AP1 GP 2016.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Na figura temos AB = AC, BX = BY e CZ = CY . Se a medida do aˆngulo
 e´ 40◦, quanto mede o aˆngulo XŶ Z. Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: O triaˆngulo ABC e´ iso´sceles de base BC, ja´ que AB = AC. Como m(Â) = 40◦ e os
aˆngulos m(B̂) e m(ĉ) sa˜o iguais, enta˜o
m(AB̂C) = m(AĈB) =
180◦ − 40◦
2
=
140◦
2
= 70◦
De maneira ana´loga XBY e´ um triaˆngulo iso´sceles pois BX = BY e como m(B̂) = 70◦, enta˜o
m(BX̂Y ) = m(BŶ X) =
180◦ − 70◦
2
=
110◦
2
= 55◦
O mesmo vale para o triaˆngulo CZY , com m(Ĉ) = 70◦ e m(CẐY ) = m(CŶ Z) = 55◦.
Logo m(XŶ Z) = 180◦ − 55◦ − 55◦ = 180◦ − 110◦ = 70◦.
Questa˜o 2 [2 pts]: Um jovem utilizou varetas de madeira e construiu, no cha˜o plano de uma quadra,
a figura abaixo.
E´ sabido que as varetas r e s sa˜o paralelas e os aˆngulos indicados foram marcados pelo jovem. Qual
a relac¸a˜o que indica corretamente o valor da medida do aˆngulo x com a medida dos aˆngulos α, β, θ
e γ? Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o:
Considere a figura dada, trace na figura as retas t, u e v paralelas a reta r e denote os pontos de
A,B e C, conforme figura:
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Como as retas sa˜o paralelas usando os
aˆngulos alternos internos que sa˜o congruentes
e que aˆngulos opostos pelo ve´rtice sa˜o iguais,
temos que x = α + β + γ + θ.
Questa˜o 3 [2 pts]: Um pol´ıgono regular convexo tem o seu nu´mero de diagonais expresso por
n2 − 10n + 8, onde n e´ o seu nu´mero de lados. Determine a medida do aˆngulo interno desse
pol´ıgono.
Soluc¸a˜o: Do enunciado temos que o nu´mero de diagonais do pol´ıgono regular convexo e´
d = n2 − 10n+ 8 (1)
onde n e´ o nu´mero de lados desse pol´ıgono. Mas
d =
n(n− 3)
2
(2)
De (1) e (2) vem:
n2 − 10n+ 8 = n(n− 3)
2
⇒ 2n2 − 20n+ 16 = n2 − 3n ⇒ n2 − 17n+ 16 = 0
Resolvendo a equac¸a˜o do segundo grau:
n =
17± √172 − 4 · 16
2
=
17±√289− 64
2
=
17±√225
2
=

17 + 15
2
= 16
17− 15
2
= 1(na˜o serve)
Logo o aˆngulo interno do pol´ıgono regular de 16 lados e´
Ai =
180◦(n− 2)
16
=
180◦ · 14
16
=
45◦ · 14
4
=
45◦ · 7
2
=
315◦
2
= 157◦30′
Questa˜o 4 [2 pts]: Num c´ırculo duas cordas AB e CD se interceptam no ponto I interno ao
c´ırculo. O aˆngulo DÂI mede 40◦ e o aˆngulo CB̂I mede 60◦. Os prolongamentos de AD e CB
encontram-se num ponto P externo ao c´ırculo. Determine a medida do aˆngulo AP̂C.
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Soluc¸a˜o: Considere o c´ırculo conforme o enunciado onde duas cordas AB e CD se interceptam em
I. Temos por hipo´tese que m(DÂI) = 40◦ e m(CB̂I) = 60◦. Prolongue DA e BC que se encontra
no ponto P externo ao c´ırculo.
Observe que:
60◦ =
m(
_
AC)
2
⇒ m(
_
AC) = 120◦
40◦ =
m(
_
BD)
2
⇒ m(
_
BD) = 80◦
Como AP̂C e´ aˆngulo exceˆntrico externo
m(AP̂C) =
m(
_
AC)−m(
_
BD)
2
=
120◦ − 80◦
2
=
40◦
2
= 20◦
Questa˜o 5 [2 pts]: O retaˆngulo ABCD foi dividido em nove retaˆngulos menores, alguns deles com
seus per´ımetros indicados na figura. O per´ımetro do retaˆngulo ABCD e´ 54 cm. Qual e´ o per´ımetro
do retaˆngulo hachurado?
Soluc¸a˜o: Denote as dimenso˜es dos retaˆngulos por a, b, c, d, e f .
Enta˜o, temos os per´ımetros:
2b+ 2d = 16
2a+ 2e = 18
2b+ 2f = 26
2c+ 2e = 14
O per´ımetro pedido e´: 2b+ 2e.
O per´ımetro do retaˆngulo ABCD e´
2(a+ b+ c) + 2(d+ e+ f) = 54 ⇒ 2a+ 2b+ 2c+ 2d+ 2e+ 2f = 54 (1)
Somando os per´ımetros dos quatro retaˆngulos ao redor do retaˆngulo central vem:
2b+2d+2a+2e+2b+2f+2c+2e = 2a+2b+2c+2d+2e+2f+2b+2e = 16+18+14+26 (2)
Substituindo (1) em (2) vem
54 + 2b+ 2e = 74 ⇒ 2b+ 2e = 20
Portanto o per´ımetro do retaˆngulo hachurado e´ 20 cm.
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