1ETF Continuidade dos Fluidos

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CONCEITOS BÁSICOS
E
EQUAÇÃO DA 
CONTINUIDADE
Profa. Ana Flavia Barroso
	
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HIDRODINÂMICA (Dinâmica dos fluidos)
A Hidrodinâmica é a parte da Física que estuda os fluidos (líquidos e gases) em movimento.
 Vazão em Volume
	Vazão é a quantidade em volume de fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo. 
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 Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através do qual o fluido escoa.
Volume de Controle
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 Vazão em Massa
	Vazão em massa é a quantidade em massa do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo. 
. 
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 Vazão em Peso
	Vazão em peso é a quantidade de peso do fluido que atravessa uma dada seção do escoamento por unidade de tempo. 
. 
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 Condutos Forçados:
	São aqueles onde o fluido apresenta um contato total com suas paredes internas. A figura mostra um dos exemplos mais comuns de conduto forçado, que é o de seção transversal circular. 
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Classificação dos Escoamentos
O escoamento pode ser classificado de diferentes formas:
Quanto à Pressão Atuante 
Quanto ao Regime de Escoamento
Quanto à Variação no Tempo
Quanto à Variação no Espaço
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 Condutos Livres
	São aqueles onde o fluido apresenta um contato apenas parcial com suas paredes internas;
	Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o fluido está em contato com o ar atmosférico;
	Os condutos livres são geralmente denominados de canais, os quais podem ser abertos ou fechados.
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 Classificação Quanto à Pressão Atuante
Escoamento Livre (P = Patm)
OBS: Perímetro da Seção transversal: aberto ou fechado.
	Caracteriza-se por apresentar superfície livre. 
Ex: Redes de esgoto, redes de águas pluviais, rios, canais, etc.
B) Escoam. Forçado (P ≠ Patm)
OBS: Seção transversal: perímetro fechado.
Ex: Redes de distribuição de água, adutoras, tubulações de recalque, tubulações de sucção.
Pressão
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 Condutos Livres
	
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Classificação Quanto TURBULÊNCIA
(Direção e Trajetória da Partícula)
Definido pelo Número de Reynolds
onde: 
L = dimensão linear característica da seção transversal;
 Forçado; Tubulação circular  L = Diâmetro (m)
 Canais livres  L = 4*Raio Hidráulico (Rh = A/P) (m)
V = Velocidade média do escoamento (m/s);
n = Viscosidade cinemática da água (m2/s)
Movimento laminar (baixas velocidades)
Movimento de transição (velocidades médias)
Movimento turbulento (altas velocidades)
Re < 2000
Re < 500
2000 <Re < 4000
500 < Re < 1000
Re > 4000
Re > 1000
Conduto Forçado
Conduto Livre
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Classificação Quanto à Variação no Tempo
Regime Permanente
As características do escoamento em cada ponto da coluna d’água (na seção) não variam com o tempo.
Assim, pode-se considerar que a velocidade, a pressão, a massa específica, etc. não variam com o tempo em uma mesma seção.
Exemplo: Trecho de um curso d’água onde não há aporte ou retirada de água 
V=cte; p = cte; ρ = cte; Q = cte
Regime não Permanente
Há variações das características do escoamento com o tempo.
Exemplo: Trecho de um curso d’água onde há aporte ou retirada de água, foz de rios, etc. 
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Classificação Quanto à Variação no Espaço
Escoamento Uniforme
O vetor velocidade é constante em módulo, direção e sentido ao longo do trecho estudado, ou:
Não há variação no espaço.
Exemplo:
 Condutos de seção constante em toda extensão;
 Adutoras;
 Canais prismáticos com altura da lâmina d’água constante
Escoamento não Uniforme
O vetor velocidade varia no espaço.
Condutos com diâmetros e seções variáveis ou com declividade variável.
U1
U2
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Equação da Continuidade
É a equação que mostra a conservação da massa de líquido no conduto, ao longo de todo o escoamento;
Pela condição de escoamento em regime permanente, podemos afirmar que entre as seções (1) e (2), não ocorre nem acúmulo, nem falta de massa:
m1 = m2 = m = cte 
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Equação da Continuidade
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Equação da Continuidade
Dadas duas seções do escoamento:
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Equação da Continuidade
ρAv = constante
Se ρ é constante (não há variação de massa):
A1V1= A2V2
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Equação da Continuidade
Q = A1 v1 = A2 v2 = constante 
A equação da continuidade estabelece que:
 o volume total de um fluido incompressível (fluido que mantém constante a densidade apesar das variações na pressão e na temperatura) que entra em um tubo será igual aquele que está saindo do tubo;
 a vazão medida num ponto ao longo do tubo será igual a vazão num outro ponto ao longo do tubo, apesar da área da seção transversal do tubo em cada ponto ser diferente.
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Equação da Continuidade
Isto equivale a dizer que:
 No escoamento de fluidos incompressíveis em regime permanente, a vazão em volume, ou simplesmente a vazão, que passa através de qualquer seção do tubo de corrente é constante.
De forma genérica:
		Q = A1 v1 = A2 v2 = constante
Q=AU, onde:
 U=velocidade média
A velocidade de escoamento de um fluido é inversamente proporcional à área da seção transversal do duto.
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EX.01
Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros.
a)Se leva 1 minuto para encher o balde. Qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira?
b)Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de  5 mm, e acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira?
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Solução: 
a) A área da seção transversal da mangueira será dada por 
A1 = πr2 = π(2  cm /2)2 = π cm2.
Para encontrar a velocidade, v1 , usamos 
  
Taxa de escoamento (vazão)= 
A1v1 = 20  L / min = 20 x  103 cm3 / 60s
v1=  (20 x  103 cm3 / 60 s) / (π cm2)  = 106,1  cm/s.  
b) A taxa de escoamento ( A1v1 ) da água que se aproxima da abertura da mangueira deve ser igual a taxa de escoamento que deixa a mangueira ( A2v2 ). Isto resulta em: 
v2= A1v1 / A2   = (π. 106,1) / (π. (0,5/2)2)  = 1698  cm/s. 
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Num sistema de drenagem, uma pipa de 25 cm de diâmetro interno drena para outra pipa conectada de 22 cm de diâmetro interno.
Se a velocidade da água através da pipa maior é 5 cm/s, determine a velocidade média na pipa menor.
EX.02
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SOLUÇÃO
Usando a equação da continuidade, temos
A1 v1 = A2 v2
π(12,5 cm)2 (5 cm/s) = π(11,0 cm)2 (v2)
Resolvendo para v2:
v2 = 6,42 cm/s.
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Assumindo o fluxo de um fluido incompressível como o sangue, se a velocidade medida num ponto dentro de um vaso sanguíneo é 40 m/s, qual é a velocidade num segundo ponto que tem um terço do raio original?
EX.03 
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Este problema pode ser resolvido usando a equação da continuidade:
ρ1A1v1= ρ2A2v2 onde:
 ρ é a densidade do sangue
A é a área da seção transversal
v é a velocidade
e os subscritos 1 e 2 referem-se às localizações dentro do vaso.
Desde que o fluxo sangüíneo é incompressível, temos 
ρ1= ρ2 
v1 = 40 cm/s
A1=πr12
A2 = πr22 r2=r1/3, A2= π(r1/3)2 = (π r12)/9 ou A2=A1/9
A1/A2 = 9
Resolvendo:
v2 = (A1v1)/A2 = 9 v1 = 9 x 40 cm/s = 360 cm/s
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Equação de Bernoulli
Nos trechos em que a velocidade for maior a pressão será menor. 
Energia Associada a um Fluido 
Energia Potencial: É o estado de energia do sistema devido a sua posição no campo da gravidade em relação a um plano horizontal de referência. 
 Energia Cinética: É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. 
Energia de Pressão: Corresponde ao trabalho potencial das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido.
Hipóteses de Simplificação: 
 
Regime permanente. 
Sem a presença de máquina (bomba/turbina). 
 Sem perdas por atrito. 
 Fluido incompressível. 
Sem trocas de calor. 
Propriedades uniformes nas seções.
Equação de Bernoulli
Para líquidos perfeitos
“Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas cinéticas, piezométrica e geométrica”
Nota: cada um dos termos pode ser expresso
em m.c.a.
Equação de Bernoulli
com perda de carga