Calculo Semana3_ALUNOS_B

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CÁLCULO II
LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 9–12
Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.
Vídeo-Aula 9
EXERCÍCIO 1
Seja a função f (x , y) = x sen(x y). Encontre a derivada direcional dessa
função ao longo da direção dada pelo ângulo θ = pi/3 no ponto (1,pi/4)
EXERCÍCIO 2
Qual é a maior taxa de variação possível da função f (x , y, z) = (x + y)/z
no ponto (1,1,−1).
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Digamos que um veículo motorizado de controle remoto esteja em uma
montanha descrita pelo gráfico de
z = f (x , y) = 1000− 5
1000
x2 − 1
100
y2
em que x , y e z são medidos em metros e o veículo está na posição
(70,30,950). O sistema de coordenadas é tal que o sentido positivo do
eixo-x aponta para o leste e o do eixo-y para o norte.
(a) Se o veículo se movimentar para o noroeste, ele estará subindo ou
descendo a montanha e a que taxa?
(b) Qual é a direção mais íngrime da montanha nesse ponto?
Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 2
(c) Quais são as taxas de subir e descer na direção de maior inclinação
nesse ponto?
(d) Qual é o ângulo em relação à horizontal desse ponto de maior incli-
nação?
Vídeo-Aula 10
EXERCÍCIO 1
Encontre os pontos de máximo, de mínimo e de sela, se existirem da
função dada por
f (x , y) = sen(x) sen(y), −pi < x < pi, −pi < y < pi.
EXERCÍCIO 2
Enconte os pontos e os valores dos máximos e mínimos absolutos (glo-
bais) da função dada por
f (x , y) = x3 − 3x − y3 + 12y
quando (x , y) está no quadrilátero definido pelos vértices
(−2,3), (2,3), (2,2), (−2,−2).
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Um edifício em formato paralelepípedo retangular deve ser construído
de forma a ter o menor aquecimento possível por suas faces retangu-
lares durante o verão. Durante essa estação, em média, as faces para
o leste e para oeste absorvem igualmente 10 unidades/m2 por dia. As
outras absorções são as seguintes: A face para norte 8, para o sul 6, a
do teto 15 e a do solo 2 unidades/m2 por dia. O volume total deve ser
exatamente 7000m3.
(a) Encontre a função que represente esse aquecimento externo em ter-
mos dos comprimentos dos lados do edifício (duas variáveis). Expli-
cite o domínio dessa função.
Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 3
(b) Encontre as dimensões do edifício que minimizem esse aquecimento
externo.
Vídeo-Aula 11
EXERCÍCIO 1
Use os multiplicadores de Lagrange para encontrar os extremos máxi-
mos e mínimos da seguinte função e suas restrições:
f (x , y, z) = 3x− y−3z, g(x , y, z) = x+ y−z = 0, h(x , y, z) = x2+2z2 = 1
EXERCÍCIO 2
Encontre pelo método dos multiplicadores de Lagrange os pontos sobre
a superfície y2 = 9+ xz que estão mais próximos à origem.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
(a) Maximize a soma
n∑
i=1
x i yi
sujeita aos vínculos
n∑
j=1
x2j = 1,
n∑
k=1
y2k = 1
(b) Defina
x i ≡ aiq∑n
k=1 a
2
k
, yi ≡ biÇ∑n
j=1 b
2
j
para provar que
n∑
i=1
ai bi ≤
√√√ n∑
j=1
a2j
√√√ n∑
k=1
b2k
para quaisquer números a1, a2, . . . , an, b1, b2, . . . , bn.
Cálculo II / Exercícios das aulas 9–12 5
em que
R=
h
0,
pi
4
i
×
hpi
2
,
pi
4
i
GABARITO
Vídeo-Aula 9
EXERCÍCIO 1
Du f (1,pi/4) =
1
2
p
2
�
1+pi/4+
p
3
�≈ 1,2436
EXERCÍCIO 2
||∇ f (1,1,−1)||=p6≈ 2,45
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 10
EXERCÍCIO 1
Os cinco pontos dos eixos são de sela: (0,0), (0,pi), (0,−pi), (pi, 0), (−pi, 0)
Dois pontos de quadrantes são de máximo, (pi/2,pi/2), (−pi/2,−pi/2) e
dois são de mínimo (pi/2,−pi/2), (−pi/2,pi/2).
EXERCÍCIO 2
Os máximos globais estão nos pontos (−1,2) e (2,2) com o valor 18 e o
mínimo global acontece em (−2,−2) com o valor -18.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 11
EXERCÍCIO 1
f
€q
2
3 ,− 1p6 ,−
q
3
2
Š
= 2
p
6 que é um máximo, e f €q−23 , 1p6 ,q32Š = −2p6que é um mínimo.
EXERCÍCIO 2
Há dois pontos dessa superfície de maior proximidade à origem: (0,3,0)
e (0,−3,0) com a distância 3.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 12
EXERCÍCIO 1
O volume é dado por
V = 12× 18× 1,57≈ 339m3
EXERCÍCIO 2
A integral dupla vale 122,5 que é o volume de um prisma, cuja base é um
triângulo retângulo isósceles de lado 7, e altura 5.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
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