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••••••••••••I. I • •••••••-••••I-••••••••• '"CfNEfv1ATfCA DOS '"SOLfD05 TEORIA EXERcíCIOS RESOLVIDOS EXERcíCIOS PROPOSTOS TAREFAS •••••:1 •• •••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••••••••••I. I. I • I. I • I • I •I: I.••l. AUTORES ARDUfNO FRANCESCO LAURICEllA Bacharel em Física pela Universidade de S. Paul~USP Mestre em Engenharia Mecânica -EPUSP Professor Adjunto da Universidade Paulista - UNIP Professor da F.aculdade de Engenharia Industrial - FEl BRASíUOCAMARGO DE BRITO RUIO Bacharel em Física pela Universidade de S. Paulo-USP ~fcstre em Física do Estado Sólido pela Universidade de 5, Paulo-USP Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP FRANCISCO XAVrER SEVEGNANl Licenciado c Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica -PUCSP Mestre em Física pela PUCSP c em Engenharia de Pnxiução pela UNIP Doutor em Física pela PUCSP Professor Titular da Universidade Paulista - UNIP Professor TItular da Pontifícia Universidade Cat61ica - PUCSP Professor Adjunto da Faculdade de Engenharia Industrial. FEl PEDRO AMÉRICO FRUC.oU Bacharel em Física peJa Universidadc de S. Paulo-USP Mestre cm Física do E<;tadoSólido pela Univcrsidade dc S. Paulo-USP Professor TItular da Univcrsidadc Paulista - UNJP ROBERTO GOlvlES PEREIRA FILHO Licenciado em Física pela Univcrsidade dc S. Paulo-USP ProfcsM)r Adjumo da Universidade P.mlista - lJNJP Professor A<;sistcntc da Faculdade de Engenharia Indll<;trial - FEl PÓs-Graduação cm Engenharia dc Produção - UNIP Mestmndo em Engcnharia..de Produção versão :2 2009/1 dúvidas sobre dcscn\'olvimt.~ntos c/ou rcsposta.'\. contactar através de: bra"i lio .brit(l@enlail.com •••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••I: , . •••••••••••••••••••••••••••••• ÍNDICE MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO 1.1 Introdução 1.2 A classificação dos mOl';lIleIlJos 1.3 "'01';111'''/0 de Translação I,IRm';IOI MOVIMENIO DI,' RO'DIÇÃO COM EIXO FIXO 2. I Introdução 2.2 ~todl1le1l1o de Rolação com eil:o rLXO 2.3 Vetor Posição 2,4 Vetor Velocidade 2.5 ~etor Velocidade ,Ingular 2.5.1 ,i norma do Vetor Ve/ocidal/e Angular 2.5.2 A direção do Vetor Velocidode Angular 2.5.3 O sentido do Vetor Velocidade Angular 2.5.4 Cakulando o Produto Vetorial 2.6 VellJrAceleração 2.7 Exercícios Resolvidos 2.8 Exercícios I'ropos(os 'DIREI',102 MOVIMENTO PLANO 3.1 Introdução 3.2 Velor Posição 3.3 Vetor Velocidade 3.4 Vetor Aceleração 3.5 Cf R - Centro Install/âneo de Rotaçâo 3.5.1 Exemplos de aplicações de CIR 3.6 ExercíciO!;Resolvidos 3.7 Exercícios Propostos TAREM 03 OI OI OI 5à8 09 09 /O JJ J.l 14 J4 J4 15 17 20à 35 36à 46 47 à 50 51 52 53 54 56 57 à 63 64à 89 90à 104 /05 à /08 •••••••••• • 1.'••••••••••••••••••••••• • ••••••••••••I. •••••••••••••••••••••• CAPíTULO 1 MOVIMENTO DE TRANSLAÇÃO 1.1 Introdução A Cinemátiea destina-se a descrever movimel1los, sejam de um ponto material ou de um sólido, sem el1lretal1lOpreocupar-se com as causas dos mesmos, o que será objeto de estudo da Dinâmica. Um sólido, ou corpo rígido, embora seja uma abstração da realidade, é muito útil pois facilita o estudo da Cinemátiea c da Dinâmica . Considera-se como sólido, um corpo que não sofre deformaçõcs, independentemente das forças a ele aplicadas. Formalmente, define- se que: a distância entre quaisquer dois pontos de um sólido é itlvariante. 1.2 Aclassificaçãodos movimentos Os movimel1los de um sólido podem ser classificados em: Movimento de Translação, Movimento de Rotação eom Eixo Fixo, Movimento Plano e Movimento Geral. 1.3 MovimentodeTranslação No movimento de translação, um segmento definido por dois pontos do sólido, não muda de direção. Considerem-se dois pontos P c Q, de uma placa retangular, figura Fig.l.l, que se mova em translação. A descrição do movimento destes pontos, é feita através das seguintes grandezas vetoriais: vetor posição, vetor velocidade e 2 (?-O)+{Q-?)=(Q-O) eq.1.1 r;-(Q-P)=rQ •••••••••••. '•••••••••••••••••••.'••• - ~ d - d (Q O)vQ=rQ=-rQ=- -dI dI identificando os termos na equação eq. 1.1, obtém-se a seguinte relação entre os vetores posição, dos pontos P e Q: vetor aceleração. A figura Fig. 1.1, ilustra os vetor posição de cada um dos pontos P e Q, quc podem ser expressos por: r=P-Op A figura Fig. 1.2, ilustra a relação entre os vetores posição através da soma vetorial dos mesmos. Expressando tal soma vetorial, tem- se: derivando a equação eq.l.l, em relação ao tempo, tem-se: d d d-(P-O)+-(Q- ?)=-(Q-O) dI dI dI Os vetores velocidade dos pontos P e Q, são obtidos através das derivadas temporais, dos vetores posição, a saber: 3 derivando a eq. 1.2 tem-se: d d-(P-O)=-(Q-O) dI dI _ .:. d_ a =v =-v Q Q dI Q desta forma tem-se: d dl(Q-P)=O ouseJ3: d _ d_ -v =-v dI P dI Q Nota: neste tipo de mov;mellto. basta estudar o movimento de um único ponto do só/ido, pois, conhecendo a velocidade e aceleração do mesmo, serão conhecidas as velocidades e acelerações de todos os pOlitos do sólido . Os vetores aceleração dos pontos P e Q, são obtidos através das derivadas da~ velocidades dos mesmos, em relação ao tempo, ou seja: ...:V;; ..~.~.. eq. 1.2 identificando os termos como sendo as velocidades dos pontos P e Q, resulta: o vetor (Q - P) possui as seguintes propriedades: • seu módulo ou norma é constante, pois os pontos P e Q são pontos de um sólido, c a distância entre os mesmos é invariante; • sua direção é constante porque o sólido está em movimento de Translação; ~"'Ô"W0:.~'«O:<.":<'''<<<<'''»>:'.Y'-}:'.''''';'''':<N''.''Ô>:<''''<<<<<'':<.w",,,-}"'.>:<."""",W-}Y.NY..'''''''.'''''<.''''':<''':<.''''''''Y..y,.:.: •..,.,,.~:<.,.''''''w.''':C''''''''''.'''''.'.''.''''.''''.'''.''''-:-:Wf: o;. Resumindo: ;,. :;; t "todos os pontos de um sólido em translação, apresentam ;! veloeidades e aceleraçõcs IGUAIS" ; ~::.x,<V',;V",y',-;.:-}y',«-:.>;,.:-;ô,..";'>:.,.y'ô»;«~ ••• q.-:-o«v»~"':';':';.:'''''':«'«'':-:-:Ôy..:-:,.;.;.;.:.;,.;.:,.,:<.;.;.;.:'k:<.;.:«'.,.:N.:.,"'.:HXV;'.;«.y,,':.:.w,<,,;,ô;,;-:-:<->:';ô:N:-:-:< .•) •••••••••I.I. •••••••••••••••••••••••• Fig.1:3 A título de exemplos de movimentos, apresentam-se: • a figura 1.3 ilustra movimento de translação curvilínea, onde o homem ilustrado descreve trajetória curvilínea mas não gira sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral permanece sempre vertical; • a figura 1.4 ilustra movimento de rotação em torno de eixo fixo, onde o homem ilustrado descreve trajetória curvilínea e gira sobre si mesmo, ou seja, sua coluna vertebral muda de direção pennanentemente: Fig.1A 4 •••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••••I.'.,I. : .••••••••••••••••• TAREFA01-a Nomc R.A.: _ Considerando o que foi aprendido no último capítulo, pedem-se: a) citc três propriedades do movimento dc translação; b) dê cxemplos de movimentos dc translação, encontrados no cotidiano . 5 6 •••••••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••I.'.'.' . ••••••••••••••••• ' .••••• TAREFA 01 - b Nome R.A.:--------------- ----- Em algumas regiões. o proccsso dc retirada d'água de um poço. é feito com a ajuda de um dispositivo como ilustrado. Com esta considerações, pcdem-se: a) classificar o movimento do balde: b) classificar o movimento do contrapeso: c) classificar o movimento do "pau de carga". ~.17 , :.: o," .;:;/ 7 ••••••••••••••••••••••••••••••• • 1-I.1 :j •••••••••••••••••I: I. , .•••••'.'.••••'.••I. CAPíTULO 2 MOVIMENTO DE ROTAÇÃO COM EIXO FIXO 2.1 Introdução Emoora o nome possa sugerir que este tipo de movimento seja muito particular. ele é encontrado na prática, em quantidades significativa" além de scr didaticamente útil numa primeira aoordagcm . 2.2 Movimento de Rotação com eixo fixo No movimento derotação em torno de eixo fixo, todos os pontos do sólido descrevem trajetórias circulares pertencentes a planos ortogonais ao eixo de rotação e eom centro de sobre o mesmo. A placa ilustrada na figura Fig. 2.1, gira em tomo do eixo AB, x,. /: /', I /'.r//~, 1/ :>, 1._ ••1' \: 0,5 Fig>2.1; :~~---_. \ i I 0,4- ----.~~J. ~B enquanto o ponto P, descreve trajetória circular com raio R. Como todos os pontos do sólido descrevem movimentos do mesmo 9 10 ••••••••••••••••.1 .1•••••••••••••••••• • A:..-O,~~:-y"I~~<''\ 0,5 : zl : 2.3 Vetor Posição Na figura figo 2.3, ilustra-se o vetor posição do ponto P para o instante (t + dt), tomando o ponto A como referência, ou seja: ,.p=(P-A )=(P (r+tl r) -A) Ressalte-se que com o movimento do ponto P, seu vetor posição, embora mantenha norma constante, Illuda de direção continuamente. Assim, em eada instante haverá um vetor posição diferente. No instante t o vetor posição será: ,.p=(P(r)-A); no instante t + dt, o vetor posição será: r;=(p(r+tlr)-A) . P(t+llt), /;2,\;.-R/ lla llS: !~ y ~R,.. p. (I) i 1-/:':L : I I // ..~ Il--:--/ .\. :O 5 , \ " ' .. ' , :. .." : I F;jg,2.2 :"~'O- .4 \.~, • "Vi J_ "',8 O ponto P, move-se ao longo de sua trajetória circular, dc raio R, e no intervalo de tempo dt. irá percorrer um arco de comprimento dS, que corresponde ao ângulo de. tipo, o estudo do movimento do ponto P pode ser estendido a todos os outros pontos do sólido. Desta forma, considere-se que o foco do estudo seja o ponto P, e assim pode-se esquecer a placa, como •••••••••••••••I. •••••••••••••••••• ,.• Seja (jlo ângulo entre o vetor posição no instante (I +!ll) , e o eixo AS; nessas condições pode-se afirmar que: calelo onosto Rsencp- r - ~ I hipotenusa II(P(t+!lt)-A)11 eq.~. Da definição de RADIANO tem-se: .18 _ (comprimeto do arco)- . eq.2.2 . ralO •, 03-YA"- '.---..- 'i ! 0,5 : zl :....' Resumindo: o ponto P percorre o arco .1.S, varre o ângulo .1.e, e percorre o deslocamento !l r , no intervalo de tempo entre I e (I + .1.t). como ilustrado na figura 2.3 . 2.4 Vetor Velocidade O velor velocidade média, do ponto Pé:_ .1, vmed = .1 t eq.2.3 . O ângulo varrido !lO , segundo eg. 2.2 é: A8=.1S 2 D Reg . .4 II Considerando o limite quando dttende a zero tem-se: 1. 11.11'11=.1 S 2. .1 r-+d r 3. .1 S-+d S 4. .1 r toma - se tangente à trajetória (a figura Fig. 2.4, ilustra a condição em que .1 t ",O ) Sendo i o versor tangente a trajetória, pode-se expressar o vetor deslocamento para (.1 t -+ O) como: dI' =dS" eq.2.5; da eq. 2.4 tem-se: .1S=.1e.R; que no limite para (.1t-+O) toma-se: A :...--O,~~,:"y A . '1~ I :'\: \.. ,h0,5 :':;" -, I . /) zIl-----f\-c~./).e~~;~ X..J Y' o '-, J -- ••. . R. /).r :' / : //.~\P o • Ii:,//)\ :1 { ..... ;.-/ o." . O 5 - , ,\ I :", : l'Fjg~2~4 :......... \0,,: •• o. •• ." --......... • _ •••• .~. 0,4 ... ~---------------~:B no limite quando (.1t -+0), a equação eq. 2.3, expressa a velocidade instantânea, ou seja: 12 •••••••••••.1••••••••••••••••••••••• 13 2.5 Vetor Velocidade Angular O Vetor Velocidade Angular tem características que atendem ao propósito de substituir o cálculo da derivada do vetor posição. por obtendo o raio R da eq. 2.1, tem-se: R= senep'II(P- Alll rescrevendo a equação eq. 2.7, tem-se: v=w'senep,II(P-A)II.i eq.2.8 Pode-se chegar à velocidade do ponto P. através de um produto vetorial entre o vetor posição (aquele se derivou em relação ao tempo l, e um vetor especial denominado de vetor velocidade angular W. Na verdade está se propondo uma troca: da derivada do vetor posição (P - A) ,pelo produto vetorial W 1\( P - A) . r p=(P-A) v =w .sen ep .IH P - A )11-1 Resumindo: o vetor posição do ponto Pé: o vetor velocidade do ponto Pé: _ .• dr v=r=-' d t ' substituindo d r, como expresso na eq. 2.5 tem-se: _ d s.i v=--' dt ' substituindo d S, como expresso na eq. 2.6 tem-se: _ de.R.i _ de - I' - ou de outra forma' v=_. R. t .d t . d t . Sendo a, a posição angular, sua derivada em relação ao tempo é denominada de velocidade angular, e é usualmente expressa por w , desta forma: dew=_. d t ' finalmente ..o~~torvelocidade do ponto Pé: YE;ig'&t eq. 2.7: ••••••••••••••-l- I.•le I.eI- le I--•--e•••-e•• um produto vetorial entre vetores conhecidos. Note-se que usualmente, o vetor posição (P - A) , não se apresenta em função do tempo, o que se não impede dificulta muito o cálculo de sua derivada. O vetor velocidade angular pode ser aplicado para calcular a velocidade de qualquer ponto o sólido, ou seja não é uma grandeza ligada a um ponto específico mas sim ao sólido. 2.5.1 A norma do Vetor Velocidade Angular Sendo e a posição angular do ponto P, a velocidade angular (escalar) do mesmo pode ser expressa por: de w=dT' No/e-se que todos os pOlltos do s6lido po.<Suem des!ocoIJIl'1110S angulares iguais; por l'xl'mpln: se num iuren'alo d,' tempo qualquer, 111/1 pOllto do s6lido desloco-se de JO', todos os pOlitos do s6lido deslocam- se igualmente no mesmo inten'a/o de tempo. Assim a velocidade angular, é igual para lOdos os POlltos do sólido, {}que a tnma uma cararerÍSrica dn solido. Por definição, o módulo (ou norma) do vetor velocidade angular é: Ilt,l=w=~~ _ 2.5.2 A direção do Vetor Velocidade Angular A definição da direção do vetor velocidade angular, é feila com o objctivo de atender à simplificação do cálculo da velocidade como já citado, entretanto, não é intuitiva c causa certo desconforto. A direção do vetor velocidade angular é ortogonal ao plano do movimento do ponto P, a saber: possui a direção do eixo de rotação do sólido. 2.5.3 O sentido do Vetor Velocidade Angular O sentido do vetor velocidade angular é dado pela regra da mão direita, A figura Fig. 2.5, ilustra o movimento estudado até aqui, no qual o ponto P desloca-se no sentido anti. horário. Acompanhando o 14 •••••••••••.1•••••••••••••••••••••••• ••••••••••••-I-•'.••••-•••-••••••••••• sentido do movimento do ponto P, ao longo de sua trajetória circular, com quatro dedos da mão direita e com a exceção do polegar, este último indicará o sentido do Vetor Velocidade Angular, I Po-r 0,5 fig.r2.5 :.......'. I ,..•------- '.-.-. . 0,4 ~--"".,--..:; B 2.5.4 A forma vetorial do Vetor Velocidade Angular Seja ê o versor na direção do vetor (A - Bl. a saber: A (A-B) e=----tl(A-B)11 O vetor velocidade angular é expresso por: _ A w'(A-B) w=w'e=II(A- B)II eq.2.9: 2.5.5 Calculando o Produto Vetorial Produto vetorial de interesse que expressa a velocidade do ponto P é: v=w/\(P-A) . Substituindo o vetor velocidade angular, pelo produto de sua norma pelo versor do eixo, conforme a equação eq. 2.9. tem-se: __ ( ) (A-B) ( ) v=w/\ P-A =W'II(A_B)'( P-A ; 15 ou representando o versor do eixo por ê : V=WA( P-A)=w.ê A( P-A) a norma do produto vetorial é: IlwA( P-A )\I=llwlI.ll( P-A )1I'sen cp a direção do produto vetorial é ortogonal a ambos os vetores que participam do produto vetorial, ou seja, simultaneamente ortogonal aos vetores W c (P - A); desta forma é ortogonal ao triângulo formado pelo eixo, pelo vetor (P - A), e pelo raio indicado na figura ou de outra forma, pode-se perceber que a direção do produto vetorial é tangen!e à trajetória do ponto P, ou seja, tem a direção do versor tangente t ; Finalizando, pode-se afirmar que o produto vetorial calculado, forneee o mesmo resultado que a derivada do vetor posição, e sempre que necessário pode-se trocar uma operação por outra. Recuperando a~equações: _ ~ dr d(P-A)v=r - - P dt dt 16 •:1.1.1 .1.1 .1.'••••••••••••••••••••••••••• 17 conclui-se que: 2.6 Vetor Aceleração o resultado expresso pela equação eq. 2.10. é collhecido como Teorema de Poi.",oll. ele fornece a derivada de um I'etor, com nonna comlanle.e que muda sua direção com velocidade angular W substituindo o vetor velocidade angular com expresso na equação cq. 2.9. tem-se: d W d(w.ê) ---- eq.2.13 dI dI ou seja: a-=d WA(P-A)+w- A d(P-A) 2 2dI " "dI eq .. 1 recordando a derivada do produto de funções. tem-se: (f.g)'=/'g+ f'g V =w.sen cp.lI( P - A)IJ-i WA( P- A)=w.ll(p- A)II'senCP.f , dl- substituindo o vetor velocidade como expresso na equação eq. 2.10 . tem-se: _ ~ dv d(wl\(P-A))a=v=-- eq.2.11 dI dI o vetor aceleração é obtido (definido) pela derivada do vetor velocidade. Mas o impasse da derivada de um vetor. cuja a equação em função do tempo não é conhecida. continua. Assim derivando a eq. 2.10 tem-se: _ ~ dv d(P-A)a=v- - dI ••••••••••••••••••••••••••••••••••• derivando o produto ... d w_d(w.ê)_d w 'ê+w.d ê .2.14 dt dt dt dt cq o versor ê é constante, pois como é um versor possui norma (unitária), além disto tem a direção do eixo fixo, que não muda; desta forma: dê dt = zero a derivada da velocidade angular w, fornece a aceleração angular. que normalmente é representado por a, a~sim: dw--=a dt rescrevendo a eq. 2.14 ... dw ,--=a'e +<:ero dt Note-se que a derivada temporal do vetor velocidade angular é o vetor aceleração angular, ou seja: _ dÜJ , a=--;;(=a.e eq.2.15; no caso específico de movimento de rotação com eixo fixo, pode-se afirmar que o vetor aceleração angular possui as seguintes características: dw • norma a=--. dt ' • direção igual ao do eixo de rotação. No I1UJvimelllo plano, embora () eixo filio ,\'ejll fixo, () mesmo l1UJtltem sua direrlio (} que garallte lIS dUlls propriedades llJlteriores. No nUJl'imenlO geral. (l última caracterút;ca "tio ,fie manterá, pois II direçiio do {';X(J pode e"/ar mudando. substituindo a eq. 2.15 na eq. 2.12 ... - - (P A) - d(P-A)a=a./\ - +wA---- cq.2.16; dt da eq. 2.10 [Teorema de Poissonl, tem-se: 18 ••••••••••••••••••••••••••••-I•-•-•- •••••••I.•'.'.•••••••••••••••••••••••• v= d (P-A) -wl\(P-A) dt finalmente rescrevendo a equação 2.16, tem-se: a=iil\(P-A)+WI\(WI\(P-A)) eq.2.17 o lemUJ ã 1\ (P - A) é conhecido como aceleração tangencial. pois possui direção langellleà lrajel6ria; o lemlO WI\(WI\( P-A)) é conhecido como aceleração normal (011 celllr(pela),pois po.uui direção nonnnl, que é a direção do raio da lrajel6ria e aponta para o centro de curvatura da mesma . t0:<':«';";';'~,-};':<':-:N:';":W#..:.;-:-»;.:.;.:<~<~~.;.:.y':';''''h>:N:W.<''''..;.;.:<<<-:.,....:.;.>.-.;.:<'l'.w..;.,,.,....;<.w,.;v:.:<.M .•.k:.:N:~,..#.-:v;.:.:.xW..:0:' __ *'..:->:<<<<-;.;.ç.;.m:.;.;.:,.:-;.,,;-:.;.:>, I', Resumindo: Ij NA ROTAÇÃO COM EIXO FIXO I !I. todos os pontos, apresentam trajetórias circulares; ! j 2. todos os pontos apresentam a mesma velocidade angular, e esta i ! tem a direção do eixo de rotação: ! j - de A • 'I'i w=-.e=w.e , i dt .13. todos os pontos apresentam a mesma aceleração angular; e esta ! ! tem a direção do eixo de rotação; i j _ dw. A ! 'lX=d(.e=lX.e I i4. o vetor velocidade (instantânea) do ponto P, é dada por: í i - .. d(P-A) - (P A) j: v=rp= dI -wl\ - ! I,5. o vetor aceler~çã~ do}onto P. é da~ po~ I: a=v=lXl\(P-A)+wl\(wl\(P-A)) i i i l __ ~"'_~'<'N':<.;.:<?;««""'««v:«««<.o:'~_»m:«>#":Y:V»:":'N»:«~~l'i'x.;.~m.__*,_..:.:<_m;.;l 19 2.7 Exercícios Resolvidos 2.0 I - O sistema ilustrado, composto por placas soldadas ao eixo fixo AB, gira em tomo deste, com velocidade angular (j) = 5 radls, que eresce a taxa de 4 radls2. No instante ilustrado, o ponto E está descendo. Pedem-se: a) o vetor velocidade angular; b) o vetor aceleração angular; c) a velocidade do ponto O; Obtendo o vetor velocidade angular .... • a direção é a do eixo, portanto definida pclos pontos A e B: • o scntido é dado pela regra da mão direita; a figura Fig. 2.8 ilustra a mão direita cujos dedos (com exccssâo do polegar) acompanham o ponto E em sua trajetória desccndente; isso permite concluir que o vetor velocidade angular aponta de B para A: • a norma foi dada no enunciado; as expressões .... ••••••••••••. '••••••••••••••••••••••• 21 as coordenada~ dos pontos de interesse ... A (A-B)e- II(A-B)II x y z A 0,000 0,203 0,000 B 0,000 0,000 0,152 O 0,178 0,000 0,000 w=w.ê Calculando ... (A - B)=(O,OOO-o,ooo)-i + +(0,203-0,000). )+(0,OOO-0,l52).k (A - B)=o,ooo.i +0,203. ] -O, 152.k II(A - B)II=~ 0,0002 +0,2032 +( -0,152)2 =0,254 A (A-B) 0,OOO.i+O,203.j-O,l5z.k e-II(A_B)II 0,254 ••••••••••••••••••••••••••••••••••• Obtendo o vetor aceleração angular ... obtendo o Vctor Velocidade do ponto D... • tem norma igual a derivada da velocidade angular; • tem a direção do eixo de rotação; • tem sentido igual ao do vetor velocidade angular se esta estiver crescendo e oposto em caso contrário; •••-•••-••••••••••-••-I•:1•-I•--••••••22 w=0,000.1+4,002. ]-2,997.kii=wl\(D-A) as expressões ... • o ponto de referência deve respeitar as expressões dcduzidas, ou seja, deve pertencer ao eixo de rotação; desta forma, existem duas escolhas: o ponto A ou o ponto B; ambas dcvcrão forneccr os mesmos resultados; • por escolha arbitrária, adota-se o ponto A; - dw - dw 4 - - -a=d/.e d/=+ ê=O,OOO.;+0,800' j-0,599'k ã=0,000'1+3,202.j-2,397'k radis' ~ 1;-' do cnunciado: velocidade angular w = 5 radls, que cresce a taxa de 4 radls2, pode-se garantir que: dwa=-=+4 dI as expressões ... ê =0,000' i+0,800'] - 0,599'k w=w.ê =5.(0,000. i+0,800' ] -0,599.;;) finalmente: w=O,OOO. I+4,002'] -2,997. kradis I 1 23 1',.= (4,002 X 0,000 - (- 2,997) X (- 0,203)] = -0,608 v y=-[ (0,000 XO,OOO)-(- 2,997) XO,178]=-0,533 I i'" ..'. k :.]:.. ] .Í' = 0,000 4,002 - 2,9970.178 -0,203 0,000' k -2,997 0,000[ A A. . I J 10= 0.000 4.002 0,178 -0,203 [ i ti).!.".rk] . v= O,0004',Õó"i' - 2,997 . 0,178 ;-0,203 0,000 (D - A)=( 0,178-0,000)'1 +(0,000 -0,203)') + + (0,000 - 0,000)' k (D - A)=0,178.1 -0,203.) +O,OOO.k v =(0,000' 1+4,002'} - 2,997-k)A A(0.178.1 -0.203. J +O,OOO'k) montando o determinante .... resolvendo pelo método de Laplace: a componente numa direção, é ohtida calculando o menor determinante, após eliminar linha e coluna que a contêm: ••••••••••••••••••••••••••••••••••• v=-0,608.!-0,533' ]-O,7IÚ v=-0,608'!-0,533' )-0,7IÚ m/s 24 ..•1;1,1~1,;.:,i.II;!.I. rri'.' f ..j li /\ ([) - A)= 0.000 '3,202 - 2,397 0.178 '-0,203 0,000. ' - - ;...-'; v _=10,000>« -0,203)- 2.997xO,178]=-0,712 oo=o,ooo.j +4,002.)- 2,997.k ii=0,000.i+3,202. )-2,397.k (D - A)=0,178.i -0,203'] +0,000',( ã=iX/\(D- A)+ÜJ/\~-A)) note-se que: V [iX /\ (D - A)] =[ 3,202 XO,OOO~((- 2,397)X (-0,203))] =x =-0,487 daqui por diante só há trabalho braçal para calcular os produtos vetoriais necessários ... Obtendo o Vetor Aceleração do ponto D... as expressões ... de onde: •••••••••••••••••. '•••• • 1•••••••••••ai•--------------------------- 25 repetindo o processo de Lapace, detalhado anteriormente, tem-se: -/997] -0,712 j 4,002 -0,533 â=-4,934.j + 1,395.j +3,003'k m/s2 WA(wA( D- A))=-4,447.i + 1,822, }+2,433'k eq.2.19 WA(WA(D-A))=[ O,~OO -0,608 [ãA(D-A )]y=-[ O,OOOXO,OOO-((-2,397)XO,178)]= =-0,427 oA (D-A )~ff~!j~£~i:f!]' :'.:.:.';.:.::;;:.'.:.:;:'- [ã A(D-A)] =[ 0,000x(-0,203)-(3,202XO,178) 1=z =-0,570 (iA (D-A )=-0,487.7 -0,427.) -0,570.k eq.2.18 WA(WA(D-A))=WA(V) somando-se as equações eq. 2.18 e eq. 2.19, obtêm-se o vetor aceleração: ••••••••••••••••••••••••I. I-•I. I.••••••• 26 do enunciado o movimento tem aceleração constante, assim: da equação da velocidade angular, pode-se tirar a variável tempo: ••••••••••••••••••••••••••••••••••.'• w-w 1_ O [( e . de w=8=- dI . dw .. d8 [(=w=--=8=- dI dI" W=[('I+W O => [( o[(=cre->w=[('I+w ->e=-'I-+w '1+8 O 2 O li substituindo na equação da posiçãoem função do tempo, tem-se: posição angular: velocidade angular: Relembrando .... esta últimas equações são as equações do mo\'imenlo uniformemenle acelerado: 2.02 - O rotor de um motor elétrico tem frequência de 1800 rpm quando é desligado. O rolOr pára após executar 625 voltas. Supondo movimento uniformemente retardado, pedem-se: a) a aceleração angular do rotor: b) o tempo total do movimento. __ ~ < ..-:>.;:;; ...:.>- ,",":--W.>:'V'" .... ,l" .....•..; ..' .,~; aceleração angular: •••••••••••••••••••••••••••• ' .•••••• 1 2 Wo8-8 =-[w-w 1 +-.[w-w ]o Z.a o a O ").w1 ~ - O8-8 =-[w-w ]-+-'[w-w ]O Z.a O Z.a O [8-8 J.(Z.a)=[w-w f+z.w .[w-w JO O O O [8-8 J.(Z.a)=w2+w2_Z.(w'w )+Z.W .[w-w JO O O O O 1 2 ~ 218-8 .(Z.a)=w+w--Z.w'w +Z.w 'w-Z.wo o o O O 2 ~[8-8 J.(Z.a)=w -w- O O E.,la última equação é conhecida COIIUl Equação de Torricelli; 27 voltando a solução: o ângulo percorrido até a parada é: impondo a equação de Torricelli, ao instante em que o rotor pára: •••••••••••••••••••••••••••••••••••• oo=()(.t+ooo 0=-4,52.t+ 188,50 t=41,67 s 02=35.532,25+ 7.853,98'()( 02 = 188,502+ 7.853,98.()( 000= f .2'rr= 1.8()().2'rr= 11.309,73 rad/min frequência: f = 1.800 rpm 1.8()().2'rr 000 60 = 188,50 rad/s velocidade angular inicial: 000= f' 2. rr .1B=B-Bo=625.2'rr=3.926,99 rad 4"c G7L()(= -4,52 rad/s' <:j~)J;" "1;[ retomando a equação da velocidade, e impondo o instante da parada. tem-se: 2.03 Na figura Fig. 2.\0, o disco B inicialmcnte em repouso, é posto em contato com o disco A que gira inicialmentc, no sentido horário 28 120 mm tmando-se a unidade de tempo ... BOmm Fig.2.10 radwA' .= f ...2.rr=450.2.rr=2827,43-.UH lnl mln 140 rad W =f .2.rr=-.2.rr=14,66- A fi" fi" 60 s W .. =2827,43 ra~ =2827,43 rad =47,12 rad A 1111 mm 60s s com frequência 450 rpm. Após o contato, ocorre escorregamento entre as superfícies, durante 6 s durante os quais, os discos apresentam acelerações angulares diferentes, mas ambas constantes. Ao término do escorregamcnto, o disco A, apresenta frcquência constante de 140 rpm. Pedem-se: a) as acelerações angulares de cada disco; b) a velocidade final dos pontos de contato . Determinando as velocidades angulares inicial e final do disco A: •••••••••••••••••••••••••••••••••••• Note-se que o raio do di,tcn A é RIl = 80 l1U1l ou em metros: R, = 0,080 m 1°_dcsacelera uniformemente de 450 rpm até 140 rpm em 6s; 2°- mantém movimento uniforme com 140 rpm. Estudando o 2" movimento do disco B, pois é a única forma de se obter a velocidade angular final do mesmo: •••••••••••••••••••••••••••••••••••• m vI' = 14,66xO,OSO=I,I7- A S .lO W=CH+WO wA fi =oc.6+wA ..m 1111 14,66=ocA'6+47,12 radocA=-5,412s após 6 s de escorregarnento, as velocidades dos pontos dc contato dos discos igualam-se, ou seja: Estudando o 2° movimento, do disco A: o disco B possui também dois movimcntos: 1"- parte do repouso e acelera uniformemente por 6s: 2°- mantém movimento uniforme. Estudando o 1°movimcnto, do disco A: de eq. 2.7 pode-se afirmar que: "os pontos da borda do disco A, de raio RA, giram com velocidade final exprcssa por: v =w A fi'" R A " o disco A possui dois movimentos: ~. ••••••••••••••••••••••••••••••••••• "a velocidade (tangencial) do ponto de contato lPR] do disco B , iguala-se à velocidade (tangencial) do ponto de contato [PA]do disco A" Fig.2.12 120 mm BOmm 111 vp =1'[' =1,17- 8 A S da eq. 2.7 tem-se: 1,17=wB fi '0,120111 radwB fi =9,75-i1J s considerando-se o 1°movimento do disco B: . 975 rad"parte do repouso c atinge a velocIdade angular wB fi =, -m S em 6 s" 31 w=()(.t+wo WBji =()('6+wB" "In I1U 9,75 =()( B'6+O Um ponto do fio que sustenta o bloco, tem de apresentar o mesmo deslocamento que o bloco; como o fio não escorrega em relação à polia, esse ponto terá velocidade igual à velocidade de um ponto da borda da polia: v=w.R Embora desnecessário, a dedução da expressão anterior será refeita 32 2.04 Numa polia dupla, com raios R, = 0,05 m e R2 = 0,03 m , ligados por fios inextensíveis, estão suspensos dois blocos A c B, conforme Fig. 2. 12. Os fios não escorregam em relação à polia. O bloco A, parte no instante t = O, com aceleração constante aA= O, 10 m/s2 c velocidade inicial VA"= 0,15 m/s, ambas com o sentido de baixo para cima. No instante t = 3 s, pedem-se: a) o número de voltas dadas pela polia e a velocidade do corpo A; b) o percurso, a velocidade e a aceleração do bloco B. •••••••••••••••••••••••••••••••••••• rad()(=163-B ' 2s •••••••••••••••••••••••••••••••••••• aqui, desta forma, considere-se um ponto da polia que descreve trajetória circular com raio R; seja S, o comprimento do arco de circunferência, que este ponto percorre, quando a polia gira de um ângulo 8: segundo a definição de radianos, telll-se: Se=- eq 2 ?O'R .. - . sendo (J) a velocidade angular, e O a posição angular da polia, tem- se: . dew=B =_ . dI ' sendo v a velocidade linear e S a posição linear do ponto da polia, tem-se: . d S 1'=5=-- .dI . Dcrivando a equação eq. 2.20, em relação ao tempo: v=w.R eq.2.21 o bloco A tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia com raio R" ou seja: vA=w'R2 o bloco B tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia com raio R••ou seja: vB=w'R} Sendo a a aceleração angular e (J) a velocidade angular da polia, tem-se: ()(=w=dw . dI ' sendo a a aceleração linear e v a velocidade linear do ponto da borda 33 no instante t = 3 s, a velocidade do bloco A é: da polia, tem-se: . dva=v=-' dI ' Derivando a equação eq. 2.21. em relação ao tempo, tem-se: •••••••••••••••••••••••••••••••••••• a=a.R eq.2.22 -5 radwO-' s rada=3,33-, s- 0,15 wO=003 ->, dv d-=-(w.R) dI dI equacionando o movimento da polia ... a aceleração angular: a A 0,10a=- -+ (X=-- -> R 2 0,03 a velocidade angular inicial: OvAwo='R -> 2 a velocidade angular final: o vA=vA+aA'1 vA =0,15+0,10.3 mv =045- A ' s o bloco A tcm aceleração igual ao de um ponto da borda da polia com raio R2, ou seja: v =a.R A 2 o bloco B tem velocidade igual ao de um ponto da borda da polia com raio RI, ou seja: V B=a' R I a B=3,33 .0,05 equacionando o movimento do bloco B ... a aceleração (aR): 35 dS=O 25.3+ 0,17 .32 --> dS= 1,52m, 2 a velocidade inicial (v Rini) : v~=lOO' R I --> v~=5 .0,05 --> v~=0,25: a velocidade final (v H fiJ : ° mv IJ=VB+a B.t --> vB=0,25 +0, 17.3 --> v B=0,76-; o percurso (.1 S) : S =So+vo.t+ aB.t2 --> dS=S -So=vo.t+ aB.t2 BBB 2 BBB 2 lO=VA --> w=0,45 --> w=15rad R2 0,03 s aplicando a equação de Torricelli, para obter-se o ângulo varrido no intervalo de tempo de 3 s, tem-se: 2 2lO =lOO+2'{1('d8 o o 15-=5- +2.3,33 ..1 8 d8=30,03rad o número de voltas dadas pela polia, em 3 s, é: .18/l.de voltas=- --> /l.de voltas=4,78 2'rr •••••••••••••••••••••••••••••••••••• 2.8 Exercícios Propostos 2.05 O sistema ilustrado, composto por placas soldadas ao eixo fixo AS, gira em tomo deste, com velocidade angular 5 rad/s, que cresce à taxa de 4 rad/s2. No instante ilustrado, o ponto C está subindo. Pedem-se: a) a velocidade do ponto C; b) a aceleração do ponto C. Fi ')2;13...9 . - - - m(a) 2,30'i+2,30'j+ 1,60.k- s (b)-12 13.1+ II 25'J"+782-k~, , , ") s~ 2.06 O conjunto ilustrado, é constituído por um disco horizontal soldado a um eixo fixo vertical, e gira no sentido anti-horário, a partir do repouso, com aceleração angular constante a = 1 rad/s2. Um bloco apoia-se no disco a 0,35m do eixo, e não escorregará em relação ao mesmo até que sua aceleração total atinja 6,5 m/s2. Pedem-se: a) a aceleração 1,0 s após o início do movimento do disco; b) o instante em que o bloco deslizará. 36 ••••••••••••••••••••••••••••••••••••37 A (b) 4,31 s(a) -035.i-035.k~, , 2 s z y B Fig:2;14 . '-:.o. 2.07 O sistema ilustrado, é composto por duas rodas A e B, de raios iguais a 30 mm, que giram em torno de eixos fixos, e por um anel C, encaixado entre as mesmas. O anel tem raio interno de 72 mm e raio externo de 76 mm (espessura de 4 mm). Não ocorre eseorregamento entre as superfícies em contato. A roda superior A, gira com frcquência constante f = 400 r.p.m no sentido anti-horário . Pedem-se: a) a velocidade angular do anel C; b) a velocidade angular da roda inferior B; c) as acelerações dos pontos das rodas em contato com o anel. •••••••••••••••••••••••••••••••••••• la (a) ry 5 ? rad 26.2.i: rad-2,5 rad I s- e ,- '2 (17 ) s s (c) 10.057,0.] 111m (d) 263.391,8'; l1~n s s- 2.08 Na figura em anexo, estão representadas duas engrenagens, A e B, com eixos fixos, e com raios RA '" 800 e RB '" 384 mm, respectivamente. A engrenagem A, parte do repouso, acelera uniformemente no sentido horário, e atinge frequência de rotação 120 r.p.m. em 5 s, que mantêm daí por diante. Pedem-se: a) a aceleração angular das engrenagens; b) a velocidade angular final da engrenagem B; c) a velocidade final, do ponto pertencente à engrenagem B, que faz contato com a engrenagem A; d) a aceleração do ponto citado na pergunta anterior, nas mesmas condições. •••••••••••••••••••••••••••••.1•••••• 52.643,0' ] m~n s~ x (e)397 rad, s (b)(a) 16,5 rad s (e) -47.273,2'] m~l s~ I:••••••••••••••••••••••••••'.••••••I• 2.09 O sistema ilustrado, é composto por uma placa de dimensõcs 0,20 x 0,40 m, soldada ao eixo fixo AB; no instante ilustrado, o sistema gira em torno do eixo fixo com velocidade angular 15 rad/s, que decresce a taxa de 7 rad/s2. Quando observada do ponto B, a placa gira no sentido anti-horário. Para o instante ilustrado, pedem-se: ala velocidade do ponto C; b) a aceleração do ponto C. X ,lO z • (a) -O,62.i+l,23'k(m) (b) -7,3.i-18,9.]-4,4.k(m~) s s~ 2.10 As placas ilustradas em anexo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante lJl = 5 rad/s; no instante ilustrado o ponto C está descendo. Pedem- se: a) o vetor velocidade angular; b) a velocidade do ponto C, na forma vetorial; c) a aceleração do ponto C, na forma vetoria!. 39 2.11 As placas ilustradas em anexo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante CJ) = 5 radls; no instante ilustrado, o ponto C está descendo. Pedem- se: a) o vetor velocidade angular; b) a velocidade do ponto E, na forma vetorial; c) a aceleração do ponto E, na forma vetorial. .1 ••••••••••••••••••••••••••••••••••• x 0,203 • • m (b)vé=-O,53' j -O,71-k - s • • rad(a)w=4,O.j-3,O.k - s - 4 45 ~ma =- '1-C ' ~s. (a )00=3,2'}-3,8. k (b) 1't-=-1,54' i -1,54. j-I,28. k m s _ '-. -m(e)a £=-10,0'/ +5,9, j-4,92.k"2 s 2.13 Dois discos de raios RB = 45 mm e RA = 20 mm estão em contato sem escorregar. O disco A (inferior) parte do repouso e acelera de forma uniforme com aceleração UA = 3 radfs2• Para o instante em que a velocidade angular do disco A, atinge o valor WA = 20 rad/s, pedem-se: a) a aceleração angular do disco B; 41 2.12 Uma pedra de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R = 0,45 m, gira com frcquência constante f, = 1800 rpm; quando se desliga o motor elétrico do esmeril, a pedra gasta 10 s até parar; considerando movimento uniformemente acelerado, pedem-se: a) a aceleração angular ( u) da pedra; b) a velocidade de um ponto P da borda da pedra, quando a frequência é f = 1800 rpm; c) a aceleração de um ponto P da borda da pedra, quando a frcquência é f = 1800 rpm. m(e)a p=15989,52s(a )a=-18,85 ':; (b)v p=84,83: •••••••••••••••••••••••••••••••••••• b) a velocidade angular do disco B; c) a velocidade de um ponto da borda do disco B; d) a aceleração de um ponto da borda do disco B. Fíf2:21g . m(c)vp=0,40- s 2.14 O disco de raio R = 80 mm parte do repouso e acelera de forma uniforme, atingindo a velocidade angular (O = 30 rad/s em 10 voltas. Pedem-se: a) a aceleração angular do disco; b) o tempo gasto nessas 10 voltas iniciais. Fi:2.22,g , . 42 •••••••••••••••••~. •••••••••••••••••• 43 y • • m () - 03' • 6 •m(a)v- =9.j-15.k- b aB=-I. 7.i-1.I70.j- 124.k2" B s S (b)Llt=4,19s( ) =7 16 rad a ex , .., s~ 2.15 A haste ASCO gira apoiada nas articulações A e O; no instante ilustrado, a velocidade angular da barra é 95 rad/s, que decresce à taxa de 380 rad/s2, e o ponto C está subindo. Pedem-se: a) a velocidade do ponto S, para o instante ilustrado; b) a aceleração do ponto S, para o instante ilustrado . 2.16 O sistema de engrenagens ilustrado, deve suspender o bloco, alçando-o por 6, 10m. A engrenagem A, parte do repouso, e mantendo aceleração angular constante, atinge frequência de 120 rpm em 5 s, mantendo.a constante após atingi-Ia. Pedem-se: a) o número de rotações da engrenagem; b) o tempo gasto na operação . ••••••••••••••••••••••• i • •••••••••••• 2.17 A polia ilustrada na figura figo 2.25, possui raio R = 0,32 m e é acionada por um motor elétrico, com o intuito de suspender o bloco A. Quando a polia apresenta frequência de rotação fll = 120 rpm, o motor é desligado, mesmo assim, o bloco ainda sobe h = O,8m, antes de parar. Pedem-se: a) a aceleração angular da polia; b) o tempo gasto até parar. 44 ••••••••••• • I •••••••••••••••••••••••• A (b).1t=10,15s (b)t=O,4s R Fig.??~ DiIren~õcs em mm 2(a)lX=3I,60radls (a )n. de voltas A = 15,3 45 2.19 Uma polia dupla de raios R, = 1,5 m e R2 = 0,8 m, gira sob ação de dois blocos A e B, conforme ilustrado na figo 2.27. O bloco A apresenta aceleração aA= 4 m/s2, com velocidade inicial (em t=O), v/' = 5 m/s. Considerando o intervalo de tempo de 2s, pedem-se: a) o número de voltas da polia; b) as correspondentes velocidade e percurso do bloco B; c) a aceleração centrípeta de um ponto da borda mais externa da polia (R, = 1,5 m). .....:::::::,,:,:':::::.:::~::::~:Iàt rad lX B =16,OO-z s e n. volrasB=63,7 rad (a)lXA=5,33-z es (b )n. voltasA = 21,2 2.18 A figura figo 2.26, ilustra uma correia que move-se entre duas polia~ A c B, de raios RA= 0,06 m c RB = 0,02 m respectivamente, sem que ocorra escorregamento entre as superfícies em contato. A velocidade da correia aumenta uniformemente, desde v, = 0,8 m/s até V2 = 2,4 m/s, em 5 s; Pedem-se: a) a aceleração angular de cada polia; b) o número de volta~ efetuadas por cada uma das polia~, nos 5 s. !tí?',,':JP Fig,;??p; •••••••••••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••• m (b)vB=6,93-.; e .1SB=9,58m w =3,75 rad (b)a =4,50 s":C s - rad(a)w 8 =7,50- s - e (e) ac;ntr. = 16,66 "~ s- (a )n.devoltas= 1,91 2.20 As engrenagens ilustradas A, B e C, tem respectivamente raios RA = 0,24 m, RB = 0,16 m e Rc = 0,32 m e apresentam eixos fixos. A engrenagem A, gira com velocidade angular constante <tJA = 5 rad/s, no sentido horário. Pedem-se: a) as velocidades angulares das engrenagens B e C; b) a aeeleração de um ponto periférico da engrenagem C. '.-' •••••••••••••••••••••••••••••••••••• TAREFA02-a Nome R.A.: _ Um rebolo (pedra) de esmeril, de formato cilíndrico, com raio R = 0,15 m, inicialmente em repouso, é posto em movimento através de um motor elétrico, com movimento uniformemente acelerado; nestas condições o rebolo gasta 45 s até atingir a frequência de trabalho f" = 600 rpm. Num ponto P da borda do rebolo, há uma trinca, e este vai desprender-se do mesmo, caso o módulo de sua aceleração supere 250 m/s', pedem-se: a) a aceleração angular ( a )da pedra; b) a velocidade do ponto P da borda do rebolo, 5 s após o ligamento do motor elétrico; c) a aceleração do ponto P da borda do rebolo, 5 s após oligamento do motor elétrico; .\ jPonlo PH 1 i==r:2:259 X 47 ( ) rada oc=I,40-2 s (b)v p= 1,05m s 48 ••••••• • 1 •••••••••••••••••••••••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••••••• TAREFA02-b Nomc R.A.: _ As placas ilustradas em ancxo, estão soldadas ao eixo fixo AB; o conjunto assim constituído, gira com velocidade angular constante (j) = 6,5 radls, sendo quc no instante ilustrado na figura, o ponto C está subindo. Pcdcm-sc: a) o velor velocidadc angular; b) a velocidadc do ponto D, na forma vctorial; c) a acclcração do ponto D, na forma vctorial. 49 (a )w=-3,78.] +5,29.k rad s (h)\' D=I,32.i+l,32']+O,94'k m s () 'A Am c aD=-1O,56.i +6,99' j+5,OO'k, s~ •••••••••••••••••••••••••••••••••• • 1.1 00000001 00000002 00000003 00000004 00000005 00000006 00000007 00000008 00000009 00000010 00000011 00000012 00000013 00000014 00000015 00000016 00000017 00000018 00000019 00000020 00000021 00000022 00000023 00000024 00000025 00000026 00000027 00000028 00000029 00000030 00000031 00000032 00000033 00000034 00000035 00000036 00000037 00000038 00000039 00000040 00000041 00000042 00000043 00000044 00000045 00000046 00000047 00000048 00000049 00000050 00000051 00000052 00000053 00000054 00000055 00000056 00000057 00000058
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