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UFRRJ - ICE - DEMAT Nome: Matr´ıcula: Disciplina: IC241 - Ca´lculo I Turma: T03 Prof.a: Aline Data: 07/11/2011 2a Prova de Ca´lculo I 1a Questa˜o: Calcule os limites abaixo, justificando suas respostas. (1,0 pt cada item) Obs: Nessa questa˜o, na˜o sera˜o aceitos ca´lculos usando a Regra de L’Hoˆspital. (a) lim x→+∞ √ 2x2 + x− √ 3x2 + x− 1 (b) lim x→5 x2 − 25 sen (x− 5) (c) lim x→pi/2 f(x), onde f : R → R e´ uma func¸a˜o tal que |f(x) + 2| ≤ cos2 x para todo x ∈ R. 2a Questa˜o: Fac¸a o que se pede nos itens abaixo. (1,0 pt cada item) (a) Dada a func¸a˜o f(x) = 1 + tg (ln x) ex + 4 √ x , calcule f ′(x). (b) Dada a equac¸a˜o cos(x + y) = y sen x, encontre dy dx derivando implicitamente. 3a Questa˜o: Determine os valores de A e B que tornem a func¸a˜o abaixo cont´ınua em x = 2, justificando sua resposta. (2,0 pt) f(x) = x2 − Ax + B , se x < 2, A + 1 , se x = 2, 2x + A 4 , se x > 2. 4a Questa˜o: Usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, mostre que a func¸a˜o f(x) = 4−x − x tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1. (1,0 pt) 5a Questa˜o: A a´gua escoa de um reservato´rio de concreto coˆnico (ve´rtice para baixo), com raio de base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m3/min. Com que taxa o n´ıvel da a´gua estara´ diminuindo quando este for de 5 m de profundi- dade? Responda em m/min. (2,0 pt) Lembrete: Volume de um cone de base circular: V = 1 3 pir2h. Questa˜o Extra: Usando a definic¸a˜o precisa de limite, prove que lim x→−2 ( 1 2 x + 3 ) = 2. (1,0 pt) Boa Prova!
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