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CÁLCULO II
LISTA DE EXERCÍCIOS DAS AULAS 1–4
Samuel Rocha de Oliveira & Adolfo Maia Jr.
Vídeo-Aula 1
EXERCÍCIO 1
Considere a curva ~v(t) = (3t cos t, t sen t), t ∈ R.
(a) Descreva a curva e, com a ajuda de um software geométrico, obtenha
um gráfico.
(b) Obtenha equações analíticas para os pontos (x , y) ∈ R2 da curva. Isto
é, "elimine"o parâmetro t em favor de x e y .
EXERCÍCIO 2
Na vídeo aula consideramos a função vetorial (curva parametrizada em
3-d):
~v(t) =

1− cos t
t
,
sen t
t
,
1− et
t
‹
Vimos que é uma função vetorial contínua em t = 0 e esboçamos o grá-
fico das 3 componentes em termos do parâmetro t. Esboce os seguintes
gráficos das curvas em 2-d das componentes de ~v(t) = (x(t), y(t), z(t))
para t ∈ [−6,1]:
(a) (x(t), y(t))
(b) (y(t), z(t))
(c) (z(t), x(t))
Cálculo II / Exercícios das aulas 1–4 2
(d) Experimente outros intervalos de variações para t /∈ [−6,1]. O que
observa?
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Considere as equações p/ (x , y, z) ∈ R3:
x2 + y2 = 9, y + z = 2
Um círculo no plano Cartesiano x − y , isto é, um cilindro em R3 e um
plano que o corta. Vimos na vídeo aula que o conjunto solução dessas
equações é a curva paramétrica:
~v(t) = (3cos t, 3 sen t, 2− 3sen t)
Encontre, se existir(em), o(s) ponto(s) dessa curva de maior distância à
origem.
Vídeo-Aula 2
EXERCÍCIO 1
Considere a curva feita pela função vetorial
~v(t) = (1+ 2
p
t, t3 − t2, t3 + t), t ∈ R
(a) Verifique que o ponto P = (5,48,68) pertence à curva e apresente o
respetivo parâmetro t.
(b) Obtenha a equação paramétrica para a reta tangente à curva no ponto
P.
EXERCÍCIO 2
Seja ~v(t) uma função vetorial diferenciável até a segunda ordem, isto é,
~v′(t) e ~v′′(t) existem. Mostre que
d
d t
[~v(t)× ~v′(t)] = ~v(t)× ~v′′(t)
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Cálculo II / Exercícios das aulas 1–4 3
Se ~v(t) 6= ~0 é uma função vetorial diferenciável mostre que
d
d t

1
||~v(t)||
‹
= − ~v(t) · ~v′(t)||~v(t)||3
Vídeo-Aula 3
EXERCÍCIO 1
Encontre o comprimento da curva dada por
~s(t) = (2sen t, 3t, 5 cos t), t ∈ [−3pi, 3pi]
EXERCÍCIO 2
Mostre que o vetor definido por
~N(t) =
~T ′(t)
|| ~T ′(t)||
é perpendicular ao vetor tangente ~T (t). O vetor ~N(t) é chamado vetor
normal à curva no ponto do parâmetro t.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Obtenha a curvatura da curva dada por
~s(t) = (5t, 3 sen t, 2 cos t)
Vídeo-Aula 4
EXERCÍCIO 1
Considere a função real dada por f (x , y) =p4+ x − y2 em que (x , y) ∈
D ⊂ R2.
(a) Qual é o valor de f (1,−1)
(b) Qual é o domínio D para que a função seja bem definida?
(c) Represente o gráfico de D no plano cartesiano.
(d) Qual é o conjunto imagem Im dessa função?
Cálculo II / Exercícios das aulas 1–4 4
EXERCÍCIO 2
Com base na tabela de IHT para a sensação térmica dada na vídeo-aula,
estime o valor de IHT (41,32)
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Obtenha e represente graficamente duas curvas de nível para a função
f (x , y) = ln x + y . Explicite também o domínio e a imagem dessa função.
GABARITO
Vídeo-Aula 1
EXERCÍCIO 1
(a) É uma espiral com alongamentos na direção x .
.
(b) A equação analítica é� x
3
�2
+ y2 =

arctan

3y
x
‹‹2
EXERCÍCIO 2
(a) (x(t), y(t))
(b) (y(t), z(t))
(c) (z(t), x(t))
(d) A escolha t ∈ [−6,1] é conveniente para apresentar os gráficos y−z e
z − x porque para valores fora desse intervalo, isto é, t < −6 ou t > 1
o comportamento exponencial é muito expressivo.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 2
EXERCÍCIO 1
(a) Sim, o ponto P pertence à curva com t = 4.
(b) A reta tangente pode ser escrita como:
~Q(s) = P + s

1
2
,40,49
‹
Em que s é um parâmetro.
EXERCÍCIO 2
Basta usar a propriedade de derivada de produto vetorial e lembrar que
o produto vetorial de um vetor por ele mesmo é nulo.
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 3
EXERCÍCIO 1
O comprimento calculado é 6pip13
EXERCÍCIO 2
Derive a igualdade
~T (t) · ~T (t) = 1
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.
Vídeo-Aula 4
EXERCÍCIO 1
(a) f (1,−1) =p4+ 1− 1= 2
(b) O domínio D será dado pela desigualdade x ≥ y24
(c) O domínio é representado pela parte branca do gráfico abaixo:
.
(d) Im= R+.
EXERCÍCIO 2
Uma aproximação linear para IHT (41,32) é 44.6
EXERCÍCIO 3 (portfólio)
Resposta não disponível: este exercício faz parte do portfólio.