trabalho de calculo

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TRABALHO DE CÁLCULO
Nome: Luiza dos Anjos Lopes Chaves
Turma: EQN
Professor: Pedro Gamboa
Vetores e coordenadas no espaço tridimensional
No espaço tridimensional usa-se como base canônica os vetores unitários î, j, k. Para localizar um ponto no R3 é necessário a tripla (a.,b,c) que são fornecidas através dos eixos coordenados x,y e z. 
Um vetor geométrico no espaço R³ é uma categoria de lugar geométrico que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Um vetor pode ser representado por um segmento de reta orientado.
Temos como exemplo o vetor v cuja origem fica na origem (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço tridimensional, deste modo, o vetor ficará representado por: v=(a,b,c).
Se a origem do vetor não é a origem, através da diferença entre a extremidade deste vetor e a sua origem, temos a sua representação.
Retas e planos no espaço tridimensional
Uma reta será determinada por um ponto P0 = (x0, y0,z0) e uma direção d = (d1,d2.d3) e sua equação vetorial será determinada por P = P0 +dt. Ao eliminarmos o t da equação através de um sistema, obteremos as equações simétricas:
 
Um plano no espaço é determinado por apenas 3 pontos, sendo eles: P = (x0, y0, z0), T = (x1, y1, z1) e S = (x2, y2, z2) , podemos formar um par de vetores como u = T − P0 e v = S − P. Ao realizarmos o produto vetorial de u e de v, daremos origem a um vetor chamado de “normal” na forma de n = (a, b, c) que é u×v. Esse mesmo vetor é ortogonal a u e v e, sendo assim, ele é ortogonal ao plano.
Temos como equação do plano o seguinte exemplo: 
Cilindros e superfícies de revolução
 Superfície de revolução é a superfície originada pela rotação, também chamada de revolução, de uma curva plana ou cônica em torno de um de seus eixos ou em torno de uma reta fixa que pertence ao plano da curva. O nome da reta fixa ou eixo em torno de onde se rotacionou a curva plana ou cônica é “eixo da superfície” e a curva plana ou cônica é a “geratriz”.
A área de revolução é nada menos que o resultado de uma rotação de um arco em torno de um eixo. 
Se A (a,c) e B(b,d) são dois pontos da curva onde são continuas, então a área da superfície formada pela rotação da curva AB em torno do eixo x é dado por: 
Temos como fórmula de comprimento de arco, a seguinte equação: 
Ao multiplicarmos o comprimento de arco pelo comprimento da circunferência temos: 
Com esta fórmula podemos calcular a área gerada.
Hipérbolóide de revolução: a superfície gerada pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus eixos. Ela pode ser de duas folhas ou de uma folha, como o exemplo a seguir. 
Sua fórmula é a seguinte:
Ela só será uma superfície de revolução se a=b. A fórmula do hiperboloide de revolução de duas folhas é apenas trocando os sinais dos membros da equação. As incógnitas a,b,c nesse sólidos determinam as dimensões a sua forma.
Elipsóide de Revolução: a superfície gerada pela rotação da elipse em torno de um de seus eixos, normalmente em torno do eixo maior, como o exemplo a seguir:
Sua fórmula é a seguinte:
As incógnitas a,b,c nesse sólidos são responsáveis pelas suas dimensões a sua forma.
Paraboloide de Revolução: a superfície gerada pela rotação de uma parábola em torno do seu eixo de simetria. Há dois tipos: elípticos e hiperbólicos. O paraboloide elíptico tem forma oval como à seguir e tem ponto máximo ou mínimo. 
Sua fórmula em um sistema de coordenadas no R3 é:
Paraboloide Hiperbólico: o lugar geométrico cujos eixos transverso e conjugado são paralelos aos eixos das abscissas (eixo dos x) e das ordenadas (eixo dos y).
 
Sua fórmula no sistema é:
O cone: a superfície gerada por uma reta que gira em torno de um dos eixos coordenados, passando sempre por um mesmo ponto, que é chamado de vértice da superfície cônica. Ou ele pode ser gerado pela rotação de um triangulo retângulo no seu eixo. 
 
Sua fórmula é:
O cilindro: a superfície gerada por uma reta chamada geratriz de superfície que passa ao longo de uma curva plana, denominada diretriz, que se mantem paralela a uma reta fixa que não pertence ao plano da curva plana. 
Essa figura pertence a um cilindro circular, cuja fórmula é:
Superfícies quádricas
As superfícies quádricas são superfícies dadas pelas equações de 2º grau de três variáveis, como a seguinte equação: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0, onde A, B, C, D, E, F, G, H, I e J são constantes reais tais que A, B, C, D, E, ou F é diferente de zero, e x, y, z são variáveis reais. 
Cada superfície quádrica tem sua equação que depende dos eixos x, y, z. Cada uma delas, tem interseção com um plano R2 que dá origem a figura esperada. Através da tabela abaixo, temos as seguintes fórmulas que originam suas respectivas superfícies correspondentes com as suas respectivas interseções:
 
 
Superfícies Quádricas e suas Representações nos eixos:
Superfícies Cônicas
Ao seccionarmos uma superfície quádrica por planos paralelos aos de planos coordenados, a curva de interseção originará uma superfície cônica. As superfícies são: a parábola, elipse, hipérbole e circunferência.
As parábolas, elipses e hipérboles são as chamadas seções cônicas, pois elas são as curvas que se formam a partir da interseção de um cone com um plano.
Temos na figura a seguir a figura de uma elipse, parábola e hipérbole sendo formadas.
Circunferência: conjunto de todos os pontos de um plano que estão numa mesma distância, raio, de um ponto denominado centro. Fixados o raio r ˃ 0 e o centro (a,b), podemos obter através da fórmula da distância entre dois pontos do plano, a equação que caracteriza qualquer ponto que origina a curva chamada circunferência:
Exemplo:
Parábola: conjunto de pontos em um plano em que as distâncias até um ponto fixo F chamado foco, e a uma reta fixa denominado diretriz são iguais. O ponto entre o foco e a diretriz é chamado de vértice. A equação da parábola é:
Em que p é uma das cordenadas do foco F.
Exemplo:
Elipse: o conjunto de pontos em um plano em que a soma das distâncias a dois pontos fixos é uma constante que são chamados “focos”. Sua equação é esta que segue abaixo.
Exemplo:
Hipérbole: A hipérbole é definida como o conjunto de todos os pontos em um plano cujo módulo da diferença entre dois pontos fixos F. e F (os focos) é uma constante.
A equação da hipérbole é determinada tomando o eixo x da figura acima ao longo do segmento F.F e o eixo y como mediatriz desse segmento. Com isso, podemos colocar 2c como a distância entre eles, então F.= (-c,0) e F= (c,0) temos:
Exemplo:
Bibliografia:
LEITHOLD, Louis. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Habra, 1994. 3 ed. v. 2.
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. 6. ed.
STEWART, J.: Cálculo - Vol. 2, 7ª edição. Editora Pioneira Thomson Learning, 2009
SIMMONS, G. F.: Cálculo com geometria Analítica (2 volumes). McGraw-Hill, 1987