ListadeExercicios_08 - Determinantes

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios – 08 
Determinantes 
 
Dica: Para uma explicação de como calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e 3 assista ao vídeo a 
seguir: http://www.youtube.com/watch?v=SUbr6zypkLA 
 
Resumo 
A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. 
Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: 
 resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; 
 cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos 
seus vértices (geometria analítica);[1] 
Determinante de 1ª ordem 
Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a11], o seu determinante é o número real a11: 
det M =Ia11I = a11 
Exemplo: det[-1] = - 1 
 
Determinante de 2ª ordem 
Dada a matriz ܯ = ቂܽଵଵ ܽଵଶܽଶଵ ܽଶଶቃ , de ordem 2, por definição o determinante associado a M, determinante de 
2ª ordem, é dado por: 
 
Exemplo: Sendo ܯ = ቚ2 34 5ቚ, temos: 
[1] 
Exercício resolvido: 
Se ܣ = ቀ2 13 4ቁ e ܤ = ቀ4 23 −1ቁ e calcular o número real m, tal que: 
det (A – mB) = 0 
Resolução 
ܣ −݉ܤ = 	 ቀ2 13 4ቁ − 	ቀ4݉ 2݉3݉ −݉ቁ = 	 ቀ2 − 4݉ 1 − 2݉3 − 3݉ 4 + ݉ ቁ 
 
Como det (A – mB) = 0, devemos ter: 
(2 – 4m) (4 + m) – (3 – 3m) (1 – 2m) = 0 
10m2 - 5m + 5 = 0 2m2 + m - 1 = 0, daí 
m = –1 ou 1/2. 
 
Exercícios: 
1) Calcule: 
a) ቚ2 93 7ቚ b) ቚ1 −12 2 ቚ c) ቚ−2 40 −3ቚ 
 
2) Sendo B=(bij)2x2 onde, 
  1, se i = j 
bij =  -2ij, se i < j 
  3j, se i > j 
 
 
3) Resolva a equação, ቚݔ ݔ + 25 3 ቚ = ݔ 
 
4) Resolva a equação, ቚ ݔ −3
ݔ + 2 ݔ − 2ቚ = 8 
 
5) Para que o determinante da matriz seja nulo, o valor de a deve ser: ቂ1 + ܽ −13 1 − ܽቃ 
 
 
 
Determinante de 3ª ordem: Regra de Sarrus 
1º ) Repetem-se as duas primeiras colunas à direita do determinante. 
2º ) Multiplicam-se: 
 os elementos da diagonal principal e os elementos de cada paralela a essa diagonal, conservando o sinal 
de cada produto obtido; 
 os elementos da diagonal secundária e os elementos de cada paralela a essa diagonal, invertendo o sinal 
de cada produto obtido. 
[2] 
 
3º) e somam-se os resultados obtidos no 2º passo, ou seja: 
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a31a22a13 – a32a23a11 – a33a21a12 
 
Exemplo: 
 
Exercícios: 
6) Calcule: 
 
a) อ
3 2 11 2 51 −1 0อ b) อ1 −1 25 7 −41 0 1 อ 
 
7) O determinante da matriz mostrada na figura a seguir é nulo: ൥
1 2 3
ܽ 2ܽ 3ܽ
ܾ + 1 ܾ + 2 ܾ + 3൩. 
a) para quaisquer valores de a e b. 
b) apenas se a = 0 
c) apenas se b = 0 
d) somente se a = b 
e) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0 
 
8) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz seja nulo:อ
1 2 14 9 46 ݔ ݔ − 7อ 
 
 
Propriedades 
 Matriz com fila nula: o determinante dessa matriz é nulo. 
 Matriz triangular: o determinante é igual ao produto dos elementos da sua diagonal principal. 
 Multiplicação de uma fila por um número k real: O determinante da nova matriz é igual ao anterior, 
multiplicado pelo número k. 
Exemplo:	อ
3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 2x(1º linha) อ6 4 21 2 51 −1 0อ = 44	(22 ∗ 2) 
 
 Troca de filas paralelas: o determinante da nova matriz é o anterior com sinal trocado. 
Exemplo: อ
3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 อ3 1 21 5 21 0 −1อ = −22 
 
 
 Filas paralelas iguais: o determinante é nulo. 
 Filas paralelas proporcionais: o determinante é nulo. 
Exemplo:	อ
3 6 11 2 51 2 0อ = 0. Pois, 2ª coluna é o dobro da 1ª. 
 Matriz transposta: o determinante de uma matriz A é igual ao determinante de sua transposta At. 
 Teorema de Jacobi: se a uma das filas de uma matriz quadrada A de ordem n ≥ 2 adicionarmos um 
múltiplo de outra fila paralela, obteremos uma matriz B tal que det B = det A. 
Exemplo:	อ
3 2 11 2 51 −1 0อ = 22 อ 3 2 1−5 −2 31 −1 0อ = 22. Note que a 2ª linha da matriz foi substituida 
por (-2)*1ª + 2ª. 
 Teorema de Binet: se A e B são duas matrizes quadradas de ordem n, então det(A . B) = det A . det B. 
 
Cofator 
 
Chamamos de cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento aij de uma matriz quadrada de 
ordem n o número Aij tal que Ai j = (-1)i+j . MCij . 
Exemplo: 
b) Sendo ܯ = ൥ܽଵଵ ܽଵଶ ܽଵଷܽଶଵ ܽଶଶ ܽଶଷ
ܽଷଵ ܽଷଶ ܽଷଷ
൩ , vamos calcular os cofatores A22, A23 e A31: 
ܣଶଶ = (−1)ଶାଶ ∗ ቚܽଵଵ ܽଵଷܽଷଵ ܽଷଷቚ = (+1)(ܽଵଵܽଷଷ − ܽଵଷܽଷଵ), onde ܯܥଶଶ = ቚܽଵଵ ܽଵଷܽଷଵ ܽଷଷቚ 
ܣଶଷ = (−1)ଶାଷ ∗ ቚܽଵଵ ܽଵଶܽଷଵ ܽଷଶቚ = (+1)(ܽଵଵܽଷଶ − ܽଵଶܽଷଵ), onde ܯܥଶଷ = ቚܽଵଵ ܽଵଶܽଷଵ ܽଷଶቚ 
ܣଷଵ = (−1)ଷାଵ ∗ ቚܽଵଶ ܽଵଷܽଶଶ ܽଶଷቚ = (+1)(ܽଵଶܽଶଷ − ܽଵଷܽଶଶ), onde ܯܥଷଵ = ቚܽଵଶ ܽଵଷܽଶଶ ܽଶଷቚ 
 
Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada M = [aij]mxm, com (m ≥ 2), pode ser obtido pela soma dos produtos 
dos elementos de uma fila qualquer ( linha ou coluna) da matriz M pelos respectivos cofatores. 
Assim, fixando j  N, tal que 1 ≤ j ≤ m, temos: detܯ = ෍ܽ௜௝ܣ௜௝௠
௜ୀଵ
 
em que ∑௠௜ୀଵ é o somatório de todos os termos de índice i, variando de 1 até m. 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
9) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes: 
 
podemos afirmar que x/y vale: 
 
10) (UFPA) O valor de um determinante é 12. Se dividirmos a 1ª linha por 6 e multiplicarmos a 3ª coluna 
por 4, o novo determinante valerá: 
 
11) (UFRN) O determinante da matriz ܣ = ൭1 7 2810 2 2000 0 3 ൱ é igual a: 
 
 
12) Sendo, ݔ = อ12 18 921 17 1532 60 14อ e ݕ = อ12 18 963 51 4532 60 14อ, então: 
 
a) x = y b) x = 3y c) x = 27y d) 3x = y e) 27x = y 
 
13) (CEFET) Dada a matriz 	อ
ݔ 0 00 0 ݔ
ݔ ݔ ݔ
อe a função real definida por f(x)=det(2A), podemos afirmar que f(-1) 
é igual a: 
a) –2 b) –1 c) 8 d) 2 e) –8 
 
 
 
Respostas: 
1) a) – 13 b) 4 c) 6 
2) 13 
3) x = 10/3 
4) x = {– 1, 2} 
5) a = {-2, 2} 
6) a) 22 b) 2 
7) a 
8) 13 
9) -1/6 
10) 8 
11) 6 
12) d 
13) c 
 
 
 
 
Referências: 
 
[1] http://www.somatematica.com.br/emedio/determinantes/determinantes.php, acessado em 18/05/2011. 
 
[2] http://www.supletivounicanto.com.br/docs/cd/Matem%E1tica/3%B0%20ano/02-determinantes.pdf, 
acessado em 18/05/2011. 
 
 
 
 
 
Profº Leandro Colombi Resendo 
Naylton Lopes
Highlight