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GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES
 
VETORES
SURGIMENTO DA GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria, como ciência dedutiva, foi criada pelos gregos. Mas, apesar do seu brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega. E isto só iria ser conseguido mediante a Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não eram muito bons em álgebra. Mais do que isso, somente no século XVII a álgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a geometria.
Ocorre porém que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas simultâneas e independentes.
Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse, dedicava muitas de suas melhores horas de lazer à matemática, certamente não era porque faltasse, alguém em sua posição, outras maneiras de preencher o tempo disponível. Na verdade Fermat simplesmente não conseguia fugia à sua verdadeira vocação e, apesar de praticar matemática como hobby, nenhum de seus contemporâneos contribuiu tanto para o avanço desta ciência quanto ele. Além da geometria analítica, Fermat teve papel fundamental na criação do Cálculo Diferencial, do Cálculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos números, ramo da matemática que estuda as propriedades dos números inteiros.
A contribuição de Fermat à geometria analítica encontra-se num pequeno texto intitulado Introdução aos Lugares Planos e Sólidos e data no máximo, de 1636 mais que só foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. É que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analítica.
O interesse de Descartes pela matemática surgiu cedo, no “College de la Fleche”, escola do mais alto padrão, dirigida por jesuítas, na qual ingressará aos oito anos de idade. Mas por uma razão muito especial e que já revelava seus pendores filosóficos: a certeza que as demonstrações ou justificativas matemáticas proporcionam. Aos vinte e um anos de idade, depois de frequentar rodas matemáticas em Paris (além de outras) já graduado em Direito, ingressa voluntariamente na carreira das armas, uma das poucas opções “dignas” que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da França. Durante os quase nove anos que serviu em vários exércitos, não se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. É que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da ciência e da filosofia.
A Geometria Analítica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como um dos três apêndices do Discurso do método, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, em resumo, Descartes defende o método matemático como modelo para a aquisição de conhecimentos em todos os campos.
A Geometria Analítica, como é hoje, pouco se assemelha às contribuições deixadas por Fermat e Descartes. Inclusive sua marca mais característica, um par de eixos ortogonais, não usada por nenhum deles. Mais, cada um a seu modo, sabiam que a ideia central era associar equações a curvas e superfícies. Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notação algébrica.
TEXTO: HYGINO H. DOMINGUES
NOÇÃO INTUITIVA
GRANDEZAS FÍSICAS 
Podemos dizer de modo mais usual que grandeza é tudo aquilo que pode variar quantitativamente, ou seja qualquer fator que possa assumir dois ou mais valores numéricos.
Exemplo: peso, altura, velocidade, aceleração, força, etc. 
Existem dois tipos de grandezas físicas na natureza: grandezas escalares e grandezas vetoriais
1 GRANDEZAS ESCALARES
São aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real, acompanhado de uma unidade de medida.
Exemplos: massa, temperatura, comprimento, área, volume, etc
MASSA (kg) :um corpo com 24 kg de massa.
24 é o módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.
TEMPERATURA: a temperatura do ambiente é de 34 °C.
34 é o módulo da grandeza e °C (grau Celsius) a unidade de medida.
ÁREA: a área construída é de 200 m².
200 é o módulo da grandeza e m² (metro ao quadrado) a unidade de medida.
2 GRANDEZAS VETORIAIS
São grandezas que não ficam totalmente definidas apenas por um número real e sua unidade de medida. A grandeza vetorial, para ser bem caracterizada, necessita-se conhecer seu:
 1- MÓDULO (comprimento ou intensidade)
 2- DIREÇÃO (horizontal, vertical, norte, sul, leste, oeste)
 3- SENTIDO (direita ou esquerda, para cima ou para baixo, de A para B, de B para A, etc)
EXEMPLOS
VELOCIDADE: 
A velocidade indica movimento de um corpo. Se um corpo possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com uma certa velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. 
Por exemplo, uma bola sendo lançada para o alto com uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), assim a direção é vertical com sentido para cima e módulo igual a 12.
�
�
FORÇA
A força aplicada em um corpo possui uma intensidade (módulo), numa direção e num sentido.
Veja: uma força de intensidade 20N (Newtons), na direção horizontal com sentido para direita, está representada na figura a seguir:
�
Considere o gráfico abaixo. A seta descreve uma força de forma ascendente de 4 N, na direção que forma 60 graus com a horizontal.
Outras grandezas vetoriais:
CONCEITOS
1 RETA ORIENTADA (EIXO) – Uma reta r é orientada quando fixamos um sentido de percurso considerado positivo e é indicado por uma seta. 
 
 
 r
O sentido oposto é o negativo.
2 SEGMENTO ORIENTADO – Um segmento orientado é determinado por um par ordenado (A, B) de pontos, onde A é a ORIGEM e B é a EXTREMIDADE. Será representado por AB. 
 B
 A
Observe que se A ≠ B, então AB ≠ BA.
3 SEGMENTO NULO – É aquele cuja extremidade coincide com a origem, denotado por AA.
4 SEGMENTOS OPOSTOS – Se AB é um segmento orientado não nulo, o segmento orientado BA é o segmento oposto de AB.
 B
 B
 A
 
 A
5 MEDIDAS DE UM SEGMENTO - A medida do segmento orientado AB é o seu comprimento ou seu módulo, e é denotado por 
OBSERVAÇÕES:
Os segmentos nulos têm comprimento zero: 
Os segmentos opostos têm mesmo comprimento, ou seja,
6 DIREÇÃO E SENTIDO – Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se as retas suportes desses segmentos são paralelos ou coincidentes.
 B B
 DD
 
 A A
 C C
 AB // CD ( mesma direção e mesmo sentido AB // CD ( mesma direção e sentidos opostos 
 
 A B C D 
 AB ≡ CD ( mesma direção e mesmo sentido 
 A B D C 
 AB ≡ CD ( mesma direção e sentidos opostos 
7 SEGMENTOS EQUIPOLENTES – Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se um dos casos acontece:
Ambos são nulos;
Nenhum é nulo, e tem mesmo comprimento, mesmo sentido e mesma direção.
NOTAÇÃO: AB ~ CD
Segue da definição que:
AB e CD pertencem à mesma reta.
 A B C D AB ~ CD 
ou é necessário que AB // CD e AC // BD, ou seja, ABCD deve ser um paralelogramo.
PROPRIEDADES DA EQUIPOLÊNCIA
REFLEXIVA: AB ~ CD
SIMÉTRICA: AB ~ CD ( CD ~ AB
TRANSITIVA: AB ~ CD e CD ~ EF (AB ~ EF
8 VETOR
DEFINIÇÃO 1 – Um vetor determinado pelo segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB. Geralmente é denotado por 
ou 
ou B – A.
Assim, podemos representar o vetor 
simbolicamente por 
Onde XY é um segmento qualquer do conjunto.
OBSERVAÇÃO – As características de um vetor
 são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é:
O módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.
O módulo de 
 é indicado por |
| ou || 
 ||
8.1 VETOR NULO
Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, representado por 
.
8.2 VETORES OPOSTOS
Dado um vetor 
, o vetor 
 é o oposto de 
, indicado por -
ou –
. Portanto, 
 B B
 
 
 
 = 
 A A 
 = -
= 
8.3 VETOR UNITÁRIO
Dizemos que um vetor 
é unitário se |
| = 1.
8.4 VERSOR
O versor de um vetor não nulo 
é o vetor unitário de mesma direção e mesmo sentido de 
. Por exemplo, considere um vetor de módulo 3.
 
se |
| = 3 
se |
| = 1
se |
| = 1 
Os vetores 
e 
da figura são vetores unitários, pois ambos têm módulo 1. No entanto, apenas
tem a mesma direção e o mesmo sentido de
. Portanto
, é o versor de
.
8.5 VETORES IGUAIS
Dois vetores 
e 
são iguais se, e somente se, AB ~ CD, ou seja, tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
8.6 VETORES COLINEARES
Dois vetores não nulos 
 e 
 são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, se existem representantes AB e CD de 
 e 
, respectivamente que pertençam a uma mesma reta ou retas paralelas.
 
 
 
8.7 VETORES COPLANARES
Se os vetores
, 
 (o número de vetores não importa) possuem representantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano π , dizemos que eles são coplanares.
OBSERVAÇÃO: Dois vetores
 são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto P no espaço e, com a origem em P, podemos tomar dois vetores 
pertencentes a um plano π que passa por esse ponto.
Três vetores poderão ser ou não coplanares:
9 OPERAÇÕES COM VETORES
9.1 ADIÇÃO DE VETORES
Sejam os vetores 
representantes pelos segmentos orientados AB e BC. Os pontos A (origem do vetor
) e C (extremidade do vetor
) determinam um vetor
 que é, por definição, a soma dos vetores
, ou seja,
.
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
COMUTATIVA: 
ASSOCIATIVA: 
ELEMENTO NEUTRO: Existe um único vetor que somado a
 dá como resultado o próprio 
. É o vetor nulo, denotado por
.
 
VETOR OPOSTO: qualquer que seja o vetor 
, existe um só vetor –
tal que, somado com o vetor
, o resultado será o vetor nulo
, ou seja,
 
9.2 DIFERENÇA DE VETORES
Chama-se diferença de dois vetores
, a soma de
 com o oposto de
, ou seja,
 
MÉTODO PARA DETERMINAR O VETOR RESULTANTE DA SOMA DE DOIS VETORES
Existem dois métodos: o método gráfico e o analítico. Apresentaremos apenas o método gráfico. O método analítico será estudado mais à frente.
1 MÉTODO GRÁFICO – Dentro do método gráfico, podemos encontrar o vetor resultante de uma soma de dois vetores de duas formas:
1.1 REGRA DO POLÍGONO – Ligam-se os vetores através da ORIGEM do 1º vetor na EXTREMIDADE do último vetor.
Exemplo - Considere os vetores:
 
 
 
 
1.2 REGRA DO PARALELOGRAMO – Os dois vetores a serem somados devem estar unidos pela ORIGEM.
 
 
 
�
Considere os vetores 
.
Construímos o paralelogramo ABCD, onde A é a origem.
O vetor soma é representado pelo segmento orientado AD, pois:
�
�
Para a diferença entre
o resultado é o segmento orientado CB, pois:
�
Para o caso de se determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é o análogo.
OBSERVAÇÃO – Em particular, se a extremidade do último vetor coincidir com a origem do primeiro vetor, a soma deles será o vetor nulo. 
Considere os vetores 
.
 
 
 
 
Pela regra do polígono, temos 
9.2 MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR
Dado um vetor 
e um número real k ≠ 0, chama-se produto do número real k pelo vetor
, o vetor 
tal que:
(a) MÓDULO: |
| = |k|.|
|
Ou seja, o comprimento do vetor 
é igual ao comprimento do vetor
multiplicado por |k|.
 
 
 
(b) DIREÇÃO: 
 //
 (mesma direção)
(c) SENTIDO: 
 e
têm o mesmo sentido se k > 0 e sentidos opostos se k < 0.
 
 
 
 
 
OBS: Se k = 0 ou 
=
, o produto é o vetor nulo
.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO POR UM NÚMERO REAL (OU ESCALAR)
Se 
são vetores quaisquer e a e b números reais, temos:Associativa: a(b
) = (ab) 
Distributiva em relação a adição de escalares: (a + b) 
 = a
 + b
Distributiva em relação à adição de vetores: a(
 + 
) = a
+ a
Identidade: 1
 = 
EXERCÍCIOS
1- O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores AB e AD, sendo M e N pontos médios dos lados DC e AB, respectivamente. Encontre o vetor resultante.
�
(a) 
 (b) 
 
(c) 
 (d) 
 
(e) 
 (f) 
�
2- Com base na figura abaixo, constituída de quadrados congruentes (mesmo tamanho), determinar os vetores abaixo, expressando coma origem no ponto A.
3- Dados os vetores 
não paralelos, construir no mesmo gráfico os vetores 
3- Provar que as diagonais de um paralelogramo ABCD tem o mesmo ponto médio.
4 - Com base na figura abaixo, constituída de quadrados congruentes (mesmo tamanho), decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações.
VETORES
VETORES
� p. �PAGE \* MERGEFORMAT�4� - Geometria analítica – engenharia civil – 2018/1
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