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Lista de Exercícios Nº01 Cálculo de Várias Variáveis/2017 Prof. Takahashi Turmas :ENC3AN-MCA / ENE3AN-MCA 1) Determinar o domínio da função a) f(x , y) = 𝑒2𝑥−𝑦 + ℓ𝑛(𝑦2 − 2𝑥) Resp.: D = {(𝑥, 𝑦)𝜖 𝑅2 / 𝑦2 > 2𝑥} b) f(x , y) = 7𝑥+5𝑦 4𝑥+3𝑦 Resp.: D = {(𝑥 , 𝑦)𝜖 𝑅2/ 𝑦 ≠ − 4𝑥 3 } c) V(x , y , z) = 𝑒𝑦+𝑧 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 𝑦) Resp.: D = 𝑅3 d) V(x , y , z) = 𝑥𝑦𝑧 𝑥4+ 𝑦6+ 𝑧8 Resp.: D = 𝑅3 − {0 , 0 , 0} e) V(x , y , z) = 1−𝑥𝑦+𝑧 √1− 𝑥2− 𝑦2− 𝑧2 Resp.: D = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 1} f) z = ℓn(1 − 4𝑥2 − 16𝑦2) Resp.: D = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 /4𝑥2 + 16𝑦2 < 1} g) z = √2 + 𝑥 − 𝑥2 Resp.: D = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2/−1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 2) Seja f(x , y) = 𝑥2𝑒3𝑥𝑦 a) Calcular f(2 , 0) Resp.: 4 b) Determinar o domínio de f Resp.: D = 𝑅2 c) Determinar a imagem de f Resp.: I = [0 , ∞) 3) Seja f(x , y) = √𝑦2 − 𝑥2 ,calcular: f(4 , 5) e f(-1 , 2) Resp.: 3 e √3 4) Seja f(r , s) = 𝑠 ℓ𝑛𝑟 , calcular: f(𝑒2, 3) e f(ℓn𝑒2, ℓ𝑛2) Resp.: 3/2 e 1 MEN SAGEM:”Melhore sua Qualidade de Vida mudando a si próprio e seu mundo.” Defina um RESULTADO (é mais que uma META) JORNADA Realização de tarefas utilizando diversos RECURSOS Estado Atual: Onde está atualmente (Ago/2017) Estado Pretendido(RESULTADO): Onde deseja Chegar (Dez/2017) 5) Seja f(r , s , t) = ℓ𝑛(𝑟+𝑡) 𝑟+𝑠+𝑡 , calcular : f(1 , 1 , 1) e f(0 , 𝑒2 , 3𝑒2) Resp. : ℓ𝑛2 3 e ℓ𝑛3+2 4𝑒2 6) Descrever as curvas de nível da função ( ou seja , obter a equação ; no caso de circunferência determinar o centro e o raio ; no caso da elípse determinar os semi-eixos). a) z = 1 √𝑥2+ 𝑦2 Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 = 1 𝑘2 (Circunferência de centro O(0 , 0) e raio = 1 𝑘 com k > 0 ) b) z = ℓn(𝑥2 + 𝑦2) Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑒𝑘 (Circunferência de centro O(0 , 0) e raio = 𝑒𝑘/2 c) z = 1 𝑥2+4𝑦2 Resp.: 𝑥2 ( 1 √𝑘 ) 2 + 𝑦2 ( 1 2√𝑘 ) 2 = 1 (Elípses com semi-eixos 1 √𝑘 e 1 2√𝑘 ) d) z = 𝑥2 − 𝑦 Resp.: y = 𝑥2 − 𝑘 (Eq. da Parábola) 7) Obtenha a equação do mapa de contorno da função : f(x,y) = 𝑥2 + 9𝑦2 Resp.: 𝑥2 (√𝑘) 2 + 𝑦2 ( √𝑘 3 ) 2 = 1 8) Descrever as superficies de nível da função : V(x,y,z) = 1 𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2−1 Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑘+1 𝑘 , k ≤ −1 ou k > 0 Ponto O(0 , 0 , 0) se k = - 1 Superfície esférica de centro O(0 , 0 , 0) e raio = √ 𝑘+1 𝑘 se k < −1 ou k > 0 9) Uma fábrica produz Q(x , y) = (3x + 2y) unidades de um determinado produto, por dia , utilizando x operários especializados e y operários não especializados. Atualmente , a fábrica opera com 12 operários especializados e 20 operários não especializados. a) Calcular a produção diária da fábrica. Resp.: 76 unidades b) Supondo que a produção diária mantenha constante nos níveis atuais , determinar uma equação, relacionando o número de operários especializados e o número de operários não especializados. Resp.: y = 38 - 3 2 𝑥 c) Qual deve ser a variação do número de operários não especializados, para que a produção diária mantenha inalterada, se mais 02 operários especializados forem contratados ? Resp.: Redução de 03 operários não especializados 10) A produção de uma determinada fábrica é dada pela função de produção de Cobb-Douglas Q(K , L) = 60𝐾1/3𝐿2/3 unidades , onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas. a)Calcular a produção da fábrica para um capital imobilizado de R$ 512.000,00 e um volume de mão-de-obra de 1.000 homens-hora. Resp.: Q = 48.000 unidades b)Mostrar que a produção calculada no ítem (a) será duas vezes maior se tanto o capital imobilizado quanto o volume de mão-de-obra forem duplicados. 11) A produção Q de uma fábrica é dada pela função de Cobb-Douglas : Q(K , L) = A𝐾∝𝐿1−∝ , onde A e ∝ são constantes positivas e 0 < ∝ < 1 , K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-hora . Provar que , se K e L forem multiplicados pelo mesmo número positivo n , a produção Q também será multiplicada por n , ou seja , mostrar que : Q(nK , nL) = n Q(K , L). Obs.: Quando uma função de produção apresenta esta propriedade , dizemos que possui Retornos Constantes de Escala “O maior pecado do ser humano é ignorar suas forças interiores, seus poderes criadores e sua herança divina. --- ESTUDA-TE.... Vê quanta coisa és capaz de fazer!” O.S.Marden
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