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Unidade II ESTATÍSTICA APLICADA Profa. Ana Carolina Bueno Classificação dos dados Dados Qualitativos Quantitativos Discretos Contínuos Distribuição de frequências Organiza os dados de acordo com as ocorrências dos diferentes resultados observados. Apresentada em tabela ou gráfico. Tabela: apresenta, de forma resumida, um conjunto de dados. Tabelas de frequência. Tabelas de frequência relativas. Tabelas de frequência acumuladas. Distribuição de frequências Gráficos: são usados para visualizar facilmente a natureza da distribuição dos dados. Um gráfico é uma figura constituída a partir de uma tabela, pois é quase sempre possível locar um dado tabulado num gráfico. Colunas. Barras. Linhas. Setores. Dispersão. Histograma. Polígono de frequência. Etc. Exemplo – número de filhos (variável aleatória discreta) A tabela mostra uma pesquisa sobre o número de filhos por funcionário de uma certa empresa: Dados brutos Rol 0 2 1 2 3 5 2 0 2 1 2 0 0 1 1 2 3 3 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 5 Tabela de frequência Relaciona categorias (ou classes) de valores, junto com contagens (ou frequências) do número de valores que se enquadram em cada categoria. No de filhos Frequência 0 1 2 3 4 5 4 5 7 3 0 1 Total 20 Número de filhos Frequência simples ou absoluta (fi), relativa (fr) e acumulada (fa) No de filhos fi fr fa 0 4 (4/20) * 100 = 20% 4 1 5 (5/20) * 100 = 25% 9 2 7 (7/20) * 100 = 35% 16 3 3 (3/20) * 100 = 15% 19 4 0 (0/20) * 100 = 0% 19 5 1 (1/20) * 100 = 5% 20 Total 20 100% 20 Número de filhos Gráfico de colunas Outro exemplo – faixa etária de crianças Dificulta estabelecer em torno de qual valor tendem a se concentrar as idades das crianças, ou ainda, as que se encontram acima ou abaixo de determinada idade. Dados brutos: 6 10 9 14 7 4 8 4 12 5 9 13 9 10 8 6 7 14 11 6 12 11 15 13 12 11 4 10 7 13 10 12 8 8 13 7 Faixa etária de crianças Organizar os dados em rol 4 6 8 10 11 13 4 7 8 10 12 13 4 7 8 10 12 13 5 7 9 10 12 14 6 7 9 11 12 14 6 8 9 11 13 15 Faixa etária de crianças Tabela de frequência Idade Frequência 4 3 5 1 6 3 7 4 8 4 9 3 10 4 11 3 12 4 13 4 14 2 15 1 Idade Frequência 4 6 4 6 8 7 810 7 1012 7 1214 8 1416 3 Idade Frequência 4 6 4 6 8 7 810 7 1012 7 1214 8 1416 3 4 6 8 10 11 13 4 7 8 10 12 13 4 7 8 10 12 13 5 7 9 10 12 14 6 7 9 11 12 14 6 8 9 11 13 15 Faixa etária de crianças Tabela de frequência Limites de classe (4 6) Amplitude de um intervalo de classe hi = Li – li Interatividade Número de defeitos Frequência 0 30 1 25 2 10 3 5 4 2 Assinale a alternativa com as afirmações corretas. a) I. b) II. c) III. d) I e II. e) II e III. A tabela refere-se ao número de defeitos encontrados em placas de circuito integrado. I – O tamanho da amostra é de 10 placas. II – 55 placas possuem nenhum ou 1 defeito. III – Aproximadamente 7 % das placas apresentam 3 defeitos. Idade xi Frequência 4 6 5 4 6 8 7 7 810 9 7 1012 11 7 1214 13 8 1416 15 3 Faixa etária de crianças Ponto médio de uma classe Ponto médio de uma classe (xi) Xi = (Ii + Li)/2 x1 = (4 + 6)/2 = 5. Idade xi Fi Fr Fa 4 6 5 4 (4/36)*100 = 11% 4 6 8 7 7 19% 11 810 9 7 19% 18 1012 11 7 19% 25 1214 13 8 22% 33 1416 15 3 8% 36 Total 36 98% ~ 100% 36 Faixa etária de crianças Frequências Mais um exemplo – estatura Construção da tabela de frequência Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às estaturas de 40 alunos, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade, resultando a seguinte tabela de valores: Tabela – Dados Brutos ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A 166 160 161 150 162 160 165 167 164 160 162 168 161 163 156 173 160 155 164 168 155 152 163 160 155 155 169 151 170 164 154 161 156 172 153 157 156 158 158 161 Estatura Construção da tabela de frequência 40 Tabela – Rol ESTATURAS DE 40 ALUNOS DA FACULDADE A 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 ROL Decidir o número de classes da tabela de frequência. Regra de Sturges: i = 1 + 3,3*log n = i = 1 + 3,3*log 40 = 6,27 Regra do Quadrado: = 6,32 Estatura Construção da tabela de frequência Classes Estatura Frequência 1 150 154 4 2 154 158 9 3 158 162 11 150 154 155 157 160 161 162 164 166 169 151 155 156 158 160 161 162 164 167 170 152 155 156 158 160 161 163 164 168 172 153 155 156 160 160 161 163 165 168 173 Determinar a amplitude de classe, dividindo a amplitude pelo número de classes. Amplitude de variação: 173 – 150 = 23 cm. 23 / 6 = 3,83 (arredondar o resultado para mais) Estatura Construção da tabela de frequência Estatura xi fi fr fa 150 154 152 4 0,10 ou 10% 4 154 158 156 9 0,225 ou 22,5% 13 158 162 160 11 0,275 ou 27,5% 24 162 166 164 8 0,20 ou 20% 32 166 170 168 5 0,125 ou 12,5% 37 170 174 172 3 0,075 ou 7,5% 40 Total 40 1 ou 100% 40 Estatura Histograma e polígono de frequência Estatura Xi Fi 146 150 148 150 154 152 4 154 158 156 9 158 162 160 11 162 166 164 8 166 170 168 5 170 174 172 3 174 178 176 Total 40 Estatura – Histograma 0 2 4 6 8 10 12 148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176. Nú m er o d e alu no s estatura Estatura de 40 alunos Estatura – Polígono de frequência 0 2 4 6 8 10 12 148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176. Nú me ro de al un os Estatura Estatura de 40 alunos Interatividade Uma pesquisa foi realizada em um acampamento sobre a faixa etária das crianças participantes. Analise o gráfico e assinale a alternativa incorreta. 5 7 9 11 13 15 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Idade Fr eq a) O conjunto de dados possui 6 classes e a amplitude de cada classe é de 2. b) O limite inferior da 1a classe é 5 e o limite superior é 7. c) Os valores 5, 7, 9, 11, 13 e 15 são os pontos médios de cada classe. d) O tamanho da amostra é de 36 crianças e) O polígono de frequência é construído a partir dos pontos médios de cada classe. Medidas de tendência central para distribuição de frequência 0 2 4 6 8 10 12 148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176. Nú me ro de al un os Estatura Estatura de 40 alunos Estatura Xi Fi 150 154 152 4 154 158 156 9 158 162 160 11 162 166 164 8 166 170 168 5 170 174 172 3 Total 40 Como podemos descrever estes dados? Como podemos resumir estes dados? Média Mediana Moda Estatura – Média Estatura xi fi xifi 150 154 152 4 152 x 4 = 608 154 158 156 9 156 x 9 = 1404 158 162 160 11 160 x 11 = 1760 162 166 164 8 164 x 8 = 1312 166 170 168 5 168 x 5 = 840 170 174 172 3 172 x 3 = 516 Total 40 xifi = 6440 A estatura média para a amostra de alunos é de 161 cm Estatura Xi Fi fa 150 154 152 4 4 154 158 156 9 13 158 162 16011 24 162 166 164 8 32 166 170 168 5 37 170 174 172 3 40 Total 40 Estatura – Mediana Li = limite inferior da classe mediana (158) A = amplitude de classe (4) (fi/2) = 40/2 = 20 (referência) fant = frequência acumulada anterior à classe mediana (13 + 4 = 7) fant = freq. simples da classe mediana (11) Estatura – Moda Estatura xi fi 150 154 152 4 154 158 156 9 158 162 160 11 162 166 164 8 166 170 168 5 170 174 172 3 Total 40 Li = limite inferior da classe modal (158) A = amplitude de classe (4) d1 = f – fant (11 – 9 = 2) d2 = f – fpost (11 – 8 = 3) f = frequência simples da classe modal fant = freq. simples anterior à classe modal fpost = freq. simples posterior à classe modal Moda de Czuber Medidas de dispersão Medidas que mostram a dispersão dos dados em torno da tendência central. Os números relativamente próximos uns dos outros têm baixas medidas de variação, enquanto os valores mais dispersos têm maior medida de variação. 0 2 4 6 8 10 12 148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176. Nú me ro de al un os Estatura Estatura de 40 alunos Medidas de dispersão Variância Desvio padrão Coeficiente de variação Amplitude Xmaior – Xmenor 100 x s CV Estatura xi fi 150 154 152 4 154 158 156 9 158 162 160 11 162 166 164 8 166 170 168 5 170 174 172 3 Total 40 Estatura – Amplitude Amplitude Xmaior – Xmenor = 172 – 152 = 20 Estatura xi fi 150 154 152 4 (152 – 161)² = 81 81 x 4 = 324 154 158 156 9 (156 – 161)² = 25 25 x 9 = 225 158 162 160 11 (160 – 161)² = 1 1 x 11 = 11 162 166 164 8 (164 – 161)² = 9 9 x 8 = 72 166 170 168 5 (168 – 161)² = 49 49 x 5 = 245 170 174 172 3 (172 – 161)² = 121 121 x 3 = 363 Total 40 = 1240 Estatura – Variância Estatura – Desvio padrão Coeficiente de variação 100 x s CV 100 161 57,5 CV %46,3CV Interatividade Foram obtidos dados referentes à idade de carros (em anos) de estudantes. Assinale a alternativa incorreta. a) A média é igual a aproximadamente 9,2 anos. b) A tabela possui 4 classes com amplitude de 4. c) A variância é igual a 33,35 anos². d) O desvio padrão é igual a 3,43 anos. e) A amplitude é igual a 12 anos. Idade dos carros xi fi xi fi (xi – x)² * fi 3 7 5 33 5 x 33 = 165 (5 – 9,2)² x 33 = 582,12 7 11 9 63 9 x 63 = 567 (9 – 9,2)² x 63 = 2,52 11 15 13 19 13 x 19 = 247 (13 – 9,2)² x 19 = 274,36 15 19 17 10 17 x 10 =170 (17 – 9,2)² x 10 = 608,4 Total 12 5 = 1149 = 1467,4 Probabilidade Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem o conhecimento de probabilidade. A teoria das probabilidades busca estimar as chances de ocorrer um determinado acontecimento. Antes de ativar uma usina nuclear, devemos analisar a probabilidade de uma detonação acidental. Antes de aumentar o limite de velocidade em nossas rodovias, devemos procurar estimar a probabilidade do aumento em acidentes fatais. Experimentos, espaço amostral e eventos Experimentos: resultado no lançamento de um dado; hábito de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; tipo sanguíneo de um habitante escolhido ao acaso. Espaço amostral: lançamento de um dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; exame de sangue (tipo sanguíneo): = {A, B, AB, O}; hábito de fumar: = {Fumante, Não fumante}; tempo de duração de uma lâmpada: = {t: t 0}. Eventos: alguns eventos de um dado: A: sair face par A = {2, 4, 6} B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6} Probabilidade – exemplo Medida da incerteza associada aos resultados do experimento aleatório. Em um vestibular, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar errada? )( )( )( Sn An AP 8,0 5 4 )_( erradarespostaP Probabilidade – mais dois exemplos Imagine que um dado foi jogado. Qual é a probabilidade de ter ocorrido 5? No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de sair um número maior do que 4? Probabilidade – outro exemplo Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha exatamente 2 meninos. 1º 2º 3º H H H H M M M M H H M M H H M M H M H M H M H M Probabilidade condicional – exemplo Selecione um aluno ao acaso e defina os eventos: a) o aluno selecionado é do sexo masculino, dado que cursa o Cursão – P(HC) = 15/19 = 0,7895 ou 78,95%; b) a disciplina selecionada é estatística, dado que é homem – P(EH) = 16/41 = 0,3902. Homens (H) Mulheres (M) Total Cursão (C) 15 4 19 Estatística (E) 16 15 31 Física (F) 6 0 6 Outros (O) 4 2 6 Total 41 21 62 Eventos independentes – exemplo Dado Moeda Cara Coroa 1 Cara; 1 Coroa; 1 2 Cara; 2 Coroa; 2 3 Cara; 3 Coroa; 3 4 Cara; 4 Coroa; 4 5 Cara; 5 Coroa; 5 6 Cara; 6 Coroa; 6 Qual a probabilidade de ocorrer cara na moeda sabendo que ocorreu face 6 no dado? P(sair cara na moeda, sabendo que ocorreu 6 no dado) = ½ = 0,5. Imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. Regra da adição – exemplo com eventos mutuamente excludentes P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) Palavra-chave: OU Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. Qual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou vermelha? A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 0,25 ou 25%. A probabilidade de sair bola vermelha é ¼ = 0,25 ou 25%. Então a probabilidade de sair bola colorida é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ = 0,5 ou 50%. Regra da adição – eventos não excludentes P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B) Imagine uma carta ser retirada ao acaso de um baralho. Qual é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás? Um baralho tem 52 cartas. 13 são de espadas e 4 são ases. P(sair uma carta de espadas ou um ás) é: 13/52 + 4 /52 (Resposta errada) P(sair uma carta de espadas ou um ás) é: 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,3077 ou 30,77% (Resposta correta) Regra da multiplicação – eventos independentes P(A e B) = P(A B) = P(A) . P(B) Palavra-chave: E Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas? Probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é ½ = 0,5 ou 50%. Probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada é: ½ = 0,5 ou 50%. Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas, faz-se o produto: ½ . ½ = ¼ = 0,25 ou 25%. Regra da multiplicação – eventos dependentes Se os eventos A e B são dependentes, temos que: P(A e B) = P(A B) = P(A) . P(B/A) Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. Qual é a probabilidade de as duas serem brancas? Regra da multiplicação – eventos dependentes A probabilidade da primeira bola ser branca é: 2/3 = 0,6667 ou 66,67%. A probabilidade da segunda bola ser branca: ½ = 0,5 ou 50%. Para obter a probabilidade das duas bolas retiradas serem brancas, faz-se o produto: P(2 bolas brancas) = 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3= 0,3333 ou 33,33%. Interatividade Com referência à tabela, admita que todas as escolhas envolvam os 2.000 indivíduos. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto? a) P(estranho / furto) = 0,75. b) P(estranho / furto) = 0,559. c) P(estranho / furto) = 0,2525. d) P(estranho / furto) = 0,5087. e) P(estranho / furto) = 0,1739. Homicídio Furto Assalto Total Estranho Conhecido ou parente Ignorado 12 39 18 379 106 20 727 642 57 1118 787 95 Totais 69 505 1429 2000 ATÉ A PRÓXIMA!
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