LISTA_I_ALGA

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Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA VI
1. Calcular os valores de m e n para que as matrizes sejam iguais.
a) A =
(
8 15n
12 +m 3
)
e B =
(
8 75
6 3
)
R.: n = 5 e m = −6
b) A =
(
m2 − 40 n2 + 4
6 3
)
e B =
(
41 13
6 3
)
R.: m = ±9 e n = ±3
c) A =
(
7 8
4 n2
)
e B =
(
7 8
4 10n− 25
)
R.: n = 5
2. Dadas as matrizes A =
(
2 3 8
4 −1 −6
)
, B =
(
5 −7 −9
0 4 1
)
e C =
(
0 9 8
1 4 6
)
, calcule:
a) A+B
b) B + C
c) A+ C
d) A−B
e) A− C
f) B − C
g) X = 4A− 3B + 5C
h) X = 2B − 3A− 6C
i) X = 4C + 2A− 6B
3. Efetue a multiplicação das matrizes A e X.
a) A =
(
2 6
−5 4
)
e X =
(
x
y
)
b) A =
 1 2 3−2 −5 7
3 9 −8

e X =
 x1x2
x3

c) A =

−3 4 2 8
0 1 3 −6
−1 4 5 −7
9 −9 −8 6
 e X =

x1
x2
x3
x4

4. Dadas as matrizes
A =

1 −2
3 1
7 −4
5 9
 , B = ( 1 3 −5 −76 2 −8 3
)
, C =
(
2 4
−3 5
)
eD =

1 7 3 −8
−3 −1 −1 −3
4 1 9 0
5 3 2 −3
 .
1
Determine:
a) AB
b) (AB)D
c) A(BD)
d) BA
e) (BA)C
f) B(AC)
5. Verifique se a matriz B é a inversa da matriz A:
a) A =
 −0, 5 −1, 5 1−0, 5 −2, 5 0, 5
−0, 5 −2 1

e B =
 −12 −4 142 0 −2
−2 −2 4

b) A =
 −2 −4 −6−4 −6 −6
−4 −4 −2

e B =
 −1, 5 2 1, 52 −2, 5 1, 5
−1 1 −0, 5

c) A =
 −4 −2 02 −6 −2
10 −8 −4

e B =
 −1 1 −0, 51, 5 −2 1
−5, 5 6, 5 −3, 5

d) A =
 4 5 02 3 0
−6 −1 −2

e B =
 9 3 4−7 2 5
1 6 8

e) A =
 0 4 −22 8 −4
−2 −14 6

e B =
 −1 0, 5 0−0, 5 −0, 5 −0, 5
−1, 5 −1 −1

6. Calcular m e n para que a matriz B seja a inversa de A.
a) A =
(
m −22
−2 n
)
e B =
(
5 22
2 9
)
R.: m = 9 e n = 5
b) A =
(
2 5
3 8
)
e B =
(
8 m
n 2
)
R.: m = −5 e n = −3
7. Determinar a matriz AT transposta da matriz
A =
 2 4 3 −51 −7 0 −2
8 −9 6 −4

2
8. Dadas as matrizes
A =

5 0 6
−8 0 3
−2 2 7
1 −1 −5
 , B =
 1 −3 −2 47 8 5 9
0 6 3 −8

C =
 2 3 01 1 −8
3 5 4

e D =

5 0 3 2
−8 1 −2 4
−3 2 1 −5
0 1 0 2
 .
Determine:
a) (AB)T
b) (AB)DT
c) A(BDT )
d) BTC
e) 2(ATBT ) + 3CT
9. Dadas as matrizes:
A =
 2 −7 13 4 2
5 −9 6
 , B =
 0 −9 34 8 1
7 3 1

e C =
 4 3 5−1 2 −7
8 1 −9

Classifique:
a) A+ AT . R.: Simétrica
b) B +BT . R.: Simétrica
c) AAT . R.: Simétrica
d) A− AT . R.: Antissimétrica
e) B −BT . R.: Antissimétrica
f) C − CT . R.: Antissimétrica
Observação:
• Uma matriz A, quadrada, é dita peródica se An = A, sendo n ≥ 2. Se n é o menor
inteiro para o qual An = A, então diz-se que o período de A é n− 1.
• Em uma matriz nihilpotente, se p é o menor inteiro tal que Ap = 0, diz-se que A é
uma matriz nihilpotente de índice p.
3
10. Dadas as matrizes:
A =
(
0 1
1 0
)
, B =
(
1
3
2
√
2
3
2
√
2
3
−1
3
)
, C =
(
1
5
−2
√
6
5
2
√
6
5
1
5
)
, D =
(
senθ − cos θ
cos θ −senθ
)
,
E =

√
3
3
√
3
3
√
3
3
−
√
6
3
√
6
6
√
6
6
0 −
√
2
2
√
2
2
 , F = ( 6 9−4 −6
)
, G =
(
12 16
−9 −12
)
, H =
 −12 −52 1−1
2
−1 1
2−3
2
−3 3
2
 ,
J =
(
5 10
−2 −4
)
, L =
(
6 10
−3 −5
)
, M =
 −1 2 63 −2 −9
−2 0 3

a) Calcular AAT e classificar a matriz A. R.: A é ortogonal
b) Calcular BBT e classificar a matriz B. R.: B é ortogonal
c) Calcular CCT e classificar a matriz C. R.: C é ortogonal
e) Calcular DDT e classificar a matriz D. R.: D é ortogonal
f) Calcular EET e classificar a matriz E. R.: E é ortogonal
g) Calcular F 2 e classificar a matriz F . R.: F é nihilpotente de índice p = 2
h) Calcular G2 e classificar a matriz G. R.: G é nihilpotente de índice p = 2
i) Calcular H3 e classificar a matriz H. R.: H é nihilpotente de índice p = 3
j) Calcular J2 e classificar a matriz J . R.: J é idempotente
k) Calcular L2 e classificar a matriz L. R.: L é idempotente
l) CalcularM3 e classificar a matrizM . R.: M é periódica de período igual a 2 (períódica
pois M3 =M e o período é 3− 1 = 2)
11. Dadas as matrizes triangulares superiores (A e B) e inferiores (C e D):
A =
 1 2 80 1 2
0 0 4
 , B =
 2 −3 10 2 −1
0 0 3
 , C =
 1 0 0−1 3 0
−2 −1 2
 , D =
 4 0 01 −1 0
−1 −3 −2

a) Calcular E = AB e classificar a matriz E. R.: E é uma matriz triangular superior
b) Calcular F = CD e classificar a matriz F . R.: F é uma matriz triangular inferior
12. Dadas as matrizes diagonais:
A =
 2 0 00 7 0
0 0 3

e B =
 4 0 00 5 0
0 0 6

Calcular AB e classificar este produto. R.: AB é uma matriz diagonal
4