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Lista Calculo de Varias Variaveis

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Lista de Exercícios Nº01 Cálculo de Várias Variáveis/2017 Prof. Takahashi 
 Turmas :ENC3AN-MCA / ENE3AN-MCA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Determinar o domínio da função 
 a) f(x , y) = 𝑒2𝑥−𝑦 + ℓ𝑛(𝑦2 − 2𝑥) Resp.: D = {(𝑥, 𝑦)𝜖 𝑅2 / 𝑦2 > 2𝑥} 
 b) f(x , y) = 
7𝑥+5𝑦
4𝑥+3𝑦
 Resp.: D = {(𝑥 , 𝑦)𝜖 𝑅2/ 𝑦 ≠ −
4𝑥
3
} 
 c) V(x , y , z) = 𝑒𝑦+𝑧 − 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑧 + 𝑦) Resp.: D = 𝑅3 
 d) V(x , y , z) = 
𝑥𝑦𝑧
𝑥4+ 𝑦6+ 𝑧8
 Resp.: D = 𝑅3 − {0 , 0 , 0} 
 e) V(x , y , z) = 
1−𝑥𝑦+𝑧
√1− 𝑥2− 𝑦2− 𝑧2
 Resp.: D = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅3/𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 1} 
 f) z = ℓn(1 − 4𝑥2 − 16𝑦2) Resp.: D = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 /4𝑥2 + 16𝑦2 < 1} 
 g) z = √2 + 𝑥 − 𝑥2 Resp.: D = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2/−1 ≤ 𝑥 ≤ 2} 
2) Seja f(x , y) = 𝑥2𝑒3𝑥𝑦 
 a) Calcular f(2 , 0) Resp.: 4 
 b) Determinar o domínio de f Resp.: D = 𝑅2 
 c) Determinar a imagem de f Resp.: I = [0 , ∞) 
3) Seja f(x , y) = √𝑦2 − 𝑥2 ,calcular: f(4 , 5) e f(-1 , 2) Resp.: 3 e √3 
4) Seja f(r , s) = 
𝑠
ℓ𝑛𝑟
 , calcular: f(𝑒2, 3) e f(ℓn𝑒2, ℓ𝑛2) Resp.: 3/2 e 1 
MEN SAGEM:”Melhore sua Qualidade de Vida mudando a si próprio e seu mundo.” 
 Defina um RESULTADO (é mais que uma META) 
 JORNADA 
 
 
 Realização de 
 tarefas utilizando 
 diversos RECURSOS 
 
 
 
 
 
Estado Atual: 
Onde está atualmente 
 (Ago/2017) 
 
 
Estado Pretendido(RESULTADO): 
Onde deseja Chegar 
 (Dez/2017) 
5) Seja f(r , s , t) = 
ℓ𝑛(𝑟+𝑡)
𝑟+𝑠+𝑡
 , calcular : f(1 , 1 , 1) e f(0 , 𝑒2 , 3𝑒2) 
 Resp. : 
ℓ𝑛2
3
 e 
ℓ𝑛3+2
4𝑒2
 
6) Descrever as curvas de nível da função ( ou seja , obter a equação ; no caso de 
 circunferência determinar o centro e o raio ; no caso da elípse determinar os 
 semi-eixos). 
a) z = 
1
√𝑥2+ 𝑦2
 Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 = 
1
𝑘2
 (Circunferência de centro O(0 , 0) 
 e raio = 
1
𝑘
 com k > 0 ) 
b) z = ℓn(𝑥2 + 𝑦2) Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑒𝑘 (Circunferência de centro 
 O(0 , 0) e raio = 𝑒𝑘/2 
c) z = 
1
𝑥2+4𝑦2
 Resp.: 
𝑥2
(
1
√𝑘
)
2 + 
𝑦2
(
1
2√𝑘
)
2 = 1 (Elípses com semi-eixos 
 
1
√𝑘
 e 
1
2√𝑘
 ) 
d) z = 𝑥2 − 𝑦 Resp.: y = 𝑥2 − 𝑘 (Eq. da Parábola) 
7) Obtenha a equação do mapa de contorno da função : f(x,y) = 𝑥2 + 9𝑦2 
 Resp.: 
𝑥2
(√𝑘)
2 + 
𝑦2
(
√𝑘
3
)
2 = 1 
8) Descrever as superficies de nível da função : V(x,y,z) = 
1
𝑥2+ 𝑦2+ 𝑧2−1
 
 Resp.: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 
𝑘+1
𝑘
 , k ≤ −1 ou k > 0 
 Ponto O(0 , 0 , 0) se k = - 1 
 Superfície esférica de centro O(0 , 0 , 0) e raio = √
𝑘+1
𝑘
 se 
 k < −1 ou k > 0 
9) Uma fábrica produz Q(x , y) = (3x + 2y) unidades de um determinado produto, 
 por dia , utilizando x operários especializados e y operários não especializados. 
 Atualmente , a fábrica opera com 12 operários especializados e 20 operários 
 não especializados. 
 a) Calcular a produção diária da fábrica. Resp.: 76 unidades 
 b) Supondo que a produção diária mantenha constante nos níveis atuais , 
 determinar uma equação, relacionando o número de operários especializados 
 e o número de operários não especializados. Resp.: y = 38 - 
3
2
 𝑥 
 c) Qual deve ser a variação do número de operários não especializados, para que 
 a produção diária mantenha inalterada, se mais 02 operários especializados 
 forem contratados ? Resp.: Redução de 03 operários não especializados 
10) A produção de uma determinada fábrica é dada pela função de produção de 
 Cobb-Douglas Q(K , L) = 60𝐾1/3𝐿2/3 unidades , onde K é o capital imobilizado 
 em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra em homens-horas. 
 a)Calcular a produção da fábrica para um capital imobilizado de R$ 512.000,00 
 e um volume de mão-de-obra de 1.000 homens-hora. 
 Resp.: Q = 48.000 unidades 
 b)Mostrar que a produção calculada no ítem (a) será duas vezes maior se tanto 
 o capital imobilizado quanto o volume de mão-de-obra forem duplicados. 
11) A produção Q de uma fábrica é dada pela função de Cobb-Douglas : 
 Q(K , L) = A𝐾∝𝐿1−∝ , onde A e ∝ são constantes positivas e 0 < ∝ < 1 , 
 K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão-de-obra 
 em homens-hora . Provar que , se K e L forem multiplicados pelo mesmo 
 número positivo n , a produção Q também será multiplicada por n , ou seja , 
 mostrar que : Q(nK , nL) = n Q(K , L). 
 Obs.: Quando uma função de produção apresenta esta propriedade , dizemos 
 que possui Retornos Constantes de Escala 
 
 
 
 
 
 “O maior pecado do ser humano 
 é ignorar suas forças interiores, 
 seus poderes criadores e sua herança divina. 
 --- ESTUDA-TE.... 
 Vê quanta coisa és capaz de fazer!” 
 O.S.Marden

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