Mec 2-Ronaldo Rodrigues Pelá

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Mecânica II
Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá
23 de maio de 2013
2
Prefácio
Esta apostila começou a ser escrita em 2012, por minha iniciativa. O objetivo era sintetizar um
material de estudo de Mecânica II (o curso de FIS�26 do ITA), que pudesse auxiliar o estudante
e que fosse, ao mesmo tempo, desafiante e estimulador. Nesta versão, estes objetivos foram
contemplados em parte, mas ainda não de forma plena. Parafraseando o pessoal de computa-
ção, eu diria que esta apostila ainda está numa versão �alpha� adiantada, mas longe de pronta;
e, provavelmente, o leitor deverá encontrar alguns erros. Entretanto, por questões de pratici-
dade, eu preferi disponibilizar o material da forma como está, em vez de esperar uma revisão
mais profunda para só então lançá-lo. Para versões futuras, o material deverá aperfeiçoado,
dependendo para tanto do feedback dos leitores (que poderão escrever para rrpela@ita.br).
Os capítulos 3 e 4 foram digitados por Mark Cristhian Matern (T15), e os capítulos 5 e 6,
por Ronaldo Chaves Reis (T15). Gostaria de deixar registrado meus sinceros agradecimentos
por esta cooperação.
SUMÁRIO 3
Sumário
1 Introdução Geral 5
1.1 Breves considerações filosóficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Método de Estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Algumas Aplicações de FIS�26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Breve Revisão da Física de um Sistema de Partículas . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Corpos Rígidos 13
2.1 Rotação em torno de um eixo fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Movimento Plano Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3.1 Momento Angular: componente ao longo do eixo de rotação . . . . . . . 18
2.3.2 Momento Angular: caso geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Dinâmica do Movimento do Corpo Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Energia Cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Forças que não realizam trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 Movimento Giroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.1 Precessão regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Movimento Oscilatório 35
3.1 Oscilações harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Pêndulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Pêndulo de torção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.2 Pêndulo simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 Pêndulo físico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.3 Oscilações Amortecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.1 Amortecimento supercrítico (γ > w0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.2 Amortecimento subcrítico (γ < w0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Amortecimento crítico (γ = w0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.4 O balanço de energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4 Oscilações forçadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.4.1 Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.2 Resposta a forçantes senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4.3 Ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Osciladores acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Superposição de dois MHS's . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.1 Mesma direção e frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 SUMÁRIO
3.6.2 Mesma direção e frequências diferentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.3 Mesma frequências e direções perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6.4 Frequências diferentes e direções perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Ondas 61
4.1 Conceitos Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Equação de Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 Ondas Harmônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Ondas em cordas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3.1 Intensidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.4 Interferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Ondas no mesmo sentido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.2 Ondas em sentidos opostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.3 Batimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.5 Reflexão de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.6 Modos normais de Vibração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.7 Ondas sonoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.7.1 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5 Gravitação 75
5.1 Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.1.1 Massa inercial e gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2 Campo Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.3 Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4 Campo Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.4.1 Conservação da Energia e do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4.2 Equação da Trajetória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.4.3 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6 Introdução à Mecânica Analítica 87
6.1 Vínculos e Coordenadas Generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
6.2 Princípio dos Trabalhos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.3 Princípio de D'Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.4 Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
6.5 Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
6.6 Princípio de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
A Momento de inércia de área 99
B Momento de inércia de alguns sólidos 101
5
Capítulo 1
Introdução Geral
1.1 Breves considerações filosóficas
Imagino que a primeira pergunta que vem a mente de um estudante quando começa a estudar
uma disciplina é justamente �por que estudar esta tal disciplina?� � nada mais natural. Entre-
tanto, o que eu proponho agora, no início desta apostila, é uma pergunta mais profunda: por
que estudar? � isto é, por que estudar num sentido genérico? Creio que uma boa resposta seria
�estudar para saber� � só que isto traria uma nova pergunta, afinal o verbo saber é transitivo,
�mas saber o quê?�, ou de um modo mais radical �o que é o saber?� � saber entendido então
como substantivo e não mais como verbo.
Para responder a esta última pergunta, apelamos ao uso corrente do substantivo �saber�,
identificando 3 significados [1]:
1. Saber fazer: entenderos procedimentos para projetar uma ponte, ou para fazer um certo
aparelho funcionar, ou para resolver determinado exercício de Física.
2. Saber agir: saber a postura que se deve ter em determinada situação, saber se comportar.
3. Simplesmente saber: conhecer adequadamente, saber se uma coisa é assim ou assado,
saber o que é determinada realidade, saber quem é determinada pessoa ou o homem em
geral.
Estes 3 significados do saber, podemos dizer, estão em ordem crescente de profundidade. Os
dois primeiros são formas de conhecimento que se desdobram num qualificativo posterior: �saber
fazer� e �saber agir�. O terceiro supõe uma radicalidade e uma abertura bem maiores que os
anteriores � ele, numa primeira aproximação, não se �desdobra� em outras coisas: é um saber
por excelência. Isto não significa que possamos desprezar os outros saberes: eles têm sim a sua
legitimidade e sua importância.
Este debruçar-se sobre o saber é uma atividade própria do filósofo. A Filosofia, que eti-
mologicamente significa �amor à sabedoria�, é um modo de saber rigoroso e desinteressado que
aspira a conhecer com profundidade o conjunto íntegro da realidade mediante o descobrimento
de seus princípios ou causas últimas, fundamentos daquilo que é enquanto é [1]. O conheci-
mento filosófico, como a amizade, a poesia, o próprio Deus, goza de um valor muito superior ao
do meramente instrumental porquanto esse valor repousa em seu próprio saber, sem requerer
justificação ulterior [1]. Por curiosidade, �theoria� é uma palavra grega que significa �saber por
saber�; para os gregos, o �theorein�, o teorizar, era a mais elevada de nossas operações [1].
6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO GERAL
Pode parecer desconcertante, mas o conhecimento filosófico é �inútil�. Trata-se de um co-
nhecimento desinteressado, que não está subordinado a outro objetivo que não o próprio saber.
O desconcerto se acentua se considerarmos que hoje em dia estamos acostumados com uma
multidão de objetos mais ou menos sofisticados dos quais estamos acostumados a tirar vanta-
gens � fazê-los funcionar e render, ser eficazes � sem conhecer praticamente nada sobre como
são nem qual é sua natureza mais íntima. Nada disso é reprovável, pois se trata de instrumen-
tos e lhes corresponde por natureza serem utilizados. Conhecer os aparelhos não tem especial
relevância, porque neles interessa principalmente a função e não o ser. O perigo surge quando
semelhante sabertende a tornar-se absoluto e se aplica de maneira desconsiderada a todo o
conjunto das realidades, também àquelas cuja natureza não é instrumental [1]. E justamente o
saber filosófico se resiste a esta instrumentação.
Mas se a Filosofia é desinteressada de um objetivo �prático�, o que motiva o estudo filosófico?
O que move o estudo filosófico essencialmente é o assombro, a admiração, a surpresa [1]. Trata-
se de uma admiração semelhante à das crianças quando descobrem as coisas, uma admiração
que permite saborear a realidade, sem se revoltar contra ela. Os medievais já diziam omnia
admirabilia sunt delectabilia � tudo o que produz assombro, espanto, gera, por si mesmo, um
enorme prazer [1].
Apesar de pretender estudar a realidade última das coisas, a Filosofia constitui uma espécie
de saber que é ignorante; o que é estudado pelo filósofo resultará sempre em algo realmente
conhecido, mas nunca dominado. Todo filósofo genuíno deve possuir em alto grau o sentido do
mistério; ele não se considera sábio, mas simples aspirante ou candidato ao amor perfeito � o
que o move a indagar, como resultado da admiração, não é outra coisa senão o afã de chegar a
saber mais e melhor, o amor desinteressado e puro ao conhecimento. Todavia, a humildade do
filósofo não anula o saber por ele atingido: o conhecimento filosófico é finito e imperfeito, mas
sem abandonar a sua índole de genuíno conhecimento [1].
Mas o que todas estas considerações de Filosofia têm a ver com FIS�26, ou de uma forma
mais geral, o que têm a ver com Ciência? Por um lado, existe certa tendência científica de me-
nosprezo para com a Filosofia, como se o único conhecimento verdadeiro fosse o proporcionado
pelas Ciências, aquele que estivesse disponível à verificação experimental. Contudo, a Ciência
não pode sobreviver sem a Filosofia. Para estudar a realidade, partimos do pressuposto de que
a realidade não é caótica (completamente imprevisível), de que existe uma ordem na realidade
� este pressuposto não é científico, mas sim filosófico. Se é verdade que a Filosofia dá suporte à
Ciência, também é verdade que a Filosofia se atualiza à luz dos novos conhecimentos científicos.
O processo de admiração não é exclusivo do filósofo, ele também aparece no cientista.
Costumamos pensar num cientista como uma pessoa vestida de jaleco branco, fria, impessoal,
isenta de sentimentos, e crítica a tudo que lhe ocorra. Assim pensavam também os próprios
cientistas do século XIX e do começo do século XX. �E os cientistas sonhavam que não mais
sonhariam, e imaginavam que a imaginação havia morrido... Com eles, nascia uma nova raça
de indivíduos frios e racionais que diziam para si mesmos: `Somos reais, inteiramente. Já
não existe em nós nem crença, nem superstição' (Nietzsche). E eles pensavam que, com eles, a
civilização alcançara um nível nunca antes atingido (Weber). Kant, Comte, Freud, Marx, todos
eles acreditavam no advento de uma ciência livre de emoções. Kant denunciava as paixões como
`cancros da razão pura'. Comte falava sobre os três estágios, o mais primitivo habitado por
mágicos e sacerdotes e representado pela imaginação, enquanto o último era constituído de
cientistas, sábios o bastante para amordaçar a imaginação. Freud caminha na mesma procissão
e saúda o pensamento científico como o que definitivamente abandonou as fantasias e se ajustou
1.2. MÉTODO DE ESTUDO 7
à realidade. Enquanto isso, no marxismo, a ciência devora antropofagicamente, sua própria mãe,
a ideologia� [2]. Mas a verdade é que as grandes evoluções da Ciência não ocorrem seguindo
rigorosamente um método científico; Popper dizia que o que faz a Ciência evoluir são ideias
ousadas, especulações infundadas e antecipações injustificadas. A verdadeira descoberta não
é um processo estritamente lógico, não é o produto de uma longa corrente de pensamento
abstrato [2]. Einstein sustentava que �não existe nenhum caminho lógico que nos conduza (às
grandes leis do universo). Elas só podem ser atingidas por meio de intuições baseadas em algo
semelhante a um amor intelectual pelos objetos da experiência� [2]. Esta afirmação de Einstein
confirma a estreita relação entre o �admirar-se� e o �fazer ciência�: o ato criador depende de
um amor intelectual pelos objetos da experiência. Estamos longe da assepsia que exigia, do
cientista, uma absoluta neutralidade e indiferença face ao objeto [2].
A humildade intelectual do filósofo também deve estar presente em todo cientista autêntico.
Sócrates tinha uma confiança invencível na inteligência e na Ciência, mas em uma inteligência
disciplinada e humilde ante as coisas, e em uma Ciência que conhece seus limites e que progride
com força e segurança na posse do verdadeiro só na medida em que, sentindo-se envolvida na
ignorância, rende homenagem à soberania do real [1]. Precisamos ter coragem de reconhecer
nossa própria ignorância, pois dá medo de fazer isto. A Ciência deve prestar homenagem à
realidade e não o contrário. Uma das maiores ingenuidades do homem de hoje, receoso da
razão e ao mesmo tempo envaidecido com a sua própria inteligência, consiste em ter a cândida
pretensão de que, se algo é verdade, tem que me convencer necessariamente, e vice-versa, se
não me convence, posso estar seguro de que não é verdade [1]. Não é a natureza que deve se
adaptar à descrição científica e sim o contrário. A grande tentação do cientista é reduzir a
realidade a um aspectoque ele pode controlar totalmente. Se desejamos controlar a realidade
(num sentido negativo da palavra controlar) é porque nos sentimos inseguros de que ela não nos
obedeça. Mas o fato é que a realidade se resiste a um controle total. Por experiência própria,
sabemos que não é possível controlar tudo, por exemplo, quando precisamos fazer uma escolha,
geralmente não podemos prever meticulosamente todas as consequências desta escolha � e é
natural que seja assim: as decisões mais importantes da vida são as que dão menos segurança
na escolha.
1.2 Método de Estudo
Acabamos de sublinhar duas atitudes fundamentais em Ciência: a admiração e a humildade.
No tocante à admiração, alguém poderia confundi-la com um estado de ânimo sentimental,
pensando que só se deve estudar algo quando o �o coração estiver ardendo�, quando �a paixão
estiver batendo no peito� � ora, isto seria um engano: não se trataria de admiração, mas
sim de empolgação. Mas o que se deveria fazer para adquirir esta atitude própria de quem
está apaixonado? A resposta não é fácil, mas sem dúvida passa por algo como �sentir uma
necessidade vital�.
Certa vez, no primeiro dia de aula de Metafísica, o professor José de Ortega y Gasset disse
a seus alunos que estudar era uma falsidade: �todo estudar é, em geral, uma falsidade�. Não
que �que estudar fosse inteiramente uma falsidade. É possível que estudar contenha facetas,
aspectos, ingredientes que não sejam falsos�. E prosseguia:
�As disciplinas, seja a Metafísica ou a Geometria, existem, estão aí, porque alguns homens
as criaram mercê de um grande esforço e, se se esforçaram, é porque necessitavam delas, porque
8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO GERAL
sentiam a sua falta. As verdades que essas disciplinas contém foram originariamente encon-
tradas por um determinado homem, e depois, repensadas e reencontradas por muitos outros
que adicionaram o seu esforço ao dos primeiros. Se esses homens as encontraram foi porque
as procuraram e, se as procuraram, foi porque necessitavam delas, porque, por uma qualquer
razão, não podiam prescindir delas. Se não as tivessem encontrado, teriam considerado as suas
vidas como fracassadas. Inversamente, se encontraram o que procuravam, é porque isso que en-
contraram se adequava a uma necessidade que sentiam. [...] Diremos [...] que uma ciência não é
ciência senão para quem empenhadamente a procura; enfim, que a Metafísica não é Metafísica
senão para quem dela necessita. Para quem dela não necessita, para quem não a procura, a
Metafísica é uma série de palavras, ou, se se preferir, de ideias; ideias que, embora possamos
julgar tê-las entendido, carecem definitivamente de sentido. Isto é, para entender verdadeira-
mente algo, e sobretudo a Metafísica, não faz falta ter isso a que se chama talento nem possuir
grandes sabedorias prévias. O que faz falta é uma condição elementar mas fundamental: o que
faz falta é necessitar dela.
Damo-nos conta de que o estudante é um ser humano, masculino ou feminino, a quem a
vida impõe a necessidade de estudar ciências sem delas ter sentido uma imediata e autêntica
necessidade. Se deixarmos de lado alguns casos excepcionais, reconheceremos que, na melhor
das hipóteses, o estudante sente uma necessidade sincera, embora vaga, de estudar `algo', algo
in genere, isto é, de `saber', de se instruir. Mas o caráter vago deste desejo é revelador da
sua frágil autenticidade. É evidente que este estado de espírito nunca conduziu à criação de
nenhum saber porque o saber é sempre um saber concreto, um saber precisamente isto ou
precisamente aquilo, e, de acordo com a lei que tenho vindo a sugerir � a lei da funcionalidade
entre o procurar e o encontrar, entre a necessidade e a satisfação � aqueles que criaram um
saber sentiram, não um vago desejo de saber, mas uma concretíssima necessidade de averiguar
uma determinada coisa.
No entanto, como todos compreenderão, não se resolve este problema dizendo: `Pois bem,
se estudar é uma falsidade do homem e, além disso, leva, ou pode levar, a tais conseqüências,
então que não se estude!'. Dizer isto não seria resolver o problema, mas antes ignorá-lo de forma
simplista. Estudar e ser estudante é sempre, e sobretudo hoje, uma necessidade inexorável do
homem. Quer queira quer não, o homem tem que assimilar o saber acumulado, sob pena
de sucumbir individual e coletivamente. Se uma geração deixasse de estudar, nove décimos
da humanidade atual morreria fulminantemente. O número de homens que hoje estão vivos só
pode subsistir mercê da técnica superior de aproveitamento do planeta que as ciências tornaram
possível. É certo que as técnicas vivem do saber e, se este não puder ser ensinado, chegará a
hora em que também as técnicas sucumbirão.
A solução para um problema tão cruel e dilacerante decorre de tudo o que se disse atrás.
Ela não consiste em decretar que não se estude, mas em reformar profundamente esse fazer
humano que é estudar e, conseqüentemente, o ser do estudante. Para isso, é necessário virar o
ensino do avesso e dizer: ensinar é primária e fundamentalmente ensinar a necessidade de uma
ciência e não ensinar uma ciência cuja necessidade seja impossível fazer sentir ao estudante.�
O dilema do estudar discutido anteriormente por Ortega y Gasset não se restringe ao âmbito
da Metafísica, mas se dá em todo campo de saber humano: a disciplina de FIS�26 não é excessão.
Este material tentará ajudar o leitor a encontrar a necessidade de cada assunto abordado no
curso, tentará despertar o processo de admiração que mencionei antes. No entanto, esta �sede
de sabedoria� não pode ser forçada, mas sugerida, portanto, caberá a você, leitor, a parte mais
difícil desta tarefa motivacional: motivar-se. Uma pergunta (não desprezível) que você se deve
1.2. MÉTODO DE ESTUDO 9
fazer é: �por que eu vou estudar?� � isto ajudará a que você encontre o sentido que este fazer
humano tem para você.
Mas, algum leitor desconfiado poderia refutar: �ora, se eu não sinto necessidade de estudar,
tentar suscitar esta necessidade não seria um fingimento?�. Eu concondo com este pensamento,
mas apenas num primeiro momento. Ora, já dizia o escritor Guimarães Rosa: �Tudo se finge,
primeiro; germina autêntico é depois�. Seria estranho conceber que algo nascesse já completo
e perfeito: em geral, as coisas se aperfeiçoam com o tempo. Assim, entendo este desejo de
estudar � pode nascer imperfeito, mas com o tempo, com esforço, ele irá se aperfeiçoar. Em
segundo lugar, partindo do que disse Aristóteles �todo homem deseja por natureza saber�, eu
diria que autenticamente o homem deseja saber, ainda que na prática este desejo se encontre
camuflado em seu interior. Com esta ideia, o fingimento seria justamente não-estudar. Assim,
entendemos por que estudar é uma necessidade do homem. O homem é um ser aberto à
totalidade do real, aberto a se admirar com o que existe na proporção em quem cada realidade
o reclame. Assim, uma pessoa é tão mais humana quanto mais aprende a contemplar, a se
extasiar no conhecimento do real [1].
Bem, mas o estudar não é somente questão de vontade, não se estuda somente quando �se
está a fim�. Espero ter já apontado motivos racionais suficientes para que se estude; todavia,
para que não faltem argumentos, transcrevo um pensamento de Weber: �As ideias nos ocorrem
não quando queremos mas quando elas querem. As melhores ideias vem à nossa mente, na
verdade, da forma como Ihering o descreve: fumando um charuto no sofá; ou como Helmholtz
relata, com exatidão científica: dando uma volta numa rua ligeiramente inclinada.(...) Ideias
não nos vêm quando nós as esperamos, nem quando estamos ruminando e procurando em
nossas escrivaninhas. Por outro lado, elas certamente não teriam vindo às nossas mentes se não
tivéssemos ruminado em nossas escrivaninhas e procurado respostascom devoção apaixonada�
[2]. Portanto, para se estudar bem, para fazer render o estudo, eu diria que é preciso tática, é
necessário um método de estudo. Obviamente não se trata de um conjunto de regrinhas mágicas
para se cumprir que garantem um resultado imediato. O método de estudo é algo muito pessoal
e, de certa forma, reflete um pouco da personalidade de cada um. O que não pode ocorrer é que
se estude somente quando existe um sentimento agradável: algumas vezes � poucas, eu diria
� será necessário remar contra a correnteza da �preguiça� ou de uma �cômoda� desmotivação.
Estes motivos, geralmente, denotam falta de caráter, e acabam como que justificando para a
própria pessoa o seu desempenho medíocre.
Se é verdade que o método de estudo é muito pessoal, também é verdade que há sim
recomendações muito concretas que qualquer pessoa pode aproveitar. A seguir, eu menciono
algumas:
• Encare o estudo como um emprego (na minha opinião, efetivamente o trabalho do estu-
dante é estudar).
• Planeje seu estudo: veja as matérias que precisa estudar, organize um cronograma (o qual
pode ser variável para cada semana, por exemplo).
• Programe suas atividades extra-curriculares de modo a respeitar seus próprios limites.
• No seu planejamento, reserve algum tempo para atividades que descansam: esporte,
leitura de livros, filmes, reuniões com amigos, etc.
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO GERAL
• Dedique para cada disciplina o tempo que você precisa dedicar. Um erro muito comum é
se estudar apenas o que se gosta: na verdade é preciso estudar cada matéria de acordo com
o que ela exige � algumas vezes, você precisará dedicar mais tempo a algumas matérias
das quais não goste tanto.
• Periodicamente, revise seu método de estudo e veja o que está funcionando e o que deve
ser melhorado. Mas não se esqueça de que os resultados levam tempo para aparecer, há
que ter paciência para não desistir logo nas primeiras dificuldades.
Eu acrescentaria que para formular um bom método de estudo é muito útil pedir conselho a
outras pessoas. Geralmente, não conseguimos ver todos os detalhes de uma situação específica
e alguém de fora pode muito bem apontar aspectos importantes que estamos desconsiderando.
1.3 Algumas Aplicações de FIS�26
Neste curso de FIS�26, basicamente, abordaremos os seguintes assuntos:
1. Corpo rígido,
2. Oscilações,
3. Ondas,
4. Gravitação,
5. Mecânica Analítica.
Talvez, neste momento, você se pergunte onde se aplicam estes conhecimentos. Vou exemplificar
alguns:
1. Um avião pode ser considerado num primeiro momento como um corpo rígido. Conhe-
cendo as forças que atuam num certo avião, permite prever o comportamento deste em
termos de movimento de translação e rotação.
2. Uma viga de um prédio pode ser submetida a movimentos oscilatórios em situações de
terremoto. Neste caso, o edifício (não só as vigas, mas toda a estrutura deste) deve ser
projetado de modo que o efeito das oscilações seja minimizado.
3. No lançamento de satélites, os movimentos que serão executados devem ser tais que
coloquem o satélite numa órbita bem determinada. Ora estudaremos órbitas e (um pouco
sobre transferências de órbitas) no capítulo 5.
4. Para se controlar um robô, é preciso conhecer muito bem como ele responde a forças
externas. Com isso, os atuadores elétricos podem atuar de forma a otimizar o desempenho
do robô como um todo. Ora, isto significa justamente possuir um bom modelo mecânico
do robô � tarefa que é facilmente conseguida com este curso, particularmente com o
capítulo 6.
1.4. BREVE REVISÃO DA FÍSICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS 11
1.4 Breve Revisão da Física de um Sistema de Partículas
Nesta seção, limito-me a escrever algumas expressões que aparecem com frequência quando se
estuda sistema de partículas
• Centro de Massa (CM) de um sistema de N partículas:
~rCM =
∑
mi~ri
M
sendo M =
N∑
i=1
mi.
• Distribuição linear:
~rCM =
∫
~rdm
M
=
∫
~rλdl
M
.
• Distribuição superficial:
~rCM =
∫
~rdm
M
=
∫
~rσdA
M
.
• Distribuição volumétrica:
~rCM =
∫
~rdm
M
=
∫
~rρdA
M
.
• Se um corpo possui um eixo de simetria, então o CM está localizado sobre este eixo.
• Se um sistema de partículas pode ser subdividido em dois subsistemas A e B, então:
~rCM =
mA~rCM,A +mB~rCM,B
mA +mB
.
• Momento linear de um sistema de partículas:
~P = m1~v1 +m2~v2 + . . .+mN~vN = M~vCM .
• Segunda lei de Newton:
~F (ext) =
d~P
dt
= M~aCM ,
o CM de um sistema de partículas se move como se a massa total do sistema e todas as
forças estivessem atuando neste ponto.
• Momento angular de um sistema de partículas:
~L =
N∑
i=1
mi~ri × ~vi = M~rCM × ~vCM + ~LCM ,
onde
~LCM é o momento angular do sistema em relação a um referencial no CM.
• Torque:
~τ (ext) =
d~L
dt
,
~τ
(ext)
CM =
d~LCM
dt
.
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO GERAL
• Trabalho e energia:
W (ext) +W (int) = ∆EC ,
se as forças internas são conservativas:
W (ext) = ∆U,
sendo U = EC + E
(int)
P .
• Energia cinética:
EC =
m1v
2
1
2
+
m2v
2
2
2
+ . . .+
mNv
2
N
2
=
Mv2CM
2
+ EC,CM . (1.1)
No caso de duas partículas:
EC,CM =
µv2rel
2
,
sendo µ = (m1m2)/(m1 +m2) a massa reduzida do sistema de duas partículas.
13
Capítulo 2
Corpos Rígidos
Dificilmente, as partículas ocorrem isoladamente na natureza, elas geralmente formam aglome-
rados, ou melhor, sistemas de partículas. Uma molécula de H2, por exemplo, pode ser encarada
como um sistema de 4 partículas. Por outro lado, 22,4 l de Ar, nas condições normais de tempe-
ratura e pressão, podem ser vistos como um sistema de 6× 1023 partículas de Ar. Dentre todos
os possíveis sistemas de partículas, uma classe é particularmente útil em diversos problemas de
Engenharia: são os corpos rígidos.
Um corpo rígido é um sistema de partículas no qual a distância entre quaisquer duas par-
tículas não se altera com o tempo. Nesse sentido, são exemplos de corpos rígidos: uma caixa,
as pás da hélice de um ventilador, a roda de um automóvel, a fuselagem de um avião, uma
barra, entre outros. Embora na prática não existam corpos perfeitamente rígidos (todos os
corpos admitem pequenas deformações), a teoria de corpos rígidos consegue fornecer resulta-
dos excelentes para o movimento de muitos corpos (os quais podem ser considerados rígidos,
indeformáveis, numa primeira aproximação).
(a) (b) (c) (d)
Figura 2.1: Tipos de movimento plano de um corpo rígido: (a) trajetória de translação retilínea;
(b) trajetória de translação curvilínea; (c) rotação em torno de um eixo fixo; (d) movimento
plano geral.
Vamos começar estudando o movimento plano de um corpo rígido. Quando todas as partí-
culas de um corpo rígido se movem ao longo de trajetórias que são equidistantes de um plano
fixo, diz-se que o corpo rígido possui um movimento plano. Há 3 tipos de movimento plano de
corpo rígido:
1. Translação: quando cada segmento de linha sobre o corpo rígido permanece, durante o
movimento, paralelo à sua posição original.
14 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
2. Rotação em torno de um eixo fixo: quando todas as partículas do corpo rígido (exceto as
que se apoiam sobre o eixo de rotação) se movem em trajetórias circulares.
3. Movimento plano geral: quando há uma combinação dos dois movimentos anteriores.
A Figura 2.1 ilustra estes 3 tipos de movimento plano de um corpo rígido.
O movimento de translação é de análise imediata. Valendo-se da Figura 2.2, tomamos dois
referenciais: um inercial e outro solidário ao corpo rígido. Assim:
~rB = ~rA + ~rB/A. (2.1)
Derivando, temos a velocidade:
~vB = ~vA. (2.2)
Note que a derivada do termo ~rB/A é zero por se tratar de movimento de translação. Por fim,
a aceleração é dada por:
~aB = ~aA.
Figura2.2: Análise do movimento de translação de um corpo rígido.
2.1 Rotação em torno de um eixo fixo
O movimento de rotação em torno de um eixo fixo, para um corpo rígido, reduz-se a estudar
o movimento circular de um ponto P em qualquer seção transversal ao eixo. O sistema tem
um grau de liberdade: a rotação pode ser descrita pelo ângulo de rotação θ do ponto P nesse
movimento circular (Figura 2.3). Isto significa que, se o eixo de rotação é fixo, o movimento de
rotação pode ser completamente caracterizado pela grandeza escalar θ. No entanto, isto deixa
de ser verdade para um movimento de rotação mais geral (por exemplo, no movimento de um
pião, o eixo de rotação varia a cada instante). Logo, para caracterizar uma rotação no caso
geral, não basta dar um ângulo de rotação, é preciso dar também uma direção: a direção do
eixo de rotação.
Poderíamos, tentar associar um vetor �θ� a uma rotação. Porém, é fácil verificar que a
grandeza θ associada a uma rotação finita, embora tenha módulo, direção e sentido, não é um
2.1. ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO 15
Figura 2.3: Análise do movimento de rotação de um corpo rígido.
vetor. Entretanto, se tomarmos rotações infinitesimais, como na Figura 2.4, estas sim podem
ser caracterizadas como vetores. Para tanto, vamos definir:
δ~θ :

módulo: δθ (deslocamento angular),
direção: eixo de rotação,
sentido: regra da mão direita.
Figura 2.4: Rotação infinitesimal de um ponto P .
Nestas condições, sendo
−→
OP = ~r e
−−→
PP ′ = δ~s, temos:
δ~s = δ~θ × ~r. (2.3)
Note que a Eq. (2.3) continua válida mesmo quando
−→
OP e
−−→
PP ′ não estão no mesmo plano,
como se vê na Figura 2.5. Note que, para o caso desta Figura, tem-se δs = ρδθ = r sinϕ(δθ).
Figura 2.5: Rotação infinitesimal de um ponto P , com a origem deslocada.
16 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Uma vez definido o vetor ângulo (infinitesimal), definimos a velocidade angular como:
~ω = lim
δt→0
(
δ~θ
δt
)
,
notando que:
~v = lim
δt→0
(
δ~s
δt
)
= lim
δt→0
(
δ~θ
δt
)
× ~r = ~ω × ~r. (2.4)
Derivando a Eq. (2.4) em relação ao tempo, obtemos a aceleração de um certo ponto P do
corpo rígido:
~a =
d~ω
dt
× ~r + ~ω × d~r
dt
= ~α× ~r + ~ω × (~ω × ~r),
sendo ~α =
d~ω
dt
a aceleração angular.
2.2 Movimento Plano Geral
O movimento plano geral de um corpo rígido pode ser descrito como a combinação de uma
translação e de uma rotação. Para visualizarmos estas �componentes� de movimento, utilizare-
mos uma análise de movimento relativo envolvendo dois conjuntos de eixos ordenados, como na
Figura 2.6. O sistema de eixos xy é fixo e mede a posição �absoluta� de dois pontos A e B sobre
o corpo. A origem do sistema x′y′ será fixada a um ponto A do corpo rígido (um ponto que
geralmente tem um movimento conhecido). Os eixos x′y′ não giram com o corpo, eles podem
apenas transladar em relação ao sistema fixo.
Figura 2.6: Referenciais para estudar o movimento plano geral de um corpo rígido.
Nestas condições, a posição de B é dada pela Eq. (2.1); mas sua velocidade já não pode ser
escrita como a Eq. (2.2), ela é dada por:
~vB = ~vA + ~vB/A.
Como o ponto B está sempre à mesma distância de A, então seu movimento (em relação a A)
pode ser caracterizado como uma rotação em torno de um eixo �fixo� que passa por A. Assim:
~vB = ~vA + ~ω × ~rB/A.
2.2. MOVIMENTO PLANO GERAL 17
e, a aceleração de B é igual a:
~aB = ~aA + ~α× ~rB/A + ~ω × (~ω × ~rB/A). (2.5)
Exemplo 2.1 A barra AB mostrada na Figura 2.7 está confinada a mover-se ao longo de planos
inclinados em A e B. Se o ponto A tem uma aceleração de 3,00 m/s2 e uma velocidade de 2,00
m/s ambas direcionadas plano abaixo no instante em que a bara fica na horizontal, determine
a aceleração angular da barra neste instante.
Figura 2.7: Barra AB estudada.
Solução Uma vez que A e B se movem em trajetórias retilíneas, as velocidades (e acelerações)
destes pontos estão dirigidas ao longo destas direções (Figura 2.8). Como ao longo da barra, o
Figura 2.8: Acelerações da barra AB estudada.
ponto B está em repouso relativamente a A (o comprimento da barra não varia com o tempo),
então vA cos 45
◦ = vB cos 45◦, ou seja, vB = vA = 2,00 m/s. Como vB/A = ωrB/A, temos:
(2).(2m/s).(
√
2/2) = (ω).(10,0 m), ou seja, ~ω = (0,283 rad/s)zˆ.
Para determinar a aceleração angular, utilizamos a Eq. (2.5):
(aB cos 45
◦)xˆ+ (aB sin 45◦)yˆ = (aA cos 45◦)xˆ− (aA sin 45◦)yˆ + (10,0α)yˆ − (0,283)2.(10,0)xˆ
que conduz ao seguinte sistema de equações:{
aB cos 45
◦ = aA cos 45◦ − (0,283)2.(10,0)
aB sin 45
◦ = −aA sin 45◦ + 10,0α
Substituindo aA = 3,00 m/s
2
, obtemos
18 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
~α = (0,344 rad/s2)zˆ
2.3 Momento Angular
Já vimos que o movimento plano de um corpo rígido pode ser dividido em 2 partes: rotação
e translação. No que concerne à parte translacional, não há diferenças, em termos de análise,
do movimento do corpo rígido e do movimento de uma partícula. Vamos continuar analisando,
portanto, a parte do movimento referente à rotação.
2.3.1 Momento Angular: componente ao longo do eixo de rotação
Considere um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo∆, como na Figura 2.9. O momento
angular tem uma componente L∆ (ao longo do eixo de rotação) dada por:
L∆ =
∑
i
mi(~ri × ~vi).eˆ∆ =
∑
i
~li.eˆ∆.
(a) (b)
Figura 2.9: (a) Trajetória circular de um ponto P de um corpo rígido; (b) Momento angular ~li
deste elemento pontual P .
Mas,
~li.eˆ∆ = li cos θ = (miωdi)ri cos θ = miωd
2
i .
Assim:
L∆ =
∑
i
miωd
2
i =
(∑
i
mid
2
i
)
ω.
A quantidade
∑
i
mid
2
i é denominada momento de inércia do corpo rígido em relação ao eixo
∆ e representada como I∆. Assim:
L∆ = I∆ω.
Em algumas condições especiais (veremos adiante), como quando o eixo ∆ é um eixo de simetria
do corpo rígido, a identidade anterior pode ser reescrita na forma vetorial:
~L = I~ω,
2.3. MOMENTO ANGULAR 19
sendo I o momento de inércia em relação a este eixo de simetria em torno do qual ocorre a
rotação.
Por analogia com o momento linear
~P = M~v, podemos dizer que ~L = I~ω mostra que o
momento de inércia mede a resitência de um corpo à rotação (I é como se fosse uma �massa�
para a rotação). De algum modo, o momento de inércia mede como a massa está distribuída
em torno de um eixo de rotação: quanto mais massa houver próximo ao eixo de rotação, menor
será o momento de inércia. Para um dado corpo rígido, o momento de inércia depende do
eixo considerado, já que a massa pode estar melhor distribuída em torno de um eixo que de
outros. Uma vez que o momento de inércia é uma quantidade essencial no estudo das rotações
de corpos rígidos, vamos explorá-lo mais.
Sabemos que
∑
i
mid
2
i . Tomando pequenas porções (do corpo rígido) de massa ∆mi cujas
distâncias em relação ao eixo de rotação sejam ri, temos:
I =
∑
r2i∆mi,
e, no limite em que ∆mi → 0:
I =
∫
r2i dm.
No caso de:
• distribuição linear de massa: dm = λdl.
• distribuição superficial de massa: dm = σdA.
• distribuição volumétrica de massa: dm = ρdV .
Exemplo 2.2 Obter o momento de inércia da haste a seguir com relação ao eixo z.
(a) (b)
Figura 2.10: (a) Barra da qual se deseja calcular o momento de inércia; (b) Divisão da barra
em pedaços infinitesimais.
Solução Tomando a divisão de massas como na Figura 2.10(b), temos:
I =
∫ L
0
x2λdx = λ
L3
3
=
ML2
3
20 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Exemplo 2.3 Obter o momento de inércia do disco (massa M e raio R) em relação ao eixo de
simentria normal ao seu plano
Figura 2.11: Divisão do disco em pedaços infinitesimais.
Solução Considerando a divisão de massas da Figura 2.11:
I =
∫
(x2 + y2)σdA =
∫ R
0
∫ 2pi
0
r2σrdθdr = σ
R4
4
2pi =
MR2
2
OBS 2.1 Nos apêndices A e B, mostramos o momento deinércia para diversos objetos com
distribuição uniforme de massa.
Teorema 2.1 Se um corpo rígido pode ser dividido em duas partes A e B, então seu monento
de inércia (em relação a um eixo ∆) é igual à soma dos momentos de inércia de A e B (com
relação ao mesmo eixo).
Prova Basta dividir o domínio de integração em A e B:
I =
∫
S=A+B
r2dm =
∫
A
r2dm+
∫
B
r2dm = IA + IB.
Teorema 2.2 (dos eixos paralelos ou de Steiner): Se o momento de inércia em relação a
um eixo que passa pelo CM é ICM , então o momento de inércia em relação a qualquer outro
eixo paralelo a este é:
I = ICM +Md
2,
sendo d a distância dos eixos e M a massa do corpo rígido.
Prova Considere dois sistemas cartesianos com eixos paralelos, sendo que um dos sistemas está
localizado no CM, como na Figura 2.12. Escrevendo a expressão do momento de inércia
I =
∑
r2i∆mi.
2.3. MOMENTO ANGULAR 21
Figura 2.12: Dois sistemas cartesianos com os eixos paralelos.
Mas ~ri = ~rCM + ~ri/CM , e portanto, r
2
i = ~ri · ~ri = r2CM + r2i/CM + 2~rCM · ~ri/CM , o que implica:
I =
∑
r2CM∆mi +
∑
r2i/CM∆mi + 2
∑
~rCM · ~ri/CM∆mi,
= Md2 + ICM + 2~rCM ·
∑
~ri/CM∆mi.
Como
∑
∆mi~rCM =
∑
~ri∆mi, tem-se ~0 =
∑
(∆mi)(~ri−~rCM) =
∑
(∆mi)(~ri/CM), donde segue
que:
I = ICM +Md
2.
Exemplo 2.4 Determine o momento de inércia da haste da Figura 2.13 em relação ao eixo z.
Figura 2.13: Haste e eixo z.
Solução Usando o Exemplo 2.2 e o teorema dos eixos paralelos:
ML2
3
= Iz +
ML2
4
.
Portanto:
Iz =
ML2
12
.
OBS 2.2 Ocasionalmente, o momento de inércia de um corpo rígido em relação a um eixo
específico é documentado em manuais através do raio de giração k. Ele é definido como:
I = Mk2 ou k =
√
I
M
.
O raio de giração pode ser interpretado como a distância (em relação ao eixo de rotação) na
qual se estivesse concentrada toda a massa M produziria o mesmo momento de inércia.
22 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Teorema 2.3 (dos eixos perpendiculares): Seja um corpo rígido plano com momentos de
inércia Ix e Iy por dois eixos (perpendiculares entre si) que estão no mesmo plano do corpo. Se
o eixo z é perpendicular a x e a y, então:
Iz = Ix + Iy.
Prova Considere a Figura 2.14.
Figura 2.14: Sistema de 3 eixos perpendiculares.
Pode-se dizer que:
Ix =
∫
y2dm,
Iy =
∫
x2dm.
E, por fim,
Iz =
∫
(x2 + y2)dm = Ix + Iy.
Exemplo 2.5 Calcule o momento de inércia de um disco por um eixo passando por um diâ-
metro.
Considere o disco ilustrado na Figura 2.15. Por simetria, temos Ix = Iy
Solução
Figura 2.15: Disco e eixos x e y.
Usando o teorema dos eixos perpendiculares:
Iz = Ix + Iy = 2Ix.
Mas, do Exemplo 2.3, Iz = MR
2/2. Portanto:
Ix =
MR2
4
.
2.3. MOMENTO ANGULAR 23
2.3.2 Momento Angular: caso geral
Já vimos que a componente do momento angular ao longo do eixo de rotação é L∆ = I∆ω. Mas
uma questão surge quando vemos esta expressão: o momento angular é um vetor paralelo ao
eixo de rotação (ou então, a ~ω)? A resposta é: geralmente não. Então, qual a relação entre ~L
e ~ω? Vejamos. Considere a Figura 2.9 (a). Podemos escrever
~L =
∑
i
~ri × (∆mi~vi).
Mas, para um eixo fixo, ~vi = ~ω × ~ri. Assim:
~L =
∑
i
(∆mi)~ri × (~ω × ~ri). (2.6)
Sendo ~ω = ωxxˆ+ ωyyˆ + ωz zˆ e ~ri = xixˆ+ yiyˆ + zizˆ, podemos escrever o duplo produto vetorial
como:
~ri × (~ω × ~ri) = [(y2i + z2i )ωx − xiyiωy − xiziωz]xˆ
= [−xiyiωx + (x2i + z2i )ωy − yiziωz]yˆ
= [−xiziωx − yiziωy + (x2i + y2i )ωz]zˆ
Tomando o limite em que ∆mi → 0 e reescrevendo a Eq. (2.6) na forma matricial, temos:
~L = I˜~ω, (2.7)
onde
I˜ =
 Ixx −Ixy −Ixz−Iyx Iyy −Iyz
−Izx −Izy Izz

Ixx =
∫
(y2 + z2)dm Iyy =
∫
(x2 + z2)dm Izz =
∫
(x2 + y2)dm
Ixy = Iyx =
∫
xydm
Ixz = Izx =
∫
xzdm
Iyz = Izy =
∫
yzdm
A quantidade I˜ é conhecida como tensor de inércia de um corpo rígido. As grandezas Ixx, Iyy e
Izz são conhecidas como momentos de inércia em relação aos eixos x, y e z, respectivamente; e
as grandezas Ixy, . . . , Izy são conhecidas como produtos de inércia. Note que, para definir bem
o tensor de inércia I˜ é necessário especificar uma origem O e os eixos x, y e z.
Se fixamos o ponto O e fazemos uma rotação (de eixos) dada pela matriz de mudança de
base R˜, então:  xy
z
 = R˜
 x′y′
z′
 .
24 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Logo
~L = R˜~L′ e ~ω = R˜~ω′. Substituindo na Eq. (2.7) e usando o fato de que R˜ é uma matriz
ortogonal, temos:
~L′ = (R˜T I˜R˜)~ω′
Assim, o tensor de inércia nos novos eixos é:
I˜ ′ = R˜T I˜R˜.
Uma vez que I˜ é simétrico, sempre é possível encontrar um conjunto de eixos ortogonais, x0,
y0 e z0, em relação ao qual o tensor é diagonal (trata-se de um problema de autovalores e
autovetores). Neste caso, o tensor de inércia estará diagonalizado e pode ser escrito na forma
simplificada:
I˜ =
 Ix0 0 00 Iy0 0
0 0 Iz0
 .
Ix0 , Iy0 e Iz0 são chamados de momentos principais de inércia do corpo rígido (com relação ao
ponto O). Os eixos x0, y0 e z0 são chamados de eixos principais de inércia. Quando um corpo
rígido gira em torno de um eixo principal de inércia ∆, podemos dizer que:
~L = I∆~ω.
A determinação dos eixos principais de inércia é um problema de autovetores (note que I∆ é um
autovalor associado). Existem muitos casos, entretanto, em que os eixos principais de inércia
podem ser determinados por inspeção (no caso de um eixo de simetria, por exemplo).
OBS 2.3 Dos três momentos principais de inércia, um será o maior e outro será o menor
de todos os momentos de inércia de eixos que passam pelo ponto O (daí a vantagem em se
conhecer os eixos principais de inércia).
Exemplo 2.6 Alguns eixos principais de inércia são dados na Figura 2.16.
Figura 2.16: Eixos principais de uma esfera, de um cilindro e de um cubo.
Exemplo 2.7 Determine os eixos principais de inércia com relação ao ponto O. O corpo rígido
mostrado na Figura 2.17 é formado por 4 massas (duas massas M e duas m) ligadas por hastes
de massas desprezíveis. Considere M 6= m.
2.4. DINÂMICA DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO 25
Figura 2.17: Quatro massas localizadas nos pontos (a, a, 0), (−a, a, 0), (a,−a, 0) e (−a, a, 0).
Solução É fácil ver que:
Izz = 4ma
2 + 4Ma2 = 4a2(m+M),
Ixx = 2ma
2 + 2Ma2 = 2a2(m+M) = Iyy,
Ixy = −2ma2 + 2Ma2 = 2a2(M −m), Iyz = Ixz = 0.
Portanto:
I˜ =
 2a2(m+M) 2a2(m−M) 02a2(m−M) 2a2(m+M) 0
0 0 4a2(m+M)
 ,
cujos autovetores são:  00
1
  1√21√
2
0
  1√2− 1√
2
0
 .
Os eixos principais de inércia aparecem na Figura 2.18.
Figura 2.18: Eixos principais (x0y0z0) do sólido da Figura 2.17. Este resultado, de certa forma,
já era esperado, pela simetria do problema.
2.4 Dinâmica do Movimento do Corpo Rígido
Até o momento, estudamos a cinemática do movimento plano do corpo rígido. Vamos, agora,
relacionar o movimento com as causas (forças e torques). Como o corpo rígido é um caso
particular de sistema de partículas, podemos dizer que:
~F (ext) = M~aCM . (2.8)
26 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
A Eq. (2.8) geralmente dá conta da parte translacional do movimento. Para tratar a parte
angular, geralmente tomamos um referencial inercial e aplicamos a equação:
~τ (ext) =
d~L
dt
. (2.9)
Este referencial inercial pode ser tomado como um ponto externo ao corpo rígido, ou, quando
for possível um próprio ponto do corpo rígido (se este ponto for um referencial inercial). De
qualquer forma, se o eixo de rotação for um eixo principal de inércia, então pode-se dizer que:
~L = I∆~ω ~τ
(ext) = I∆~α.
Se isso não for possível, podemos escrever:
~L = M~rCM × ~vCM + ~LCM ,
Esta última equação é válida para qualquer sistema de partículas. Talvez, ainda se possa
escrever
~LCM = ICM~ω, caso se trate de um eixo principal de inércia. Uma última possibilidadeé tomar o CM do corpo rígido para analisar a rotação. Para este ponto do corpo rígido, sempre
se pode escrever que:
~τ
(ext)
CM =
d~LCM
dt
,
ainda que o CM não seja um referencial inercial.
Além de estudar a parte de rotação e a parte de translação, para se determinar completa-
mente o movimento do corpo rígido é necessário alguma outra informação adicional, como por
exemplo algum vínculo conectando a translação e a rotação (por exemplo, dizer que o corpo
rígido rola sem deslizar).
Exemplo 2.8 Um corpo de formato circular partiu do repouso e está descendo um plano
inclinado de ângulo θ. Quanto tempo este corpo leva para percorrer uma distância L (medida
ao longo do plano inclinado)? Considere que não há deslizamento e que o raio de giração em
relação ao CM seja k.
Solução Na solução deste problema, consideramos que a força de atrito está orientada como
na Figura 2.19. Se adotássemos a orientação contrária, não haveria diferença no resultado final.
Figura 2.19: Orientação escolhida para a força de atrito.
2.4. DINÂMICA DO MOVIMENTO DO CORPO RÍGIDO 27
Análise da parte translacional:
Mg sin θ − f = MaCM .
Análise da parte rotacional (em relação ao CM):
fR = ICMα = Mk
2α.
Como não há deslizamento, podemos afirmar que αR = aCM (mas não podemos garantir que
f = µN). Com isso, obtemos a aceleração do CM:
aCM =
g sin θ
1 + k
2
R2
Como L = aCM t
2/2, temos, finalmente
t =
√
2L
(
1 + k
2
R2
)
g sin θ
OBS 2.4 Note que aCM < g sin θ, ou seja, um corpo rígido cai mais devagar que uma partícula.
Exemplo 2.9 Uma esfera maciça de massa M e raio R é colocada no chão apenas com velo-
cidade de rotação ω0 (Figura 2.20). Determine o instante em que a esfera deixa de deslizar e
começa a rolar. Considere µC o coeficiente de atrito cinético entre a esfera e o chão.
Figura 2.20: Ilustração da esfera deslizando.
Solução A força f = µCMg de atrito (a qual aponta para a direita � muito embora assumir
que aponte para a esquerda não seria problemático; tente ver o que mudaria) se relaciona com
a aceleração do CM através de:
f = MaCM ,
o que significa que:
aCM = µCg.
Deste modo, a velocidade varia com o tempo de acordo com:
vCM = µCgt.
Por outro lado, analisando os torques, concluímos que:
fR = −ICMα = −2MR
2
5
α,
28 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
ou seja,
α = −5µCg
2R
.
Logo, a velocidade angular varia com o tempo de acordo com:
ω = ω0 − 5µCg
2R
t.
Basta agora obter o tempo t∗ em que vCM = ωR:
t∗ =
2ω0R
7µCg
.
Exemplo 2.10 A roda de 30 kg mostrada na Figura 2.21 tem um CM em G e um raio de
giração kG = 0,15 m. Se a roda está inicialmente em repouso e é abandonada da posição
mostrada, determine sua aceleração angular. Considere que não ocorre deslizamento.
Figura 2.21: Roda desbalanceada.
Solução Marcamos as forças agindo na roda (Figura 2.22).
Figura 2.22: Forças agindo na roda desbalanceada. Estamos considerando d = 0,10 m e
R = 0,25 m.
Escrevendo as equações de forças e torques, temos:
Mg −N = May,
f = Max,
Nd− fR = Mk2Gα.
Note que adotamos como sentido positivo para α o sentido anti-horário e para ay o sentido para
baixo. Mas ~aG = ~aO + ~α× ~r + ~ω × (~ω × ~r), e, como aO = αR, temos:
axxˆ− ayyˆ = (αR)xˆ− (αd)yˆ.
2.5. ENERGIA CINÉTICA 29
Assim: ax = αR e ay = αd. Substituindo nas equações anteriores, chegamos a:
α =
gd
k2G +R
2 + d2
.
Sendo g = 9,81 m/s2:
α = 10rad/s2.
2.5 Energia Cinética
Como o corpo rígido é um caso particular de sistemas de partículas, podemos seguramente
afirmar que a expressão da energia cinética de um corpo rígido é dada pela Eq. (1.1). Vamos
procurar alguma expressão para EC,CM . Começamos escrevendo:
EC,CM =
∑
i
∆mi
2
v2i,CM .
Considerando um eixo de rotação passando pelo CM, como na Figura 2.23, temos vi,CM = ωri.
Figura 2.23: Corpo rígido girando através de um eixo que passa pelo CM.
Portanto:
EC,CM = ω
2
∑
i
(∆mi)r
2
i
2
=
ICMω
2
2
.
Assim, a expressão de energia cinética de um corpo rígido é:
EC =
Mv2CM
2
+
ICMω
2
2
. (2.10)
Quando um corpo rígido está sujeito à translação (retilínea) ou curvilínea, sua energia cinética
é dada simplesmente por EC = Mv
2
CM/2. Quando o corpo rígido gira em relação a um eixo
fixo passando por um ponto O (não necessariamente o CM), como na Figura 2.24, sua energia
cinética pode ser encontrada através de (2.10). Pode-se, porém, obter uma expressão alternativa
fazendo uso do Teorema dos eixos paralelos, já que vCM = ωd:
EC = (ICM +Md
2)
ω2
2
=
IOω
2
2
.
No caso do movimento plano geral, não é possível fazer simplificações à Eq. (2.10). En-
tretanto, podemos perceber que a energia cinética total do corpo consiste na soma escalar da
energia cinética de translação (Mv2CM/2) do corpo e da energia cinética de rotação em torno
de seu CM (ICMω
2/2).
30 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Figura 2.24: Corpo rígido girando através de um eixo fixo que passa por um ponto O.
2.5.1 Forças que não realizam trabalho
Como estamos falando em energia cinética, é importante saber que existem algumas forças
externas que não realizam trabalho quando o corpo é deslocado e, portanto, são incapazes
de alterar a energia cinética do corpo rígido. Essas forças podem atuar tanto sobre pontos
fixos do corpo rígido como podem ter a direção perpendicular a seus deslocamentos. Exemplos
destas situações incluem as reações em pinos de apoio em relação aos quais o corpo gira, a
reação normal atuante sobre um corpo que se move ao longo de uma superfície fixa e o peso
de um corpo quando seu CM se move em um plano horizontal. A força de atrito estático
~f (v.
Figura 2.25) atuante sobre um corpo roliço quando ele rola sem deslizar sobre uma superfície
rugosa também não realiza trabalho (quando ocorre deslizamento, a situação é bem diferente).
Isto ocorre porque, durante um intervalo de tempo dt, ~f atua sobre um ponto cuja velocidade
Figura 2.25: Força de atrito estático atuando no rolamento de um corpo.
instantânea é zero, logo o trabalho realizado pela força sobre o ponto é nulo, pois o ponto não
é deslocado na direção da força durante esse instante. Uma vez que
~f entra em contato com
pontos sucessivos distintos, o trabalho de
~f é nulo.
2.6 Movimento Giroscópico
O ingrediente básico de um giroscópio é um volante, que é um disco ou roda em rotação rápida,
colocado numa haste que serve como eixo de rotação do volante (é também um eixo de simetria).
Nesse caso, o momento angular é:
~L = I~ω.
Se fizermos atuar sobre o sistema um torque na mesma direção de
~L, então:
∆L = τ∆t = I∆ω,
2.6. MOVIMENTO GIROSCÓPICO 31
ou seja, temos uma frenagem ou aceleração do volante. Por outro lado, se o torque ~τ for
perpendicular a
~L:
0 = 2~L · ~τ = 2~L · d
~L
dt
=
d(L2)
dt
,
o que significa que quando ~τ é perpendicular a ~L, ele não altera a magnitude do momento
angular, mas tão somente a sua direção. Como no movimento circular uniforme, em que ~v é
perpendicular a ∆~v, o vetor ~L gira no intervalo de tempo infinitesimal ∆t de um ângulo ∆ϕ:
∆L = L∆ϕ = τ∆t.
Portanto:
dϕ
dt
, Ω = τ
L
.
Esta situação aparece ilustrada na Figura 2.26. Quando o eixo gira ∆ϕ, o torque ~τ gira
Figura 2.26: (a) Movimentos de rotação e de precessão de um volante e (b) Grandezas vetoriais
relevantes nestes movimentos.
do mesmo ângulo, mantendo-se constante em magnitude. Podemos dizer que
~L �persegue�
~τ , procurando alinhar-se com ~τ , mas ~τ sempre se mantém perpendicular a ~L, de modo que
nunca é �alcançado�. Neste caso, o eixo descreve um movimento de precessão em torno da
vertical, ou seja, um movimento circular uniforme com velocidade angular Ω (mantendo-se
sempre horizontal).
Vamos, agora, considerar o caso em que o eixo do giroscópio forma um ânguloθ qualquer
com a vertical (Figura 2.27). Neste caso, a magnitude de
~L se mantém constante, e o vetor ~L
precessa em torno da vertical, descrevendo um cone de ângulo θ de abertura. Podemos dizer
que:
∆L = L sin θ∆ϕ = τ∆t,
dϕ
dt
, Ω = τ
L sin θ
,
ou então:
τ = ΩL sin θ.
Este caso generaliza o anterior (em que θ = 90◦). De forma vetorial, podemos dizer que:
~τ = ~Ω× ~L. (2.11)
32 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
Figura 2.27: (a) Precessão de um volante cujo eixo faz um ângulo θ com a vertical e (b)
Grandezas vetoriais relevantes neste movimento.
2.6.1 Precessão regular
A análise anterior não é inteiramente correta, pois não leva em conta que a velocidade angular
de precessão
~Ω também contribui para o momento angular total. Para analisar isto, vamos
decompor
~Ω como na Figura 2.28, em duas componentes, ω1 = Ω cos θ e ω2 = Ω sin θ, de tal
modo que
~Ω = ~ω1+~ω2. Com isso, ~Ω é decomposto numa componente ~ω2 (perpendicular à direção
Figura 2.28: Vetor
~Ω decomposto ao longo dos eixos de simetria (autovetores do tensor de
inércia).
instantânea do eixo do giroscópio) e numa componente ~ω1 na direção do eixo do giroscópio.
Esta última componente se soma à velocidade angular intrínseca ~ω (spin) do volante. Esta
decomposição é vantajosa, pois o eixo do volante e o eixo de ~ω2 são eixos principais de inércia.
Assim:
~L = I(~ω + ~ω1) + I2~ω2,
sendo I2 o momento de inércia com relação ao eixo de ~ω2. Assim, utilizando a Eq. (2.11),
temos:
~τ = (~ω1 + ~ω2)× ~L = I
(
ω
ω1
+ 1
)
(~ω1 × ~ω2)− I2(~ω1 × ~ω2).
Sendo l a distância do CM do volante ao apoio, temos:
Mgl sin θ =
[
I
(
ω
ω1
+ 1
)
− I2
]
ω1ω2,
2.6. MOVIMENTO GIROSCÓPICO 33
Mgl sin θ =
[
I
( ω
Ω cos θ
+ 1
)
− I2
]
Ω2 sin θ cos θ,
Mgl = IωΩ + (I − I2) cos θΩ2. (2.12)
Para θ = 90◦, temos
Mgl = ΩIω,
que é o resultado classicamente estabelecido para o giroscópio.
Por outro lado, se θ 6= 90◦, para encontrar θ é preciso resolver a equação do segundo grau
dada por (2.12). Usualmente, a precessão é bem mais lenta que a rotação do giroscópio em
torno do próprio eixo. Além disso, o volante normalmente tem um momento de inércia elevado
em relação ao eixo de spin. Com estas simplificações, temos, mais uma vez:
Mgl = ΩIω.
34 CAPÍTULO 2. CORPOS RÍGIDOS
35
Capítulo 3
Movimento Oscilatório
Na maior parte do tempo, não podemos explicar como um sistema dinâmico comum responde a
uma força aplicada externamente porque as equações são não-lineares. À exceção de uns poucos
casos especiais, isto significa que precisamos empregar simulações numéricas para determinar
a resposta do sistema ao longo do tempo para a força aplicada. Existe, contudo uma classe de
problemas para a qual podemos determinar uma solução bem próxima da analítica, uma classe
de problemas que é muito comum e muito importante - os sistemas que vibram. Isto inclui
carros (um carro vibra por causa do motor e, também, por causa da superfície da estrada),
acionamento de discos de computador, átomos em redes cristalinas, turbo-máquinas, cordas
de violinos, corpos de violinos, uma máquina rotativa (ligeiramente desbalanceada), linhas de
transmissão (vibração induzida pelo vento), as asas de aviões (�flutter�), estruturas de edifícios
(a análise de vibrações assume um papel importante no estudo do compotantemto de estruturas
sujeitas a terremotos). Nesses casos (e em tantos outros), o movimento oscilatório surge como
uma resposta a uma perturbação na presença de forças restauradoras.
Em geral, existem dois tipos de vibrações: livres e forçadas. A vibração livre ocorre quando o
movimento é mantido por uma força restauradora, gravitacional ou elástica, como por exemplo
a oscilação de um pêndulo ou a vibração de uma barra elástica. A vibração forçada é causada
por uma força externa periódica ou intermitente aplicada ao sistema. Essas duas formas de
vibrações podem ser tanto amortecidas quanto não-amortecidas. As vibrações não-amortecidas
continuam indefinidamente, pois os efeitos de atrito são desprezados na análise. Uma vez que
as forças de atrito internas e externas estão sempre presentes, os movimentos oscilatórios são
na realidade amortecidos.
3.1 Oscilações harmônicas
Comecemos tomando um sistema simples: um conjunto massa mola. Se a massa for deslo-
36 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
cada a uma distância x da posiçao de equilíbrio, aparecerá uma força restauradora de intensi-
dade kx e apontando no sentido contrário ao do deslocamento. Aplicando a 2a lei de Newton
para a massa M :
Mx¨ = −kx (3.1)
ou seja,
x¨+
k
M
x = 0 (3.2)
A equação do movimento da massa é uma EDOLH de 2
a
ordem. Esta mesma equação
poderia ser obtida através do princípio de conservação da energia:
Mx˙2
2
+
kx2
2
= cte (3.3)
derivando,
Mx¨+ kx = 0
portanto,
x¨+
k
M
x = 0 (3.4)
A solução geral desta EDO é: x(t) = a cos(wt) + b sin(wt), sendo w =
√
k
M
. Esta função pode
ser escrita de forma equivalente como:
x(t) = A cos(wt+ ϕ) (3.5)
ou então
x(t) = A sin(wt+ φ) = A cos
wt+
ϕ︷ ︸︸ ︷
φ− pi
2
 (3.6)
Como vimos, a solução da equação de movimento é uma função periódica. A massaM oscila
indefinidamente em torno da posição de equilíbrio x = 0. O movimento de um oscilador (como
este) se chama movimento harmônico simples (MHS). O período do MHS é: T =
2pi
w
= 2pi
√
M
k
,
ao passo que a frequência é f =
1
T
=
w
2pi
=
1
2pi
√
k
M
.
As constantes A e φ dependem das condições iniciais:
x(0) = x0, x˙(0) = v0 (3.7)
portanto,
A =
√
x20 +
(v0
w
)2
(3.8)
e φ é tal que sinφ = x0
A
e cosφ = v0
wA
. A constante A fornece a amplitude de oscilação do MHS.
Por outro lado, o termo wt+φ é chamado de fase do MHS. Em t = 0, a fase é o próprio φ (que
pode, por isso, ser chamado de fase inicial)
3.2. PÊNDULOS 37
A energia cinética da massa (ao longo do tempo) vale:
Ec =
Mv2
2
=
MA2w2
2
cos(wt+ φ) (3.9)
enquanto que a energia potencial é:
Ep =
kx2
2
=
kA2
2
sin2(wt+ φ) =
MA2w2
2
sin2(wt+ φ) (3.10)
já a energia mecânica (que é constante) vale:
Emec =
MA2w2
2
(3.11)
Além do valor instantâneo da energia cinética e da energia potencial, é interessante também
obter um valor médio. No caso de uma grandeza periódica f(t), denomina-se o valor médio de
f o valor:
f¯ =< f >=
1
T
∫ t0+T
t0
f(t)dt (3.12)
Para a energia cinética e potencial, pode-se mostrar que:
E¯c = E¯p =
MA2w2
4
=
Emec
2
(3.13)
3.2 Pêndulos
Além do sistema massa-mola, os pêndulos compõem outra classe de sistemas que oscilam em
MHS. Vamos estudar alguns.
3.2.1 Pêndulo de torção
Consideremos uma barra horizontal suspensa em equilíbrio por um fio vertical. Se defletimos
a barra no plano horizontal de um pequeno ângulo em relação à posição de equilíbrio, a lei de
38 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Hooke para a torção do fio diz que ele reage com um torque restaurador proporcional ao ângulo
de torção:
τ = −kϕ (3.14)
onde k é o módulo de torção do fio, que depende do seu comprimento, diâmetro e material,
e o sinal negativo indica que o torque é no sentido de trazer o sistema de volta à posição de
equilíbrio.
Se I é o momento de inércia da barra em relação ao eixo vertical, a equação de movimento
é:
− kϕ = Iϕ¨ (3.15)
portanto,
ϕ¨+
k
I
ϕ = 0
logo,
w =
√
k
I
(3.16)
Sistemas deste tipo são empregados em instrumentos de laboratório muito sensíveis, como
o galvanômetro e a balança de torção utilizada na experiência de Cavendish.
3.2.2 Pêndulo simples
O pêndulo simples consiste numa massa M suspensa por um fio ou haste de comprimento
L e massa desprezível. Utilizando coordenadas polares para resolver o problema:
−Mg sin θ = MLθ¨θ¨ +
g
L
sin θ = 0 (3.17)
Esta é a equação de movimento do pêndulo simples. Infelizmente, não há solução analítica
para esta equação (note que a EDO é não-linear). Uma aproximação muito comum, válida para
ângulos pequenos, consiste em fazer subsectionθ ∼= θ. Nesse caso:
θ¨ +
g
L
θ = 0 (3.18)
3.2. PÊNDULOS 39
cuja solução é bem conhecida. Pode-se reconhecer que: w =
√
g
L
e T = 2pi
√
L
g
. Esta solução
é válida para �pequenas oscilações� (pequenas amplitudes de oscilação). No caso de �grandes
amplitudes�, o movimento não é harmônico. Mas vejamos como obter o período nesses casos.
Suponhamos que o pêndulo é abandonado (do repouso) de um ângulo θ0. Usando conser-
vação de energia, temos:
−MgL cos θ0 = −MgL cos θ + ML
2θ˙2
2
(3.19)
até
T
4
, podemos dizer que θ˙ = −
√
2g
L
(cos θ − cos θ0) 12 . Logo
T
4∫
0
dt = −
√
L
2g
0∫
θ0
dθ
(cos θ − cos θ0) 12
T = 2
√
L
g
θ0∫
0
dθ
(sin2( θ0
2
)− sin2( θ
2
))
1
2
(3.20)
sendo sinα =
sin( θ
2
)
sin( θ0
2
)
∆
=
sin( θ
2
)
k
portanto,
dθ =
2k cosαdα
cos( θ
2
)
(3.21)
T = 4
√
L
g
pi
2∫
0
dα
(1− k2 sin2 α) 12 . (3.22)
como (1− k2 sin2 α)− 12 = 1 + 1
2
k2 sin2 α + 3
8
k4 sin4 α + . . .
substituindo na integral, temos:
T = 2pi
√
L
g
[
1 +
1
4
sin2
θ0
2
+
9
64
sin4
θ0
2
+ . . .
]
(3.23)
3.2.3 Pêndulo físico
Qualquer corpo rígido suspenso de um ponto O de tal forma que possa girar livremente (sem
atrito) em torno de um eixo horizontal passando pelo ponto de suspensão O constitui um
pêndulo fisico (também chamado de pêndulo composto). Seja s a distância do CM a O. Assim:
τ = −Mg sin θs
τ = Iθ¨
logo,
θ¨ +
Mgs
I
sin θ = 0 (3.24)
40 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Note que o pêndulo composto equivale a um pêndulo simples de comprimento l = I
Ms
. Por
isso, o ponto C (distando l de O e alinhado com o CM e O) é chamado de centro de oscilação
do pêndulo físico.
Exemplo 3.1 Calcule o período de pequenas oscilações do pêndulo
Solução: Considerando um ângulo θ:
(4Ma2)θ¨ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ
subsectionθ ∼= θ,
θ¨ +
(
g
2a
+
k
4M
)
T = 2pi
(
g
2a
+
k
4M
)− 1
2
Exemplo 3.2 Considere uma barra delgada de comprimento L que se encontra sobre um
hemisferio fixo de raio r. Determine o periodo de pequenas oscilções da barra.
Solução: Considerando uma pequena perturbação do equilíbrio
3.2. PÊNDULOS 41
Ep = mgycm
ycm = yA + θr sin θ
ycm = r cos θ + θr sin θ
Ec =
Icmθ˙
2
2
+
mv2cm
2
mas
ycm = r cos θ + θr sin θ
xcm = r sin θ − θr cos θ
v2cm = y˙
2
cm + x˙
2
cm = (rθ cos θ)
2θ˙2 + (θr sin θ)2θ˙2 = (θr)2θ˙2
Portanto:
Ec =
m
2
(
L2
12
+ θ2r2
)
θ˙2
Assim:
m
2
(
L2
12
+ θ2r2
)
θ˙2 +mg(r cos θ + θr sin θ) = cte
(
L2
12
+ θ2r2
)
θ˙θ¨ + θr2θ˙3 + gθr cos θθ˙ = 0
Para θ e θ˙ pequenos,
L2
12
θ¨ + grθ = 0
Portanto,
θ¨ +
12gr
L2
θ = 0
42 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
∴ T = 2pi
√
L2
12gr
=
piL√
3gr
Exemplo 3.3 Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada em torno de um
disco de 5,00kg.Como na figura seguinte. Se a mola tem uma rigidez k = 200N/m, determine
o período natural de vibração do sistema.
Solução:
Ec =
Mx˙2
2
+
I0
2
(
x˙
r
)2
Mas
I0 =
mr2
2
∴ Ec =
x˙2
2
(
M +
m
2
)
Ep =
1
2
k(x+ x20)−Mgx
Assim:
E =
x˙2
2
(
M +
m
2
)
+
1
2
k(x+ x0)
2 −Mgx
Derivando em relação a t:
0 = x˙x¨
(
M +
m
2
)
+ k(x+ x0)x˙−Mgx˙(
M +
m
2
)
x¨+ k(x+ x0)−Mg = 0
Fazendo a mudança y = x+ x0 − Mg
k(
M +
m
2
)
y¨ + ky = 0
Portanto:
w0 =
√
k
M + m
2
= 4,00 rad/s
T =
2pi
w0
= 1,57 s
3.3. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS 43
3.3 Oscilações Amortecidas
As oscilações harmônicas simples estudadas anteriormente, ocorrem em sistemas conservativos.
Na prática, sempre existe dissipação de energia. Por exemplo, no caso de um pêndulo, as
oscilações se amortecem devido à resistência do ar (além do atrito no suporte). Geralmente,
consideramos a força de amortecimento proporcional à velocidade designada como força de
atrito viscoso (já que a resistência de um fluido ao deslocamento de um obstáculo é proporcional
à velocidade - para velocidades suficientemente pequenas).
Para um oscilador unidimensional, a inclusão de um atrito viscoso (do tipo f = −ρv) resulta
na seguinte equação de movimento:
Mx¨ = −kx− ρx˙
Portanto
x¨+ 2γx˙+ w20x = 0
Sendo γ =
ρ
2M
e w0 =
√
k
M
Esta EDO possui a seguinte equação característica:
λ2 + 2γλ+ w20 = 0
Cujo discriminante é
∆ = 4(γ2 − w20)
E dependendo do sinal do ∆, teremos soluções qualitativamente bem diferentes para a EDO.
De forma geral:
• ∆ > 0 (supercrítico): soluções são exponenciais
• ∆ < 0 (subcrítico): soluções são oscilatórias com amplitude decrescente
• ∆ = 0 (crítico): solução exponencial
Vamos estudar cada um desses casos.
3.3.1 Amortecimento supercrítico (γ > w0)
Nesse caso, a equação característica admite duas soluções reais e distintas:
λ1 = −γ +
√
γ2 − w20
λ2 = −γ −
√
γ2 − w20
Note que:
λ1 < λ2 < 0
A solução geral da EDO é:
x(t) = aeλ1t + beλ2t = e−γt(a∗ coshw∗dt+ b
∗ sinhw∗dt)
44 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
w∗d =
√
γ2 − w20
sendo a e b determinados a partir das condições iniciais. É interessante notar que para t→∞,
x → 0, ou seja, o sistema tende a permanecer em repouso na posição de equilíbrio após um
tempo suficientemente grande. Além disso, o sistema nem sequer chega a oscilar, ou seja,
γ > w0 representa uma situação de elevado amortecimento. Graficamente:
3.3.2 Amortecimento subcrítico (γ < w0)
Nesse caso, as soluções da equação característica são duas raízes complexo-conjugadas:
λ1 = −γ + iwd
λ2 = −γ − iwd
Sendo wd =
√
w20 − γ2
A solução geral da EDO é:
x(t) = e−γt(a sinwdt+ b coswdt)
= Ae−γt cos(wdt+ ϕ) = Ae−γt sin(wdt+ φ)
esta é uma solução que oscila com amplitude decrescente.
Td: período das oscilações amortecidas ou pseudo-período ou simplesmente período.
É interessante analisar qual fração da energia é dissipada em cada ciclo do oscilador. Para
tanto, consideremos (de forma aproximada) como um ciclo a ocorrência de dois máximos na
amplitude.
x1 = Ae
−γt1
3.3. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS 45
x2 ∼= Ae−γt1−γTd = x1e−γTd
Energia armazenada =
kx21
2
Energia dissipada
∼= kx
2
1
2
(1− e−2γTd) ∼= kx
2
1
2
(2γTd)
Nesse sentido, pode-se definir o fator de qualidade do oscilador como:
Q = 2pi
(
Energia armazenada
Energia dissipada num ciclo
)
∼= 2pi 1
2γTd
=
wd
2γ
=
Mwd
ρ
Q ∼= w0
2γ
Note que, quanto maior o Q, menor o amortecimento (menor perda de energia).
Estas últimas deduções são válidas quando o amortecimento é pequeno, ou seja, quando
γ << w0.
3.3.3 Amortecimento crítico (γ = w0)
A equação característica, neste caso, tem uma raiz dupla
λ = −γ
A solução geral da EDO é
x(t) = e−γt(a+ bt)
que decai mais rapidamente (para tempos grandes) que a solução supercrítica. De forma geral,
a solução com amortecimento crítico é aquela que retorna ao equilíbrio mais rapidamente.
46 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
Exemplo 3.4 A barra tem uma massa de 3,00 kg. Se a rigidez da mola é k = 120 N/m e
o amortecedor tem um coeficiente de amortecimento c = 1,00 kN.s/m, determine a equação
diferencial que descreve o movimento em termos do ângulo θ de rotação da barra. Além disso,
qual deveria ser o coeficiente de amortecimento para um movimento amortecido?
Solução: Considerando um pequeno deslocamento angular θ.
Analisando os torques em relação ao ponto C:
−k(θ−θ0)L2 − Cθ˙b2 −MgL
2
=
ML2
3θ¨
ML2
3
θ¨ + cb2θ˙ + k(θ − θ0)L2 +MgL
2
= O
Com a mudança α = θ − θ0 + MgL
2kL2
3.4. OSCILAÇÕES FORÇADAS 47
ML2
3
α¨ + cb2α˙ + kL2α = 0
α¨ +
3cb2
ML2
α˙ +
3k
M
α = 0
9c2b4
M2L4
=
4.3.k
M
Substituindo:
α¨ + 360α¨ + 120α = 0→ amortecimento supercrítico
Para amortecimento crítico:
ccr = 2
√
Mk
3
(
L
b
)2
= 60,9Ns/m
3.3.4 O balanço de energia
Já vimos que a equação de oscilador amortecido é:
Mx¨+ ρx˙+ kx = 0
Multiplicando por x˙:
Mx˙x¨+ kxx˙ = −ρx˙2 ,
onde
Mx˙x¨+ kxx˙ =
dEMEC
dt
, e
ρx˙2 é a potência da força de atrito viscoso = Fv
Note que
dEMEC
dt
< 0, isto é, a energia mecânica sempre diminui.
3.4 Oscilações forçadas
Até agora, consideramos apenas oscilações livres, em que o oscilador recebe uma certa energia
inicial e depois é solto, evoluindo livremente. Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o
oscilador por uma força externa F (t). Estudaremos dois casos para F (t):
F (t) = F0 → degrau de amplitude F0
F (t) = F0 sinwt
O primeiro caso é bastante simples de ser analisado, mas tem uma importância capital em
projetos de controladores. No segundo caso a força externa é periódica com frequência angular
w, que pode coincidir ou não com a frequência natural do próprio oscilador.
A EDO de um oscilador forçado é:
Mx¨+ ρx˙+ kx = F (t) (3.25)
Note que se trata de uma EDOL não homogênea de 2
a
ordem.
48 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
3.4.1 Resposta ao degrau
Se F (t) = F0 = kx0, então a resposta do oscilador será:
x(t) = x0 + xH(t) (3.26)
ou seja, a solução completa é a mesma do caso homogêneo, a menos de um deslocamento
(�shift�) de x0 (a posição de equilíbrio é transladada de zero para x0).
xH(t) =

Aeλ1t +Beλ2t, amortecimento supercrítico
Ae−γt sin(wdt+ φ), amortecimento subcrítico
e−γt(A+Bt), amortecimento crítico
É interessante estudar esse caso porque ele aparece muito em problemas de engenharia. Os
sistemas físicos, por mais complexos que pareçam, comumente admitem um modelo simplificado
de sistema massa-mola. Quando é necessário controlar um sistema físico, geralmente se aplica
uma força F (t) (ou uma corrente I(t), ou uma tensão E(t), ou algum outro mecanismo atuador,
conforme o caso) para que ele se comporte como desejado. O caso em que F (t) = kx0 é muito
comum. Nesses casos, geralmente deseja-se que o sistema (considerado inicialmente em repouso
na posição x = 0) atinja a posição x0 (a nova posição de equilíbrio) o mais rápido possível e
aí permaneça. Vamos vislumbrar como isso é possível para o caso subcrítico (o mais comum).
Nas hipóteses de condições iniciais nulas, a solução é:
x(t) = x0
[
1− e−γt sin(wdt+ β)
sin β
]
(3.27)
sendo β o suplementar do argumento do complexo −γ + iwd.
Para esta situação, a resposta x(t) aparece plotada na figura seguinte
• Mp: �overshoot� (mede o quanto o primeiro pico se afasta, percentualmente de x0)
Mp = e
−pi cotβ
• tr: tempo de subida (�rise time�)
tr =
pi − β
wd
• ts: tempo de estabilização (�settling time�)
ts ∼= 3
γ
(para ± 5%)
3.4. OSCILAÇÕES FORÇADAS 49
3.4.2 Resposta a forçantes senoidais
Vamos nos concentrar agora no caso
F (t) = F0 sin(wt) (3.28)
Temos:
Mx¨+ ρx˙+ kx = F (t)
Aplicando a transformada de Laplace nos dois membros:
(Ms2 + ρs+ k)X(s) =
F0w
s2 + w2
X(s) = G(s)
F0w
s2 + w2
=
as+ b
Ms2 + ρs+ k
+
A
s+ iw
+
B
s− iw (3.29)
as+ b
Ms2 + ρs+ k
= Xt(s)
A
s+ iw
+
B
s− iw = Xe(s)
o primeiro termo representa a solução da parte homogênea da EDO. Como vimos, esta
solução tende a zero em um tempo da ordem de
1
γ
. Esta parte da solução é conhecida como
�termo transiente�. Uma vez que este termo tende a zero �rapidamente�, vamos ignorá-lo (isto
é, não iremos calcular sua transformada inversa, tampouco as constantes a e b)
A = lim
s→−iw
X(s)(s+ iw) = −G(−iw)F0
2i
= −G∗(iw)F0
2i
(3.30)
B = lim
s→iw
X(s)(s− iw) = G(iw)F0
2i
(3.31)
Xe(s) =
F0
2i
[
−G
∗(iw)
s+ iw
+
G(iw)
s− iw
]
(3.32)
G(iw) é um número complexo. Substituindo G(iw) = reiθ
Xe(s) = F0r
[
sin θ s
s2 + w2
+
cos θ w
s2 + w2
]
50 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
∴ xe(t) = (F0r)[sin θ coswt+ cos θ sinwt]
xe(t) = (F0r) sin(wt+ θ)
ou então usando a notação
{
r = |G(iw)|
θ = arg(G(iw))
xe(t) = F0 |G(iw)| sin(wt+ arg(G(iw))) (3.33)
O resultado apresentado na equação 3.33 é bastante geral, apesar de ter sido deduzido
para o caso de um oscilador: ele se aplica a uma vasta classe de sistemas físicos (que podem
ser caracterizados pela função G(s) - chamada de função de transferência) impulsionados por
excitações senoidais. De forma geral, podemos tirar duas conclusões sobre a resposta de sistemas
físicos a excitações senoidais:
1. A resposta é composta de uma parte transiente (que tende a zero �rapidamente�) e de uma
parte estacionária. Após um certo tempo, a resposta terá somente a parcela de regime
estacionário.
2. Em regime estacionário a resposta é senoidal com amplitude de F0|G(iw)| e deslocada de
fase (em relação à excitação de entrada) de um ângulo φ =arg(G(iw)).
Para o oscilador harmônico:
G(s) =
1
Ms2 + ρs+ k
∴ G(iw) = 1−Mw2 + iwρ+ k
∴ G(iw) = 1
M(w20 − w2) + iwρ
=
1/M
w20 − w2 + 2wγi
G(iw) =
w20
(w20 − w2) + 2wγi
1
k
(3.34)
ou ainda:
G(iw) =
1
(1− α2) + iα/Q
1
k
(3.35)
sendo α =
w
w0
Q =
w0
2γ
Assim, a amplitude de oscilação é dada por:
A =
F0
k
1√
(1− α2)2 + α
2
Q2
(3.36)
e a fase é:
3.4. OSCILAÇÕES FORÇADAS 51
arg(G(iw)) = − arctan
(
α/Q
1− α2
)
(3.37)
Exemplo 3.5 O ventilador tem uma massa de 25,0kg e está fixo à extremidade de uma viga
horizontal que tem uma massa desprezível. A pá do ventilador está montada excentricamente
no eixo de tal maneira que ela é equivalente a uma massa desequilibrada de 3,50kg localizada
a 100mm do eixo de rotação. Se a deflexão estática da viga é de 50,0mm, como resultado do
peso do ventilador, determine a amplitude da vibração de estado estacionário do ventilador se
a velocidade angular da pá do ventilador é 10rad/s.
Solução: Podemos substituir a viga por uma mola. Se a deformação estática é 50,0mm,
então kxe = Mg ∴ k =
Mg
xe
= 4950 N/m. O ventilador desequilibrado corresponde a uma
massa de 3,50kg a 100mm do eixo → F = mw2r. Isto faz com que a reação normal da viga
52 CAPÍTULO 3. MOVIMENTO OSCILATÓRIO
varie com o tempo da forma N = N0 + F sinwt. Assim o sistema massa-mola (na verdade,
ventilador-viga) é excitado por uma força senoidal. Sua amplitude de vibração, em regime, é:
X = F |G(iw)|
sendo G(s) =
1
Ms2 + k
. Logo:
X =
mw2r
|k −Mw2|
como m = 3,50kg, r = 100mm, w = 10rad/s e M = 25,0kg:
X = 14,6mm
Exemplo 3.6 O motor elétrico de 30,0kg mostrado na figura seguinte é suportado por 4 molas,
cada uma com elasticidade de 200N/m. Se o rotor é desequilibrado de tal maneira que seu
efeito é equivalente a 4,00kg de massa localizados a 60,0mm do eixo de rotação, determine a
amplitude de vibração quando o rotor está girando a w0 = 10,rad/s. O fator de amortecimento
é
c
ccr
= 0,150.
Solução: O motor desequilibrado é modelado por uma massa de m = 4,00kg a r = 60,0mm
do eixo de rotação. Isto corresponde a uma força F0 = mw
2r. Logo, a normal que o motor
troca com a plataforma é:
N = N0 + F0 sin(wt)
A excitação senoidal causa, em regime, uma deformação com amplitude:
X = F0|G(iw)|
G(s) =
1
Ms2 + cs+ 4k
3.5. OSCILADORES ACOPLADOS 53
Como ccr =
√
16kM = 309,84 Ns/m ⇒ c = 46,48 Ns/m
G(iw) =
1
4k −Mw2 + icw =
1
−2200 + 464,8i ∴ |G(iw)| = 4,448× 10
−4
m/N
Como F0 = 24N,
X = 10,7mm
3.4.3 Ressonância
Consideremos o caso anterior em que um oscilador é excitado por uma perturbação