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1 Matrizes
Uma matriz de ordem m por n, onde m é o número de linhas e n é o número de colunas,
é uma tabela composta por m× n elementos e é representada da seguinte forma:
A =

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 . . . amn

onde cada elemento da matriz pode ser representado na forma aij, i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
Outra representação para a matriz A acima pode ser A = [aij], i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
A ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas e colunas que ela possui.
Exemplo 1: Considere as matrizes A, B, C, D, E e F :
A =
( −1 2 1
5 3 0
)
B =
(
1 0 8 −1
2
)
C =
 −35
7

D =

1 5 −3 4
2 1 2 7
5 −2 1 2
0 0 −√2 1
 E =

1 2 3
4 5 6
1 2 3
4 5 6
 F = ( 0 12 −1
)
• A matriz A é da ordem 2 por 3 e possui 2 × 3 = 6 elementos. Esta matriz também
é chamada de matriz retangular pois o número de linhas é diferente do número de
colunas;
• A matriz B é da ordem 1 por 4 e possui 1 × 4 = 4 elementos. Esta matriz, por ter
somente uma linha, é chamada de matriz linha. Uma matriz linha também é uma
matriz retangular.
• A matriz C é da ordem 3 por 1 e possui 3 × 1 = 3 elementos. Esta matriz, por ter
somente uma coluna, é chamada de matriz coluna. Uma matriz coluna também é
uma matriz retangular.
• A matriz D é da ordem 4 por 4 e possui 4× 4 = 16 elementos. Esta matriz, por ter o
número de linhas igual ao número de colunas, é chamada de matriz quadrada.
• A matriz E é da ordem 4 por 3 e possui 4 × 3 = 12 elementos. Esta matriz é uma
matriz retangular.
• A matriz F é da ordem 2 por 2 e possui 2×2 = 4 elementos. Esta matriz é uma matriz
quadrada.
Observação: Uma matriz cujos elementos são todos nulos é chamada de matriz zero.
Ela pode ser representada por "0".
0 =
(
0 0
0 0
)
0 =
(
0 0 0
0 0 0
)
1
1.1 Matriz Quadrada
Em uma matriz quadrada o número de linhas é igual ao número de colunas. Assim uma
matriz A de ordem n por n pode ser representada:
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
an1 an2 . . . ann

Os elementos em que i = j, constituem a diagonal principal.
A =

a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
... . . .
...
an1 an2 . . . ann
 =

a11 ∗ . . . ∗
∗ a22 . . . ∗
...
... . . .
...
∗ ∗ . . . ann

Os elementos em que i+ j = n+ 1, constituem a diagonal secundária.
A =

a11 . . . a1 n−1 a1n
a21 . . . a2 n−1 a2n
...
... . . .
...
an1 . . . an n−1 ann
 =

∗ . . . ∗ a1n
∗ . . . a2 n−1 ∗
...
... . . .
...
an1 . . . ∗ ∗

A matriz quadrada que possui os elementos aij = 0 para i 6= j é chamada de matriz
diagonal.
A =

a11 0 . . . 0
0 a22 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . ann
 B =

−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 1
4
0
0 0 0 3

A matriz escalar é uma matriz diagonal em que os elementos aij, para i = j, são iguais.
A =

k 0 . . . 0
0 k . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . k
 B =
 −2 0 00 −2 0
0 0 −2

A matriz identidade é uma matriz escalar em que aij = 1, para i = j.
2
A =

1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
... . . .
...
0 0 . . . 1
 B =
(
1 0
0 1
)
C =
 1 0 00 1 0
0 0 1

1.2 Operações entre Matrizes
1.2.1 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes A = [aij] e B = [bij] (i = 1, ...,m e j = 1, ..., n) de mesma ordem são
iguais se os elementos que estão na mesma posição são iguais, ou seja, aij = bij.
Como por exemplo se A =
(
2 3 0
5 1 2
)
e B =
(
2 3 0
5 1 2
)
, então A = B.
Exemplo 2: Dadas as matrizes A =
(
y + 4 2
9 x2 + 4
)
e B =
(
12 2
9 53
)
. Calcular x
e y para que A e B sejam iguais.
1.2.2 Adição e Subtração de Matrizes
Seja A = [aij] e B = [bij] duas matrizes de mesma ordem.
• Adição de Matrizes: A matriz C = [cij], onde C = A + B, é a matriz em que os
elementos são dados por cij = aij + bij.
• Subtração de Matrizes: A matriz E = [eij], onde E = A−B, é a matriz em que os
elementos são dados por eij = aij − bij.
Exemplo 3: Dadas as matrizes
A =
 2 3 8−5 9 −6
7 4 −1
 B =
 −3 7 1−4 2 5
0 9 4
 C =
 7 −8 34 −3 2
9 −5 1

Calcule A+B e C −B.
3
Propriedades: Sejam A, B, C e 0 matrizes de mesma ordem:
I) A+ (B + C) = (A+B) + C;
II) A+ 0 = 0 + A = A (Lembre que aqui o "0" representa a matriz zero e ela é o elemento
neutro da adição de matrizes);
III) −A+ A = A− A = 0;
IV) A+B = B + A.
1.2.3 Produto de uma Matriz por um Escalar
Seja A = [aij] uma matriz e seja k um escalar (número real). A matriz B = [bij], onde
B = kA, é a matriz em que os elementos são dados por bij = kaij.
Exemplo 4: Dada a matriz A =
 4 3−2 −5
1 0
. Determine B tal que B = −3A.
Exemplo 5: Seja A, B e C do exemplo 3. Determine D tal que D = 3A−B + 4C
Propriedades: Sejam λ e µ escalares e, A e B matrizes de mesma ordem:
I) (λµ)A = λ(µA) ;
II) (λ+ µ)A = λA+ µA;
III) λ(A+B) = λA+ λB;
IV) 1A = A.
4
1.2.4 Produto de uma Matriz por Outra
Para facilitar, vamos representar por (m,n) a ordem de uma matriz m por n.
Considere os seguintes exemplos:
1. Sejam as matrizes A =
( −1 3 0 4 ) e B =

−6
1
5
1
2

O produto AB é, por definição, a matriz C = [c11] tal que:
C11 = (−1)× (−6) + 3× 1 + 0× 5 + 4×
(
1
2
)
= 11
Dizemos que 11 é o produto da matriz A pela matriz B. Portanto C = (11).
Para podermos multiplicar uma matriz A por uma matriz B é preciso que o
número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B. A ordem da
matriz resultante deste produto é dada pelo número de linhas de A e pelo
número de colunas de B.
No exemplo acima a ordem da matriz A é (1, 4) e da matriz B é (4, 1). Observe que
o número de colunas de A é o mesmo que o número de linhas de B e que a ordem da
matriz C é (1, 1) (uma linha e uma coluna - uma matriz de um elemento).
2. Considere as matrizes A =
(
5 2 3 4
)
e B =

3 4
5 7
4 2
6 1
. Vamos determinar a ma-
triz C = AB.
A ordem da matriz A é (1, 4) e a ordem da matriz B é (4, 2). Como o número de
colunas de A é igual ao número de linhas de B é possível fazer a multiplicação de A
por B. A ordem da matriz C será (1, 2), ou seja, será uma matriz da forma:
C =
(
c11 c12
)
onde:
C11 = 5× 3 + 2× 5 + 3× 4 + 4× 6 = 61
C12 = 5× 4 + 2× 7 + 3× 2 + 4× 1 = 44
portanto C =
(
61 44
)
5
3. Considere as matrizes A =
(
2 −1 3
5 2 4
)
e B =
 1 2 5 −13 4 7 0
2 3 1 6
. Vamos determi-
nar a matriz C = AB.
A ordem da matriz A é (2, 3) e a ordem da matriz B é (3, 4). Como o número de
colunas de A é igual ao número de linhas de B é possível fazer a multiplicação de A
por B. A ordem da matriz C será (2, 4), ou seja, será uma matriz da forma:
C =
(
c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
)
onde:
c11 = 2× 1 + (−1)× 3 + 3× 2 = 5
c12 = 2× 2 + (−1)× 4 + 3× 3 = 9
c13 = 2× 5 + (−1)× 7 + 3× 1 = 6
c14 = 2× (−1) + (−1)× 0 + 3× 6 = 16
c21 = 5× 1 + 2× 3 + 4× 2 = 19
c22 = 5× 2 + 2× 4 + 4× 3 = 30
c23 = 5× 5 + 2× 7 + 4× 1 = 43
c24 = 5× (−1) + 2× 0 + 4× 6 = 19
portanto C =
(
5 9 6 16
19 30 43 19
)
4. Considere as matrizes A e B do item 3. É possível determinar o produto E = B.A?
Não é possível pois como a ordem das matrizes B é (3, 4) e da A é (2, 3), temos que o
número de colunas de B é diferente do número de linhas de A.
Observação: Comutatividade da Multiplicação de Duas Matrizes
Quando nos referimos a matrizes, se o produto AB existe, não quer dizer que o produto
BA também exista.
Se tomarmos a matriz A de ordem (3, 5) e a matriz B de ordem (5, 6), a multiplicação
AB pode ser realizada pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B e a
matriz desteproduto será uma de ordem (3, 6). Já a multiplicação BA não estará definida
pois o número de colunas de B não é igual ao número de linhas de A.
Se as matrizes A e B forem quadradas de mesma ordem é possível determinar os produtos
AB e BA porém eles não serão necessariamente iguais. Somente teremos AB = BA se uma
das matrizes for a matriz identidade ou se uma for a matriz inversa da outra (que veremos a
seguir).
6
Exemplo 6: Considere as matrizes A =
(
1 2
5 4
)
, B =
( −1 3
1 5
)
e C =
(
1 0
0 1
)
.
Calcule AB, BA, AC e CA.
1.3 Matriz Inversa
Dadas duas matrizes quadradas A e B de mesma ordem, se
AB = BA = I onde I é a matriz identidade
então dizemos que B é a matriz inversa de A e podemos representar B = A−1 (ou então
que A é a matriz inversa de B e podemos representar A = B−1). Neste caso a comutatividade
entre as matrizes é válida.
Assim, podemos escrever AA−1 = A−1A = I.
Exemplo 7: Dadas as matrizes
A =
 −1 −1 00 −1 −1
1 −1 −3
 e B =
 −2 3 −11 −3 1
−1 2 −1

verifique se B é inversa de A.
Propriedades:
I) Dadas as matrizes A, B e C de ordem (m,n), (n, p) e (p, r), respectivamente, tem-se
(AB)C = A(BC);
II) Dadas as matrizes A, B e C de ordem (m,n), (m,n) e (n, p), respectivamente, tem-se
(A+B)C = AC +BC;
III) Dadas as matrizes A, B e C de ordem (n, p), (n, p) e (m,n), respectivamente, tem-se
C(A+B) = CA+ CB;
7
IV) Se A(m,n), tem-se ImA = AIn = A;
V) Dadas as matrizes A e B de ordem (m,n) e (n, p), respectivamente, tem-se, para todo
número λ, que (λA)B = A(λB) = λ(AB);
VI) A multiplicação matricial não é, em geral, comutativa.
Exemplo 8: Dadas as matrizes A =
(
9 5
7 4
)
e B =
(
4 n
m 9
)
. Calcular m e n para
que B seja inversa de A.
1.4 Matriz Transposta
A matriz transposta da matriz A de ordem (m,n), é a matriz AT de ordem (n,m) que
se obtém da matriz A permutando as linhas pelas colunas de mesmo índice.
Considerando, por exemplo, a matriz A de ordem (3, 2) dada por:
A =
 a11 a12a21 a22
a31 a32

então a sua transposta será a matriz AT de ordem (2, 3) dada por
AT =
(
a11 a21 a31
a12 a22 a32
)
Exemplo 9: Dadas as matrizes A =
 1 30 2
2 4
, B = ( 1 2
3 4
)
e C =
(
0 2
−1 3
)
.
Determine (C +B)T , CT +BT , (AB)T e BTAT .
8
Propriedades:
I) (A+B)T = AT +BT , onde A e B são matrizes de mesma ordem;
II) (λA)T = λAT para λ escalar;
III) (AT )T = A;
IV) (AB)T = BTAT , desde que o número de colunas de A seja igual ao número de de linhas
de B.
1.5 Matriz Simétrica
Uma matriz quadrada A = [aij] é dita simétrica se ela é igual a sua trasposta, ou seja,
A = AT .
Exemplo 10: Verifique se a matriz A =
 1 5 95 3 8
9 8 7
 é simétrica.
Observação:
• Em uma matriz simétrica, os elementos dispostos simetricamente em relação a diagonal
principal são iguais, ou seja, aij = aji.
• O produto de uma matriz quadrada pela sua transposta é uma matriz simétrica.
Exemplo 11: Dada a matriz A =
 2 0 21 −1 2
0 3 0
. Determine AAT .
1.6 Matriz Antissimétrica
Uma matriz quadrada A = [aij] é dita antissimétrica se AT = −A.
Exemplo 12: Verifique se a matriz A =
 0 3 4−3 0 −6
−4 6 0
 é antissimétrica.
9
Observação: Em uma matriz antissimétrica, os elementos dispostos simetricamente em
relação a diagonal principal possuem sinais opostos, ou seja, aij = −aji e os elementos da
diagonal principal são nulos.
1.7 Matriz Ortogonal
Uma matriz M em que a inversa coincide com a transposta é denominada matriz orto-
gonal, ou seja:
M−1 = MT (1)
Multiplicando a equação (1) em ambos os lados por M :
• MM−1 = MMT ⇒ I = MMT
• M−1M = MTM ⇒ I = MTM
Assim, MTM = MMT = I.
Exemplo 13: Mostre que a matriz A =
(
1
2
√
3
2√
3
2
−1
2
)
é ortogonal.
1.8 Matrizes Triangular Superior e Triangular Inferior
Uma matriz Triangular Superior é uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos
aij = 0, com i > j.
A =

a11 a12 a13 . . . a1 n−1 a1n
0 a22 a23 . . . a2 n−1 a2n
0 0 a33 . . . a3 n−1 a3n
...
...
... . . .
...
0 0 0 . . . an−1 n−1 an−1 n
0 0 0 . . . 0 ann

B =

1 2 3 4
0 −1 5 7
0 0 9 8
0 0 0 −3

10
Uma matriz Triangular Inferior é uma matriz quadrada A = [aij] em que os elementos
aij = 0, com i < j.
A =

a11 0 0 . . . 0 0
a21 a22 0 . . . 0 0
a31 a32 a33 . . . 0 0
...
...
... . . .
...
an−1 1 an−1 2 an−1 3 . . . an−1 n−1 0
an 1 an 2 an 3 . . . an n−1 ann

B =

1 0 0 0
3 −1 0 0
−2 6 9 0
5 7 0 −3

1.9 Potência de uma Matriz
Uma matriz quadrada A = [aij] pode ser multiplicada n vezes por si mesma. A matriz que
resulta dessas operações, e que é representada por An, é chamada de potência n da matriz
A.
Se A2 = A, diz-se que A é uma Matriz Idempotente.
Se Ap = 0, onde p é inteiro positivo, diz-se que A é uma Matriz Nihilpotente.
Exemplo 14: Sendo A =
(
1 2
4 3
)
. Determine A2 e A3.
Exemplo 15: Sendo A =
(
10 −25
4 −10
)
. Calcule A2.
Exemplo 16: Sendo A =
 2 −1 1−2 3 −2
−4 4 −3
. Calcule A2.
Exemplo 17: Sendo C =
 3 0 0−2 2 0
1 1 −3
 e D =
 −1 0 0−3 4 0
2 1 1
. Calcule E = CD.
11
2 Determinantes
O determinante é um certo tipo de função que associa um número real a uma matriz
quadrada. É importante observar que o determinante é dado por somas algébricas de
produtos e, nele, contém todos os elementos da matriz (sem exceção).
A ordem do determinante é a ordem da matriz a que ele corresponde. O determinante de
uma matriz A pode ser denotado por detA e é representado da seguinte forma:
detA =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
...
...
... . . .
...
an1 an2 an3 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
2.1 Determinante de Segunda Ordem
Dada a matriz quadrada:
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
O determinante de A (detA) é detA = a11a22 − a12a21, ou seja,
detA =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
Observação: Porque o determinante de uma matriz de ordem (2, 2) é dado por a11a22−
a12a21:
Primeiramente podemos observar que os índices que estão nos elementos desta matriz
envolvem os números 1 e 2. O total de permutação desses números é 2, ou seja, as permutações
são 12 e 21.
Vamos tomar como permutação principal uma das duas permutações, como por exem-
plo a 12 (poderia ser tomado 21). A partir da permutação principal escolhida, neste caso
12, olhamos para a permutação que sobrou e verificamos que ela é obtida quando invertemos
uma única vez os algarismos da permutação principal, ou seja, 21 é obtido com uma inversão
do 12. Quando o número de inversões for um número par, atribuiremos sinal + para o
produto dos elementos que tiver essa permutação como segundos índices. Quando o número
de inversões for um número ímpar, atribuiremos sinal − para o produto dos elementos que
tiver essa permutação como segundos índices. Assim:
12→ não possui inversões com relação a permutação principal→ +
21→ possui uma inversão com relação a permutação principal→ −
Lembrando que em uma matriz de ordem (2, 2), temos nos índices somente os algarismos 1 e
2 e portanto, tomando produtos dos elementos e o primeiro índice do primeiro elemento do
12
produto será 1 e o primeiro índice do segundo elemento do produto será 2. O segundo índice
dos elementos dos produtos serão as possíveis permutações. Veja:
a1?a2? → +a11a22 (2)
a1?a2? → −a12a21 (3)
No produto (2) foi utilizado a permutação 12 que não possui inversões com relação a per-
mutação principal e portanto recebeu o sinal de positivo. No produto (3) foi utilizado a
permutação 21 que possui uma inversão com relação a permutação principal e portanto re-
cebeu o sinal de negativo. Somando os dois produtos, obtemos o determinante a11a22−a12a21.
Exemplo 18: Dada a matriz A =
(7 5
2 4
)
, determine detA.
Exemplo 19: Dada a matriz A =
( −3 5
−2 8
)
, determine detA.
2.2 Determinante de Terceira Ordem
Dada a matriz quadrada:
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

O detA = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31, ou seja,
detA =
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22a31
= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) (4)
Exemplo 20: Mostre que o determinante de uma matriz de ordem (3, 3) é dado pela
expressão (4).
13
Exemplo 21: Calcular detA =
∣∣∣∣∣∣
2 5 7
3 1 4
6 8 2
∣∣∣∣∣∣.
Exemplo 22: Calcular detA =
∣∣∣∣∣∣
3 1 −2
−5 4 −6
0 2 7
∣∣∣∣∣∣.
2.3 Expansão em Cofatores
Antes de definirmos o determinante de uma matriz A, quadrada, utilizando a expansão
em cofatores, precisamos definir o determinante menor da entrada aij. O determinante
menor da entrada aij, que será denotado por Mij, é o determinante obtido quando suprimi-
mos a i-ésima linha e a j-ésima coluna de A. O número (−1)i+jMij é chamado de cofator
de aij e é denotado por Cij.
Se A é uma matriz quadrada de ordem n então o determinante de A pode ser determinando
multiplicando os elementos de qualquer linha (ou coluna) pelos seus cofatores e somando os
produtos resultantes, ou seja,
detA = a1jC1j + a2jC2j + ...+ anjCnj ⇒ expansão em cofatores ao longo da j-ésima coluna
ou
detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ...+ ainCin ⇒ expansão em cofatores ao longo da i-ésima linha
para 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo 23: Seja A =
 3 1 0−2 −4 3
5 4 −2
. Calcule detA.
14
Exemplo 24: Seja B =

1 2 −1 3
0 −1 5 0
5 4 2 3
1 1 2 −2
. Calcule detB.
Propriedades
I) O determinante da matriz A é igual ao determinante da sua transposta, ou seja, detA=
detAT ;
II) Se a matriz A possui uma linha ou uma coluna em que todos os elementos são nulos
então o determinante é nulo, ou seja, detA = 0;
III) Se a matriz A tem duas linhas ou duas colunas iguais ou proporcionais o determinante
é nulo, ou seja, detA = 0;
IV) O determinante de uma matriz diagonal superior ou inferior é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal;
V) Trocando-se entre si duas linhas ou duas colunas da matriz A, o determinante muda de
sinal;
VI) Ao multiplicarmos uma linha ou uma coluna da matriz A por um número real, o deter-
minante fica multiplicado por esse número. Como consequência dessa propriedade, se
A é (n, n) e k ∈ R, então det(kA) = (k)ndetA;
VII) Se A e B são matrizes quadradas de mesmo tamanho então detAB=detA detB.
VIII) Sejam A, B e C matrizes (n, n) que diferem somente em uma única linha, digamos
a r-ésima, e suponha que a r-ésima linha de C pode ser obtida somando as entradas
correspondentes nas r-ésimas linhas de A e B. Então detC=detA+detB. O mesmo
resultado vale para colunas.
Exemplo 25: Dada as matrizes A =
(
3 1
2 1
)
e B =
( −1 3
5 8
)
. Calcular detAB,
detA detB, detA, detAT .
15
Exemplo 26: Resolver a equação
∣∣∣∣∣∣
3 2 x
1 −2 x
2 −1 x
∣∣∣∣∣∣ = 8.
Exemplo 27: Dada a matriz A =
 1 −2 3−2 4 −6
1 3 5
. Determine detA.
Exemplo 28: Calcule detA =
∣∣∣∣∣∣
2 3 −1
0 5 9
0 0 1
∣∣∣∣∣∣.
Exemplo 29: Dadas as matrizes A =
 1 2 3−2 5 5
1 −3 4
, B =
 −2 5 51 2 3
1 −3 4
 e
C =
 −2 5 51 3 2
1 4 −3
. Calcule detA, detB e detC.
Exemplo 30: Dadas as matrizes A =
 1 2 3−2 5 5
1 −3 4
 e B =
 1 2 34 −10 −10
1 −3 4
.
Calcule detA e detB.
16
Exemplo 31: Sem calcular diretamente, mostre que det
 b+ c c+ a b+ aa b c
1 1 1
 = 0
Observação: Uma matriz quadrada é dita singular se o seu determinante é nulo e não
singular se o seu determinante é diferente de zero.
2.4 Matrizes Inversíveis
Uma matriz B é dita inversa de A se AB = BA = I.
Teorema: Uma matriz quadrada A é inversível se, e somente se, detA 6= 0.
Teorema: Se A é uma matriz inversível, então
detA−1 =
1
detA
Exemplo 32: Dada as matrizes A =
(
1
2
3
−1 2
)
e B =
(
1
2
−3
4
1
4
1
8
)
. Verifique se B é a
matriz inversa de A e determine detA e detB.
Exemplo 33: Seja A =
 a b cd e f
g h i
. Sabendo que detA=8, determine det(−2A−1).
17
Propriedades
I) Se a matriz A admite inversa, ou seja, se detA 6= 0, então ela é única;
II) Se a matriz A é não singular, sua inversa A−1 também é;
III) A matriz identidade é não singular e I−1 = I;
IV) Se a matriz A é não singular, a sua transposta AT também é. A matriz inversa de AT
é (A−1)T ;
V) Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz
não singular e a inversa de AB é a matriz B−1A−1, ou seja, (AB)−1 = B−1A−1.
Exemplo 34: Determine a matriz inversa de A =
(
1 3
2−3 −1
)
.
Exemplo 35: Determine a matriz inversa de B =
 1 0 20 −3 1
1 1 1
.
18
Observação: Podemos determinar, de outra forma, a matriz inversa de uma matriz A.
Primeiramente precisamos da seguinte definição.
Definição: Se A é uma matriz (n, n) e Cij é o cofator de aij, então a matriz
c11 c12 . . . c1n
c21 c22 . . . c2n
...
... . . . . . .
cn1 cn2 . . . cnn

é chamada de matriz de cofatores de A. A transposta desta matriz é chamada adjunta
de A e denotada por adj(A).
Teorema: Se A é uma matriz inversível, então
A−1 =
1
det(A)
adj(A).
Exemplo 36: Calcule, utilizando o resultado anterior, a matriz inversa deB =
 1 0 20 −3 1
1 1 1
.
Exemplo 37: Calcule, a matriz inversa de A =

1 3 1 1
2 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2
.
19
3 Sistemas de Equações lineares
Uma equação da forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b
é chamada de equação linear onde x1, x2, ..., xn são as variáveis, a1, a2, ..., an são os
coeficientes e b é o termo independente.
O nome da equação se dá pelo fato de as variáveis aparecerem sozinhas, ou seja, elas não
estão sendo multiplicadas por outras variáveis. Como por exemplo:
a) 2x + 3y − 5z = 3 é uma equação linear pois as variáveis aparecem "sozinhas", elas não
aparecem multiplicadas pelas variáveis x, y e/ou z.
b) x2 + 2xy + z = 4 não é uma equação linear pois os termos x2 (que pode ser representado
como xx) e xy não são lineares.
c) x− y − zx = 2 também não é uma equação linear pois o termo zx não é linear.
Quando temos um conjunto de equações lineares nas variáveis x1, x2, ...., xn chamamos
este conjunto de sistemas de equações lineares:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . .+ a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . .+ a3nxn = b3
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . .+ amnxn = bm
(5)
Às variáveis que satisfazem todas as equações do sistema linear simultaneamente chama-
mos de solução do sistema. O sistema (5) possui m equações e n incógnitas (ou variáveis).
Nem sempre é possível determinar a solução para (5). Se o sistema admite única solução,
ou seja, se existe x1, x2, ..., xn únicos que satisfazem todas as equações, simultaneamente, en-
tão dizemos que ele é compatível determinado. Se o sistema admite mais de uma solução,
ou seja, se para vários valores de x1, x2, ..., xn ele é satisfeito, dizemos que ele é compatível
indeterminado. Se o sistema não possuir x1, x2, ..., xn que satisfaça todas as equações
simultaneamente, então dizemos que ele é incompatível.
O sistema (5) pode ser escrito na forma matricial:

a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 . . . amn


x1
x2
x3
...
xn
 =

b1
b2
b3
...
bm

ou seja, na forma AX = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das variáveis
e B é a matriz dos termos independentes do sistema.
20
Quando B = (b1 b2 b3 ... bm)T = (0 0 0 ...0)T dizemos que o sistema é homogêneo.
Exemplo 38: Escreva na forma matricial os seguintes sistemas:
a)
{
2x+ 3y = 18
3x+ 4y = 25
b)

2x+ 3y − z = 0
5x− 2y + 2z = 0
z − x− y = 0
c)

2x1 + 3x2 − x3 + x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x2 + x4 = 5
x3 − x1 = 2
3.1 Sistemas Equivalentes
São sistemas que admitem mesma solução. Por exemplo:{
3x+ 6y = 42
2x− 4y = 12 e
{
x+ 2y = 14
x− 2y = 6
possuem como solução x = 10 e y = 2. Observe que se considerarmos o primeiro sistema e
dividirmos a primeira equação por 3 e a segunda equação por 2, obteremos o segundo sistema.
Assim, um sistema de equações lineares se transforma num sistema equivalente quando
fizemos operações elementares entre as linhas. Tais operações são:
I) Permutação de duas equações;
II) Multiplicação de uma equação por um número real diferente de zero;
III) Substituição de uma equação por sua soma com outra equação anteriormente multipli-
cada por um número real diferente de zero.
3.1.1 Forma Escalonada e Escalonada Reduzida por Linhas de uma Matriz
Aumentada
Dado o sistema linear na forma matricial:
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
a31 a32 a33 . . . a3n
...
...
... . . .
...
am1 am2 am3 . . . amn


x1
x2
x3
...
xn
 =

b1
b2
b3
...
bm

21
Chamamos de matriz aumentada do sistema a matriz
a11 a12 a13 . . . a1n b1
a21 a22 a23 . . . a2n b2
a31 a32 a33 . . . a3n b3
...
...
... . . .
...
...
am1 am2 am3 . . . amn bm

Para resolver um sistema linear, iremos substituir o sistema dado por um sistema novo,
mais simples, que possui a mesma solução.
Para determinarmos um sistema equivalente ao sistema dado, utilizaremos as operações
elementares (I), (II) e (III) apresentadas acima na matriz aumentada do sistema original e
escreveremos na forma escalonada ou forma escalonada reduzida por linhas a matriz
aumentada do sistema original.
As seguintes matrizes aumentadas estão na forma escalonada:
a)
 1 2 −5 3 6 140 0 1 0 −7
2
−6
0 0 0 0 1 2
 b)

1 2 3 5
0 1 −1 −1
0 0 1 2
0 0 0 0
 c)

1 2 3 2
0 1 2 −1
0 0 0 0
0 0 0 0

d)
 1 0 0 40 1 0 7
0 0 1 −1
 e)
 1 2 0 3 0 70 0 1 0 0 1
0 0 0 0 1 2
 f)

1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 −1
0 0 0 0

Dizemos que as matrizes (a), (b) e (c) estão na forma escalonada enquanto que as
matrizes (d), (e) e (f) estão na forma escalonada reduzida por linhas. Chamaremos o
primeiro elemento não nulo e unitário de cada linha de pivô ou líder.
Tanto na forma escalonada quanto na forma escalonada reduzida por linhas po-
demos observar que em quaisquer duas linhas sucessivas e que não consistem só de zeros, o
pivô da linha inferior ocorre mais à direita da linha superior. Se existirem linhas constituídas
somente por zeros, elas estarão agrupadas juntas as linhas inferiores da matriz. A diferença
entre uma matriz na forma escalonada e escalonada reduzida por linhas é que na
forma escalonada reduzida por linhas os elementos abaixo e acima do pivô são nulos
enquanto que na forma escalonada somente os elementos que estão abaixo do pivô são nulos.
Com isso podemos concluir que toda matriz que está na forma escalonada reduzida por
linhas está na forma escalonada. Porém uma matriz que está no forma escalonada não está
na forma escalonada reduzida por linhas.
Assim, ao considerarmos um sistema e com a matriz aumentada dele fizermos operações
elementares entre as linhas obtendo uma matriz na forma escalonada ou escalonada reduzida
por linhas, este novo sistema representa um sistema equivalente ao sistema original, porém é
um sistema em que a determinação da solução é mais fácil.
22
Ao processo que transforma a matriz aumentada do sistema em uma matriz escalonada,
chamamos de Eliminação Gaussiana. Ao processo que transforma a matriz aumentada do
sistema em uma matriz escalonada reduzida por linhas, chamamos de Eliminação de
Gauss-Jordan.
Exemplo 39: Determine a solução do sistema linear{
2x+ 4y = 22
5x− 15y = −20
transformando-o em um sistema equivalente através dos processos de eliminação Gaussiana
e de eliminação de Gauss-Jordan.
Exemplo 40: Transforme o sistema linear
2x1 + x2 + 3x3 = 8
4x1 + 2x2 + x3 = 4
2x1 + 5x2 + 3x3 = −12
em um sistema equivalente mais simples pelos processos de eliminação Gaussiana e de elimi-
nação de Gauss-Jordan e determine a solução.
23
Exemplo 41: Resolver o sistema linear
2x1 + 4x2 = 16
5x1 − 2x2 = 4
10x1 − 4x2 = 3
utilizando o processo de eliminação de Gauss-Jordan.
Exemplo 42: Resolver o sistema linear
2x1 + 4x2 = 16
5x1 − 2x2 = 4
3x1 + x2 = 9
4x1 − 5x2 = −7
.
Exemplo 43: Resolver o sistema linear{
2x1 − 8x2 + 24x3 + 18x4 = 84
4x1 − 14x2 + 52x3 + 42x4 = 190 .
24
Considere o sistema de equações lineares
2x+ 4y = 16
5x− 2y = 4
10x− 4y = 3
• A matriz aumentada deste sistema é
A =
 2 4 165 −2 4
10 −4 3
 .
• A matriz escalonada deste sistema é
B =
 1 0 20 1 3
0 0 −5
 .
• A matriz dos coeficientes (do sistema equivalente) é
V =
 1 00 1
0 0
 .
Observe que a matriz B tem 3 linhas com elementos não nulos. Já a matriz V (que é
parte de B) possui 2 linhas com elementos não nulos.
Chamamos de Posto ou Característica da matriz ampliada A ao número de linhas não
nulas que a matriz escalonada B possui. Representaremos por Ca a característica de A.
Chamamos de Posto ou Característica da matriz V dos coeficentes das variáveis ao
número de linhas não nulas de V . Representaremos por Cv a característica de V .
Assim, no exemplo, Ca = 3 e Cv = 2.
Chamamos deGrau de Liberdade de um Sistema ouNúmero de Variáveis Livres
ou Nulidade a diferença entre o número de variáveis do sistema e a característica do sistema
quando Ca = Cv = C, ou seja, g = n− C.
Exemplo 44: Determine Ca, Cv, C e g, se possível, dos sistemas nos exemplos de 39 a
43.
25
Observações: A partir do exemplo 44, podemos observar que:
I) Ca não pode ser menor que Cv;
II) Se Ca > Cv então o sistema é incompatível, ou seja, não possui solução;
III) Se Ca = Cv = C, então C não pode ser maior que o número de variáveis n;
IV) Quando C = n, o sistema é compatível e determinado;
V) Quando C < n, o sistema é compatível e indeterminado e g = n − C é número de
variáveis livres do sistema.
Teorema: Seja AX = 0 um sistema homogêneo e A uma matriz (n, n) e inversível, então
o sistema homogêneo admite somente a solução trivial.
Exemplo 45: Resolva o sistema linear homogêneo
x− 3y − 4z = 0
x− y − z = 0
x− y + 3z = 0
.
Exemplo 46: Resolva o sistema linear homogêneo
x− 3y − z = 0
x− y − z = 0
x+ 3y − 1z = 0
.
26
Teorema: Seja AX = B um sistema não homogêneo onde A é uma matriz (n, n) e
inversível e B é uma matriz (n, 1). Sob essas condições, o sistema AX = B tem exatamente
uma solução que é dada por X = A−1B.
Exemplo 47: Resolva o sistema linear
x+ 3z = −8
2x− 4y = −4
3x− 2y − 5z = 26
.
Exemplo 48: Estabelecer a condição que deve ser satisfeita para que o sistema abaixo
seja compatível {
3x+ 9y = a
6x+ 18y = − b
2
.
Exemplo 49: Mostre que, para qualquer valor de λ a única solução do sistema{
x− 2y = λx
x− y = λy
é x = 0, y = 0.
27
4 Vetor
Para caracterizarmos uma velocidade, uma força, precisamos saber a direção, o sentido e
o módulo (ou intensidade). A essa grandeza chamamos de Grandeza Vetorial. Antes de
definirmos o que é um vetor precisamos saber o que é um segmento orientado.
Considere um par ordenado de pontos A e B. Um Segmento Orientado AB é deter-
minado por esse par de pontos em que o ponto A é a origem e B é a extremidade.
Considere dois segmentos orientados AB e CD. Dizemos que eles tem a mesma direção se
as retas que os contém são paralelas ou coincidentes.
Observe que nasduas primeiras figuras os dois segmentos orientados AB e CD possuem a
mesma direção apesar de estarem em retas distintas, o que importa é o paralelismo das retas.
Nas terceira e quarta figuras os segmentos orientados possuem a mesma direção e estão na
mesma reta (as retas são coincidentes).
Com relação ao sentido desses segmentos orientados, observa-se que nas primeira e ter-
ceira figuras os segmentos AB e CD possuem o mesmo sentido. Já nas segunda e quarta
figuras os segmentos AB e CD possuem sentidos contrários. Só se pode comparar os sentidos
de dois segmentos orientados se eles tem a mesma direção.
Considere os segmentos AB e CD abaixo.
Na primeira figura os segmentos AB e CD estão na mesma reta e possuem a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. Na segunda figura, apesar dos segmentos
estarem em retas distintas, a direção, o sentido e o comprimento também são iguais. Dizemos
que dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se eles possuem mesma direção,
28
mesmo sentido e mesmo comprimento. Representamos a equipolência de dois segmentos AB
e CD por AB ∼ CD.
Considere o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB, como na figura
a seguir.
A esse conjunto de segmentos orientados equipolentes chamamos deVetor. Se indicarmos
por ~v esse conjunto, podemos escrever ~v = {XY/XY ∼ AB}, onde X é a origem e Y a
extremidade.
As características de um vetor ~v são as mesmas de qualquer um de seus representantes,
ou seja, possuem o mesmo módulo, direção e sentido. O módulo (ou comprimento) de um
vetor é indicado por |~v|.
1) Vetores Iguais: Dois vetores ~u = ~AB e ~v = ~CD são ditos iguais se e somente se
AB ∼ CD (segmentos orientados equipolentes).
2) Vetor Nulo: Os segmentos orientados cuja a origem coincide com a extremidade deter-
minam um único vetor chamado de vetor nulo e indicado por ~0.
3) Vetores Opostos: Considere o vetor ~v = ~AB. Dizemos que ~BA é o oposto de ~AB e
podemos indicar por −~v = − ~AB = ~BA.
4) Vetor Unitário: Um vetor ~v é dito unitário se o seu módulo é 1, ou seja, |~v| = 1.
5) Versor: Considere o vetor ~v. Ao vetor que possui mesma direção e sentido que o vetor
~v porém possui módulo 1, chamamos de versor.
6 Vetores Colineares: Considere dois vetores ~u = ~AB e ~v = ~CD. Dizemos que eles são
colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, seus representantes AB e CD per-
tencem a mesma reta ou a retas paralelas.
7) Vetores Coplanares: São vetores cujos representantes pertencem a ummesmo plano.
Dois vetores ~u e ~v sempre são coplanares pois sempre conseguimos um plano que os
contém. Já, três vetores ou mais, podem ser ou não coplanares.
29
4.1 Vetores no R2 (plano) e no R3 ( espaço)
Um vetor no plano (em R2) é um par ordenado (x, y) de números reais e a sua expressão
analítica é ~v = (x, y). Um vetor no espaço (em R3) é uma tripla ordenada (x, y, z) de números
reais e a sua expressão analítica é ~v = (x, y, z).
Para cada um dos casos acima a origem do vetor coincide com a origem do sistema e a
extremidade é o ponto (x, y) quando estamos no plano ou (x, y, z) quando estamos no espaço.
Exemplo 50: Represente os vetores ~v = (−1, 1), ~u = (3, 2) e ~w = (2,−1) num mesmo
sistema cartesiano.
Exemplo 51: Represente os vetores ~u = (−1, 0, 0), ~v = (1, 2, 2) e ~w = (3, 1, 0) num
mesmo sistema cartesiano.
4.1.1 Operações com vetores
1) Adição de vetores:
Considere os vetores ~u = ~AB e ~v = ~BC (observe que a extremidade de ~u coincide com
a origem de ~v).
O vetor ~s = ~AC é o vetor soma, ou seja, ~AC = ~u+~v. Assim temos que ~AB+ ~BC = ~AC.
30
Propriedades: Sejam ~u, ~v e ~w. Valem as propriedades:
I) ~u+ ~v = ~v + ~u - Comutativa
II) (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) - Associativa
III) Existe um único vetor que somado a ~u da como resultado o próprio ~u, trata-se do
vetor nulo: ~u+~0 = ~u = ~0 + ~u - Elemento nulo
IV) Para cada ~u, exite um único vetor que somado a ~u dá como resultado o vetor nulo;
é o vetor oposto de ~u: ~u+ (−~u) = ~0 = −~u+ ~u - Elemento oposto
Agora, representando analiticamente temos que:
• Considerando dois vetores do plano, ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2). Então
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2)
• Considerando dois vetores do espaço, ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2). Então
~u+ ~v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
2) Subtração de vetores:
Considere o vetores ~u = ~AB e ~v = ~BC. Seja C ′ a extremidade do vetor oposto de ~v,
então a diferença ~u− ~v é o vetor ~d = ~u+ (−~v) = ~AC ′, ou seja, ~d = ~AC ′. Veja a figura
a seguir.
As propriedades da subtração são as mesmas da adição, visto que ~u− ~v = ~u+ (−~v).
Agora, representando analiticamente temos que:
• Considerando dois vetores do plano, ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2). Então
~u− ~v = (x1 − x2, y1 − y2)
• Considerando dois vetores do espaço, ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2). Então
~u− ~v = (x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2)
31
Observação:
Dados dois vetores ~u e ~v representados por segmentos orientados de mesma origem,
ou seja, ~u = ~AB e ~v = ~AD. Construindo um paralelogramo ABCD, verifica-se que a
soma ~s = ~u+ ~v é representado pelo segmento orientado AC (uma das diagonais) e que
a diferença ~d = ~u− ~v é representada pelo segmento orientado DB (a outra diagonal),
conforme figura.
3) Multiplicação por um número real:
Dado um vetor ~v e a ∈ R, chama-se poduto de um número real por ~v o veto ~p = a~v.
• Se a = 0 ou ~v = ~0, então ~p = a~v = ~0;
• Se a 6= 0 e ~v 6= ~0:
– O vetor ~p = a~v permanece com a mesma direção de ~v;
– Se a > 0, o sentido é o mesmo de ~v e se a < 0 o sentido é o oposto de ~v;
– O módulo (ou comprimento) aumenta de |a| > 1 e diminui se |a| < 1 e ainda
|~p| = |a~v| = |a||~v|.
Propriedades: Seja ~u e ~v quaisquer e a, b ∈ R.
I) a(b~v) = (ab)~v - Associativa
II) (a+ b)~v = a~v + b~v - Distributiva em relação a adição de escalares
III) a(~u+ ~v) = a~u+ a~v - Distributiva em relação a adição de vetores
IV) 1~v = ~v - Identidade
32
Analiticamente:
• Considerando um vetor do plano, ~v = (x, y) e a ∈ R:
a~v = (ax, ay)
• Considerando um vetor do espaço, ~v = (x, y, z) e a ∈ R:
a~v = (ax, ay, az)
4) Igualdade de vetores
Dois vetores (no plano) ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) são iguais, se e somente se, x1 = x2
e y1 = y2.
Dois vetores (no espaço) ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) são iguais, se e somente se,
x1 = x2 e y1 = y2 e z1 = z2.
Exemplo 52: Se o vetor ~u = (x + 1, 4) é igual ao ~v = (5, 2y − 6), quais devem ser os
valores de x e y?
Exemplo 53: Dado os vetores ~u = (4, 1) e ~v = (2, 6). Calcular ~u+ ~v e 2~u.
Exemplo 54: Determinar o vetor ~w na igualdade 3~w + 2~u = 1
2
~v + ~w, sendo dados
~u = (3,−1) e ~v = (2, 4).
Exemplo 55: Dados os vetores ~u, ~v e ~w de acordo com a figura, construir o vetor
2~u− 3~v + 1
2
~w = ~s.
33
4.1.2 Vetor definido por dois pontos
Muitas vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem
do sistema.
Considere ~u = ~AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em B(x2, y2). Seja ~OA e
~OB vetores que partem da origem do sistema e as extremidades são A e B respectivamente,
conforme figura.
Observe que ~OB = (x2, y2) e ~OA = (x1, y1) e ainda
~OA+ ~AB = ~OB
~AB = ~OB − ~OA
~AB = (x2, y2)− (x1, y1) e portanto
~AB = (x2 − x1, y2 − y1)
O vetor ~AB = (x2− x1, y2− y1) possui origem na origem do sistema. As componentes de
~AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas da origem
A, por isso também podemos escrever ~AB = B − A = (x2 − x1, y2 − y1).
Observação: Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então
~AB = B − A = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1).
Exemplo 56: Considere os pontos A(−2, 3), B(1, 4), C(1, 2) e D(4, 3).
a) Esboce os vetores ~AB e ~CD em um mesmo plano cartesiano.
b) Agora, escreva e esboce no mesmo sistema cartesiano da letra(a) os vetores ~AB e ~CD
com origem na origem do sistema.
Exemplo 57: Dados os pontos A(0, 1,−1) e B(1, 2,−1) e os vetores ~u = (−2,−1, 1),
~v = (3, 0,−1) e ~w = (−2, 2, 2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que ~w =
a1 ~AB + a2~u+ a3~v.
34
4.1.3 Condição de paralelismo de dois vetores
Dois vetores do espaço ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) são paralelos se existe um número
k tal que ~u = k~v, ou seja,
(x1, y1, z1) = k(x2, y2, z2)
(x1, y1, z1) = (kx2, ky2, kz2)
pela definição de igualdade de vetores:
x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2
ou
x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
= k (6)
a condição (6) é a condição de paralelismo de dois vetores, isto é, dois vetores são paralelos
quando há um proporção entre suas coordenadas. Notação: ~u ‖ ~v.
Se considerarmos dois vetores do plano ~u = (x1, y1) e ~v = (x2, y2) a condição de parale-
lismo é x1
x2
= y1
y2
= k
Exemplo 58: Verifique se os vetores ~u = (−2, 3,−4) e ~v = (−4, 6, 8) são paralelos.
Exemplo 59: Determinar os valores de m e n para que os vetores ~u = (m + 1, 3, 1) e
~v = (4, 2, 2n− 1) sejam paralelos.
4.1.4 Ângulo de dois vetores
O ângulo de dois vetores ~u e ~v não nulos é o ângulo θ formado pelas semiretas OA e OB
e tal que 0 ≤ θ ≤ pi conforme figura a seguir.
Observação:
a) Se θ = pi então ~u e ~v tem a mesma direção porém sentidos contrários.
b) Se θ = 0 então ~u e ~v tem mesma direção e mesmo sentido.
c) Se θ = pi
2
então ~u e ~v são ortogonais e indica-se ~u ⊥ ~v.
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4.1.5 Dependência e Independência Linear
Definição: Considere os vetores ~v1, ~v2,..., ~vn e α1, α2,..., αn escalares. Se ~u = α1~v1 +
α2~v2 + ...+ αn~vn dizemos que ~u é uma combinação linear de ~v1, ~v2,..., ~vn.
Considere o vetor ~u = (2, 3,−1) e os vetores ~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (0, 1, 0) e ~v3 = (0, 0, 1).
Veja que:
(2, 3,−1) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0)− 1(0, 0, 1)
ou seja, ~u pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores ~v1, ~v2 e ~v3, onde
α1 = 2, α2 = 3 e α3 = −1.
Proposição: Dois vetores ~v1 e ~v2 são ditos linearmente independentes (LI) se, e
somente se, a equação α1~v1 + α2~v2 = ~0 admite somente a solução nula, ou seja, α1 = α2 = 0.
Da mesma maneira, três vetores ~v1, ~v2 e ~v3 são ditos LI se, e somente se, a equação
α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0 admite somente a solução nula, ou seja, α1 = α2 = α3 = 0.
Proposição: Dois vetores ~v1 e ~v2 são ditos linearmente dependentes (LD) se, e
somente se, a equação α1~v1 + α2~v2 = ~0 admite solução não-nula, isto é, existem escalares α1
e α2 não todos nulos tais que α1~v1 + α2~v2 = ~0.
Da mesma maneira, três vetores ~v1, ~v2 e ~v3 são ditos LD se, e somente se, a equação
α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0 admite solução não-nula, isto é, existem escalares α1, α2 e α3 não
todos nulos tais que α1~v1 + α2~v2 + α3~v3 = ~0.
Observação:
a) Se dois vetores ~v1 e ~v2 são LD então existem α1 e α2 tal que: α1~v1 + α2 ~v2 = ~0 ou seja,
α1~v1 = −α2 ~v2.
Sem perda de generalidade, tomando α1 6= 0 então ~v1 = −α2α1 ~v2, ou seja, ~v1 ‖ ~v2.
Portanto ~v1 é paralelo a ~v2.
b) Se três vetores ~v1, ~v2 e ~v3 são LD então existem α1, α2 e α3 tal que: α1~v1+α2 ~v2+α3~v3 = ~0
ou seja, α1~v1 = −α2 ~v2 − α3~v3.
Sem perda de generalidade, tomando α1 6= 0 então ~v1 = −α2α1 ~v2 − α3α1~v3, ou seja, ~v1 é
escrito como combinação linear de ~v2 e ~v3. Portanto ~v1, ~v2 e ~v3 são paralelos a
um mesmo plano.
Exemplo 60: Determine se os vetores ~v1 = (1, 0, 0), ~v2 = (0, 1, 0) e ~v3 = (0, 0, 1) são LI
ou LD.
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Exemplo 61: Determine se os vetores ~v1 = (2, 1) e ~v2 = (12 , 3) são LI ou LD.
Exemplo 62: Determine se os vetores ~v1 = (4, 0, 1), ~v2 = (5, 1, 3) e ~v3 = (3, 2, 5) são LI
ou LD.
Exemplo 63: Verifique se o vetor ~u = (4,−3) pode ser escrito como uma combinação
linear dos vetores ~v1 = (1, 0) e ~v2 = (1, 1).
Observação: Para você fazer essa verificação, tome ~u como uma combinação linear de
~v1 e ~v2 e tente determinar os valores de α1 e α2.
4.1.6 Base
Definição: Dois vetores ~e1 = (x1, y1) e ~e2 = (x2, y2) linearmente independente chama-se
base de R2. Assim qualquer vetor do plano pode ser escrito como uma combinação linear dos
vetores da base.
Definição: Três vetores ~e1 = (x1, y1, z1), ~e2 = (x2, y2, z2) e ~e3 = (x3, y3, z3) linearmente
independente chama-se base de R3. Assim qualquer vetor do espaço pode ser escrito como
uma combinação linear dos vetores da base.
Exemplo 64: Considere a base do espaço dada pelos vetores ~e1 = (1, 0, 0), ~e2 = (0, 1, 0)
e ~e3 = (0, 0, 1). Escreva o vetor (−3, 2, 5) como uma combinação linear dos vetores da base.
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Exemplo 65: Considere os vetores ~v1 = (3,−1, 0), ~v2 = (1, 2, 1) e ~v3 = (1, 1, 1).
a) Verifique se ~v1, ~v2 e ~v3 são bases do espaço.
b) Seja ~w = (11, 7, 5) um vetor do espaço. Determine os valores de a, b e c tais que
~w = a~v1 + b~v2 + c~v3.
4.1.6.1 Base Ortogonal e Ortonormal
Uma base é dita ortonormal se seus vetores forem dois a dois ortogonais. Uma base é
dita ortonormal se seus vetores forem dois a dois ortogonais e unitários.
Uma base ortonormal do R2 é o conjunto de vetores {~i,~j} = {(1, 0), (0, 1)}. Qualquer
vetor ~v = (x, y) do plano pode ser escrito na forma ~v = x(1, 0) + y(0, 1) = x~i+ y~j.
Uma base ortonormal do R3 é o conjunto de vetores {~i,~j,~k} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
Qualquer vetor ~v = (x, y, z) do espaço pode ser escrito na forma ~v = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) +
z(0, 0, 1) = x~i+ y~j + z~k.
Exemplo 66: O vetor ~v = (−2, 7) pode ser representado por ~v = −2~i + 7~j. O vetor
~u = (3, 0, 1) pode ser representado por ~u = 3~i+ ~k.
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