Exercícios com gabarito aluno

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CÁLCULO II
LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 13–16
Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.
Video-Aula 13
EXERCÍCIO 1
Calcule a integral dupla
I =
∫∫
R
x
1+ x y
dA
sobre o retângulo R= [0,1]× [0,1]
Obs: A ordem das integrais iteradas pode facilitar o cálculo !!
EXERCÍCIO 2
Calcule a integral de área
I =
∫∫
R
x sen(x + y) dA
sobre o retângulo R= [0, pi
6
]× [0, pi
3
].
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Calcule o volume do sólido entre o plano-x y e a superfície dada por
z = x
p
x2 + y e limitada ao retângulo R= [0,1]× [0,1].
Cálculo II / Exercícios das aulas 13–16 2
Video-aula 14
EXERCÍCIO 1
Calcule a integral I = ∫∫
D
2x y dA na qual D é a região triangular com vér-
tices O = (0,0),B = (1,2),C = (0,3).
EXERCÍCIO 2
Calcule o volume do sólido limitado acima pelo plano x + 2y − z = 0 e
abaixo pela região (fechada e limitada) do plano-x y compreendida entre
as curvas y = x e y = x4.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 + y2 = 1 e pelos
planos pi1 : x = 0, pi2 : z = 0, pi3 : y = z, no primeiro octante.
Video-aula 15
EXERCÍCIO 1
Calcule com detalhes, em coordenadas polares, a área do quadrado R =
[0,1]× [0,1].
Obs: Isto mostra a (in)conveniência de sistemas de coordenadas dife-
rentes dependendo da geometria (e simetria) da região.
EXERCÍCIO 2
Calcule a integral
I =
∫∫
D
arc tg
� y
x
�
d A
onde D = {(x , y)/1≤ x2 + y2 ≤ 4, 0≤ y ≤ x}.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido com-
preendido acima do cone z =px2 + y2 e abaixo da esfera x2+ y2+z2 = 1.
Cálculo II / Exercícios das aulas 13–16 3
Video-aula 16
EXERCÍCIO 1
Considere uma placa de metal modelada pela região
D = {(x , y)/0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ x2}
e com densidade ρ(x , y) = y . Calcule os momentos de inércia Ix , I y ,e I0
e a massa m da placa.
EXERCÍCIO 2
Considere uma placa de metal, com densidade constante ρ = 20g/cm2,
em forma de um triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm. Calcule
a massa e as distâncias do seu centro de massa aos vértices.
Obs: Claramente, um bom posicionamento do triângulo no sistema
de coordenadas cartesiano pode facilitar muito os cálculos.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Uma placa ocupa a parte do disco x2 + y2 ≤ 1 do primeiro quadrante.
Determine o centro de massa, se a densidade em qualquer ponto for
proporcional à distância do ponto ao eixo-x , isto é, ρ(x , y) = Ky , com
constante K .
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