Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Geometria Plana – AP1 – Gabarito Questa˜o 1 [2 pts]: Considere a figura ao lado, onde A,B e D sa˜o colineares. Classifique em verdadeiro(V) ou falso (F), justificando cada uma das suas respostas. a) ( ) O triaˆngulo ABC e´ equila´tero. b) ( ) O triaˆngulo ABC e´ iso´sceles. c) ( ) O triaˆngulo ACD e´ iso´sceles. d) ( ) O triaˆngulo ACD e´ equila´tero. e) ( ) α− (γ + β) e´ divis´ıvel por 2. Soluc¸a˜o: a) Verdadeiro, pois no ∆ABC 60◦ + 60◦ + θ = 180◦ ⇒ θ = 180◦ − 120◦ ⇒ θ = 60◦. Da´ı o triaˆngulo ABC e´ equila´tero. b) Verdadeiro, pois m(CB̂A) = m(CÂB) = 60◦, logo o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles. c) Verdadeiro, pois α + 60◦ = 180◦ ⇒ α = 180◦ − 60◦ = 120◦. Temos θ + β + 90◦ = 180◦ ⇒ β = 180◦ − 90◦ − 60◦ = 180◦ − 150◦ ⇒ β = 30◦. No ∆ACD, α + β + γ = 180◦ ⇒ γ = 180◦ − 120◦ − 30◦ = 180◦ − 150◦ = 30◦. Da´ı o triaˆngulo ACD e´ iso´sceles. d) Falso, pois α = 120◦ 6= 60◦. e) Verdadeiro, pois α − (γ + β) = 120◦ − (30◦ + 30◦) = 120◦ − 60◦ = 60◦ que e´ divisivel por 2. Questa˜o 2 [2 pts]: Na figura B e D sa˜o pontos da circunfereˆncia de centro O de diaˆmetro AC, M e´ o ponto me´dio da corda AD e o aˆngulo AB̂M mede 35◦. Determine a medida de x. Justifique suas respostas. Geometria Plana – Gabarito AP1 2 Soluc¸a˜o: Considere a figura dada: m(AB̂M) = 35◦, O e´ o centro da circunfereˆncia de diaˆmetro AC, M e´ o ponto me´dio de AD. Prolongando BM ate´ a circunfereˆncia encontramos o ponto M ′. m( _ AM ′) = m( _ M ′D), pois M e´ o ponto me´dio de AD. Mas m( _ AM ′) 2 = 35◦ ⇒ m( _ AM ′) = 70◦. Temos ainda que m( _ AM ′) +m( _ AB) = 180◦ ⇒ m( _ AB) = 180◦ − 70◦ = 110◦. Como OA = OB = R, R e´ o raio da circunfereˆncia, enta˜o o triaˆngulo AOB e´ iso´sceles de base AB. Logo m(OÂB) = 35◦. Da´ı m( _ BC) = 70◦. Portanto m( _ DC) = 360◦ − 110◦ − 3 · 70◦ = 360◦ − 320◦ = 40◦. Como x = m( _ DC) 2 = 40◦ 2 , concluimos que x = 20◦. Questa˜o 3 [2 pts]: Na figura, o quadrila´tero ABCD e´ um paralelogramo. Determine os valores de α, β e γ. Justifique suas respostas. Soluc¸a˜o: Temos que o quadrila´tero ABCD e´ um paralelogramo 50◦ + β = 180◦ ⇒ β = 130◦ α + β = 180◦ ⇒ α = 180◦ − 130◦ ⇒ α = 50◦ A soma dos aˆngulos internos de penta´gono e´ S = 180◦(5− 2) = 180◦ · 3 = 540◦ No penta´gono temos 540◦ = Â+ B̂ + Ĉ + Ê + F̂ , enta˜o 540◦ = 44◦ + 50◦ + β + 2 α + 2 γ ⇒ 2γ = 540◦ − (94◦ + 130◦ + 100◦) = 540◦ − 324◦ 2γ = 216◦ ⇒ γ = 216 ◦ 2 = 108◦ Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Geometria Plana – Gabarito AP1 3 Questa˜o 4 [2 pts]: O nu´mero de lados de dois pol´ıgonos convexos sa˜o consecutivos e um deles tem 14 diagonais a mais que o outro. Determine o nu´mero de lados dos dois pol´ıgonos. Soluc¸a˜o: Considere n e n+ 1 os lados de dois pol´ıgonos de diagonais d e d1, respectivamente, onde d1 > d. enta˜o d = n(n− 3) 2 e d1 = (n+ 1)[(n+ 1)− 3] 2 = (n+ 1)(n− 2) 2 . Do enunciado temos que d1 − d = 14, enta˜o (n+ 1)(n− 2) 2 − n(n− 3) 2 = 14 ⇒ (n+ 1)(n− 2)− n(n− 3) = 28 n2 + n− 2n− 2− n2 + 3n = 28 ⇒ 2n = 30 ⇒ n = 15 Da´ı os dois pol´ıgonos tem 15 e 16 lados, ou seja, pentadeca´gono e hexadeca´gono. Questa˜o 5 [2 pts]: Considere O o ortocentro de um triaˆngulo iso´sceles de base AB. Sabendo que o aˆngulo AÔB mede 110◦: a) mostre que os triaˆngulos AHaB e BHbA sa˜o conguentes, b) determine os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC. Soluc¸a˜o: Seja o triaˆngulo ABC iso´sceles de base AB e O o ortocentro desse triaˆngulo. Seja BHb e AHa as alturas relativas aos lados AC e BC, respectivamente. a) Temos que ∆AHaB ≡ ∆BHbA, pelo caso LAAo, pois AB lado comum AĤaB = BĤbA = 90 ◦ CÂB = CB̂A(triaˆngulo ABC iso´sceles) Observe que, a partir da congrueˆncia acima, podemos concluir que m(AHa) = m(BHb). Outra soluc¸a˜o: Temos que ∆AHaC ≡ ∆BHbC, pelo caso LAAo, pois AC = BC triaˆngulo ABC iso´sceles) AĤaC = BĤbC = 90 ◦ AĈHa = BĈHb(aˆngulo comum) Observe que, a partir da congrueˆncia acima, podemos concluir que m(AHa) = m(BHb). Logo ∆AHaB ≡ ∆BHbA, pelo caso especial pois AB lado comum - hipotenusa AĤaB = BĤbA = 90 ◦(triaˆngulos retaˆngulos) AHa = BHb(catetos) b) Como m(AÔB) = 110◦ e ∆AHaB ≡ ∆BHbA, enta˜o HaÂB = HbB̂A = 180◦ − 110◦ 2 = 35◦ e o aˆngulo externo de um triaˆngulo e´ 110◦ = 90◦ +HbÂHa → HbÂHa = 110◦ − 90◦ = 20◦ De forma ana´loga HaB̂Hb = 20 ◦. Da´ı AĈB = 180◦ − 55◦ − 55◦ = 70◦. Portanto os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC sa˜o 55◦, 55◦ e 70◦. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar