Medidas de Posição

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Métodos Estatísticos 
Aplicados à Produção
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Ms. Luciana Borin de Oliveira
Revisão Técnica:
Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus Costa
Revisão Textual:
Profa. Esp. Kelciane da Rocha Campos
Medidas de Posição
• Medidas de posição
• Cálculo da média aritmética pelo método simplificado
O objetivo desta unidade é conhecer as definições envolvidas em 
Estatística aplicada à produção:
 · Média;
 · Moda;
 · Mediana.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Caro(a) aluno(a),
Leia atentamente o conteúdo desta unidade, que lhe possibilitará conhecer 
as aplicações do estudo de Medidas de Posição em Engenharia.
Você também encontrará nesta unidade uma atividade composta por 
questões de múltipla escolha, relacionadas com o conteúdo estudado. Além 
disso, terá a oportunidade de trocar conhecimentos e debater questões no 
Fórum de discussão.
É extremamente importante que você consulte os materiais complementares, 
pois são ricos em informações, possibilitando-lhe o aprofundamento de seus 
estudos sobre este assunto.
ORIENTAÇÕES
Medidas de Posição
UNIDADE Medidas de Posição
Contextualização
Medidas de Posição são tópicos utilizados para controlar um processo. O 
conhecido CEP, ou Controle Estatístico do Processo, avalia a estabilidade ou 
não de um processo.
Escolha a área em que você atua ou próxima a ela e busque dados que possam 
ser agrupados. Você pode usar também dados do dia a dia, como, por exemplo, a 
quantidade de calorias que você consome por dia.
Aplique o conceito estudado, faça tabelas e gráficos, use planilhas eletrônicas.
Avalie seu processo, calcule sua média, moda e mediana.
Compare os dados!
6
7
Medidas de posição
Também chamadas de Medidas de tendência central, pois tais medidas 
tendem a se acumularem em torno dos valores centrais da distribuição, são os 
valores utilizados em auxílio para análise da posição de uma distribuição em relação 
aos valores observados no estudo da variável. Dentre tais medidas de tendência 
central, estudaremos:
 · Média aritmética (x)
 · Moda (Mo)
 · Mediana (Md)
Para efetuarmos os cálculos dessas medidas, necessitamos primeiramente verificar 
se os dados estão agrupados ou não e se as variáveis são contínuas ou discretas.
Medidas de posição para dados não agrupados
Média aritmética ( x ):
É o valor da divisão da soma dos valores observados da 
variável em estudo pela quantidade de valores observados:
x
x
n
i
i = 1
n
=
∑
 (I)
Sendo:
x= a média aritmética;
x
i
= os valores da variável;n= quantidade de valores observados.
Por exemplo, vamos calcular a média aritmética das notas de Cálculo I dos 
alunos de Engenharia de uma faculdade, que foram: 
4,0; 8,5; 7,0; 5,0; 5,5; 3,5; 6,5; 6,0; 9,0; 8,0; 5,0; 7,5; 5,5; 4,5; 2,5; 8,0
n= 16, que corresponde à quantidade total de notas.
x = + + + + + + + + + + + + + + +4 8 5 7 5 5 5 3 5 6 5 6 9 8 5 7 5 5 5 4 5 2 5 8
16
, , , , , , , ,
x = =96
16
6 00,
A média aritmética é bastante utilizada, pois para obtê-la é relativamente fácil; 
trabalha-se na destruição com todos os valores da mesma e para uma distribuição 
temos somente um valor associado.
7
UNIDADE Medidas de Posição
Mediana (Md): É o valor que se encontra na posição central de um determinado rol.
Por exemplo, qual é a mediana dos seguintes valores: 
3, 8, 12, 5, 7, 14, 5, 9, 4?
Organizando os dados em rol, temos:
3, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 12, 14 – temos nesse rol 9 elementos.
Como nesse exemplo o número n de elementos é um número ímpar, 9 elementos, 
a posição da moda será o valor
n +
=
+
=
1
2
9 1
2
5 A mediana corresponderá, então, ao 5º elemento do rol.
O valor da mediana será, então, 7.
No caso de uma quantidade par de valores, calculamos a posição da mediana 
como sendo a média aritmética entre os elementos das posições n n
2 2
1+ + .
Por exemplo, qual é a mediana dos seguintes valores: 
6, 5, 11, 5, 8, 5, 7, 4?
Organizando os dados em rol, temos:
4, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 11 – temos nesse rol 8 elementos.
Como n=8, teremos, então, que o valor da mediana é o valor posicionado entre 
a 4ª e 5ª posição.
Md =
+
=
5 6
2
5 5,
A mediana desse rol, então, é calculada pela média aritmética do valor 
encontrado entre os valores 5 e 6, que correspondem respectivamente 
ao 4º e 5º valor:
Utilizamos o cálculo da mediana sempre que desejamos obter o ponto que divide 
a distribuição em partes iguais. Utilizamos preferencialmente a mediana em relação 
à média aritmética quando há valores muito grandes que podem distorcer o valor 
médio da distribuição. Caso os valores calculados da média aritmética e mediana 
sejam muito diferentes, é mais aconselhável a utilização do valor da mediana como 
medida de posição central.
8
9
Moda (Mo): 
Definimos como moda de um conjunto de elementos o valor que 
ocorre com maior frequência dentro desse conjunto de elementos.
Por exemplo, consideremos a seguinte sequência de números: 
1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 6, 5, 2, 8, 4, 5.
Organizando a sequência em um rol, temos: 
1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5,6, 8. O número de maior frequência desse rol é 
o número 2, que será a sua moda.
Numa sequência, podemos ter mais de uma moda ou até mesmo ela pode não 
ocorrer. 
Por exemplo, chamamos de uma distribuição amodal (sem moda) quando todos 
os elementos da distribuição apresentarem a mesma frequência. Por exemplo, na 
sequência: 1, 1, 4, 4, 3, 3, 5, 5, todos os elementos apresentam uma frequência 
igual a 2; logo, a distribuição é amodal, pois não há um elemento que apresenta 
uma maior frequência do que outro. 
Quando temos em uma distribuição duas modas, dizemos que a distribuição 
é bimodal; por exemplo, na seguinte distribuição: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5. Os 
valores de 2 e 5 apresentam as maiores frequências dessa distribuição, 3 elementos 
cada, logo a distribuição possui 2 modas (bimodal).
Como para o cálculo da moda só é necessário sabermos o valor da frequência 
absoluta de uma distribuição, é bastante utilizada tanto para variável discreta quanto 
para variável contínua.
Medidas de posição para dados agrupados – variável discreta
a) Média aritmética
Será obtida pelo cálculo de:
Σ
Σ
 
 
xi fi
fi
*
 (II)
Por exemplo, vamos considerar a tabela 1 a seguir:
xi fi
3 2
5 4
6 3
7 2
9
UNIDADE Medidas de Posição
Calculamos, então, o valor x fi * i , completando a tabela:
xi fi xi*fi
3 1 3
5 4 20
6 3 18
7 2 14
∑= 10 55
A média aritmética é igual a:
x = =55
10
5 5,
b) Média aritmética ponderada (x p)
Utilizamos a média aritmética ponderada quando temos vinculados aos 
elementos x1, x2,x3,……..xn outros elementos que ponderam os primeiros, “pesos” 
associados aos primeiros elementos. O cálculo da média aritmética ponderada é 
dado pela fórmula:
x xi pi
pi
p =
Σ
Σ
*
 (III), sendo pi os pesos
Como exemplo, vamos considerar a tabela 2 a seguir, referente às notas 
anuais de uma aluna de Métodos estatísticos aplicados à produção. A partir dela, 
calcularemos a média aritmética ponderada da aluna.
1º bimestre 2º bimestre 3º bimestre 4º bimestre
Nota 4,0 7,5 6,0 8,5
Peso 1 2 3 4
A média aritmética será:
x
x
p
p
=
+ + +
+ + +
=
= =
+ + +
= =
4 0 1 7 5 2 6 0 3 8 5 4
1 2 3 4
4 0 15 18 34
10
71
10
, , , ,
,
* * * *
77 1,
Perceba que se não houvesse a ponderação, teríamos uma média com outro valor:
10
11
Média aritmética: x =
+ + +
= =
4 0 7 5 6 0 8 5
4
26
4
6 5
, , , ,
,
A média aritmética ponderada nesse exemplo é maior que a média aritmética, 
pois o valor de nota do 4º bimestre, o qual apresenta o maior “peso”, é o maior 
valor entre todas as notas, “puxando” a média para cima.c) Mediana 
A mediana neste caso é facilmente identificada quando os dados estão dispostos 
em uma tabela de frequência, pois será identificada através de sua posição na 
tabela de frequências.
Por exemplo, qual será a mediana referente à tabela 3 de frequências a seguir?
xi fi
1 8
4 10
6 2
13 5
11 5
Acrescentamos uma coluna na tabela com a frequência acumulada Fi e então 
determinamos o valor da mediana, que corresponderá ao valor xi associado à 
frequência absoluta n
2
 para um valor da somatória de frequência par e n +1
2
 para 
um valor ímpar.
Então, a tabela ficará:
xi fi Fi
1 8 8
4 10 18
6 2 20
13 5 25
11 5 30
Σ=30
Temos, então, n = 30 e a mediana será, então, o valor da 15ª posição n =






30
2
 .
O valor da mediana, que será o da 15ª posição, é de 4.
d) Moda
O valor associado à moda será àquele que apresentará o dado com maior 
frequência, o qual é facilmente identificado na tabela de frequências.
11
UNIDADE Medidas de Posição
Considerando a tabela 4 a seguir, qual o valor da moda?
xi fi
1 1
3 4
7 9
8 4
11 3
O valor da moda é aquele correspondente ao de maior frequência e na nossa 
tabela corresponde ao número 7.
Exemplo:
Segue a tabela 5 com a distribuição de salários de uma empresa metalúrgica:
Salários Empregados
R$ 1.100 15
R$ 1.650 3
R$ 3.250 6
R$ 6.150 3
R$ 12.500 1
TOTAL 28
Quais são os valores da média aritmética, da moda e mediana desses trabalhadores?
Média 
aritmética:
x
x
=
+ + + +
= =
1100 15 1650 3 3250 6 6150 3 12 500 1
28
71900
28
256
* * * * *.
$� R 88
Moda (Mo)
Como a moda é o valor associado à maior frequência, temos o valor da moda 
em R$ 1.100, pois esse é o valor associado à maior frequência da tabela, que é 
valor pago a 15 dos trabalhadores da empresa.
Mediana (Md)
A mediana corresponderá no nosso exemplo, que tem número par de elementos, 
ao 14º elemento n =





28
2
.
Acrescentando à tabela a coluna de frequência acumulada, identificamos 
exatamente a qual valor corresponde a 14º posição.
12
13
Salários Empregados Fi
R$ 1.100 15 15
R$ 1.650 3 18
R$ 3.250 6 24
R$ 6.150 3 27
R$ 12.500 1 28
TOTAL 28
O valor da mediana é, então, R$ 1.100,00 também.
Medidas de posição para dados agrupados – variável contínua
a) Média aritmética
Com os dados apresentando-se em uma distribuição de frequências em intervalo 
de classes, calcularemos a média através da seguinte fórmula:
xi
xi fi
fi
=
Σ
Σ
*
 (IV)
Sendo xi , o ponto médio do intervalo.
Como exemplo de cálculo, calcularemos a média aritmética a partir da tabela 6 
a seguir:
Classe:(i) Peso (kg) fi
1 5|–10 2
2 10|–15 8
3 15|–20 7
4 20|–25 1
Para o cálculo da média aritmética, completamos a tabela com o ponto médio 
dos intervalos de classes (xi) e a multiplicação de xi com fi (xi*fi):
Classe: (i) Peso(kg) fi xi xi*fi
1 5|–10 2 7,5 15
2 10|–15 8 12,5 100
3 15|–20 7 17,5 122,5
4 20|–25 1 22,5 22,5
∑= 18 260
A média aritmética é então: x = ≅
260
18
14 45,
13
UNIDADE Medidas de Posição
Cálculo da média aritmética pelo método 
simplificado
Com a intenção de simplificar o grande número de cálculos que eventualmente 
ocorrem para a determinação da média x , podemos utilizar um método prático, 
utilizando mudança de variável x por outra z, de forma que:
z xi xo
n
=
−
 (V)
Onde xo é uma constante escolhida entre os pontos médios da distribuição, 
sendo preferencialmente o ponto de maior frequência.
Sendo assim, temos a média aritmética de x através da equação:
x z h xo= +* (VI)
Por exemplo, vamos calcular a média aritmética dos dados apresentados na 
tabela 7 a seguir:
Altura (cm) fi
165|–168 2
168|–171 10
171|–174 13
174|–177 8
177|–180 5
180|–183 2
1º - Calculamos o ponto médio dos intervalos de classe e acrescentamos uma 
nova coluna à tabela com esses pontos médios.
Altura (cm) fi xi
165|–168 2 166,5
168|–171 10 169,5
171|–174 13 172,5
174|–177 8 175.5
177|–180 5 178,5
180|–183 2 181,5
2º - Promovemos a transformação da variável x para z, com a escolha dos 
valores arbitrários de xo e h.
Por exemplo, escolheremos xo = 172,5 e h = 3.
14
15
Temos, então, a equação da variável transformada:
z xii =
−172 5
3
,
3º - Calculamos os valores de zi e acrescentamos à tabela. Acrescentamos 
também a coluna zi * fi
Altura (cm) fi xi zi zi*fi
165|–168 2 166,5 -2 -4
168|–171 10 169,5 -1 -10
171|–174 13 172,5 0 0
174|–177 8 175,5 1 8
177|–180 5 178,5 2 10
180|–183 2 181,5 3 6
∑ 40 10
4º - Calculamos a média aritmética da variável transformada z utilizando a 
fórmula do cálculo de média aritmética z zi fi
fi
i =
Σ
Σ
*
 
 ,
z = =10
40
1
4
5º - Calculamos a média aritmética da variável x, utilizando a fórmula x z h xo= +* 
Assim, temos: x = + = + =1
4
3 172 5 0 75 172 5 173 25* , , , ,
b) Moda
No cálculo da moda em distribuição em intervalo de classes, calculamos a moda 
através de fórmulas ou através da interpolação linear.
Vamos utilizar os dados da tabela 7, que utilizamos para o cálculo da média 
aritmética, como exemplo:
Altura (cm) fi
165|–168 2
168|–171 10
171|–174 13
174|–177 8
177|–180 5
180|–183 2
A classe de frequência associada à moda é do intervalo entre 171|––174, pois 
apresenta o maior valor de frequência (f=13).
15
UNIDADE Medidas de Posição
b.1. Moda bruta
O valor se da moda é obtido através do cálculo do ponto médio da classe onde 
se encontra a moda.
Mo lMo LMo= +
2 (VII)
Sendo lMo o limite inferior da classe onde se encontra a moda e LMo o limite
superior da classe.
Mo = + =171 174
2
172 5,
b.2. Moda de King
O cálculo da moda é dado através da fórmula:
Mo lMo h fposterior
fposteriorfanterior
= +
+
*
 (VIII)
Do nosso exemplo, temos que:
lMo = 171 cm
h = 3 , amplitude da classe modal
fposterior = 8
fanterior = 10
Aplicando a fórmula, temos:
Mo
Mo
= +
+
= + =
171 3
8
8 10
171
24
18
172 33
*
,
b.3. Moda de Czuber
A moda é calculada através da fórmula:
Mo lMo h fMo fanterior
fMo fanterior fMo fposterior
= +
−
− + −
*
( ) ( ) (IX)
16
17
Sendo fMo = 13, que é o valor da frequência simples associada à classe onde se 
encontra a moda.
Aplicando a fórmula, temos:
Mo
Mo
= +
−
− + −
= + =
171 3
13 10
13 10 13 8
171 3
3
8
172 125
*
*
( ) ( )
,
A moda calculada pelo método de Czuber é a mais precisa, enquanto a média 
bruta não traz um resultado muito preciso, porém é de muito fácil cálculo e dá uma 
“noção” do valor da moda.
b.4. Método rápido – interpolação
1º - Coletamos os valores dos limites inferior e superior da classe onde a moda 
está inserida. Coletamos também os valores das frequências simples da classe onde 
se encontra a moda e as frequências simples anterior e superior à classe da moda.
2º - Dispomos os dados na grade da seguinte forma:
IMo MODA LMo
fanterior fMo fposterior
3º - Calculamos a Moda através da equação montada da seguinte forma:
LMo Moda
fMo fposterior
Moda lMo
fMo fanterior
−
−
=
−
−
Coletando os valores da nossa tabela, temos:
174
13 8
171
13 10
174 3 5 171
522 3
−
−
=
−
−
− = −
−
Moda Moda
Moda
Mo
( ) (Moda )* *
dda Moda
Moda
Moda
= −
=
= =
5 855
8 1377
1377
8
172 125,
Obs: Podemos chamar esse método rápido da divisão dos valores maior – menor 
pelo valor do maior – menor.
17
UNIDADE Medidas de Posição
c) Mediana
A mediana também, como a moda, será calculada através de fórmula ou então 
por interpolação.
c.1. Mediana calculada através dafórmula:
M I
n Fanterior hmediana
fmedianad
= +
−





inf
*
2
 (X)
Onde:
Md = Mediana.
linf = limite inferior da classe onde se encontra a mediana.
Fanterior = Frequência acumulada anterior à da classe onde se encontra a mediana.
hmediana = amplitude da classe onde se encontra a mediana.
fmediana = frequência simples da classe onde se encontra a mediana.
n = quantidade de elementos.
Utilizando a tabela 7 para o cálculo da média aritmética e moda, temos:
Altura (cm) fi
165|–168 2
168|–171 10
171|–174 13
174|–177 8
177|–180 5
180|–183 2
1º - Acrescentamos à tabela uma coluna com as frequências acumuladas.
Altura (cm) fi Fi
165|–168 2 2
168|–171 10 12
171|–174 13 25
174|–177 8 33
177|–180 5 38
180|–183 2 40
18
19
2º - Identificamos a classe onde a mediana se encontra.
Temos a quantidade de elementos n=40, então a classe que a mediana se 
encontra é aquela onde encontramos a frequência acumulada n
2
20= .
Então, a classe correspondente é a de 171|––174.
3º - Aplicamos a fórmula com todos os elementos identificados:
M
M
M
d
d
d
= +
−





= +
( )
= +
≅
171
40
2
12 3
13
171
8 3
13
171
24
13
172 85
*
*
,
c.2. Cálculo por interpolação da Ogiva de Galton
1º Passo:
Coletamos os valores dos limites inferior e superior da classe 
onde se encontra a mediana. Coletamos também os valores da 
frequência acumulada da classe onde se encontra a mediana e 
a frequência acumulada anterior à classe onde se encontra a 
mediana e o valor de n
2
.
2º Passo:
Considerando o valor a ser determinado, a mediana c, determinamos 
os limites superior e abaixo com as frequências acumuladas desses 
limites dispostos na tabela a seguir:
Limites da classe onde está a 
mediana Inferior Mediana Superior
Fi Anterior à classe da mediana
n
2
Da classe da mediana
3º Passo:
Montamos, então, uma proporção entre as diferenças dos maiores 
valores com os menores valores da seguinte forma:
LMo lMo
Fclasse mediana Fanterior
LMo mediana
Fclasse median
−
−
=
−
 
 aa n−
2
19
UNIDADE Medidas de Posição
Substituindo os dados de nosso exemplo:
174 171
25 12
174
25 20
3
13
174
5
15 2262 13
−
−
=
−
−
=
−
= −
Mediana
Mediana
Me diana
Mediana= ≅2247
13
172 85,
Obs: No cálculo da interpolação, utilizamos também o artifício do cálculo do 
“maior – menor”.
Valores 
separatrizes:
São aqueles que dividem a sequência de uma distribuição em 
partes as quais apresentam a mesma quantidade de valores.
1. Mediana: divide a distribuição em 2 partes iguais.
2. Quartil: divide a série em 4 partes iguais.
a) O primeiro quartil separa a sequência ordenada, em 25% / 50%.
b) O segundo quartil separa a sequência ordenada, em 50% / 50% e é igual 
à mediana.
3. Decil: divide a série em 10 partes, e o 5º decil é igual à mediana.
4. Percentil: divide a série em 100 partes e o 50º percentil equivale à mediana.
20
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Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
Para complementar os conhecimentos adquiridos e enriquecer sua compreensão 
sobre o assunto tratado nesta unidade, consulte os livros a seguir, disponíveis na 
Minha Biblioteca:
 Livros
Estatística para cursos de engenharia e informática.
BARBETTA, Pedro Alberto; REIS, Marcelo Menezes; BORNIA, Antonio 
Cezar. Estatística para cursos de engenharia e informática. 3. ed. São 
Paulo: Atlas, 2010.
Curso de estatística.
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de 
estatística. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2012.
Controle estatístico de processos
LOUZADA, Francisco et al. Controle estatístico de processos: uma 
abordagem prática para cursos de engenharia e administração. Rio de 
Janeiro: LTC, 2013.
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UNIDADE Medidas de Posição
Referências
BOTTER, Denise Aparecida. Noções de estatística. São Paulo: EDUSP, 1996.
CALLEGARI-JACQUES, S. M. Bioestatística. Porto Alegre: Artmed, 2003.
FRANCISCO, Walter de. Estatística. São Paulo: Atlas, 1982.
GRIFFITHS, A. J. F. et al. Introdução à genética. Rio de Janeiro: Guanabara 
Koogan, 2006.
MENDENHALL, W. Probabilidade e estatística. Rio de Janeiro: Campus, 1985.
MEYER, P. Probabilidade – aplicações à estatística. Rio de Janeiro: 2.ª ed. 
Livros Técnicos e Científicos Editora, 1984.
MILONE, G.; ANGELINI, F. Estatística geral. São Paulo: Ed. Atlas, 1993.
STANSFIELD, W. D. Genética. São Paulo: McGraw Hill do Brasil, 1985.
TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. São Paulo: Atlas, 1994.
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