GAeAV A1 Matrizes (1)

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Graduação em Engenharia CivilGraduação em Engenharia Civil
Graduação em Eng. de Controle e AutomaçãoGraduação em Eng. de Controle e Automação
Graduação em Engenharia de ProduçãoGraduação em Engenharia de Produção
Graduação em Engenharia Elétrica Graduação em Engenharia Elétrica 
Graduação em Engenharia MecânicaGraduação em Engenharia Mecânica
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRADisciplina: GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA
VETORIAL
Professor: Pedro Antonio Ourique
e-mail – pedro.ourique@educadores.net.br
Unidade de Ensino 1 Unidade de Ensino 1 -- Encontro 1Encontro 1
Conteúdo:Conteúdo:
Definição de matrizes; tipos de matrizes; adição, subtração e 
multiplicação de matrizes; multiplicação de um número real 
por uma matriz.
Objetivo de Aprendizagem:Objetivo de Aprendizagem:Objetivo de Aprendizagem:Objetivo de Aprendizagem:
Aplicar os conceitos e as operações com matrizes nas 
resoluções de problemas do dia a dia.
Conhecimentos prévios necessários:Conhecimentos prévios necessários:
Matemática básica e operações.
Situação Geradora de AprendizagemSituação Geradora de Aprendizagem
Suponha que você seja proprietário 
de uma confeitaria e que no dia a dia 
ocorram diversas situações que 
necessitem de um tratamento de 
informações de maneira organizada 
para facilitar a gestão dos negócios. 
Para saber que preços serão Para saber que preços serão 
repassados ao consumidor final, você 
decidiu investigar seus custos por 
meio de matrizes para estabelecer 
preços e obter os lucros desejados. 
No decorrer desta unidade mais 
dessas situações serão propostas a 
você. Esteja preparado.
SituaçãoSituação--ProblemaProblema
Sua confeitaria e recebeu a encomenda de três tipos diferentes de 
doces: brigadeiro, beijinho e bicho-de-pé. Nestas receitas, foram 
utilizados quatro ingredientes (x, y, z, t) em várias proporções, 
conforme mostra a tabela a seguir.
A partir das informações anteriores, como determinar a matriz que 
registra o custo de cada receita?
Matrizes Matrizes 
Classificação do Campeonato Espanhol de Futebol 
temporada 2017/2018, após 24 rodadas.
Matrizes Matrizes 
Resolução de 
imagem digital
Matrizes Matrizes 
Definição
Chama-se matriz do tipo m x n (lê-se “m por n”) toda
tabela de números disposta em m linhas e n colunas, onde
m e n são números inteiros e positivos.
Matrizes Matrizes 
Representação genérica de uma matriz
Podemos representar genericamente uma matriz A do tipo
m x n da seguinte maneira:
 
Matrizes Matrizes 
Forma abreviada de representar uma matriz:
Ou ainda:
 
 
Onde i {1,…,m} é o índice da linha e j {1,…,n} é o índice
da coluna do termo genérico da matriz.
Os elementos de uma matriz devem ser colocados entre:
parênteses ( ), entre colchetes [ ] ou entre barras duplas ║║.
Matrizes Matrizes 
Exemplos:
 
 
 
Matrizes Matrizes 
Matrizes definidas por uma fórmula
Os elementos de uma matriz também podem ser definidos 
por uma fórmula, como no exemplo a seguir:
Exemplo:Exemplo:
Construa a matriz , tal que: 
 
Matrizes Matrizes 
Faça você mesmo
Determine a matriz , em que . 
Matrizes Matrizes 
Tipos especiais de matrizes
Matriz linha: é toda matriz do tipo 1 x n.
é uma matriz linha 1 x 4. 
Matriz coluna: é toda matriz do tipo m x 1.
é uma matriz coluna 3 x 1. 
Matrizes Matrizes 
Matriz nula
Matriz nula do tipo m x n, que se indica por , é a matriz:
, tal que .
Ou seja, matriz nula é qualquer matriz que possui todos os 
 
 
Ou seja, matriz nula é qualquer matriz que possui todos os 
elementos iguais a zero.
é uma matriz nula 2 x 3. 
Matrizes Matrizes 
Matriz Quadrada
Uma matriz quadrada é toda a matriz do tipo , na 
qual m = n. Neste caso, escrevemos apenas n e dizemos 
que "A é uma matriz quadrada de ordem n". 
 
que "A é uma matriz quadrada de ordem n". 
Representamos o conjunto das matrizes reais quadradas de 
ordem por (ou, simplesmente, por ). 
Matrizes Matrizes 
Matriz Quadrada
Exemplos:
é uma matriz quadrada de ordem 1. 
é uma matriz quadrada de ordem 2.
é uma matriz quadrada de ordem 3.
 
 
Matrizes Matrizes 
Matriz Quadrada
Numa matriz quadrada A de ordem n, os elementos aij tais
que i = j formam a diagonal principal da matriz, e os
elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal
secundária.
Matrizes Matrizes 
Matriz Transposta
Dada a matriz do tipo m x n, a transposta da 
matriz A, será a matriz do tipo n x m, tal que:
 
 
 
Notação: Representamos a matriz transposta de por At.
Nota: Para obter a matriz transposta de A, basta transcrever 
a primeira linha de A para a primeira coluna de At e assim 
sucessivamente.
 
Matrizes Matrizes 
Matriz Transposta
Exemplo:
, a transposta de A é , a transposta de A é 
Matrizes Matrizes 
Faça você mesmo
Seja a matriz , a transposta da matriz A é: 
Matrizes Matrizes 
Igualdade Entre Matrizes
Dadas duas matrizes , e 
 
 
dizemos que A=B se, e somente se: 
 
Matrizes Matrizes 
Faça você mesmo
Determine os números reais x e y para que as matrizes 
e sejam iguais: e sejam iguais: 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Adição de Matrizes
A soma de duas matrizes do mesmo tipo do tipo 
m x n e do tipo m x n que se indica por A + B, é 
a matriz do tipo m x n tal que:
 
 
 
a matriz do tipo m x n tal que:
Em outras palavras cada elemento da matriz C é igual à 
soma de seus correspondentes em A e B.
 
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Adição de Matrizes
Exemplo:
Dadas as matrizes e 
encontre a matriz C, 
tal que C = A + B.
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Propriedades da Adição de Matrizes
Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo, valem as seguintes
propriedades:
1. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2. Comutativa: A + B = B + A2. Comutativa: A + B = B + A
3. Existência do elemento neutro: existe N tal que
A + N = N + A = A, qualquer que seja A do tipo m x n.
Isto é, N = 0m x n.
4. Existência do oposto ou simétrico: existe A" tal que
A + A" = 0m x n, ou seja, A" e o oposto ou simétrico de A.
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Matriz Oposta
Dada a matriz do tipo m x n, a matriz 
do tipo m x n será a matriz oposta de A, se e somente 
se .
 
 
 
se .
Indicamos a matriz oposta de A por -A.
Determine a matriz oposta de
 
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Subtração de Matrizes
A diferença de duas matrizes do mesmo tipo A e
B, nessa ordem, que se indica por A – B, é aB, nessa ordem, que se indica por A – B, é a
matriz A + (-B):
A – B = A + (-B)
Ou seja, a diferença A – B é igual a soma de A
com a oposta de B.
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Subtração de Matrizes
Exemplo:
Dadas as matrizes e 
encontre a matriz C, tal que C = A - B.
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Faça você mesmo
Dadas as matrizes e , Dadas as matrizese , 
determine a diferença A − B.
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Multiplicação de um número real por uma matriz
O produto de um número k por um matrizes
do tipo m x n, que se indica por k·A, é a matriz 
 
do tipo m x n, que se indica por k·A, é a matriz
do tipo m x n tal que:
Ou seja, cada elemento da matriz B é igual ao produto de
seu correspondente em A, pelo número k.
 
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Multiplicação de um número real por uma matriz
Exemplo:
Dada a matriz encontre a 
matriz B, tal que B = 4·A.
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Faça você mesmo
Dadas as matrizes , obtenha as Dadas as matrizes , obtenha as 
matrizes:
a) −2·A b) 5·A
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Propriedades da multiplicação de um número real por 
uma matriz
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e k e g números reais, 
tem-se que:tem-se que:
1. Associativa: k·(g·A) = k·(g·A) = (k·g)·A
2. Distributiva: k·(A + B) = k·A + k·B
3. Distributiva: (k + g)A = k·A + g·A
4. Elemento Neutro: 1·A = A
5. Transposta: k·AT = (k·A)T
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Multiplicação de Matrizes
Dadas as matrizes do tipo m x n e do 
tipo n x p, o produto de A por B é uma matriz do 
 
 
 
tipo m x p em que:
Para todo e para todo .
 
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Multiplicação de Matrizes
Exemplo:
Dadas as matrizes: e 
determine a matriz C, tal que, C = A·B:
 
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Propriedades da Multiplicação de Matrizes
Sejam as matrizes Am x n, Bn x p, Cp x q, Dr x m e Em x n. Valem 
as seguintes propriedades:
1. Propriedade associativa: (A·B)·C = A·(B·C).
2. Propriedade distributiva à direita: 2. Propriedade distributiva à direita: 
(A + E)·B = A·B + E·B.
3. Propriedade distributiva à esquerda: 
D·(A +E) = D·A + D·E.
4. Multiplicação por um escalar: (k·A)·B = k· (A·B).
5. Matriz Transposta: (A·B)T = AT·B T.
Operação com Matrizes Operação com Matrizes 
Atenção:
• Em geral, A·B ≠ B·A.
• As leis de cancelamento não valem para a multiplicação 
de matrizes. Isto é, se A·B = A·C, então não é verdade, 
em geral, que B = C.
• Se o produto de A·B for a matriz nula, não se pode 
concluir, em geral, que A = 0 ou B = 0.
Resolução da Situação ProblemaResolução da Situação Problema
Vamos retomar o problema 
proposto no inicio desta seção: 
você e o proprietário de uma 
confeitaria e recebeu a 
encomenda de três tipos 
diferentes de doces: brigadeiro, diferentes de doces: brigadeiro, 
beijinho e bicho-de-pé. Você 
utilizou, nessas receitas, quatro 
ingredientes (x,y,z,t) em varias 
proporções. Devemos 
determinar a matriz que registra 
o preço final de cada receita.
Avançando na PráticaAvançando na Prática
Aplicação de Matrizes no controle de Tráfego
A ilustração abaixo representa o “cruzamento” de duas ruas de
mãos duplas, cujo fluxo de automóveis nos pontos 1, 2 e 3 é
organizado por três conjuntos de semáforos.
Avançando na PráticaAvançando na Prática
Aplicação de Matrizes no controle de Tráfego
Determine as matrizes M1, M2 e M3 indicando o tempo em
minutos, durante o qual alguns semáforos se mantém
simultaneamente abertos segundo a sequência dada:
M1 – Inicialmente durante 1 minuto ficam abertos os semáforosM1 – Inicialmente durante 1 minuto ficam abertos os semáforos
de 1 para 2, de 1 para 3 e de 2 para 1.
M2 – Em seguida, durante meio minuto ficam verdes os
semáforos de 2 para 1, de 2 para 3 e de 3 para 2.
M3 – Por fim, durante meio minuto ficam verdes os semáforos
de 3 para 1, de 3 para 2 e de 1 para 3.
Aplicação de Matrizes no controle de Tráfego
1. Determine a matriz M, mostrando o tempo que cada 
semáforo fica aberto em cada sentido no período de 2 
minutos.
2. Obtenha a matriz que mostra o tempo em minutos que 
Avançando na PráticaAvançando na Prática
2. Obtenha a matriz que mostra o tempo em minutos que 
cada semáforo fica aberto durante uma hora.
3. No caso destas ruas, sabe-se que é possível passar até 
20 caros por minuto cada vez que o semáforo abre. De 
posse destes dados, encontre a quantidade máxima de 
carro que pode passar por cada semáforo no período de 
1 hora.
Aplicação de Matrizes no controle de Tráfego
Se o número de carros em alguma das direções for maior que 
a quantidade máxima possível, teremos um engarrafamento, 
que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de 
Avançando na PráticaAvançando na Prática
que poderá ou não ser resolvido alterando-se os tempos de 
abertura dos semáforos, isto é, modificando-se os valores na 
matrizes M1, M2 e M3.
Próxima AulaPróxima Aula
Para a próxima aula, o aluno deve:
1) acessar a Webaula correspondente à próxima Aula 
Presencial;
2) ler a seção do Livro Didático correspondente à próxima 
Aula Presencial;
3) resolver as questões básicas (Atividade Diagnóstica) 
correspondentes à próxima Aula Presencial;
4) resolver as atividades de aprofundamento (Faça valer a 
pena) da seção do Livro Didático; e
5) resolver as atividades complementares (Atividade de 
Aprendizagem) no Pós-aula.
SEMESTRE 2018-1
ANHANGUERA CAXIAS DO SULANHANGUERA CAXIAS DO SUL
Diretora Executiva da Unidade de Caxias do Sul: Profª. Ms. Érica Pacheco
Coordenadores: Profª. Drª. Caren Machado Menezes e 
Prof. Esp. Antônio Carlos Valente
Professora da Disciplina: Prof. Dr. Pedro Antonio Ourique