Mat Ensino 05 Limites e Continuidade 2016 2B

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IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 
 
 
 
O que estudaremos em: 
 
Limites: 
1. Definição e Notações 
2. Análise de um Limite graficamente 
3. Cálculo de um Limite algebricamente 
4. Encontrando Assíntotas através de Limites 
5. Propriedades dos Limites 
6. Limites Fundamentais 
 
 
Continuidade: 
1. Definição de Continuidade num ponto 
2. Definição de Continuidade em extremidades e num intervalo 
3. Tipos de Descontinuidade 
4. Aplicações 
 
 
 
Por que estudaremos Limites? 
 
Os valores de algumas funções variam continuamente: quanto menor a variação da variável independente 
[normalmente representada por x], menor a variação no valor [f(x)] da função. Outras funções têm seus valores variando 
de forma imprevisível ou ainda, “saltando” de um valor para outro, quando variamos “controladamente” os valores da 
variável independente. A noção de Limite é uma ferramenta matemática que permite analisar e identificar tais 
comportamentos, permitindo com isso uma interpretação mais apurada da função como um todo. A determinação das 
equações de assíntotas, presentes na representação gráfica de algumas funções, também faz parte dessa interpretação mais 
apurada. 
Durante muito tempo, o conceito de Limite foi ferramenta essencial para a construção de gráficos de funções mais 
complexas. Atualmente, é muito simples encontrarmos em sites da internet, ou mesmo em celulares, softwares que fazem 
rapidamente o gráfico de muitos tipos de funções. Entretanto, até os “bons” softwares apresentam limitações que podem 
“confundir” os menos avisados. Algumas dessas limitações apresentadas pelos programas gráficos podem ser superadas, 
aplicando-se convenientemente algum conceito de Limite e Continuidade. Veremos isso no decorrer do nosso estudo. 
No cálculo superior, existem o que chamamos de “as sete indeterminações”, que são operações matemáticas 
envolvendo os números 0 [zero] e 1 [um] e também o infinito [] e que não possuem um resultado determinado. O estudo 
dos Limites possibilitará um importante contato com essas entidades, embora não faremos um estudo específico para isso. 
Finalmente, o conceito de Limite é uma das ideias essenciais para o entendimento de um importante conceito: a 
derivada [que será nosso próximo tópico de estudo] e também de vários outros conceitos subsequentes presentes no 
Cálculo Diferencial e Integral. 
 
 
NOTA: O estudo “completo” de Limites é amplo e rigoroso [você deve verificar isso na bibliografia dada a seguir] e foge do 
objetivo do nosso curso. Por isso, trabalharemos com a definição “informal” de Limite e o estudo dos Limites 
algébricos abordará casos envolvendo apenas alguns tipos de indeterminações, até por que, com o conhecimento 
da Regra de L'Hopital [que será um tópico dentro do estudo das Derivadas], podemos dispensar vários “artifícios” 
que tradicionalmente são explorados no estudo dos Limites. O que se espera que você saiba sobre Limites pode ser 
alcançado sem a necessidade de um estudo profundo, e sim da forma como abordaremos neste material. Será 
contemplado o que se julga necessário para desenvolver com desenvoltura, qualquer tema de Cálculo I e II do seu 
curso de Graduação, que envolva de alguma maneira o conceito de Limite. Além disso, você estará apto a interagir 
em situações que necessite do entendimento de Limites nas unidades curriculares “técnicas” do seu curso. 
 
 
 
Por que estudaremos Continuidade de uma função? 
 
Muitas “ferramentas” e conceitos que serão desenvolvidos no decorrer das unidades curriculares que envolvem o 
Cálculo Superior são aplicados [ou possíveis] para Funções Contínuas. Inúmeros fenômenos físicos são contínuos. Será 
comum você encontrar definições do tipo: ...”considere uma função contínua para todo o intervalo dado”... Em casos como 
estes, podemos dizer que situações de descontinuidade são desfavoráveis. Assim, o conceito de Continuidade será abordado 
de forma direta e objetiva, priorizando o entendimento amplo e o aspecto geométrico. 
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REFERÊNCIAS 
 
Este material foi produzido com base em parte da bibliografia abaixo e também através da experiência docente do autor, 
contando ainda com contribuições de colegas professores. 
 
Normalmente, as Referências Bibliográficas aparecem nas últimas páginas de um livro ou material. Apresento estas 
referências aqui, objetivando sempre lembrá-lo que a busca por outras fontes de informação é um fator essencial e de 
grande importância em qualquer tipo de estudo que se queira realizar. 
 
Os títulos apresentados a seguir são de ótima qualidade e podem ser encontrados em nossa biblioteca. Consulte-os! 
 
 
 THOMAS, George B. et al. Cálculo v. 1. 11. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. 
 ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. v. 1. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
 FLEMMING, Diva M.; GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2007. 
 STEWART, James. Cálculo. v. 1. 6. ed. Cengage Learning, 2009. 
 HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma variável. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
 HIMONAS, A. Alexandrou; HOWARD, Alan. Cálculo: Conceitos e Aplicações. 1. ed. LTC, 2005. 
 
 
Nota: Além de rever toda a teoria e resolver todos os exercícios deste material, você pode melhorar seus conhecimentos 
procurando por sites na internet e vídeos no youtube que tenham a teoria e/ou exercícios sobre o assunto. Experimente! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não tenha medo de crescer lentamente. Apenas tenha medo de ficar parado. 
[Provérbio chinês] 
 
 
 
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LIMITES 
 
Conceitos Iniciais e Notações Básicas 
 
[Situação 1] Sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás (perfeito) é função da pressão a que o 
mesmo está submetido. O gráfico abaixo representa tal relação e sua lei de associação é: 
P
k
V 
, onde 
k
 é uma constante 
que depende da massa e da temperatura do gás em questão e 
0P
 [não tem sentido físico considerar a pressão 
P
 como 
sendo nula ou negativa]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Com respeito à função 
P
k
V 
, o que se pode dizer de 
V
 quando 
P
 diminui, tendendo a zero? 
b) Para essa função, o que acontece com 
V
 quando 
P
 cresce, tornando-se um valor muito grande, tão grande quanto se 
queira, isto é, quando 
P
 tende para o infinito positivo? 
 
Resolução: 
a) Quando 
P
 diminui, tendendo a zero, escrevemos: 

 0P
, ou seja, 
P
 tende a zero por valores maiores que zero 
[dizemos que 
P tende a zero pela direita]. Quando isto acontece, o valor de V se torna muito grande, tão grande quanto 
se queira, isto é, 
V
 tende para um valor infinitamente grande e escrevemos: 
V 
[dizemos que 
V
 tende para “mais” 
infinito]. 
Para exprimir essa simultaneidade de tendências, utilizamos a notação de limite: 

 
)/(limlim
00
PkV
PP
. 
b) Quando 
P
 aumenta, tornando-se muito grande, tão grande quanto se queira, isto é, quando 
P
; 
V
 tenderá a 
zero, ou seja, 
0V
. Isto não significa que o volume será zero! 
Utilizandonovamente a linguagem de limite, temos: 
0)/(limlim 

PkV
PP
. 
 
[Situação 2] Calcule a soma da série infinita: 
...
16
1
8
1
4
1
2
1

 
 
Resolução: 
A seqüência apresentada neste caso é uma progressão geométrica [PG] de infinitos termos em que 
2
1
1 a
 [1º termo] e 
2
1
q 
[razão]. Logo a soma solicitada pode ser calculada através da expressão já conhecida no ensino médio: 
)2/1(1
2/1
1
1




q
a
S
 e, portanto 
1S
. Podemos detalhar a notação: 
1lim
2
1
lim
1
2
 


 




 SSN
N
N
n
nN
. 
 
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
Pressão (atm)
Vo
lum
e (
cm
3 )
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Para tornar mais visual o resultado que acabamos de obter, imaginemos um quadrado de lado unitário e assim, o número 
1 [um] representa a sua área. 
 
 
 
 
 
 
Vamos encaixar no espaço desse quadrado o retângulo, que será representado pelo número 
2
1
 [que é sua área]. 
 
 
Em seguida encaixemos, no espaço restante do quadrado original, o quadrado de área 
4
1
. 
 
 
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o retângulo (que representará o número 
8
1
). 
 
 
Em seguida encaixemos, no espaço restante no quadrado original, o quadrado (que representará o número 
16
1
). 
 
 
E assim sucessivamente vamos encaixando, no espaço restante do quadrado original, os retângulos e quadrados, que têm 
suas áreas representadas na seqüência infinita de números: 
,...
256
1
 ,
128
1
 ,
64
1
 ,
32
1
 que formam uma PG. 
Dessa forma, parece-nos que fica intuitivo perceber que, com um número finito de encaixes, o espaço do quadrado original 
nunca será totalmente preenchido (o que mostra 
1nS
). Por outro lado, com um número convenientemente grande de 
retângulos e quadrados, podemos tornar o espaço restante no quadrado original tão pequeno quanto desejarmos (o que 
mostra que 
1nS
 ou, em outros símbolos, 
1S
). 
 
Observação: Com a aplicação conveniente do conceito de limites, em algumas situações, podemos encontrar informações 
que “inicialmente” podem ser difíceis de identificar. 
 
1
 u
c 
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Noção Intuitiva 
 
Seja a função 
12)(  xxf
. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela direita (valores maiores que 1) e pela 
esquerda (valores menores que 1), e calcular o valor correspondente a y: 
 
x y = 2x+1 x y = 2x+1 
0,5 2 1,5 4 
0,7 2,4 1,3 3,6 
0,9 2,8 1,1 3,2 
0,95 2,9 1,05 3,1 
0,98 2,96 1,02 3,04 
0,99 2,98 1,01 3,02 
0,999 2,998 1,001 3,002 
 
Representação gráfica: 
 
 
 
Notamos que, à medida que x se aproxima de 1 [tanto pela direita quanto pela esquerda], y se aproxima de 3, ou seja, 
quando x tende para 1 [ escrevemos 
1x
], y tende para 3 [ escrevemos 
3y
]. Para isso, escrevemos: 
 
3)(lim
1


xf
x 
ou 
 3)12(lim1  xx
 
 
 Definição INFORMAL: De forma geral, escrevemos: 
Lxf
ax


)(lim
 
 quando 
x
 se aproxima de 
a
 [
ax 
] e 
)(xf
 se aproxima de 
L
 [
Lxf )(
]. 
 
A definição acima foi denominada “informal”, pois a definição mais precisa de limite requer um estudo mais profundo, que no 
momento não é de extrema necessidade. Destaca-se ainda que a expressão “se aproxima” é relativamente imprecisa, pois a 
aproximação depende de um contexto [o que é “aproximado” para um caso pode não ser para outro – pense a respeito!]. 
 
Teorema: 
 
Uma função 
)(xf 
terá um limite quando 
x
 se aproximar de 
a
, se e somente se, existir um limite lateral à direita e um à 
esquerda, e esses dois limites laterais forem iguais. Simbolicamente: 
 
Lxf
ax


)(lim
  
)(lim)(lim xfLxf
axax  

 
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Exemplos: 
1) Seja a função racional 
3
9
)(
2



x
x
xf
 com 
}3|{  xxD
. Graficamente, temos: 
 
 
Assim, determine o que se pede abaixo: 
 
 
6)(lim
3


xf
x
 
 
6)(lim
3


xf
x
 
 
6)(lim
3


xf
x
 
 
])([)3( xfparaexistenãof 
 
 
 
 
Nota: Veremos mais adiante que um limite também pode ser encontrado algebricamente. 
 
Importante: 
O valor do limite de uma função 
)(xf
 quando 
kx  não depende de como a função é definida para )(kf . Veja: 
 
 
 
 2)(lim1  xfx 2)(lim1  xgx 2)(lim1  xhx 
 
 
)1(f
 
1)1( g
 
2)1( h
 
 
Observe que os limites das funções 
)(xf
, 
)(xg 
e 
)(xh
 quando 
1x
 são iguais, entretanto temos 
)1()1()1( hgf 
. 
A função 
)(xh
 é dita contínua no ponto em que 
1x
, enquanto as funções 
)(xf 
e 
)(xg 
são descontínuas no ponto em 
que 
1x
 [trataremos sobre a “continuidade” de uma função, num estudo logo a seguir]. 
 
É muito importante que você sempre considere que no cálculo de 
)(lim xf
ax
 o que nos “interessa” é o 
comportamento de 
)(xf
 quando 
x
 se aproxima de 
a
 e NÃO o que ocorre com 
)(xf
 quando
 ax 
. 
 
0 3 
6 
y 
x 
– 3 
3 
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Observação: 
0
1


 e 

0
1
 
 
Pense a respeito e tire suas próprias conclusões! 
2) Dada a função
)(xf
 abaixo, construa o seu gráfico. 
 









3,2
3,5
3,7
)(
xse
xse
xsex
xf
 
 
Determine, se existir: 
 
a) 
2)(lim
3


xf
x 
e) 
2)(lim 

xf
x 
 
 
b) 
4)(lim
3


xf
x
 f) 


)(lim xf
x
 
 
c) 


)(lim
3
xf
x
 g) 
1)(lim
6


xf
x
 
 
d) 
5)3( f
 h) 
2)(lim
0


xf
x
 
 
 
3) Calcule algebricamente os limites dados a seguir: 
 
a)
 14)77(lim3  xx
 c)
 2)82(lim
3/1
0


t
t 
e)
 12)12(lim5 x
 
 
 
b)
 1)11(lim
1973
12


n
n
 d)
 04
33
lim
1




a
a
 f)
 7
1
5
72
lim
2
2



 x
x
x
 
 
 
 
4) Dada a função 
x
xf 2)( 
, esboce o seu gráfico e determine: 
 
a)
  )(lim xfx 
 
b) 
0)(lim 

xf
x
 
 
c) A equação da assíntota horizontal: 
0y
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição – Assíntota Horizontal: 
 
A reta 
ny 
é uma assíntota horizontal do gráfico da função 
)(xf
 se: 
nxf
x


)(lim
 ou 
nxf
x


)(lim
. 
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5) A população de uma determinada espécie animal em um zoológico varia através da seguinte lei: 
4/45
95)(
te
tN


, 
onde 
)(tN
 é o número de animais e 
t
 é o tempo em semanas. Descreva o que acontece com a população no decorrer do 
tempo. Verifique a sua conclusão calculando: 
)(lim tN
t 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dada a função racional 
xx
xx
y



2
2
2
 e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota vertical e também 
o domínio dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição – Assíntota Vertical: 
 
A reta 
kx 
é uma assíntota vertical do gráfico da função 
)(xf
 se: 


)(lim xf
kx
 e/ou 


)(lim xf
kx
. 
 
Nota: As Sete Indeterminações do Cálculo: 




1,,0,0,,,
0
0 00
. 
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EXERCÍCIOS – Limites 
1) Os cientistas P. F. Verhulst, R. Pearl e L. J. Reed, contrariando a teoria de Malthus de que as populações crescem em 
progressão geométrica, propuseram uma lei de crescimento populacional cujo gráfico tem o seguinte aspecto: 
 
Para Pearl e Reed as condições físicas determinavam um limite superior 
L
 
para a população de uma região ou país e, utilizando os censos norte-
americanos de 1790 a 1910, obtiveram a lei experimental: 
t
P



)03,1.32,671
274,197
( 
 
onde 
P
 é a população norte-americana, em milhões de habitantes, 
t
 anos 
após 1790. Assim, calcule o limite da função 
P
, quando 
t
. 
 
 
2) Considere uma lente delgada convergente de distância focal 
f
 (nas lentes convergentes, 
0f
). E seja “e” o eixo 
principal dessa lente: 
 
Seja 
P
 um objeto situado em “e”, e 
P
 a imagem 
correspondente. As abscissas 
p
 de 
P
 e 
p
 de 
P
, tomadas 
em relação ao centro óptico O da lente, se relacionam através da 
equação de Gauss: 
fpp
111



 
 
Dessa equação tiramos que: 
fp
fp
p


. 
 
E se construirmos o gráfico de 
p
 em função de 
p
, obteremos: 
 
Observando o gráfico dado, calcule: 
 
a)
p
P

 
lim
 d)
p
fP

 
lim
 
 
b) 
p
P

0 
lim
 e)
p
P

 f 2
lim
 
 
c)
p
fP

 
lim
 f)
p
P

 
lim
 
 
 
 
 
3) A população de uma colônia de bactérias varia segundo a função definida por: 
te
tP


75
60
)(
, onde 
)(tP
 é dada em 
bilhões e 
t
 em dias. Descreva o que acontece com a população no decorrer do tempo. Verifique a sua conclusão achando o 
valor do 
)(lim tP
t 
. 
 
4) Seja a função definida por 






373
31
)(
x, se x
x, se x
xf
 . Calcule os limites: 
 
a)
)(lim
–3
xf
x
 b)
)(lim
3
xf
x 
 c) 
)(lim
3
xf
x
 d) 
)(lim
5
xf
x
 e)
)(lim
13
xf
x 
 
 
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5) Considere a função modular 
|4|)(  xxf
. Determine os limites indicados e construa o gráfico de 
)(xf
. 
 
a)
)(lim
4
xf
x 
 b)
)(lim
–4
xf
x
 c)
)(lim
4
xf
x
 
 
6) Dada a função: 












12
12/3
10
0/1
)(
2
xx, se 
x, se 
x, se x
x , se x
xf , construa seu gráfico e calcule os limites indicados, se existirem. 
 
a)
)(lim
–1
xf
x
 b)
)(lim
1
xf
x
 c)
)(lim
0
xf
x 
 d)
)(lim
–0
xf
x
 
e)
)(lim
0
xf
x
 f)
)(lim
2
xf
x 
 g)
)(lim
–2
xf
x
 h)
)(lim
2
xf
x
 
 
7) Determine os limites dados a seguir, caso existam. 
a)






3
2
lim
xx
 c)
 




 )/1(2
1
lim
xx
 e)
 






 )/1(3
)/7(5
lim
2
x
x
x
 
b)
 





3
2
lim
xx
 d)
 




 )/1(2
1
lim
xx
 f)
 






 )/1(3
)/7(5
lim
2
x
x
x
 
 
8) Discuta o comportamento da função 
2
/1)( xxf  
próximo de 
0x
 e também quando 
x
 e 
x
. 
 
9) Discuta o comportamento da função 
xxf /1)(  
próximo de 
0x 
e também quando 
x
 e 
x
. 
 
10) Seja 
)(xf
 a função definida em cada gráfico apresentado a seguir. Intuitivamente, encontre se existir: 
 
a) b) 
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 








)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 
 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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c) d) 
 








)(lim
)(lim
)(lim
1
1
1
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)1(
xf
xf
f
x
x
 
 
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)0(
xf
xf
f
x
x
 
 
 
e) f) 
 
 
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)0(
xf
xf
f
x
x
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 
 
 
 
 
 Reflita se puder... O homem é uma fração, cujo numerador corresponde ao que ele é, enquanto o denominador, é o que acredita ser. [Tolstoi] 
2 
y 
x 
2 
1 
0 
–1 
4 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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g) h) 
 
 
 
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 








)(lim
)(lim
)(lim
3
3
3
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)3(
xf
xf
f
x
x
 
 
 
i) j) 
 








)(lim
)(lim
)(lim
2
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 
 








)(lim
)(lim
)(lim0
0
0
xf
xf
xf
x
x
x
 






)(lim
)(lim
)(lim
5,1
xf
xf
xf
x
x
x
 
 
 
 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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k) l) 
 








)(lim
)(lim
)(lim
1
2
2
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)2(
xf
xf
f
x
x
 
 








)(lim
)(lim
)(lim
1
1
1
xf
xf
xf
x
x
x
 





)(lim
)(lim
)1(
xf
xf
f
x
x
 
 
11) Seja 









3,1
3,1
3,3
)(
xse
xse
xse
xf 
a função representada pelo gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine, se existir: 
 
a)
 
)(lim
–3
xf
x
 b)
 
)(lim
3
xf
x 
 c) 
)(lim
3
xf
x
 d)
 
)(lim xf
x 
 
e)
 
)(lim xf
x  
f) 
)(lim
5
xf
x 
g) 
)(lim
14
xf
x 
h)
 
)(lim
0
xf
x
 
 
 
Para descontrair [se puder...] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para refletir: Nós somos o que fazemos repetidas vezes. Portanto, a excelência não é um ato, mas um hábito. [Aristóteles] 
1 
Nota: a “piadinha matemática” ao lado, 
apesar de bem bolada, apresenta um 
erro sutil. Você é capaz de dizer qual é? 
0 
y 
x 
3 
1 
3 
–1 
 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1) L = 197,274 milhões de habitantes 
 
2a) f 2b) 0 2c) –  2d)  2e) 2f 2f) f 
 
3) Com o decorrer do tempo, a população se aproxima de 12 bilhões de bactérias 
 
4a) 2 4b) 2 4c) 2 4d) 8 4e) –14 
 
5a) 0 5b) 0 5c) 0 Gráfico logo abaixo! 
 
6a) 1 6b) 1 6c) 0 6d) –  6e) não existe 6f) 0 
6g) 0 6h) 0 Gráfico abaixo! 
 
 
[Gráfico Questão 5] [Gráfico Questão 6] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7a) –3 7b) –3 7c) 1/2 7d) 1/2 7e) –5/3 7f) –5/3 
 
 
8)
    )(lim)(lim)(lim 000 xfxfxf xxx
. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 
0x
. 
 
 
0)(lim)(lim 

xfxf
xx
. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 
0y
. 
 
Nota: Veja o gráfico da questão 8 na página seguinte! 
 
 
9)
 


)(lim
0
xf
x 
e 


)(lim
0
xf
x
. Isso implica que a função tem assíntota vertical com equação: 
0x
. 
 
 
0)(lim)(lim 

xfxf
xx
. Isso implica que a função tem assíntota horizontal com equação: 
0y
. 
 
Nota: Veja o gráfico da questão 9 na página seguinte! 
 
 
 
Para refletir: É fazendo que se aprende a fazer aquilo que se deve aprender a fazer. [Aristóteles] 
 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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 Gráfico de 
2
/1)( xxf 
 [Questão 8] Gráfico de 
xxf /1)( 
 [Questão 9] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) As respostas estão abaixo! 
 
a)
4)(
2
lim 

xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 
4)2( f
 
4)(lim 

xf
x
 


)(lim xf
x
 
b)


)(
2
lim xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 
3)2( f
 
1)(lim 

xf
x
 
1)(lim 

xf
x
 
c)
5)(
1
lim 

xf
x
 
5)(
1
lim 

xf
x
 
5)(
1
lim 

xf
x
 
0)1( f
 
1)(lim 

xf
x
 


)(lim xf
x
 
d)


)(
0
lim xf
x
 


)(
0
lim xf
x
 


)(
0
lim xf
x
 
0)0( f
 
1)(lim 

xf
x
 
1)(lim 

xf
x
 
e)
3)(
0
lim 

xf
x
 


)(
0
lim xf
x
 


)(
0
lim xf
x
 
3)0( f
 


)(lim xf
x
 
1)(lim 

xf
x
 
f)
4)(
2
lim 

xf
x
 
1)(
2
lim 

xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 
2)2( f
 
1)(lim 

xf
x
 
4)(lim 

xf
x
 
g)
3)(
2
lim 

xf
x
 
0)(
2
lim 

xf
x
 


)(
2
lim xf
x
 
2)2( f
 
6)(lim 

xf
x
 


)(lim xf
x
 
h)


)(
3
lim xf
x
 


)(
3
lim xf
x
 


)(
3
lim xf
x
 
1)3( f
 
4)(lim 

xf
x
 
1)(lim 

xf
x
 
i)
0)(
2
lim 

xf
x
 
0)(
2
lim 

xf
x
 
0)(
2
lim 

xf
x
 
 )2(f
 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 
j)
0)(
0
lim 

xf
x
 
0)(
0
lim 

xf
x
 
0)(
0
lim 

xf
x
 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 
5,2)(
5,1
lim 

xf
x
 
k)
0)(
2
lim 

xf
x
 
0)(
2
lim 

xf
x
 
1)(
1
lim 

xf
x
 
0)2( f
 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 
l)
2
1
)(
1
lim 

xf
x
 


)(
1
lim xf
x
 


)(
1
lim xf
x
 
2
1
)1( f
 


)(lim xf
x
 
2
1
)(lim 

xf
x
 
 
 
11a) –1 11b) 3 11c) Não existe 11d) –1 11e) 3 
11f) 3 11g) 3 11h) –1 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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A Definição Formal de Limite 
 
Seja 
)(xf
 uma função definida em um intervalo aberto em torno de 
0x
, exceto talvez em 
0x
. Dizemos que 
)(xf
 tem 
limite 
L
 quando 
x
 tende a 
0x
 e escrevemos: 
 
,)(lim
0
Lxf
xx


 
 
se para cada número 
0
 existir um número correspondente 
0
 tal que, para todos os valores de 
x
, 
 
 ||0 0xx
  
 |)(| Lxf
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propriedades dos Limites 
 
Considere, para este estudo, que a notação 
lim
 representa uma das notações: 
  xxaxaxax
lim ,lim ,lim ,lim ,lim
–
. 
Assim, se existirem 
1)(lim Lxf 
 e 
2)(lim Lxg 
, então: 
 
1) 
kk lim
, sendo 
k
 uma constante. 
 
Exemplos: 
55lim
2

x
 e 
1414lim 
x 
 
2) 
1])(lim[])([lim Lkxfkxfk 
, onde 
k
 é uma constante. 
 
Exemplo: 
10)2(5)11(5)1(lim5)]1.(5[lim)55(lim
111


xxx
xxx 
 
3) 
21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf 
 
 
Exemplo: 
8264)2()23()2()2(lim)3(lim)(lim)23(lim
2
22
2
2
2
2

 xxxx
xxxx
 
 
4) 
21)](lim[)](lim[])()([lim LLxgxfxgxf 
 
 
Exemplo: 
60106)2.5()2.3()5(lim)3(lim)53(lim
222


xxxx
xxx 
Ao lado, temos uma ilustração que 
destaca a relação entre  e  na 
definição de limite.IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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5) 
2
1
)(lim
)(lim
)(
)(
lim
L
L
xg
xf
xg
xf





 , desde que 02 L
. 
 
Exemplo: 
2
1
4
2
)31(
)1.2(
)3(lim
)2(lim
3
2
lim
1
1
1















x
x
x
x
x
x
x
 
 
6) 
nnn Lxfxf 1)(lim)(lim 
, desde que 
01 L
 quando 
n
 for par. 
 
Exemplo: 
391816)14(lim14lim
4
2
4
2


xxxx
xx 
 
7) 
nnn
Lxfxf ][])(lim[])([lim 1
, desde que 
n
L ][ 1
 seja um número real. 
 
Exemplo: 
9]3[]21[])2(lim[)2(lim
222
1
2
1


xx
xx
 
 
8) 
 [ [ ][ln)](limln)](lnlim 1Lxfxf 
, desde que 
01 L
, sendo a propriedade análoga para 
)]([log xfa
 
 
Exemplo: 
110log]lim[log)(loglim
1010


xx
xx
 
 
9) 
][)](lim)](lim 1Lsenxfsenxfsen  [ [ 
ou 
][cos)](limcos)](coslim 1Lxfxf  [ [ 
 
 
Exemplo:
 13cos]3lim[cos)3(coslim    xx xx
 
 
 
 
Casos Especiais: 
 
10) Limite de Polinômios quando 
x
 
O polinômio 
n
nxcxccxp  ...)( 10
, comporta-se exatamente como o seu termo de maior grau quando 
x
. 
O sinal varia conforme o esquema a seguir: 
 
  


n
x
xlim
, 
...,3,2,1npara
  






 ...n, para 
... n, para
x
n
x ,5,3,1
,6,4,2
lim
 
 
Nota: Quando se multiplica o termo 
n
x
 por um número real positivo, não se afeta o valor do limite, entretanto quando se 
multiplica 
n
x 
por um número real negativo, inverte-se o sinal do respectivo limite. Observe os exemplos a seguir: 
 
Exemplos:  


)7(lim)9247(lim
535
xxxx
xx 
 
 


)6(lim)2856(lim
323
xxxx
xx 
 



52lim x
x
 


64lim x
x 



87lim x
x
 



52lim x
x
 


64lim x
x
 


87lim x
x 
 
Observe: 
)9(limlim
162
9limlim
162
9.lim)1629(lim
4
43
4
43
434

 











xxxxxx
x
xxx
x
xxx
xxxx
 
 


4
9lim x
x
 Portanto: 


434
9lim)1629(lim xxxx
xx 
0 0 0 
IFSC / Limites e Continuidade de uma Função Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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11) Limite de Funções Racionais quando 
x
 
Lembre-se que uma função racional 
)(xf
é uma razão entre polinômios. Simbolicamente: 
)(
)(
)(
xq
xp
xf  
com 
0)( xq
. 
Após a eliminação dos termos de menor grau, aplicamos: 


















n se m
nmse 
b
a
nse m
xb
xa
n
m
x
 
 
 
0
lim
0
0
0
0
 
Exemplos: 
 
●
 
nmpoisx
x
x
xx
xx
x
çãosimplifica
x
epropriedad
x




 



  )9lim9lim
73
941
lim (
2
3
2
32
 
 
●
 
nmpois
x
x
xx
x
x
çãosimplifica
x
epropriedad
x







 



 

 
2
1
10
5
lim
10
5
lim
310
145
lim
4
4
4
4
 
 
●
 
nmpois
xx
x
xx
x
x
çãosimplifica
x
epropriedad
x







 



 

 0
8
lim
8
lim
6
873
lim
22
 
 
● Dada a função racional 
xx
xx
y



2
2
2
 
e o seu gráfico [abaixo], determine a equação da assíntota horizontal e 
também o conjunto imagem dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Limite de Funções Racionais quando ocorre indeterminação [do tipo 0/0] 
 
Quando calculamos algebricamente um limite, existem situações em que, quando substituímos 
ax 
 no limite 
)(lim xf
ax
, 
encontramos uma das sete indeterminações do Cálculo: 



1,,0,0,,,
0
0 00
. Como existem muitos 
tipos de funções para cada uma das indeterminações, também existem diversos artifícios algébricos para resolvê-los. 
 
Neste momento, abordaremos apenas uma situação. Veja: 
 
 
Exemplos: 
 
1) Calcule o valor de: 
3
)3)(24(
lim
3 

 x
xx
x
 
 
Resolução: 
Fazendo a substituição de 
3x
 no limite dado, temos: 




 
0
0
3
)3)(24(
lim
3 x
xx
x
 Indeterminação! 
 
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Quando a substituição do valor de 
x
 resulta em uma indeterminação [como neste caso], não significa que o limite não 
exista, até porque estamos interessados no comportamento da função quando 
3x e não quando 3x . 
 
Assim, devemos fazer uso de artifícios matemáticos para “eliminar” a indeterminação para então chegarmos ao verdadeiro 
valor do limite. 
 
Sabendo disso, podemos observar que a função racional em questão 
3
)3)(24(
)(



x
xx
xf
 tem fatores do 1º grau 
)3( x
 comuns no numerador e no denominador. Logo, simplificando a função, damos origem a uma nova: 
 
3
)3)(24(
)(



x
xx
xf
  
24)(  xxs
. 
 
Finalmente, podemos escrever o valor do limite procurado: 
14)24(lim
3
)3)(24(
lim
33




x
x
xx
xx 
 
 
 
Nota: Vale destacar que as funções 
3
)3)(24(
)(



x
xx
xf
 e 
24)(  xxs
 são diferentes em 
3x
, entretanto 
temos que: 
)(lim)(lim
33
xsxf
xx 

. 
 
 
 
2) Calcule: 
2422
123
lim
24 

 xx
x
x
 
 
Resolução: 
 
Fazendo a substituição de 
4x
 no limite dado, temos: 




 
0
0
2422
123
lim
24 xx
x
x
 Indeterminação! 
 
Neste tipo de limite, se o numerador e o denominador se aproximam de zero quando 
ax 
, então o numerador e o 
denominador terão um fator comum 
)( ax 
 e o limite pode [frequentemente] ser obtido cancelando-se os fatores comuns. 
Veja: 
 
14
3
)3.(2
3
lim
)3).(4.(2
)4.(3
lim
2422
123
lim
4424








 xxx
x
xx
x
xxx
  
14
3
2422
123
lim
24



 xx
x
x 
 
 
Nota: O denominador da função racional [no limite em questão] é representado por uma função quadrática. Eis que tal 
expressão pode ser fatorada em termos do primeiro grau. Formalmente, podemos escrever: 
 
 
))((2 xxxxacbxax  
 sendo que 
x
 e 
x 
 são as raízes da equação 
02  cbxax
. 
 
Resolvendo a equação do 2º grau 
02422 2  xx
 [pela fórmula de Bhaskara ou por qualquer outro método adequado] 
encontramos as raízes 
4x
 e 
3x
. 
 
Assim, neste caso temos: 
)3(]).4[.(22422 2  xxxx
 
 
Simplificando a expressão: 
)3).(4.(22422 2  xxxx
 
 
 
Observação: Vale relembrar que, neste estudo, consideramos 
x
, 
x 
  ℝ. 
 
Nota: 
 
A expressãoquadrática 
962  xx
 
pode ser escrita de duas maneiras: 
 
)3)(3(962  xxxx
 
 
ou 
 
22 )3(96  xxx
 
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Exemplo: Revisitando o exemplo 1 [página 6] – Encontrando o limite algebricamente! 
 
 Seja a função racional 
3
9
)(
2



x
x
xf
 com 
}3|{  xxD
. Determine 
)(lim
3
xf
x
 algebricamente. 
 
Resolução: 
Como queremos encontrar o 








 3
9
lim
2
3 x
x
x 
algebricamente, podemos substituir o valor de 
3x
 no mesmo para 
“tentarmos” encontrar o seu valor correspondente [lembre-se que no limite ocorre que 
3x
 e não que 
3x
]. 
 
Fazendo isso, encontramos: 
 
 









 3
9
lim
2
3 x
x
x
 









33
932
 






0
0
[?]  o que já era esperado, pois 
}3|{  xxD f
. 
 
A expressão 
0
0
 é uma INDETERMINAÇÃO do Cálculo [uma das sete existentes] o que impossibilita determinar o limite 
diretamente. Para isto, utilizaremos um artifício matemático para transformar a função 
)(xf em outra função que tenha o 
mesmo limite para 
3x
. Assim, faremos aqui o uso do produto notável: 
22
)).(( bababa 
. Veja a seguir: 
 
 









 3
9
lim
2
3 x
x
x









 3
3
lim
22
3 x
x
x







 3
)3)(3(
lim
3 x
xx
x


)3(lim
3
x
x
6)33( 
 
  
6
3
9
lim
2
3









 x
x
x
 
 
Note que o gráfico da função 
3
9
)(
2



x
x
xf
 com 
}3|{  xxD
 difere do gráfico da função simplificada 
3)(  xxs
 com 
D
 apenas no ponto 
)6,3(
, pois: 
)()6,3( xs
 e 
)()6,3( xf
. 
 
 
Entretanto: 
6)(lim)(lim
33


xsxf
xx
 
 
 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 }3|{  xxD D
 
 
3
9
)(
2



x
x
xf
 
0 3 
6 
y 
x 
– 3 
3 
3)(  xxs
 
0 3 
6 
y 
x 
– 3 
3 
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Alguns Lembretes Úteis! 
 
Fatoração de Polinômios: 
 
● 
))((
2
xxxxacbxax  
sendo que 
x
 e 
x 
 são as raízes da equação 
0
2
 cbxax
 
 
● 
))()((
23
xxxxxxadcxbxax  
sendo que 
x
, 
x 
e 
x 
 são as raízes da equação 
0
23
 dcxbxax
 
 
Produtos Notáveis: 
 
● 
2222
2)()( babababa  
 
● 
2222
2)()( babababa  
 
 
● 
32233
33)( babbaaba 
 
 
● 
32233
33)( babbaaba 
 
 
● 
)).(()).((
22
bababababa  
 
● 
))((
2233
babababa 
 
 
● 
))((
2233
babababa  
 
 
13) Limites em que ocorrem “outras” Indeterminações 
 
Vimos anteriormente como resolver limites de funções racionais quando ocorre a indeterminação 
0
0
. Para resolvermos 
algebricamente limites em que ocorrem outras indeterminações 





 



1,,0,0,,
00
, aplicamos 
procedimentos específicos para cada caso. Veja dois deles: 
 
Exemplos: 
 
1) 






 53
12
lim
2
x
x
x
 Indeterminação! 
 










x
x
x
x
x
x
x
x 5
3
1
2
lim
53
12
lim
22
2
2
 Substituindo 
x
 temos: 
3
2
5
3
1
2
lim
2




x
x
x
 
 
 
2) 


xx
x
12lim
 Indeterminação! 
 
  




 xxxx
xx
xx
xx
xxx
xx
1
1
1
1
1
1
22
22
2
2
2 limlim1lim
 Substituindo 
x
 temos: 
 



1
lim
1
1
2 xxx 

 
0lim 12 

xx
x
 
 
 
Nota: Pesquise outros “artifícios” existentes que possibilitem resolver limites em que ocorrem as outras indeterminações! 
 
 
 
Para refletir: Ouvi dizer que o governo iria cobrar impostos mais caros dos ignorantes em Matemática. 
Engraçado! Eu pensei que a loteria já era justamente isso! [Gallagher] 
No nível de estudo que nos encontramos, você já 
deve ter memorizado a fórmula que resolve uma 
equação quadrática do tipo: 
0
2
 cbxax
, 
conhecida como fórmula de Bhaskara: 
 
a
b
x
2


 sendo que: 
acb 4
2

 
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14) Limites Fundamentais 
 
São três os chamados limites fundamentais: 
a) 
1lim
0

 x
xsen
x
 
 
b) 
e
x
x
x
 






1
1lim
 
 
c) 
a
x
a
x
x
 ln
1
lim
0



 [com a > 0 e a  1] 
 
Abaixo, a representação gráfica da função x
x
xf 






1
1)(
, onde o “limite fundamental” indica a existência de uma 
assíntota horizontal de equação: 
ey 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1) Determine o valor de 
x
xsen
x
2
lim
0
. 
 
Podemos encontrar o limite em questão através de duas maneiras: 
 
Resolução [I]: 
 
Multiplicando a função presente no limite por 
2
2
 temos: 
 
2]1[2
2
2
lim2
2
2
2lim
2
22lim
2
lim
02000
 



 x
xsen
x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxxx
 
 
Resolução [II]: 
 
Fazemos 
ux 2
. Assim quando 
0x
 segue que 
0)2/( u
  
0u
. Substituindo no limite, temos: 
 
2]1[2lim22lim
2/
lim
2
lim
000
2
0
 






 u
usen
u
usen
u
usen
x
xsen
uuu
ux
x
 
 
e
 
Lembre-se que: 
e
 = 2,71828182... 
[Número de Euler] 
Lembre-se que: 
 
1lim
0




sen
 
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2) Determinar 
]/1
0
)1ln([lim t
t
t

. 
Resolução: 
Fazemos 
t
x
1

. Assim, quando 
0t
 segue que 
x
. Substituindo no limite, temos: 
 
1ln11limln11lnlim])1ln([lim /1/1
0










 









 


 
e
xx
t
x
x
x
x
txt
t
 
 
 
 
3) Calcule 
x
ba
xx
x

0
lim
 , com 
0, ba
 e 
1, ba
. 
 
Resolução: 








































 b
a
b
a
x
b
a
b
x
b
a
b
x
b
a
b
x
ba
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
lnln]1[
1
limlim
1
lim
1
limlim
00000 
 
 
 
Exercícios – Propriedades dos Limites 
 
1) Calculeos limites aplicando as propriedades: 
 
a) 
)573(lim 2
0
xx
x


 
 b) 
)273(lim 2
3


xx
x
 
 c) 
 ][ 
13
1
)2(.)4(lim 

 xx
x
 
d) 
13
4
lim
2 

 x
x
x
 
 e) 
2
3
lim
2 

 t
t
t
 
 f) 
1
13
lim
4


 x
x
 
x
 
g) 
2
654
lim
5
2


 t
tt
 
t
 h) 
3
2
lim
46


 x
xx
 
x
 i) 
100
lim x
x
 

 
j) 
x
 
x
14
lim

 k) 
x
x
 
x 3
8
lim
3

 l) 
37
6
lim
3
3


 t
t
t
 
 
 
2) Obtenha os limites das funções racionais algebricamente, “eliminando” a indeterminação: 
 
a) 
3
9
lim
2
3 

 x
x
x
 
 b) 
x
x
x 

 7
49
lim
2
7
 
 c) 
25 25
5
lim
x
x
x 


 
 
 
d) 
xx
xx
x 3
lim
2
2
0 


 
 e) 
xx
x
x  2
3
0 2
lim 
 f) 
1
34
lim
2
1 

 x
xx
x
 
 
 
g) 
4
127
lim
2
4 

 x
xx
x
 
 h) 
23
1
lim
21 

 xx
x
x
 
 i) 
1
12
lim
2
1 

 x
xx
x
 
 
 
j) 
4
2
lim
22 

 x
x
x
 
 k) 
2
8
lim
3
2 

 x
x
x
 
 l) 
65
27
lim
2
3
3 

 xx
x
x
 
 
 
m) 
1
34
lim
3
2
1 

 x
xx
x
 
 n) 
23
1
lim
21 

 xx
x
x
 
 o) 
2
65
lim
2
2 

 t
tt
t
 
 
 
 
 
p)
 1
1
lim
2
1 

 x
x
x
 
 q) 
xx
xx
x 142
lim
2
2
0 


 
 r) 
x
xx
x 312
21840lim
2
4 


 
 
 
 
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3) Calcule os limites dados abaixo: 
 
a) 
3
96
lim
2


 x
xx
x
 b) 
2
4
lim
3
2 

 x
xx
x
 c) 
4
2
lim
4 

 x
x
x
 
d) 
1
1
lim
1 

 x
x
x
 e) 
2
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 f) 
xx
xx
x 

 3
3 12
lim
 
g) 
1
1
lim
4
1 

 x
x
x
 
 h) 
1lim 

x
x
 i) 
1lim 

x
x
 
 
 
4) Calcule os limites dados a seguir, fazendo uso dos limites fundamentais: 
 
a)
 x
xsen
x
)(
lim
0


 b) 
xsen
xsen
x 4
3
lim
0
 c)
 x
xtg
x 0
lim

 
 
d) x
x x
4
–
1
1lim 







 
 e)
 
x
x x







 2
1
1lim
 f)
 
x
x x







 3
1
1lim
 
 
g)
 
x
x x
4
2
1
1lim 







 h) 
20
cos1
lim
x
x
x


 [Dica: aplique a relação fundamental da trigonometria] 
 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) 3 1b) 8 1c) 27 1d) 6/5 1e) 5/4 
1f)  1g) 0 1h)  1i)  1j) 0 
1k) 

 1l) –1/7 
 
2a) 6 2b) 14 2c) 1/10 2d) –1/3 2e) 0 
2f) –2 2g) 1 2h) –1 2i) 0 2j) 1/4 
2k) 12 2l) 27 2m) –2/3 2n) 1 2o) –1 
2p) 2 2q) 1/14 2r) 2/3 
 
3a)  3b) 
22
 3c) 1/4 3d) 2 3e) 2/3 
3f) 1 3g) 4 3h) 

 3i) Não existe! 
 
4a)  4b) 3/4 4c) 1 4d) 4e 4e) e 
4f) 3 e 
4g) 2e 4h) 1/2 
 
 
 
“Love Moment” at Limits... 
 
 
 
 
 
 
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TÓPICO EXTRA: Resolvendo limites através da DIVISÃO DE POLINÔMIOS 
 
Podemos resolver algebricamente limites de Funções Racionais 
)(
)(
)(
xD
xP
xf 
 através da divisão do polinômio 
)(xP
 pelo 
polinômio 
)(xD
. Isso pode ser feito quando o polinômio 
)(xP
 tem grau maior ou igual ao polinômio 
)(xD
, 
simbolicamente escrevemos: 
)()( DgrPgr 
. 
 
 Então vamos calcular o limite:
 3
27
lim
3
3 

 x
x
x
 
 
 Note que neste caso ocorre a indeterminação do tipo 
0
0
 
 
 
Resolução 1: Através da aplicação de produtos notáveis [como vimos anteriormente] temos: 
 



 3
27
lim
3
3 x
x
x
 
 
279)3(33)93(lim
3
)93)(3(
lim
22
3
2
3




xx
x
xxx
xx
 
 
 
Resolução 2: Agora, vamos aplicar a DIVISÃO DE POLINÔMIOS pelo Método da Chave. Assim temos: 
 
 
0
)279(
279
)93(
03
93)3(
2
2
223
23
32700






x
x
xx
xx
xxxx
xxxx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
)()()()( xRxQxDxP 
 ou 
)()(
)(
)(
xRxQ
xD
xP

 
 
 
0)93).(3(27
23
 xxxx
 
ou
 
0)93(
3
27 2
3



xx
x
x
 
 
 
Assim: 
 



 3
27
lim
3
3 x
x
x
 
 
279)3(33)93(lim
22
3


xx
x
 
 
 
 
Observação: 
Quando a divisão de polinômios for do tipo 
ax
xP

)(
 
podemos aplicar o Método de Briot-Ruffini, simplificando muito o 
processo de divisão. Interessou? Pesquise e procure saber mais! 
 
Note que se: 
 
)(
)(
)()(
xR
xQ
xDxP

 
 
ocorre que: 
)()()()( xRxQxDxP 
 
 
Onde: 
 
)(xP
  Polinômio que será dividido [dividendo]
 
)(xD
 Polinômio que dividirá [divisor]
 
)(xQ
 Polinômio resultante [quociente]
 
)(xR
 Polinômio que sobra [resto] 
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CONTINUIDADE DE FUNÇÕES 
 
Quando colocamos em um sistema de coordenadas alguns pontos do gráfico de uma função cujos valores foram gerados em 
experimentos laboratoriais ou coletados em campo, geralmente unimos esses pontos por uma curva não interrompida para 
mostrar quais seriam os prováveis valores da função em todos os instantes em que não medimos [veja Figura A]. Fazendo 
isso, supomos que estamos trabalhando com uma função contínua, então os valores variam continuamente e não saltam 
de um valor para o outro sem assumir todos os valores entre eles [valores esses do domínio da função]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer função y = f(x) cujo gráfico possa ser esboçado, sobre seu domínio, em um único movimento contínuo, “sem 
levantar o lápis do papel”, é um exemplo de função contínua, o que não ocorre na função representada na Figura B [veja 
acima]. 
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009. 
 
 
Uma função é contínua em um intervalo, se e somente se, for contínua em cada ponto desse intervalo. Assim, podemos 
analisar a continuidade em um ponto através de um “teste de continuidade”, ou seja, através da definição: 
 
Definição – Continuidade em um Ponto: 
Uma função 
)(xf
 é contínua num ponto com 
cx 
, se e somente se, obedecer às três condições: 
 
(i) 
)(cf
 existe [ 
c
 está no domínio de 
)(xf
 ] 
 
(ii) 
)(lim xf
cx
 existe [ 
)(xf
 tem um limite quando 
cx 
 ] 
 
(iii) 
)()(lim cfxf
cx

[ o limite é igual ao valor da função / o resultado obtido em (i) é igual ao obtido em (ii) ] 
 
 
Exemplo 1: Verifique se a função 
2)( xxf 
 é contínua no ponto em que 
2x
. 
 
Resolução: 
 
(i) 
42)2( 2 f
 [Existe!] 
(ii) 
4lim)(lim 2
22


xxf
xx
 [Existe!] 
(iii) 
)2()(lim
2
fxf
x


 [OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)] 
 
Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 
2)( xxf 
 é contínua em 
2x
. 
Figura A: Unindo os pontos por uma curva não 
interrompida a partir dos dados experimentais 
Q1 , Q2 , Q3 , Q4 e P de um objeto em queda. 
Figura B: A função f(x) apresentada acima é 
contínua no intervalo [0 , 4], exceto nos pontos 
em que x = 1 , x = 2 e x = 4. 
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Exemplo 2: Considere as funções e as informações dadas a seguir, e então, verifique a continuidade em 
1x
. 
 
 
 
 
 2)(lim1  xfx 2)(lim1  xgx 2)(lim1  xhx 
 
 
)1(f
 
1)1( g
 
2)1( h
 
Resolução: 
 
A função 
)(xh
 é contínua no ponto em que 
1x
, enquanto as funções 
)(xf 
e 
)(xg 
são descontínuas em 
1x
. 
 
Nota: Observe que os limites das funções 
)(xf
, 
)(xg 
e 
)(xh
 quando 
1x
 são iguais, entretanto 
)1()1()1( hgf 
. 
 
 
Exemplo 3: A função 
143)(  xxg 
é contínua no ponto em que 
8x
? 
 
Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto. 
 
(i) 
1014)8.(3)8( g
 [Existe!] 
(ii) 
10)143(lim)(lim
88


xxg
xx
 [Existe!] 
(iii) 
)8()(lim
8
gxg
x


 [OK! – O resultado obtido em (i) é igual ao resultado obtido em (ii)] 
 
Logo, como as três condições da definição foram verificadas, a função 
143)(  xxg
 é contínua em 
8x
. 
 
Observação: A função 
143)(  xxf
 é contínua para qualquer valor real de 
x
. 
 
Exemplo 4: A função 
x
xf
14
)(  
é contínua no ponto em que 
0x
? 
 
Resolução: Vamos aplicar a definição de continuidade em um ponto. 
 
(i) 

0
14
)0(f
 [NÃO existe 
)0(f
, pois não resulta em um número real!] 
 
Logo, como a condição (i) da definição NÃO foi verificada, a função 
x
xf
14
)( 
 NÃO é contínua em 
0x
. 
 
Pense a respeito! 
 
 As funções polinomiais, exponenciais e logarítmicas são CONTÍNUAS para todos os valores dos seus respectivos 
domínios. 
 
 Você é capaz de identificar outros tipos de funções que também são contínuas para todos os valores de seus domínios? 
 
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Definição – Continuidade em Extremidades: 
 
 
Uma função 
)(xf
 é contínua à direita de um ponto 
ax 
 extremo, se: 
 
(i) 
)(af
 existe 
(ii) 
)(lim xf
ax 
 existe 
(iii) 
)()(lim afxf
ax


 
 
 
Uma função 
)(xf 
é contínua à esquerda de um ponto 
bx 
 extremo, se: 
 
(i) 
)(bf
 existe 
(ii) 
)(lim xf
bx 
 existe 
(iii) 
)()(lim bfxf
bx


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Continuidade em Intervalos: 
 
Definição 1: 
Uma função 
)(xf
 é contínua num intervalo aberto 
),( ba
, se 
)(xf
 é contínua em todo 
x
 do intervalo 
),( ba
. 
 
Definição 2: 
Uma função é contínua num intervalo fechado 
],[ ba
, se é contínua em todo 
x
 do intervalo e se 
ela é contínua a direita de “
a
” e a esquerda de “
b
”. 
 
 
 
Propriedades de Funções Contínuas: 
Se as funções 
)(xf
 e 
)(xg
 são contínuas em 
cx 
, então as funções: 
 
 
)()( xgxf 
 
 
)()( xgxf 
 
 
0)()(/)( cgquevezumaxgxf
 
 
Rkparaxfk  )(
 
 
 também são contínuas em cx  . 
 
 
)(xf )(xf ),( ba
Fonte: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009. 
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Tipos de Descontinuidade: 
 
Podemos classificar as “descontinuidades” em quatro tipos. São elas: 
 
 Removível  gráfico (b) e (c) 
 De salto  gráfico (d) 
 Infinita  gráfico (e) 
 Oscilante  gráfico (f) 
 
 
 
 
 
 
 
Para conhecer e refletir! 
 
 
A função 
 xy 
 ou 
xy int
 está representada graficamente 
ao lado e é conhecida como função maior inteiro [contido]. 
 
Ela é contínua em todo ponto em que 
x
 não é inteiro, entretanto 
note que essa função é contínua à direita, mas não à esquerda 
de cada ponto em que 
x
 é inteiro. 
 
Assim, trata-se de uma função com descontinuidades em todos 
os pontos em que 
x
 é inteiro, pois não existe limite para 
qualquer valor inteiro 
n
 na função. Veja: 
 
1][intlim 

nx
nx
 e 
nx
nx


][intlim
 
 
 
Nota: A função do gráfico (a) abaixo é continua 
em 
0x
, e [obviamente] as demais não são. 
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Exercícios – Continuidade de Funções 
 
1) Verifique se as funções 
)(xf
 a seguir, são contínuas no ponto 
0x
 indicado. 
a) 
0|;|)( 0  xxxf 
e)
 1
1
)(
2 

x
xf
; 
10 x
 
b) 








1,2
1,
)1(
1
)(
2
xse
x se
xxf
 
 ; 
10 x
 f) 






0,1
0,1
)(
2
xse
x sex
xf
 
 
 ; 
00 x
 
c) 
2)( 2  xxf
; 
20 x
 g) 
x
xx
xf


2
)(
; 
00 x
 
d) 
1
1
)(


x
xf
; 
00 x 
 
 
 
2) Nos gráficos a seguir [de 1. até 4.], diga se a função apresentada é contínua em 
]3,1[
. Se não, onde ela deixa de ser 
continua e por quê? 
 
3) Abaixo, a função 
)(xf 
e sua representação gráfica. 
 















32,0
21,42
1,1
10,2
01,1
)(
2
xse
xsex
xse
xsex
xsex
xf
 
 
Então responda: 
 
a) Existe 
)1(f
? 
b) Existe 
)(lim
1
xf
x 
? 
c) Existe 
)1(f
? 
d) Existe 
)(lim
1
xf
x
? 
e) Em quais valores de 
x
, a função 
f 
é contínua? 
2 
1 
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) É contínua em 
00 x
 1b) NÃO é contínua em
10 x
 1c) É contínua em 
20 x
 
1d) É contínua em 
00 x
 1e) NÃO é contínua em 
10 x
 1f) É contínua em 
00 x
 
1g) NÃO é contínua em 
00 x
 
 
2 [1.] Não é contínua em 
]3,1[
. É descontínua em 
2x
, pois não é definida nesse ponto: 
)2(f
. 
2 [2.] Não é contínua em 
]3,1[
. É descontínua no extremo 
3x
, pois ocorre que: 
)3()(lim
3
gxg
x



. 
2 [3.] A função 
)(xh
 é contínua em todo o intervalo 
]3,1[
. 
2 [4.] Não é contínua em 
]3,1[
. É descontínua em 
1x
,pois ocorre que:
 )(lim1 xkx
. 
 
3a) Sim, pois 
0)1( f
 3b) Sim, pois 
0)(lim
1


xf
x
 
3c) Sim, pois 
1)1( f
 3d) Sim, pois 
2)(lim
1


xf
x
 
3e) A função 
f 
é contínua para 
}2,1,031/{  xxxexRx
 
 
 
 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES [Alguns Resolvidos] – Limites, Continuidade de Funções e Aplicações: 
 
1) [FUVEST–SP / Adaptada] A altura de uma árvore, em metros, é definida experimentalmente pela fórmula: 
t
h


10
100
7
61
 
onde “t” é a idade deste tipo de árvore, em anos. Qual a altura máxima que essa espécie de árvore pode atingir? 
 
Resposta: Aprox. 8,7 m. 
 
 
2) [THOMAS] De acordo com a teoria da relatividade, o comprimento de um objeto, POR EXEMPLO, de um foguete, parece a 
um observador depender da velocidade com que o objeto se desloca em relação ao próprio observador. Se ele medir o 
comprimento 
0L
 do foguete em repouso e depois com a velocidade 
v
, o comprimento aparentará ser: 
 
2
2
0 1
c
v
LL 
 
 
Resposta: 
L
 tende a zero. 
 
Por que foi necessário empregar o limite lateral à esquerda? Justifique isso com uma análise matemática. 
 
Resposta: Por que a função 
L
 NÃO está definida para 
cv 
. 
 
Note que em 
2
2
0
1
c
v
LL 
 temos que 
2
2
c
v
 tem valor máximo igual a 
1
. 
 
Essa é a equação da Contração de Lorentz, onde 
c
 é a velocidade da luz no vácuo, cerca de 
8103 
 m/s. O que acontece com 
L
 à medida que 
v
 aumenta. Verifique isso fazendo: 
][lim L
cv 
 
 
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3) Determine algebricamente [através da aplicação das propriedades estudadas] os limites pedidos a seguir. 
 
a) 
xxx
xx
x 145
44
 lim
23
2
2 


 Resposta: zero
 
 
b) 
xxx
xx
x 145
44
 lim
23
2
0 


 Resposta: 







0
0
xse
xse
 
 
c) 
4
24142lim
2
4 

 x
xx
x
 
 Resposta: 2 
 
 
d)
 214
6753
 lim
32
32


 xx
xxx
x
 Resposta: –1/2
 
 
 
 
4) Através da aplicação de Limites, verifique se a função 
22
104
)(



x
x
xf
, apresenta alguma assíntota horizontal. Em 
caso afirmativo, escreva a(s) equação(ções) dessa(s) assíntota(s). 
 
Resposta: Fazendo 
5)]([lim 

xf
x
  existe assíntota de equação: 
5y
. 
 
 
5) Escreva a equação da assíntota vertical de 
22
34
)(



x
x
xf
, caso ela exista. Verifique isso através da aplicação de um 
limite. 
 
Resposta: Fazendo 


)]([
1
lim xf
x
  existe assíntota de equação: 
1x
. 
 
 
6) Na análise do crescimento de populações, um tipo de relação conhecida como função logística oferece um modelo mais 
realista que o crescimento exponencial tradicional. Por exemplo, alguns cientistas modelam a população mundial usando a 
função logística: 
xe
xP
016,09,51,6
2,73
)(


 onde “
x
” é o número de anos após 2000 e 
)(xP
 é a população mundial em bilhões de 
habitantes (aproximadamente). Aplicando convenientemente o conceito de limite, qual a tendência [numérica] da população 
mundial em longo prazo? Faça um esboço do gráfico da função dada, apresentando o valor “inicial” da população [valor da 
“bolinha” no gráfico abaixo] e o valor da “tendência” dessa população [assíntota] em longo prazo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 
P(x) 
x [anos] 
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Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Qual é o comportamento em longo prazo? 
 
Resolução: 
 
 
 
 
R7) 
R8) 
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Observação: u.m.  unidades monetárias 
 
Resolução: 
 
 
e 
 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
R9) 
10)