prova calculo 1 periodo

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o Ia)
In´ıcio: 7:00 Te´rmino: 8:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Considere os pontos A = (0, 4) e B = (3, 6). Determine os pontos do conjunto
{(x, y) ∈ R2| x2 = y}, equidistantes de A e de B.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = x(x2 − 1) e g(x) = −3(x− 3)(x− 5).
A figura abaixo mostra o retaˆngulo ABCD, em que A =
(
3
2
, 0
)
, D pertence ao gra´fico de f
e C pertence ao gra´fico de g.
0 A
D 
B
C
Sabendo que a distaˆncia entre A e B e´ maior do que
5
2
, determine:
(a) As coordenadas do ponto C.
(b) A a´rea do retaˆngulo ABCD.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma para´bola. Sabendo que f(x) = 0 se e somente se x = −1
ou x = 4, e que f(0) = −2, determine:
(a) a expressa˜o de f ;
(b) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [−1, xv], onde xv e´ a primeira coordenada do
ve´rtice da para´bola.
(c) a imagem de f ;
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 21 e altura 42. Um triaˆngulo ABC, iso´sceles, com |AC| = |CB|,
de a´rea 12, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre
a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o Ib)
In´ıcio: 7:00 Te´rmino: 8:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Considere os pontos A = (0, 5) e B = (3, 8). Determine os pontos do conjunto
{(x, y) ∈ R2| x2 = y}, equidistantes de A e de B.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) =
x
2
(x2 − 1) e g(x) = −3(x− 3)(x− 5).
A figura abaixo mostra o retaˆngulo ABCD, em que A =
(
3
2
, 0
)
, D pertence ao gra´fico de f
e C pertence ao gra´fico de g.
0 A
D 
B
C
Sabendo que a distaˆncia entre A e B e´ maior do que
5
2
, determine:
(a) As coordenadas do ponto C.
(b) A a´rea do retaˆngulo ABCD.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma para´bola. Sabendo que f(x) = 0 se e somente se x = −1
ou x = 6, e que f(0) = −4, determine:
(a) a expressa˜o de f ;
(b) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [−1, xv], onde xv e´ a primeira coordenada do
ve´rtice da para´bola.
(c) a imagem de f ;
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 19 e altura 38. Um triaˆngulo ABC, iso´sceles, com |AC| = |CB|,
de a´rea 10, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre
a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o IIa)
In´ıcio: 9:00 Te´rmino: 10:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Considere os pontos A = (0, 7) e B = (3, 5). Seja f : [0,∞) → R, dada por f(x) = 5√x.
Determine os pontos do gra´fico de f , equidistantes de A e de B.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −x(x2 − 1) e g(x) = −3(x− 3)(x− 5).
A figura abaixo mostra o retaˆngulo ABCD, em que A =
(
3
2
, 0
)
, B pertence ao gra´fico de f
e C pertence ao gra´fico de g.
0 A
B
C
D
Sabendo que a distaˆncia entre A e D e´ maior do que
5
2
, determine:
(a) As coordenadas do ponto C.
(b) A a´rea do retaˆngulo ABCD.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma para´bola. Sabendo que f(x) = 0 se e somente se x = −1
ou x = 5, e que f(0) = 3, determine:
(a) a expressa˜o de f ;
(b) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [xv, 5], onde xv e´ a primeira coordenada do
ve´rtice da para´bola.
(c) a imagem de f ;
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 23 e altura 44. Um triaˆngulo ABC, iso´sceles, com |AC| = |CB|,
de a´rea 14, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre
a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o IIb)
In´ıcio: 9:00 Te´rmino: 10:45
Nome:
Matr´ıcula:Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Considere os pontos A = (0, 7) e B = (3, 5). Seja f : [0,∞) → R, dada por f(x) = 6√x.
Determine os pontos do gra´fico de f , equidistantes de A e de B.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −x
2
(x2 − 1) e g(x) = −3(x− 3)(x− 5).
A figura abaixo mostra o retaˆngulo ABCD, em que A =
(
3
2
, 0
)
, B pertence ao gra´fico de f
e C pertence ao gra´fico de g.
0 A
B
C
D
Sabendo que a distaˆncia entre A e D e´ maior do que
5
2
, determine:
(a) As coordenadas do ponto C.
(b) A a´rea do retaˆngulo ABCD.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma para´bola. Sabendo que f(x) = 0 se e somente se x = −1
ou x = 7, e que f(0) = 4, determine:
(a) a expressa˜o de f ;
(b) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [xv, 7], onde xv e´ a primeira coordenada do
ve´rtice da para´bola.
(c) a imagem de f ;
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 17 e altura 36. Um triaˆngulo ABC, iso´sceles, com |AC| = |CB|,
de a´rea 8, deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre
a base do retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o IIIa)
In´ıcio: 11:00 Te´rmino: 12:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −5x+ 5 e g(x) = 2 x2 − 22 x+ 59.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o valor de x que minimiza o comprimento do segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : (0,∞)→ R dadas por
f(x) =
6
5
x2 e g(x) =
5
x2
+ 1.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto A e´
√
6
2
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
0
Determine:
(a) As coordenadas do ponto B.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f a func¸a˜o cujo gra´fico e´ o semic´ırculo superior de centro (pi, pi) e raio 2.
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Determine a expressa˜o de f .
(c) Determine a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [pi, pi + 2].
Questa˜o 4
Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D sa˜o fixos e o ponto P deve ser localizado no segmento
de reta BD. Seja x a distaˆncia de B a P e seja L o comprimento total de um cabo que liga
P aos pontos A, C e D , isto e´ L = |AP |+ |CP |+ |DP |.
P
A
B
C
D
m
m
m
7
3, 4
4
(a) Deˆ o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o que fornece o comprimento L em termos de x.
(c) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,04 para o valor de x que minimiza L.
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o IIIb)
In´ıcio: 11:00 Te´rmino: 12:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −7x+ 5 e g(x) = 2 x2 − 22 x+ 59.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o valor de x que minimiza o comprimento do segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : (0,∞)→ R dadas por
f(x) =
6
5
x2 e g(x) =
5
x2
+ 1.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto A e´
√
5
2
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
0
Determine:
(a) As coordenadas do ponto B.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f a func¸a˜o cujo gra´fico e´ o semic´ırculo superior de centro (2, 2) e raio pi.
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Determine a expressa˜o de f .
(c) Determine a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [2, pi + 2].
Questa˜o 4
Na figura abaixo, os pontos A, B, C e D sa˜o fixos e o ponto P deve ser localizado no segmento
de reta AD. Seja x a distaˆncia de P a D e seja L o comprimento total de um cabo que liga
P aos pontos A, C e D , isto e´ L = |AP |+ |BP |+ |CP |.
A
P
B D C2, 2 m 3 m
5 m
(a) Deˆ o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o que fornece o comprimento L em termos de x.
(c) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,04 para o valor de x que minimiza L.
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10de setembro de 2012 (versa˜o IVa)
In´ıcio: 13:00 Te´rmino: 14:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = 7 x+ 10 e g(x) = −2x2 + 20x− 37.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o comprimento do menor segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : (0,∞)→ R dadas por
f(x) =
6
5
x2 e g(x) =
5
x2
+ 1.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto A e´
√
6
2
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
0
Determine:
(a) As coordenadas do ponto B.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ um semic´ırculo inferior. Sabendo que f tem ma´ximo em
x1 = pi − 2 e em x2 = pi + 2, e que o valor mı´nimo de f e´ pi − 2, determine:
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Determine a expressa˜o de f .
(c) Determine a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [pi, pi + 2].
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 27 e altura 48. Um triaˆngulo ABC, retaˆngulo, de a´rea 16,
deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre a base do
retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
.
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o IVb)
In´ıcio: 13:00 Te´rmino: 14:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = 8 x+ 11 e g(x) = −2x2 + 19x− 37.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o comprimento do menor segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : (0,∞)→ R dadas por
f(x) =
6
5
x2 e g(x) =
5
x2
+ 1.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto A e´
√
5
2
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
0
Determine:
(a) As coordenadas do ponto B.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ um semic´ırculo inferior. Sabendo que f tem ma´ximo em
x1 = 2− pi e em x2 = 2 + pi, e que o valor mı´nimo de f e´ 2− pi, determine:
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Determine a expressa˜o de f .
(c) Determine a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [2, pi + 2].
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 25 e altura 46. Um triaˆngulo ABC, retaˆngulo, de a´rea 14,
deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre a base do
retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
.
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o Va)
In´ıcio: 15:00 Te´rmino: 16:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −7 x2 − 70 x− 63 e g(x) = 4 x2 − 44 x+ 115.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o comprimento do menor segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : [0,∞)→ R dadas por
f(x) =
20
33
x2 − 80
33
e g(x) =
(
−x+ 11
2
)3
− 3.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto B e´
9
2
;
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
O
Determine:
(a) As coordenadas do ponto A.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ um semic´ırculo superior. Sabendo que f tem mı´nimo em
x1 = 0 e em x2 = 4
√
3, e que o valor ma´ximo de f e´ 7
√
3, determine:
(a) o domı´nio e a imagem de f ;
(b) a expressa˜o de f ;
(c) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [0, 3].
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 21 e altura 36. Um triaˆngulo ABC, retaˆngulo, de a´rea 12,
deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre a base do
retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
.
(a) Determine o domı´nio e aexpressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA PUC-RIO
CICLO BA´SICO DO CTC
MAT1157 – Ca´lculo a uma Varia´vel A
G1 10 de setembro de 2012 (versa˜o Vb)
In´ıcio: 15:00 Te´rmino: 16:45
Nome:
Matr´ıcula: Turma:
Questa˜o Valor Grau Revisa˜o
1a 1, 5
2a 2, 0
3a 1, 5
4a 2, 0
Prova 7, 0
Teste 3, 0
G1 10, 0
• Esta prova tera´ a durac¸a˜o de 1 hora e 45 minutos.
• E´ proibido manter celular ligado na sala de provas; na˜o e´ permitido usar calculadora;
na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova a na˜o ser quando for entrega´-la apo´s
decorridos os primeiros trinta minutos iniciais. Mantenha a prova grampeada; voceˆ
pode fazer a prova a la´pis mas deˆ a resposta a caneta.
• Ao resolver as questo˜es esteja atento para os seguintes aspectos:
– O plano geral da resoluc¸a˜o deve estar claro.
– As justificativas da resoluc¸a˜o precisam ser fornecidas; respostas na˜o justificadas
na˜o sera˜o consideradas.
– Quando usar o Maple na resoluc¸a˜o de alguma questa˜o, deixe isto claro fornecendo
os comandos de entrada no programa, a resposta dada pelo programa e o que esta
lhe permitiu concluir.
– Explicite suas respostas. Questo˜es sem as devidas respostas na˜o sera˜o
consideradas.
Questa˜o 1
Sejam as func¸o˜es f : R→ R e g : R→ R dadas por
f(x) = −7x2 − 77 x− 126 e g(x) = 4 x2 − 44 x+ 115.
Para cada x ∈ R, considere o segmento de reta vertical com extremos nos pontos P = (x, f(x))
e Q = (x, g(x)). Determine o comprimento do menor segmento PQ.
Questa˜o 2
Sejam as func¸o˜es f : [0,∞)→ R e g : [0,∞)→ R dadas por
f(x) =
20
11
x2 − 80
11
e g(x) = 3
(
−x+ 11
2
)3
− 9.
Considere os pontos A, B e C,
na figura ao lado, tais que:
! A primeira coordenada do
ponto B e´
9
2
;
! O segmento AB e´ paralelo ao
eixo-x.
! C e´ o ponto de intersec¸a˜o dos
gra´ficos de f e g.
A B
C
O
Determine:
(a) As coordenadas do ponto A.
(b) A a´rea do triaˆngulo de ve´rtices A, B e C.
Questa˜o 3
Seja f uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ um semic´ırculo superior. Sabendo que f tem mı´nimo em
x1 = 0 e em x2 = 4
√
5, e que o valor ma´ximo de f e´ 7
√
5, determine:
(a) o domı´nio e a imagem de f ;
(b) a expressa˜o de f ;
(c) a taxa me´dia de variac¸a˜o de f no intervalo [0, 5].
Questa˜o 4
Seja R um retaˆngulo de base 15 e altura 34. Um triaˆngulo ABC, retaˆngulo, de a´rea 10,
deve ser constru´ıdo dentro do retaˆngulo R, de forma que sua base AB fique sobre a base do
retaˆngulo R. Seja x = |AB|.
A B
C
.
(a) Determine o domı´nio e a expressa˜o da func¸a˜o P que fornece o per´ımetro do triaˆngulo
ABC, em termos de x.
(b) Deˆ uma aproximac¸a˜o com erro menor do que 0,03 para o valor de x que minimiza P (x).