Lista de exercícios 1 (1)matematica

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Universidade Federal do Pampa
Campus Sa˜o Gabriel
Gesta˜o Ambiental
Matema´tica aplicada a` Gesta˜o Ambiental
Prof. Cristhian Augusto Bugs
LISTA DE EXERCI´CIOS 1
Exerc´ıcio 1: Lembrando que
1. am · an = am+n
2. am/an = am+n
3. (ab)m = ambm
4. (am)n = amn
5. (a/b)m = am/bm
6. a0 = 1
7. a−n = 1/an
8. (a/b)−n = (b/a)n
9. a
1
n = n
√
a
10. a
m
n = n
√
am
11. n
√
a · n√b = n√ab
12.
n√a
n√
b
= n
√
a
b , b 6= 0
Com base nas propriedades acima, simplifique as expresso˜es abaixo:
a) x3 · x4
b) a5 · a
c) x−5 · x3
d) y−5 · y−2
e) x
8
x4
f) a
5
a−1
g) y
5
y−7
h) (x4)3
i) (y3)−2
j) (xy)2
k) (2m)3
1
l) ( 2x)
4
m) ( 2
a3
)3
Respostas: a) x7 b) -4 c) 2 d) Na˜o existe e) 2, 828427...
Exerc´ıcio 2: Encontre as ra´ızes se poss´ıvel.
a) 6
√
64
b) − 2√16
c) 3
√
8
d) 2
√−16
e) 4
√
64
Respostas: a) x7 b) -4 c) 2 d) Na˜o existe e) 2, 828427...
Exerc´ıcio 3:Escreva as seguintes expresso˜es na forma de radical e simplifique:
a) 16
3
4
b) y
−3
2
c) (6m)
2
3
d) 14
1
2
e) 7−
2
3
Respostas: a) 8 b) 1√
y3
c)
3
√
36m2 d) 12
Exerc´ıcio 4:Simplifique as seguintes expresso˜es:
a) a
1
2 · a 16
b) a
3
4 /a
1
3
c) (a3b)
2
3
d) a
3
2a
1
2
e) a−
1
2 · a− 32
Respostas: a) a
2
3 b)a
5
12 c) a2b
2
3 d)a2
Exerc´ıcio 5: Execute as operac¸o˜es indicadas e simplifique usando as propriedades
de radicais:
a)
√
2 · √2
b)
√
64x4
c) 3
√
−64x6y3
d)
√
128x4y5
2
e)
3
√
54x5x8
f) 3
√
40x8y5
g)
√
32x5y
h)
√
12x3y ·
√
3x2y
i) 3
√
16x2y · 3
√
3x2y
j)
√
16a3x√
2ax
k)
√
12x3y12√
27xy2
Respostas: a) 2 b)8x2 c) −4x2y d)2 72x2y 52 e) 3 3
√
2x13 f) 2 3
√
5x8y5 g)
4
√
2x5y h) 4y
√
2x5 i) 2
√
6x4y2 j) 2a
√
2 k) 23xy
5
Exerc´ıcio 6: A forma geral de um polinoˆmio em x e´
anx
n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a + 0
onde cada coeficiente ai e´ um nu´mero real e onde i=0,1,2,. . . ,n. Se an 6= 0, o grau
do pollinoˆmio e´ n e o termo a0 e´ denominado termo constante.
Para a multiplicac¸a˜o entre polinoˆmios sa˜o verdadeiros os seguintes produtos
nota´veis:
(x + a)2 = x2 + 2ax + a2
(x− a)2 = x2 − 2ax + a2
(x + a)(x− a) = x2 − a2
(x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
(x− a)3 = x3 − 3ax2 + 3a2x− a3
Calcule as seguinte poteˆncias:
a) (x− 2)2
b) (x + 3)2
c) (x− 1)3
d) (x + 2)3
Respostas: a) x2−4x+4 b)x2+6x+9 c) x3−3x2+3x−1 d)x3+6x2+12x+8
Exerc´ıcio 7: Calcule cada expressa˜o alge´brica nos valores indicados das varia´veis.
a) 4x− x2 em x = −2
b) 3x2 − 4y2 − 2xy em x = 3 e y = −4
c) 2x−y
x2−2y em x = −5 e y = −3
3
d 16y1−y em y=-3
Respostas: a) −12 b)−16 c) − 731 d)−12
Exerc´ıcio 8: Uma fa´brica de embalagens produz uma embalagem especial, usada na
indu´stria automotiva. Em razaa˜o do peso das pec¸as, que sa˜o acondicionadas nessas
embalagens, o fundo e´ preparado com uma base meta´lica, as laterais sa˜o feitas de
papela˜o e a tampa e´ composta por isopor. A mate´ria-prima utlizada no fundo tem
um custo de 100 reais por m2, a das laterais, 50 reais por m2, e a da tampa 30 reais
por m2. Sabendo-se que a embalagem deve ser um cubo de 40 cm de lado, calcule
o custo da mate´ria-prima empregada nessa embalagem.
Resposta: O custo da mate´ria-prima utilizada e´ de 52 reais e oitenta centavos.
Exerc´ıcio 9: Para muitas espe´cies de peixe, o peso W(g) e´ dado de uma forma
dependente do tamanho L que pode ser expressa por
W = kL3
onde k e´ uma constante. Suponha que para uma espe´cie em particular k=0,02 e que
para esta espe´cie, o comprimento (em cm) e´ dado em func¸a˜o do nu´mero de anos t
que o peixe esta´ vivo, sendo esta func¸a˜o dada por
L(t) = 50− (t− 20)
2
10
para 0 ≤ t ≤ 20.
a) Calcule o peso de um peixe com 30 cm.
b) Calcule o comprimento de um peixe de 2 anos
c) Calcule o peso de um peixe de 2 anos
d) Determine o tempo necessa´rio para um peixe alcanc¸ar 50 cm.
Respostas: a) 540g b)17,6cm)
Exerc´ıcio 10: Suponha que em um estudo sobre pa´ssaros aqua´ticos, a relac¸a˜o entre
acres do brejo A e o nu´mero de espe´cies de pa´ssaros S encontrados no brejo e´ dada
por
S = kA
1
3
onde k e´ uma constante.
a) Qual o valor de 1 acre em hectares?
b) Expresse esta fo´rmula utilizando notac¸a˜o de radical
c) Se a a´rea e´ expandida por um fator de 20.000 acres para 45.000 acres, encontre
o aumento esperado no nu´mero de espe´cies de pa´ssaros (como mu´ltiplo do
nu´mero de espe´cies em 20.000 acres)
4
Respostas: a) b) S = k 3
√
A c) 3
√
2, 25 ' 1, 31
Exerc´ıcio 11: A porcentagem p de impurezas que pode ser removida da a´gua
liberada em processo de manufatura ao custo de C do´lares e´ dada por
p =
100C
8100 + C
a) Encontre a porcentagem de impurezas que pode ser removida com 1000 dola´res.
b) E´ poss´ıvel remover 100 por cento das impurezas?
Respostas: a) 10,98 b)Na˜o. Verifique a resposta resolvendo uma equac¸a˜o.
Exerc´ıcio 12: Foi determinado que um refu´gio de animais selvagens pode sustentar
um grupo de ate´ 120 indiv´ıduos de uma espe´cie em perigo de extinc¸a˜o. Se 75
indiv´ıduos forem introduzidos no refu´gio e a sua populac¸a˜o apo´s t anos e´ dada por
p(t) = 75(1 +
4t
t2 + 16
)
a) Qual a populac¸a˜o depois de 5 anos?
b) Qual o tempo necessa´rio para a populac¸a˜o chegar a 100 indiv´ıduos?
Respostas: a) Aproximadamente 111 anos
Exerc´ıcio 13: Um estudo de impacto ambiental revela que a concentrac¸a˜o P de
um certo poluente no ar, em partes por milha˜o, pode ser modelada pela equac¸a˜o
P = 0, 25
√
0, 5n2 + 5n + 25
onde n e´ o nu´mero de residentes, em milhares de pessoas.
a) Qual a concentrac¸a˜o para uma populac¸a˜o de 50 mil habitantes?
b) Para qual a populac¸a˜o a concetrac¸a˜o deste poluente e´ o dobro comparado com
a concentrac¸a˜o encontrada para 50 mil pessoas?
Exerc´ıcio 14: O nu´mero N de bacte´rias em uma cultura apo´s t dias modelado pela
fo´rmula
N = 400[1− 3
(t2 + 2)3
]
a) Qual o nu´mero inicial de bacte´rias?
b) Qual o nu´mero de bacte´rias depois de 5 dias? E depois de 10 dias?
c) Em quantos dias a populac¸a˜o deve ser igual a 300 indiv´ıduos?
Exerc´ıcio 15:Numa regia˜o do cerrado brasileiro a pesca predato´ria tem diminu´ıdo
o nu´mero peixes de determinada espe´cie. Para evitar a extinc¸a˜o da mesma, auto-
ridades interditaram a regia˜o impedindo a pesca e contrataram pesquisadores para
estudar a regia˜o. Esses estudos indicaram que o nu´mero de peixes N, decorridos m
meses, e´ dado pela fo´rmula:
N = 5 · 103 − 5 · 102 · 20,1m
e que antes do retorno das atividades de pesca, o nu´mero de peixes deve ser 4000
para que a regia˜o volte ao equil´ıbrio.
5
a) Qual o nu´mero nu´mero de peixes no primeiro apo´s a interdic¸a˜o? E no quinto
meˆs?
b) Quanto tempo a regia˜o ficara´ interditada?
Exerc´ıcio 16: O crescimento de um carvalho americano pode ser modelado pela
func¸a˜o
y = −0, 003x3 + 0, 137x2 + 0, 458x− 0, 839
onde y e´ a altura da a´rvore em pe´s e x e´ a idade da a´rvore em anos. para 2 ≤ x ≤ 34.
a) Qual a altura em pe´s no segundo ano?
b) Qual a altura da a´rvore no 10 ano?
REFEREˆNCIAS BIBLIOGRA´FICAS
FLEMMING, D. M.; GONC¸ALVES, M. B. Ca´lculo A: func¸o˜es, limite, derivac¸a˜o e
integrac¸a˜o. 5 ed. Sa˜o Paulo: Makron, 1992.
MEDEIROS, V. Z.; CALDEIRA, A. M.; SILVA, L. M. O.; MACHADO, M.A. S.
Pre´-Ca´lculo. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006.
HARSHBARGER, R. J. Matema´tica aplicada: administrac¸a˜o, economia, cieˆncias
sociais e biolo´gicas. 7 ed. Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 2006.
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