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CÁLCULO II
LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 21–24
Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.
Video-Aula 21
EXERCÍCIO 1
Calcule a integral
I =
∫
C
−y d x + x d y
na qual C é o triângulo de vértices A = (0,0),B = (1,0),C = (1,1), orien-
tado no sentido anti-horário (positivo).
EXERCÍCIO 2
Calcule a integral de linha I = ∫
C
~F · ~dr , na qual ~F =−y~i+ x~j, e C é a elipse
dada pela equação
x2
4
+
y2
9
= 1
percorrida no sentido anti-horário (positivo).
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Calcule a massa de um fio metálico modelado pela curva C dada por
~r(t) = (t, 2t, 3t), 0≤ t ≤ 1, com densidade linear ρ(x , y, z) = x + y + z.
Cálculo II / Exercícios das aulas 21–24 2
Video-aula 22
EXERCÍCIO 1
Mostre que o campo vetorial
~F(x , y) = (ln y + 2x y3)~i+ (3x2 y2+
x
y
)~j
é conservativo e encontre a função potencial f (x , y) satisfazendo
f (0,1) = 0
EXERCÍCIO 2
Mostre que a integral I = ∫
C
2xe y dx + x2e y d y é independente do cami-
nho e então calcule a integral I na qual C é uma curva contínua qualquer
ligando A= (0,0) e B = (3,2).
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Mostre que o campo de força
~F(x , y) = yex y ~i+ xex y ~j
é conservativo e calcule o trabalho realizado pelo campo, ao longo de
uma curva contínua ligando os pontos A= (−1,1) e B = (2,0).
Video-aula 23
EXERCÍCIO 1
Calcule a área delimitada pelo segmento de reta ~r1(t) = (t, 0) e a cicloide
~r2(t) = (t − sen t, 1− cos t), com 0≤ t ≤ 2pi.
EXERCÍCIO 2
Use o Teorema de Green para calcular a integral
I =
∫
C
y3 dx − x3 d y
na qual C é o círculo dado por x2+ y2 = 4.
Cálculo II / Exercícios das aulas 21–24 3
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
O Teorema de Green nos dá que o centroide de uma região D, limitada
por uma curva fechada C , no plano-x y tem coordenadas (x , y) dadas
por:
x =
1
2A
∮
C
x2 d y e y =− 1
2A
∮
C
y2 dx
onde A é a área delimitada pela curva fechada C . Calcule o centroide da
região
D = {(x , y)/0≤ x2+ y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0}
Video-aula 24
EXERCÍCIO 1
Mostre que o campo vetorial
~F(x , y, z) = y2z3~i+ 2x yz3~j+ 3x y2z2~k
é conservativo e encontre uma função potencial tal que ∇ f = ~F , satisfa-
zendo f (0,0,0) = 0.
EXERCÍCIO 2
Assumindo que todas as funções têm derivadas parciais contínuas, prove
a seguinte identidade:
rot(rot~F) =∇(div~F)−∇2~F
Sugestão: Tomando ~F = P~i +Q~j + R~k, calcule o lado direito e esquerdo
independentemente.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Mostre que o campo vetorial
~F(x , y, z) = 2x y~i+ (x2+ 2yz)~j+ y2~k
é conservativo e encontre uma função potencial f tal que ∇ f = ~F , satis-
fazendo f (1,1,1) = 1.
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