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Lista de Exercícios – 08 Determinantes Dica: Para uma explicação de como calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3 assista ao vídeo a seguir: http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA Resumo A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices (geometria analítica);[1] Determinante de 1ª ordem Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: det M =Ia11I = a11 Exemplo: det[-1] = - 1 Determinante de 2ª ordem Dada a matriz ܯ = ቂܽଵଵ ܽଵଶܽଶଵ ܽଶଶቃ , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 2ª ordem, é dado por: Exemplo: Sendo ܯ = ቚ2 34 5ቚ, temos: [1] Exercício resolvido: Se ܣ = ቀ2 13 4ቁ e ܤ = ቀ4 23 −1ቁ e calcular o número real m, tal que: det (A – mB) = 0 Resolução ܣ −݉ܤ = ቀ2 13 4ቁ − ቀ4݉ 2݉3݉ −݉ቁ = ቀ2 − 4݉ 1 − 2݉3 − 3݉ 4 + ݉ ቁ Como det (A – mB) = 0, devemos ter: (2 – 4m) (4 + m) – (3 – 3m) (1 – 2m) = 0 10m2 - 5m + 5 = 0 2m2 + m - 1 = 0, daí m = –1 ou 1/2. Exercícios: 1) Calcule: a) ቚ2 93 7ቚ b) ቚ1 −12 2 ቚ c) ቚ−2 40 −3ቚ 2) Sendo B=(bij)2x2 onde, 1, se i = j bij = -2ij, se i < j 3j, se i > j 3) Resolva a equação, ቚݔ ݔ + 25 3 ቚ = ݔ 4) Resolva a equação, ቚ ݔ −3 ݔ + 2 ݔ − 2ቚ = 8 5) Para que o determinante da matriz seja nulo, o valor de a deve ser: ቂ1 + ܽ −13 1 − ܽቃ Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus 1º ) Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante. 2º ) Multiplicam-se: os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal de cada produto obtido; os elementos da diagonal secundária e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal de cada produto obtido. [2] 3º) e somam-se os resultados obtidos no 2º passo, ou seja: det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12 Exemplo: Exercícios: 6) Calcule: a) อ 3 2 11 2 51 −1 0อ b) อ1 −1 25 7 −41 0 1 อ 7) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir é nulo: 1 2 3 ܽ 2ܽ 3ܽ ܾ + 1 ܾ + 2 ܾ + 3൩. a) para quaisquer valores de a e b. b) apenas se a = 0 c) apenas se b = 0 d) somente se a = b e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0 8) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz seja nulo:อ 1 2 14 9 46 ݔ ݔ − 7อ Propriedades Matriz com fila nula: o determinante dessa matriz é nulo. Matriz triangular: o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. Multiplicação de uma fila por um número k real: O determinante da nova matriz é igual ao anterior, multiplicado pelo número k. Exemplo: อ 3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 2x(1º linha) อ6 4 21 2 51 −1 0อ = 44 (22 ∗ 2) Troca de filas paralelas: o determinante da nova matriz é o anterior com sinal trocado. Exemplo: อ 3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 อ3 1 21 5 21 0 −1อ = −22 Filas paralelas iguais: o determinante é nulo. Filas paralelas proporcionais: o determinante é nulo. Exemplo: อ 3 6 11 2 51 2 0อ = 0. Pois, 2ª coluna é o dobro da 1ª. Matriz transposta: o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta At. Teorema de Jacobi: se a uma das filas de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adicionarmos um múltiplo de outra fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A. Exemplo: อ 3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 อ 3 2 1−5 −2 31 −1 0อ = 22. Note que a 2ª linha da matriz foi substituida por (-2)*1ª + 2ª. Teorema de Binet: se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então det(A . B) = det A . det B. Cofator Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de ordem n o número Aij tal que Ai j = (-1)i+j . MCij . Exemplo: b) Sendo ܯ = ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ ൩ , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: ܣଶଶ = (−1)ଶାଶ ∗ ቚܽଵଵ ܽଵଷܽଷଵ ܽଷଷቚ = (+1)(ܽଵଵܽଷଷ − ܽଵଷܽଷଵ), onde ܯܥଶଶ = ቚܽଵଵ ܽଵଷܽଷଵ ܽଷଷቚ ܣଶଷ = (−1)ଶାଷ ∗ ቚܽଵଵ ܽଵଶܽଷଵ ܽଷଶቚ = (+1)(ܽଵଵܽଷଶ − ܽଵଶܽଷଵ), onde ܯܥଶଷ = ቚܽଵଵ ܽଵଶܽଷଵ ܽଷଶቚ ܣଷଵ = (−1)ଷାଵ ∗ ቚܽଵଶ ܽଵଷܽଶଶ ܽଶଷቚ = (+1)(ܽଵଶܽଶଷ − ܽଵଷܽଶଶ), onde ܯܥଷଵ = ቚܽଵଶ ܽଵଷܽଶଶ ܽଶଷቚ Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxm, com (m ≥ 2), pode ser obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. Assim, fixando j N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos: detܯ = ܽܣ ୀଵ em que ∑ୀଵ é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m. Exercícios: 9) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes: podemos afirmar que x/y vale: 10) (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna por 4, o novo determinante valerá: 11) (UFRN) O determinante da matriz ܣ = ൭1 7 2810 2 2000 0 3 ൱ é igual a: 12) Sendo, ݔ = อ12 18 921 17 1532 60 14อ e ݕ = อ12 18 963 51 4532 60 14อ, então: a) x = y b) x = 3y c) x = 27y d) 3x = y e) 27x = y 13) (CEFET) Dada a matriz อ ݔ 0 00 0 ݔ ݔ ݔ ݔ อe a função real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar que f(-1) é igual a: a) –2 b) –1 c) 8 d) 2 e) –8 Respostas: 1) a) – 13 b) 4 c) 6 2) 13 3) x = 10/3 4) x = {– 1, 2} 5) a = {-2, 2} 6) a) 22 b) 2 7) a 8) 13 9) -1/6 10) 8 11) 6 12) d 13) c Referências: [1] http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php, acessado em 18/05/2011. [2] http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/02-determinantes.pdf, acessado em 18/05/2011. Profº Leandro Colombi Resendo Naylton Lopes Highlight
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