ALGA_Lista_V_

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA V
1. Dados os vetores ~u = (1, a,−2a− 1), ~v = (a, a− 1, 1) e ~w = (a,−1, 1), determinar a de
modo que ~u.~v = (~u+ ~v). ~w. R.: a = 2
2. Dados os pontos A(−1, 0, 2), B = (−4, 1, 1) e C = (0, 1, 3), determinar o vetor ~x tal
que 2~x− ~AB = ~x+ ( ~BC. ~AB) ~AC. R.: ~x = (−17,−13,−15)
3. Determinar o vetor ~v, sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v. R.: ~v = (1, 1, 1).
4. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor
3 ~BA− 2 ~BC. R.: (7
9
, 4
9
, 4
9
)
5. verificar se os vetores ~v = (1, 1, 1) e ~v = ( 1√
6
,− 2√
6
, 1√
6
) são unitários. R.: ~v é unitário
6. Determinar o valor de n para que o vetor ~v = (n, 2
5
, 4
5
) seja unitário. R.: ±
√
5
5
7. Seja o vetor ~v = (m+7)~i+(m+2)~j+5~k. Calcular m para que |~v| = √38. R.: m = −4
ou m = −5
8. Dados os pontos A(1, 0,−1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que
|~v| = 7, sendo ~v = m ~AC + ~BC. R.: m = 3 ou m = −13
5
9. Dados os pontos A(3,m − 1,−4) e B(8, 2m − 1,m), determinar m de modo que
| ~AB| = √35. R.: m = −3 ou m = −1
10. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0, 1, 2), B(−1, 0,−1) e C(2,−1, 0). R.:
2(
√
11 +
√
3)
11. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontosA(2,−3, 1) eB(−2, 1,−1).
R.: P (1, 0, 0)
12. Seja o triângulo de vértices A(−1,−2, 4), B(−4,−2, 0) e C(3,−2, 1). Determinar o
ângulo interno ao vértice B. R.: 45◦
1
13. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 10cm.
Calcular o produto escalar dos vetores AB e AC. R.: 50
14. Os lados de um triângulo retângulo ABC (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular
~AB. ~AC + ~BA. ~BC + ~CA. ~CB. R.: 169
15. Determinar os ângulos do triângulo de vértices A(2, 1, 3), B(1, 0,−1) e C(−1, 2, 1). R.:
Aˆ = arccos 10
3
√
28
, Bˆ = arccos2
√
6
9
e Cˆ = arccos 2√
42
16. Sabendo que o ângulo entre os vetores ~u = (2, 1,−1) e ~v = (1,−1,m+2) é pi
3
, determi-
nar m. R.: m = −4
17. Calcular n para que seja de 30◦ o ângulo entre os vetores ~u = (1, n, 2) e ~j. R.:
n = ±√15
18. Dados os vetores ~a = (2, 1, α), ~b = (α + 2,−5, 2) e c = (2α, 8, α), determinar o valor α
para que o vetor ~a+~b seja ortogonal ao vetor ~c− ~a. R.: α = 3 ou α = −6
19. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (1,−1, 2), tal que ~v.~u = −18. R.: (−3, 3, 6)
20. Determinar o vetor ~v ortogonal ao vetor ~u = (2,−3,−12) e colinear ao vetor ~w =
(−6, 4,−2). R.: ~v = t(3,−2, 1), t ∈ R
21. Determinar o vetor ~v, colinear ao vetor ~u = (−4, 2, 6), tal que ~v.~w = −12, sendo
~w = (−1, 4, 2). R.: (2,−1,−3)
22. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3,−2, 1) são vértices de um triângulo
retângulo. R.: ~BA. ~BC = 0
23. Qual é o valor de α para que os vetores ~a = α~i+5~j− 4~k e ~b = (α+1)~i+2~j+4~k sejam
ortogonais? R.: α = 2 ou α = −3
24. Verificar se existe ângulo reto no triângulo ABC, sendo A(2, 1, 3), B(3, 3, 5) e C(0, 4, 1).
R.: Aˆ
25. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v é ortogonal ao eixo Oz, ~v.~w = 6 e
~w = 2~j + 3~k. R.: (4, 3, 0) ou (−4, 3, 0)
2
26. Determinar o vetor unitário ortogonal ao vetor ~v = (2,−1, 1). R.: Um deles é
(0, 1√
2
, 1√
2
)
27. Determinar o vetor de módulo 5 paralelo ao vetor ~v = (1,−1, 2). R.: (± 5√
6
,∓ 5√
6
,± 5√
6
)
28. O vetor ~v é ortogonal aos vetores ~u = (2,−1, 3) e ~w = (1, 0,−2) e forma um ângulo
agudo com o vetor ~j. Calcular ~v, sabendo que |~v| = 3√6. R.: (2, 7, 1)
29. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições ~v.~v1 = 10 e
~v.~v2 = −5, sendo ~v1 = (2, 3,−1) e ~v2 = (1,−1, 2). R.: (−1, 4, 0)
30. Determinar o vetor projeção do vetor ~u = (1, 2,−3) na direção de ~v = (2, 1,−2). R.:
10
9
(2, 1,−1)
31. Qual é o comprimento do vetor ~u = (3, 5, 2) sobre o eixo x? R.: 3
32. Calcular o módulo dos vetores ~u + ~v e ~u − ~v, sabendo que |~u| = 4, |~v| = 3 e o ângulo
entre ~u e ~v é de 60◦. R.:
√
37 e
√
13
33. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e que ~u e ~v formam um ângulo de 3pi
4
rad, determinar
|(2~u− ~v).(~u− 2~v)|. R.: 26 + 15√2
34. Determinar ~u.~v + ~u.~w + ~v.~w, sabendo que ~u + ~v + ~w = ~0, |~u| = 2, |~v| = 3 e |~w| = √5.
R.: −9
35. O vetor ~v é ortogonal aos vetores ~a = (1, 2, 0) e ~b = (1, 4, 3) e forma um ângulo agudo
com o eixo dos x. Determinar ~v, sabendo que |~v| = 14. R.: (12,−6, 4)
36. Dados os vetores ~u = (2,−1, 1), ~v = (1,−1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcular:
a) ~w × ~v. R.: (2, 2,−1)
b) ~v × (~w − ~u). R.: (−1,−1, 0)
c) (~u+ ~v)× (~u− ~v). R.: (−2,−2, 2)
d) (2~u)× (3~v). R.: (6, 6,−6)
e) (~u× ~v).(~u× ~v). R.: 3
f) (~u× ~v). ~w e ~u.(~v × ~w). R.: −1 e −1.
g) (~u× ~v)× ~w e ~u× (~v × ~w). R.: (4,−1, 3) e (1,−4,−6)
h) (~u+ ~v).(~u× ~w). R.: 1
3
37. Dados os vetores ~a = (1, 2, 1) e ~b = (2, 1, 0), calcular:
a) 2~a× (~a+~b)
b) (~a+ 2~b)× (~a− 2~b)
38. Dados os pontos A(2,−1, 2), B(1, 2,−1) e C(3, 2, 1), determinar o vetor ~CB × ( ~BC −
2 ~CA). R.: (12,−8,−12)
39. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a + ~b e ~b − ~a, sendo
~a = (3,−1, 2) e ~b = (1, 0,−3). R.: x(3, 7, 1), x ∈ R
40. Dados os vetores ~a = (1,−1, 2), ~b = (3, 4,−2) e ~c = (−5, 1,−4), mostrar que ~a.(~b×~c) =
(~a×~b).~c. R.: ~a.(~b× ~c) = 10 = (~a×~b).~c
41. Determinar o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2,m) seja simultaneamente ortogonal
aos vetores ~v1 = (2,−1, 0) e v2 = (1,−3,−1). R.: −5
42. Dados os vetores ~v = (a, 5b,− c
2
) e ~w = (−3a, x, y). Determinar x e y para que ~v× ~w = ~0.
R.: x = −15b e y = 3
2
c
43. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1 = (1, 1, 0) e
~v2 = (2,−1, 3). Nas mesmas condições, determinar um vetor de módulo 5. R.: Duas
soluções para cada caso:
(
1√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
)
ou
(
− 1√
3
, 1√
3
, 1√
3
)
e 5
(
1√
3
,− 1√
3
,− 1√
3
)
ou
5
(
− 1√
3
, 1√
3
1√
3
)
44. Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores:
a) ~j × 2~i.
b) 3~i× 2~k.
45. Sabendo que |~a| = 3 e |~b| = √2 e 45◦ é o ângulo entre ~a e ~b, calcular |~a×~b|. R.: 3
46. Se |~u× ~v| = 3√3, |~u| = 3 e 60◦ é o ângulo entre ~u e ~v, determinar |~v|. R.: 2
47. Dados os vetores ~a = (3, 4, 2), ~b = (2, 1, 1), obter um vetor de módulo 3 que seja ao
mesmo tempo ortogonal aos vetores 2~a−~b e ~a+~b. R.:
(
6√
30
, 3√
30
,− 15√
30
)
48. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ~u = (3, 1, 2) e ~v = (4,−1, 0).
R.:
√
117
4
49. Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontosA(1,−2, 3), B(4, 3,−1), C(5, 7,−3)
e D(2, 2, 1) é um paralelogramo e calcular a sua área. R.:
√
89
50. Calcular a área de um paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2~u e
−~v, sendo ~u = (2,−1, 0) e ~v = (1,−3, 2). R.: 6√5
51. Calcular a área do triângulo de vértices
a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3). R.: √6
b) A(1, 0, 1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0). R.: 7
2
c) A(2, 3,−1), B(3, 1,−2) e C(−1, 0, 2). R.: 9
√
2
2
d) A(−1, 2,−2), B(2, 3,−1) e C(0, 1, 1). R.: 2√6
52. Calcular a área do paralelogramo que tem um vértice no ponto A(3, 2, 1) e uma diago-
nal de extremidades B(1, 1,−1) e C(0, 1, 2). R.: √74
53. Calcular x, sabendo que A(x, 1, 1), B(1,−1, 0) e C(2, 1,−1) são vértices de um triân-
gulo de área
√
29
2
. R.: 3 ou 1
5
54. Dado o triângulo de vértices A(0, 1,−1), B(−2, 0, 1) e C(1,−2, 0), calcular a medida
da altura relativa ao lado BC. R.: 3
√
35
7
55. Determinar ~v tal que ~v seja ortogonal ao eixo dos y e ~u = ~v × ~w, sendo ~u = (1, 1,−1)
e ~w = (2,−1, 1). R.: (1, 0, 1)
56. Dados os vetores ~u = (0, 1,−1), ~v = (2,−2,−2) e ~w = (1,−1, 2), determinar o vetor ~x,
paralelo a ~w, que satisfaz a condição: ~x× ~u = ~v. R.: (−2, 2,−4)
57. Dados os vetores ~u = (2, 1, 0) e ~v= (3,−6, 9), determinar o vetor ~x que satisfaz a
relação ~v = ~u× ~x e que seja ortogonal ao vetor ~w = (1,−2, 3). R.: ~x = (2y − 9, y, 3)
58. Verificar se são coplanares os seguintes vetores:
a) ~u = (3,−1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~w = (−2, 3, 4). R.: não
b) ~u = (2,−1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7,−1, 2). R.: sim
59. Verificar se são coplanares os pontos:
a) A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2). R.: sim
b) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1,−2, 2). R.: não
c) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1,−1,−1) e D(0, 1,−1). R.: sim
5
60. Para que valor de m os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2, 3), C(5,−1, 1) e D(3,−2,−2) são
coplanares? R.: m = 4
61. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:
a) ~a = (2,−1, k), ~b = (1, 0, 2) e ~c = (k, 3, k). R.: 6
b) ~a = (2, 1, 0), ~b = (1, 1,−3) e ~c = (k, 1,−k). R.: 3
2
c) ~a = (2, k, 1), ~b = (1, 2, k) e ~c = (3, 0,−3). R.: 2 ou −3
62. Sejam os vetores ~u = (1, 1, 0), ~v = (2, 0, 1), ~w1 = 3~u−2~v, ~w2 = ~u+3~v e ~w3 =~i+~j−2~k.
Determinar o volume do paralelepípedo definido por ~w1, ~w2 e ~w3. R.: 44 u.v
63. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
~v1 = 2~i−~j, ~v2 = 6~i+m~j − 2~k e ~v3 = −4~i+ ~k seja igual a 10. R.: 6 ou −4
64. Os vetores ~a = (2,−1,−3), ~b = (−1, 1,−4) e ~c = (m+1,m,−1) determinam um para-
lelepípedo de volume 42. Calcular m. R.: 2 ou −8
3
65. Dados os pontos A(1,−2, 3), B(2,−1, 4), C(0, 2, 0) e D(−1,m, 1), determinar o valor
de m para que seja de 20 unidades de volume o volume do paralelepípedo determinado
pelos vetores ~AB, ~AC e ~AD. R.: 6 ou 2
66. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados:
a) A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) e D(4, 2, 7). R.: 2
b) A(−1, 3, 2), B(0, 1,−1), C(−2, 0, 1) e D(1,−2, 0). Para este, calcular também a
medida da altura traçada do vértice A. R.: 4 e 8√
10
6