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AP1 GP 2017.2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questa˜o 1 [2 pts]: Considere a figura ao lado, onde A,B e D sa˜o colineares.
Classifique em verdadeiro(V) ou falso (F),
justificando cada uma das suas respostas.
a) ( ) O triaˆngulo ABC e´ equila´tero.
b) ( ) O triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
c) ( ) O triaˆngulo ACD e´ iso´sceles.
d) ( ) O triaˆngulo ACD e´ equila´tero.
e) ( ) α− (γ + β) e´ divis´ıvel por 2.
Soluc¸a˜o:
a) Verdadeiro, pois no ∆ABC 60◦ + 60◦ + θ = 180◦ ⇒ θ = 180◦ − 120◦ ⇒ θ = 60◦. Da´ı o
triaˆngulo ABC e´ equila´tero.
b) Verdadeiro, pois m(CB̂A) = m(CÂB) = 60◦, logo o triaˆngulo ABC e´ iso´sceles.
c) Verdadeiro, pois α + 60◦ = 180◦ ⇒ α = 180◦ − 60◦ = 120◦. Temos θ + β + 90◦ = 180◦ ⇒
β = 180◦ − 90◦ − 60◦ = 180◦ − 150◦ ⇒ β = 30◦. No ∆ACD, α + β + γ = 180◦ ⇒ γ =
180◦ − 120◦ − 30◦ = 180◦ − 150◦ = 30◦. Da´ı o triaˆngulo ACD e´ iso´sceles.
d) Falso, pois α = 120◦ 6= 60◦.
e) Verdadeiro, pois α − (γ + β) = 120◦ − (30◦ + 30◦) = 120◦ − 60◦ = 60◦ que e´ divisivel por
2.
Questa˜o 2 [2 pts]: Na figura B e D sa˜o pontos da circunfereˆncia
de centro O de diaˆmetro AC, M e´ o ponto me´dio da corda AD e
o aˆngulo AB̂M mede 35◦.
Determine a medida de x.
Justifique suas respostas.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Soluc¸a˜o: Considere a figura dada:
m(AB̂M) = 35◦, O e´ o centro da circunfereˆncia de diaˆmetro AC,
M e´ o ponto me´dio de AD.
Prolongando BM ate´ a circunfereˆncia encontramos o ponto M ′.
m(
_
AM ′) = m(
_
M ′D), pois M e´ o ponto me´dio de AD.
Mas
m(
_
AM ′)
2
= 35◦ ⇒ m(
_
AM ′) = 70◦.
Temos ainda que m(
_
AM ′) +m(
_
AB) = 180◦ ⇒ m(
_
AB) = 180◦ − 70◦ = 110◦.
Como OA = OB = R, R e´ o raio da circunfereˆncia, enta˜o o triaˆngulo AOB e´ iso´sceles de
base AB. Logo m(OÂB) = 35◦. Da´ı m(
_
BC) = 70◦. Portanto
m(
_
DC) = 360◦ − 110◦ − 3 · 70◦ = 360◦ − 320◦ = 40◦.
Como x =
m(
_
DC)
2
=
40◦
2
, concluimos que x = 20◦.
Questa˜o 3 [2 pts]:
Na figura, o quadrila´tero ABCD e´ um paralelogramo.
Determine os valores de α, β e γ.
Justifique suas respostas.
Soluc¸a˜o: Temos que o quadrila´tero ABCD e´ um paralelogramo
50◦ + β = 180◦ ⇒ β = 130◦
α + β = 180◦ ⇒ α = 180◦ − 130◦ ⇒ α = 50◦
A soma dos aˆngulos internos de penta´gono e´
S = 180◦(5− 2) = 180◦ · 3 = 540◦
No penta´gono temos 540◦ = Â+ B̂ + Ĉ + Ê + F̂ , enta˜o
540◦ = 44◦ + 50◦ + β + 2 α + 2 γ ⇒ 2γ = 540◦ − (94◦ + 130◦ + 100◦) = 540◦ − 324◦
2γ = 216◦ ⇒ γ = 216
◦
2
= 108◦
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Questa˜o 4 [2 pts]: O nu´mero de lados de dois pol´ıgonos convexos sa˜o consecutivos e um deles
tem 14 diagonais a mais que o outro. Determine o nu´mero de lados dos dois pol´ıgonos.
Soluc¸a˜o: Considere n e n+ 1 os lados de dois pol´ıgonos de diagonais d e d1, respectivamente, onde
d1 > d. enta˜o d =
n(n− 3)
2
e d1 =
(n+ 1)[(n+ 1)− 3]
2
=
(n+ 1)(n− 2)
2
.
Do enunciado temos que d1 − d = 14, enta˜o
(n+ 1)(n− 2)
2
− n(n− 3)
2
= 14 ⇒ (n+ 1)(n− 2)− n(n− 3) = 28
n2 + n− 2n− 2− n2 + 3n = 28 ⇒ 2n = 30 ⇒ n = 15
Da´ı os dois pol´ıgonos tem 15 e 16 lados, ou seja, pentadeca´gono e hexadeca´gono.
Questa˜o 5 [2 pts]: Considere O o ortocentro de um triaˆngulo
iso´sceles de base AB. Sabendo que o aˆngulo AÔB mede 110◦:
a) mostre que os triaˆngulos AHaB e BHbA sa˜o conguentes,
b) determine os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC.
Soluc¸a˜o:
Seja o triaˆngulo ABC iso´sceles de base AB e O o ortocentro desse triaˆngulo. Seja BHb e AHa as
alturas relativas aos lados AC e BC, respectivamente.
a) Temos que ∆AHaB ≡ ∆BHbA, pelo caso LAAo, pois

AB lado comum
AĤaB = BĤbA = 90
◦
CÂB = CB̂A(triaˆngulo ABC iso´sceles)
Observe que, a partir da congrueˆncia acima, podemos concluir que m(AHa) = m(BHb).
Outra soluc¸a˜o:
Temos que ∆AHaC ≡ ∆BHbC, pelo caso LAAo, pois

AC = BC triaˆngulo ABC iso´sceles)
AĤaC = BĤbC = 90
◦
AĈHa = BĈHb(aˆngulo comum)
Observe que, a partir da congrueˆncia acima, podemos concluir que m(AHa) = m(BHb).
Logo ∆AHaB ≡ ∆BHbA, pelo caso especial pois

AB lado comum - hipotenusa
AĤaB = BĤbA = 90
◦(triaˆngulos retaˆngulos)
AHa = BHb(catetos)
b) Como m(AÔB) = 110◦ e ∆AHaB ≡ ∆BHbA, enta˜o
HaÂB = HbB̂A =
180◦ − 110◦
2
= 35◦ e
o aˆngulo externo de um triaˆngulo e´
110◦ = 90◦ +HbÂHa → HbÂHa = 110◦ − 90◦ = 20◦
De forma ana´loga HaB̂Hb = 20
◦.
Da´ı AĈB = 180◦ − 55◦ − 55◦ = 70◦.
Portanto os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC sa˜o 55◦, 55◦ e 70◦.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ

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