APS DO OITAVO SEMESTRE DE ENGENHARIA CIVIL

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APS – CÁLCULO DE LAJE DE CONCRETO ARMADO EM BALANÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DO RIO PRETO 
 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APS – CÁLCULO DE LAJE DE CONCRETO ARMADO EM BALANÇO 
 
 
Trabalho apresentado como requisito parcial 
para obtenção de aprovação na disciplina de 
Atividades Práticas Supervisionada (APS), no 
Curso de Engenharia Civil, na Universidade 
Paulista. 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DO RIO PRETO 
 2017 
 
RESUMO 
 
 
Pretende-se nesse trabalho abordar o tema estudado sobre laje em balanço na 
disciplina de Aplicações de Estruturas de Concreto Armado em Edifícios (AECA), tais 
como os cálculos desse tipo de laje. 
O trabalho visa ao dimensionamento e detalhamento de uma laje em balanço 
de um edifício em construção, localizado na Rua. General Osório, nº 1166, Bairro: 
Centro, Ribeirão Preto- SP. Tal laje é de um terraço a qual está sujeita a forças 
permanentes com peso próprio, acidental e projetada para acesso a pessoas em geral. 
Depois de realizado a visita na obra aqui citada, e com as medidas da laje 
estabelecida, consegue-se dimensionar as armaduras e detalha-las. A altura do 
parapeito da laje é de grande importância para que se possa considerar a ação de 
força na horizontal, através da carga aplicada é possível achar o momento fletor e a 
partir daí dimensionamento a laje com etapas de processos de cálculo e ao final dos 
cálculos é feito uma verificação da flambagem da laje. O intuito do trabalho é conseguir 
dimensionar para diminuir perdas e gastos na execução da laje sem afetar os níveis 
de segurança exigidos. 
 
Palavras chaves: Cálculo, laje, concreto armado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
RESUMO ..................................................................................................................... 3 
1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 4 
2. OBJETIVO ............................................................................................................... 5 
3. LAJES MACIÇAS ..................................................................................................... 5 
3.1. Vão livre, vão teórico e classificação das lajes ............................................ 5 
4. MARQUISES ............................................................................................................ 6 
4.1Engaste perfeito .................................................................................................. 7 
4.2 Marquises com lajes simples em balanço .......................................................... 8 
5. PRÉ- DIMENSIONAMENTO DA ALTURA ÚTIL E DA ESPESSURA DA LAJE ....... 9 
5.1 Altura Útil ............................................................................................................ 9 
6. MEMORIAL DE CÁLCULO .................................................................................... 10 
6.1 Dados de calculo .............................................................................................. 10 
6.2 Pré-dimensionamento da altura útil e da espessura da laje ............................. 11 
6.3 Cargas, reações e esforços na laje .................................................................. 11 
6.3.1 Valores mínimos de carga de uso .............................................................. 11 
6.3.2 Carga horizontal ......................................................................................... 11 
6.3.3 Ações permanentes e variáveis ................................................................. 12 
6.3.4 Carregamento uniformemente distribuído .................................................. 12 
6.3.5 Carga vertical concentrada ........................................................................ 12 
6.3.6 Força horizontal ......................................................................................... 12 
6.3.7 Reações e esforços na laje ........................................................................ 13 
6.4 Armaduras da laje ............................................................................................ 13 
6.4.1 Armadura principal ..................................................................................... 13 
6.4.2 Armadura mínima negativa principal .......................................................... 15 
6.4.3 Armadura mínima secundária .................................................................... 16 
6.5 Espaçamento .................................................................................................... 16 
6.5.1 Espaçamento Máximo ................................................................................ 16 
6.5.2 Espaçamento mínimo ................................................................................ 17 
6.6 Detalhamento ................................................................................................... 17 
6.7 Verificação da Deformação .............................................................................. 18 
6.7.1 Flecha diferida decorrente da fluência do material .................................... 20 
 
6.7.2 Flecha Total ............................................................................................... 21 
7. RESULTADOS OBTIDOS ...................................................................................... 21 
8. ANÁLISE DE RESULTADOS ................................................................................. 21 
9. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 23 
10. REFERÊNCIAS .................................................................................................... 23 
ANEXOS .................................................................................................................... 25 
 
 
4 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
O presente trabalho consiste na visita técnica a uma obra de concreto armado em 
que as lajes em balanço estejam sendo executadas. 
Lajes em balanço é aquelas em que uma ou mais extremidades não contam 
com apoio e, portanto, parecem flutuar. São muito utilizadas na arquitetura. Quando 
recebem carga, tendem a ser mais flexíveis que lajes totalmente apoiadas. Uma de 
suas características é concentrar a armadura principal em sua face superior, assim 
tendo mais cuidados para evitar eventual corrosão. 
No início da construção civil há séculos atrás os primeiros materiais utilizados 
nas construções antigas foram à pedra natural e a madeira, devido a sua abundância 
e fácil obtenção. O ferro, aço e concreto só foram utilizados em construções séculos 
mais tarde. 
O material considerado ideal para as construções é aquele que apresenta ao 
mesmo tempo as qualidades de resistência e durabilidade. O concreto armado surgiu 
da necessidade de associar a durabilidade da pedra com a resistência do aço, com 
as vantagens do material composto poder assumir qualquer forma, com rapidez e 
facilidade e com o aço envolvido e protegido pelo concreto para evitar a sua corrosão. 
A abundância das matérias primas somadas a sua grande versatilidade para a 
aplicação nas mais variadas formas, foram os principais motivos para o seu 
desenvolvimento, desde a antiguidade até a atualidade. 
Neste trabalho está abordado de forma sucinta e objetiva, como realizar o 
dimensionamento de uma laje em balanço e verificar a flecha total. Foram expostos 
todos os cálculos, fotos da laje e informaçõespassadas pelo orientador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. OBJETIVO 
 
 
 
O objetivo do trabalho é visitar uma obra de concreto armado, em que as lajes 
em balanço estejam sendo executadas. A obra visitada está localizada na Rua. 
General Osório, nº 1166, Bairro: Centro, Ribeirão Preto- SP sendo que tal obra está 
em situação embargada. O intuito do trabalho é apresentar cálculo de 
dimensionamento da laje em balanço e direcionar através de cálculo os valores das 
cargas atuantes, apresentar o diagrama de momento fletor, a área de aço da laje como 
detalhamento apresentar o tamanho da bitola da armadura, quantidade de aço o tipo 
de armadura que uma laje em balanço apresenta e etc. 
 
 
 
 
 
 
3. LAJES MACIÇAS 
 
 
Segundo Pinheiro, lajes são elementos planos, em geral horizontais, com duas 
dimensões muito maiores que a terceira, sendo esta denominada espessura. A 
principal função das lajes é receber os carregamentos atuantes no andar, 
provenientes do uso da construção (pessoas, moveis e equipamentos), e transferi-los 
para os apoios. Nos edifícios usuais, as lajes maciças têm grande contribuição no 
consumo de concreto: aproximadamente 50% do total. 
Estruturas em balanço são aquelas em que uma ou mais extremidade não 
contam com apoio e, portanto, parecem flutuar. São muitos utilizados na arquitetura 
para, por exemplo, criar áreas do piso superior sem interferência de apoios (pilares). 
 
 
 
 3.1. Vão livre, vão teórico e classificação das lajes 
 
6 
 
 
A primeira etapa do projeto é determinar os vãos livres (l0), os vãos teóricos (l) e 
a relação entre os teóricos. 
Vão livre é a distância livre entre as faces dos apoios. No caso de balanços, é a 
distância da extremidade livre até a face do apoio. 
O vão teórico (l) é denominado vão equivalente pela NBR 6118 (2001), que define 
como a distância entre os centros dos apoios. 
 
 
Figura 1: Vão livre e vão teórico. 
 
Nas lajes em balanço, o vão teórico é o comprimento da extremidade até o 
centro do apoio, não sendo necessário considerar valores superiores ao vão livre 
acrescido da metade da espessura da laje na face do apoio. Em geral, para facilidade 
do cálculo, é usual considerar os vãos teóricos até os eixos dos apoios. 
 
 
4. MARQUISES 
 
 
Segundo ROCHA (1987), marquises são estruturas em balanço formadas por 
vigas e lajes ou por apenas uma laje. Normalmente são projetadas com a função 
arquitetônica de cobertura e proteção de “halls” de entrada das construções. 
As marquises podem receber cargas de pessoas, de anúncios comerciais ou outras 
formas de propaganda, de impermeabilização etc. 
A estrutura da marquise a ser projetada, depende principalmente do vão do 
balanço e da carga aplicada. As mais comuns na prática, como se pode verificar nas 
construções existente, são as formadas por lajes simples em balanço. Marquises mais 
7 
 
complexas, formadas por vigas e lajes, são pouco comuns na prática das pequenas 
construções. 
 
 
4.1Engaste perfeito 
 
 
O engaste perfeito surge no caso de lajes em balanço, como marquises, 
varandas, etc. É considerado também nas bordas onde há continuidade entre duas 
lajes vizinhas. 
 
 
Figura 2: Laje em balanço engastada na viga de apoio. 
 
Quando duas lajes contínuas têm espessuras muito diferentes, pode ser mais 
adequado considerar a laje de menor espessura (L2) engastada na de maior 
espessura (L1), mas a laje com maior espessura pode ser considerada apenas 
apoiada na borda comum as duas lajes. 
 
 
Figura 3: Laje engastada. 
 
8 
 
 
Figura 4: Lajes adjacentes com espessuras muito diferentes. 
 
 
4.2 Marquises com lajes simples em balanço 
 
 
São indicadas para pequenos balanços (até~1,8). O problema principal nessas 
marquises, é verificar a flecha na extremidade do balanço, já que o dimensionamento 
é simples. 
O exemplo da laje a seguir mostra a laje em balanço engastada na laje interna, 
o esquema estático é de uma barra engastada numa extremidade e livre na outra, a 
armadura principal, portanto, é negativa (calculada como em viga) e transversal. 
Pode-se dispensar a colocação da armadura positiva. 
 
 
Figura 5: Laje em balanço engastada na laje interna. 
 
Deve ter cuidado com a interrupção da armadura negativa na laje na qual a laje 
embalanço esta engastada. Quando a laje interna é armada em uma direção pode-se 
calcular os esforços solicitantes das duas lajes fazendo como uma viga com faixa de 
um metro. Assim fica determinada a posição do momento nulo e o comprimento da 
armadura negativa. 
 
9 
 
 
Figura 6: Laje em balanço engastada em laje armada em uma direção. 
 
 
5. PRÉ- DIMENSIONAMENTO DA ALTURA ÚTIL E DA ESPESSURA DA LAJE 
 
Dimensões da laje engastada. 
 
 
Figura 7: Dimensões da laje engastada 
 
A menor dimensão da laje apresenta o valor de lx= 150 cm ou 1,5 m. 
 
5.1 Altura Útil 
 
Para lajes em balanço, pode ser usado o critério da NBR 6118 (1978): 
 
10 
 
 
Figura 8: Fórmula de área útil de laje em balanço. 
 
De acordo coma NBR 6118/1980 para vigas e lajes armadas numa direção e 
engastado admite-se Ψ²=0,5, para lajes maciças com CA-50, obtém-se Ψ³= 25. 
 
 
6. MEMORIAL DE CÁLCULO 
 
 
No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo 
a serem considerados deve-se multiplicar as ações a serem consideradas por um 
coeficiente adicional ɣn, de acordo com a tabela 13.2 da NBR 6118, ɣn= 1,20, esse 
coeficiente adicional deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nas lajes 
em balanço, quando de seu dimensionamento. 
 
 
Figura 9: Tabela de coeficiente adicional NBR. 
 
 
6.1 Dados de calculo 
 
• Cobrimento= 3cm; 
• Concreto C25 
• Aço CA-50 (φ ≥ 6,3 mm) 
• Cobrimento c = 3 cm 
11 
 
 
 
6.2 Pré-dimensionamento da altura útil e da espessura da laje 
 
Para lajes em balanço, pode ser usado o critério da NBR 6118 (1978): 
𝑑 
2 ∗ 3 
Figura 10: Fórmula da altura útil NBR 6118/78. 
 
Considerando-se 1,15 ssd = 500 MPa (CA-50), obtém-se 3 = 25. 
Para lajes em balanço 2 = 0,5. Portanto a altura útil estimada: 
 
 dest = 12 cm 
h = d + c h = 12 + 3 h = 15 cm 
OBS.: Adotado h=15 cm e deve-se verificar a flecha. 
 
6.3 Cargas, reações e esforços na laje 
 
Nas lajes geralmente atuam, além do seu peso próprio, pesos de revestimentos 
de piso e de forro, peso de paredes divisórias e cargas de uso. 
 
6.3.1 Valores mínimos de carga de uso 
 
A laje visitada tem como característica um terraço de uso acesso ao público, portanto 
uma carga de 3KN/m². 
 
 
6.3.2 Carga horizontal 
 
 
Segundo o item 2.2.1.5 da NBR 6120 (1980), ao longo dos parapeitos e balcões 
devem ser consideradas aplicadas uma carga horizontal de 0,8 KN/m na altura do 
corrimão e uma carga vertical mínima de 2KN/m. 
12 
 
 
 
6.3.3 Ações permanentes e variáveis 
 
 
 
gpp = 0.15 * 25 gpp = 3,75 kN/m² grev 
= 1 kN/m2 
 
6.3.4 Carregamento uniformemente distribuído 
 
Para esta laje, as cargas uniformemente distribuídas são: 
g = gpp + grev g = 3,75 + 1 g = 4,75 kN/m² 
q = 3,0 kN/m² p = g + q p = 4,75 + 3 p = 
7,75 kN/m² 
 
6.3.5 Carga vertical concentrada 
 
Na extremidade, será considerada uma mureta de ½ tijolo de bloco cerâmico de 
oito furos (1,9 KN/m²), com 1,10 m de altura, e umacarga variável de 2,0 KN/m². 
 
g1 = 1,9 * 1,10 g1 = 2,09 kN/m² q1 = 2,00 kN /m² 
p1 = g1 + q1 p1 = 2,09 + 2,00 p1 = 4,09 kN/m² 
 
6.3.6 Força horizontal 
 
H = 0,8 kN/m 
(NBR6120:1980) aplicada à mureta a 1,10 m de altura. 
 
13 
 
6.3.7 Reações e esforços na laje 
 
Para esses carregamentos, a reação de apoio e o momento fletor sobre o apoio 
resultam, respectivamente: 
 
r = p*l + p1 r = 7,75 * 1,10 + 4,09 r = 12,34 kN/m² 
 m = 9,18 kN/m² 
 
No engaste para a força horizontal: 
 
Reação horizontal: 
rh=0,8 kN/m 
 
Momento devido à força horizontal: 
M = 0,8 * 1,10 M = 0,88 kN*m/m 
 
Momento total: 
Mk = 9,18 + 0,88 Mk = 10,06 kN*m/m 
 
6.4 Armaduras da laje 
 
6.4.1 Armadura principal 
 
Para momento negativo máximo que ocorre no engaste. 
Considerando um metro de laje momento fletor de cálculo: 
Md = ɤn * ɤf * Mk 
Md = 1,20 * 1,40 * 10,06 
Md = 16,90 kN*m/m Md = 1690 kN*cm/m 
 
Coeficiente kc: 
bw = 100 cm d 
= h – c – φ/2 
14 
 
d = 15 - 3 - 0,5 
d = 11,50 cm 
 
 
 
kc = 7,83 
 
 
Conhecido o concreto, o aço e o valor de Kc, obtém-se, na tabela 1.1 o valor de 
Ks: 
 
Para C-25 e CA-50, ks = 0,024 
 
Calcula-se, então, a área de armadura necessária: 
 
 
As = 3,53 cm²/m de laje 
 
 φ 6,3 mm c/ 8,5 cm (Tabela 1.4ª) 
Aef = 3,67 cm²/m 
 Armadura de engaste= 225 cm 
Comprimento de barra na direção de armadura principal= 225+ 150 cm (lx) = 375 
 
15 
 
 
Figura 11: Tabela de área da seção de barras por metro de largura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.4.2 Armadura mínima negativa principal 
 
 
 
Figura 12: Tabela de valores de taxa mínima de armadura. 
 
C25 com seção retangular ρmín 
= 0,150 
 
As1,mín = ρmín * b * h 
16 
 
As1,mín 
As1,mín = 2,25 cm²/m 
 
6.4.3 Armadura mínima secundária 
 
As3,mín ≥ 0,2 * As,princ 
 0,5 * ρmín * b * h 
 0,9 cm²/m 
 
As3,mín ≥ 0,2 * 3,53 0,706 cm²/m 
 0,5 * (0,150/ 100) * 100 *15 1,125 cm²/m 
 0,9 cm²/m 
 
As3,mín = 1,125 cm²/m φ 
6,3 mm c/ 26 cm Aef = 
1,20 cm²/m 
 
6.5 Espaçamento 
 
6.5.1 Espaçamento Máximo 
 
Armadura principal (positivas ou negativas): 
 
 Smáx = 2 * h 
 Smáx = 2 * 15 
 Smáx = 30 cm 
 
Armadura secundária (armaduras de distribuição): 
 
 Smáx = 33 cm 
 
17 
 
6.5.2 Espaçamento mínimo 
 
A NBR 6118:2014 não especifica espaçamento mínimo, que deve ser adotado 
em função de razões construtivas, como, por exemplo, para permitir a passagem de 
vibrador (6 cm). 
É usual adotar-se espaçamento entre 10 cm ≥ x ≤ 30 cm . 
 
6.6 Detalhamento 
 
 
 
 
Como as lajes em balanço apresentam uma região comprimida na parte inferior 
é importante colocar armadura em tal região para melhorar a flecha, sendo que essa 
ϕ 
18 
 
armadura não precisa ser dimensionada, consideraremos ele como 20% da principal 
dessa forma estaremos a favor da segurança. 
 
 
 
6.7 Verificação da Deformação 
 
 
Figura 13: Deslocamento por carregamento 
 m n 
 Fd,uti FGi,k 2 jFQj,k FG,k 0,3.FQ,k 
 i 1 j 1 
19 
 
 
Figura 14: Tabela de deslocamento elástico em vigas. 
 
Foi utilizado as opções 1, 4 e 5 para a verificação das ações. 
 
Figura 15: Tabela de valores estimados de módulo de elasticidade. 
 
Para C25, foi utilizado Ecs (GPA) = 24 GPA 24*10⁶ kN/m Dados: 
Considerando a laje com dimensão de 100 cm. 
• 
 I = 2,813 * 10⁻⁴ m 
• Ѱ2 = 0,4, Tabela 11.2 – Valores de coeficiente Ѱ2. 
 
Para o caso 1: 
 
 Fg = 8,13*10-4 m 
20 
 
 Fg = 1,29*10-4 m 
 
Para o caso 2: 
 
 Fg = 1,36*10-4 m 
 Fg = 1,30*10-4 m 
 
Para o caso 3: 
 
 Fg = 7,88*10-4 m 
 
Fd = (8,13 * 10⁻⁴ + 1,36 * 10 ⁻⁴) + 0,4 * (1,29 * 10⁻⁴ + 1,30 * 10⁻⁴ + 7,88 * 
10 ⁻⁴) 
Fd,UTI = αi = 9,49 * 10⁻⁴ + 4,188 * 10⁻⁴ Fd,UTI = αi = 1,37 x 10 ⁻³ kN 
 
 
6.7.1 Flecha diferida decorrente da fluência do material 
 
Calculada de maneira aproximada: 
 
 
 
A’s é a armadura de compressão, no caso de armadura dupla 
∆ξ = ξ (t) – ξ (t0) ξ é um coeficiente em 
função do tempo. 
 
21 
 
 Obs: Foi adotado para t = 2 e para t0 = 0.68 pois considera que o escoramento foi 
retirado em um mês. Para calcular o αf utilizaremos apenas o Δξ. 
 
Δξ = 2 – 0,68 ∆ξ = 1,32 αf 
= 1,32 
 af = αf 
*αi 
 
af = 1,32 * 1,37 *10 ³ af = 1,81*10-3 kN 
 
6.7.2 Flecha Total 
 at = ai + 
af 
at = 1,37 *10 ³ + 1,81 * 10 ³ at 
= 3,18 * 10 ³ kN 
 
 
 
 
 
7. RESULTADOS OBTIDOS 
 
 
Conforme os cálculos efetuados anteriormente, podemos concluir que as 
medidas utilizadas estão de acordo com a NBR 6118 /2001 - Projeto de Estrutura de 
Concreto e que a laje dimensionada encontra-se no domínio 2, o qual é permitido fazer 
dimensionamentos. Por tanto podemos concluir que a laje atende aos requisitos da 
norma e que é segura. 
 
8. ANÁLISE DE RESULTADOS 
 
 
Diversos métodos para a análise e dimensionamento de lajes de concreto 
armado de pavimentos de edifícios têm sido propostos e usados ao longo dos anos. 
22 
 
Esses métodos são usados para analisar os deslocamentos, os esforços internos, os 
elementos de apoio e a capacidade de carga das lajes; conhecendo-se a distribuição 
dos esforços atuantes, tais como momento fletor e assim é possível verificar as 
tensões e calcular as armaduras necessárias nestas lajes. 
 
 
23 
 
9. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
Em virtude do que foi mencionado no trabalho, a laje em balanço sendo um 
elemento básico de um projeto estrutural possui cargas atuantes sobre a mesma, por 
esse motivo deve ser dimensionada com total atenção e respeitando os critérios 
presentes em norma, ou seja, de acordo com a NBR 6118, para que possa resultar 
em uma estrutura segura e econômica, bem como apresentar as armaduras para 
resistir aos esforços. Foi feito cálculos da área de aço, diâmetro de bitola, 
espaçamento, posição da armadura, tipo de armadura que no caso resultou em 
armadura negativa pois, a laje está em balanço e resultou em momento fletor negativo 
pelo diagrama de momento fletor e detalhamento. A estrutura teve que passar por 
verificação de segurança contra flambagem com cálculo de flechas. No trabalho 
obteve-se grande dificuldade em achar uma obra com laje em balanço ainda em 
execução, entretanto foi possível tirar fotos de uma obra com laje em balanço, mas 
em situação embargada e com isso para fazer os cálculos do trabalho, valores tiveram 
que ser adaptados por problema de acesso interno da obra embargada. Contudo no 
presente trabalho, foram explorados e aperfeiçoados os aprendizados de conceitos e 
cálculos adquiridos em sala de aula no presente semestre nas matérias de Estruturas 
de Concreto Armado, Teoria da Construção (sistema construtivo), Teoria das 
estruturas, e Sistemas Estruturais. 
 
10. REFERÊNCIAS 
 
 
- Paulo, S.S.B. ESTRUTURAS DE CONCRETO IV: Marquises. Bauru: 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA, Faculdade De Engenharia Departamento 
de Engenharia Civil; 2006. [citado 2006 nov.]. Disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto4/MARQ.pdfESTRUTURADDE. 
 
- Paulo, S.S.B. ESTRUTURAS DE CONCRETO I:Lajes de Concreto. 
Bauru: UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA, Faculdade De Engenharia 
Departamento de Engenharia Civil; 2015. [citado 2015 ago.]. Disponível em: 
http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/concreto1/Lajes.pdf. 
24 
 
 
25 
 
ANEXOS 
 
 
 
Figura 9. Laje em balanço vista de baixo para cima. 
 
 
26 
 
Figura 10. Laje em balanço de terraço vista frontal. 
 
 
Figura 11. Laje em balanço de terraço vista frontal. 
 
 
 
27 
 
Figura 12. Laje em balanço de terraço vista frontal. 
 
28 
 
 
 
Figura 13. Equipe do trabalho de APS em um canteiro de obras.