EXERCÍCIOS - EQUAÇÃO, FUNÇÃO E INEQUAÇÃO DO 2º GRAU

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Lista de Exercícios – 05 
 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma 
ax2 + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da 
equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo 
uma equação do segundo grau. 
 
Fórmula Geral de Resolução 
 Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos 
recorrer à fórmula geral de resolução: 
ݔ = −ܾ ± √ܾଶ − 4ܽܿ2ܽ 
 
Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara. 
 O valor b2 - 4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra 
grega Δ. Temos então que Δ = b2 -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução 
como: 
ݔ = −ܾ ± √∆2ܽ 
 
Exemplo: Encontre as raízes da equação 3x² - 7x + 2 = 0 
a = 3, b = -7 e c = 2 
Δ = b2 - 4ac = (-7)² - 4.3.2 = 49 - 24 = 25 
Substituindo na fórmula: 
ݔ = −ܾ ± √∆2ܽ = 	−(−7) ±√252.3 = 	7 ± 56 
 x = ଻ାହ
଺
= 2 e ݔ = ଻ିହ
଺
= ଵ
ଷ
 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: S = ቄଵ
ଷ
, 2ቅ 
 
Exercícios: 
1) Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso: 
a) x² + 9 x + 8 = 0 
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 
c) x² - 2 x + 4 = 0 
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 
e) x² - 10x + 25 = 0 
f) x² - x - 20 = 0 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo: 
 
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e a ≠ 0 
Exemplos: 
a) y = x² + 3x + 2 ( a = 1; b = 3; c = 2 ) 
b) y = x² ( a = 1; b = 0; c = 0 ) 
c) y=x² - 4 ( a = 1; b = 0; c = - 4 ) 
 
 Gráfico de uma função do 2º grau: O gráfico de uma função quadrática é uma parábola 
Representação gráfica: 
 
Exemplo: Construa o gráfico da função y = x²: 
 
Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y. 
x y = f(x) = x² 
-2 4 
-1 1 
0 0 
1 1 
2 4 
3 9 
 
 
 Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de 
simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros 
pontos. 
 
Coordenadas do vértice 
 A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por x = - b/2a . 
 
 Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y = x² - 4x + 3 
 Temos: a = 1, b = -4 e c = 3 
ݔ = 	−ܾ2ܽ = −(−4)2.1 = 2 
 
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y? 
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y. 
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y= x² - 4x + 3, devemos substituir o valor de x por 2. 
y = (2)² - 4.(2) + 3 = 4 - 8 + 3= - 1 
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1) 
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x 
(através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y! 
 
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau 
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula. 
y = f(x) = 0 
Exemplo: na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos de determinar as coordenadas de seus vértices, as 
raízes da função serão x=1 e x`=3. 
Vejamos o gráfico: 
 
Notem que quando x = 1 e x` = 3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x. 
 
 
 
 
 
Concavidade da parábola 
De forma simplificada temos que, quando a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando 
a < 0, a parábola está voltada para baixo. 
 
Exemplos: 
y = f(x) = x² - 4 y = f(x) = -x² + 4 
 
a = 1 >0 a = -1 < 0 
 
 
Observação Importante: Quando a concavidade está voltada para cima (a >0), o vértice representa o 
valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a < 
0), o vértice representa o valor máximo. 
 
Sobre o discriminante () 
 Quando o discriminante é igual a zero 
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac = 0, o vértice a parábola encontra-se no eixo x. 
A coordenada y será igual a zero. 
Exemplo: y = f(x) = x² + 2x + 1 
Δ = b2 - 4ac = 22 - 4.1.1 = 0- 
x = x` = -b/2a = -1 
As coordenadas do vértice serão V=(-1,0) 
Gráfico: 
 
 
 
 Quando o discriminante é maior que zero 
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac > 0, a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. 
(São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente). 
Exemplo: y = f(x) = x² - 4x + 3 
Δ = b2 - 4ac = (- 4)2 - 4.1.3 = 4 
x=1, x`=3 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando o discriminante é menor que zero 
Quando o valor de Δ = b2 - 4ac < 0, a parábola não intercepta o eixo x. Não há raízes 
ou zeros da função. 
Exemplo: y = f(x) = x² - x + 2 
Δ = b2 - 4ac = (- 1)2 - 4.1.2 = -7 
Gráfico: 
 
 
 
Resumindo: 
 
 
a>0 a>0 a>0 
 
 
 
a<0 a<0 a<0 
 
 
 
Esboçando o gráfico 
Desenhar o gráfico da função: y= - x² - 4x - 3 
1ª etapa: Raízes ou zeros da função 
- x² - 4x - 3 = 0 
Aplicando a fórmula de Bháskara 
x = -1, x` = -3 
2ª etapa: Coordenadas do vértice 
Coordenada x =-b/2a = -(-4)/2.(-1)=-2 
Coordenada y: Basta substituir o valor de x obtido na função 
y = -x²-4x-3 = -(-2)²-4.(-2)-3 = -4+8-3 = 1 
Portanto, V=(-2,1) 
3ª etapa: Concavidade da parábola 
y = -x² - 4x - 3 
Como a = -1 < 0, a concavidade estará voltada para baixo 
Feito isso, vamos esboçar o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura uma vez e meia a sua altura. Quais são as 
dimensões desta tela? 
 
Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será a sua largura. Sabemos que a área de uma 
figura geométrica retangular é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela medida da sua altura. 
Escrevendo o enunciado na forma de uma sentença matemática temos: 
x . 1,5x = 9600 
Que pode ser expressa como: 
1,5x2 - 9600 = 0 
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma tela não pode ter dimensões negativas, 
devemos desconsiderar a raiz -80. 
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela será de 1,5 . 80 = 120 
 
2) Um corpo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função 
f(t) = 40 t – 5 t2 onde a altura f(t) é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. De acordo com essas 
informações responda: 
 
a) Quanto tempo que o corpo levou para atingir a altura máxima? 
Solução: Note o tempo o o "x" da função, assim a altura máxima é atingida no vértice da função. 
Logo, Xv = -b/2a = -40/2.(-5) = 4. 
Assim o corpo atinge a altura máxima em 4 segundos 
 
b) A altura máxima atingida pelo corpo? 
Solução: Como a altura é dada pela função f, basta calcula o f(4). Isto é, encontrar o Yv (a coordenada y do 
vértice). 
f(4) = 40.4 - 5.42 = 80 metros 
 
3) Encontre a função que representa o gráfico abaixo. 
 
 
Solução: 
Note que a função passa por 4 pontos com características específicas. São eles: 
(0, 3) - Ponto onde a função "corta" o eixo Y 
(1, 0) e (3, 0) - Raízes da função 
(2, -1) - Vértice da função 
 
Como a função é do tipo y = ax2 + bx + c. Podemos aplicar cada ponto na fórmula gerar da função. 
(0, 3)  3 = a02 + b0 + c. Logo, c = 3. 
Agora usando c = 3 
(1, 0)  0 = a12 + b1 + 3 
(3, 0)  0 = a32 + b3 + 3. Podemos agora montar um sistema para obter a e b. 
Note também que temos o x do vértice. Xv = -b/2a  2 = -b/2a  4a = -b 
Assim, podemos escrever 
0 = a12 + (-4a).1 + 3 
a - 4a + 3 = 0 
a = 1. E, b = -4. 
Resposta y = x2 - 4x + 3. 
 
 
ESTUDO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Toda expressão matemática no formato: f(x) = ax² + bx + c é considerada uma função do 2º grau. O sinal de 
uma função depende dos valores de x, os quais determinam: 
 
 f(x) > 0, função positiva 
 f(x) < 0, funçãonegativa 
 f(x) = 0, função nula 
 
No caso de uma função do 2º grau, temos que o valor do discriminante (∆) e do coeficiente a determinam os 
seus sinais. 
 
∆ > 0 
 
 
∆ = 0 
 
 
∆ < 0 
 
 
 
 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU 
As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da 
inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução. 
 
Exemplo: Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0. 
Solução: Estudo do sinal de y = –2x² – x + 1. 
Raízes: -1, 1/2. Note ainda que essa parábola tem concavidade para baixo (a = -2). 
 
Como o exercício pede os valores menores ou iguais a 0 (≤ 0) 
S = {x  R / x ≤ –1 ou x ≥ 1/2} 
 
 
 
 
Exemplo: Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0. 
Solução: Estudo do sinal de y = x² – 4x. 
Raízes: 0, 4. Note ainda que essa parábola tem concavidade para cima (a = 1). 
 
 
Como o exercício pede os valores maiores ou iguais a 0 (≥ 0) 
S = {x  R / x ≤ 0 ou x ≥ 4} 
 
Exemplo: Determine a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0. 
Solução: Estudo do sinal y = x² – 6x + 9 . 
Raíz: 3. Note ainda que essa parábola tem concavidade para cima (a = 1). 
 
 
Como o exercício pede os valores maiores ou iguais a 0 (≥ 0) 
S = {x  R / x < 3 ou x > 3} ou S = {x  R / x ≠ 3} 
 
Exercícios 
2) Encontre as raízes, o vértice e faça o gráfico da seguinte função f(x) = 2x2 + 5x – 1. 
 
3) A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. 
 
a) Determine a equação da reta r. 
b) Determine a equação dessa parábola. 
c) Seja f(x) a diferença entre a equação da parábola e a equação da reta. Determine x para que f(x) seja a 
maior possível. 
 
4) Na loja A, um aparelho custa 3800 reais mais uma taxa mensal de manutenção de 20 reais. Na loja B, o 
mesmo aparelho custa 2500 reais porém a taxa de manutenção é de 50 reais por mês. 
a) Qual das duas opções é a mais vantajosa? 
b) Represente graficamente esta situação. 
 
5) Ache os valores reais de p para os quais a função f(x) = (p – 1)x2 + (2p – 2)x + p + 1 é sempre positiva, 
qualquer que seja x. 
 
 
6) Uma empresa apresenta o lucro mensal de acordo com a equação L = t2 + 25t , onde t é a quantidade de 
toneladas vendidas mensalmente e L (lucro) que é dado na proporção de 1 (um) por R$ 1.000,00 (um mil 
reais), então podemos dizer que (Verdadeiro ou Falso): 
a) Quanto maior for a venda mensal maior será o lucro. 
b) O lucro obtido com a venda de 10 toneladas é de R$ 150.000,00, porém é o mesmo lucro obtido com a 
venda de 15 toneladas. 
c) Se a venda mensal for maior que 20 toneladas, a empresa terá um lucro superior a R$ 175.000,00. 
d) O lucro máximo que esta empresa pode ter é de R$ 156.250,00. 
 
7) Considere a função f:R → R definida por f(x) = x2 + 2mx + 16. Determine m de modo que: 
 
a) a função f não tenha raízes reais; 
b) o gráfico da função f passe pelo ponto (2, - 4); 
c) a parábola representativa da função seja tangente ao eixo X. 
 
8) A figura abaixo ilustra uma ponte suspensa por estruturas metálicas em forma de arco de parábola. 
 
 
Os pontos A, B, C, D e E estão no mesmo nível da estrada e a distância entre quaisquer dois consecutivos é 25m. 
Sabendo-se que os elementos de sustentação são todos perpendiculares ao plano da estrada e que a altura do elemento 
central CG é 20m, a altura de DH é: 
 
9) Com 80metros de cerca um fazendeiro deseja circundar uma área retangular junto a um rio para confinar alguns 
animais. 
 
 
 
Quais devem ser as medidas do retângulo para que a área cercada seja a maior possível? 
 
10) Determine o valor de k de modo que a função f(x)= - x2 +12x + k, tenha 2 raízes reais e iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências: 
http://www.exatas.mat.br 
http://www.matematicadidatica.com.br 
http://www.somatematica.com.br 
http://www.mundoeducacao.com.br 
 
 
Respostas: 
1) 
a) (R:-1 e -8) 
b) (R:4/3) 
c) (vazio) 
d) (R: 1 e 4) 
e) (R: 5) 
f) (R: 5 e -4) 
 
2) 
 
3) a)y = 2x + 2 b) y = -x2 + 2x + 3 c) xv = 0 
 
4) B será melhor até 43 meses 
 A será melhor após 44 meses 
 
5) p > 1 
 
6) a) V b) F c) V d) F 
 
7) a) -4 < m < 4 b) m = - 6 c) m = ± 4 
 
8) 16,8 
 
9) altura = 20 e base = 40 
 
10) - 36 
 
 
 
Profº Leandro Colombi Resendo