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UFRRJ - ICE - DEMAT
Nome: Matr´ıcula:
Disciplina: IC241 - Ca´lculo I Turma: T03
Prof.a: Aline Data: 07/11/2011
2a Prova de Ca´lculo I
1a Questa˜o: Calcule os limites abaixo, justificando suas respostas. (1,0 pt cada item)
Obs: Nessa questa˜o, na˜o sera˜o aceitos ca´lculos usando a Regra de L’Hoˆspital.
(a) lim
x→+∞
√
2x2 + x−
√
3x2 + x− 1
(b) lim
x→5
x2 − 25
sen (x− 5)
(c) lim
x→pi/2
f(x), onde f : R → R e´ uma func¸a˜o tal que |f(x) + 2| ≤ cos2 x para todo x ∈ R.
2a Questa˜o: Fac¸a o que se pede nos itens abaixo. (1,0 pt cada item)
(a) Dada a func¸a˜o f(x) =
1 + tg (ln x)
ex + 4
√
x
, calcule f ′(x).
(b) Dada a equac¸a˜o cos(x + y) = y sen x, encontre
dy
dx
derivando implicitamente.
3a Questa˜o: Determine os valores de A e B que tornem a func¸a˜o abaixo cont´ınua em
x = 2, justificando sua resposta. (2,0 pt)
f(x) =


x2 − Ax + B , se x < 2,
A + 1 , se x = 2,
2x +
A
4
, se x > 2.
4a Questa˜o: Usando o Teorema do Valor Intermedia´rio, mostre que a func¸a˜o
f(x) = 4−x − x tem pelo menos uma raiz real entre 0 e 1. (1,0 pt)
5a Questa˜o: A a´gua escoa de um reservato´rio de concreto coˆnico (ve´rtice para baixo),
com raio de base de 45 m e altura de 6 m, a uma taxa de 50 m3/min.
Com que taxa o n´ıvel da a´gua estara´ diminuindo quando este for de 5 m de profundi-
dade? Responda em m/min. (2,0 pt)
Lembrete: Volume de um cone de base circular: V =
1
3
pir2h.
Questa˜o Extra: Usando a definic¸a˜o precisa de limite, prove que lim
x→−2
(
1
2
x + 3
)
= 2.
(1,0 pt)
Boa Prova!

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