Teoria Das Estruturas II

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Arthur Rosinski do Nascimento
Teoria das estruturas II 
Catalogação elaborada pelo Setor de Referência da Biblioteca Central UNIUBE
 Nascimento, Arthur Rosinski do. 
N17t Teoria das estruturas II / Arthur Rosinski do Nascimento. – 
Uberaba: Universidade de Uberaba, 2016.
213 p. : il. 
 Programa de Educação a Distância – Universidade de Uberaba. 
 ISBN: 978-85-7777-568-2
 
1. Teoria das estruturas. 2. Estruturas estaticamente 
indeterminadas. I. Universidade de Uberaba. Programa de 
Educação a Distância. II. Título. 
 CDD 624.171
© 2017 by Universidade de Uberaba
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Edição
Universidade de Uberaba
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Arthur Rosinski do Nascimento
Possuo graduação em Engenharia Civil pela Universidade Estadual 
de Maringá (2011). Sou especialista em Gerenciamento de Projetos 
pela Universidade Estadual de Maringá (2013). Atualmente, estou 
cursando mestrado em Engenharia Civil, na área de Estruturas, pela 
Universidade estadual de Maringá (início em 2015).
Sobre o autor
Sumário
Capítulo 1 Apresentação do método dos deslocamentos ...............9
1.1 Método dos deslocamentos ............................................................................. 11
1.1.1 Exemplo de aplicação 1 (MARTHA, 2010) ............................................ 19
Capítulo 2 Método dos deslocamentos com simplificações de 
deslocabilidades................................................................................29
2.1 Simplificações de deslocabilidades ................................................................. 30
2.1.1 Exemplo de aplicação 2 (SUSSEKIND, 1987) ...................................... 40
2.1.2 Exemplo de aplicação 3 (SORIANO, 2006) .......................................... 48
Capítulo 3 Método dos deslocamentos aplicado em pórticos planos .....59
3.1 Exemplos de aplicação em pórticos planos .................................................... 60
3.1.1 Exemplo de aplicação 4 (MARTHA, 2010) ............................................ 60
Capítulo 4 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas .........81
4.1 Método dos deslocamentos aplicado em grelhas ........................................... 82
4.1.1 Incógnitas do problema .......................................................................... 82
4.1.2 Número de incógnitas – Deslocabilidade interna .................................. 83
4.1.3 Número de incógnitas – Deslocabilidade externa ................................. 84
4.1.4 Grandezas Fundamentais ...................................................................... 84
4.1.5 Exemplo de aplicação 5 (MARTHA, 2010) ............................................ 85
4.1.6 Exemplo de aplicação 6 (SUSSEKIND, 1987) ...................................... 98
Capítulo 5 Método dos deslocamentos aplicados em barras 
inclinadas e barras com rigidez infinita .............................................115
5.1 Método dos deslocamentos aplicado a barras inclinadas .............................. 116
5.1.1 Exemplo de aplicação 7 (MARTHA, 2010) ............................................ 117
5.2 Método dos deslocamentos aplicado a barras infinitamente rígidas .............. 127
Capítulo 6 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com 
deslocamentos prescritos .................................................................139
6.1 Método dos deslocamentos aplicado em estruturas com deslocamentos 
prescritos ................................................................................................................ 140
6.1.1 Exemplo de aplicação 9 (OLIVEIRA JÚNIOR) ...................................... 141
6.1.2 Exemplo de aplicação 10 (OLIVEIRA JÚNIOR) .................................... 152
Capítulo 7 Processo de cross ..........................................................165
7.1 Processo de cross ........................................................................................... 166
7.1.1 Exemplo de aplicação 11 (SORIANO, 2006) ......................................... 178
7.1.2 Exemplo de aplicação 12 (SORIANO, 2006) ........................................ 183
Capítulo 8 Introdução à análise matricial de estrutura – método da 
rigidez direta ......................................................................................189
8.1.1 Sistema de Coordenadas Generalizadas .............................................. 191
8.1 Método da rigidez direta .................................................................................. 191
8.1.2 Matriz de rigidez de uma barra no sistema local ................................... 192
8.1.3 Matriz de rigidez local no sistema global ............................................... 195
8.1.4 Montagem da matriz de rigidez global ................................................... 198
8.1.5 Montagem das cargas nodais combinadas no vetor das forças 
generalizadas globais...................................................................................... 203
8.1.6 Imposição de equilíbrio aos nós isolados .............................................. 208
8.1.7 Consideração das condições de apoio .................................................. 209
CONCLUSÃO ........................................................................................................ 212
REFERÊNCIAS ..................................................................................................... 213
As estruturas hiperestáticas são estruturas indeterminadas utilizan-
do-se somente as equações da estática. Portanto, a análise destas 
estruturas é feita utilizando técnicas mais elaboradas para que se 
possam calcular todas as variáveis do problema. 
O estudo das estruturas estaticamente indeterminadas é o 
conteúdo que vem na sequência das estruturas isostáticas e 
resistência dos materiais, pois os grandes métodos de aná-
lises de estruturas usam estruturas auxiliares isostáticas na 
qual é possível o cálculo das deformações para nas superpo-
sições de forças ou deslocamentos obter resultados da es-
trutura real. Desta forma, torna-se imprescindível que o leitor 
tenha conhecimentos básicos destas disciplinas.
Os dois principais métodos de análise são o Método das Forças 
e o Método dos Deslocamentos. Este conjunto de capítulos tem a 
intenção de apresentar o segundo método apresentado anterior-
mente. Tal método, por sua simplicidade e única forma de solução, 
tem sido muito utilizado em análises de estruturas feitas tanto ma-
nualmente, quanto por computadores.
Assim, a sequência dos assuntos abordados neste material está 
apresentada a seguir.
O primeiro capítulo apresentará os principais conceitos na qual se 
baseia o Método dos Deslocamentos, sendo este, um método de 
análise de estruturas hiperestáticas.
Apresentação
O Capítulo II apresentará as simplificações permitidas nas estru-
turas para facilitar a análise manual, podendo assim, o engenhei-
ro avaliar o comportamento das estruturas rapidamente mediante 
cálculos simples apresentando exemplos de vigas hiperestáticas 
resolvidas. O terceiro capítulo demonstrará um exemplo de análise 
peloMétodo dos Deslocamentos de pórtico plano.
O quarto capítulo exporá as considerações que devem ser feitas 
para a análise de estruturas do tipo grelha pelo Método dos Deslo-
camentos, utilizando-se de vários exemplos resolvidos para fixação 
do assunto. O quinto capítulo fará a análise de estruturas planas 
que possuem barras inclinadas ou com rigidez muito elevadas, po-
dendo considerá-las rígidas.
No Capítulo VI serão expostos exemplos de análise de estruturas hi-
perestáticas que estão submetidas a recalques de apoios. O Capítulo 
VII abordará o Processo de Cross, técnica de análise que utiliza os 
conceitos do Método dos Deslocamentos para o cálculo manual de 
estruturas sem o uso de equações de equilíbrio, consistindo em um 
método iterativo de análise estrutural. E no último capítulo, será exi-
bido o Método da Rigidez Direta, ou Análise Matricial de Estruturas, 
desenvolvido para a implementação computacional que trata ampla-
mente as estruturas hiperestáticas, com todos os seus graus de liber-
dade, sem a consideração das possíveis simplificações e com suas 
restrições de deslocamentos impostos pelos apoios.
 
Arthur Rosinski do Nascimento
Introdução
Apresentação do método 
dos deslocamentos
Capítulo
1
Este capítulo foi desenvolvido conforme teorias e exemplos 
de aplicação apresentados nos livros de Martha (2010) e 
Soriano (2006), feitas as devidas considerações do autor 
deste material.
A análise estrutural é a etapa do projeto estrutural em que é feita 
a idealização do comportamento da estrutura. De uma maneira 
geral, ela tem como objetivo a determinação de esforços 
internos e externos, e das correspondentes tensões, bem 
como a determinação dos deslocamentos e correspondentes 
deformações da estrutura que está sendo projetada. 
As metodologias de cálculo são procedimentos matemáticos 
que resultam das hipóteses adotadas na concepção do 
modelo estrutural. As condições matemáticas que o modelo 
estrutural tem que satisfazer para representar adequadamente 
o comportamento da estrutura real podem ser dividas nos 
seguintes grupos:
• Condições de equilíbrio; 
• Condições de compatibilidade entre deslocamentos e 
deformações;
• Condições sobre o comportamento dos materiais que 
compõem a estrutura.
A imposição destas condições é a base dos métodos da 
análise estrutural, isto é, as formas como essas condições 
10 UNIUBE
• Revisar o conteúdo de análise de estruturas isostáticas 
pelo Princípio dos Deslocamentos Virtuais, a fim de, ao 
concluir a disciplina, o (a) aluno(a) poder ter condições 
de avaliar qualquer estrutura, seja ela isostática ou 
hiperestática;
• Apresentar alguns conceitos fundamentais do Método 
dos Deslocamentos;
• Organizar a metodologia para avaliação de uma estrutura 
hiperestática qualquer;
• Compreender, mediante exemplos de cálculo o uso do 
Método dos Deslocamentos.
• Método dos Deslocamentos
• Exemplo de aplicação 1
Objetivos
Esquema
são impostas definem as metodologias dos chamados 
Métodos Básicos da Análise de Estruturas: Método das 
Forças e Método dos Deslocamentos.
Este capítulo está direcionado para a análise de estruturas 
reticuladas hiperestáticas, por meio do Método dos 
Deslocamentos, e parte do princípio que você, aluno(a), 
tenha conhecimentos de análise de estruturas isostáticas e 
resistência dos materiais.
 UNIUBE 11
Método dos deslocamentos1.1
A metodologia de análise do método consiste em “somar uma série 
de soluções básicas (chamadas de casos básicos) que satisfazem 
as condições de compatibilidade, mas não satisfazem as condi-
ções de equilíbrio da estrutura original, para na superposição, res-
tabelecer as condições de equilíbrio” (MARTHA, 2010, p.299).
Figura 1 – Configuração deformada de um pórtico plano forma-
da pela superposição de configurações deformadas elementares
Fonte: Martha (2010, p.300)
Na Figura 1, a configuração deformada elementar do caso (0) iso-
la o efeito da solicitação externa (carregamento), sendo que essa 
configuração deformada é tal que os nós (extremidades das bar-
ras) da estrutura apresentam deslocamentos e rotações nulos. A 
configuração deformada nesse caso corresponde à situação de 
engastamento perfeito da viga (barra horizontal) devida à carga 
12 UNIUBE
uniformemente distribuída aplicada. As demais configurações de-
formadas mostradas nessa figura, dos casos (1) a (7), correspon-
dem a imposições de deslocamentos e rotações nodais isolados.
A superposição de configurações deformadas mostrada na Figura 
1 indica que a configuração deformada final de uma estrutura re-
ticulada pode ser parametrizada pelas componentes de desloca-
mentos e rotações dos nós da estrutura.
Com base nisso, a seguinte definição é feita: “Deslocabilidades são 
as componentes de deslocamentos e rotações nodais que estão 
livres, isto é, que devem ser conhecidas para determinar a configu-
ração deformada de uma estrutura” (MARTHA, 2010, p.300).
O modelo estrutural utilizado nos casos básicos é o de uma es-
trutura cinematicamente determinada obtida a partir da estrutura 
original pela adição de vínculos na forma de apoios fictícios. Esse 
modelo é chamado de Sistema Hipergeométrico (SH).
Os apoios fictícios adicionados à estrutura para impedir as deslocabili-
dades são numerados de acordo com a numeração das deslocabilida-
des, isto é, o apoio 1 impede a deslocabilidade D1, e assim por diante.
Figura 2 - Sistema Hipergeométrico do pórtico plano da Figura 1
Fonte: Martha (2010, p.301)
 UNIUBE 13
O sistema hipergeométrico é utilizado para isolar as diversas com-
ponentes cinemáticas da estrutura, isto é, isolar os efeitos de cada 
uma de suas deslocabilidades.
A base da discretização do problema analítico-estrutural pelo método 
dos deslocamentos está na existência de soluções fundamentais para 
barras isoladas. Estas soluções baseiam-se no fato de que, conhe-
cendo a configuração deformada de uma barra e a solicitação externa 
que atua em seu interior, é sempre possível determinar os esforços 
internos na barra e as forças e momentos que devem atuar em suas 
extremidades para mantê-la em equilíbrio isoladamente.
A configuração deformada elementar de cada caso básico é impos-
ta por meio de forças e momentos fictícios que atuam nas direções 
das deslocabilidades. O equilíbrio final da estrutura é garantido im-
pondo-se, na superposição dos casos básicos, valores nulos para 
essas forças e momentos fictícios.
SINTETIZANDO
No caso (0), as forças e momentos fictícios são os termos de car-
gas , que equilibram a estrutura na configuração deformada de 
engastamento perfeito.
Nos casos (j), as forças e momentos fictícios são coeficientes de 
rigidez globais , que equilibram a estrutura em uma configuração 
deformada tal que a deslocabilidade e as demais são nulas.
14 UNIUBE
O ponto de partida para a determinação dos termos de carga no caso 
(0) é a situação de engastamento perfeito em que todas as desloca-
bilidades são mantidas fixas. O cálculo dos termos de carga é obtido 
mediante o Método das Forças ou por meio de tabelas de engasta-
mento perfeito como a Tabela 1 a seguir, retirada de Pinheiro (2010). 
Mediante as reações de momento fletor, pode-se, a partir das equa-
ções de equilíbrio, realizar o cálculo das reações verticais.
 UNIUBE 15
Tabela 1 – Momentos de engastamento perfeito
16 UNIUBE
Tabela 01 – Momentos de engastamento perfeito
Fonte: Pinheiro (2010, pp.6-7)
 UNIUBE 17
Para a determinação dos coeficientes de rigidez globais dos casos 
(j), o ponto de partida é uma configuração deformada elementar 
conhecida de cada caso básico. O conceito adotado para se de-
terminarem os coeficientes de rigidez globais de um caso básico é: 
dada uma configuração deformada de um modelo 
estrutural do qual se conhecem todasas desloca-
bilidades, é sempre possível determinar as forças 
e momentos que, atuando nas direções das des-
locabilidades, equilibram o modelo na configura-
ção deformada imposta (MARTHA, 2010, p.332).
Os coeficientes de rigidez globais de cada caso básico (j) são de-
terminados a partir de coeficientes de rigidez locais associados à 
configuração deformada a que cada barra é submetida na imposi-
ção da configuração deformada do caso básico. Os coeficientes de 
rigidez locais são determinados a partir de soluções fundamentais 
para barras isoladas, determinadas pelo princípio dos deslocamen-
tos virtuais, conforme ilustra a Figura a seguir.
Figura 3 - Coeficientes de rigidez local axial de uma barra isolada
Fonte: Martha (2010, p.276)
18 UNIUBE
Figura 4 - Coeficientes de rigidez local à fle-
xão de uma barra isolada sem articulação
Fonte: Martha (2010, p.278)
Figura 5 - Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada
Fonte: Martha (2010, p.285)
Figura 6 – Coeficientes de rigidez local à flexão de 
uma barra com articulação na esquerda
Fonte: Martha (2010, p.281)
 UNIUBE 19
As equações finais do Método dos Deslocamentos expressam o equi-
líbrio dos nós da estrutura nas direções das deslocabilidades. Por 
isso, é conveniente introduzir uma convenção de sinais para forças 
e momentos que facilite a definição de condições de equilíbrio. Isto 
vai acarretar uma nova convenção de sinais para esforços normais, 
esforços cortantes e momentos fletores em quadros planos.
Tabela 2 - Convenção de sinais adotada para quadros 
planos no Método dos Deslocamentos
Fonte: Martha (2010, p.308)
1.1.1 Exemplo de aplicação 1 (MARTHA, 2010)
Determine o diagrama de momentos fletores do pórtico hiperestáti-
co sabendo que a relação entre a área e o momento de inércia das 
barras da estrutura é (A/I=2 m-2).
20 UNIUBE
Figura 7 – Exemplo 1.0
Fonte: Martha (2010, p.315)
O primeiro passo é identificar as deslocabilidades dos nós da estru-
tura e definir o Sistema Hipergeométrico.
A princípio, temos três nós a serem analisados, dois apoios e um en-
contro entre as duas barras. Os apoios são engastes e, portanto, não 
possuem nenhuma deslocabilidade. Já o nó que une a barra horizontal 
com a vertical, não tem nenhuma restrição quanto aos deslocamen-
tos. Por se tratar de uma estrutura plana, este nó possui três desloca-
mentos, o horizontal, o vertical e a rotação, sendo identificados como 
deslocabilidades D1, D2 e D3, respectivamente, conforme Figura 8. 
Na mesma figura é apresentado o sistema hipergeométrico, no qual 
se busca impedir todos os deslocamentos possíveis com a inserção 
de apoios fictícios. O apoio de primeiro gênero horizontal impede a 
deslocabilidade D1, o vertical a D2 e a chapa rígida a D3.
Figura 8 – Exemplo 1.1
Fonte: Martha (2010, p.315)
 UNIUBE 21
Os casos básicos utilizam o sistema hipergeométrico como estrutu-
ra auxiliar, por meio da qual os efeitos isolados são impostos.
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH
O caso (0) isola o efeito da solicitação externa, isto é, do carrega-
mento aplicado. Dessa forma, as cargas externas são aplicadas no 
SH com D1=0, D2=0 e D3=0. Nesse caso, as forças e os momen-
tos que aparecem nos apoios fictícios são os termos de cargas.
Figura 9 – Exemplo 1.2
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O primeiro índice do termo de carga β refere-se ao número de or-
dem da deslocabilidade. O segundo índice, ao número do caso 
(zero neste caso). Os sentidos de orientação dos termos de carga 
são sempre no sentido positivo, conforme Tabela 2 de convenção 
de sinal. O sentido correto é determinado pelo sinal do termo, con-
forme reação calculada.
O cálculo do termo de carga é feito mediante a tabela de momento 
fletor para vigas engastadas (Tabela 1), seguida da aplicação das 
22 UNIUBE
equações de equilíbrio. No caso (0) o carregamento da tabela de 
momentos, para as duas barras, corresponde à linha 9 da Tabela 
1, fazendo a distância “a” igual a zero. A parte direita da Figura 9 
apresenta os valores das reações em cada apoio.
O valor do termo de carga é o somatório das reações na direção 
das deslocabilidades. Neste caso, o termo de carga é igual 
ao somatório das reações das duas barras que estão na direção 
da deslocabilidade D1 (horizontal). O mesmo raciocínio é se-
guido para obtenção do valor do , só que para a direção de 
D2 (vertical). O é o somatório dos momentos fletores no nó 
em que é aplicada a chapa (vínculo fictício), por tratar-se de um 
deslocamento do tipo rotação.
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH
Figura 10 – Exemplo 1.3
Fonte: Martha (2010, p.316)
 UNIUBE 23
O caso (1) isola o efeito da deslocabilidade D1, mantendo nulos os 
valores das outras. Conforme indicado na Figura 10, a deslocabilidade 
D1 é colocada em evidência. Considera-se um valor unitário para D1, 
sendo o efeito de D1=1 multiplicado pelo valor final que D1 deverá ter.
O primeiro índice do coeficiente de rigidez global K refere-se ao nú-
mero de ordem da deslocabilidade. O segundo índice, ao número 
do caso (um neste caso). O sentido de orientação dos termos de 
carga é sempre no sentido positivo, conforme tabela de convenção 
de sinal. O sentido correto é determinado pelo sinal do termo, con-
forme reação calculada.
Os coeficientes de rigidez global são obtidos em funções de coefi-
cientes de rigidez de barras isoladas. Estes termos são chamados 
de coeficientes de rigidez locais, calculados de acordo com as so-
luções fundamentais, conforme apresentado nas Figuras 11 a 14.
Observa-se na Figura 10 como os coeficientes de rigidez locais 
das barras contribuem para os coeficientes de rigidez globais da 
estrutura. Por exemplo, a força K11, que deve atuar na direção glo-
bal de D1 para dar configuração deformada onde D1=1, é obtida 
pela soma do coeficiente de rigidez axial EA/6 da barra horizontal 
com o coeficiente de rigidez transversal 12EI/(4³) da barra vertical. 
Vê-se também que em nenhuma das duas barras aparecem for-
ças verticais no nó deslocado para dar a configuração deformada 
imposta. Assim, não há contribuição para o coeficiente de rigidez 
global K21, o que resulta em um valor nulo. De forma análoga, o 
coeficiente de rigidez global K31 recebe uma contribuição nula da 
barra horizontal, pois esta sofre apenas uma deformação axial, e 
uma contribuição do momento 6EI/42 vindo da barra vertical.
Nos casos seguintes, os coeficientes de rigidez global são calcula-
dos de forma análoga.
24 UNIUBE
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH
Figura 11 – Exemplo 1.4
Fonte: Martha (2010, p.317)
Caso (3) – Deslocabilidade D3 isolada no SH
Figura 12 – Exemplo 1.5
Fonte: Martha (2010, p.317)
 UNIUBE 25
O equilíbrio da estrutura é restabelecido quando se anulam os efei-
tos dos apoios fictícios do SH. A partir dos resultados obtidos nos 
casos mostrados anteriormente, pode-se utilizar a superposição 
dos casos para restabelecer as condições de equilíbrio do nó in-
terior. As resultantes de forças e momentos externos nesse nó de-
vem ser nulas como feito a seguir.
Podem-se generalizar esses resultados, escrevendo uma equação 
de equilíbrio na direção da deslocabilidade Di, para uma estrutura 
com n deslocabilidades.
Esse sistema de equações resulta em soluções das deslocabilida-
des em função do EI.
26 UNIUBE
 Reflita
A configuração deformada final da estrutura é mostrada na Figura 
13. Observa-se que os sinais dos deslocamentos e da rotação são 
consistentes: D1 é positivo (da esquerda para a direita), D2 é nega-
tivo (de cima para baixo) e D3 é negativo (sentido horário).
Figura 13 – Exemplo 1.6
Fonte: Martha (2010, p.318)
Uma vez determinados os valores das deslocabilidades, os diagra-
mas finais de esforços da estrutura do exemploem estudo também 
podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de cada um 
dos casos básicos. Por exemplo, os momentos fletores finais (M) 
podem ser obtidos pela superposição dos diagramas de momentos 
fletores (Mi) dos casos básicos:
Sendo que M corresponde ao momento real da estrutura no nó que 
se deseja calcular, o ao momento neste mesmo nó do caso (0) e 
os momentos e ao momento neste mesmo nó dos casos 
(1), (2) e (3), respectivamente.
 UNIUBE 27
IMPORTANTE!
Esse resultado pode ser generalizado para todos os esforços 
internos – esforços normais finais (N), esforços cortantes fi-
nais (Q) e momentos fletores finais (M) – de uma estrutura 
com n deslocabilidades:
Para que se possam aplicar as fórmulas anteriores, é preciso, em 
todos os casos básicos, calcular as forças e momentos atuantes 
em todos os nós da estrutura.
Considerações finais
O Método dos Deslocamentos apresentado neste capítulo é um dos 
métodos de análises de estruturas hiperestáticas mais utilizados na 
engenharia. Como se pôde verificar, é fácil a identificação das in-
cógnitas do problema. Estas são as deslocabilidades, ou graus de 
liberdade, dos nós da estrutura. Isto faz com que haja apenas um 
único conjunto solução para os problemas hiperestáticos, uma vez 
que, dependendo do tipo de estrutura, os graus de liberdade nos 
nós serão sempre os mesmos.
28 UNIUBE
Estruturas do tipo pórticos planos possuem três graus de liberdade 
por extremidade de barras. Já as treliças possuem dois graus de 
liberdade. Estruturas espaciais, seis graus de liberdade. Isto faz 
com que se torne fácil a montagem dos sistemas de equilíbrios que 
devem ser satisfeitos.
Em contrapartida, estruturas complexas, com muitas ligações entre 
barras, haverá muitas incógnitas na solução do problema. Isto é 
uma das principais desvantagens do método. Porém, como será 
visto nos próximos capítulos, existem técnicas para que se possam 
reduzir as deslocabilidades da estrutura.
Importante frisar que o Método dos Deslocamentos parte de casos 
básicos que satisfazem as condições de compatibilidade, ou seja, há 
continuidade de deslocamentos, para, na superposição dos efeitos, 
retornar a condição de equilíbrio dos nós. Desta forma, esse método 
segue processos contrários ao aplicado no Método das Forças, sendo 
assim, métodos considerados duais na análise de engenharia.
Arthur Rosinski do Nascimento
Introdução
Método dos 
deslocamentos com 
simplifi cações de 
deslocabilidades
Capítulo
2
Como pode ser percebida, a análise de estruturas pelo Método 
dos Deslocamentos é feita a partir de um sistema hipergeométrico 
único em que são restringidas todas as deslocabilidades dos 
nós da estrutura. Não há outro sistema hipergeométrico que 
possa ser atribuído ao problema. Já no Método das Forças, há 
diversos sistemas principais que solucionam a análise. Devido 
a isto é que os programas computacionais utilizam o Método 
dos Deslocamentos nas análises automáticas.
Entretanto, conforme os números de ligações entre barras 
aumentam, os números de incógnitas do problema a 
ser resolvido pelo Método dos Deslocamentos também 
aumentam, tornando os cálculos manuais muito trabalhosos.
Assim, de forma a facilitar os cálculos manuais, sem provocar 
resultados muito divergentes e confi áveis, são adotadas 
algumas simplifi cações para conseguir reduzir o número de 
deslocabilidades de uma estrutura. No decorrer deste capítulo 
serão explicadas cada uma delas e apresentados vários 
exemplos de aplicação para melhor compreensão do assunto.
Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e 
exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 
(2010), Sussekind (1987) e Soriano (2006), feitas as devidas 
considerações do autor deste material.
• Apresentar todas as simplificações existentes 
que podem ser adotadas para auxiliar no cálculo 
manual de estruturas hiperestáticas pelo Método dos 
Deslocamentos;
• Compreender a notável diferença de esforço de 
cálculo quando se considera, ou não, as simplificações 
possíveis;
• Apresentar o conceito de contraventamento e como ele 
ajuda a identificar as deslocabilidades de uma estrutura;
• Apresentar exemplos de aplicações da metodologia de 
cálculo para vigas contínuas.
• Simplificações de Deslocabilidades
• Exemplo de aplicação 2
• Exemplo de aplicação 3
Objetivos
Esquema
Simplificações de deslocabilidades2.1
A aplicação do método dos deslocamentos para a resolu-
ção manual de uma estrutura é muito trabalhosa devido ao 
número excessivo de incógnitas (deslocabilidades) que re-
sulta da solução, mesmo para estruturas simples, e à com-
plexidade na consideração de barras inclinadas.
Para solução manual dos problemas de estruturas, são introduzi-
das simplificações no comportamento das barras com respeito às 
suas deformações.
As simplificações adotadas são as seguintes:
 UNIUBE 31
a. Eliminação dos trechos em balanços;
b. Consideração de barras inextensíveis;
c. Eliminação das deslocabilidades do tipo rotação de nós quan-
do todas as barras adjacentes são articuladas no nó.
A primeira simplificação é um macete de cálculo, visto que os tre-
chos em balanços podem ser calculados como uma estrutura isos-
tática engastada no ponto de contato com a estrutura.
Figura 14 – Separação do trecho em balanço de um pórtico plano
Fonte: Martha (2010, p.333)
A segunda simplificação é muito adotada nas análises de estrutu-
ras, assim como o Método das Forças faz. Esta simplificação con-
sidera que as barras não se deformam axialmente. Isto quer dizer 
que os dois nós extremos de uma barra só podem se deslocar 
relativamente na direção transversal ao eixo da barra, ou en-
tão que a distância, na direção do eixo indeformado, entre os 
dois nós extremos de uma barra não se altera quando esta se 
deforma transversalmente.
32 UNIUBE
Figura 14 – Redução do número de deslocabilidades para o pórtico da Figura 1
Fonte: Martha (2010, p.334)
Seja, então, a barra AB indicada na Figura 15, representando uma 
barra genérica de uma estrutura: devido aos esforços que solicitam 
a barra, ela se deformará assumindo a posição A’B’. A passagem 
da posição AB para a posição A’B’ pode ser encarada como resul-
tante das seguintes deformações, independentes umas das outras:
Figura 15 – Deslocamentos em uma barra genérica da estrutura
Fonte: Sussekind (1987, p.2)
 UNIUBE 33
Concluindo, basta conhecer os valores de , e para obter-
mos o diagrama de momentos fletores e, a partir dele, os demais 
diagramas solicitantes para uma barra de uma estrutura, já que a 
translação da barra não introduz qualquer esforço na mesma.
A terceira simplificação pode ser adotada, pois uma rótula, na qual con-
vergem duas barras, articula as seções adjacentes de ambas as barras, 
ou seja, o momento fletor em todas as extremidades em uma ligação 
rotulada é igual a zero. Assim, não é necessária a inserção do vínculo 
fictício do tipo chapa para impedir a rotação na ligação rotulada.
Aqui faremos a seguinte classificação entre os tipos de 
deslocabilidades:
a. Deslocabilidades internas: são do tipo rotação;
b. Deslocabilidades externas: são do tipo translação;
c. di: número de deslocabilidades internas;
d. de: número de deslocabilidades externas.
Seja a estrutura da Figura 16. Sabemos que as incógnitas do pro-
blema são as rotações e deslocamentos lineares dos nós B e C, já 
que os engastes A e D não sofrem deformações.
Figura 16 – Exemplo teórico
Fonte: Sussekind (1987, p.5)
34 UNIUBE
No caso, entretanto, o nó C não apresenta deslocamentos lineares, pois 
o apoio de primeiro gênero impede a componente vertical e o engaste D, 
a componente horizontal (consideração de barras inextensíveis) de des-
locamento. Assim, a única incógnita do nó C será sua rotação.
Também o nó B nãoapresentará deslocamentos lineares, pois suas 
componentes vertical e horizontal serão impedidas, respectivamen-
te, pelos engastes A e D (consideração de barras inextensíveis), de 
modo que a única incógnita, também no nó B, será a rotação.
Concluindo, o número de incógnitas do problema é igual a dois, 
número de nós internos rígidos (não rotulados) da estrutura.
Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura 
plana é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer 
para poder resolvê-la. Em outras palavras, o número de deslocabilida-
des internas (di) de uma estrutura é igual ao número de nós internos 
rígidos que ela possui (não incluindo os nós extremos apoiados ou 
engastados e, evidentemente, os nós internos rotulados).
Seja agora, a estrutura da Figura 17. Como todos os seus 
nós internos são rotulados, não precisamos conhecer as 
rotações das barras nestes nós (em outras palavras, não há 
deslocabilidades internas a considerar). Resta-nos analisar 
o problema dos deslocamentos lineares dos mesmos para 
conhecemos o número de incógnitas do problema. Iniciando 
esta análise pelo nó D, vemos que ele não terá componente 
vertical de deslocamento, devido a presença do engaste 
A (consideração de barras inextensíveis que despreza as 
deformações axiais); nada impede, no entanto, seu deslo-
camento na direção horizontal, que se constituirá na primei-
ra incógnita do problema. Para caracterizar esta incógnita, 
indicaremos um apoio do primeiro gênero em D (ver parte 
 UNIUBE 35
direita da figura a seguir), mostrando que seria necessária 
a existência de mais um vínculo na estrutura para que o nó 
D não possuísse deslocabilidades lineares.
Figura 17 – Exemplo teórico
Fonte: Sussekind (1987, p.6)
Tudo que foi feito para o nó D vale, também, para o nó G, que pode 
se deslocar na direção horizontal (o deslocamento vertical estando 
impedido pelo engaste C); para caracterizar esta nova incógnita, in-
dicaremos um apoio de primeiro gênero em G, mostrando que seria 
necessária a existência de mais este vínculo na estrutura para que 
o nó C não possuísse deslocabilidades lineares.
Assim, caso existissem os apoios adicionais de primeiro gênero (1) 
e (2) indicados na Figura 17, os nós D e G seriam indeslocáveis 
linearmente, o que acarretaria, também, a indeslocabilidade linear 
dos nós E e F, de acordo com os conceitos de contraventamento e 
as regras da triangulação, que são, segundo Martha (2010): 
1. Um nó que estiver ligado a dois nós fixos à translação por duas 
barras inextensíveis não alinhadas também fica fixo à translação;
2. Um conjunto de barras inextensíveis agrupadas em uma trian-
gulação se comporta como um corpo rígido.
36 UNIUBE
Explicando o exemplo citado, como o nó E está ligado a dois nós 
fixos por duas barras inextensíveis (sendo o nó B fixo pelo engaste 
e o nó D fixo pelo engaste em A e pelo apoio fictício de primeiro 
gênero [1]), também fica fixo à translação.
A mesma análise vale para o nó F que está ligado a dois nós fixos 
(E e G) por barras inextensíveis.
Definiremos, então, que número de deslocabilidades externas (de) 
de uma estrutura é igual ao número de apoios do primeiro gênero 
que a ela precisamos acrescentar para que todos os seus nós fi-
quem sem deslocamentos lineares.
Observações: 
a. No caso da estrutura da figura anterior, os nós D, E, F, G terão des-
locamentos horizontais (que seriam, à primeira vista, as incógnitas 
do problema), mas apenas os deslocamentos dos nós D e G são 
incógnitas independentes (pois o deslocamento horizontal de E, por 
estar ligado a D por uma barra horizontal, será igual ao de D; e o 
deslocamento horizontal de F, por estar ligado a E e G, será função 
dos deslocamentos destes dois pontos e, portanto, em última aná-
lise, dos deslocamentos de D e G). Assim, o número de incógnitas 
independentes do problema (que é o número de deslocabilidades 
externas da estrutura) é apenas 2.
b. É usual chamar-se às estruturas que possuem deslocabilida-
des externas de estruturas deslocáveis, e aquelas que não as 
possuem (mesmo tendo deslocabilidades internas) de estru-
turas indeslocáveis.
Como as incógnitas do problema são as rotações dos nós internos 
rígidos da estrutura (traduzidas pelo valor di) e os deslocamentos 
 UNIUBE 37
lineares independentes de seus nós (traduzidos por de), dizemos 
que o número total de deslocabilidades d de uma estrutura (igual 
ao número total de incógnitas de sua resolução pelo método das 
deformações) é dado pela soma de seu número de deslocabilida-
des interna (di) e externa (de). Podemos, então, escrever:
Para melhor entender os conceitos do contraventamento, analisa-
remos os exemplos a seguir.
Figura 18 - SH de um pórtico com dois pavimentos sem barras diagonais
Fonte: Martha (2010, p.343)
Da Figura 18 (pórtico com dois pavimentos sem contraventamen-
to), sabe-se que o número de deslocabilidade interna é igual ao 
número de nós internos rígidos que ela possui (não incluindo os 
nós extremos apoiados ou engastados e, evidentemente, os nós 
internos rotulados). Assim di é igual a 4, sendo representados pelos 
apoios fictícios no SH mostrado na parte direita da figura.
Os engastes dos pilares da estrutura restringem somente o deslo-
camento vertical dos pilares, sendo assim necessário adicionar o 
apoio 5 para impedir o movimento horizontal do nó da esquerda do 
primeiro pavimento (o nó que tem a chapa 3). Isso faz com que, 
pela regra 1 do contraventamento (apresentada anteriormente), o 
nó da direita desse pavimento não tenha deslocamento. Isto é, o 
38 UNIUBE
nó com a chapa 4 tem seus movimentos impedidos pois está ligado 
por duas barras inextensíveis e não alinhadas a dois nós fixos à 
translação (o nó com o apoio 5 e o nó da base na direita), formando 
uma triangulação. Portanto, não é necessário inserir mais apoios 
fictícios nesse pavimento. Observe que o apoio 5 pode ser coloca-
do tanto no nó da esquerda quanto no da direita para impedir o des-
locamento horizontal desse pavimento (os nós do pavimento não 
têm deslocamentos verticais pois as colunas são inextensíveis).
Por raciocínio análogo, no segundo pavimento do pórtico da Figura 
18, é necessário adicionar apenas o apoio 6 para fixar os nós des-
se pavimento. Parte-se da condição de que os nós do primeiro 
pavimento já estão fixos.
Outros exemplos são apresentados a seguir (com seus respectivos 
SH) e cabe ao leitor interpretá-los de acordo com as regras para 
determinação do número de deslocabilidades e as simplificações 
possíveis apresentadas até aqui.
Figura 19 - SH de um pórtico com dois pavimen-
tos e uma diagonal no primeiro pavimento
Fonte: Martha (2010, p.343)
 UNIUBE 39
Figura 20 - SH de um pórtico com dois pavimen-
tos e uma diagonal em cada pavimento
Fonte: Martha (2010, p.343)
Figura 21 - SH de um pórtico com dois pavimentos e con-
traventado em uma baia por pavimento
Fonte: Martha (2010, p.344)
Figura 22 - SH de um pórtico com três painéis sem diagonais
Fonte: Martha (2010, p.344)
Figura 23 - SH de um pórtico com três painéis e uma diagonal no painel central
Fonte: Martha (2010, p.344)
40 UNIUBE
Figura 24 - SH de um pórtico com três painéis e duas diagonais
Fonte: Martha (2010, p.344)
Figura 25 - SH de um pórtico com três painéis e três diagonais
Fonte: Martha (2010, p.344)
2.1.1 Exemplo de aplicação 2 (SUSSEKIND, 1987)
Calcular as deslocabilidades da estrutura a seguir.
O primeiro passo para a resolução de estruturas hiperestáticas pelo 
Método dos Deslocamentos, é a identificação das deslocabilidades e a 
definição do sistema hipergeométrico (SH) com a inserção dos vínculos 
fictícios para impedir os deslocamentos possíveis em todos os nós.
Figura 26 – Exemplo 2.0
Fonte: Sussekind (1987, p.20)
 UNIUBE 41
Assim,o SH é apresentado conforme a Figura 27. Para impedir as 
rotações que aparecem no nó B e C foram inseridas chapas rígidas 
nos mesmos. Já para o deslocamento horizontal que pode ocorrer na 
barra entre os nós B e C, foi inserido um apoio de primeiro gênero no 
mesmo sentido no nó C (poderia ter sido também inserido no nó B).
Figura 27 – Exemplo 2.1
Fonte: Sussekind (1987, p.20)
A diferença entre o sistema principal e a estrutura real é que exis-
tirá rotação dos nós B e C (às quais chamemos D1 e D2) e haverá 
um deslocamento horizontal de barra BC (ao qual chamemos D3). 
Assim, empregando o princípio da superposição de efeitos, poderí-
amos dizer que a resolução da estrutura real seria igual à soma dos 
quatro casos indicados nas figuras a seguir, representando a reso-
lução da estrutura do sistema principal para os efeitos isolados do 
carregamento externo e de cada uma das deslocabilidades. Como 
desconhecemos os valores D1, D2 e D3, arbitramos um valor, por 
exemplo, unitário para estas deformações, devendo os efeitos as-
sim obtidos serem multiplicados pelos valores corretos que serão 
encontrados para D1, D2 e D3 ao fim do problema.
42 UNIUBE
Figura 28 – Exemplo 2.2
Fonte: adaptada de Sussekind (1987)
No caso (0) – parte “a” da Figura 28 – temos a resolução de duas 
vigas biengastadas AB e BC para o carregamento externo, cujos 
momentos de engastamento perfeito em B e em C, indicados na 
 UNIUBE 43
figura a seguir, representam a ação das chapas 1 e 2 sobre a estru-
tura do sistema principal para que os nós B e C não girem, dando 
momentos resultantes em B e C, respectivamente, iguais a:
Figura 29 – Exemplo 2.4
Fonte: adaptada de Sussekind (1987)
Devido ao carregamento externo e aos momentos de engastamen-
to perfeito que existem nas barras, aparecerão as reações de apoio 
FA e FB1 na barra 1 e FB2 e FC2 na barra 2; as reações FA, FB2 e FC2 
irão para os apoios que a estrutura possui, indo a reação FB1 para o 
apoio do primeiro gênero fictício (3) indicado no sistema principal. 
No caso, então, teríamos:
Nas partes “b” e “c” da Figura 28 (caso (1) e caso (2), respectiva-
mente), temos a resolução do sistema principal para rotação unitá-
ria de um de seus nós. Aparecerão nestes nós, conforme sabemos, 
momentos iguais à sua rigidez local, indo para os outros nós da 
barra momentos iguais ao produto desta rigidez pelo coeficiente 
44 UNIUBE
de transmissão. Assim, para o caso (1) – parte “b” da Figura 28 – 
temos o esquema detalhado indicado na figura a seguir, quando 
D1=1, a partir do qual obtemos:
Figura 30 – Exemplo 2.5
Fonte: adaptada de Sussekind (1987)
Para o caso (2) – parte “c” da Figura 28 – temos o esquema detalhado 
indicado na figura a seguir, quando D2=1, a partir do qual obtemos:
Figura 31 – Exemplo 2.6
Fonte: o autor
 UNIUBE 45
Para o caso (3) – parte “d” da Figura 28 – temos o esquema detalhado 
indicado na figura a seguir, quando D3=1, a partir do qual obtemos:
Figura 32 – Exemplo 2.7
Fonte: adaptada de Sussekind (1987)
Voltando, agora, ao esquema da Figura 28 que resolve a estrutura 
a partir do conhecimento dos valores de D1, D2 e D3, vemos que, 
como não existem na estrutura dada as chapas 1 e 2 e o apoio 
46 UNIUBE
do primeiro gênero 3 colocados no sistema principal, estes valores 
de D1, D2 e D3 têm que ser tais que não existam ações estáticas 
finais das chapas e do apoio adicional do primeiro gênero sobre a 
estrutura do sistema principal, pois, assim, o mesmo reproduzirá, 
fielmente o comportamento estático e elástico da estrutura dada. 
Assim, devemos ter que o momento final exercido pelas chapas 
sobre os respectivos nós deve ser nulo, bem como deve ser nula a 
força exercida pelo apoio fictício do primeiro gênero sobre a barra 
BC (isto é, não existem cargas momento aplicadas em B e C e não 
existe carga horizontal aplicada à estrutura dada em C).
Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, o seguinte 
sistema de equações de compatibilidade estática do sistema prin-
cipal adotado com a estrutura dada, é obtido:
Deste sistema calcula-se o D1, D2 e D3.
Observações:
a. O trabalho de resolução de uma estrutura pelo método das 
deformações, conforme ilustra o exemplo anterior, é o traba-
lho de resolução de um sistema n x n de equação lineares, 
sendo n o número total de deslocabilidades da estrutura dada.
b. O sistema de equações anterior pode ser escrito na forma 
matricial:
 UNIUBE 47
Ou mais simplificadamente:
Ao vetor { }, onde a ação do agente solicitante externo se faz sen-
tir, chamamos vetor dos termos de carga.
A matriz [K], quadrada e simétrica, por força do teorema de Betti, 
chamamos matriz de rigidez (pois transforma deslocamentos em 
forças ou rotações em momentos, conforme o caso), sendo fun-
ção, apenas, do sistema principal adotado (independendo comple-
tamente do agente solicitante externo).
A resolução de uma estrutura pelo método das deformações é dada 
pela inversão de sua matriz de rigidez multiplicado pelo vetor dos 
termos de carga.
Roteiro para o Método dos Deslocamentos:
1. Escolha do sistema principal (obtido bloqueando-se as des-
locabilidades internas com chapas rígidas e as deslocabilida-
des externas com apoios adicionais do primeiro gênero).
2. Resolução do sistema principal para o agente solicitante ex-
terno, obtendo-se o vetor { }, e para cada uma das deforma-
ções incógnitas Di, com o valor arbitrado inicialmente igual a 
1, obtém-se a matriz [K].
3. Cálculo das deformações (incógnitas) Di, pela expressão: 
48 UNIUBE
4. Obtenção dos efeitos finais pela expressão genérica:
Onde E é o efeito que se deseja calcular (momento, esforço normal 
ou cortante).
2.1.2 Exemplo de aplicação 3 (SORIANO, 2006)
Faz-se a determinação dos diagramas de esforços seccionais da 
viga representada na Figura 33, em que E=2,1.107kN/m².
Figura 33 – Exemplo 3.0
Fonte: Soriano (2006, p.144)
Determinação das deslocabilidades
Inicialmente, podemos simplificar o balanço de três metros à esquerda 
da viga. Para fazer isto, precisa-se obter um sistema de forças e mo-
mentos equivalentes a ele. Percebe-se, facilmente, que a força vertical 
de 50kN pode ser transferida ao nó que apoia o balanço juntamente 
 UNIUBE 49
com um momento fletor gerado por ela neste mesmo ponto, tendo 
valor de 150kN.m (50kN vezes o braço de alavanca de 3m). Assim, a 
viga simplificada é apresentada na Figura 34.
Figura 34 – Exemplo 3.1
Fonte: Soriano (2006, p.144)
As deslocabilidades são obtidas conforme apresentado anteriormen-
te, sendo as deslocabilidades internas (di) igual ao número de nós 
internos rígido (com exceção dos extremos apoiados) e as desloca-
bilidades externas (de) igual ao número de apoios de primeiro gênero 
necessário para que os nós fiquem sem deslocamentos lineares. 
Então, como só temos um nó interno rígido (os outros dois são 
extremos e com apoios) di=1 – existe uma rotação D1 no apoio 
interno a viga – precisando inserir uma chapa rígida neste ponto 
para impedir o deslocamento existente. Em contrapartida, não é 
necessário inserir apoios de primeiro gênero nos nós da estrutu-
ra, pois o apoio de segundo gênero à esquerda restringe todos 
os deslocamentos horizontais da viga (uma vez que as barras são 
inextensíveis) e os apoios verticais restringem os deslocamentos 
verticais em seus nós. Assim, define-se o sistema hipergeométrico 
(SH) conforme a Figura 35.
50 UNIUBE
Figura 35 – Exemplo 3.2
Fonte: Soriano (2006, p.144)
Definido o SH é preciso resolvê-lo para todos os casos básicos, 
conforme segue:
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH
Neste caso, considera-se que todas as deslocabilidades Di são nu-
las, fazendo atuar no SH somente o carregamento real. A inserção 
de chapas rígidas nos nós restringe as rotaçõesfazendo-os traba-
lhar como se houvesse um engaste neste ponto.
A configuração da viga no caso (0) é ilustrada conforme figura a 
seguir. Os momentos e reações verticais estão indicados conforme 
sentido positivo de cada um.
 UNIUBE 51
Figura 36 – Exemplo 3.3
Fonte: o autor
O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as tabelas de 
momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 9 e 16 
com a viga que apresenta apoio fixo à esquerda e engaste à direita 
da Tabela 1). Cada carregamento gera um momento diferente no 
ponto do engaste na viga 1. Assim, Mb1 é calculado como segue:
O sinal negativo indica que o momento atua no sentido contrário ao 
adotado inicialmente. A reação horizontal no apoio A é igual a zero. 
Assim, para o cálculo das reações verticais A e B1, basta aplicar as 
equações de equilíbrio na barra 1.
52 UNIUBE
O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as tabelas de mo-
mentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 com a viga 
que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da Tabela 1).
Para o cálculo das reações verticais B2 e C, basta aplicar as equa-
ções de equilíbrio na barra 2.
A viga apresentada a seguir mostra o resumo dos momentos fleto-
res calculados anteriormente. Ressalta-se aqui que o sinal positivo 
refere-se a momentos que atuam no sentido anti-horário.
Figura 37 – Exemplo 3.4
Fonte: Soriano (2006, p.145)
O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de en-
gastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa fictícia 
1. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da 
deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,
 UNIUBE 53
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH
Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-
se todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com 
índice 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horá-
rio). Com este deslocamento, as barras 1 e 2 da viga sofrem uma 
deformação conforme apresentado na Figura 38.
Figura 38 – Exemplo 3.5
Fonte: Soriano (2006, p.145)
O cálculo do momento Mb1 é feito de acordo com as equações de-
finidas nas soluções básicas apresentadas anteriormente e apre-
sentado a seguir.
Figura 39 – Exemplo 3.6
Fonte: o autor
54 UNIUBE
O caso básico destacado anteriormente refere-se às situações em 
que a viga é apoiada do lado esquerdo (representado pela rótula) 
e engastado do lado direito. A rotação sofrida nesta solução básica 
está no sentido anti-horário (positivo). Desta solução, comparando 
com o trecho 1 da viga, percebe-se que o momento da figura ante-
rior é igual ao momento Mb1, a reação da esquerda corresponde ao 
Va e a da direita igual ao Vb1.
Assim, temos:
O cálculo do momento Mb2 é feito de acordo com as mesmas equa-
ções definidas nas soluções básicas utilizadas no cálculo do Mb1. 
Deve-se ter atenção agora, pois o engaste está do lado esquerdo 
e o apoio (rótula) do lado direito. Assim, basta rotacionar o caso 
básico 180° que a rotação ficará à direita ainda no sentido positivo. 
A reação vertical à esquerda ficará para cima e à direita para baixo 
conforme Figura 49 (os valores continuam os mesmos).
Figura 40 – Exemplo 3.7
Fonte: o autor
 UNIUBE 55
Assim,
O coeficiente de rigidez global K11 é numericamente igual à força/
momento para impor D1=1 ao sistema principal e é obtido pela 
soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inserido o 
apoio fictício. Como o deslocamento é uma rotação, somam-se os 
momentos de engaste perfeito que foi calculado no apoio B.
Assim,
Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, a seguinte 
equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotado. 
Assim, 
Cálculo das reações de apoio
Para o cálculo das reações, basta aplicar a seguinte fórmula:
Assim, 
56 UNIUBE
O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores, são os 
valores das reações obtidas no caso (0). O segundo valor entre pa-
rênteses são os valores das reações obtidos no caso (1) somados 
e multiplicados pelo valor D1.
A partir destas reações, consegue-se obter os diagramas, uma vez 
que não há reações que não foram calculadas.
Figura 41 – Exemplo 3.8
Fonte: Soriano (2006, p.147)
Podem-se obter os diagramas de momento fletor e esforço cortante 
e normal pela mesma equação que foi utilizada no cálculo das re-
ações, porém com os valores destes esforços nos nós calculados 
nos casos básicos do método.
 UNIUBE 57
Considerações finais
A possibilidade da adoção de técnicas para redução das desloca-
bilidades torna o Método dos Deslocamentos uma forma fácil e rá-
pida para análises manuais de estruturas. Ou seja, o principal pro-
blema do método, que é o grande número de incógnitas, pode ser 
minimizado reduzindo o esforço de cálculo de quem fará o estudo.
A consideração de barras inextensíveis, ou seja, a não con-
sideração dos efeitos da deformação das barras para os es-
forços axiais, não é um conceito exclusivo do Método dos 
Deslocamentos. Isso também é feito no Método das forças, no 
qual, em cálculos manuais para pórticos planos, por exemplo, 
despreza-se a componente da integral dos esforços normais 
virtuais que multiplicam os deslocamentos relativos internos 
reais, por ser insignificante quando comparado com os efeitos 
da integral do momento fletor.
Importante observar também que todas as simplificações devem ser 
analisadas antes de serem utilizadas. Por exemplo, estruturas atiran-
tadas, cujos cabos se deformam muito ao esforço axial, o conceito de 
barra inextensível não deve ser adotado para este elemento.
Outra observação importante é que o conceito de barras inextensí-
veis é apenas uma simplificação e não uma verdade absoluta. Por 
exemplo, um pórtico contraventado, como o da Figura 19, não quer 
dizer que não sofrerá deslocamentos horizontais, mas sim que, 
como as barras sofrem pouca deformação longitudinal, a estrutura 
terá um deslocamento horizontal muito pequeno a ponto de poder 
ser desprezada esta translação.
Outro exemplo que pode ser apresentado aqui, que explica o 
que foi dito no parágrafo anterior, é que grandes coberturas 
58 UNIUBE
metálicas são contraventadas em vários vãos e não somente 
em um. Isto porque as barras se deformam axialmente e, se 
somado à contribuição de cada deslocamento das barras ao 
longo dos seus eixos, este deslocamento acumulado poderá 
ter grandes proporções.
Assim, para concluir, uma análise bem feita dependerá muito dos 
conhecimentos técnicos e teóricos de cada engenheiro para que 
tenha resultados fiéis à situação real que está se modelando.
Arthur Rosinski do Nascimento
Introdução
Método dos 
deslocamentos aplicado 
em pórticos planos
Capítulo
3
Em uma análise de estruturas é preciso adotar modelos 
estruturais que idealizam o comportamento de estruturas reais. 
Por exemplo, podemos analisar um prédio por meio de vigas 
contínuas, nas quais as reações de apoios são transferidas aos 
pilares até os carregamentos serem transmitidos às fundações. 
Outra forma de analisar um prédio é através de pórticos 
planos, compostos por vigas e pilares representados por 
elementos de barras contidas em um mesmo plano. Este 
pórtico recebe carregamento direto de solicitações externas 
ou então de reações de vigas que se apoiam neste pórtico. 
Há ainda a possibilidade de se analisar o prédio por meio de pórticos 
espaciais, composto por barras distribuídas nos três eixos do espaço.
A concepção do modelo estrutural é uma tarefa muito difícil 
nas análises de estruturas e são baseadas em diversos 
fatores como geometria, comportamento dos materiais, tipos 
de ligações entre barras, tipos de solicitações etc. 
A adoção de pórticos planos como modelo estrutural é frequentemente 
utilizada em construçõesde pequeno porte. Assim, este capítulo torna-
se importante, pois explica como aplicar o Método dos Deslocamentos 
nas análises de pórticos planos hiperestáticos.
Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e exemplos 
de aplicação apresentados no livro de Martha (2010), feitas 
as devidas considerações do autor deste material.
• Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do 
tipo pórtico espacial;
• Utilizar as simplificações para os cálculos dos esforços 
internos pelo Método dos Deslocamentos;
• Identificar as deslocabilidades externas mediante 
exemplos de aplicação em pórticos planos;
• Compreender os efeitos das deslocabilidades externas 
quando assumem valores iguais a 1 nos casos básicos.
• Exemplos de Aplicação em Pórticos Planos
• Exemplo de aplicação 4
Objetivos
Esquema
Exemplos de aplicação em pórticos planos3.1
3.1.1 Exemplo de aplicação 4 (MARTHA, 2010)
Calcule os diagramas de esforços internos o pórtico plano a seguir. Considere 
o módulo de elasticidade igual a E e momento de inércia igual a I.
Figura 42 – Exemplo 4.0
Fonte: Martha (2010, p.354)
 UNIUBE 61
Determinação das deslocabilidades
Parada obrigatória
As deslocabilidades internas (di) são iguais ao número de 
nós internos rígidos (com exceção dos extremos apoiados) 
e as deslocabilidades externas (de) igual ao número de 
apoios de primeiro gênero necessário para que os nós fiquem sem 
deslocamentos lineares. 
O único nó rígido da estrutura é o que une as três barras (di=1), 
existindo neste, uma rotação D1. Desta forma, torna-se necessário 
inserir uma chapa rígida neste ponto para impedir tal deslocamento. 
Os nós do engaste são nós fixos. O nó da rótula, por estar ligado 
ao engaste por uma barra inextensível não se desloca verticalmen-
te, porém, nada impede deste deslocar-se no sentido horizontal. 
Apesar de o nó que une as três barras estar ligado a um engaste 
por uma barra inextensível, este apoio, tampouco o de segundo 
gênero, é capaz de impedir o deslocamento horizontal do mesmo. 
O deslocamento vertical deste nó é impedido pelo engaste e pelo 
apoio de segundo gênero. Assim, a única deslocabilidade externa 
é o deslocamento horizontal (D2) da barra entre a rótula e o nó que 
une as três barras (de=1), sendo necessária a inserção de um apoio 
de primeiro gênero nesta direção em algum destes dois nós.
Optou-se por inserir o apoio de segundo gênero no nó da rótula, 
definindo assim o sistema hipergeométrico (SH).
62 UNIUBE
Figura 43 – Exemplo 4.1
Fonte: Martha (2010, p.354)
Definido o SH é preciso resolvê-lo para todos os casos básicos, 
conforme segue:
Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SH
Neste caso, considera-se que todas as deslocabilidades Di são nu-
las, fazendo atuar no SH somente o carregamento real. A inserção 
de chapas rígidas nos nós restringe as rotações fazendo-os traba-
lhar como se houvesse um engaste neste ponto.
A configuração do pórtico no caso (0) é ilustrada conforme Figura 
44. Os momentos e as reações estão indicadas conforme sentido 
positivo de cada um.
 UNIUBE 63
Figura 44 – Exemplo 4.2
Fonte: o autor
O cálculo do momento MA1 é feito de acordo com as tabelas de 
momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 com 
a viga que apresenta apoio fixo à direita e engaste à esquerda da 
Tabela 1). Assim, MA1 é calculado como segue:
O sinal positivo indica que o momento atua no sentido adotado 
inicialmente. A reação horizontal no apoio A é igual a zero. Assim, 
para o cálculo das reações em A e B1, basta aplicar as equações 
de equilíbrio na barra 1.
64 UNIUBE
Como não há carregamento na barra 2 e na 4, não há momentos e 
reações nos nós deste trecho. Resta, então, o cálculo da barra 3.
O cálculo dos momentos da barra 3 é feito de acordo com as tabe-
las de momentos apresentadas anteriormente (ver carregamento 1 
com a viga biengastada da Tabela 1 – como a carga distribuída de 
12kN/m está para a esquerda o apoio C da tabela corresponde ao 
apoio C da estrutura e o nó D da tabela o D da estrutura). Assim,
Para o cálculo das reações C3 e D, basta aplicar as equações de 
equilíbrio na barra 3.
 UNIUBE 65
O pórtico apresentado a seguir mostra o resumo das reações cal-
culadas anteriormente.
Figura 45 – Exemplo 4.3
Fonte: Martha (2010, p.354)
O termo de carga é igual ao somatório de momentos fletores de 
engastamento perfeito que atuam no nó em que foi inserido a chapa 
1. Lembrando que o primeiro índice refere-se ao número de ordem da 
deslocabilidade e o segundo índice ao caso analisado. Assim,
Já o termo de carga é igual ao somatório das reações que estão 
na direção da deslocabilidade D2. Assim,
O sinal negativo indica que ambas as reações estão direcionadas 
para a esquerda.
66 UNIUBE
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH
Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se 
todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índi-
ce 1. Assim, D1=1 atuando em seu sentido positivo (anti-horário). 
Com este deslocamento, as barras 2, 3 e 4 do pórtico sofrem uma 
deformação conforme apresentado na figura a seguir.
Figura 46 – Exemplo 4.4
Fonte: adaptada de Martha (2010)
Pela Figura 46 é necessário calcular os coeficientes de rigidez glo-
bal nas barras 2, 3 e 4 que sofreram deslocamentos com a rotação 
do nó C, como indicado. Assim, serão apresentados a seguir os 
cálculos de cada barra separadamente.
O cálculo da barra 2 é feito de acordo com as equações definidas nas 
soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado a seguir.
Figura 47 – Exemplo 4.5
Fonte: adaptada de Martha (2010)
 UNIUBE 67
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que a viga é apoiada do lado esquerdo (representado pela rótula) 
e engastado do lado direito. A rotação sofrida nesta solução básica 
está no sentido anti-horário (positivo) no engaste. Percebe-se que 
o momento da figura anterior é igual ao momento MC2, a reação da 
esquerda corresponde ao VB2 e a da direita igual ao VC2.
Assim, temos:
O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas 
nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado 
na Figura 48.
Figura 48 – Exemplo 4.6
Fonte: adaptada de Martha (2010)
68 UNIUBE
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que a viga é bi engastada. A rotação sofrida nesta solução básica 
está no sentido anti-horário (positivo) no engaste de baixo.
Assim,
O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas 
nas soluções básicas apresentadas anteriormente e reapresentado 
na Figura 49.
Figura 49 – Exemplo 4.7
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que a viga é apoiada em uma extremidade e engastada em outra. 
 UNIUBE 69
A rotação sofrida nesta solução básica está no sentido anti-horário 
(positivo) no engaste.
Assim,
O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e rea-
ções calculados no Caso (1).
Figura 50 – Exemplo 4.8
Fonte: adaptada de Martha (2010)
70 UNIUBE
IMPORTANTE!
Uma informação importante a ser explicada neste exemplo, é que 
todas as reações calculadas (coeficientes de rigidez locais, ou re-
ações de engaste perfeito) que estiverem nas direções dos apoios 
reais da estrutura, devem ser transferidas com valor e sentido cal-
culados para estes apoios.
Por exemplo, a reação vertical VB2 calculada na barra 2, por estar 
na direção do apoio vertical do engaste da barra 1, foi transferida 
para este apoio, sendo mantido o sentido e módulo. Como outro 
exemplo, a reação VC2 calculada também na barra 2, por estar nas 
direções dos apoios verticais do engaste da barra 3 e do apoio de 
segundo gênero da barra 4, foi transferidacom o mesmo sentido, 
porém, com o módulo dividido em 2 (por tratar-se de dois apoios).
O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à 
força/momento para impor D1=1 ao sistema principal e é obtido 
pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inse-
rido o apoio fictício. No nó em que foi inserida a chapa rígida soma-
se os momentos de engaste perfeito. No nó em que foi inserido o 
apoio de primeiro gênero fictício, somam-se as reações que foram 
calculadas no sentido orientado pelo apoio.
Assim,
 UNIUBE 71
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH
Neste caso, desconsidera-se todo o carregamento externo e faz-se 
todas as deslocabilidades iguais a zero, com exceção da com índice 
2. Assim, D2=1 atuando em seu sentido positivo (da esquerda para a 
direita). Com este deslocamento, as barras 1, 3 e 4 do pórtico sofrem 
uma deformação conforme apresentado na figura a seguir.
Figura 51 – Exemplo 4.9
Fonte: adaptada de Martha (2010)
Pela Figura 51 é necessário calcular os coeficientes de rigidez glo-
bal nas barras 1, 3 e 4 que sofreram deformações com o desloca-
mento horizontal da barra 2 para a direita, como indicado. Assim, 
serão apresentados a seguir os cálculos de cada barra separada-
mente. A barra 2 sofreu somente deslocamento horizontal de corpo 
rígido, não gerando esforços internos.
O cálculo da barra 1 é feito de acordo com as equações definidas nas 
soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.
72 UNIUBE
Figura 52 – Exemplo 4.10
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que o pilar é rotulado em cima e engastado em baixo. O desloca-
mento horizontal sofrido nesta solução básica está no sentido posi-
tivo, da esquerda para a direita na rótula. Assim, temos:
O cálculo da barra 3 é feito de acordo com as equações definidas nas 
soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.
 UNIUBE 73
Figura 53 – Exemplo 4.11
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que a barra é bi engastada. O deslocamento sofrido nesta solução 
básica está no sentido positivo (da esquerda para a direita) no en-
gaste de baixo.
Assim,
O cálculo da barra 4 é feito de acordo com as equações definidas nas 
soluções básicas apresentadas anteriormente e apresentado a seguir.
74 UNIUBE
Figura 54 – Exemplo 4.12
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O caso básico destacado anteriormente se refere às situações em 
que a barra é apoiada em uma extremidade (inferior) e engastada 
em outra (superior). O deslocamento sofrido ocorre no engaste e 
para a esquerda. Devido o deslocamento da barra 4 ser para a 
direita, conforme apresentado na estrutura do Caso (2), todos os 
sentidos apresentados na figura anterior deverão ser invertidos.
Assim,
O pórtico mostrado a seguir ilustra o resumo dos momentos e rea-
ções calculados no Caso (2).
 UNIUBE 75
Figura 55 – Exemplo 4.13
Fonte: adaptada de Martha (2010)
O coeficiente de rigidez global K11 e K21 é numericamente igual à 
força/momento para impor D2=1 ao sistema principal e é obtido 
pela soma dos coeficientes de rigidez locais no ponto onde foi inse-
rido o apoio fictício. No nó em que foi inserida a chapa rígida soma-
se os momentos de engaste perfeito. No nó em que foi inserido o 
apoio de primeiro gênero fictício, somam-se as reações que foram 
calculadas na direção do apoio.
Assim,
Pelo emprego do princípio de superposição de efeitos, a seguinte 
equação de compatibilidade estática do sistema principal é adotada. 
76 UNIUBE
Assim, 
Cálculo das reações de apoio
RELEMBRANDO
Para o cálculo das reações, basta aplicar a seguinte fórmula:
Reações no engaste da barra 1:
O primeiro valor entre parênteses nos cálculos anteriores são os 
valores das reações obtidas no caso (0). O segundo valor entre 
 UNIUBE 77
parênteses são os valores das reações obtidas no caso (1) multi-
plicados pelo valor D1. O terceiro valor entre parênteses são os va-
lores das reações obtidas no caso (2) multiplicados pelo valor D2.
Reações no engaste da barra 3:
Reações no apoio da barra 4:
A partir destas reações, consegue-se obter os diagramas, uma vez 
que não há reações que não foram calculadas.
a. Diagrama de momento fletor
78 UNIUBE
b. Diagrama de esforço cortante
c. Diagrama de esforço normal
Figura 56 – Exemplo 4.14
Fonte: o autor
Uma forma alternativa de construir os diagramas de esforços é uti-
lizando a fórmula do cálculo das reações, mas para o esforço que 
se deseja conhecer em cada nó.
 UNIUBE 79
Por exemplo, para saber o momento fletor, esforço cortante e esfor-
ço normal no nó C da barra 4, faz-se como apresentado a seguir:
O momento é positivo no sentido anti-horário. O diagrama de mo-
mento fletor indica qual lado da seção está tracionando, conforme 
indicado no diagrama anterior.
O esforço cortante é positivo, conforme convenção de sinais, quan-
do tende a girar a barra no sentido horário.
O esforço normal é positivo, conforme convenção de sinais, quan-
do tende a sair da barra, tracionando a mesma.
O mesmo deve ser feito para cada nó até completar todos os diagramas.
Considerações finais
A diferença entre os exemplos apresentados no Capítulo II e neste 
Capítulo é a presença das deslocabilidades externas. A identifica-
ção dos graus de liberdade em vigas contínuas é feita facilmente, 
uma vez que os únicos deslocamentos são as rotações nos nós 
internos. Quando se tem barras contidas em um plano, deve-se 
atentar para as possíveis deslocabilidades externas.
80 UNIUBE
A presença de barras rotuladas e engastadas em um plano irá con-
figurar as linhas deformadas nos elementos estruturais. É preciso 
que se resolvam diversos exercícios para compreender e fixar a 
metodologia de cálculo para estes tipos de estruturas.
Um fato que é preciso ter muita atenção é a transferência das for-
ças reativas nas coordenadas locais aos apoios, pois são por meio 
delas que são calculadas as reações de apoio da estrutura real.
Um ponto importante a se destacar aqui, é como calcular os coe-
ficientes de rigidez dos casos básicos nas direções das desloca-
bilidades externas. Quando se tem somente uma deslocabilidade 
externa, o cálculo do coeficiente de rigidez na direção desta des-
locabilidade pode ser feito somando-se as forças reativas nas bar-
ras que estão na mesma direção e alinhadas com o apoio fictício, 
ou então fazendo-se o equilíbrio de forças que estão atuando nos 
apoios reais na direção desta deslocabilidade.
Agora, quando se tem mais de uma deslocabilidade externa, os 
coeficientes de rigidez nas direções destas, só podem ser calcula-
dos somando-se as forças reativa nas barras que estão na mesma 
direção e alinhadas com os apoios fictícios.
Arthur Rosinski do Nascimento
Introdução
Método dos 
deslocamentos aplicado 
em grelhas
Capítulo
4
Conforme descrito no início do capítulo anterior a defi nição 
do modelo estrutural é uma das etapas mais importantes 
do projeto e análise estrutural. Lá, foram descritas algumas 
possibilidades de modelagem para a análise de um prédio. 
Um modelo muito utilizado para a representação do 
comportamento real da estrutura é o modelo de grelhas.
As grelhas são estruturas planas, ou seja, todos os elementos 
estruturais estão contidos no mesmo plano, porém o 
carregamento que solicita a estrutura possui a direção normal 
(perpendicular) a este plano.
Uma grelha pode representar um conjunto de vigas de todo 
o pavimento e que estão apoiadas simplesmente nos pilares. 
Sendo assim, este capítulo torna-se importante, pois fornece 
ao aluno mais uma alternativa diferente para a análise de 
estruturas hiperestáticas.
Para que se possamcompreender os cálculos desenvolvidos neste 
capítulo, o(a) aluno(a) deve conhecer o comportamento de grelhas 
isostáticas, cálculo de momentos fl etores e torçores, transmissão 
de momentos nos nós rígidos de ligação entre barras etc.
A única diferença encontrada neste capítulo em relação ao 
que já foi apresentado até o momento, é o aparecimento 
• Identificar as deslocabilidades em modelos estruturais 
do tipo grelha;
• Compreender a solução fundamental que relaciona 
a torção em torno do eixo de uma barra e calcular os 
coeficientes de rigidez à torção;
• Aplicar a rotina de cálculo em modelos estruturais do 
tipo grelha.
• Método dos Deslocamentos Aplicados a Grelhas
• Incógnitas do problema
• Número de incógnitas – deslocabilidade interna
• Número de incógnitas – deslocabilidade externa
• Grandezas fundamentais
• Exemplo de aplicação 5
• Exemplo de aplicação 6
Objetivos
Esquema
dos coeficientes de rigidez à torção que só aparece em 
estruturas tridimensionais e em grelhas.
Este capítulo será desenvolvido conforme teorias e 
exemplos de aplicação apresentados nos livros de Martha 
(2010) e Sussekind (1987) feitas as devidas considerações 
do autor deste material.
Método dos deslocamentos aplicado em grelhas4.1
4.1.1 Incógnitas do problema
No caso de estruturas espaciais, precisaremos conhecer a rota-
ção e o deslocamento linear resultantes de cada extremidade das 
barras que compõem a estrutura. Esta rotação será dada por suas 
componentes nos eixos x, y e z e o deslocamento linear por suas 
 UNIUBE 83
componentes nos eixos x, y e z em um total de 6 incógnitas por nó 
da estrutura espacial, nos casos mais gerais. 
Por hipótese, uma barra de grelha não tem solicitações axiais, apre-
sentando efeitos de flexão e cisalhamento transversais ao plano e 
efeito de torção. A figura a seguir mostra a convenção adotada 
para os eixos locais e para as deslocabilidades locais de uma barra 
de grelha. As deslocabilidades estão indicadas com seus sentidos 
positivos e as setas duplas indicam rotações.
Figura 57 – Deslocabilidades em nós de uma grelha
Fonte: Martha (2010, p.286)
Para as grelhas (supostas situadas no plano xy e carregadas na dire-
ção z), precisaremos conhecer as rotações em x e y e o deslocamento 
linear em z, em um total de 3 incógnitas por nó, nos casos gerais. 
4.1.2 Número de incógnitas – Deslocabilidade interna
Para o caso de estruturas espaciais, o número de deslocabilida-
des internas é igual ao triplo do número de nós internos, rígidos, 
que a estrutura possui, pois que, para cada um deles, precisa-
mos conhecer suas componentes de rotação em torno de cada 
um dos eixos coordenados. 
84 UNIUBE
Para o caso de grelhas, o número de deslocabilidades internas é 
igual ao dobro do número de nós internos, rígidos, que ela possui, 
pois, supondo a grelha situada no plano xy, não haverá componen-
te de rotação em torno do eixo z.
4.1.3 Número de incógnitas – Deslocabilidade externa
Este número de incógnitas independentes é traduzido pelo número 
de apoios do primeiro gênero que precisamos acrescentar à estru-
tura para torná-la sem deslocabilidades lineares na direção do eixo 
z (direção dos eixos das forças).
4.1.4 Grandezas Fundamentais
Considere a imposição de uma rotação por torção ϕA na extremida-
de esquerda de uma barra isolada, enquanto a rotação na outra ex-
tremidade é mantida nula (ϕB=0), tal como mostra a figura a seguir. 
Também considere a imposição de uma rotação ϕB na extremidade 
da direita, mantendo ϕA nula. São utilizadas setas duplas para re-
presentar rotações e momentos torçores.
Os momentos torçores TA e TB que atuam nas extremidades da 
barra para impor essas configurações deformadas também estão 
indicados na figura a seguir com seus sentidos positivos. Como 
não existe carregamento no interior da barra, o momento torçor é 
constante ao longo da barra.
 UNIUBE 85
Figura 58 – Coeficientes de rigidez local à torção de uma barra isolada
Fonte: Martha (2010, p.285)
Define-se genericamente o parâmetro Kϕ como o coeficiente de ri-
gidez à torção: 
4.1.5 Exemplo de aplicação 5 (MARTHA, 2010)
DICAS
A aplicação do método dos deslocamentos em grelhas segue a 
mesma metodologia do que está apresentado até o momento, 
inclusive as simplificações possíveis de serem adotadas. Uma 
observação a ser feita é que as considerações de barras inex-
tensíveis para as barras das grelhas não têm efeito algum, pois 
não há translações possíveis no plano de atuação da estrutura, 
uma vez que todos os carregamentos estão aplicados perpendi-
cularmente a este plano.
86 UNIUBE
Como visto anteriormente, cada nó da grelha que não tem restrição 
aos deslocamentos, tem três deslocabilidades, sendo duas internas, 
referentes aos deslocamentos do tipo rotação nos eixos x e y (supon-
do xy o plano da estrutura) e uma externa (deslocabilidade no eixo z). 
Desta forma, para impedir tais deslocabilidades é necessário a inser-
ção de duas chapas rígidas fictícias (na direção das rotações) e um 
apoio de primeiro gênero (na direção da translação sobre o eixo z).
Assim, para exemplificar a aplicação do método dos deslocamen-
tos em grelhas, é apresentada a situação a seguir.
Figura 59 – Exemplo 5.0
Fonte: adaptada de Martha (2010, p.383)
As deslocabilidades existentes na estrutura anterior são duas 
rotações nos nós internos na direção do eixo X e duas rotações, 
também nos nós internos na direção do eixo Y. Considerando 
que os apoios de primeiro gênero externos são rotulados, são 
desprezadas as rotações existentes nos mesmos (por simplifi-
cação). Como não há (por definição de grelhas) cargas nas dire-
ções dos eixos X e Y, não há deslocamentos translacionais nas 
direções dos mesmos e rotações na direção do eixo Z. Desta 
forma, o Sistema Hipergeométrico e as deslocabilidades exis-
tentes estão indicados na Figura 60.
 UNIUBE 87
Figura 60– Exemplo 5.1
Fonte: Martha (2010, p.383)
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
Como todas as cargas atuantes na estrutura estão sobre os eixos 
das barras, não aparecerão momentos torçores nas mesmas. As 
reações de momento estão apresentadas na Figura 61.
Figura 61 – Exemplo 5.2
Fonte: adaptada de Martha (2010)
88 UNIUBE
RELEMBRANDO
Para o cálculo do β10 é somado todos os momentos fletores que 
estão na direção da deslocabilidade 1 e atuando no nó em que foi 
inserida a chapa rígida 1.
Para o cálculo do β20 é somado todos os momentos fletores que 
estão na direção da deslocabilidade 2 e atuando no nó em que foi 
inserida a chapa rígida 2.
Para o cálculo do β30 é somado todos os momentos fletores que 
estão na direção da deslocabilidade 3 e atuando no nó em que foi 
inserida a chapa rígida 3.
Para o cálculo do β40 é somado todos os momentos fletores que 
estão na direção da deslocabilidade 4 e atuando no nó em que foi 
inserida a chapa rígida 4.
Lembrando que o vetor momento fletor atua perpendicular à barra 
fletida e o momento torçor atua na direção da barra torcida.
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH
A deslocabilidade D1 (rotação em torno do eixo X) é aplicada iso-
ladamente no sistema hipergeométrico. Assim, são calculadas as 
reações de momento e verticais barra por barra, como segue.
A primeira barra a ser considerada é a AB e tem como solução bá-
sica a barra a seguir.
 UNIUBE 89
Figura 62 – Exemplo 5.3
Fonte: o autor
Assim, as reações das soluções fundamentais são:
A segunda barra a ser considerada é a barra BC.
Figura 63 – Exemplo 5.4
Fonte: o autor
90 UNIUBE
Assim, as reações das soluções fundamentais são:
A terceira barra a ser considerada é a barra BE. A rotação D1 em 
torno do eixo X flete as barras AB e BC como mostrado anterior-
mente, mas torce a barra CB. Desta forma, a solução fundamental