ALGA_LISTA_II

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA II
1. Dadas as matrizes:
A =
 3 4 1−5 −2 −9
7 8 6
 , B =
 4 −1 33 0 1
7 2 −4

e C =
 2 6 83 9 12
−1 −2 −3

calcular:
a) detA.
b) detB.
c) detC.
d) det(A+B).
e) det(A−B).
f) det(2A− 3B + 4C).
g) det(BC).
h) det(ACT ).
i) det(CB)A.
j) detC(BA).
k) Verificar se det(A+B)=detA+detB.
l) Verificar se det(BC)=detB detC.
2. Determine detA, onde
A =

−2 3 1 −1
0 1 2 3
1 −1 1 −2
4 −3 5 1

3. Resolva as equações:
a)
∣∣∣∣∣∣
4 6 x
5 2 −x
7 4 2x
∣∣∣∣∣∣ = −128 R.: x = 2
b)
∣∣∣∣∣∣
3 5 7
2x x 3x
4 6 7
∣∣∣∣∣∣ = 39 R.: x = 3
c)
∣∣∣∣∣∣
5 1 3
3x 0 1
7x 2 1
∣∣∣∣∣∣ = 100 R.: x = 5
d)
∣∣∣∣∣∣
x+ 3 x+ 1 x+ 4
4 5 3
9 10 7
∣∣∣∣∣∣ = −7 R.: x = 1
e)
∣∣∣∣∣∣
12− x 1 1
18− 2x 3 2
15− 2x 0 1
∣∣∣∣∣∣ = 10 R.: x = 7
1
f)
∣∣∣∣∣∣
1 0 x− 1
1 1 x− 2
2 1 x− 4
∣∣∣∣∣∣ = 0 R.: x = −1
g)
∣∣∣∣∣∣
2 x 2
1 1 x
1 1 6
∣∣∣∣∣∣ = −3 R.: x = 5 e x = 3
h)
∣∣∣∣∣∣
2 6 2
4 x 2
2x 8 4
∣∣∣∣∣∣ R.: x = 4
4. Calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
a) A =
(
3 5
1 2
)
R.: A−1 =
(
2 −5
−1 3
)
b) B =
 −3 4 −50 1 2
3 −5 4

R.: B−1 =
 −143 −93 −133−2 −1 −2
1 1 1

c) C =

1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1
 R.: C−1 =

1 0 0 0
−2 1 0 1
1 −2 1 0
0 1 −2 1

d) D =
 1 0 −22 −2 −2
−3 0 2

R.: D−1 =
 −12 0 −121
4
−1
2
−1
4−3
4
0 −1
4

e) E =
 −4 0 −10−2 −4 −4
2 −2 6

R.: E−1 =
 −4 52 −51
2
−1
2
1
2
3
2
−1 2

f) F =
 −3 −6 −120 3 −3
−6 −9 −24

R.: F−1 =
 113 43 −2−2
3
0 1
3−2
3
−1
3
1
3

g) G =
 −1 10 −7−1 −4 3
1 −2 1

R.: G−1 =
 −12 −1 −12−1 −3
2
−5
2
3
2
−2 −7
2

h) H =
 2 2 23 4 7
1 2 5

R.: H não tem inversa.
i) M =
 −1 0 0−1 −1 0
−1 −1 −1

R.: M−1 =
 −1 0 01 −1 0
0 1 −1

j) R =
 2 0 00 3 0
0 0 7

R.: R−1 =
 12 0 00 1
3
0
0 0 1
7

2
k) S =
 0 0 50 6 0
9 0 0

R.: S−1 =
 0 0 190 1
6
0
1
5
0 0

5. Calcular o valor de k para que a matriz A =
(
2 3
6 k
)
não tenha inversa. R.: k = 9
6. Supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolver as
equações matriciais nas quais X é a variável.
a) ADX = ABC. R.: X = D−1BC
b) DXT = DC. R.: X = CT
c) ABCX2D2 = ABCXD. R.: X = D−1
d) D−1XD = AC. R.: X = CACD−1
e) CX + 2B = 3B. R.: X = C−1B
7. Determine x tal que: ∣∣∣∣ x −13 1− x
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
1 0 −3
2 x −6
1 3 x− 5
∣∣∣∣∣∣
R.: x = 3±
√
33
4
8. Mostre que o valor do determinante não depende de θ:∣∣∣∣∣∣
senθ cos θ 0
− cos θ senθ 0
senθ − cos θ senθ + cos θ 1
∣∣∣∣∣∣
9. Prove que as matrizes A =
(
a b
0 c
)
e B =
(
d e
0 f
)
comutam então
∣∣∣∣ b a− ce d− f
∣∣∣∣ = 0
10. Mostre que o detC=detA+detB onde
C =
 a b cd e f
g +m h+ n i+ w
 , A =
 a b cd e f
g h i

e B =
 a b cd e f
m n w

Observação: A propriedade deste exercício é válida para qualquer matriz A, B e C
quadrada de mesma ordem, onde A, B e C diferem somente em uma única linha (digamos
a r-ésima) e ainda a r-ésima linha de C é obtida somando os elementos correspondentes
nas r-ésimas linhas de A e B. Então:
detC = detA+ detB
O mesmo resultado vale para colunas.
3
11. Sabendo que
∣∣∣∣∣∣
a b c
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ = −6, encontre:
a)
∣∣∣∣∣∣
d e f
g h i
a b c
∣∣∣∣∣∣ = R.: −6
b)
∣∣∣∣∣∣
3a 3b 3c
−d −e −f
4g 4h 4i
∣∣∣∣∣∣ R.: 72
c)
∣∣∣∣∣∣
a+ g b+ h c+ i
d e f
g h i
∣∣∣∣∣∣ R.: −6
d)
∣∣∣∣∣∣
−3a −3b −3c
d e f
g − 4d h− 4e i− 4f
∣∣∣∣∣∣ R.: 18
12. Seja A =
 a b cd e f
g h i

. Supondo que detA = −7, obtenha:
a) det(3A). R.: −189
b) det(A−1). R.: −1
7
c) det(2A−1). R.: −8
7
d) det((2A)−1). R.: − 1
56
e) det
 a g db h e
c i f

. R.: 7
4