integral tripla

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7 – Integral Tripla 
 
7.1 – Definição 
 
Seja w = f(x,y,z) uma função de três variáveis definida numa região fechada e 
limitada T do espaço xyz. 
 
Se subdividirmos T em pequenas sub-regiões traçando planos paralelos aos 
planos coordenados. 
 
 
 
Numeramos os paralelepípedos no interior de T de 1 a n. Em cada um dos 
pequenos paralelepípedos Tk, escolhemos um ponto arbitrário (xk, yk, zk). 
 
Formamos a soma 
 ∑
=
∆
n
k
kkkk Vzyxf
1
),,( , 
 
onde kV∆ é o volume do paralelepípedo Tk. 
 
Fazemos isso de maneira arbitrária, mas de tal forma que a maior aresta dos 
paralepípedos Tk tende a zero quando ∞→n . 
 
Se existir ∑
=
∞→
∆
n
k
kkkk
n
Vzyxf
1
),,(lim , ele é chamado de integral tripla da 
função f(x, y, z) sobre a região T e representamos por 
 
 
 
∫∫∫
T
fdV ou ∫∫∫
T
dxdydzzyxf ),,( . 
 
 
 
 
 
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7.2 – Propriedades 
 
De forma análoga à integral dupla, temos: 
a) ∫∫∫∫∫∫ =
TT
fdVkkfdV 
b) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=+
TTT
dVfdVfdVff 2121 )( 
c) ∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +=
21 TTT
fdVfdVfdV , onde 21 TTT ∪= 
 
 
 
7.3 – Cálculo da integral tripla 
 
Podem ser calculadas através de integrações sucessivas, reduzindo-a 
inicialmente a uma integral dupla. Podemos ter diversas situações: 
 
1º caso) A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da função z = h1(x, 
y) e superiormente pelo gráfico de z = h2(x, y), onde h1 e h2 são funções contínuas sobre 
a região R do plano xy. 
 
 
 
 
 
Nesse caso, temos 
 
∫∫ ∫∫∫∫








=
R
yxh
yxhT
dxdydzzyxfdVzyxf
),(
),(
2
1
),,(),,(
 
 
 
 
 
Se a região R for do tipo 






≤≤
≤≤
bxa
xfyxf
R
)()(
:
21
, a integral tripla iterada será: 
 
dzdydxzyxfdVzyxf
b
a
xf
xf
yxh
yxhT
∫ ∫ ∫∫∫∫ =
)(
)(
),(
),(
2
1
2
1
),,(),,( 
 
 
2º caso) A região T é delimitada à esquerda pelo gráfico da função y = p1(x, z) e 
à direita pelo gráfico de y = p2(x, z), onde p1 e p2 são funções contínuas sobre a região 
R’ do plano xz. 
 
 
A figura mostra a situação: 
 36 
 
 
Nesse caso, temos 
 
 
∫∫ ∫∫∫∫








=
'
),(
),(
2
1
),,(),,(
R
zxp
zxpT
dxdzdyzyxfdVzyxf
 
 
 
 
 
 
3º caso) A região T é delimitada na parte de trás pelo gráfico da função 
x = q1(y, z) e na frente pelo gráfico de x = q2(y, z), onde q1 e q2 são funções contínuas 
sobre a região R’’ do plano yz. 
 
 
Nesse caso, temos ∫∫ ∫∫∫∫








=
''
),(
),(
2
1
),,(),,(
R
zyq
zyqT
dydzdxzyxfdVzyxf 
 
 
 
 
 
7.4 - Exemplos: 
 
1) Calcular ∫∫∫=
T
dVI , onde T é o sólido delimitado pelo cilindro x2 + y2 = 25, pelo 
plano x + y + z = 10 e pelo plano z = 2. 
 
2) Calcule ∫∫∫ ++=
T
dVzyxI )32( , onde 





≤≤
≤≤
≤≤
=
31
30
20
z
y
x
T 
 
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3) Calcular ∫∫∫ −=
T
dVxI )1( , onde T é a região do espaço delimitada pelos planos 
y = 0, z = 0, y + z = 5 e pelo cilindro parabólico z = 4 - x2 . 
 
4) Considere o sólido delimitado por 422 =+ yx , 0=z e 4=z . Determine o seu 
volume utilizando integral simples, dupla e tripla. 
 
 
 
 
7.5 – Exercícios 
 
A - Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada 
 
1) ∫∫∫
T
dVxyz2 , onde T é o paralelepípedo retângulo [0, 1] X [0 , 2] X [1, 3]. 
 
2) ∫∫∫ ++
T
dVzyx )23( , onde 





≤≤
≤≤
≤≤
=
20
50
31
z
y
x
T 
 
3) ∫∫∫ +
T
dVyx )( 22 , onde T é o cilindro x2 + y2 < 1 e 0 < x < 4. 
 
4) ∫∫∫
T
dV onde T é a região do 1º octante limitada por x = 4 - y2 , y = z, x = 0 e z = 0 
 
 
B - Esboçar a região de integração e calcular as integrais. 
 
1) ∫ ∫ ∫
− −−1
0
1
0
1
0
y yx
dzdxdy 2) ∫ ∫ ∫
++1
0
2
02
x
x
yx
xdzdydx 
 
 
Respostas: 1) 26/3 2) 240 3) 2pi 4) 4