatória X. 
Esta função é diferenciada para os casos em que a 
variável aleatória em estudo é discreta ou contínua. 
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Seja X uma variável aleatória com distribuição discreta. 
A cada possível resultado 𝑥𝑖 Seja associaremos um número 
𝑝(𝑥𝑖) = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖), 𝑖 = 1,2,… , denominado probabilidade de 𝑥𝑖. 
Os números 𝑝(𝑥𝑖) devem satisfazer algumas condições: 
 0 ≤ 𝑝(𝑥𝑖) ≤ 1, para todo 𝑖 = 1,2,… ; 
 𝑝(𝑥𝑖)𝑖 = 1. 
A função 𝑝 definida acima é denominada função de 
probabilidade (f.p.) da variável aleatória X. 
A coleção de pares ,𝑥𝑖 , 𝑝 𝑥𝑖 -, para todo 𝑖 = 1,2,…, é 
denominada distribuição de probabilidade de X. 
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E: Lançamento de um dado honesto. 
W = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6} 
X: número da face observada 
𝑋 ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
A distribuição de probabilidade de X é dada por: 
X 1 2 3 4 5 6 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
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E: Lançamento de duas moedas. 
X: número de caras obtidas. 
𝑋 ω = {0,1,2} 
A distribuição de probabilidade de X é dada por: 
X 0 1 2 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) ¼ 2/4 1/4 
Ω={(CC),(CK),(KC),(KK)}={ω1,ω2,ω3,ω4} 
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 Graficamente teríamos: 
 E fórmula teríamos: 
𝑃 𝑋 = 𝑥 = 
1/4, 𝑠𝑒 𝑥 = 0
1/2, 𝑠𝑒 𝑥 = 1
1/4, 𝑠𝑒 𝑥 = 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
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a) 𝑋 é negativo; 
b) 𝑃 𝑋 = −3|𝑋 ≤ 0 ; 
c) Calcule 𝑃 𝑋 ≥ 3|𝑋 > 0 ; 
Suponha que 𝑋 seja uma v.a., com a seguinte distribuição de 
probabilidade 
X -3 -1 0 1 2 3 5 8 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 
Determine as seguintes probabilidades 
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Distribuição Bernoulli 
Distribuição Binomial 
Distribuição Multinomial 
Distribuição Geométrica 
Distribuição Poisson 
Algumas distribuições de probabilidade discretas 
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Seja X uma variável aleatória com distribuição contínua. 
A função densidade de probabilidade (f.d.p.), 𝑓(𝑥), é uma função 
que satisfaz as seguintes condições 
 𝑓(𝑥) ≥ 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ; 
 ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
= 1. 
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Para qualquer 𝑎 e 𝑏 em ℝ, temos que: 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
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 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥𝑖
𝑥𝑖
= 0 
 Se 𝑋 for uma variável aleatória contínua, então todas as 
probabilidades abaixo serão iguais: 
 Qualquer valor específico de 𝑋 tem probabilidade zero, ou 
seja, 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) = 0, pois 
𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 
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A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na 
manutenção do asfalto em uma cidade do interior da Bahia é 
representada pela variável aleatória 𝑌, com f.d.p. dada por 
𝑓 𝑦 = 
8
9
𝑦 −
4
9
, 𝑠𝑒
1
2
< 𝑦 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Calcule a probabilidade de em determinado ano este município gastar 
entre 700 mil a 900 mil de reais com a manutenção do asfalto; 
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Distribuição Exponencial 
Distribuição Weibull 
Distribuição Normal (ou Gaussiana) 
Distribuição t-Student 
Distribuição Qui-quadrado 
Distribuição F 
Algumas distribuições de probabilidade Contínuas 
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A função de probabilidade acumulada uma v.a. discreta 
𝑋 num ponto 𝑥, é definida como sendo a probabilidade de 
que a v.a. 𝑋 assuma um valor menor ou igual a 𝑥 , isto é 
 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1; 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑝(𝑥𝑖)
𝑥𝑖≤𝑥
 
Propriedades: 
 𝐹 −∞ = 0; 
 𝐹 ∞ = 1; 
 𝑃 𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ; 
 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 + 𝑃(𝑋 = 𝑎) ; 
 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 − 𝑃(𝑋 = 𝑏) ; 
V.A. DISCRETA 
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Suponha que a v.a. 𝑋 com a seguinte distribuição de probabilidades 
Logo 
X 0 1 2 
𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖) 1/3 1/6 1/2 
𝐹 𝑥 = 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1/3, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
1/2, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
1 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
 
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Seja 𝑋 uma v.a. contínua, com f.d.p. 𝑓 𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ , 
então a função de distribuição acumulada de 𝑋 é definida por 
 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1; 
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
−∞
 
Propriedades: 
 𝐹 −∞ = 0; 
 𝐹 ∞ = 1; 
 𝑃 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 ; 
V.A. CONTÍNUA 
, para todo 𝑥 ∈ ℝ , 
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Seja 𝑋 uma v.a. contínua, com f.d.p. definida por 
𝑓 𝑥 = 
3𝑥2, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
a) Encontre a função de distribuição acumulada; 
b) Calcule 𝑃 𝑋 ≤
1
3
|
1
4
< 𝑋 <
1
2
, utilizando a 𝐹 𝑥 . 
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Seja 𝑋 uma v.a. discreta, cujos valores possíveis são 𝑥1, 𝑥2, ... 
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑖𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
∞
𝑖=1
 
V.A. DISCRETA 
A esperança de 𝑋, ou seja, o valor médio da distribuição da 
v.a. 𝑋, é definida por: 
A esperança matemática de v.a. 𝑋 também é chamada de 
valor esperado, valor médio, ou simplesmente média de 𝑋. 
Além da notação 𝐸 𝑋 a esperança de 𝑋 também é 
representada por 𝜇𝑋 ou simplesmente 𝜇. 
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Seja 𝑋 uma v.a. contínua, com f.d.p. 𝑓 𝑥 para todo 𝑥 ∈ ℝ , 
então o valor esperado de 𝑋 é dado por 
𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
∞
−∞
 
V.A. CONTÍNUA 
, para todo 𝑥 ∈ ℝ , 
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A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na 
manutenção do asfalto em uma cidade do interior da Bahia é 
representada pela variável aleatória 𝑌, com f.d.p. dada por 
𝑓 𝑦 = 
8
9
𝑦 −
4
9
, 𝑠𝑒
1
2
< 𝑦 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
Em média, 𝑬 𝒀 , anualmente o município gasta quanto 
com a manutenção do asfalto? 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
 𝐸 𝑘 = 𝑘, sendo 𝑘 uma constante; 
 𝐸 𝑘𝑋 = 𝑘𝐸 𝑋 , sendo 𝑘 uma constante; 
 𝐸 𝑋 ± 𝑘 = 𝐸 𝑋 ± 𝑘, sendo 𝑘 uma constante; 
 𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸 𝑋 ± 𝐸 𝑌 , sendo 𝑋 e 𝑌 duas v.a’s quaisquer; 
 Se 𝑋 e 𝑌 são v.a’s independentes então 𝐸 𝑋𝑌 = 𝐸 𝑋 𝐸 𝑌 
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Considere 𝑋 e 𝑌 duas v.a. independentes, e seja 
𝑍 = 𝑋2 + 3𝑌 
Verifique se a afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, e 
Justifique a sua resposta 
𝐸 𝑍𝑋 = 𝐸(𝑋3) + 9𝐸 𝑋 𝐸(𝑌) 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
 Se 𝑋 é uma v.a. discreta, com f.p. 𝑃 𝑥𝑖 , o valor esperado de 
qualquer função da v.a. 𝑋, 𝑔(𝑥), será 
𝐸 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥𝑖)𝑃 𝑋 = 𝑥𝑖
∞
𝑖=1
 
 Se Y é uma v.a. contínua, com f.d.p. 𝑓 𝑦 , o valor esperado de 
qualquer função da v.a. 𝑌, 𝑔(𝑦), será 
𝐸 𝑔(𝑦) = 𝑔(𝑦) 𝑓 𝑦 𝑑𝑦
∞
−∞
 
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Seja 𝑋 é uma variável aleatória, com média 𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 . A 
variância de X é definida como 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇 2 
que pode ser reescrita em termos de esperanças da forma 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸(𝑋) 2 
A variância de uma v.a. 𝑋 é uma medida dispersão, indicando o 
quão longe seus valores se encontram do seu valor esperado. 
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V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
 Se 𝑋 é uma v.a. discreta, com f.p. 𝑃 𝑥𝑖 , a variância de 𝑋 é 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑥𝑖 − 𝜇
2𝑃 𝑥𝑖
∞
𝑖=1
 
 Se Y é uma v.a. contínua, com f.d.p. 𝑓 𝑦 , a variância de 𝑌 é 
𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 𝑦 − 𝜇 2 𝑓 𝑦 𝑑𝑦
∞
−∞
 
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Considere 𝑋 e 𝑌 duas v.a. com distribuições a seguir 
𝒚 𝑃 𝑌 = 𝒚 𝑦. 𝑃 𝑌 = 𝒚 
-2 1/5 -2/5 
𝜇𝑌 = 1 
-1 1/5 -1/5 
0 1/5 0 
3 1/5 3/5 
5 1/5 5/5 
𝒙 𝑃 𝑋 = 𝒙 x. 𝑃 𝑋 = 𝒙 
0 1/8 0 
𝜇𝑋 = 1 1 6/8 6/8 
2 1/8 2/8 
a) Calcule a 𝑉𝑎𝑟 𝑋 e 𝑉𝑎𝑟 𝑌 . 
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A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na 
manutenção do asfalto em uma cidade do interior da Bahia é 
representada pela variável aleatória 𝑌, com f.d.p. dada por 
𝑓 𝑦 = 
8
9
𝑦 −
4
9
, 𝑠𝑒
1
2
< 𝑦 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
a) Calcule a 𝑉𝑎𝑟 𝑌 . 
V.A. DISCRETA E CONTÍNUA 
 𝑉𝑎𝑟 𝑘 = 0, sendo 𝑘 uma constante; 
 𝑉𝑎𝑟 𝑘𝑋 = 𝑘2𝑉𝑎𝑟 𝑋 , sendo 𝑘 uma constante; 
 𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑘 = Var 𝑋 , sendo 𝑘 uma constante; 
 Se 𝑋 e 𝑌 são v.a’s independentes então 
𝑉𝑎𝑟 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌 
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V.A. DISCRETA 
Distribuição de Bernoulli; 
Distribuição Binomial; 
Distribuição de Poisson. 
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 Lançar uma moeda e observar se ocorre cara ou coroa; 
 Numa linha de produção, observar se um item, tomado 
ao acaso é defeituoso ou não defeituoso. 
 Observar se um cliente de uma financeira, será 
inadimplente ou adimplente. 
São os experimentos mais simples em que observamos a 
presença ou não de alguma característica em uma única 
tentativa, ou seja, um experimento com somente dois 
resultados possíveis: Fracasso ou Sucesso. 
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Uma variável aleatória segue modelo Bernoulli se assume 
apenas dois valores possíveis, 0 ou 1, Fracasso ou Sucesso, etc. 
𝑋 tem distribuição Bernoulli com probabilidade de sucesso 𝑝: 
𝑋~𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖(𝑝) 
Função de probabilidade: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝 𝑥 = 𝑝𝑥𝑞1−𝑥, 
 𝑋 = 
1,
0,
 
𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑝 
𝑐𝑜𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑞 = (1 − 𝑝) 
Esperança: 𝐸 𝑋 = 𝑝 
Variância: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝑝𝑞 = 𝑝(1 − 𝑝) 
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Uma urna contêm 8 bolas, sendo 3 bolas Amarelas e 
5 bolas Vermelhas. Retira-se uma bola dessa urna. 
Seja 𝑋 a quantidade de bolas Amarelas sorteadas. 
Determine: 𝑝 𝑥 , 𝐸 𝑋 e 𝑉𝑎𝑟 𝑋 . 
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 São feitas 𝑛 ensaios de um experimento Bernoulli, sendo 𝑛 
uma constante; 
 Há apenas dois resultados possíveis em cada repetição, 
denominados de Fracasso ou Sucesso; 
 A probabilidade de sucesso, 𝑝 , e a de fracasso, 1 − 𝑝 , 
permanecem constante em todas as repetições; 
 As repetições são independentes entre si, ou seja, o resultado 
de um ensaio não influencia no resultado de outros ensaios. 
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Seja 𝑌 o total de sucessos obtidos na realização de 𝑛 ensaios de 
Bernoulli independentes. Se 𝑌 tem distribuição Binomial com 
parâmetros 𝑛 e 𝑝 : 
𝑌~𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(𝑛, 𝑝) 
Função de probabilidade: 𝑃 𝑌 = 𝑦 = 𝑛𝑦 𝑝
𝑦(1 − 𝑝)1−𝑦, 
Esperança: 𝐸 𝑌 = 𝑛𝑝; 
Variância: 𝑉𝑎𝑟 𝑌 = 𝑛𝑝𝑞 = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). 
em que 𝑛
𝑦
 representa o número de combinações de 𝑛 objetos tomados 𝑦 
de cada vez, e é dada por 𝑛
𝑦
=
𝑛!
𝑦! 𝑛−𝑦 !
. 
Suporte: 𝐴 𝑌 = *𝑦|𝑦 = 0,1,2,… , 𝑛+; 
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Um fabricante afirma que 5% de todas as peças que produz tem 
duração inferior a 20h. 
a) Se o fabricante de fato tem razão, qual a probabilidade do lote ser 
rejeitado? 
Uma indústria compra semanalmente um grande lote dessas peças 
com esse fabricante, mas sob a seguinte condição: em uma 
amostra de 10 peças escolhidas ao acaso do lote, pode haver no 
máximo uma peça com duração inferior a 20h, caso contrário, o 
lote é rejeitado. 
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Em muitas situações, conhecemos o número de sucesso, porém é 
difícil, e às vezes, sem sentido, determinar o número de fracassos 
ou o número total de ensaios, por exemplo; 
 Número de carros que passam em uma determinada rua ao longo de 1 dia. 
 Número de falhas de um computador em um dia de operação; 
 Número de buracos por quilômetro em uma rodovia; 
 Número de clientes que chegam a uma determinada agência bancária 
durante seu expediente. 
Em resumo, o modelo de Poisson representa o experimento em 
que se observa uma contagem em determinado intervalo de 
tempo, espaço ou volume. 
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 O número de ocorrências de um evento em um intervalo de 
tempo, ou superfície, ou volume é independente do número de 
ocorrência do evento em qualquer outro intervalo disjunto; 
 A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é 
praticamente zero; 
 O número médio de ocorrências por unidade de tempo, ou 
superfície, ou volume, 𝜶, é constante ao longo do tempo; 
Seja 𝑋 o número de eventos de um certo tipo, que ocorrem em 
um intervalo de tempo, ou superfície ou volume. Suponha que 
esses eventos ocorrem em instantes aleatórios de tempo ou de 
espaço, satisfazendo as seguintes hipóteses: 
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Se as condições do slide anterior forem satisfeita, dizemos que 
𝑋 tem distribuição de Poisson com parâmetro 𝜆 = 𝛼𝑡, sendo 𝛼 o 
número médio de eventos por unidade de tempo, ou superfície, 
ou volume, 𝑡. 
𝑋~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(𝜆) 
Função de probabilidade: 
Esperança: 𝐸 𝑋 = 𝜆 
Variância: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜆 
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑒−𝜆𝜆𝑥
𝑥!
 
Suporte: 𝐴 𝑋 = *𝑥|𝑥 = 0,1,2,3,4,… +; 
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Um telefone recebe em média 2 chamadas por hora. 
Calcule a probabilidade do telefone receber no máximo 3 
chamadas em duas horas e a probabilidade do telefone não 
receber chamadas em 90 minutos. 
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V.A. CONTÍNUAS 
Distribuição de Exponencial; 
Distribuição de Normal. 
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A distribuição exponencial é bastante utilizada para modelar 
tempo de espera entre ocorrência de eventos. Tem aplicações em 
áreas diversas, principalmente na teoria da confiabilidade. Alguns 
exemplo da utilização da distribuição exponencial: 
 Tempo de espera em uma fila; 
 Tempo de sobrevivência de um pacientes após iniciar um tratamento; 
 Tempo de vida de um material eletrônico; 
 Tempo até determinado equipamento falhar. 
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Considere uma variável aleatória contínua𝑋 que tem distribuição 
Exponencial com parâmetro 𝜆. 
𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝜆) 
Função de probabilidade: 
Esperança: 𝐸 𝑋 = 𝛼 
Variância: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝛼2, 𝛼 > 0 
Suporte: 𝐴 𝑋 = *𝑥|𝑥 ≥ 0+; 
𝑓 𝑥 = 
1
𝛼
𝑒−
1
𝛼𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
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Suponha que o tempo médio de vida de uma determinada 
lâmpada seja de 1.000 horas. Considere que o tempo de vida 
dessa lâmpada seja uma v.a. 𝑇 com distribuição Exponencial. 
Determine: 
a) A função de probabilidade de T, 𝑓 𝑡 . 
b) A função de distribuição acumulada de T, 𝐹 𝑡 . 
c) A probabilidade da lâmpada queimar antes de 1.000 horas. 
d) A probabilidade de que ela queime depois de sua duração média. 
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Das diversas distribuições teóricas de probabilidade, a distribuição 
normal é uma das (ou até mesmo a) mais importante, visto que, 
 Representa com boa aproximação as distribuições de frequências 
observadas de muitos fenômenos naturais e físicos; 
 Diversas distribuições importantes, como por exemplo, a 
Binomial e a Poisson, podem ser aproximadas pela normal, 
simplificando o cálculo de probabilidades; 
 Em grandes amostras, as distribuições amostral da média e da 
proporção, se aproximam da distribuição normal, o que nos permite 
fazer estimações intervalares e testes estatísticos aproximados. 
Considere uma variável aleatória contínua 𝑋 que tem distribuição 
Normal com parâmetros 𝜇 e 𝜎2. 
𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 
Função de probabilidade: 
Esperança: 𝐸 𝑋 = 𝜇, −∞ < 𝜇 < ∞ 
Variância: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝜎2, 𝜎 > 0 (desvio-padrão = 𝜎) 
Suporte: 𝐴 𝑋 = *𝑥| − ∞ < 𝑥 < ∞+; 
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎2
𝑒−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
 
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 A curva normal tem formato de sino e é simétrica em torno da média: 
 𝑓 𝜇 + 𝑥 = 𝑓 𝜇 − 𝑥 ; 
 𝑃 𝜇 − 𝑥 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 = 𝑃 𝜇 ≤ 𝑋 ≤ 𝜇 + 𝑥 ; 
 𝑃 𝑋 < 𝜇 = 𝑃 𝑋 > 𝜇 = 0,5; 
 A área total sob a curva normal é igual a 1; 
 A curva normal aproxima-se mais do eixo 𝑥, à medida que os valores 
de 𝑥 se afastam da média, mas nunca toca o eixo 𝑥 ou seja, existe 
uma concentração muito grande de valores em torno de da média e à 
medida que avançamos para os entremos essa concentração diminui. 
 A distância entre 𝜇 e os pontos de inflexão da curva é igual a 𝜎; 
 A moda e a mediana de 𝑋 são iguais a 𝜇. 
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- O intervalo (média – 1 desvio padrão ; média + 1 desvio padrão) 
engloba 68,3% de todas as observações; 
 - O intervalo (média – 2 desvio padrão ; média + 2 desvio padrão) 
inclui 95,5% dos valores; 
- O intervalo (média – 3 desvio padrão ; média + 3 desvio padrão) 
contém 99,7% de todas as observações; 
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34% 34% 
2 DP 
Média 
1 DP 1 DP 
68,3% 
2 DP 
95,5% 
3 DP 3 DP 
99,7% 
Como qualquer variável aleatória 𝑋 que tem distribuição normal é 
contínua, então não existe probabilidade para um específico valor 
𝑥, mas sim para qualquer intervalo dos números reais. 
Se queremos, por exemplo, P 𝑎 < 𝑋 < 𝑏 , P 𝑋 ≥ 𝑎 ou P 𝑋 ≤ 𝑏 , 
devemos procurar pelas seguintes áreas, respectivamente: 
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Considere uma v.a. 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 e a seguinte transformação 
Então 𝑍~𝑁 0,1 , chamada de distribuição normal padrão, ou seja, 
𝑍 é uma variável aleatória normal com média zero e variância um. 
𝑍 =
𝑋 − 𝜇 
𝜎
 
As probabilidades da normal padrão, também conhecida como 
normal reduzida ou normal zero-um, estão tabeladas. 
Podemos obter probabilidades de 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎2 como segue: 
P 𝑋 ≤ 𝑥 = P
𝑋−𝜇
𝜎
≤
𝑥−𝜇
𝜎
= P 𝑍 ≤
𝑥−𝜇
𝜎
, em que 𝑍~𝑁 0,1 
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Considerando 𝑍~𝑁 0,1 Calcule as seguinte probabilidades: 
a) P 0 ≤ 𝑍 ≤ 0,51 
b) P −0,51 ≤ 𝑍 ≤ 0 
c) P −1 ≤ 𝑍 ≤ 1 
d) P 𝑍 ≤ 1,62 
e) P 𝑍 ≥ 1,62 
f) P 1,03 ≤ 𝑍 ≤ 2,01 
g) P 0 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧 = 0,395 
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Os salários de diretores de uma empresa distribuem-se 
normalmente com média R$8.000 e desvio-padrão R$5.000. 
Qual o percentual de diretores que recebem: 
a)Menos de R$6.470,00 
b)Entre R$8.920,00 e R$9.380,00 
c) Mais de R$9.500,00 
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Para verificar a calibração de uma balança, um peso de 100g foi 
testado 25 vezes na mesma balança, fornecendo uma média de 
99,8g e desvio padrão 0,05g. 
 
Supondo distribuição normal para o peso, qual a probabilidade 
da balança acusar um peso fora da especificação (100,0 ± 1,0g), 
ao ser testada com um peso padronizado de 100g 
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