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1 Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia Departamento de Química e Exatas – DQE Período letivo: 2016.2 Disciplina – Cálculo Aplicado Prof.: Abílio Neto LISTA DE EXERCÍCIOS 01 – NÚMEROS REAIS, DESIGUALDADES E FUNÇÕES 01. Determinar todos os números reais que satisfazem às desigualdades abaixo. Faça a representação gráfica. a) 3 − 𝑥 < 5 + 3𝑥 g) 𝑥3 + 1 > 𝑥2 + 𝑥 b) h) (𝑥2 − 1) (𝑥 + 4) ≤ 0 c) 2 > 3 − 3𝑥 ≥ −7 i) d) 𝑥2 ≤ 9 j) 𝑥4 ≥ 𝑥2 e) 𝑥2 − 3𝑥 + 2 > 0 k) f) 02. Resolva as equações em ℝ: a) |−4 + 12𝑥| = 7 d) |3𝑥 + 2| = 5 − 𝑥 b) |2𝑥 − 3| = |7𝑥 − 5| e) |9𝑥| − 11 = 𝑥 c) f) 2𝑥 − 7 = |𝑥| + 1 03. Determine os números reais que satisfazem às desigualdades abaixo: a) |3𝑥 − 4| ≤ 2 b) |2𝑥 − 5| > 3 f) 1 < |𝑥 + 2| < 4 c) |𝑥 + 4| ≤ |2𝑥 − 6| g) |𝑥| + 1 < 𝑥 d) |3𝑥| > |5 − 2𝑥| 04. Seja a função 𝑓: {−4, −3, −2,0} → ℝ, dada pela lei f x() x2 2x 1. Calcule: a) f (0) f ( 2) b) f ( 3) c) a imagem do número real -4 d) o conjunto imagem de f 05. Sejam A {1,1,3,5} e B {0,1,2,3,4,5,6} e a função 𝑓 de A em B definida por f x() x 1. Determine: a) A imagem de 3 pela função b) o valor de f em 1 c) o conjunto imagem de f d) o número real cuja imagem pela função f é 2 06. Dada a função f x() 2x 1, determine: a) O domínio de f b) a imagem de pela função f c) x, tal que f x( ) 11 2 d) o conjunto imagem de f e) a representação gráfica de f 07. Dada a função f x( ) 1 , pede-se: x 2 a) o seu domínio b) a imagem de -3 pela função c) f (0) d) x D f( ) , tal que f x( ) 0 e) x , tal que f x( ) 08. É dado abaixo o gráfico de uma função f. Através dele determine o que se pede em cada item: (obs.: na malha quadriculada abaixo, cada quadrado tem lado medindo 1) a) Dê o valor de f( 1) e estime f(2) b) Para que valores de x tem-se f (x) 2 ? c) Quais os zeros da função? d) Dê o domínio e a imagem de f . e) Em quais intervalos f é crescente e em quais é decrescente? f) Determine os valores de x para os quais f (x) 0. 09. O gráfico a seguir ilustra numericamente a propagação de uma epidemia (número N de pessoas infectadas pela mesma) numa cidade X, em função do tempo t (medido em dias, a partir do primeiro dia da epidemia). 7 14 21 28 ( dias ) N 3 N 2 N 1 N 4 nº de pessoas ( ) 3 2 4 De acordo com o gráfico, responda: a) Em qual semana houve o maior número de pessoas infectadas? b) Quando a epidemia foi totalmente controlada? c) Em qual das semanas o aumento no número de pessoas infectadas foi de aproximadamente 50% em relação à anterior? 10. Se f(x) x2 4 , determine: x 1 a) f(0) b) f( 2) c) f (1/2) d) f(1/t) e) f(x 2) f) o valor de x para o qual f (x) 0 11. Se f (x) 3x 1 , determine: x 7 a) b) f ( 1/2) 2 c) f(t) f(4/t) d) f(f(5)) 12. Seja a função f : {1} , definida por f(x) 3x 2 . Qual é o elemento do x 1 domínio que tem imagem 2 ? 13. Se f(x) x2 2x , determine f(a h) f(a) , com h 0 . h 14. Determine o domínio das seguintes funções: a) f(x) x2 3x 4 b) g(x) 4 x c) h(x) 1 x 4 d) y x 2 e) l(x) 3 x 7 x f) r(x) x a x a g) p(x) 3 x 7 5 x 8 h) f(x) 2 x i) s(x) 1 15. Expresse como função de x a área total de uma caixa de volume V , sabendo que a base é um quadrado de lado x . 16. Exprimir o comprimento l de uma corda de um círculo de raio 4 cm, como uma função de sua distância x cm ao centro do círculo. x2 3x x 1 4 17. Determine as funções compostas f g , gf , f f e gg e seus domínios, para cada um dos casos abaixo: a) f(x) x 2 e g(x) x 7 b) f(x) x2 1 e g(x) 1 x c) f(x) x e g(x) x2 1 d) f(x) x2 e g(x) 4 x2 e) f(x) x 1 e g(x) x 2 18. Verifique se as funções f(x) 2x 3 e g(x) x 3 são inversas. Idem para as 2 1 1 x funções m(x) e n(x) . x 1 x 19. Se f(x) ax b e d a , mostre que f(f(x)) x . cx d x2 9 20. Sejam g(x) x 3 , x 3 e f(x) x 3. Calcule k tal que f(x) g(x), para k , x 3 todo x . 21. Se f(x) x2, encontre duas funções g tais que (f g)(x) 4x2 12x 9. 22. Um grupo de amigos trabalha no período de férias vendendo salgadinhos nas praias. O trailler e todos os equipamentos necessários para a produção são alugados por R$ 2000,00 por mês. O custo do material de cada salgadinho é R$ 0,20. Expresse o custo total como uma função do número de salgadinhos fabricados. 23. As funções 𝑓: ℝ → ℝ, definida por f(x) x2 e 𝑔: ℝ → ℝ , definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥, são iguais? Justifique. 24. Esboce o gráfico das funções: a) 𝑓(𝑥) = 5 b) 𝑓(𝑡) = 𝑡2 − 6𝑡 c) −1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1 d) e) 𝑓(𝑥) = {3𝑥 + 2 , 𝑠𝑒 − 1 < 𝑥 < 1 7 − 2𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1 f) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 g) 25. Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa R$ 2.200,00 para fabricar 100 cadeiras em um dia e R$4.800,00 para fabricar 300 cadeiras em um dia. Expresse o custo diário como uma função do número de cadeiras, supondo que ela seja linear. Esboce o gráfico desta função. 5 26. O preço de venda de um produto é de R$ 27,00. A venda de R$ 100 unidades dá um lucro de R$ 260,00. Sabendo que o custo fixo de produção é de R$ 540,00 e que o custo variável é proporcional ao número de unidades produzidas, determine: a) O custo variável para uma produção de 2000 unidades. b) A produção necessária para um lucro de R$ 23.460,00. 27. Uma indústria comercializa um certo produto e tem uma função custo total dada por C(x) x2 20x 700, sendo x o número de unidades produzidas. A receita total é dada por R(x) 200x . Determine: a) O lucro para a venda de 100 unidades. b) Para qual quantidade produzida (e vendida, claro) o lucro será máximo. 28. A vida média do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer quantidade deste elemento vai se desintegrar em 25 anos. Pede-se: a) Se uma amostra de 90Sr tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para a massa m(t) de 90Sr que sobrará após t anos. b) Encontre a massa remanescente após 40 anos. 29. Se f for uma função que admite inversa e tal que f (2) 9 , quanto é f 1(9)? 30. Se uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada 3 horas, então o número de bactérias após t horas é n(t) 100 2t/3 . Em quanto tempo a população atingirá 50.000 bactérias? 31. Uma caixa sem tampa, da forma de um paralelepípedo, tem um volume de 10 cm3. O comprimento da base é o dobro da largura. O material da base custa R$ 2,00 por m2 ao passo que o material das laterais custa R$ 0,02 por m2. Expresse o custo total do material em função da largura da base. 32. A função f é uma função afim. Determine-a, se f( 1) 2 e f(2) 3. 33. O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (-3,4) e (3,0). Se f 1 é a função inversa de f , determine f 1(2). 34. Sendo f e g funções reais definidas pelas sentenças f x( ) 3 x 1 e g x( ) log (4 x 1) , determine (f g 1)(0). 35. A função f : A é dada por f x( ) 1 x2 . a) Determine o domínio de f , ou seja, o conjunto A. b) Determine o conjunto imagem de f . Conclua se f é ounão sobrejetora. c) A função f é injetora? Por quê? 6 x2 x 2, se x 2 36. Na função real f x( ) x , determine os valores do domínio que 2 1, se x 2 têm imagem 4. 37. Construa o gráfico das funções: a) f x( ) x 1 b) g x( ) x2 4x c) h x( ) x 3 d) p x( ) 2x 1x 2 e) q x( ) x2 2xx 2 38. Determine o conjunto imagem da função f de em , definida por f x( ) 2 x 3 x 1. 39. Considerando a função real f x( ) 3 2 x 1 e sendo g A: a sua inversa, analise a veracidade de cada afirmação abaixo: a) A imagem de f é A b) O gráfico de f está acima da reta y 4 c) g 11 2 log 52 d) Se f h x( ( )) 3 2 x , então h 1 4 0 e) O conjunto solução da inequação f(2x 1) 1 3 2 x é o intervalo (0,1). f) O gráfico da função g intersecta o eixo no ponto (1,0).
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