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LISTA DE EXERCÍCIOS – MATRIZES E DETERMINANTES PROFESSOR: Claudio Saldan CONTATO: saldan.mat@gmail.com PARTE 1 1* - Julgue se verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua escolha. *Referente a proposições de questões de vestibulares da UEM. a.( ) Considere = 242 523 A e − = 242 103 B . As matrizes X e Y, tais que +−=− +=+ B3A3Y2X BA4YX2 , são = 484 426 X e = 242 1143 Y . b.( ) O determinante da matriz quadrada A de ordem 2, cujo elemento genérico é 5j3i2a ij +−= , é igual a –12. c.( ) Se A é uma matriz de ordem 3×4 e B uma matriz de ordem n×m, então os produtos AB e BA existem se, e somente se, n = 4 e m = 3. d.( ) Se o determinante de uma matriz quadrada A é 10 e se a segunda linha for multiplicada por 4 e a quinta linha por 2 1 , então o determinante da matriz resultante é 20. e.( ) Uma matriz quadrada A de ordem 3 é tal que seus elementos satisfazem aij + aji = 0 para todo 1 ≤ i, j ≤ 3. Então, det(A) ≠ 0. f.( ) Se uma matriz quadrada A de ordem n tem determinante satisfazendo a equação det(A 2 ) + 2det(A) + 1 = 4, então o det(A) é igual a 1 ou – 3. g.( ) Se A é a matriz dada por − k0k 211 11k , então o único valor de k que torna o determinante de A 2 nulo é zero. h.( ) A equação matricial X t ⋅ A ⋅ X = 3 onde A é a matriz dada por − 34 43 , tem como solução o conjunto das matrizes =× y x X 12 , tais que x 2 + y 2 = 1. i.( ) Se A = B ⋅ C, onde = 11 01 001 B 3 4 3 1 e − = 400 0 423 C 3 2 3 1 , então o determinante de A é igual a – 4. j).( ) Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, m e n são números naturais tais que m2)ABdet( = e n2)Adet( = , então n m 2)Bdet( = . k).( ) − ≠ 13 00 02 04 63 00 02 04 . 2. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007: Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}. Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores: – ouro: 3 pontos; – prata: 2 pontos; – bronze: 1 ponto. Esses valores compõem a matriz = 1 2 3 V Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. PARTE 2 01 - (UEPG PR) Sobre matrizes, assinale o que for correto. 01. Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p, onde m, n e p são números distintos, é possível efetuar a operação tBA + . 02. O determinante da matriz 2x2ij )a(A = , definida por ≠ = = ji se , j i ji se ,i a j ij , vale 3. 04. Dadas as matrizes 5) 2x(A −= e − = 4 x3 2 B , se )4(B.A −= , então x=3. 08. Se A, B e C são matrizes dos tipos 7x5 e 4x7 ,4x3 , respectivamente, então a matriz resultante do produto C).B.A( é do tipo 3x5. 16. Dadas as matrizes = 2y x3 A e = 4y -3 2x 6 B , se BAA t =+ , então 2yx =+ . 02 - (ITA SP) Dadas as matrizes reais: = 131 28y 0x2 A e − = 2x3x 280 y32 B analise as afirmações: I. A = B ⇔ x = 3 e y = 0 II. A + B = 163 4161 154 ⇔ x = 2 e y = 1 III. = 3 3 1 0 1 0 A ⇔ x = 1 e conclua a) Apenas a afirmação II é verdadeira b) Apenas a afirmação I é verdadeira c) As afirmações I e II são verdadeiras d) Todas as afirmações são falsas e) Apenas a afirmação I é falsa 03 - (UFG GO) Dadas as matrizes θθ θ−θ = cossen sencos M e θ−θ θθ = sencos cossen N Onde θ é um ângulo compreendido entre 0 e π/2 rad. Abaixo estão relacionadas algumas operações envolvendo estas matrizes. As igualdades corretas são: 01. = 01 10 N.M ; 02. det M + det N = 2; 04. M.N = N.M; 08. =+ 02 02 NM no caso em que θ = π/4 rd; 16. N –1 = N, onde N –1 é a inversa de N; 32. det kM = k det M, onde K ∈ R. 04 - (UFBA) A matriz 2 x 3, com ij 2i j, se i j a i j, se i j − ≠ = + = , é: 11- 43- 02 a) 11 40 32 b) 21 40 32 c) 143 1-02 d) 143- 1-02 e) 05 - (UDESC SC) Sejam X e Y matrizes de ordem dois por dois tais que =+ 1 2 4 3 Y X e = 11 6 21 Y -X ; logo, a soma dos elementos da diagonal principal da matriz X é: a) 14 b) 7 c) 9 d) 16 e) 8 06 - (FGV) Considere as matrizes ( ) 3x3ij aA = , em que ( )jij 2a −= e ( ) 3x3ijbB = , em que ( ) i ij 1b −= . O elemento c23, da matriz ( ) 3x3ijcC = , em que B ⋅= AC , é: a) 14 b) −10 c) 12 d) −8 e) 4 07 - (UEMS) Sejam A, B e C três matrizes definidas por: ( ) ( ) ( ) 2 ij3x2 ij2x2 , tal que a ; , tal que b ; , tal que C AB. ij ij ij A a i i B b i j C c = = − = = + = = O elemento C32 da matriz C é: a) 0 b) 10 c) 14 d) 30 e) 42 08 - (UNIFEI MG) Dadas as matrizes = 32 21 A , = 41 30 B e − − = 12 01 C , considere as seguintes afirmativas: I. =−+= 81 52 CBAX II. − =−−= 23 10 CABY III. =−= 72 43 CA2Z Pode-se afirmar que: a) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras. b) todas as afirmativas são verdadeiras. c) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras. d) todas as afirmativas são falsas. 09 - (UFTM) A matriz 0 2008 x M y = , em que x e y são números reais, é tal que 2 1 0 2 0 1 M M − + = − . Nessas condições, é correto concluir que a) -1y e 1x =−= . b) 0y e 0x == . c) 2008y e 2008 1 x == . d) 1y e 1x == . e) -2008y e 2008x == . 10 - (FFFCMPA RS) A matriz = 3 m k 1 A é tal que − = 7 4- 8 1 A2 . O valor de m k é a) 4. b) 2. c) 1. d) – 2. e) – 4. 11 - (UNCISAL) Dadas as matrizes = x1 1- 1y x A e = 0 1 0 0 1- 1 B , sendo −= 1 8 2- 4 A.B t , pode-se afirmar que a)x = 2 y. b) y = 2 x. c) x = y = 8. d) x – y = –2. e) x = y + 4. 12 - (UEPB) Dadas At = [10 6 5], Bt = [8 2 2] e Ct = [−6 0 −4], tal que 2A − B + 2M + C = 0, a matriz Mt é igual a: a) [– 3 5 2] b) [– 3 – 5 – 2] c) [– 3 – 5 2] d) [ 3 – 5 – 2] e) [ 3 5 – 2] 13 - (UEPG) Sobre matrizes, assinale o que for correto. 01) Se A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p, onde m, n e p são números distintos, é possível efetuar a operação A+B t . 02) O determinante da matriz A=(aij)2X2, definida por j ij i , se i j a i , se i j j = = ≠ , vale 3. 04) Dadas as matrizes A (x 2 5)= − e 2 B 3x 4 − = , se A.B=(-4), então x=3. 08) Se A, B e C são matrizes dos tipos 3X4, 4X7, 7X5, respectivamente, então a matriz resultante do produto (A.B).C é do tipo 3x5. 16) Dadas as matrizes 3 x A y 2 = e 6 2x B 3-y 4 = , se A + A t = B, então x + y = 2. 14 – (UEL) O determinante da matriz − x0x 0x2 021 é positivo se a) x > −4 b) x < 0 c) x < 2 d) x < −4 ou x > 0 e) x > −2 ou x < −6 15 - (UEL PR) Uma das formas de se enviar uma mensagem secreta é por meio de códigos matemáticos, seguindo os passos: 1. Tanto o destinatário quanto o remetente possuem uma matriz chave C ; 2. O destinatário recebe do remetente uma matriz P, tal que MC =P, onde M é a matriz mensagem a ser decodificada; 3. Cada número da matriz M corresponde a uma letra do alfabeto: 1=a, 2=b, 3=c, ...., 23=z; 4. Consideremos o alfabeto com 23 letras, excluindo as letras k, w e y; 5. O número zero corresponde ao ponto de exclamação; 6. A mensagem é lida, encontrando a matriz M, fazendo a correspondência número/letra e ordenando as letras por linhas conforme segue: m11m12m13m21m22m23m31m32m33. Considere as matrizes: = = 0 14 19 17 38 18 1 10- 2 P e 1 2 0 0 1- 0 0 1 1 C Com base nos conhecimentos e nas informações descritas, assinale a alternativa que apresenta a mensagem que foi enviada por meio da matriz M. a) Boasorte! b) Boaprova! c) Boatarde! d) Ajudeme! e) Socorro! GABARITO PARTE 1 1. a V b F c V d V e F f V g F h V i V j F k F 2 EUA = 519; CUBA = 288; Brasil = 309 PARTE 2 01 02 03 04 05 30 A 25 D E 06 07 08 09 10 A E B A D 11 12 13 14 15 B B 30 D A
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