APOSTILÃO MÓDULO MATEMÁTICA

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FABRA – FACULDADE BRASILEIRA
COMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA
RESOLUÇÃO Nº. 02/97
MÓDULO ESPECÍFICO
MATEMÁTICA
SERRA – ES
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COMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA
RESOLUÇÃO Nº. 02/97
				
Estimado (s) Alunos (as):
Este material didático pedagógico tem por objetivo auxiliá-lo em suas atividades acadêmicas. Nele, constam todas as disciplinas do Módulo Específico do seu curso de Complementação Pedagógica em 	Matemática – Resolução Nº. 02/97. Sendo este, um forte instrumento para a sua trajetória acadêmica.
A Complementação Pedagógica na área específica de Artes foi elaborada com o intuito de oportunizar conhecimentos teóricos e práticos pedagógicos na área de Matemática e Educação, seja através de pesquisas, seja através de reflexões críticas sobre os Fundamentos e a Metodologia do Ensino de Matemática na Contemporaneidade, uma vez que é fato a carência nas escolas de professores habilitados em determinadas disciplinas e localidades, em caráter especial. 
Com tal concepção, o Grupo FABRA apresenta a Complementação Pedagógica em Matemática visando fortalecer conhecimentos sobre fundamentos metodológicos na área de Matemática e Educação, bem como formar novos profissionais para esta área específica de conhecimento. Neste sentido, o Grupo FABRA busca propiciar via de acesso ao magistério aos portadores de diploma de cursos superiores (distintos de licenciatura) seguindo orientação presente na Lei Nº 9.394/96.
Bons estudos!
A Direção
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SUMÁRIO
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA	04
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA	82
COMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA
RESOLUÇÃO Nº. 02/97
FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA
SERRA – ES
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1 EMENTA
Conteúdos Matemáticos Básicos do Ensino Fundamental: Números e Álgebra; Noções de Geometria; Noções de Comprimento, Área, Volume, Capacidade e Massa. 
2 OBJETIVOS 
Apresentar os principais conteúdos matemáticos básicos do Ensino Fundamental: números e álgebra; noções de geometria; noções de comprimento, área, volume, capacidade e massa. 
3 conteúdo programático
	UNIDADE I – NÚMEROS E ÁLGEBRA 
UNIDADE II – NOÇÕES DE GEOMETRIA
UNIDADE III – NOÇÕES DE COMPRIMENTO, ÁREA, VOLUME, CAPACIDADE E MASSA
4 METODOLOGIA DE ENSINO
A disciplina será ministrada partir de: dinâmica de apresentação; análise crítico conceitual do título da disciplina; turbilhão de ideias; leitura crítica dos textos; relação entre as leituras e as experiências dos alunos; discussão em grupo; entrevistas; aula expositivo-dialogada; produção de resumos textuais; pesquisa bibliográfica; seminário; painel com resumos dos trabalhos; pesquisa de campo e mesa redonda. 
5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação da aprendizagem será contínua, considerando os seguintes critérios: participação e envolvimento nas atividades propostas; trabalhos elaborados e apresentados; leituras realizadas; participação nos estudos em grupo, assiduidade; construção de quadro teórico conceitual abordando as teorias estudadas no decorrer do curso.
UNIDADE I – NÚMEROS E ALGEBRA
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Os conjuntos numéricos são os que possuem características semelhantes. Temos então os seguintes conjuntos numéricos: 
Conjunto dos números Naturais ();
Conjunto dos números Inteiros ();
Conjunto dos números Racionais ();
Conjunto dos números Irracionais ();
Conjunto dos números Reais ();
Conjunto dos números Complexos ();
O conjunto dos números naturais tem uma abordagem histórica significativa constituem a base para a definição e trabalho com os demais números: inteiros, racionais, reais, complexos. Eles estão presentes de uma forma intensa em nossas vidas. Para nós hoje, “contar” é uma atividade trivial que faz parte do nosso dia-a-dia, mas o processo de construção do conceito de número se deu ao longo dos tempos. A matemática tem sua história, ela se desenvolveu e continua a se desenvolver no contexto da evolução da humanidade desde da época dos homens primitivos.
Acredita-se que os nossos ancestrais remotos, antes de contar, tinham já o senso numérico que é a capacidade que permite ao homem, mesmo nas mais caixas etapas de desenvolvimento, reconhecer que alguma coisa mudou numa coleção, quando um objeto foi retirado ou adicionado à coleção. O senso numérico é limitado e não pode ser confundido com a contagem, processo que envolve uma atividade mais complexo, a contagem foi um a artifício que o homem aprendeu e que o permitiu a ultrapassar o senso numérico, na percepção da pluralidade.
O homem aprendeu a contra utilizando-se do processo de comparar, confrontar, isso lhes permitia quantificar conjuntos, sem ter ainda abstraído o conceito de número. Ao processo de comparar duas coleções, os matemáticos deram o nome de correspondência um-a-um.
Veja as representações abaixo entre os conjuntos A, B e C:
 A B C
	
Esses conjuntos têm algo em comum, possuem o “mesmo número” de elementos, isto é, a mesma cardinalidade. Desse processo de comparação surge uma ideia abstrata, é nessa possibilidade de abstração que a correspondência um-a-um permite a enumeração, comparando os conjuntos de pedras, pérolas, ossos, pauzinhos, nós em cordas, entalhes em madeira, também os dedos da mão e de outras partes do corpo, o homem procedeu à contagem, sem ter ainda abstraído o conceito de número.
 Imagem adaptada de Ifrah (1989, p. 46)
Como mostra a figura anterior, para contar uma nuvem de pontos, é necessário utilizar uma linha em ziguezague, passando sucessivamente de um a outro ponto. O número do ponto terminal dará o número de pontos do conjunto. Com a compreensão do número natural, surgiu a necessidade da organização desses números segundo uma sucessão concebida como coleções de entidades abstratas, obtidas a partir do “1”, acrescentando-se uma unidade ao precedente.
Esse é o “princípio da recorrência”:
1
2 = 1+1
3 = 1+1+1
4 = 1+1+1+1
5 = 1+1+1+1+1, e assim sucessivamente.
Podemos notar que a abstração do conceito de número natural foi um longo processo de construção que se desenvolveu a partir das necessidades individuais e pessoais do homem.
O sistema de numeração que utilizamos atualmente é o sistema de numeração decimal, nele os elementos são agrupados de 10 em 10. Esse sistema também é conhecido por sistema de numeração indo-arábico, pelo fato de ter sido desenvolvido pelos hindus e aperfeiçoado e difundido pelos árabes. Os símbolos são chamados algarismos, palavra decorrente do nome do matemático árabe Mohammed AL-Khowarizmi. 
A base 10 ou decimal é adotada em quase todo o mundo. Contamos em grupos de 10, assim: 
- 10 unidades formam 1 dezena; 
- 10 dezenas formam 1 centena
- 10 centenas formam 1 unidade de milhar;
- 10 unidade de milhar formam 1 dezena de milhar. 
E assim por diante.
Sendo também um sistema de numeração posicional, cada algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição que ocupa na representação do número. Cada posição é contada da direita para a esquerda, recebe o nome de ordem. 
	
12ª
ordem
	
11ª
ordem
	
10ª
ordem
	
9ª
ordem
	
8ª
ordem
	
7ª
ordem
	
6ª
ordem
	
5ª
ordem
	
4ª
ordem
	
3ª
ordem
	
2ª
ordem
	
1ª
ordem
	
Centena
 de bilhão
	
Dezena
 de bilhão
	
Unidade de
 bilhão
	
Centena de milhão
	
Dezena de milhão
	
Unidade de milhão
	
Centena
 de 
milhar
	
Dezena de milhar
	
Unidade de
milhar
	
Centena de unidades simples
	
Dezena
 de
 unidades simples
	
Unidades simples
O CONJUNTO N DOS NÚMEROS NATURAIS
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,....}
A sucessão dos números naturais começa com o zero e cada número é obtido acrescentando-se uma unidade ao anterior. O menor número natural é o zero.
O conjuntodos números naturais é infinito, nele não existe o maior número natural.
Ao excluirmos o zero, temos o conjunto dos números naturais não-nulos:
N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,....}. 
O asterisco indica que o zero foi excluído do conjunto.
As características mais importantes mais importantes do conjunto N:
	{m, n} m + n; m .n} 
	m – n nem sempre pertence a Ex: 3 – 7(
	
OPERAÇÃO DE NÚMEROS NATURAIS
A adição é uma operação ligada a situações que envolvem as ações de juntar ou acrescentar quantidades.
A subtração é uma operação que pode estar associada a três ideias diferentes: tirar, completar ou comparar. 
	Propriedades
	Adição
	Subtração
	Comutativa
	A ordem das parcelas não altera a soma.
	No conjunto de números naturais a subtração não é comutativa.
	Associativa
	Na adição de três ou mais parcelas podemos associar essas parcelas de maneiras diferentes que o resultado não se altera.
	No conjunto dos números naturais, a subtração não é associativa.
	Elemento Neutro
	O zero é elemento neutro da adição. 
10 +0 = 10
	0 – 4 é impossível.
A multiplicação é uma operação que pode estar associada à ideia de juntar quantidades iguais oi à ideia combinatória.
	Propriedades
	Multiplicação
	Comutativa
	Na multiplicação de dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto. 4 x 15 = 15 x 4
	Associativa
	Na multiplicação de três números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos. 3 x (4 x 8) = (3 x 4) x 8 
	Elemento Neutro
	O número 1 é chamado de elemento neutro da multiplicação, pois na multiplicação de um número natural qualquer por 1, o produto é sempre igual a esse número natural.
	Distributiva
	Multiplicar um número natural pela soma de outros é o mesmo que multiplicar esse número pelas parcelas da adição e, em seguida, adicionar os resultados. 
4 x (8 – 5) = 4 x 8 – 4 x 5 = 32 – 20 = 12
A operação divisão com números naturais está ligada à ideia de repartir uma quantidade em partes iguais e à ideia de verificar quantas vezes uma quantidade cabe em outra. 
	Propriedades
	Divisão
	Comutativa
	No conjunto dos números naturais, a divisão não é comutativa. 10:2 ≠ 2:10
	Associativa
	No conjunto dos números naturais, a divisão não é uma operação associativa. (48:6): 2 ≠ 48: (6:2) 
	Elemento Neutro
	No conjunto de números naturais não existe elemento neutro para a divisão.
A operação potenciação com números naturais é diferente da multiplicação. Enquanto a multiplicação é utilizada para representar uma adição de parcelas iguais, a potenciação é utilizada para representar uma multiplicação de fatores iguais: 3.3.3.3 = 34= 81(lemos: três cubo é igual a 81).
 4 fatores iguais
A multiplicação 4.4.4 = 64 pode ser expressa por 43= 64, onde: 4 é a base, 3 é o expoente e 64 a potência.
- Em uma potência cuja base é um número qualquer e o expoente é igual a 1, o resultado é o próprio número. Exemplos: 21= 2; 31= 3; 71= 7.
- Em uma potência cuja base é diferente de zero e o expoente é igual a zero, o resultado é igual a 1. Exemplos: 20= 1; 30= 1; 70= 1.
- Na multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e somam-se os expoentes. Exemplos: 21. 24= 21+4= 25.
- Na divisão de potências de mesma base, conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Exemplos: 34. 31= 34 -1 = 33.
- Na potência de potência, conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. Exemplos: (23)4= 23 .4= 212.
A operação radiciação com números naturais é uma operação inversa da potenciação. A expressão  chama-se n o índice, a o radicando e  radical o resultado a raiz. 
Exemplo: 
2√9 = 3, lemos: raiz quadrada de 9 é igual a 3.
2 é o índice, 9 o radicando e o radical e 3 a raiz.
PROBLEMAS COM NÚMEROS NATURAIS
1) O dobro da idade de uma pessoa é 30 anos. Quantos anos ela tem?
Linguagem matemática: 2x =30
Resolução:
2x = 30x = 30: 2x = 15 (o número é 15).
2) Um número mais o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número?
Linguagem matemática: x + 3x = 40
Resolução:
x + 3x = 404x = 40x = 40: 4 x=10 (o número é 10).
3) O triplo de um número mais o seu dobro é igual a 40. Determine esse número.
Linguagem matemática: 3x + 2x = 40
Resolução:
3x + 2x = 405x = 40x = 40: 5 x= 8 (o número é 8).
4) A diferença entre o quádruplo de um número e o seu dobro é 14. Qual é esse número?
Linguagem matemática: 4x - 2x = 14
Resolução:
4x - 2x = 142x = 14x = 14 : 2x=7 (o número é 7).
5) O dobro de um número mais 8 unidades é igual a 20. Qual é esse número?
Linguagem matemática: 2x + 8 = 20
Resolução:
2x + 8 = 20 2x = 20- 8 2x = 12 x=12: 2 x = 6(o número é 6).
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL
Numa multiplicação, o produto é múltiplo de cada um dos fatores. Por exemplo, dizemos que 18 é múltiplo de 6 ou 3, pois 3.6 = 18
Assim, se quisermos determinar os múltiplos de um número natural, devemos multiplicar esse número pela sucessão dos números naturais.
Quais são os múltiplos de 6?
Como o conjunto de números naturais é infinito, então o conjunto dos múltiplos de um número natural também é infinito.
M6= {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72,...}
Os múltiplos de 6 são: 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...
Isso quer dizer: se 54 é múltiplo de 6, então 54 é divisível por 6.
Se 6.9 = 54, então 54 também é múltiplo de 9 e é divisível também por 9.
Outras representações dos múltiplos:
a) M2= {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ... }
b) M10= {0,10,20,30,40,50, ...}
c) M8= {0, 8, 16, 24,...}
DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
Divisores de um número natural são demonstrados no cálculo da divisão, quando o resultado é uma divisão exata, isto é, com o resto igual a zero.
O conjunto de divisores de um número é um conjunto finito.
Exemplo: Seja a expressão: 3.6 = 18.
Isso nos mostra que 18 é múltiplo de 3 e 6. Assim 3 e 6 são divisores de 18.
Para determinarmos todos os divisores de 18, dividimos 18 pelos números naturais que dão divisões exatas.
18:1 = 18
18: 2 = 9
18: 3 = 6
18: 6 = 3
18: 9 = 2
18: 18 = 1
Outras representações dos divisores:
D4= {1, 2, 4}
D20= {1, 2, 4, 5, 10, 20}
D21= {1, 3, 7, 21}
Podemos afirmar:
- O conjunto dos divisores de 1 é unitário.
- O conjunto dos divisores de 7 é vazio.
- O menor divisor de qualquer número é o 1.
- O maior divisor de um número diferente de zero é ele mesmo.
- O zero não é divisor de nenhum número natural.
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
- Um número é divisível por 2 quando for par, Isto é, quando o último algarismo for 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
- Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 3,ou seja, for um número múltiplo de 3.
- Um número é divisível por 4 quando os seus dois últimos algarismos forem 00 ou formarem um número que é múltiplo de 4. 
- Um número é divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
- Um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo.
- Um número é divisível por 8 quando os seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número divisível por 8.
- Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos de seus algarismos for divisível por 9,ou seja, for um número múltiplo de 9.
- Um número é divisível por 10 quando terminar em 0.
NÚMEROS PRIMOS E NÚMEROS COMPOSTOS
- São aqueles números naturais, maiores que 1 e que possuem apenas dois divisores, o 1 e o próprio número. Dessa forma o número 1 não é primo.
- Os números compostos são aqueles que possuem mais de dois divisores.
- Números primos compreendidos entre 1 e 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
Podemos afirmar:
- O único número par que é primo é o 2.
- Nem todos os números ímpares são primos.
- Todo número composto admite pelo menos um divisor primo.
- O número 1 não é primo nem composto.COMO RECONHECER SE UM NÚMERO É PRIMO
- Dividimos o número dado sucessivamente pelos números primos: 2, 3, 5, 7, 11,... Se nenhuma divisão for exata e tivermos um quociente menor ou igual ao divisor, então podemos dizer que o número é primo.
Exemplo 1: 57
Exemplo 2: 61
DECOMPOSIÇÃO DE NÚMEROS EM FATORES PRIMOS
Divide-se o número dado pelo seu menor divisor primo, em seguida divide-se o quociente obtido pelo seu menor divisor primo, e assim sucessivamente, até obtermos quociente igual a 1. Exemplos: 
a) 
 
CÁLCULO DO MMC PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Mínimo múltiplo comum (mmc) de dois números naturais é o menor múltiplo comum, diferente de zero, destes números.
Exemplo:
M4= {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...}
M6= {0, 6, 12, 18, 24,...}
M4 ∩ M6 = {0, 12, 24,...}
O menor múltiplo comum não nulo de 4 e 6 é 12. Indica-se: m.m.c. (4,6) = 12
Utilizando a regra prática pela decomposição em fatores primos podemos obter o mmc de dois ou mais números.
Podemos decompor os números separadamente ou simultaneamente. 
Veja o cálculo do mmc de 4 e 6 por fatores primos simultaneamente:
4, 6 2 divide ambos os números
2, 3 2 divide somente o número 2
1, 3 3 divide somente o número 3
 1
O mmc é dado pelo produto dos fatores primos encontrado. Assim:
CÁLCULO DO MDC PELA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS
Máximo divisor comum (m.d.c.) de dois números é o maior divisor comum destes números.
Exemplo:
D4= {1, 2, 4}
D10= {1, 2, 5, 10}
D4 ∩ D10 = {1, 2}
O maior divisor comum não nulo de 4 e 10 é 2. Indica-se: m.d.c. (4,10) = 2
Utilizando a regra prática pela decomposição em fatores primos podemos obter o mdc de dois ou mais números.
Podemos decompor os números separadamente ou simultaneamente. 
Veja o cálculo do mdc de 4 e 10 por fatores primos simultaneamente
4, 10 2 divide ambos os números
 2, 5 2 divide somente o número 2
 1, 5 5 divide somente o número 5
 1
Nesse caso o mdc é dado pelo produto dos fatores primos que divide ambos. Assim, mdc (4,10) = 2, pois somente o número 2 divide a ambos.
Quando o mdc de dois ou mais números naturais é igual a 1, dizemos que esses números são primos entre si.
Veja, por exemplo, os divisores dos números 51 e 64.
D51= {1, 3, 17,51}
D64= {1, 2, 4, 8, 16, 32, 6}
O único divisor comum desses números é o 1, ou seja o mdc (51,64) = 1. Dessa forma, dizemos que os números 51 e 64 são primos entre si.
O CONJUNTO Z DOS NÚMEROS INTEIROS
Esse é o conjunto dos números negativos e positivos. Nele o zero não é número positivo e nem negativo. E o resultado de suas operações sempre será um número inteiro.
Z = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,...} ou
Z* = {..., -5, -4, -3, -2, -1, +1, +2, +3, +4, +5,...}
Ao excluirmos o zero, temos o conjunto dos números inteiros não-nulos: Z*.
Questões tais como: controle da temperatura de verão ou de inverno rigoroso; saldo de gols de um time sofreu mais gols do que marcou; o registro em um extrato bancário com saldo devedor ou não; as medidas da altitude de umas montanhas ou as profundidades de um lago; resolvemos tais questões mediante as indicações dadas por números negativos ou positivos. 
No entanto, não é possível sempre dividir um número inteiro por outro e o resultado serem inteiro. Se tentarmos dividir 5 por 2, por exemplo, o resultado não será exato, não será inteiro. Logo, esse conjunto não serve ainda para representar todas as quantidades existentes. Nosso sistema monetário, com centavos, não pode ser representado só com números inteiros. Surge então o conjunto dos números racionais. 
O CONJUNTO R DOS NÚMEROS REAIS 
É a união do conjunto dos números naturais, dos números inteiros, dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Ao excluirmos o zero, temos o conjunto dos números reais não-nulos: R*. O conjunto R  pode ser visto como o modelo aritmético de uma reta horizontal, chamada eixo, enquanto esta, por sua vez, é o modelo geométrico de R. Esta inter-relação entre Geometria e Aritmética, entre pontos e números, é responsável por grandes progressos da Matemática atual.
√2 √3
 -4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
Observando o desenho acima.
– O número 4, nessa reta numérica, está localizado entre o número 2 e 3.
 11
O CONJUNTO Q DOS NÚMEROS RACIONAIS
Nesse conjunto representamos um número na forma de fração e na forma decimal; os resultados das operações exatas e inexatas, ou seja, as dízimas periódicas. 
Q = {a/b: a, b Z, B ≠ 0}
Exemplos de números racionais: 0; 1,25; 0,3333...; -3; 15; entre outros.
O CONJUNTO Q DOS NÚMEROS IRRACIONAIS
Nesse conjunto representamos os resultados das operações inexatas, números que não podem ser escritos na forma fracionária, ou seja, as dízimas não-periódicas. Os números irracionais estão presentes nas reflexões e pesquisas matemáticos já muitos anos, usamos um valor aproximado para representá-los. 
Exemplo: 
√2 ≈ 1,4142 ( aproximação para décimos de milésimos)
√2 ≈ 1,41421 ( aproximação para centésimos de milésimos)
√2 ≈ 1,414213562 ( aproximação com 9 casas decimais)
A √2 tem infinitos algarismos decimais não-periódicos, não é um número racional, então não podemos escrevê-lo na forma de fração, ele é chamado número irracional.
Outros números que apresentam essas características: 
√5 ≈ 2, 236067 ... 
√23 ≈ 4, 795831 ...
O CONJUNTO C DOS NÚMEROS COMPLEXOS
A história conta que durante um tempo os matemáticos chegaram a ser influenciados pela não-confiabilidade dos números complexos, ou seja, os números complexos eram considerados artificiosos, embora os resultados obtidos fossem corretos. 
Os estudos desses números contaram com a contribuição importante do matemático Leonhard Paul Euler, que utilizou o i para representar a unidade imaginária, do matemático Caspar Wessel que descobriu e publicou pela primeira vez, em 1797, uma representação gráfica para os números complexos e do Matemático Carl Friedrich Gauss que em 1822, utilizou a expressão “números complexos”.
O conjunto dos números complexos é o conjunto que possui maior cardinalidade, pois ele contém todos os outros conjuntos.
Os conjuntos são os dos números: naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e complexos.
 O produto da unidade imaginária i por um número real qualquer somado a outro número real, acrescidos geram o conjunto dos números complexos. 
Pode ser escrito na forma z = a + bi, em que z é o número complexo; a é a parte real de z; b é a parte imaginária de z e i é a unidade imaginária.
Um número complexo z = a + bi é denominado: imaginário puro: quando a = 0.
Exemplo: z = 0 + 2i, ou simplesmente z = 2i.
- Real: quando b = 0
Exemplo: z = 3 + 0i, ou simplesmente z = 3.
Uma equação como 2 + 1 = 0 não tem raiz real. Mas uma raiz procurada deve ser um número que multiplicado pó si mesmo resulte em – 1. A raiz quadrada do número – 1 foi denominada unidade imaginária, devido às desconfianças que os matemáticos tinham dessa nova criação, de modo que o resultado dessa raiz quadrada ficou: i2 = − 1.
O conjunto dos números complexos também pode ser visto como um espaço vetorial, tanto sobre como sobre . 
Além disso, a cada número complexo podemos atribuir um número real positivo chamado módulo, dado por: .
O módulo de z, visto como uma norma no espaço vetorial conduz a um espaço normado topologicamente completo.
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES
As equações são expressões algébricas que representam uma determinada situação problema. Os cálculos estabelecem a igualdade e envolvem a aritmética com letras (incógnitas). Incógnitas são letras que representam um número desconhecido que devemos descobrir.
Que número elevado ao quadrado é igual a 49? 
 R: Podem ser o – 7 ou o + 7. Logo, x = – 7 ou x =+ 7. Observamos a sentença matemática: 2 = 49. 
Tipos de equações:
- Equações do 1º grau;
- Equações quadráticas;
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Sentenças tais como 3x + 5 = 74 e 2x – 7 = 61 são chamadas de equações do primeiro grau e são muito usadas para resolver problemas por cálculo mental, por tentativa e erro, com o uso de diagramas, com o uso das operações inversas ou explorando a ideia de equilíbrio.
Por cálculo mental:
- Eu pensei num número e o multipliquei por 3, pó resultado é igual a 21. Qual foi o número que pensei?
R: É o número 7, pois 3 . 7 = 21. A sentença matemática é 3x = 21.
Por tentativa ou erro:
- Eu pensei num número, tripliquei-o por 3, somei com 5 e obtive 74, que número eu pensei?
R.: Vamos representar esse número por x e montar uma equação. 
x: número.
3x = triplo do número.
Equação: 3x + 5 = 74.
 Então, está entre 20 e 25!
Com o uso de diagramas:
 O primeiro transforma x em 4x + 6 e o 
 Segundo faz o caminho inverso: leva 4x + 6	
 em x. Por exemplo: 
 - No primeiro, iniciamos com 3 (x = 3),
 chegamos ao 18 (3 . 4 = 12 e 12 + 6 = 18).
 - No segundo, iniciando com 18 (4x + 6 = 18),
 chegamos a x = 3 ( 18 – 6 = 12 e 12 : 4 = 3). 
Com uso das operações inversas
- Que número sou eu? O dobro do meu sucessor mais 8 é igual a 38.
R.: Se eu chamar de x o número desconhecido e de (x + 1) seu sucessor, a equação que traduz o problema é 2 (x + 1) + 8 = 38.
Aplicando a propriedade distributiva podemos eliminar os parênteses e, efetuando as operações possíveis, podemos deixar a equação mais simples.
2(x + 1) + 8 =38 para 2x + 10 = 38.
Para encontrar o valor de x, desfazemos as operações usando suas inversas. Assim, desfazemos a adição com uma subtração e a multiplicação com a divisão. Veja: 
 Verificação: 
 Número: 14
 Sucessor: 14 + 1 = 15
 2.15 + 8 = 38
Explorando a ideia de equilíbrio e resolvendo equações
A igualdade traduz a ideia de equilíbrio. Lembramos então da balança de dois pratos. Com objetos colocados nos pratos, de modo que a balança esteja em equilíbrio formulamos uma equação (que é uma igualdade), para ilustrar propomos exercícios. 
 Equação correspondente:
 5x = 3x + 240
Podemos tirar ou acrescentar pesos iguais nos dois pratos da balança sem alterar o equilíbrio. Isso corresponde subtrair ou adicionar um mesmo número em ambos os membros, mantendo a igualdade.
INEQUAÇÕES
Quando observamos as balanças e as sentenças matemáticas que relacionam a massa dos objetos de cada prato diferentes temos então uma desigualdade. Assim essa sentença não é uma equação. Mas se ela tiver uma letra (incógnita), ela será uma inequação.
Desigualdade é uma sentença matemática numérica em que aparece um dos sinais que separam o primeiro membro do segundo membro da equação: > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual a), ≤ (menor ou igual a) ou ≠ (diferente). 
Observe as figuras semelhantes às balanças e as sentenças matemática
 Balança 1 Balança II
A sentença matemática da balança 1 é uma igualdade que apresenta a incógnita, então é uma equação. Já a sentença matemática da balança II apresenta uma incógnita, mas não é uma igualdade; é uma desigualdade. Assim essa sentença não é uma equação. A desigualdade 8x < 20 é um exemplo de inequação cuja incógnita é x. 
Para descobrir o valor de x, vamos fazer algumas tentativas: 
Fazendo novas tentativas irá perceber as infinitas possibilidades, visto que o valor de x não é necessariamente expresso por um número natural.
O que ocorre em uma desigualdade quando somamos um mesmo número em dois membros?
Exemplo:
1) x – 2 > 10 ↔ x – 2 + 2 > 10 + 2 ↔ x > 12
2) x + 8 < 10 ↔ x + 8 (- 8) < 10 + (- 8) ↔ x < 2
E se multiplicarmos os dois membros de uma desigualdade por um mesmo número?
Exemplo:
1) 2x > 10 ↔ 2x. (½) > 10. (½) ↔ x > 5
2) 4x >12 ↔ 4x. (- ½) < 12. (- ½) ↔ – 2x < – 6 ↔ x < – 3
SISTEMA COM EQUAÇÕES DO 1º GRAU
São situações que envolvem mais de uma variável e formam equações com duas variáveis como . Muitas vezes a utilizamos em situações do cotidiano.
 - Por exemplo, quando vamos a uma feira livre observamos que os alimentos costumam ser vendidos por unidade, por baciada ou por quilograma. As bancas disputam com os preços e os produtos são variados. Suponha que você quisesse comprar dois produtos diferentes: batatas a R$ 2,50 o quilo e tomates a R$ 3,00 o quilo, qual a expressão algébrica poderia representar o gasto total nessa compra de x kg de batatas e y kg de tomates?
R.: 2,50x + 3y
- Imagine agora que você tenha gastado um total de R$ 15, 00 comprando esses produtos. Quantos quilogramas de batatas e tomates você pode ter adquirido?
R.: 2,50x + 3y = 15 Há muitas possibilidades, por exemplo, fazendo x = 3 (seria então 3 kg de batatas, R$ 7,50) e y = 2,5 (seria então 2,5 kg de tomates, R$ 7,50). 
Como ficaria no sistema de equação? Utilizamos a álgebra para determinar, exatamente, a quantidade em quilogramas. Podemos escrever as equações do 1º grau com duas incógnitas:
As duas equações consideradas simultaneamente formam um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas.
Os valores x = 3 e y = 2,5 formam um par ordenado de números que é a solução da equação x + y = 5,5. Essa afirmação é verdadeira, pois ao substituirmos x e y respectivamente por 3 e 2,5 o tal é 5,5.
Resolução: Método da Adição
R.: x + y = 5,5.(- 2,5) multiplicamos a primeira equação por (-2,5) 
 2,5x + 3y = 15 
 
 - 2,5x – 2,5y = - 13,75 Adicionamos as duas equações e podemos 
 2,5x + 3y = 15 cancelar – 2,5x com + 2,5x, pois são termos 
 0,5y= 1,25 opostos.
 y= 2,5
Substituindo y por 2,5 numa das equações desse sistema, calculamos o valor de x: x + y = 5,5
x + 2,5 = 5,5
x = 5,5 – 2,5
x = 3
OUTRO PROBLEMA ASSOCIADO A UM SISTEMA
Na entrada de um parque de diversão há uma tabela de preços onde informa a entrada do adulto ( a partir de 15 anos) por R$ 15,00 e da criança (até 15 anos) por R$ 8,00. Mateus e su esposa lemvaram seus filhos ao parque e compraram 6 ingressos. No total gastaram R$ 69,00.
Resolução: Método da substituição
Vamos primeiro traduzir o problema citado para a linguagem algébrica. Ao considerar x o número de adultos e y o número de crianças, temos:
A quantidade 7 ingressos comprados x + y = 6
A quantidade paga de R$ 69,00 15x + 8y = 69
Nesse caso temos duas equações de 1º grau com duas incógnitas, formando o sistema de equações. Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Ou seja, vamos descobrir o par ordenado (x, y) que é a solução das duas equações ao mesmo tempo.
R.: x + y = 6 
 15x + 8y = 69 
Inicialmente, isolamos uma incógnita (y, por exemplo) de uma das equações (da primeira, por exemplo): x + y = 6 ↔ y = 6 – xEm seguida, na outra equação, substituímos y por 6 – x e, assim obtemos uma equação com apenas uma incógnita.
15x + 8y = 69 ↔ 15x + 8.(6 – x) = 69 ↔ 15 x + 48 – 8x = 69 ↔ 7x + 48 = 69
↔ 7x = 69 – 48 ↔ 7x = 21↔ x = 3
Substituindo x por 3 numa das equações desse sistema, calculamos o valor de y: x + y = 6
3 + y = 6 
y = 6 – 3 ↔ y = 3
Então o par ordenado (3,3) é a solução dessa equação.
Resolução gráfica 
Vamos resolver graficamente esse mesmo sistema:
R.: x + y = 6 
 15x + 8y = 69 
Para a resolução gráfica de um sistema de duas equações com duas incógnitas, é necessário representar em um mesmo plano cartesiano as soluções das duas equações. Assim, teremos duas retas. O ponto de cruzamento dessas duas retas é a solução do sistema. 
 
Então o par ordenado (3,3) é a solução do sistema. 
EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
São as equações de 2º grau que podem ser colocada na forma normal ou reduzida ax2 + bx + c = 0 por operações elementares. Essas equações podem ter até duas soluções reais distintas.
Os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0, pois se a = 0, o termo 2º grau fica anulado.
Vejamos os valores de a, b e c nas equações abaixo:
 a = 1 
x2 - 5x + 6 = 0 → b= - 5 
 c = 6
A equação x2 - 5x + 6 = 0 é uma equação completa, pois não tem coeficientes nulos.
 a = 1 
 x2 + 3x = 0 → b= 3
 c = 0 (não existe o termo independente de x)
A equação x2 + 3x = 0 é uma equação incompleta, pois tem coeficiente nulo.
Fórmula de Bháskara:
 Bháskara foi um dos importantes matemáticos do século XII, não se sabe 
 por que a fórmula foi batizada em seu nome, pois em sua época ainda não
 se representavam por letras os coeficientes de uma equação. Isso só veio 
 a ocorrer com François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Essa fórmula vale para qualquer equação do 2º grau. Ela permite calcular o valor de x utilizando os coeficientes a, b e c.
Podemos indicar o valor da expressão que discrimina o número das raízes pela letra grega Δ (delta). Assim, Δ = . 
Substituindo na fórmula da resolução de equações do 2º grau, obtemos: 
 
Sendo Δ =, temos três possibilidades:
Δ > 0 → A equação tem duas raízes reais (x1 e x2) diferentes.
Δ = 0 → A equação tem uma única raiz real (x1 e x2) iguais.
Δ< 0 → A equação não tem raízes reais, pois não há, no conjunto dos números reais, a raiz quadrada de um número negativo, (x1 e x2) não existe.
 - Calculemos agora a equação dada x2 - 5x + 6 = 0:
Primeiro vamos calcular delta: Δ = Δ =
 Δ = Δ = 1
Se Δ = 1, podemos substituir o valor de delta na fórmula resolutiva: ·.
 
 
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Podemos aplicar a equação do 2º grau em diversas situações-problemas, tais como o cálculo da proporção áurea, no cálculo da temperatura, para descrever o movimento uniformemente variado, por meio de conexões com a geometria, com a Física e com situações do cotidiano.
Exemplo: 
- Um objeto foi lançado do topo de um edifício de 91,8 m de altura, com velocidade inicial de 42 m/s. Quanto tempo ele levou para chegar ao chão? Para resolver essa situação vamos usar a fórmula:
d = 5t2 + 42t
 Movimento de queda 
 livre dos corpos relativo à velocidade inicial
R.: 1,8 s 5t2 + 42 t – 91,8 = 0; Δ = 3 600; t = = 1,8 ou t = - 51 (não serve)
- Uma indústria aplica-se a seguinte fórmula para o cálculo do custo em reais para a produção de x tonelada de vigas de metal: C = 25 + 90x – 0,85x2. Vamos calcular o custo para que sejam produzidas 100 toneladas.
R$ 525, 00 C = 25 + 90. (100) – 0,85. (100)2 C = 9 025 – 8 500C = 525
- Sabendo que a base maior do trapézio abaixo é igual ao triplo da altura, determine as medidas da base maior e da altura. Observe:
 8 cm A = (B + b). h 40 = (3h + 8). h 2. 40 = 3h2 + 8 h
 2 2 
 80 = 3h2 + 8 h 3h2 + 8 h – 80 = 0 Δ = 1 024
 h = . Então a base maior é 
 12 cm, pois é o triplo de 4 cm. 
 
SISTEMA COM EQUAÇÕES DO 2º GRAU
Alguns sistemas recaem em equações do 2º grau. Examine esse exemplo: a diferença de dois números é 12 e o produto deles é 45. Quais são esses números?
Chamamos de x e y esses números, temos: x – y = 12 e x.y = 45.
Temos: x – y = 12 
 x.y = 45
Podemos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para isso escolhemos uma equação e isolamos uma das incógnitas.
- Isolamos o x na 1ª equação: x – y = 12 ↔ x = 12 + y 
- Substituímos o valor de x na 2ª equação: x.y = 45 ↔ (12 + y).y = 45 
↔12y + y2 = 45 ↔ y2 + 12y – 45 = 0
Resolvendo y2 + 12y – 45 = 0 com a fórmula resolutiva de Bháskara, temos o valor de delta: Δ = Δ =
 Δ =144 Δ = 324
Se Δ = 324, podemos substituir o valor de delta na fórmula resolutiva: ·.
 
 
- Lembramos que quando isolamos o x na 1ª equação, x = 12 + y.
- Fazemos agora a verificação para y = 3:
 x = 12 + 3 x = 15 solução (x,y) = (15,3).
- Fazemos agora a verificação para y = – 15:
 x = 12 + (– 15) x = – 3 solução (x,y) = (– 3,– 15).
OUTRA SITUAÇÃO ASSOCIADO A UM SISTEMA COM EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Existem apenas dois números naturais tal que a diferença entre um deles e o dobro do outro é igual a 1 e a soma dos seus quadrados é igual a 58. Quais são esses números?
Números: x e y 
Temos: x – 2.y = 1 
 x2 + y2 = 58
A melhor forma de resolvermos é pelo método da substituição. Para isso escolhemos uma equação e isolamos uma das incógnitas.
- Isolamos o x na 1ª equação: x – 2.y = 1↔ x = 1+ 2.y 
- Substituímos o valor de x na 2ª equação: x2 + y2 = 58 ↔ (1+ 2y)2 + y2 = 58
 ↔(1 + 4y + 4y2 ) + y2 = 58 ↔ 5y2 + 4y – 57 = 0
Resolvendo 5y2 + 4y – 57 = 0 com a fórmula resolutiva de Bháskara, temos o valor de delta: Δ = Δ =
 Δ = 16 Δ = 1 156
Se Δ = 1 156, podemos substituir o valor de delta na fórmula resolutiva: 
·.
 
 
- Lembramos que quando isolamos o x na 1ª equação, x = 1+ 2.y.
- Fazemos agora a verificação para y = 3:
 x = 1+ 2.(3) x = 7 solução (x,y) = (7,3).
- Fazemos agora a verificação para y = – 3,8:
 x = 1+ 2.(- 3,8) x = – 6,6 solução (x,y) = (–6,6, – 3,8).
PROPORÇÃO
É uma igualdade entre duas razões. Proporção significa também uma relação entre as partes de uma grandeza ou quantidade. Entendemos por grandeza tudo que pode ser medido, contado; a grandeza pode ter suas medidas aumentadas ou diminuídas, pode ser comparado, exemplo: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.
Por exemplo:
Uma costureira ao calcular quantos metros de tecido ela gasta para aumentar a produção de certa peça de roupa, fazendo a comparação, ela encontra a proporção e poderá fazer previsões de compra conforme a procura. Relacionamos duas grandezas,o número de metros de tecido e o preço a pagar.
Sabendo quantos litros de combustível é colocado no carro para certo percurso, è possível fazer cálculos, prever o preço que pagaria em R$ conforme a quantidade colocada de litros de combustível. Relacionamos duas grandezas, o número de litros de gasolina e o preço a pagar.
Ao analisarmos e ao compararmos duas figuras semelhantes ou mais, observamos suas formas, seus tamanhos, se houve redução ou ampliação, na verdade estamos vendo a proporcionalidade de uma em relação à outra ou a outras.
Observe as seguintes figuras: 
Elas representam dimensões proporcionais, pois:
 
Considerando a propriedade fundamental das proporções :
Verificando as razões 2 e 3 , vemos a formação de uma proporção:
 10 15
Pois, 2 . 15 = 10 . 3, ou seja 30 = 30.
 Outras propriedades:
 
- Vamos aplicar tal propriedade na seguinte proporção: 4 = 6 .
 12 18
Temos: 4 + 12 = 6 + 18 ou 4 +12 = 6 + 18
 12 18 4 6 
Podemos aplicar essa propriedade também na seguinte situação:
Numa sala de aula há 21 alunos entre meninos e meninas. A razão do número de meninos para o número de meninas é de 3 para 4. Quantos meninos e quantas meninas há nessa sala? 
Resolução:
O número de meninos (x) está para o número de meninas(y), assim como 3 está para 4. Temos de determinar os valores de x e y na proporção: x = 3 .
 y 4
Sabendo que x = y = 21, podemos aplicar a propriedade:
x = 3 x + y = 3 + 4 ou x + y = 7 21 = 7 7.x = 3. 217x = 63x = 63 = 9
y 4 x 3 x 3 x 3 7
Se x = 9, então x + y = 21 9 + y = 21 y = 21 – 9 y = 12
Na sala de aula há 9 meninos e 12 meninas.
2ª – Em toda proporção, soma (ou a diferença) dos antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente. 
Aplicação da propriedade:
Resolução:
Determinamos por x a medida do ângulo AÔB e por y a medida do ângulo BÔC, isso significa que: x = y sabendo que x + y = 120.
 5 3
x = y x + y = x ou x + y = x 
5 3 5 + 3 5 5 +3 3
Como x + y = 120, temos: 120 = x 8 . x = 5 . 1208x = 600 x = 600x = 75
 8 5 8 
Se x = 75, então x + y = 12075 + y = 120y = 120 – 75 y = 45
Portanto a medida de AÔB é 75° e a medida de BÔC é 45°.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
As grandezas proporcionais variam do mesmo modo, quer dizer que, quando uma aumenta, a outra também aumenta; quando uma diminui a outra também diminui, por exemplo, quando compramos leite, o preço depende da quantidade de leite comprada. Veja como isso acontece na tabela:
	Quantidade de leite (litros)
	1
	2
	3
	4
	Preço (R$)
	2
	4
	6
	8
Se comprarmos 4 litros de leite, pagamos 8 reais; se comprarmos a metade da quantidade, 2 litros, pagamos 4 reais, a metade do primeiro preço. O preço de 1 litro de leite é de 2 reais, e se comprarmos o dobro, o preço também dobra; se comprarmos o triplo, o preço também triplica, e assim por diante. Peso e preço são grandezas que variam de modo proporcional.
Veja outro problema: 
Em um mapa, a distância entre duas cidades corresponde a 4,5 cm (uso da régua). Na realidade, elas distam 315 km. Em qual escala esse Mapa foi feito?
 escala = distância no desenho escala = 4,5 cmescala = 4,5cm 
 distância real 315 km 31 500 000 cm
Simplificando a fração por 4,5 temos a escala = 1 .
 7 000 000
Isso significa que cada 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real, que 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real . Portanto, o mapa foi feito na escala = 1 .
 7 000 000
Observação: As escalas também são usadas em outras áreas das atividades humanas como, por exemplo, na engenharia, na arquitetura ou na oceanografia.
 Há outras maneiras de se referir à proporcionalidade direta:
- Uma receita usa exatamente 680 g de farinha e rende 40 salgadinhos. Quantos quilos de farinha será necessário para fazer 100 salgadinhos?
40 = 100 (aplicação da regra de três simples)
680 x
40x = 68000x = 68000/40 x = 1700. R.: 1700 g ou 1,7 kg de farinha 
- Vamos verificar se os números: 8, 30,25 são inversamente proporcionais aos números 16, 60 e 50.
Resolução: 
 8 = 1 (aplicação da simplificação por 8)
16 2
30 = 1 (aplicação da simplificação por 30)
60 2
25 = 1(aplicação da simplificação por 25). 
50 2
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Certo carro pode percorrer 40 km/ h em 16 horas (tempo: h). Mantendo essa velocidade constante quantos quilômetros por hora ele percorrerá 80 km/h em 8 horas. Se a velocidade do carro é dobrada, e o tempo do percurso se reduz a metade. Nessas condições, dizemos que a velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais. Se a velocidade triplicar, o tempo se reduzirá a terça parte; quando a velocidade quintuplica, o tempo se reduz à quinta parte. Veja a tabela:
	Quinta Velocidade (Km/h)
	40
	80
	120
	160
	200
	Tempo (h)
	16
	8
	5,333...
	4
	3,2
Nesse caso, se formarmos as razões (os quocientes) entre cada número relativo à velocidade e o inverso do correspondente número, relativo ao tempo, veremos que os resultados são sempre iguais:
40 = 80 = 120 = 160 = 200 = 640
1 1 1 1 1 
16 8 5,3 4 3,2
40 . 16 = 80 . 8 = 120 . 5,3 = 160 . 4 = 200 . 3,2 = 640
Podemos afirmar que os números da sequência 40; 80; 120; 160 e 200 são inversamente proporcionais aos números da sequência 16; 8; 5,3; 4 e 3,2, pois o produto dessas grandezas é constante, ou seja, é sempre o mesmo. Esse produto é determinado fator de proporcionalidade.
Nesse exemplo o fator de proporcionalidade representa o espaço (e) percorrido pelo carro, que é o produto da velocidade por km/h (v) pelo tempo (t). Veja: e = VT → e = 40 km/h . 16 h → e= 640 km.
FUNÇÕES
O que vem em sua mente quando você lê ou ouve a palavra função?
Geralmente lembramo-nos da relação entre grandezas variáveis ou percebemos no cotidiano situações em que essa palavra está associada a diversos aspectos da realidade: a função que exerce a sua profissão, no seu trabalho, na sua família.
Uma pesquisa cabal sobre o conceito matemático entre outras definições, você seguramente vai encontrar essa pesquisa a palavra função associada também a uma área do conhecimento matemático. Lance um novo olhar sobre esse assunto, o olhar do educador de Matemática.
Conteúdos como razões, as proporções, as relações diretamente ou inversamente proporcionais entre outras grandezas, as equações e os sistemas de equações formam a base do estudo de funções. A importância do trabalho com o raciocínio proporcional está na exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a: representar, em um sistema de coordenadas cartesianas, a variação de grandezas, analisando e caracterizando o comportamento dessa variação em diretamente proporcional, inversamente proporcional ou não proporcional. 
Vamos partir de algumas situações-problemas onde teremos algumas destacadas com as relações proporcionais entre as grandezas para encaminhar a ideia de função. Além disso, podemos associar funções ao estudo de gráficos com os quais constantemente estamos em contato, sejapor meio de jornais, revistas e outros meios. 
Situação 1
Um trem viaja com velocidade constante. A distância percorrida pelo trem (d) é função do tempo de viajem (t). Veja na tabela valores de t e d.
	t (horas)
	0
	1
	2
	3
	4
	d (quilômetros)
	0 
	40
	80
	120
	160
Observe que para cada valor de t obtemos d multiplicando t por 40. 
Ou seja, d = 40t é a lei de formação dessa função, onde d é a variável dependente e t é a variável independente. 
Calcule mentalmente à distância percorrida pelo trem em 2,5 horas de viagem.
Situação 2
A tabela abaixo relaciona duas grandezas variáveis: a medida do lado de um quadrado (L) e seu perímetro (P). 
	Lado (cm) 
	1
	1,5
	2
	2,5
	3
	3,8
	4
	10
	Perímetro (cm)
	4
	6
	8
	10
	12
	15,2
	16
	40
 L
 L Qual á fórmula ou lei da função? 
Observe os dados da tabela, tem um padrão para o perímetro (P) em função da medida do lado (L). O perímetro de um quadrado varia de forma diretamente proporcional à medida de seu lado, porque dobrando a medida do lado o perímetro dobra; triplicando a medida do lado, seu perímetro triplica e assim por diante.
A fórmula que fornece o perímetro (P) em função da medida do lado (L) de um quadrado é dada por: P = 4L.
Tanto a tabela como a fórmula mostram como o perímetro varia em função da medida do lado. Nesse exemplo o perímetro P é a variável dependente e L é a variável independente.
A representação gráfica dos dados dessa tabela em um gráfico nos ajuda aperceber como o perímetro do quadrado varia com a medida do comprimento do lado. Marcando os pontos correspondentes aos pares (L, P) no plano cartesiano ou usando o papel quadriculado, ligue-os por uma linha cheia e veja a reta da função.
L
Situação 3
Um bom programa de final de semana é sem dúvida a locação de um filme. Na locadora M, o aluguel de uma fita de vídeo custa R$2,00. O proprietário desta locadora, desconsiderando outros gastos, faz sempre às segundas-feiras, alguns cálculos simples relacionando o número de fitas alugadas e o valor total recebido.
a) Quais são as grandezas envolvidas nesta situação?
R.: Número de fitas e valor recebido
b) Se forem alugadas 52 fitas em um final de semana, qual será o total arrecadado na segunda-feira? 
R.: R$ 104,00
c) Traduza a relação entre o número de fitas e o valor arrecadado, usando uma sentença matemática.
R.: Valor recebido = Número de fitas. (2)
Situação 4 
A tabela a seguir relaciona os preços a serem pagos numa corrida de táxi de acordo com a distância percorrida.
	Distância (em Km) da corrida
	Preço à pagar (em R$) – Incluso a bandeirada.
	 1
	5,00
	2
	6,40
	3
	7,80
	4
	9,20
	5
	10,60
Uma característica da função é sua representação gráfica. Ao estudarmos particularidades de um gráfico, você poderá notar, por exemplo, que a reta passa pela origem, que o comportamento do gráfico é determinado pelos seus pares ordenados, a variação de grandezas em diretamente proporcional e inversamente proporcional ou não proporcional. Além disso, podemos aproveitar dos recursos tecnológicos já existentes nas escolas.
Observando as tabelas a seguir e vamos escrever a Lei de Formação em cada caso e a sua representação gráfica:
1)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	y
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
Lei da formação: y = x + 10
O Gráfico: Os pontos representam os valores de (x, y), quando x igual a 0 y é igual a 10. A reta corta o eixo de y no ponto (0,10). Esta é uma função polinomial de 1º grau pela forma matemática y = ax +b, com a R* e b R. Gráfico é de uma função crescente (quando os valores de x aumentam os correspondentes f(x) também sofrem acréscimos).
2)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	y
	10
	20
	30
	40
	50
	60
Lei da formação: y = 10.x
O Gráfico: Nesse gráfico a reta corta o eixo de y no ponto (0,0), passando pela origem. O Gráfico representa uma função linear, pois a função linear pode ser escrita na f(x) = ax. É de uma função crescente (quando os valores de x aumentam os correspondentes f(x) também sofrem acréscimos).
3)
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	y
	8
	7
	6
	5
	4
	3
	2
	1
Lei da formação: y = 9 – x
O Gráfico: O gráfico é de uma função decrescente (quando os valores de x aumentam, os correspondentes f(x) diminuem). 
A função do 1º grau é chamada como função polinomial do 1º grau ou função afim é definida em f: R →R por y = ax + b, com a e b em reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta e toda reta é definida por dois pontos.
- Considerando a função f: R →R, definida pelas funções y = 2x – 6 e 
 y = - 2x + 4 verificamos que:
Na função y = 2x – 6, representada no gráfico 1, a = 2 (a > 0) e b = – 6 e 3 é a raiz ou zero dessa função pois para x = 3, obtemos y = 0. 
Na função y = - 2x + 4, representada no gráfico 2, a = - 2 (a < 0) e b = + 4 e 2 é a raiz ou zero dessa função pois para x = 2, obtemos y = 0.
- Observando os gráficos abaixo: 
No gráfico 1 a reta corta o eixo da abscissas no número 3 e corta o eixo da ordenada no número – 6, o ponto nesse caso é (3, - 6).
Trata-se de uma função com inclinação positiva denominada crescente, pois a > 0.
 No gráfico 2 a reta corta o eixo da abscissas no número 2 e corta o eixo da ordenada no número 4, o ponto nesse caso é (2,4). 
Trata-se de uma função com inclinação negativa denominada decrescente, pois a < 0.
Gráfico 1 Gráfico 2 
 
O gráfico a seguir é de uma função constante, a reta é horizontal e dizemos que sua inclinação é nula. 
 
Funções do 2º grau
Chama-se função polinomial do 2º grau ou função quadrática qualquer função f de R em R dada por uma lei de forma f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Em que: a é o coeficiente real de x2; b é o coeficiente real de x e c é um coeficiente real, também chamado termo independente. O gráfico de uma função de 2º grau é uma parábola. 
(UFJF-MG - adaptado) Um clube recreativo vai colocar piso numa área externa retangular e cercar as laterais por uma tela, com exceção de uma abertura de entrada. Essa área está representada na figura em suas dimensões dadas, em metros, em função do comprimento L. A empresa contratada para o serviço cobra R$ 10,00 por metro de piso colocado e R$ 2,50 por metro linear de tela. Determine a expressão que fornece o preço total do serviço p em função do comprimento L.
 L
 
R.: p = 5 L2 + 7L
Resolução: 
O perímetro é igual a soma doa medidas do lado do retângulo:
P = L + L + L + L - L P = 10L + 10L + 5L + 5L – 2L P = 28L = 14L
 2 2 5 10 10 5
A área é igual a base x altura do retângulo:
A = L . L = L2
 2 2
O preço é igual a: 10 . L2 + 2,5 . 14L 
 2 5
 P = 5 L2+ 7L (equação incompleta, pois c = 0)
As funções quadráticas em que b = 0 e c = 0 ou b = 0 ou c = 0, são chamadas incompletas. Já as funções quadráticas em que b ≠ 0 e c ≠ 0 são chamada completas.
Exemplo de função completa: f(t) = - 2 t2 + 7t – 1 (a = - 2; b= 7 e c = - 1).
Exemplo de função incompleta: f(x) = 8 x2 – 2 (a = 8; b= 0 e c = - 2).
As funções quadráticas também descrevem diversos fenômenos como a trajetória de um objeto em seu lançamento, há várias maneiras de resolvê-las, uma delasé usando tabelas ou gráficos ou use a fórmula resolutiva.
Vamos resolver a função f(x)= x2 - 6x + 8. Os valores obtidos, ou o valor, de x em que f(x) = 0 são os zeros da função
A tabela: Esboço do gráfico:
	x
	y
	(x, y)
	 0
	8
	(0,8)
	 1
	3
	(1,5)
	 2
	0
	(2,0)
	 3
	-1
	(3,-1)
	4
	0
	(4,0)
	 5 
	5
	(5,5)
	6
	8
	(6,8)
- Observamos que quando x = 2 e 4, a função é igual a zero, ou seja, f(x) = 0, as coordenadas são (2,0) e (4,0). Quando x = 0, o gráfico intercepta o eixo de y no ponto 8, as coordenadas são (0,8).
- O esboço do gráfico mostra a concavidade para cima, nesse caso, passando pelo eixo da abscissa em dois pontos, isso prova que a > 0 e Δ > 0.
- Podem-se conhecer também as coordenadas do vértice V (xv, Yv) do gráfico de uma função quadrática, utilizando a fórmula e obtendo xv, depois por meio da substituição de xv em f e chegamos a yv isto é yv = axv 2 + bxv + c.
- Vamos obter as coordenadas do vértice do da função acima f(x)= x2 - 6x + 8, por meio dessa fórmula .
yv = xv 2 + (-6)xv + 8 yv = (3) 2 – 6(3) + 8 yv = 9 – 18 + 8 yv = –1
Portanto, as coordenadas do vértice do gráfico de f são V (3, –1)
- No gráfico a seguir percebemos melhor os pontos coloridos das coordenadas da parábola, as interseções com o eixo de x e de y e o vértice (3,-1).
 
 V (xv, Yv) = (3,-1)
Resolução da função F(x)= x2 - 6x + 8 por meio da equação x2 - 6x + 8 = 0, utilizando da fórmula resolutiva, calculamos a equação do 2º grau.
a = 1 , b = -6 e c = 8 
 Δ= 36 – 32 Δ= 4
Se Δ = 4, podemos substituir o valor de delta na fórmula resolutiva: ·.
 
 
Portanto, os zeros da função f são de fato x1 = 4 e x2 = 2.
Nesse caso Δ > 0 e f tem dois zeros reais e diferentes.
Observe outros exemplos:
Na função f(x)= x2 - 2x + 5, temos a = 1, b= - 2 e c = 5. 
Δ = ( -2 )2 – 4. (1). (5) Δ = 4 – 20 Δ = – 16
Como Δ < 0, a equação f(x)= x2 - 2x + 5 não tem raiz em real. Assim dizemos que f não tem zeros reais. E a > 0 a concavidade da parábola fica para cima.
Veja a tabela e o esboço do gráfico:	
	x
	y
	(x, y)
	-2
	13
	(-2,13)
	-1
	8
	(-1,8)
	 0
	5
	(0,5)
	 1
	4
	(1,4)
	 2
	5
	(2,5)
	 3
	8
	(3,8)
	 4
	13
	(4,13)
Observando o quadro, podemos representar a correspondência das variáveis dessa função por meio do seguinte diagrama.
 
 
E a coordenada do vértice V(xv, Yv)? Para sabermos vamos usar a fórmula 
xv = -b/2.a xv = - (-2)/2.(1) f(x)= x2 - 2x + 5, xv = 2/2 xv = 1
Por meio da substituição de xv em f , chegamos a conhecer o yv na função:
f(x)= x2 - 2x + 5.
f(x)= x2 - 2x + 5 f(1)= 12 - 2.1 + 5 f(1) = 1 -2 +5 f(1) = 4.
Portanto, as coordenadas do vértice dessa função são V(1, 4).
Os vértices de uma função representam o ponto de máximo ou o ponto de mínimo atingido pela parábola, sendo que y, é chamado valor máximo ou valor mínimo da função que, nesse caso, indica o ponto mínimo da função.
Conclusão:
Se a > 0, a função admite valor o valor mínimo (ymin) e seu conjunto imagem será:
Im = {y R │y ≥ ymin}
Se a < 0, a função admite valor máximo (ymáx) e seu conjunto imagem será:
Im = {y R │y ≤ ymáx}
Resumindo:
a > 0 a < 0 ponto de máximo 
y y
 
 ponto de mínimo
UNIDADE II – NOÇÕES DE GEOMETRIA
O nome Geometria, em grego, significa “medida e terra” (geo = terra; metria = medida). O estudo da Geometria possibilita a visualização e a percepção do espaço e de formas, além de desenvolver a capacidade de representar essas formas por meio de desenhos ou construções, com números e medidas identificamos regularidades e observamos semelhanças e diferenças.
PONTO, RETA, PLANO
Temos, intuitivamente, uma noção de ponto, reta e do plano.
- As luzes que nos ilumina, o grão de areias no chão, conjunto dos pingos dos is e o conjunto de estrelas no céu nos dão uma ideia de pontos;
- Fios esticados, conjunto de linhas da folha do caderno nos dão uma ideia de retas;
- As paredes de uma sala, os conjuntos de folhas do caderno nos dão uma ideia de plano.
Esses entes geométricos: ponto, reta e plano, intuitivos, sem definição, são conceitos primitivos da Geometria.
Ponto
O ponto é indicado por uma letra latina maiúscula, ele não possui dimensões.
O ponto é um elemento da reta e do plano.
Por um ponto qualquer passam infinitas retas.
Com dois pontos traçamos uma reta.
Reta
A reta é definida por uma letra latina minúscula. Ela é imaginária e sem espessura.
A reta não tem começo e nem fim, é infinita nos dois sentidos. Por isso nós só representamos uma parte da reta.
A reta é um conjunto de infinitos pontos.
A reta é um subconjunto do plano.
Semi - reta
A semi - reta tem origem e não tem extremidade.
Segmento de reta
O segmento possui dois extremos.
Se considerarmos uma reta r e sobre ela marcamos dois pontos, A e B, distintos, o conjunto de pontos formado pelo ponto A, pelo ponto B e por todos os pontos da reta que estão entre A e B é chamado segmento da reta AB.
O ponto A e B são considerados as extremidades do segmento.
A reta r é chamada reta suporte do segmento.
Os segmentos podem ser consecutivos, colineares, congruentes e adjacentes.
Plano
	O plano é indicado por uma letra grega minúscula.
Αα
	Αlfa
	; Ββ
	Beta e
	Γγ
	Gama ...
Em Geometria, o plano é imaginário e sem fronteiras.
O plano é um conjunto de infinitos planos.
O plano pode ser ampliado em todas as direções, ele é infinito.
Em um ou mais planos, utilizando-se dos pontos e de retas, podemos desenhar figuras geométricas planas ou um representação de uma figura geométrica não-plana.
As figuras geométricas planas têm todos os pontos em um mesmo plano.
As figuras geométricas não-planas não tem todos os pontos em um mesmo ponto e são denominadas figuras espaciais.
FORMAS GEOMÉTRICAS ESPACIAIS
Quando observamos em nossa volta, vemos vários objetos das mais variadas formas. Entre esses objetos temos as formas geométricas espaciais.
As formas geométricas espaciais podem ser classificadas em poliedros ou não poliedros.
As formas geométricas espaciais que têm sua superfície formada apenas por partes planas são denominadas poliedros.
E os não poliedros são formas geométricas espaciais que apresentam em sua superfície pelo menos uma parte arredondada, ou seja, não plana.
Paralelepípedo e cubo
- O paralelepípedo retângulo e o cubo tem 8 vértices; 12 arestas e 6 faces.
- No paralelepípedo retângulo todas as suas faces são retangulares.
- No cubo todas as suas faces são quadrados.
- Em um paralelepípedo retângulo e um cubo há três dimensões: comprimento, largura e altura.
 aresta vértice
 face altura
 
 larguracomprimento
Prisma e Pirâmide
- Em um prisma duas de suas faces são denominadas bases e as demais, faces laterais.
 
- A pirâmide tem uma única face denominada base e as demais são as faces laterais. A base é sempre um polígono qualquer, enquanto as outras faces são triângulos.
Cone, cilindro e esfera
 
- Cone: a base é um círculo.
- Cilindro: as bases são círculos (que são figuras planas), porém a parte literal do cilindro é uma figura não plana.
- Esfera: não possui superfície plana. E uma bola de futebol nos dá a ideia de esfera.
- O cone, o cilindro e a esfera são chamados de corpos redondos.
POLÍGONOS 
Polígono é a reunião de uma linha fechada simples, formada apenas por segmentos de reta, com sua região interna.
Veja algumas figuras geométricas que são polígonos:
Polígonos convexos: Todos os segmentos de reta, cujas extremidades pertencem a este a esse polígono, tem todos os seus pontos no interior do polígono.
Polígonos não-convexos: quando existe pelo menos um segmento de reta, cujas extremidades pertencem a esse polígono, que não tem todos os pontos no interior do polígono.
Cada segmento de reta que compõe o contorno do polígono representa um de seus lados.
 
 Essa figura não é um polígono, pois não é fechada simples.
 Essa figura não é um polígono, pois não é fechada.
 
 Essa figura não é polígono, pois não é formada por segmentos de reta.
Polígono – Palavra de origem grega em que poli significa muitos e gono significa ângulos.
Os elementos de um polígono são: vértice, lado e ângulo interno.
Em um polígono, o número de lados, vértices e ângulos internos é sempre igual.
Polígonos regulares: tem todos os lados iguais e todos os ângulos possuem a mesma medida.
 
Veja, na tabela, o nome de alguns outros polígonos:
	Número de lados
	Nome
	3
	Triângulo
	4
	Quadrilátero
	5
	Pentágono
	6
	Hexágono
	9
	Eneágono
	10
	Decágono
	11
	Undecágono 
	12
	Dodecágono
	15
	Pentadecágono
	20
	Icoságono
Classificação dos Triângulos 
Triângulo equilátero: possui os três lados iguais, com a mesma medida.
Triângulo isóscele: possui apenas dois lados iguais, dois lados com a mesma medida.
Triângulo escaleno: possui os três lados com as medidas diferentes.
 
Triângulo retângulo: quando um de seus ângulos internos é reto.
Triângulo obtusângulo: quando um de seus ângulos internos é obtuso.
Triângulo acutângulo: quando os três ângulos internos são agudos.
 
Classificação dos Quadriláteros
De acordo com algumas características, os quadriláteros podem ser classificados da seguinte maneira. 
Paralelogramo: quadrilátero que possui dois pares de lados paralelos.
Trapézios: quadrilátero que possui apenas um par de lados paralelos.
Retângulo: é o paralelogramo que tem todos os ângulos retos.
UNIDADE III – NOÇÕES DE COMPRIMENTO, ÁREA, VOLUME, CAPACIDADE E MASSA
As medidas de comprimento, área, massa e volume apresentam várias aplicações, pois há várias situações relacionadas a essas grandezas. Antigamente diversos povos utilizavam partes do corpo como referência para a unidade de medida. Era comum usar a jarda, o cúbito, a braça, o passo, a polegada, o palmo e o pé como unidades de medida, mas como as medidas do corpo variam de uma pessoa para outra, essa forma de medir gerava muita confusão. 
Era necessária a adoção de um padrão de medida único, por isso em 1789, a Academia de Ciências da França criou uma comissão para a elaboração de um sistema, encerraram os trabalhos em 1799 com o estabelecimento de um padrão de medida único: o sistema métrico decimal.
No sistema métrico decimal a unidade padrão utilizada é o metro (m). 
A palavra metro vem do grego métron e significa o que mede. 
As medidas relacionadas com o metro são: milímetro (mm); centímetro (cm); decímetro (dm); decâmetro (dam); hectômetro (hm) e o quilômetro (km).
Transformação de Unidades
Para transformar uma unidade em outra imediatamente inferior, multiplicamos essa unidade por 10, isto é, deslocamos a vírgula uma casa a direita. E para transformar uma unidade em outra imediatamente superior, dividimos essa unidade por 10, isso é, deslocamos a vírgula uma casa para a esquerda. 
cada unidade x 10
km hm dam m dm cm mm
cada unidade : 10
Exemplo:
a) Como transformar 4,8 m em centímetro?
- Percebemos que o centímetro é menor que o metro, ele representa a centésima parte do metro, isso nos mostra que poucos metros dão muitos centímetro. Vamos então multiplicar 4,8 por 100.
O cálculo: 4,8 x 100 = 480 cm.
Assim temos:
- 1 quilômetro (km) corresponde a 1000 metros.
- 1 hectômetro (hm) corresponde a 100 metros.
- 1 decâmetro (dam) corresponde a 10 metros.
- 1 decímetro (dm) corresponde a 0,1 do metro.
- 1 centímetro (cm) corresponde a 0,01 do metro.
- 1 milímetro (mm) corresponde a 0,001 do metro.
Alguns instrumentos utilizados para medir:
régua trena fita métrica
 
Paquímetro micrômetro
 
Para o cálculo de perímetros usamos as unidades de medidas de comprimento, como m, cm, km e outras. 
Veja o cálculo do perímetro (soma das medidas dos lados) dos seguintes polígonos:
 P = P= 6 + 6 + 6
 P = 18 m
 
 6m
 
 8,4 cm 
 4,8 cm
ÁREA
Chama-se área a medida de uma superfície.
Para o cálculo de áreas usamos as unidades de medida, como m2, cm2, km2 e outras.
Transformação de Unidades
Para transformarmos uma unidade em outra imediatamente inferior ou superior, multiplicamos ou dividimos essa unidade por 100.
cada unidade x 100
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
cada unidade : 100
Exemplo:
a) Como transformar 2 dam2 em m2?
- Percebemos que o metro é menor que o decâmetro, o metro representa a centésima parte do decâmetro, isso nos mostra que poucos decâmetro dão muitos metros. Vamos então multiplicar 2 por 100. O cálculo: 2 x 100 = 200 m2.
b) 4 km2 = 4 000 000 m2.
c) 0,62 hm2 = 6 200 m2.
d) 32 dm2 = 0,32 m2.
e) 70 000 cm2 = 7 m2.
Veja o cálculo da área dos seguintes polígonos:
a) Quadrado 
b) Retângulo
 3 cm
 3 cm
c) Triângulo
 altura = 2 m
m
d) Losango
 diagonal maior 9 cm
 diagonal menor 5 cm
e) Trapézio
 base menor 8 cm 
 altura 4 cm
 base maior 10 cm 
f) Paralelogramo
 altura 3 dm
 base 8 dm 
g) Círculo 
 raio 8 cm
VOLUME, CAPACIDADE E MASSA
1) Volume
Muitas de nossas atividades exigem o conhecimento de volumes. Por exemplo: um caminhão de transporte tem um limite para o volume de carga que ele pode transportar, também numa construção, torna-se necessário fazer o cálculo do volume de concreto a ser utilizado.
O espaço ocupado por um corpo correspondeao seu volume.
A unidade-padrão para determinar o volume dos sólidos é o cubo.
Um cubinho com arestas de 1 cm tem o volume de 1 centímetro cúbico (1 cm3).
 1 cm
 1 cm 
Um cubo com arestas de um dm3, ou seja, 10 cm, tem o volume de 1 decímetro cúbico (1 dm3), que é igual a 1 litro.
O volume de um cubo é determinado pelo produto da área da base pela altura ou podemos calcular comprimento da base x largura do cubo x altura do cubo→ V = a3.
 a
 a
Transformação de Unidades
Podemos também transformar as unidades de medida de volume. Para transformar uma unidade em outra imediatamente inferior ou superior, multiplicamos ou dividimos essa unidade por 1000.
	cada unidade x 1000
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
cada unidade : 1000
Exemplo:
a) Como transformar 1,3 hm3 em m3?
- Vamos multiplicar 1,3 por 1 000 000. O cálculo: 1,3 x 1 000 000 = 1 300 000 m3.
b) 0,0004 km3 = 400 000 m3.
c) 6 000 dm3 = 6 m3.
d) 32 dm3 = 0,032 m3.
e) 78 068 cm3= 0,078068 m3.
CAPACIDADE
Dizemos que a capacidade é um volume, pois podemos medir a quantidade de líquidos e de gazes que um recipiente pode conter usando as medidas de volume. Ao determinarmos a quantidade de líquido ou de gases que pode ser colocado no recipiente, estamos querendo obter a capacidade. 
As unidades de capacidade mais utilizadas são o litro (L) e o mililitro (mL).
O litro é a unidade-padrão de medida de capacidade.
1 L = 1000 ML
Os múltiplos do litro são: 
Quilolitro (kL)
Hectolitro (hL)
Decalitro (daL)
Os submúltiplos do litro são: 
Decilitro (dL)
Centilitro (cL)
Mililitro (mL)
Transformação de Unidades
	cada unidade x 10
kL hL daL L dL cL mL
cada unidade : 10
Exemplos: 
a) 4 KL = 5 000 mL
b) 35 dL = 3,5 L
c) 865,54 cL = 8,6554 L
d) 0,25 hL = 25 L
MASSA
As unidades de medida de massa são utilizadas em várias situações do cotidiano como, por exemplo, ao comprarmos em farmácias ou em supermercados observamos nas embalagens de diversos produtos a sua massa em grama (g) ou quilograma (kg). 
O quilograma é a unidade-padrão de medida de massa. 
1 kg = 1000 g
No dia-a-dia é comum utilizarmos as palavras massa e peso com o mesmo sentido.
Mas, massa é a quantidade de matéria de um corpo e peso é a intensidade de força com que a terra atrai certa massa.
Os múltiplos do grama são: 
Quilograma (kg)
Hectograma (hg)
Decagrama (dag)
Os submúltiplos do grama são: 
Decigrama (dg)
Centigrama (cg)
Miligrama (mg)
Transformação de Unidades
	cada unidade x 10
kg hg dag g dg cg mg
cada unidade : 10
Exemplos: 
a) 5 kg = 5 000 g
b) 524 cg = 5,24 g
c) 524 mg = 0,52 g
REFERÊNCIAS
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Livro do Professor. São Paulo: Ática, 2004. ____. Obra para a 8ª e 6ª série (Ensino Fundamental). 
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedicto. A Conquista da Matemática: 6º ao 9º ano. São Paulo: FTD, 2009. ____. (Coleção a Conquista da Matemática).
SOUZA, Joamir Roberto de; PATARo, Rosana Moreno. Vontade de Saber Matemática: 6º e 9º ano. São Paulo: FTD, 2009. ____. (Coleção Vontade de Saber).
COMPLEMENTAÇÃO PEDAGÓGICA
RESOLUÇÃO Nº. 02/97
METODOLOGIA DO ENSINO DA MATEMÁTICA
SERRA – ES
�
1 EMENTA
Ensino da Matemática: Concepções e Tendências; Fundamentos Teórico-Metodológicos do Ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental; Estudo dos PCNs de Matemática para o Ensino Fundamental e Médio; Os Temas Transversais e a Nova Concepção de Conteúdo; Conteúdos Básicos de Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio; Metodologias de Sala de Aula e o Trabalho Cooperativo em Matemática. 
2 OBJETIVOS 
Compreender as principais concepções e tendências em Matemática;
Discutir os fundamentos teórico-metodológicos do ensino da Matemática nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental;
Elencar algumas considerações sobre os PCNs para os Anos Finais do Ensino Fundamental e Médio;
Apresentar os temas transversais e suas relações com a nova concepção de conteúdo; 
Identificar os conteúdos básicos de Matemática no Ensino Fundamental e Médio, com enfoque para as metodologias de sala de aula em Matemática. 
3 conteúdo programático
	UNIDADE I – ENSINO DA MATEMÁTICA: CONCEPÇÕES E TENDÊNCIAS
UNIDADE II – FUNDAMENTOS TEÓRICO-METODOLÓGICOS DO ENSINO DA MATEMÁTICA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL 
UNIDADE III – ESTUDO DOS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO
4 METODOLOGIA DE ENSINO
A disciplina será ministrada partir de: dinâmica de apresentação; análise crítico conceitual do título da disciplina; turbilhão de ideias; leitura crítica dos textos; relação entre as leituras e as experiências dos alunos; discussão em grupo; entrevistas; aula expositivo-dialogada; produção de resumos textuais; pesquisa bibliográfica; seminário; painel com resumos dos trabalhos; pesquisa de campo e mesa redonda. 
5 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação da aprendizagem será contínua, considerando os seguintes critérios: participação e envolvimento nas atividades propostas; trabalhos elaborados e apresentados; leituras realizadas; participação nos estudos em grupo, assiduidade; construção de quadro teórico conceitual abordando as teorias estudadas no decorrer do curso.
UNIDADE I – ENSINO DA MATEMÁTICA: CONCEPÇÕES E TENDÊNCIAS
Ao nos focarmos no ensino da Matemática podemos recorrer a Palomar (2004), que afirma que cada vez mais deve ser deixada de lado a resolução de problemas de maneira mecânica ou a memorização de processo. Num mundo em que as calculadoras estão ao alcance de todos e que os computadores estão cada vez mais presentes, não se exige que se saiba a tabuada apenas, mas, sobretudo, que se saiba que operação deve ser feita para se tomar a decisão correta. 
As tendências atuais em Educação Matemática vão à direção de buscar a vinculação prática entro o que ocorre na sala de aula e fora dela. A palavra-chave é “contextualização” e a meta é se ensinar uma Matemática para formar os cidadãos críticos exigidos pela sociedade dialógica. Assim, se deve:
	FAZER MENOS...
	FAZER MAIS...
	• Aula expositiva
• Trabalho individual
•Trabalho em contexto
•Trabalho em abstrato
•Temas tradicionais do passado
	• Orientação, movimentação
• Trabalho em grupo
• Aplicações cotidianas, globalização
• Modelização e conexão
•Temas interessantes de hoje
	• Memorização instantânea
•Informação acabada
•Atividades fechadas
•Exercícios rotineiros
•Simbolismo matemático
•Tratamento formal
•Ritmo uniforme
	•Compreensão duradoura
•Descoberta e busca
•Atividades abertas
•Problemas compreensivos
•Uso de linguagens diversas
•Visualização
•Ritmo personalizado
	•Avaliação de algoritmos
•Avaliação quantitativa
•Avaliação do desconhecimento
	•Avaliação do raciocínio
•Avaliação qualitativa
•Avaliação formativa
Assim, Palomar (2004) conclui dizendo que aprender Matemática implica aprender a (re) conhecer a Matemática da vida real: habilidades, conhecimentos, disposições, capacidades de comunicação e sua aplicação na vida cotidiana. Uma aprendizagem do seu ponto de vista implica quatro dimensões diferentes: a instrumental (que se refere ao conjunto de símbolos que constituem a linguagem matemática); a normativa (que são as regras e as normas que regulam os diferentes procedimentos matemáticos); a afetiva (quer dizer, o conjunto de emoções e sentimentos que acompanham as pessoas durante a aprendizagem); e a cognitiva (referente concretamente à maneira de aprender, quer dizer, às estratégias que a pessoa utiliza para entender um conceito matemático e incorporá-lo a seu conhecimento).
É comum ao fazermos uma entrevista com algumas pessoas,