ap Cine dos Solidos pt1

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••••••••••••I.
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'"CfNEfv1ATfCA
DOS
'"SOLfD05
TEORIA
EXERcíCIOS RESOLVIDOS
EXERcíCIOS PROPOSTOS
TAREFAS
•••••:1
•• ••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••I.
I.
I •
I.
I •
I •
I •I:
I.••l.
AUTORES
ARDUfNO FRANCESCO LAURICEllA
Bacharel em Física pela Universidade de S. Paul~USP
Mestre em Engenharia Mecânica -EPUSP
Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP
Professor da F.aculdade de Engenharia Industrial - FEl
BRASíUOCAMARGO DE BRITO RUIO
Bacharel em Física pela Universidade de S. Paulo-USP
~fcstre em Física do Estado Sólido pela Universidade de 5, Paulo-USP
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP
FRANCISCO XAVrER SEVEGNANl
Licenciado c Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica -PUCSP
Mestre em Física pela PUCSP c em Engenharia de Pnxiução pela UNIP
Doutor em Física pela PUCSP
Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP
Professor TItular da Pontifícia Universidade Cat61ica - PUCSP
Professor Adjunto da Faculdade de Engenharia Industrial. FEl
PEDRO AMÉRICO FRUC.oU
Bacharel em Física peJa Universidadc de S. Paulo-USP
Mestre cm Física do E<;tadoSólido pela Univcrsidade dc S. Paulo-USP
Professor TItular da Univcrsidadc Paulista - UNJP
ROBERTO GOlvlES PEREIRA FILHO
Licenciado em Física pela Univcrsidade dc S. Paulo-USP
ProfcsM)r Adjumo da Universidade P.mlista - lJNJP
Professor A<;sistcntc da Faculdade de Engenharia Indll<;trial - FEl
PÓs-Graduação cm Engenharia dc Produção - UNIP
Mestmndo em Engcnharia..de Produção
versão :2
2009/1
dúvidas sobre dcscn\'olvimt.~ntos c/ou rcsposta.'\. contactar através de:
bra"i lio .brit(l@enlail.com
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••I:
, .
••••••••••••••••••••••••••••••
ÍNDICE
MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
1.1 Introdução
1.2 A classificação dos mOl';lIleIlJos
1.3 "'01';111'''/0 de Translação
I,IRm';IOI
MOVIMENIO DI,' RO'DIÇÃO COM EIXO FIXO
2. I Introdução
2.2 ~todl1le1l1o de Rolação com eil:o rLXO
2.3 Vetor Posição
2,4 Vetor Velocidade
2.5 ~etor Velocidade ,Ingular
2.5.1 ,i norma do Vetor Ve/ocidal/e Angular
2.5.2 A direção do Vetor Velocidode Angular
2.5.3 O sentido do Vetor Velocidade Angular
2.5.4 Cakulando o Produto Vetorial
2.6 VellJrAceleração
2.7 Exercícios Resolvidos
2.8 Exercícios I'ropos(os
'DIREI',102
MOVIMENTO PLANO
3.1 Introdução
3.2 Velor Posição
3.3 Vetor Velocidade
3.4 Vetor Aceleração
3.5 Cf R - Centro Install/âneo de Rotaçâo
3.5.1 Exemplos de aplicações de CIR
3.6 ExercíciO!;Resolvidos
3.7 Exercícios Propostos
TAREM 03
OI
OI
OI
5à8
09
09
/O
JJ
J.l
14
J4
J4
15
17
20à 35
36à 46
47 à 50
51
52
53
54
56
57 à 63
64à 89
90à 104
/05 à /08
••••••••••
• 1.'••••••••••••••••••••••• •
••••••••••••I.
••••••••••••••••••••••
CAPíTULO 1
MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO
1.1 Introdução
A Cinemátiea destina-se a descrever movimel1los, sejam de um
ponto material ou de um sólido, sem el1lretal1lOpreocupar-se com as
causas dos mesmos, o que será objeto de estudo da Dinâmica. Um
sólido, ou corpo rígido, embora seja uma abstração da realidade, é
muito útil pois facilita o estudo da Cinemátiea c da Dinâmica .
Considera-se como sólido, um corpo que não sofre deformaçõcs,
independentemente das forças a ele aplicadas. Formalmente, define-
se que: a distância entre quaisquer dois pontos de um sólido é
itlvariante.
1.2 Aclassificaçãodos movimentos
Os movimel1los de um sólido podem ser classificados em:
Movimento de Translação, Movimento de Rotação eom Eixo Fixo,
Movimento Plano e Movimento Geral.
1.3 MovimentodeTranslação
No movimento de translação, um segmento definido por dois pontos
do sólido, não muda de direção. Considerem-se dois pontos P c Q,
de uma placa retangular, figura Fig.l.l, que se mova em translação.
A descrição do movimento destes pontos, é feita através das
seguintes grandezas vetoriais: vetor posição, vetor velocidade e
2
(?-O)+{Q-?)=(Q-O) eq.1.1
r;-(Q-P)=rQ
•••••••••••. '•••••••••••••••••••.'•••
- ~ d - d (Q O)vQ=rQ=-rQ=- -dI dI
identificando os termos na equação eq. 1.1, obtém-se a seguinte
relação entre os vetores posição, dos pontos P e Q:
vetor aceleração.
A figura Fig. 1.1, ilustra os vetor posição de cada um dos pontos P e
Q, quc podem ser expressos por:
r=P-Op
A figura Fig. 1.2, ilustra a relação entre os vetores posição através
da soma vetorial dos mesmos. Expressando tal soma vetorial, tem-
se:
derivando a equação eq.l.l, em relação ao tempo, tem-se:
d d d-(P-O)+-(Q- ?)=-(Q-O)
dI dI dI
Os vetores velocidade dos pontos P e Q, são obtidos através das
derivadas temporais, dos vetores posição, a saber:
3
derivando a eq. 1.2 tem-se:
d d-(P-O)=-(Q-O)
dI dI
_ .:. d_
a =v =-v
Q Q dI Q
desta forma tem-se:
d
dl(Q-P)=O ouseJ3:
d _ d_
-v =-v
dI P dI Q
Nota: neste tipo de mov;mellto. basta estudar o
movimento de um único ponto do só/ido, pois,
conhecendo a velocidade e aceleração do mesmo, serão
conhecidas as velocidades e acelerações de todos os
pOlitos do sólido .
Os vetores aceleração dos pontos P e Q, são obtidos através das
derivadas da~ velocidades dos mesmos, em relação ao tempo, ou
seja:
...:V;; ..~.~.. eq. 1.2
identificando os termos como sendo as velocidades dos pontos P e
Q, resulta:
o vetor (Q - P) possui as seguintes propriedades:
• seu módulo ou norma é constante, pois os pontos P e Q são
pontos de um sólido, c a distância entre os mesmos é invariante;
• sua direção é constante porque o sólido está em movimento de
Translação;
~"'Ô"W0:.~'«O:<.":<'''<<<<'''»>:'.Y'-}:'.''''';'''':<N''.''Ô>:<''''<<<<<'':<.w",,,-}"'.>:<."""",W-}Y.NY..'''''''.'''''<.''''':<''':<.''''''''Y..y,.:.: •..,.,,.~:<.,.''''''w.''':C''''''''''.'''''.'.''.''''.''''.'''.''''-:-:Wf:
o;. Resumindo: ;,. :;;
t "todos os pontos de um sólido em translação, apresentam ;! veloeidades e aceleraçõcs IGUAIS" ;
~::.x,<V',;V",y',-;.:-}y',«-:.>;,.:-;ô,..";'>:.,.y'ô»;«~ ••• q.-:-o«v»~"':';':';.:'''''':«'«'':-:-:Ôy..:-:,.;.;.;.:.;,.;.:,.,:<.;.;.;.:'k:<.;.:«'.,.:N.:.,"'.:HXV;'.;«.y,,':.:.w,<,,;,ô;,;-:-:<->:';ô:N:-:-:< .•)
•••••••••I.I.
••••••••••••••••••••••••
Fig.1:3
A título de exemplos de movimentos, apresentam-se:
• a figura 1.3 ilustra movimento de translação curvilínea, onde o
homem ilustrado descreve trajetória curvilínea mas não gira
sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral permanece sempre
vertical;
• a figura 1.4 ilustra movimento de rotação em torno de eixo fixo,
onde o homem ilustrado descreve trajetória curvilínea e gira
sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral muda de direção
pennanentemente:
Fig.1A
4
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••I.'.,I.
: .•••••••••••••••••
TAREFA01-a
Nomc R.A.: _
Considerando o que foi aprendido no último capítulo, pedem-se:
a) citc três propriedades do movimento dc translação;
b) dê cxemplos de movimentos dc translação, encontrados no
cotidiano .
5
6
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••I.'.'.' .
•••••••••••••••••
' .•••••
TAREFA 01 - b
Nome R.A.:--------------- -----
Em algumas regiões. o proccsso dc retirada d'água de um poço. é
feito com a ajuda de um dispositivo como ilustrado. Com esta
considerações, pcdem-se:
a) classificar o movimento do balde:
b) classificar o movimento do contrapeso:
c) classificar o movimento do "pau de carga".
~.17
, :.:
o,"
.;:;/
7
•••••••••••••••••••••••••••••••
• 1-I.1
:j
•••••••••••••••••I:
I.
, .•••••'.'.••••'.••I.
CAPíTULO 2
MOVIMENTO DE ROTAÇÃO COM EIXO FIXO
2.1 Introdução
Emoora o nome possa sugerir que este tipo de movimento seja
muito particular. ele é encontrado na prática, em quantidades
significativa" além de scr didaticamente útil numa primeira
aoordagcm .
2.2 Movimento de Rotação com eixo fixo
No movimento derotação em torno de eixo fixo, todos os pontos do
sólido descrevem trajetórias circulares pertencentes a planos
ortogonais ao eixo de rotação e eom centro de sobre o mesmo.
A placa ilustrada na figura Fig. 2.1, gira em tomo do eixo AB,
x,.
/: /', I
/'.r//~, 1/ :>,
1._ ••1' \: 0,5
Fig>2.1; :~~---_. \ i I
0,4- ----.~~J.
~B
enquanto o ponto P, descreve trajetória circular com raio R.
Como todos os pontos do sólido descrevem movimentos do mesmo
9
10
••••••••••••••••.1
.1••••••••••••••••••
•
A:..-O,~~:-y"I~~<''\
0,5 :
zl :
2.3 Vetor Posição
Na figura figo 2.3, ilustra-se o vetor posição do ponto P para o
instante (t + dt), tomando o ponto A como referência, ou seja:
,.p=(P-A )=(P (r+tl r) -A)
Ressalte-se que com o movimento do ponto P, seu vetor posição,
embora mantenha norma constante, Illuda de direção continuamente.
Assim, em eada instante haverá um vetor posição diferente.
No instante t o vetor posição será:
,.p=(P(r)-A);
no instante t + dt, o vetor posição será:
r;=(p(r+tlr)-A) .
P(t+llt), /;2,\;.-R/ lla llS: !~
y ~R,.. p. (I) i 1-/:':L :
I I // ..~ Il--:--/ .\. :O 5
, \ "
' .. ' , :. .." : I
F;jg,2.2 :"~'O- .4 \.~,
• "Vi J_
"',8
O ponto P, move-se ao longo de sua trajetória circular, dc raio R, e
no intervalo de tempo dt. irá percorrer um arco de comprimento dS,
que corresponde ao ângulo de.
tipo, o estudo do movimento do ponto P pode ser estendido a todos
os outros pontos do sólido. Desta forma, considere-se que o foco do
estudo seja o ponto P, e assim pode-se esquecer a placa, como
•••••••••••••••I.
••••••••••••••••••
,.•
Seja (jlo ângulo entre o vetor posição no instante (I +!ll) , e o eixo
AS; nessas condições pode-se afirmar que:
calelo onosto Rsencp- r - ~ I
hipotenusa II(P(t+!lt)-A)11 eq.~.
Da definição de RADIANO tem-se:
.18 _ (comprimeto do arco)- . eq.2.2 .
ralO
•, 03-YA"- '.---..-
'i !
0,5 :
zl :....'
Resumindo: o ponto P percorre o arco .1.S, varre o ângulo .1.e, e
percorre o deslocamento !l r , no intervalo de tempo entre I e
(I + .1.t). como ilustrado na figura 2.3 .
2.4 Vetor Velocidade
O velor velocidade média, do ponto Pé:_ .1,
vmed = .1 t eq.2.3 .
O ângulo varrido !lO , segundo eg. 2.2 é:
A8=.1S 2
D Reg . .4
II
Considerando o limite quando dttende a zero tem-se:
1. 11.11'11=.1 S
2. .1 r-+d r
3. .1 S-+d S
4. .1 r toma - se tangente à trajetória
(a figura Fig. 2.4, ilustra a condição em que .1 t ",O )
Sendo i o versor tangente a trajetória, pode-se expressar o vetor
deslocamento para (.1 t -+ O) como:
dI' =dS" eq.2.5;
da eq. 2.4 tem-se:
.1S=.1e.R;
que no limite para (.1t-+O) toma-se:
A :...--O,~~,:"y
A .
'1~
I :'\: \.. ,h0,5 :':;" -,
I . /)
zIl-----f\-c~./).e~~;~ X..J Y' o '-, J -- ••.
. R. /).r :'
/ : //.~\P o • Ii:,//)\ :1
{ ..... ;.-/ o." . O 5
- , ,\ I
:", : l'Fjg~2~4 :......... \0,,:
•• o. •• ." --......... • _ •••• .~.
0,4 ... ~---------------~:B
no limite quando (.1t -+0), a equação eq. 2.3, expressa a
velocidade instantânea, ou seja:
12
•••••••••••.1•••••••••••••••••••••••
13
2.5 Vetor Velocidade Angular
O Vetor Velocidade Angular tem características que atendem ao
propósito de substituir o cálculo da derivada do vetor posição. por
obtendo o raio R da eq. 2.1, tem-se:
R= senep'II(P- Alll
rescrevendo a equação eq. 2.7, tem-se:
v=w'senep,II(P-A)II.i eq.2.8
Pode-se chegar à velocidade do ponto P. através de um produto
vetorial entre o vetor posição (aquele se derivou em relação ao
tempo l, e um vetor especial denominado de vetor velocidade
angular W. Na verdade está se propondo uma troca: da derivada
do vetor posição (P - A) ,pelo produto vetorial W 1\( P - A) .
r p=(P-A)
v =w .sen ep .IH P - A )11-1
Resumindo:
o vetor posição do ponto Pé:
o vetor velocidade do ponto Pé:
_ .• dr
v=r=-'
d t '
substituindo d r, como expresso na eq. 2.5 tem-se:
_ d s.i
v=--'
dt '
substituindo d S, como expresso na eq. 2.6 tem-se:
_ de.R.i _ de -
I' - ou de outra forma' v=_. R. t .d t . d t .
Sendo a, a posição angular, sua derivada em relação ao tempo é
denominada de velocidade angular, e é usualmente expressa por w
, desta forma:
dew=_.
d t '
finalmente ..o~~torvelocidade do ponto Pé:
YE;ig'&t eq. 2.7:
••••••••••••••-l-
I.•le
I.eI-
le
I--•--e•••-e••
um produto vetorial entre vetores conhecidos. Note-se que
usualmente, o vetor posição (P - A) , não se apresenta em função
do tempo, o que se não impede dificulta muito o cálculo de sua
derivada.
O vetor velocidade angular pode ser aplicado para calcular a
velocidade de qualquer ponto o sólido, ou seja não é uma grandeza
ligada a um ponto específico mas sim ao sólido.
2.5.1 A norma do Vetor Velocidade Angular
Sendo e a posição angular do ponto P, a velocidade angular (escalar)
do mesmo pode ser expressa por:
de
w=dT'
No/e-se que todos os pOlltos do s6lido po.<Suem
des!ocoIJIl'1110S angulares iguais; por l'xl'mpln: se num
iuren'alo d,' tempo qualquer, 111/1 pOllto do s6lido
desloco-se de JO', todos os pOlitos do s6lido deslocam-
se igualmente no mesmo inten'a/o de tempo. Assim a
velocidade angular, é igual para lOdos os POlltos do
sólido, {}que a tnma uma cararerÍSrica dn solido.
Por definição, o módulo (ou norma) do vetor velocidade angular é:
Ilt,l=w=~~ _
2.5.2 A direção do Vetor Velocidade Angular
A definição da direção do vetor velocidade angular, é feila com o
objctivo de atender à simplificação do cálculo da velocidade como
já citado, entretanto, não é intuitiva c causa certo desconforto.
A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano do
movimento do ponto P, a saber: possui a direção do eixo de rotação
do sólido.
2.5.3 O sentido do Vetor Velocidade Angular
O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão
direita, A figura Fig. 2.5, ilustra o movimento estudado até aqui, no
qual o ponto P desloca-se no sentido anti. horário. Acompanhando o
14
•••••••••••.1••••••••••••••••••••••••
••••••••••••-I-•'.••••-•••-•••••••••••
sentido do movimento do ponto P, ao longo de sua trajetória
circular, com quatro dedos da mão direita e com a exceção do
polegar, este último indicará o sentido do Vetor Velocidade Angular,
I
Po-r
0,5
fig.r2.5 :.......'. I
,..•------- '.-.-. .
0,4 ~--"".,--..:; B
2.5.4 A forma vetorial do Vetor Velocidade Angular
Seja ê o versor na direção do vetor (A - Bl. a saber:
A (A-B)
e=----tl(A-B)11
O vetor velocidade angular é expresso por:
_ A w'(A-B)
w=w'e=II(A- B)II eq.2.9:
2.5.5 Calculando o Produto Vetorial
Produto vetorial de interesse que expressa a velocidade do ponto P
é:
v=w/\(P-A) .
Substituindo o vetor velocidade angular, pelo produto de sua norma
pelo versor do eixo, conforme a equação eq. 2.9. tem-se:
__ ( ) (A-B) ( )
v=w/\ P-A =W'II(A_B)'( P-A ;
15
ou representando o versor do eixo por ê :
V=WA( P-A)=w.ê A( P-A)
a norma do produto vetorial é:
IlwA( P-A )\I=llwlI.ll( P-A )1I'sen cp
a direção do produto vetorial é ortogonal a ambos os vetores que
participam do produto vetorial, ou seja, simultaneamente ortogonal
aos vetores W c (P - A); desta forma é ortogonal ao triângulo
formado pelo eixo, pelo vetor (P - A), e pelo raio indicado na figura
ou de outra forma, pode-se perceber que a direção do produto
vetorial é tangen!e à trajetória do ponto P, ou seja, tem a direção do
versor tangente t ;
Finalizando, pode-se afirmar que o produto vetorial calculado,
forneee o mesmo resultado que a derivada do vetor posição, e
sempre que necessário pode-se trocar uma operação por outra.
Recuperando a~equações:
_ ~ dr d(P-A)v=r - -
P dt dt
16
•:1.1.1
.1.1
.1.'•••••••••••••••••••••••••••
17
conclui-se que:
2.6 Vetor Aceleração
o resultado expresso pela equação eq. 2.10. é collhecido
como Teorema de Poi.",oll. ele fornece a derivada de um
I'etor, com nonna comlanle.e que muda sua direção
com velocidade angular W
substituindo o vetor velocidade angular com expresso na equação
cq. 2.9. tem-se:
d W d(w.ê)
---- eq.2.13
dI dI
ou seja:
a-=d WA(P-A)+w- A d(P-A) 2 2dI " "dI eq .. 1
recordando a derivada do produto de funções. tem-se:
(f.g)'=/'g+ f'g
V =w.sen cp.lI( P - A)IJ-i
WA( P- A)=w.ll(p- A)II'senCP.f
,
dl-
substituindo o vetor velocidade como expresso na equação eq. 2.10 .
tem-se:
_ ~ dv d(wl\(P-A))a=v=-- eq.2.11
dI dI
o vetor aceleração é obtido (definido) pela derivada do vetor
velocidade. Mas o impasse da derivada de um vetor. cuja a equação
em função do tempo não é conhecida. continua. Assim derivando a
eq. 2.10 tem-se:
_ ~ dv d(P-A)a=v- -
dI
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
derivando o produto ...
d w_d(w.ê)_d w 'ê+w.d ê .2.14
dt dt dt dt cq
o versor ê é constante, pois como é um versor possui norma
(unitária), além disto tem a direção do eixo fixo, que não muda;
desta forma:
dê
dt = zero
a derivada da velocidade angular w, fornece a aceleração angular.
que normalmente é representado por a, a~sim:
dw--=a
dt
rescrevendo a eq. 2.14 ...
dw ,--=a'e +<:ero
dt
Note-se que a derivada temporal do vetor velocidade angular é o
vetor aceleração angular, ou seja:
_ dÜJ ,
a=--;;(=a.e eq.2.15;
no caso específico de movimento de rotação com eixo fixo, pode-se
afirmar que o vetor aceleração angular possui as seguintes
características:
dw
• norma a=--.
dt '
• direção igual ao do eixo de rotação.
No I1UJvimelllo plano, embora () eixo filio ,\'ejll fixo, ()
mesmo l1UJtltem sua direrlio (} que garallte lIS dUlls
propriedades llJlteriores. No nUJl'imenlO geral. (l última
caracterút;ca "tio ,fie manterá, pois II direçiio do {';X(J
pode e"/ar mudando.
substituindo a eq. 2.15 na eq. 2.12 ...
- - (P A) - d(P-A)a=a./\ - +wA---- cq.2.16;
dt
da eq. 2.10 [Teorema de Poissonl, tem-se:
18
••••••••••••••••••••••••••••-I•-•-•-
•••••••I.•'.'.••••••••••••••••••••••••
v= d (P-A) -wl\(P-A)
dt
finalmente rescrevendo a equação 2.16, tem-se:
a=iil\(P-A)+WI\(WI\(P-A)) eq.2.17
o lemUJ ã 1\ (P - A) é conhecido como aceleração
tangencial. pois possui direção langellleà lrajel6ria;
o lemlO WI\(WI\( P-A)) é conhecido como
aceleração normal (011 celllr(pela),pois po.uui direção
nonnnl, que é a direção do raio da lrajel6ria e aponta
para o centro de curvatura da mesma .
t0:<':«';";';'~,-};':<':-:N:';":W#..:.;-:-»;.:.;.:<~<~~.;.:.y':';''''h>:N:W.<''''..;.;.:<<<-:.,....:.;.>.-.;.:<'l'.w..;.,,.,....;<.w,.;v:.:<.M .•.k:.:N:~,..#.-:v;.:.:.xW..:0:' __ *'..:->:<<<<-;.;.ç.;.m:.;.;.:,.:-;.,,;-:.;.:>,
I', Resumindo: Ij NA ROTAÇÃO COM EIXO FIXO I
!I. todos os pontos, apresentam trajetórias circulares; !
j 2. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta i
! tem a direção do eixo de rotação: !
j - de A • 'I'i w=-.e=w.e ,
i dt .13. todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular; e esta !
! tem a direção do eixo de rotação; i
j _ dw. A !
'lX=d(.e=lX.e I
i4. o vetor velocidade (instantânea) do ponto P, é dada por: í
i - .. d(P-A) - (P A) j: v=rp= dI -wl\ - !
I,5. o vetor aceler~çã~ do}onto P. é da~ po~ I: a=v=lXl\(P-A)+wl\(wl\(P-A)) i
i i
l __ ~"'_~'<'N':<.;.:<?;««""'««v:«««<.o:'~_»m:«>#":Y:V»:":'N»:«~~l'i'x.;.~m.__*,_..:.:<_m;.;l
19
2.7 Exercícios Resolvidos
2.0 I - O sistema ilustrado, composto por placas soldadas ao eixo
fixo AB, gira em tomo deste, com velocidade angular (j) = 5 radls,
que eresce a taxa de 4 radls2. No instante ilustrado, o ponto E está
descendo. Pedem-se:
a) o vetor velocidade angular;
b) o vetor aceleração angular;
c) a velocidade do ponto O;
Obtendo o vetor velocidade angular ....
• a direção é a do eixo, portanto definida pclos pontos A e B:
• o scntido é dado pela regra da mão direita; a figura Fig. 2.8
ilustra a mão direita cujos dedos (com exccssâo do polegar)
acompanham o ponto E em sua trajetória desccndente; isso
permite concluir que o vetor velocidade angular aponta de B para
A:
• a norma foi dada no enunciado;
as expressões ....
••••••••••••. '•••••••••••••••••••••••
21
as coordenada~ dos pontos de interesse ...
A (A-B)e- II(A-B)II
x y z
A 0,000 0,203 0,000
B 0,000 0,000 0,152
O 0,178 0,000 0,000
w=w.ê
Calculando ...
(A - B)=(O,OOO-o,ooo)-i +
+(0,203-0,000). )+(0,OOO-0,l52).k
(A - B)=o,ooo.i +0,203. ] -O, 152.k
II(A - B)II=~ 0,0002 +0,2032 +( -0,152)2 =0,254
A (A-B) 0,OOO.i+O,203.j-O,l5z.k
e-II(A_B)II 0,254
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
Obtendo o vetor aceleração angular ...
obtendo o Vctor Velocidade do ponto D...
• tem norma igual a derivada da velocidade angular;
• tem a direção do eixo de rotação;
• tem sentido igual ao do vetor velocidade angular se esta estiver
crescendo e oposto em caso contrário;
•••-•••-••••••••••-••-I•:1•-I•--••••••22
w=0,000.1+4,002. ]-2,997.kii=wl\(D-A)
as expressões ...
• o ponto de referência deve respeitar as expressões dcduzidas, ou
seja, deve pertencer ao eixo de rotação; desta forma, existem
duas escolhas: o ponto A ou o ponto B; ambas dcvcrão forneccr
os mesmos resultados;
• por escolha arbitrária, adota-se o ponto A;
- dw - dw 4 - - -a=d/.e d/=+ ê=O,OOO.;+0,800' j-0,599'k
ã=0,000'1+3,202.j-2,397'k radis' ~
1;-'
do cnunciado: velocidade angular w = 5 radls, que cresce a taxa
de 4 radls2, pode-se garantir que:
dwa=-=+4
dI
as expressões ...
ê =0,000' i+0,800'] - 0,599'k
w=w.ê =5.(0,000. i+0,800' ] -0,599.;;)
finalmente:
w=O,OOO. I+4,002'] -2,997. kradis
I
1
23
1',.= (4,002 X 0,000 - (- 2,997) X (- 0,203)] = -0,608
v y=-[ (0,000 XO,OOO)-(- 2,997) XO,178]=-0,533
I i'" ..'. k :.]:.. ] .Í' = 0,000 4,002 - 2,9970.178 -0,203 0,000'
k
-2,997
0,000[
A A. .
I J
10= 0.000 4.002
0,178 -0,203
[
i ti).!.".rk] .
v= O,0004',Õó"i' - 2,997 .
0,178 ;-0,203 0,000
(D - A)=( 0,178-0,000)'1 +(0,000 -0,203)') +
+ (0,000 - 0,000)' k
(D - A)=0,178.1 -0,203.) +O,OOO.k
v =(0,000' 1+4,002'} - 2,997-k)A
A(0.178.1 -0.203. J +O,OOO'k)
montando o determinante ....
resolvendo pelo método de Laplace: a componente numa direção, é
ohtida calculando o menor determinante, após eliminar linha e
coluna que a contêm:
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
v=-0,608.!-0,533' ]-O,7IÚ
v=-0,608'!-0,533' )-0,7IÚ m/s
24
..•1;1,1~1,;.:,i.II;!.I. rri'.' f ..j
li /\ ([) - A)= 0.000 '3,202 - 2,397
0.178 '-0,203 0,000.
' - - ;...-';
v _=10,000>« -0,203)- 2.997xO,178]=-0,712
oo=o,ooo.j +4,002.)- 2,997.k
ii=0,000.i+3,202. )-2,397.k
(D - A)=0,178.i -0,203'] +0,000',(
ã=iX/\(D- A)+ÜJ/\~-A))
note-se que: V
[iX /\ (D - A)] =[ 3,202 XO,OOO~((- 2,397)X (-0,203))] =x
=-0,487
daqui por diante só há trabalho braçal para calcular os produtos
vetoriais necessários ...
Obtendo o Vetor Aceleração do ponto D...
as expressões ...
de onde:
•••••••••••••••••. '••••
• 1•••••••••••ai•---------------------------
25
repetindo o processo de Lapace, detalhado anteriormente, tem-se:
-/997]
-0,712
j
4,002
-0,533
â=-4,934.j + 1,395.j +3,003'k m/s2
WA(wA( D- A))=-4,447.i + 1,822, }+2,433'k eq.2.19
WA(WA(D-A))=[ O,~OO
-0,608
[ãA(D-A )]y=-[ O,OOOXO,OOO-((-2,397)XO,178)]=
=-0,427
oA (D-A )~ff~!j~£~i:f!]'
:'.:.:.';.:.::;;:.'.:.:;:'-
[ã A(D-A)] =[ 0,000x(-0,203)-(3,202XO,178) 1=z
=-0,570
(iA (D-A )=-0,487.7 -0,427.) -0,570.k eq.2.18
WA(WA(D-A))=WA(V)
somando-se as equações eq. 2.18 e eq. 2.19, obtêm-se o vetor
aceleração:
••••••••••••••••••••••••I.
I-•I.
I.•••••••
26
do enunciado o movimento tem aceleração constante, assim:
da equação da velocidade angular, pode-se tirar a variável tempo:
••••••••••••••••••••••••••••••••••.'•
w-w
1_ O
[(
e
. de
w=8=-
dI
. dw .. d8
[(=w=--=8=-
dI dI"
W=[('I+W
O
=>
[( o[(=cre->w=[('I+w ->e=-'I-+w '1+8
O 2 O li
substituindo na equação da posiçãoem função do tempo, tem-se:
posição angular:
velocidade angular:
Relembrando ....
esta últimas equações são as equações do mo\'imenlo
uniformemenle acelerado:
2.02 - O rotor de um motor elétrico tem frequência de 1800 rpm
quando é desligado. O rolOr pára após executar 625 voltas. Supondo
movimento uniformemente retardado, pedem-se:
a) a aceleração angular do rotor:
b) o tempo total do movimento. __
~
< ..-:>.;:;; ...:.>-
,",":--W.>:'V'" .... ,l" .....•..; ..'
.,~;
aceleração angular:
••••••••••••••••••••••••••••
' .••••••
1 2 Wo8-8 =-[w-w 1 +-.[w-w ]o Z.a o a O
").w1 ~ - O8-8 =-[w-w ]-+-'[w-w ]O Z.a O Z.a O
[8-8 J.(Z.a)=[w-w f+z.w .[w-w JO O O O
[8-8 J.(Z.a)=w2+w2_Z.(w'w )+Z.W .[w-w JO O O O O
1 2 ~ 218-8 .(Z.a)=w+w--Z.w'w +Z.w 'w-Z.wo o o O O
2 ~[8-8 J.(Z.a)=w -w-
O O
E.,la última equação é conhecida COIIUl Equação de
Torricelli;
27
voltando a solução:
o ângulo percorrido até a parada é:
impondo a equação de Torricelli, ao instante em que o rotor pára:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
oo=()(.t+ooo
0=-4,52.t+ 188,50
t=41,67 s
02=35.532,25+ 7.853,98'()(
02 = 188,502+ 7.853,98.()(
000= f .2'rr= 1.8()().2'rr= 11.309,73 rad/min
frequência: f = 1.800 rpm
1.8()().2'rr
000 60 = 188,50 rad/s
velocidade angular inicial: 000= f' 2. rr
.1B=B-Bo=625.2'rr=3.926,99 rad
4"c
G7L()(= -4,52 rad/s' <:j~)J;"
"1;[
retomando a equação da velocidade, e impondo o instante da parada.
tem-se:
2.03
Na figura Fig. 2.\0, o disco B inicialmcnte em repouso, é posto em
contato com o disco A que gira inicialmentc, no sentido horário
28
120 mm
tmando-se a unidade de tempo ...
BOmm
Fig.2.10
radwA' .= f ...2.rr=450.2.rr=2827,43-.UH lnl mln
140 rad
W =f .2.rr=-.2.rr=14,66-
A fi" fi" 60 s
W .. =2827,43 ra~ =2827,43 rad =47,12 rad
A 1111 mm 60s s
com frequência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento
entre as superfícies, durante 6 s durante os quais, os discos
apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes.
Ao término do escorregamcnto, o disco A, apresenta frcquência
constante de 140 rpm. Pedem-se:
a) as acelerações angulares de cada disco;
b) a velocidade final dos pontos de contato .
Determinando as velocidades angulares inicial e final do disco A:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Note-se que o raio do di,tcn A é RIl = 80 l1U1l ou em
metros: R, = 0,080 m
1°_dcsacelera uniformemente de 450 rpm até 140 rpm em 6s;
2°- mantém movimento uniforme com 140 rpm.
Estudando o 2" movimento do disco B, pois é a única forma de se
obter a velocidade angular final do mesmo:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m
vI' = 14,66xO,OSO=I,I7-
A S
.lO
W=CH+WO
wA fi =oc.6+wA ..m 1111
14,66=ocA'6+47,12
radocA=-5,412s
após 6 s de escorregarnento, as velocidades dos pontos dc contato
dos discos igualam-se, ou seja:
Estudando o 2° movimento, do disco A:
o disco B possui também dois movimcntos:
1"- parte do repouso e acelera uniformemente por 6s:
2°- mantém movimento uniforme.
Estudando o 1°movimcnto, do disco A:
de eq. 2.7 pode-se afirmar que:
"os pontos da borda do disco A, de raio RA, giram com velocidade
final exprcssa por: v =w A fi'" R A "
o disco A possui dois movimentos:
~.
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
"a velocidade (tangencial) do ponto de contato lPR] do disco B ,
iguala-se à velocidade (tangencial) do ponto de contato [PA]do disco
A"
Fig.2.12
120 mm
BOmm
111
vp =1'[' =1,17-
8 A S
da eq. 2.7 tem-se:
1,17=wB fi '0,120111
radwB fi =9,75-i1J s
considerando-se o 1°movimento do disco B:
. 975 rad"parte do repouso c atinge a velocIdade angular wB fi =, -m S
em 6 s"
31
w=()(.t+wo
WBji =()('6+wB" "In I1U
9,75 =()( B'6+O
Um ponto do fio que sustenta o bloco, tem de apresentar o mesmo
deslocamento que o bloco; como o fio não escorrega em relação à
polia, esse ponto terá velocidade igual à velocidade de um ponto da
borda da polia:
v=w.R
Embora desnecessário, a dedução da expressão anterior será refeita
32
2.04
Numa polia dupla, com raios R, = 0,05 m e R2 = 0,03 m , ligados
por fios inextensíveis, estão suspensos dois blocos A c B, conforme
Fig. 2. 12. Os fios não escorregam em relação à polia. O bloco A,
parte no instante t = O, com aceleração constante aA= O, 10 m/s2 c
velocidade inicial VA"= 0,15 m/s, ambas com o sentido de baixo
para cima. No instante t = 3 s, pedem-se:
a) o número de voltas dadas pela polia e a velocidade do corpo A;
b) o percurso, a velocidade e a aceleração do bloco B.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
rad()(=163-B ' 2s
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
aqui, desta forma, considere-se um ponto da polia que descreve
trajetória circular com raio R; seja S, o comprimento do arco de
circunferência, que este ponto percorre, quando a polia gira de um
ângulo 8:
segundo a definição de radianos, telll-se:
Se=- eq 2 ?O'R .. - .
sendo (J) a velocidade angular, e O a posição angular da polia, tem-
se:
. dew=B =_ .
dI '
sendo v a velocidade linear e S a posição linear do ponto da polia,
tem-se:
. d S
1'=5=-- .dI .
Dcrivando a equação eq. 2.20, em relação ao tempo:
v=w.R eq.2.21
o bloco A tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia
com raio R" ou seja:
vA=w'R2
o bloco B tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia
com raio R••ou seja:
vB=w'R}
Sendo a a aceleração angular e (J) a velocidade angular da polia,
tem-se:
()(=w=dw .
dI '
sendo a a aceleração linear e v a velocidade linear do ponto da borda
33
no instante t = 3 s, a velocidade do bloco A é:
da polia, tem-se:
. dva=v=-'
dI '
Derivando a equação eq. 2.21. em relação ao tempo, tem-se:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
a=a.R eq.2.22
-5 radwO-' s
rada=3,33-,
s-
0,15
wO=003 ->,
dv d-=-(w.R)
dI dI
equacionando o movimento da polia ...
a aceleração angular:
a A 0,10a=- -+ (X=-- ->
R
2
0,03
a velocidade angular inicial:
OvAwo='R ->
2
a velocidade angular final:
o
vA=vA+aA'1
vA =0,15+0,10.3
mv =045-
A ' s
o bloco A tcm aceleração igual ao de um ponto da borda da polia
com raio R2, ou seja:
v =a.R
A 2
o bloco B tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia
com raio RI, ou seja:
V B=a' R I
a B=3,33 .0,05
equacionando o movimento do bloco B ...
a aceleração (aR):
35
dS=O 25.3+ 0,17 .32 --> dS= 1,52m, 2
a velocidade inicial (v Rini) :
v~=lOO' R I --> v~=5 .0,05 --> v~=0,25:
a velocidade final (v H fiJ :
° mv IJ=VB+a B.t --> vB=0,25 +0, 17.3 --> v B=0,76-;
o percurso (.1 S) :
S =So+vo.t+ aB.t2 --> dS=S -So=vo.t+ aB.t2
BBB 2 BBB 2
lO=VA --> w=0,45 --> w=15rad
R2 0,03 s
aplicando a equação de Torricelli, para obter-se o ângulo varrido no
intervalo de tempo de 3 s, tem-se:
2 2lO =lOO+2'{1('d8
o o
15-=5- +2.3,33 ..1 8
d8=30,03rad
o número de voltas dadas pela polia, em 3 s, é:
.18/l.de voltas=- --> /l.de voltas=4,78
2'rr
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
2.8 Exercícios Propostos
2.05
O sistema ilustrado, composto por placas soldadas ao eixo fixo AS,
gira em tomo deste, com velocidade angular 5 rad/s, que cresce à
taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto C está subindo.
Pedem-se:
a) a velocidade do ponto C;
b) a aceleração do ponto C.
Fi ')2;13...9 .
- - - m(a) 2,30'i+2,30'j+ 1,60.k-
s
(b)-12 13.1+ II 25'J"+782-k~, , , ")
s~
2.06
O conjunto ilustrado, é constituído por um disco horizontal soldado
a um eixo fixo vertical, e gira no sentido anti-horário, a partir do
repouso, com aceleração angular constante a = 1 rad/s2. Um bloco
apoia-se no disco a 0,35m do eixo, e não escorregará em relação ao
mesmo até que sua aceleração total atinja 6,5 m/s2. Pedem-se:
a) a aceleração 1,0 s após o início do movimento do disco;
b) o instante em que o bloco deslizará.
36
••••••••••••••••••••••••••••••••••••37
A
(b) 4,31 s(a) -035.i-035.k~, , 2
s
z
y
B Fig:2;14
. '-:.o.
2.07
O sistema ilustrado, é composto por duas rodas A e B, de raios
iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos, e por um anel C,
encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno de 72 mm e
raio externo de 76 mm (espessura de 4 mm). Não ocorre
eseorregamento entre as superfícies em contato. A roda superior A,
gira com frcquência constante f = 400 r.p.m no sentido anti-horário .
Pedem-se:
a) a velocidade angular do anel C;
b) a velocidade angular da roda inferior B;
c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel.
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
la
(a) ry 5 ? rad 26.2.i: rad-2,5 rad I s- e ,- '2 (17 )
s s
(c) 10.057,0.] 111m (d) 263.391,8'; l1~n
s s-
2.08
Na figura em anexo, estão representadas duas engrenagens, A e B,
com eixos fixos, e com raios RA '" 800 e RB '" 384 mm,
respectivamente. A engrenagem A, parte do repouso, acelera
uniformemente no sentido horário, e atinge frequência de rotação
120 r.p.m. em 5 s, que mantêm daí por diante. Pedem-se:
a) a aceleração angular das engrenagens;
b) a velocidade angular final da engrenagem B;
c) a velocidade final, do ponto pertencente à engrenagem B, que faz
contato com a engrenagem A;
d) a aceleração do ponto citado na pergunta anterior, nas mesmas
condições.
•••••••••••••••••••••••••••••.1••••••
52.643,0' ] m~n
s~
x
(e)397 rad,
s
(b)(a) 16,5 rad
s
(e) -47.273,2'] m~l
s~
I:••••••••••••••••••••••••••'.••••••I•
2.09
O sistema ilustrado, é composto por uma placa de dimensõcs 0,20 x
0,40 m, soldada ao eixo fixo AB; no instante ilustrado, o sistema
gira em torno do eixo fixo com velocidade angular 15 rad/s, que
decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando observada do ponto B, a placa
gira no sentido anti-horário. Para o instante ilustrado, pedem-se:
ala velocidade do ponto C;
b) a aceleração do ponto C.
X
,lO
z •
(a) -O,62.i+l,23'k(m) (b) -7,3.i-18,9.]-4,4.k(m~)
s s~
2.10
As placas ilustradas em anexo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o
conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante
lJl = 5 rad/s; no instante ilustrado o ponto C está descendo. Pedem-
se:
a) o vetor velocidade angular;
b) a velocidade do ponto C, na forma vetorial;
c) a aceleração do ponto C, na forma vetoria!.
39
2.11
As placas ilustradas em anexo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o
conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante
CJ) = 5 radls; no instante ilustrado, o ponto C está descendo. Pedem-
se:
a) o vetor velocidade angular;
b) a velocidade do ponto E, na forma vetorial;
c) a aceleração do ponto E, na forma vetorial.
.1
•••••••••••••••••••••••••••••••••••
x
0,203
• • m
(b)vé=-O,53' j -O,71-k -
s
• • rad(a)w=4,O.j-3,O.k -
s
- 4 45 ~ma =- '1-C ' ~s.
(a )00=3,2'}-3,8. k (b) 1't-=-1,54' i -1,54. j-I,28. k m
s
_ '-. -m(e)a £=-10,0'/ +5,9, j-4,92.k"2
s
2.13
Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm estão em contato
sem escorregar. O disco A (inferior) parte do repouso e acelera de
forma uniforme com aceleração UA = 3 radfs2• Para o instante em
que a velocidade angular do disco A, atinge o valor WA = 20 rad/s,
pedem-se:
a) a aceleração angular do disco B;
41
2.12
Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R = 0,45 m,
gira com frcquência constante f, = 1800 rpm; quando se desliga o
motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10 s até parar; considerando
movimento uniformemente acelerado, pedem-se:
a) a aceleração angular ( u) da pedra;
b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra, quando a
frequência é f = 1800 rpm;
c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra, quando a
frcquência é f = 1800 rpm.
m(e)a p=15989,52s(a )a=-18,85 ':; (b)v p=84,83:
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
b) a velocidade angular do disco B;
c) a velocidade de um ponto da borda do disco B;
d) a aceleração de um ponto da borda do disco B.
Fíf2:21g .
m(c)vp=0,40- s
2.14
O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e acelera de forma
uniforme, atingindo a velocidade angular (O = 30 rad/s em 10 voltas.
Pedem-se:
a) a aceleração angular do disco;
b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais.
Fi:2.22,g , .
42
•••••••••••••••••~.
••••••••••••••••••
43
y
• • m () - 03' • 6 •m(a)v- =9.j-15.k- b aB=-I. 7.i-1.I70.j- 124.k2"
B s S
(b)Llt=4,19s( ) =7 16
rad
a ex , ..,
s~
2.15
A haste ASCO gira apoiada nas articulações A e O; no instante
ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s, que decresce à
taxa de 380 rad/s2, e o ponto C está subindo. Pedem-se:
a) a velocidade do ponto S, para o instante ilustrado;
b) a aceleração do ponto S, para o instante ilustrado .
2.16
O sistema de engrenagens ilustrado, deve suspender o bloco,
alçando-o por 6, 10m. A engrenagem A, parte do repouso, e
mantendo aceleração angular constante, atinge frequência de 120
rpm em 5 s, mantendo.a constante após atingi-Ia. Pedem-se:
a) o número de rotações da engrenagem;
b) o tempo gasto na operação .
•••••••••••••••••••••••
i •
••••••••••••
2.17
A polia ilustrada na figura figo 2.25, possui raio R = 0,32 m e é
acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender o bloco
A. Quando a polia apresenta frequência de rotação fll = 120 rpm, o
motor é desligado, mesmo assim, o bloco ainda sobe h = O,8m, antes
de parar. Pedem-se:
a) a aceleração angular da polia;
b) o tempo gasto até parar.
44
•••••••••••
• I
••••••••••••••••••••••••
A
(b).1t=10,15s
(b)t=O,4s
R
Fig.??~
DiIren~õcs
em mm
2(a)lX=3I,60radls
(a )n. de voltas A = 15,3
45
2.19
Uma polia dupla de raios R, = 1,5 m e R2 = 0,8 m, gira sob ação de
dois blocos A e B, conforme ilustrado na figo 2.27. O bloco A
apresenta aceleração aA= 4 m/s2, com velocidade inicial (em t=O),
v/' = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2s, pedem-se:
a) o número de voltas da polia;
b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco B;
c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais externa da
polia (R, = 1,5 m).
.....:::::::,,:,:':::::.:::~::::~:Iàt
rad
lX
B
=16,OO-z
s
e n. volrasB=63,7
rad
(a)lXA=5,33-z es
(b )n. voltasA = 21,2
2.18
A figura figo 2.26, ilustra uma correia que move-se entre duas polia~
A c B, de raios RA= 0,06 m c RB = 0,02 m respectivamente, sem que
ocorra escorregamento entre as superfícies em contato. A velocidade
da correia aumenta uniformemente, desde v, = 0,8 m/s até V2 = 2,4
m/s, em 5 s; Pedem-se:
a) a aceleração angular de cada polia;
b) o número de volta~ efetuadas por cada uma das polia~, nos 5 s.
!tí?',,':JP
Fig,;??p;
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
m
(b)vB=6,93-.; e .1SB=9,58m
w =3,75 rad (b)a =4,50 s":C s -
rad(a)w
8
=7,50-
s
- e
(e) ac;ntr. = 16,66 "~
s-
(a )n.devoltas= 1,91
2.20
As engrenagens ilustradas A, B e C, tem respectivamente raios RA =
0,24 m, RB = 0,16 m e Rc = 0,32 m e apresentam eixos fixos. A
engrenagem A, gira com velocidade angular constante <tJA = 5
rad/s, no sentido horário. Pedem-se:
a) as velocidades angulares das engrenagens B e C;
b) a aeeleração de um ponto periférico da engrenagem C.
'.-'
••••••••••••••••••••••••••••••••••••
TAREFA02-a
Nome R.A.: _
Um rebolo (pedra) de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R =
0,15 m, inicialmente em repouso, é posto em movimento através de
um motor elétrico, com movimento uniformemente acelerado;
nestas condições o rebolo gasta 45 s até atingir a frequência de
trabalho f" = 600 rpm. Num ponto P da borda do rebolo, há uma
trinca, e este vai desprender-se do mesmo, caso o módulo de sua
aceleração supere 250 m/s', pedem-se:
a) a aceleração angular ( a )da pedra;
b) a velocidade do ponto P da borda do rebolo, 5 s após o ligamento
do motor elétrico;
c) a aceleração do ponto P da borda do rebolo, 5 s após oligamento
do motor elétrico;
.\
jPonlo PH
1
i==r:2:259 X
47
( ) rada oc=I,40-2
s
(b)v p= 1,05m
s
48
•••••••
• 1
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TAREFA02-b
Nomc R.A.: _
As placas ilustradas em ancxo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o
conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante
(j) = 6,5 radls, sendo quc no instante ilustrado na figura, o ponto C
está subindo. Pcdcm-sc:
a) o velor velocidadc angular;
b) a velocidadc do ponto D, na forma vctorial;
c) a acclcração do ponto D, na forma vctorial.
49
(a )w=-3,78.] +5,29.k rad
s
(h)\' D=I,32.i+l,32']+O,94'k m
s
()
'A Am
c aD=-1O,56.i +6,99' j+5,OO'k, s~
••••••••••••••••••••••••••••••••••
• 1.1
	00000001
	00000002
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