Exercícios Resolvidos.Distribuição Normal

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Exercícios Resolvidos 
 
 
Alexandre Schuler 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sétima Edição 
 
 
 
 
 
2007 
 
 
 
 
 
 i 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este Caderno de Exercícios destina-se a auxiliar o estudante na compreensão do conteúdo 
teórico explicitado no texto básico elaborado para as seguintes disciplinas: Estatística Aplicada 
aos Processos Químicos, Controle Estatístico (do curso de Química Industrial) e Controle 
Estatístico de Qualidade (do curso de Engenharia Química). 
São quarenta e cinco exercícios, sendo quatro sobre Probabilidade, treze sobre Testes 
Estatísticos, vinte e quatro sobre Gráficos de Controle e quatro sobre Inspeção de Qualidade. 
Todos os exercícios estão resolvidos, mas recomenda-se ao Leitor que tente resolvê-los 
antes de ver a resposta e que ao fazê-lo acompanhe atentamente as explicações. Especial atenção 
deve ser dada ao último exercício, que é resolvido por tentativas, podendo ter outras soluções. 
Além disso, recomenda-se fortemente o conhecimento de aplicativos como o Excel e o Origin, 
que podem facilitar grandemente na solução de problemas estatísticos em geral. 
O Autor ficará bastante agradecido por qualquer crítica, correção ou sugestão, que o 
Leitor poderá enviar para o endereço eletrônico aschuler@ufpe.br. 
 
 ii 
ÍNDICE 
 
 
1. Probabilidade, 1 
2. Testes Estatísticos, 3 
3. Gráficos de Controle, 10 
4. Inspeção de Qualidade, 24 
5. Tabelas Úteis, 29 
 
Obs.: Os Capítulos 1 e 2 são destinados à disciplina Estatística Aplicada aos Processos 
Químicos. Os Capítulos 3 e 4 são específicos para as disciplinas: Controle Estatístico (Química 
Industrial) e Controle de Qualidade Industrial (Engenharia Química), a cujos alunos o Autor 
recomenda rever o assunto dos capítulos anteriores. 
1. PROBABILIDADE (uso da Tabela1 de Distribuição Normal) 
 
Estes quatro exercícios pretendem auxiliar na compreensão dos conceitos relacionados com a 
curva de distribuição normal. Observem a gradativa mudança no texto, aproximando-se do objetivo 
final (aplicação em controle industrial). 
 
Exercício 1.1. A variável X tem distribuição normal com µ = 150 e σ = 30. Determinar as 
probabilidades: 
 
a) P(X ≤ 202,5); b) P(120 < X < 165); c) P(180 < X < 210). 
 
Resposta: 
 
 Calcular o valor da variável z (= (X - µ)/σ; equação 1.1) e encontrar na Tabela 1 o valor 
correspondente de A (área sob a curva normal delimitada pelos valores limites de X). 
 
a) Para X = 202,5 ⇒ z1 = (202,5 – 150)/30 = 1,75. 
 
Na tabela 1 encontra-se A(z=1,75) = 0,4599 ≈ 0,46. Como cada metade da curva vale 0,50 (50%), fica: 
0,50 + 0,46 = 0,96 = 96% (figura 1). 
 
b) Para X = 120 ⇒ z1 = (120 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 
Para X = 165 ⇒ z2 = (165 – 150)/30 = 0,5 ⇒ A ≈ 0,19 
 
TOTAL: 0,34 + 0,19 = 0,53 = 53% (figura 2) 
 
c) Para X = 180 ⇒ z1 = (180 – 150)/30 = 1 ⇒ A ≈ 0,34 
Para X = 210 ⇒ z2 = (210 – 150)/30 = 2 ⇒ A ≈ 0,48 
 
TOTAL: 0,48 - 0,34 = 0,14 = 14% (figura 3) 
 
 
 
 
Exercício 1.2. Para a distribuição normal com µ = 200 e σ = 50, determinar os valores de X tais que se 
tenha a probabilidade α = P(|x≥X|) = 0,05 (5%). 
 
Resposta: Deseja-se, em outras palavras, determinar um par de valores para X, simétricos em relação à 
média, de modo a se ter P = 1 - α = 0,90 (figura 4). 
 
Os dois termos, em módulo, são iguais, cada um, a 0,50 – 0,05 = 0,45. Examinando a Tabela 1, 
encontra-se, para A = 0,4505 (o valor mais próximo de 0,45), z = 1,65. Como x = µ ± zσ, fica: X = 200 ± 
1,65x50 = 200 ± 82,5. Finalmente, X1 = 117,5 e X2 = 282,5. 
 
1
 Ver Tabela 1, no Capítulo 5, página i. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
ii 
ii 
Exercício 1.3. Verificar se a média amostral X = 5,75 mm, de n = 5 diâmetros de eixos representa 
diferença estatisticamente significativa em relação à média da população normal, com µ = 5,60 mm e 
σ = 0,10 mm. 
 
Resposta: 
 
OBSERVAÇÃO: Em outras palavras, pretende-se verificar se o valor 5,75 pertence à população 
representada pelo par µ,σ. 
 
Agora, a equação 1.1 toma a forma da equação abaixo, por se tratar de uma média. Logo, 
 
z = (5,75 – 5,60).√5/0,10 = 3,36 (equação 1.2) 
 
 
Como o valor 5,75 está distante de 5,60 em mais de 3σ, conclui-se que a diferença d = 5,75 – 
5,60 = 0,15 mm, para n = 5, é estatisticamente significativa. De fato, consultando a Tabela 1, observa-
se que a probabilidade de 5,75 pertencer àquela população é muito baixa (P = 1 – 0,9996 = 0,0004 ou 
0,04%). 
 
Exercício 1.4. Num processo industrial tem-se µ = 10,00 com σ = 0,02. Qual é a probabilidade de se 
encontrar, numa amostra retirada aleatoriamente desse processo, um resultado igual ou maior que: 
 
 a) 10,03 ? b) 10,04 ? 
 
Resposta (comparar com a figura 1): 
 
a) P(X >10,03) ⇒ z = (10,03 – 10,00)/0,02 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 
 Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68% 
 
b) P(X >10,04) ⇒ z = 2 ⇒ A = 0,4772 
Resultado: 0,50 – 0,4772 = 2,28%. 
 
Exercício 1.5. Numa panificadora admite-se que um pacote de 1 kg pode ter uma variação de ± 
10 g. Qual é a probabilidade de ser encontrado um pacote com: 
 
a) 1015 g? 
b) Mais de 1015 g? 
 
Resposta: 
 
a) A probabilidade de ocorrência de um pacote com exatamente 1015 g é dada pela equação: 
 
2
2
2
)(
)(
2
1 σ
µ
piσ
−−
=
x
x ef 
 
Logo, P(X =1015) %3,1013,03244,004,004,004,0
210
1 125,1200
225
102
)10001015(
2
2
==×=×=×=⋅ −
−
−−
eee x
pi
 
 
σ
nµ)X(
z
−
= 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
iii 
iii 
b) A probabilidade de se encontrar um pacote com qualquer peso maior que 1015 g é dada pela 
integral (área sob a curva normal) no intervalo colorido de cinza da figura 1. O cálculo é realizado 
como segue: 
P(X >1015) ⇒ z = (1015 – 1000)/10 = 1,5 ⇒ A = 0,4332 
 
Resultado: 0,50 – 0,4332 = 6,68% 
 
Figura 1 
 
Exercício 1.6. Calcular os coeficientes da reta e o coeficiente de correlação do fenômeno abaixo (a 
correlação entre concentração do analito e o sinal de um instrumento analítico). Verificar onde termina 
a linearidade, admitindo que o coeficiente de correlação não pode ser menor que 0,999. 
# 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 
Conc. 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 
Sinal 321 643 1597 3207 6394 16054 32090 64268 142250 228456 
 
Resposta: 
 
a) Para calcular os coeficientes da reta de regressão e o coeficiente de correlação, preenche-se o quadro 
abaixo: 
 
Ponto no x y x*y x2 y2 
1 x1 y1 x1.y1 x12 y12 
2 x2 y2 x2.y2 x22 y22 
••• ••• ••• ••• ••• ••• 
••• ••• ••• ••• ••• ••• 
••• ••• ••• ••• ••• ••• 
N xn yn xn.yn xn2 yn2 
Totais Σxi Σyi Σ(xi.yi) Σxi2 Σy2 
 
Fazendo X = Concentração e Y = Sinal, fica: 
 
Ponto no Conc. (mg/L) Sinal x*y x2 y2 
1 1 321 321 1 103041 
2 2 643 1286 4 413449 
3 5 1597 7985 25 2550409 
4 10 3207 32070 100 10284849 
5 20 6394 127880 400 40883236 
6 50 16054 802700 2500 2,58E+08 
7 100 32090 3209000 10000 1,03E+09 
8 200 64268 12853600 40000 4,13E+09 
9 500 142250 71125000 250000 2,02E+10 
10 1000 228456 2,28E+08 1000000 5,22E+10 
Totais 1,8880E+03 4,9528E+05 3,1662E+08 1,3030E+6 7,7899E+10 
 
Seja y = b.x + a a equação da reta de regressão. Nesse caso, os valores de a e b são dados por: 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
iv 
iv 
b = (Σx.Σy - nΣx.y)/[(Σx)2 - nΣx2] = {[(1,888 × 103) × (4,9528 × 105)] – 10 × 3,1662 × 108)}/[(1,888 × 
103)2 – 10 × 1,303 × 106)] 
b = (9,3509 × 108 – 3,1662 × 109)/(3,5645 × 106 – 1,303 × 107) = - 2,2311 × 109/- 9,4658 × 106 
b = 2,357 × 102 = 235,7 
 
a = (Σy - bΣx) / n = [(4,9528 × 105) – (2,3559× 102 × 1,888 × 103)]/10 = [(4,9528 × 105) – (4,4500 × 
105)]/10 
a = 0,5028 × 104 = 5028 
 
Equação da reta: y = 235,7x + 5028 
 
O Coeficiente de correlação (r) é calculado com auxílio da equação: 
 
2/12
i
2
i
2
i i
iiii
]})y( - yn][)x(-x{[n
yx - .yxn
 r 
2 ΣΣΣΣ
ΣΣΣ
= 
 
Resolvendo, fica: 
 
r = [(10 × 3,1662 × 108) - (1,8880 × 103 × 4,9528 × 105)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 
7,7899 × 1010 – (4,9528 × 105)2]}1/2 
r = [(3,1662 × 109) - (9,3509× 108)]/{[10 × 1,303 × 106 – (1,8880 × 103)2][10 × 7,7899 × 1010 – (4,9528 
× 105)2]}1/2 
r = (2,2311 × 109)/[(9,4655 × 106)(5,3369 × 1011)]1/2 
r = 2,2311 × 109/2,2476 × 109 
r = 0,9927 
 
Removendo o último ponto (1000; 228456) e recalculando tudo, fica: 
 
Equação da reta: y = 287,0 x + 1325 
Coeficiente de correlação: r = 0,9987. 
 
Como o r ainda ficou menor que 0,999 devemos remover agora o penúltimo ponto (500; 142250). 
Recalculando mais uma vez, fica: 
 
Equação da reta: y = 17,8x – 12 
Coeficiente de correlação: r = 0,9999. 
 
Conclusão: a relação somente pode ser considerada linear até a concentração de 200 mg/L. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
v 
v 
2. TESTES ESTATÍSTICOS 
 
Exercício 2.1. Antes de realizar um tratamento estatístico de dados experimentais, é necessário 
ordená-los e aplicar o teste Q para eliminação de eventuais erros grosseiros. Examine o seguinte 
conjunto de dados: 1,752; 1,760; 1,758; 1,762; 1,757; 1,761 e 1,759. 
 
Resposta: 
 
Ordenando, fica: 1,752; 1,757; 1,758; 1,759; 1,760; 1,761 e 1,762. O dado aparentemente 
discrepante é o menor (1,752). Aplicando o Teste Q, fica: 
 
1
12
1 XX
XXQ
n −
−
= ⇒ 50,0
010,0
005,0
752,1762,1
752,1757,1
1 ==
−
−
=Q 
 
Para n = 7, Qtab = 0,56 (Tabela 2). 
 
Conclusão: o dado 1,752 não pode ser rejeitado. Como a diferença Xn – Xn – 1 é menor que X2 – X1, 
não há necessidade de aplicar o teste Q para o valor mais alto. Obs.: só os extremos podem estar 
discrepantes (dotados de erro grosseiro). 
 
Exercício 2.2. Em relação à questão anterior, se mais leituras fossem realizadas, encontrando-se todos 
os novos valores entre 1,757 e 1,762, determinar a partir de qual valor de n poder-se-ia concluir que 
1,752 é dotado de erro grosseiro ? 
 
Resposta: 
 
Com n – 1 = 8, tem-se que Qtab = 0,390. Logo, se mais duas leituras fossem efetuadas e seus 
valores se situassem entre 1,757 e 1,762 (para que R não aumente nem diminua a diferença X2 – X1), o 
valor 1,752 deveria ser descartado. 
 
Exercício 2.3. As análises de uma amostra de minério de ferro deram os seguintes resultados (n=10): 
7,08; 7,21; 7,12; 7,09; 7,16; 7,14; 7,07; 7,14; 7,18 e 7,11. Calcular a média, a mediana, a primeira 
estimativa do desvio padrão (s) e a segunda estimativa (sR). 
 
Resposta: 
 
Ordenando: 7,07; 7,08; 7,09; 7,11; 7,12; 7,14; 7,14; 7,16; 7,18; 7,21. 
i) Média: X = 7,13 
ii) Mediana: M = (7,12 + 7,14)/2 = 7,13 
iii) Primeira estimativa do desvio padrão: 
 Para calcular s é sugerido que se monte o seguinte quadro: 
xi 7,07 7,08 7,09 7,11 7,12 7,14 7,14 7,16 7,18 7,21 
di 0,06 0,05 0,04 0,02 0,01 0,01 0,01 0,03 0,05 0,08 Σdi
2 
di2 0,0036 0,0025 0,0016 0,0004 0,0001 0,0001 0,0001 0,0009 0,0025 0,0064 0,0182 
 
1
2
−
=
∑
n
d
s
i
= 002022,0
9
0182,0
= = 0,045. 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
vi 
vi 
iv) Segunda estimativa do desvio padrão (procurar o valor de Kn na Tabela 3): 
 
sR = kn.R = 0,3249 X (7,21 – 7,07) = 0,3249 X 0,14 = 0,04549 (comparar com s) 
 
Exercício 2.4. Numa análise de cádmio, realizada por dois analistas, foram encontrados os seguintes 
resultados: 
 
Analista 1 Analista 2 
3,88 3,83 
3,90 3,84 
3,92 3,86 
3,94 3,87 
91,31 =X 85,32 =X 
R1 = 0,06 R2 = 0,04 
 
Comparar a exatidão e a precisão relativa entre eles (como n = 4 << 10, usar a segunda estimativa do 
desvio padrão). Como seria a exatidão absoluta de cada analista se o valor verdadeiro (µ ) fosse 3,95? 
 
Resposta: 
 
 a) Precisão: 
sR = Kn.R, onde K(n = 4) = 0,4857 
 
=
1Rs 0,06 x 0,4857 = 0,029142 ⇒ =12Rs 0,000849 
=
2Rs 0,04 x 0,4857 = 0,019428 ⇒ =22Rs 0,000377 
25,2
000377,0
000849,0
2
2
2
1
===
R
r
calc
s
s
F 
 
Ftab = 9,9 > 2,25 
 
Obs.: O valor de Ftab é encontrado na Tabela 4. 
 
Conclusão: ambos são igualmente precisos. 
 
 b) Exatidão relativa: 
 
967,2
02022,0
06,0
000409,0
06,0
3
001227,0
06,0
3
000377,0000849,0
85,391,3
1
2
2
2
1
21
===
+
−
=
−
+
−
=
n
SS
XX
tcalc 
 
ttab = 3,182 > 2,967 
 
Obs.: O valor de ttab é encontrado na Tabela 5. 
 
Conclusão: Os analistas são igualmente exatos. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
vii 
vii 
 c) Exatidão absoluta: 
 
 i) do analista 1 
 
745,2
029142,0
08,0
029142,0
204,0
029142,0
4)91,395,3(1
===
−
=
−
=
x
s
nX
t
R
µ
 
 
Conclusão: Como ttab = 3,182 > tcalc = 2,74, o Analista 1 é exato. 
 
 ii) do analista 2: 
 
294,10
019428,0
20,0
019428,0
210,0
019428,0
4)85,395,3(2
===
−
=
−
=
x
s
nX
t
R
µ
 
 
Conclusão: Como ttab = 3,182 < tcalc = 10,294, o Analista 2 é inexato. 
 
Exercício 2.5. Em uma amostra contendo cromo foram encontrados os seguintes resultados: 
 
4,0; 4,3; 3,2; 4,1 
 
Pergunta-se: algum desses resultados está dotado de erro grosseiro ? 
 
Resposta: 
a) ordenando, fica: 3,2; 4,0; 4,1; 4,3. 
Aparentemente, o valor 3,2 pode estar dotado de erro grosseiro. 
b) Aplicando o teste Q, fica: 
727,0
1,1
8,0
2,33,4
2,30,4
1 ==
−
−
=Q 
 
 Qtab = 0,941 > Qcalc (Q1) 
Conclusão: Como Qtab = 0,941 > Qcalc (Q1), o resultado 3,2 não pode ser rejeitado. 
 
Exercício 2.6. Foram realizadas mais três repetições da análise do exercício anterior, encontrando-se 
4,2; 3,9 e 4,0. Aplicar novamente o teste Q. 
 
Resposta: 
a) Ordenação: 3,2; 3,9; 4,0; 4,0; 4,1; 4,2; 4,3 
b) Aplicando o teste Q para 3,2: 
636,0
1,1
7,0
2,33,4
2,39,3
1 ==
−
−
=Q 
Conclusão: Agora, Qtab = 0,560 < Qcalc. Apesar de haver diminuído a diferença (X2 – X1) e 
conseqüentemente também o valor de Q1 (já que a amplitude se manteve constante), o valor máximo 
para Q (Qtab) diminui bastante. Como conseqüência, agora é possível verificar que o resultado 3,2 deve 
ser eliminado. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
viii 
viii 
Exercício 2.7. Calcular os limites de confiança (LC) com 95% de probabilidade para os seguintes 
resultados experimentais (análise de cobre): n = 4; X = 8,27%; s = 0,17%. 
 
Resposta: 
 
A relação a ser utilizada é 
n
stXLC .±= 
 
Para n = 4, com 95% de probabilidade, ttab = 3,182. Logo, 
 
4
17,0182,327,8 ×±=LC 
⇒±= 27,027,8LC (8,008,54) 
 
Exercício 2.8. Se houvessem sido realizadas 12 repetições, quais seriam os limites de confiança do 
exercício anterior ? 
 
Resposta: 
 
Para n = 12, ttab =2,201. Logo, 
LC = 8,27 ± 2,201 x 
12
17,0
 ou LC = 8,27 ± 0,11 ⇒ (8,16 – 8,38) 
Exercício 2.9. Aplicar o teste t para o exercício anterior, sabendo que µ = 7,91. 
 
Resposta: 
 
s
nX
t
µ−
= 
( ) 34,7
17,0
1291,727,8
=
−
=calct 
201,2=tabt 
 Conclusão: com ttab < tcalc, existe um erro sistemático nessa análise. 
 
Exercício 2.10. Dois analistas analisaram uma mesma amostra diversas vezes, encontrando os resultados 
abaixo. Existe uma diferença significativa entre suas precisões? 
 
Analista 1: n1 = 9 e s1 = 0,210 ⇒ s1 = 0,0441 
Analista 2: n2 = 8 e s2 = 0,641 ⇒ s2 = 0,4109 
 
Resposta: 
3,95,33,9
0441,0
4109,0
<=
==
tab
calc
F
F
 
 
Conclusão: O analista 1 é mais preciso. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
ix 
ix
Exercício 2.11. Dois analistas foram avaliados durante um procedimento de credenciamento do 
laboratório, encontrando-se os seguintes resultados: 
 
Analista No de repetições Média desvio-padrão 
1 4 83,88 0,24 
2 6 83,13 0,11 
 
Sabendo que o valor verdadeiro (µ) é 83,54%, pergunta-se: 
 
a) Quem foi mais preciso? 
b) Quem foi mais exato? 
 
Resposta: 
 
Como somente pode ser realizada uma comparação em termos de exatidão quando dois conjuntos de 
dados possuem a mesma precisão, é necessário primeiro responder à pergunta (a): 
 
Aplicando o teste F aos dois analistas, encontra-se: 
 
F = 76,4
0121,0
0576,0
)11,0(
)24,0(
s
s
2
2
2
2
2
1
=== 
 
Como o Ftabelado é 5,4 a maior probabilidade é de que ambos sejam igualmente precisos. Prosseguindo, 
aplicando agora o teste t (pergunta b), comparando cada um com o valor verdadeiro, fica: 
 
Analista 1: 
83,2
24,0
4)54,8388,83(
s
nµX
 t A =
−
=
−
= 
 
Analista 2: 
13,9
11,0
6)13,8354,83(
s
nµX
 t A =
−
=
−
= 
 
O ttabelado para n = 4 (Analista 1) é 3,182. Comparando esse valor com o tcalculado (2,83), conclui-se que 
o analista 1 é exato. Para o analista 2 o ttabelado é 2,571 (n = 6). Comparando esse valor com o tcalculado 
(9,13), conclui-se que o analista 2 é inexato. 
 
Exercício 2.12. Uma amostra sintética com µ = 7,91 foi analisada por um mesmo analista em dois 
equipamentos, encontrando-se os resultados abaixo. Que conclusões podem ser tiradas desses 
resultados ? 
 
Equipamento 1 Equipamento 2 
8,35 8,37 
8,36 8,38 
8,37 8,40 
8,38 8,41 
8,39 8,43 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
x 
x
Resposta: 
 
 a) Cálculo da média e da dispersão 
 
 Equipamento 1 Equipamento 2 
X 8,37 8,40 
R 0,04 0,06 
SR 0,01720 0,02579 
 Obs.: Kn = 0,4299 
 
 b) Comparação entre os equipamentos: 
 
 i) Exatidão relativa (ttab = 2,776) 
 
 ( ) ( ) 94,10155,0
03,0
4
02579,00172,0
37,840,8
22
==
+
−
=t 
Conclusão: Como ttab > tcalc, os dois equipamentos apresentam a mesma exatidão. 
 
 ii) Precisão (Ftab = 6,4) 
 
 
( )
( ) 25,200029584,0
00066512,0
0172,0
02579,0
2
2
===F 
 
Conclusão: Como Ftab > Fcalc, ambos os equipamentos apresentam a mesma precisão. 
 
 Exatidão absoluta (ttab = 2,776). 
 
 Equipamento 1: ( ) 8,59
01720,0
591,737,8
1 =
−
=t 
 Equipamento 2: ( ) 5,42
02579,0
591,740,8
2 =
−
=t 
 Conclusão: ambos os equipamentos estão descalibrados. 
Exercício 2.13. Um laboratório de perícias criminais recebeu um fragmento de vidro (amostra A) 
supostamente pertencente a um vaso (amostra B) encontrado quebrado no local de um crime. Análise 
por espectrofotometria de absorção atômica forneceu os seguintes resultados: 
 
Conc. (µg/g) Elemento A B desvio-padrão 
As 132 122 2 
Co 0,54 0,61 0,026 
La 4,01 3,60 0,20 
Sb 2,81 2,77 0,26 
Th 0,62 0,75 0,044 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xi 
xi
Realizando as análises em triplicata, o perito encarregado do caso, trabalhando com um nível de 
confiança de 95% como critério de dúvida, concluiu que as duas amostras diferem em composição, 
pois dois elementos apresentam-se em A com concentrações estatisticamente diferentes das 
encontradas em B (padrão). Quais são esses elementos? 
 
Dica: Trabalhar com limites de confiança. Não esquecer de aplicar corretamente as regras de arredondamento. 
 
Resposta: 
 
LC = X ± t.s/ n ; X é o valor verdadeiro, ou seja, do padrão (o vaso; amostra B). 
 
Como n = 3, n = 1,732 e t = 4,303. Aplicando à equação acima, fica: 
 
Calculando para cada elemento: 
 
As: LC = 122 ± 4,303 x 2/1,732 = 122 ± 5 � (117 – 127). 
 
Co: LC = 0,61 ± 4,303 x 0,026/1,732 = 0,61 ± 0,06 � (0,55 – 0,67). 
 
La: LC = 3,60 ± 4,303 x 0,2/1,732 = 3,60 ± 0,50 � (3,1 – 4,1). 
 
Sb: LC = 2,77 ± 4,303 x 0,26/1,732 = 2,77 ± 0,65 � (2,12 – 3,42). 
 
Th: LC = 0,75 ± 4,303 x 0,044/1,732 = 0,75 ± 0,11 � (0,64 – 0,86). 
 
Confrontando-se as médias dos elementos na amostra com seus intervalos de confiança, observa-se 
que o As e o Co encontram-se fora dos limites. Portanto, suas concentrações diferem estatisticamente 
do padrão. Outra forma de resolver essa questão é por aplicação do teste t: 
 
Aplicando para os elementos As e Co, encontra-se: 
 
As: 
 
s
nµX
 t A
−
= = 66,8
2
3122132
 =
−
= 
 
Co: 
 
s
nµX
 t A
−
= = 55,1
0,026
30,540,61
 =
−
= 
 
Como o ttabelado é 4,303 (para ambos os elementos), chega-se à mesma conclusão acima. 
 
Exercício 2.14. Calcular o número ideal de repetições para a determinação do teor de um agrotóxico 
numa amostra de água cujo conteúdo esperado (µ) é 1 ppb, a partir dos seguintes resultados: 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xii 
xii
 
Xi di di2 
0,89 0,12 0,0144 
0,94 0,07 0,0049 
1,01 0,00 0,0000 
1,02 0,01 0,0001 
1,11 0,10 0,0100 
1,07 0,06 0,0036 
0,92 0,09 0,0081 
1,08 0,07 0,0049 
0,95 0,06 0,0036 
1,11 0,10 0,0100 
X = 1,01 ∑ = 0596,02id 
 
Resposta: 
 a) 08138,0
9
0596,0
1
2
==⇒
−
=
∑
s
n
d
s
i
 
 
Fórmulas a empregar: 
 
erro absoluto = nst ⋅=∆ ; erro relativo percentual (coeficiente de variação) = µ∆= 100L 
 
 b) Cálculo (montagem do quadro com a memória de cálculo): 
 
n n t ∆ L Dif. 
2 1,414 12,706 0,7313 73,13 — 
3 1,732 4,303 0,2022 20,22 52,91 
4 2,000 3,182 0,1295 12,95 7,27 
5 2,236 2,776 0,1010 10,10 2,85 
6 2,450 2,571 0,0854 8,54 1,56 
7 2,646 2,447 0,0753 7,53 1,01 
 
Conclusão: A 3a repetição diminui o erro em 52,91 pontos percentuais, a 4a repetição diminui em 7,27 
p.p., enquanto que a 5a repetição diminui em apenas 2,85 p.p. Usando esse raciocínio, chega-se à 
conclusão que 3 repetições são suficientes. Um outro critério a se adotar seria o de estabelecer um erro 
máximo (por exemplo 10%). Nesse caso, o ideal seria efetuar 5 repetições. 
 
Exercício 2.15. Um analista coletou duas amostras de minério de ferro, encontrando os resultados 
abaixo (5 leituras de cada amostra; Kn = 0,43). Dizer se as duas amostras são estatisticamente iguais, 
em teor. 
 
Leitura Am. 1 Am. 2 
1 17,6 18,6 
2 17,3 18,3 
3 18,1 18,9 
4 17,7 18,6 
5 17,8 18,1 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xiii 
xiii 
Resposta: 
Leitura Am. 1 Am. 2 
X 17,7 18,5 
R 0,8 0,8 
SR 0,344 0,344 
 
( ) ( ) 29,32432,0
8,0
4
344,0344,0
7,175,18
22
==
+
−
=t > ttab = 2,776 
Conclusão: as duas amostras são estatisticamente diferentes, em teor de ferro. 
Entretanto, se ambas as amostras são provenientes de um mesmo lote (sub-amostras), deve-se 
concluir que a homogeneização não foi bem feita. Nesse caso, para haver uma maior 
representatividade, é necessário extrair-se um número maior de sub-amostras e calcular a média 
aritmética dos teores encontrados nas n sub-amostras. Como achar o número ideal de sub-amostras? 
Solução: Aplicar o raciocínio empregado no exercício anterior. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xiv 
xiv
3 – GRÁFICOS DE CONTROLE 
 
Exercício 3.1. Os valores de x observados em amostras de n = 4 itens constam do quadro abaixo. 
Construir o gráfico da média X (GC-X), empregando a amplitude R para o cálculo dos limites de 
controle (norma desconhecida; sistema americano). 
 
MEDIDAS INDIVIDUAIS AMOSTRA 
x1 x2 x3 x4 
X R 
 
1 40 44 39 45 42,00 6 
2 49 46 48 44 46,75 5 
3 39 41 39 44 40,755 
4 41 42 43 36 40,50 7 
5 47 45 46 46 46,00 2 
6 48 43 44 36 42,75 12 
7 45 42 37 40 41,00 8 
8 42 42 36 37 39,25 6 
9 40 42 40 36 39,50 6 
10 42 39 41 37 39,75 5 
11 35 45 39 38 39,25 10 
12 39 40 41 38 39,50 3 
13 41 45 42 46 43,50 5 
14 40 44 38 38 40,00 6 
15 40 36 37 39 38,00 4 
16 39 41 42 40 40,50 2 
17 46 46 46 45 45,75 1 
18 44 45 41 43 43,25 4 
19 43 45 41 42 42,75 4 
20 38 44 38 42 40,50 4 
21 40 39 39 40 39,50 1 
22 45 44 48 46 45,75 4 
23 40 40 35 42 39,25 7 
24 42 36 39 37 38,50 6 
25 42 39 40 42 40,75 4 
 MÉDIAS 41,40 5,08 
 
Resposta: 
 LM = X = 41,40; R = 5,08; n = 4 
 LC = LM ± A2 R; A2 = 0,729 (procurar na Tabela 6, para n = 4) 
 LC = 41,40 ± 0,729 x 5,08 = 41,40 ± 3,70 
 LIC = 37,70; LSC = 45,10 
 
 Analisando os valores individuais X , observam-se 4 amostras com média fora dos limites 
(no caso, acima do LSC): 2, 5, 17 e 22. Eliminando-as, fica (vide quadro na página seguinte): 
 
Resposta final: 
 LM = X = 40,55; R = 5,46; n = 4 
 LC = LM ± A2 R; A2 = 0,729 (procurar na Tabela 6, para n = 4) 
 LC = 40,55 ± 0,729 x 5,46 = 40,55 ± 3,96 
 LIC = 36,59; LSC = 44,51 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xv 
xv
MEDIDAS INDIVIDUAIS AMOSTRA 
x1 x2 x3 x4 
X R 
 
1 40 44 39 45 42,00 6 
3 39 41 39 44 40,75 5 
4 41 42 43 36 40,50 7 
6 48 43 44 36 42,75 12 
7 45 42 37 40 41,00 8 
8 42 42 36 37 39,25 6 
9 40 42 40 36 39,50 6 
10 42 39 41 37 39,75 5 
11 35 45 39 38 39,25 10 
12 39 40 41 38 39,50 3 
13 41 45 42 46 43,50 5 
14 40 44 38 38 40,00 6 
15 40 36 37 39 38,00 4 
16 39 41 42 40 40,50 2 
18 44 45 41 43 43,25 4 
19 43 45 41 42 42,75 4 
20 38 44 38 42 40,50 4 
21 40 39 39 40 39,50 1 
23 40 40 35 42 39,25 7 
24 42 36 39 37 38,50 6 
25 42 39 40 42 40,75 4 
 MÉDIAS 40,55 5,46 
 
Exercício 3.2. Com os valores do exercício anterior, construir o gráfico da amplitude (GC-R). 
 
Resposta: 
 
Como foram eliminados quatro pontos no exercício anterior, deve-se começar com os vinte e um 
restantes. Nesse caso, tem-se: 
 
LM = 5,46; LIC = 5,46.D3 e LSC = 5,46.D4 (valores de D3 = 0,000 e D4 = 2,282 tirados da Tabela 8 
para n = 4). Logo: 
 
LIC = 0,0 e LSC = 12,46 
 
Como o maior valor de R é 12, todos os pontos devem ser mantidos. Em caso contrário, como este GC 
trabalha em conjunto com o GC-X, o mesmo também deveria ser alterado. 
 
Exercício 3.3. Construir os GC’s da média e da amplitude a partir das seguintes informações: 
 
X1 X2 X3 X4 X5 
 
R 
250,5 249,6 248,2 249,7 251,0 249,8 2,8 
249,5 251,2 248,4 250,3 249,3 249,7 2,8 
248,2 249,6 249,2 250,7 251,1 249,8 2,9 
249,8 251,3 250,3 248,7 249,3 249,9 2,6 
251,1 248,4 249,2 248,9 250,6 249,6 2,7 
 ∑ 249,8 2,8 
 
 
 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xvi 
xvi
Resposta: 
 
Como n=5, temos: 
 
Equações: 
 
Média: LM = ; LC = ± A2 (A2 = 0,577) 
Amplitude: LM = ; LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2,115) 
 
Cálculos: 
 
Média: LM = 249,8; LC = 249,8 ± 0,577 X 2,8 = 249,8 ± 1,6 ⇒ LIC = 248,2 e LSC = 251,4 
 
Amplitude: LM = 2,8; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 2,8 = 5,9 
 
Conclusão: o processo está sob controle. 
 
Exercício 3.4. Construir o GC da fração defeituosa de um processo que forneceu os seguintes 
resultados, tendo sido examinados n = 100 itens em cada lote (amostra): 
 
Resposta: Como n = 100 e N = Σn = n × k 
 
Σn = n × k = 100 X 25 lotes = 2500 itens. 
 
Equações: 
 
LM = = ∑d/∑n 
 
LM = 270/2500 = 0,108 
 
Como LM > 0,1 ⇒ empregar a fórmula geral2: 
 
LC = ± 3 [ (1- )/n]1/2 
 
LC = 0,108 ± 3 [0,108 (1-0,108)/100]1/2 
LC = 0,108 ± 3 (0,108 X 0,892/100)1/2 
LC = 0,108 ± 3 X 0,031 
LC = 0,108 ± 0,093 
 
LIC = 0,015; LSC = 0,201 
 
Na Figura 5 verificamos que os pontos 5 e 20 estão acima do 
LSC; logo, devem ser removidos. Recalculando, fica: 
 
LM = (270-43)/(2500-200) = 0,099; LC = 0,099 ± 3 [0,099 (1-0,099)/100]1/2 
 
LC = 0,099 ± 3 (0,099 X 0,901/100)1/2 
LC = 0,099 ± 3 X 0,0299 
LC = 0,099 ± 0,0897 ⇒ LIC = 0,009; LSC = 0,189 
 
2
 Ver Seção 4.7.2.a do Livro Controle Estatístico, do mesmo autor. 
Lote d d/n 
1 11 0,11 
2 9 0,09 
3 15 0,15 
4 11 0,11 
5 22 0,22 
6 14 0,14 
7 7 0,07 
8 10 0,10 
9 6 0,06 
10 2 0,02 
11 11 0,11 
12 6 0,06 
13 9 0,09 
14 18 0,18 
15 7 0,07 
16 10 0,10 
17 8 0,08 
18 11 0,11 
19 14 0,14 
20 21 0,21 
21 16 0,16 
22 4 0,04 
23 11 0,11 
24 8 0,08 
25 9 0,09 
∑d 270 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xvii 
xvii
A Figura 6 mostra que agora todos os pontos encontram-se dentro dos novos limites. 
 
0 5 10 15 20 25
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
LIC
LM
LSC
pontos fora de controle
Gráfico de Controle da Fração Defeituosa
Le
itu
ra
Número da amostra
 
0 5 10 15 20 25
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
LIC
LM
LSC
Gráfico de Controle da Fração Defeituosa
Le
itu
ra
Número da amostra
 
Figura 5 Figura 6 
 
Exercício 3.5. Construir o GC de defeituosos de um processo que forneceu os seguintes dados 
(tamanho da amostra = n = 100): 
 
Resposta: 
 
Como n = 100, ∑n = 100 X 10 amostras = 1000. 
 
Equações: 
 
LM = n = n ∑d/∑n 
 
LC = n ± 3 [n (1- )]1/2 
 
Cálculos: 
 
 = 98/1000 = 0,098 ⇒ LM = 100 X 0,098 = 9,8 
 
LC = 9,8 ± 3 [9,8 (1-0,098)]1/2 
LC = 9,8 ± 3 (9,8 X 0,902)1/2 
LC = 9,8 ± 3 (8,8396)1/2 
LC = 9,8 ± 3 X 2,973 
LC ≅ 9,8 ± 8,9 
 
LIC = 0,9; LSC = 18,7. 
 
Como d = número de defeituosos, os limites devem ser números inteiros. Logo, 
 
LIC = 1 e LSC = 19. 
 
Conclusão: o processo está sob controle. 
 
Exercício 3.6. Aplicar o sistema inglês ao exercício anterior. 
 
Resposta: 
 
No sistema inglês, temos dois limites: LC1 (±1,96 σ) e LC2 (±3,09 σ). Como LC2 > LC (sistema 
americano), basta examinar a região de advertência: 
Amostra d 
1 8 
2 7 
3 12 
4 5 
5 18 
6 2 
7 10 
8 16 
9 14 
10 6 
∑ 98 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xviii 
xviii 
LC1 = 9,8 ± 1,96 X 2,973 = 9,8 ± 5,827. Logo: LIC = 3,973 ≅ 4 e LSC = 15,627 ≅ 16. 
 
Examinando a distribuição normal, vemos que 34% dos 10 pontos (3 pontos) podem estar entre LC1 e 
LC2. Examinando os dados, vemos que exatamente 3 pontos (amostras 5, 6 e 8) estão na região de 
advertência. Logo, temos uma distribuição normal. 
 
Exercício 3.7. Numa fábrica de sabonetes foram colhidas do processo k = 25 amostras com n = 
50 itens. Dizer, usando o gráfico da fração defeituosa: 
 
a) o processo está sob controle? 
b) se o comprador aceitar partidas com no máximo 2,5% de defeituosos, o processo atende a isso? 
 
Dados: nas 25 amostras foram encontrados os seguintes números de defeituosos: 1, 2, 5, 6, 3, 5, 2, 1, 1, 
0, 0, 1, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0. 
 
Resposta: 
 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
d 1 2 5 6 3 5 2 1 1 0 0 1 
d/n 0,02 0,04 0,10 0,12 0,06 0,10 0,04 0,02 0,02 0,00 0,00 0,02 
 
x 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 
d 0 1 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 
d/n 0,00 0,02 0,00 0,04 0,02 0,00 0,00 0,02 0,02 0,00 0,00 0,02 0,00 
 
O total de defeituosos nas 25 amostras é 34. Logo, LM = = ∑d/∑n = ∑d/n.k = 34/50 X 25 
 
LM = 0,0272 < 0.1, Logo, emprega-se a relação simplificada3: 
LIC p 3 p / n e LSC p 3 p n 
 
 ==== ==== ++++ ////− 
LIC = 0,0272 – 3 (0,0272/50)1/2 = 0,0272 – 3 X 0,0233 
LIC = 0,0272 – 0,0699 
LIC = 0 
LSC = 0,0272 + 0,0699 
LSC = 0,0971 
 
Conclusões: 
 
a) As amostras 3, 4 e 6 estão acima do LSC. Logo, o processo está fora de controle. 
b) Se o consumidor aceita partidas com até 2,5% de defeituosose o número total de defeituosos em 1250 
itens foi 34, ou seja, se a fração defeituosa é 0,0272, basta constatar que isso corresponde a 2,72%, que é 
maior que 2,5%. Logo, o processo atual não permite atender a essa exigência. Entretanto, ao 
colocarmos o processo sob controle (por exemplo, eliminando as amostras 3, 4 e 6), ficamos com uma 
fração defeituosa de (34 – 16)/(1250 – 150) = 18/1100 = 0,016, que corresponde a 1,6%. 
 
Exercício 3.8. Numa fábrica de transistores, a produção diária é de n = 2800 peças. Controle exaustivo 
realizado durante oito dias revelou a existência do seguinte número de defeituosos. Dizer se o processo 
está sob controle. 
 
 
 
3
 Ver Seção 4.7.2.a do Livro Controle Estatístico, do mesmo autor. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xix 
xix
Resposta: 
 
Equações: 
 
LM = n = n ∑d/∑n = n ∑d/(nk) 
LC = n ± 3 [n (1- )]1/2 
 
Cálculos: 
 
LM = n = 2800 X 926/(2800 X 8) = 926/8 = 115,75⇒ = 115,75/2800 
LM = 0,0413 
LC = 115,75 ± 3 [115,75 (1-0,0413)]1/2 = 115,75 ± 3 (115,75 X 0,9587)1/2 = 115,75 ± 3 X 10,53 LC = 
115,75 ± 31,59 
LIC = 84,16 
LSC = 147,34 
 
Conclusão: examinando os dados, observamos que todos estão abaixo do Limite Superior de Controle. 
Logo, o processo está sob controle. 
 
Exercício 3.9. Numa determinada indústria existem duas linhas de produção. Após análise com 5 
repetições de um total de 10 amostras de cada linha, foram obtidos os seguintes resultados. Interprete-os. 
 
Resposta: 
 
1 = 5,63; 1 = 7,20 
2 = 5,62; 2 = 7,60 
 
Equações: 
 
Média: LM = ; LC = ± A2 (A2 = 0,577) 
Amplitude: LM = 
LIC = D3 e LSC = D4 (D3 = 0 e D4 = 2,115) 
 
 
 
Cálculos: 
 
Média: 
 
LM1 = 5,63 
LC1 = 5,63 ± 0,577 X 7,20 = 5,63 ± 4,15 
LIC1 = 1,48 
LSC1 = 9,78 
 
LM2 = 5,62 
LC2 = 5,62 ± 0,577 X 7,60 = 5,62 ± 4,38 
LIC2 = 1,24 
LSC2 = 10,00 
 
Amplitude: 
 
LM1 = 7,2; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 7,2 = 15,2 
dia defeituosos 
1 110 
2 117 
3 112 
4 105 
5 130 
6 120 
7 119 
8 113 
∑ 926 
LINHA 1 LINHA 2 AMOSTRA LEITURA R LEITURA R 
1 5,67 8 5,50 3 
2 5,90 7 5,58 8 
3 5,52 9 5,66 5 
4 5,60 6 5,76 9 
5 5,55 8 5,68 7 
6 5,39 8 5,65 8 
7 5,79 7 5,61 14 
8 5,67 8 5,59 7 
9 5,51 5 5,51 9 
10 5,66 6 5,64 6 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xx 
xx
LM2 = 7,6; LIC = 0 e LSC = 2,115 X 7,6 = 16,1 
 
Conclusões: 
 
Média e Amplitude: Ambos estão sob controle e ambos os conjuntos de dados também estariam sob 
controle se usados os limites de controle trocados. Observe-se que aplicação dos testes t e F mostra que 
suas diferenças (média e desvio-padrão) são estatisticamente insignificantes: 
 
sR
1
 = 7,2 X 0,4299 = 3,095; sR1 = 7,6 X 0,4299 = 3,267 
 
F = (3,267)2/(3,095)2 = 10,67/9,58 = 1,11 < Ftabelado = 3,0 
 
t = (5,63 – 5,62)/[(10,67+9,58)/9] = 0,01/0,12 = 0,08 < ttabelado = 2,228 
 
Exercício 3.10. Numa fábrica de lâmpadas foi examinado um grande lote, encontrando-se uma vida 
média de 1627 horas. com um desvio padrão de 230 horas. Sabendo que a partir de então o processo 
vai ser controlado por exame de amostras com n = 4 lâmpadas, calcular os limites de controle. 
 
Resposta: 
 
LC = LM ± 3 σ / n½ 
 
LM = 1627; σ = 230 
 
LC = 1627 ± 3 X 230/41/2 = 1627 ± 345 
 
LIC = 1282 e LSC = 1972 
 
Exercício 3.11. Amostras de 5 itens foram analisadas e os valores de X e R foram calculados para 
cada amostra. Para as 25 primeiras amostras foram encontrados Σ X = 358,50 e Σ R = 9,80. Calcular 
os limites de controle para GC-X e GC-R. 
 
Resposta: 
 
a) GC-X: 
 
LM = 358,50/25 = 14,34 e R = 9,80/25 = 0,39 
LC = 14,34 ± 0,39.A2; A2 = 0,577 
LC = 14,34 ± 0,22 
LIC = 14,12 e LSC = 14,56 
 
b) GC-R: 
 
LM = R = 9,80/25 = 0,39 
LIC = 0 e LSC = 2,115 x 0,39 = 0,82 
 
Exercício 3.12. Se os limites de especificação para o processo do exercício anterior fossem dados por 
14,40 ± 0,45, que conclusões poderiam ser tiradas dos dados, para o GC-X? 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxi 
xxi
Resposta: 
 
LSE = 14,85 > LSC = 14,56 
LIE = 13,95 < LIC = 14,12 
 
Logo, o processo, enquanto sob controle, atende à especificação (seus limites ficam dentro dos limites 
de especificação). 
 
Exercício 3.13. Da inspeção de 30 amostras com n = 4 obtiveram-se Σ X = 12660 e Σs = 945. Supor o 
processo sob controle. Pede-se: 
 
a) os limites do GC-X; 
b) os limites do GC-s; 
c) a estimativa do desvio-padrão do processo; 
d) a porcentagem das amostras que ficarão fora da especificação, se LIE for igual a 400. 
 
Respostas: 
 
a) LC = 12660/30 ± 1,88.945/30 = 422 ± 59; LIC = 363 e LSC = 481 (A1 = 1,88; Tabela 6). 
b) LIC = 0 e LSC = 2,266.945/30 = 71 (B3 e B4; Tabela 7) 
c) s = c2.σ (ver Tabela 7) ⇒ σ = s/c2 = 31,5/0,7979 = 39,5 
d) Obs.: confrontar com o exercício 1.1. 
 
i) Cálculo do σ: 
z = ( X -xi)/ σ = (422-363)/ σ = 3 ⇒ σ = 59/3 = 19,7 
 
ii) Cálculo de P(x>400): 
z = (422-400)/ 19,7 = 22/ 19,7 = 1,12 
 
Na tabela de distribuição normal (Tabela 1), para z = 1,10, encontra-se A = 0,3643. Como é pedido o 
percentual que fica abaixo de 400, resulta: 
 
A = 0,50 –0,3643 = 0,1357 ou ≅ 13,6% 
 
Exercício 3.14. São usados gráficos de controle em uma fábrica de resistências elétricas. Os valores 
X (Ohm) e R são calculados a partir de amostras com 3 itens. Para um total de 20 amostras foram 
encontrados Σ X = 8620 e Σ R = 910. Calcular: 
 
a) os limites de controle de GC-X e GC-R; 
b) a probabilidade de serem produzidas resistências dentro da especificação 430 ± 30. 
 
Respostas: 
 
a) Limites de controle: 
 
No GC-X: 
 
LC = 431 ± 45,5 x 1,023 = 431 ± 46,5 
LIC = 384,5 e LSC = 477,5 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxii 
xxii
No GC-R: 
 
LIC = 0 e LSC = 117,2 
 
b) 
σ = (431-384,5)/3 = 15,5 
LIE = 400; LSE = 460 
z1 = (431-400)/15.5 = 2 ⇒ 47,72% 
Logo, P1 = 50 – 47,72 = 2,28% de probabilidade de sair abaixo do LIE. 
z2 = (460-431)/15.5 = 1,87 ⇒ 46,78% 
Logo, P2 = 50 – 46,78 = 3,22% de probabilidade de sair acima do LSE. 
 
Conseqüentemente, há uma probabilidade de 2,28% + 3,22% = 5,5% de saírem produtos fora da 
especificação. 
 
Exercício 3.15. Construir, para amostras com 5 itens, o GC-s de um processo com µ = 5,60 e σ = 0,05. 
 
Resposta: 
LM = µs = c2.σ = 0,8407 x 0,05 = 0,042 
LIC = B1.σ = 0 
LSC = B2.σ = 1,745 x 0,05 = 0,089 
 
Exercício 3.16. Uma fábrica tem 6 linhas de produção. Análise das mesmas forneceu os seguintes 
resultados (n = 50): 
 
LINHA X s 
1 2,34 0,11 
2 2,39 0,16 X = 2,345 
3 2,25 0,18 s = 0,12 
4 2,34 0,11 
5 2,38 0,09 
6 2,37 0,08 
 
Comparar as linhas, em termos de exatidão (com auxílio do GC-X) e de precisão (GC-s). 
Resposta: 
 
a) GC-X: 
LM = 2,345 
LC = 2,345 ± A1. s ; A1 = 3/c2. n 
 
(Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10) 
 
Como n é muito grande, c2 ≅ 1 
 
A1 = 3/ n = 3/ 50 = 3/7,071 = 0,424264 
LC = 2,345 ± 0,12 x 0,424264 
LC = 2,345 ± 0,051 
LIC = 2,294 e LSC = 2,396 
b) GC-s: 
LM = 0,12 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxiii 
xxiii 
LIC = B3. s ; LSC = B4. s 
 
(Obs.: não podem ser usadas as tabelas porque n é maior que 10) 
 
B3 = 1 - 3/ n2 = 1 - 3/ 100 = 1 – 0,3 = 0,7 
B4 = 1 + 3/ n2 = 1 + 3/ 100 = 1 + 0,3 = 1,3 
LIC = 0,7 x 0,12 = 0,084 
LSC = 1,3 x 0,12 = 0,156 
 
Comparando os dados com os limites de controle: 
 
a) do GC-X: A linha 3 está produzindo com um valor médio inferior a LIC. 
b) do GC-s: As linhas 2 e 3 estão com uma variabilidade muito grande. 
 
Exercício 3.17. Sabe-se que um GC(X) tem um LSC = 3,4 e um LIC = 0,6 e que um GC(R) tem um LSC 
= 4,6 eum LIC = 0. As respectivas linhas médias valem X = 2 e R = 2 e os referidos gráficos servem 
para o controle de um processo no qual se tiram amostras de tamanho 4. No controle posterior do 
processo, obtiveram-se os resultados abaixo: 
 
Localizar esses valores no GC-X e no GC-R. O que está ocorrendo? 
 
Resposta: 
 
Como o ponto 4 está fora de controle (abaixo de LIC), é preciso recalcular os limites. Os novos valores 
são: 
 
a) GC-X: 
LC = 1,72 ± 0,729 x 1,63 
LC = 1,72 ± 1,19; LIC = 0,53; LSC = 2,91 
 
Na nova situação, em que a linha média caiu, encontram-se os pontos 4 e 12 fora dos limites. 
Eliminando-os, fica (ver quadro na página seguinte): 
 
X = 1,72 e R = 1,59 
LC = 1,80 ± 0,729 x 1,59 
LC = 1,80 ± 1,16; LIC = 0,64; LSC = 2,96 
 
b) GC-R: 
LIC = 1,59 x 0 = 0; LSC = 1,59 x 2,282 = 3,63 
 
Como agora o processo está sob controle, é possível analisar a situação: 
 
a) Existe um grande percentual de valores de xi abaixo da linha média anterior (2), sugerindo que o 
valor médio do característico em análise diminuiu estatisticamente. Se, por exemplo, trata-se do 
teor de uma impureza em um dado produto, isso é bom. Mas pode ser o contrário. 
b) Por outro lado, o GC-R, também com diminuição da linha média, indica que houve uma melhora 
na variabilidade do processo. 
 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxiv 
xxiv
MEDIDAS INDIVIDUAIS HORA 
x1 x2 x3 x4 
X R 
 
1 1,7 2,2 1,9 1,2 1,75 1,0 
2 0,8 1,5 2,1 0,9 1,33 1,3 
3 1,0 1,4 1,0 1,3 1,18 0,4 
4 0,4 -0,6 0,7 0,2 0,18 1,3 
5 1,4 2,3 2,8 2,7 2,3 1,4 
6 1,8 2,0 1,1 0,1 1,25 1,9 
7 1,6 1,0 1,5 2,0 1,53 1,0 
8 2,5 1,6 1,8 1,2 1,78 1,3 
9 2,9 2,0 0,5 2,2 1,9 2,4 
10 1,1 1,1 3,1 1,6 1,73 2,0 
11 1,7 3,6 2,5 1,8 2,4 1,9 
12 4,6 2,8 3,5 1,9 3,2 2,7 
13 2,6 2,8 3,2 1,5 2,53 1,7 
14 2,3 2,1 2,1 1,7 2,05 0,6 
15 1,9 1,6 1,8 1,4 1,68 0,5 
16 1,3 2,0 3,9 0,8 2 3,1 
17 2,8 1,6 0,6 0,2 1,3 2,6 
18 1,7 3,6 0,9 1,5 1,93 2,7 
19 1,6 0,6 1,0 0,8 1 1,0 
20 1,7 1,0 0,5 2,2 1,35 1,7 
 MÉDIAS 1,72 1,63 
 
Exercício 3.18. De um processo foram colhidas 25 amostras de tamanho 50, encontrando-se os 
resultados abaixo. Calcular os limites de controle para o GC-p. 
Resposta: 
064,0
1250
80
5025
80
===
x
p 
 
AMOSTRA d p AMOSTRA d p 
1 1 0,02 14 5 0,10 
2 2 0,04 15 4 0,08 
3 3 0,06 16 4 0,08 
4 3 0,06 17 5 0,10 
5 5 0,10 18 1 0,02 
6 4 0,08 19 5 0,10 
7 4 0,08 20 2 0,04 
8 4 0,08 21 0 0,00 
9 2 0,04 22 5 0,10 
10 2 0,04 23 3 0,06 
11 3 0,06 24 3 0,06 
12 3 0,06 25 1 0,02 
13 3 0,06 TOTAL 80 
 
LC = 0,064 ± 3 50/)064,01(064,0 − = 0,064 ± 0,104 
LIC = 0; LSC = 0,168 
 
Como o maior valor de p é 0,10, o processo está sob controle. 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxv 
xxv
Exercício 3.19. Calcular os limites de controle para o GC-np com os mesmos dados acima. 
 
Resposta: LM = n p ; LC = n p ± 3 )1( ppn − = 50 x 0,064 ± 3 936,02,3 x = 3,2 ± 5,2 
LIC = 0 e LSC = 8,4 e o processo está sob controle. 
 
Exercício 3.20. Na inspeção de 25 veículos foram encontrados os defeitos tabelados abaixo. Calcular 
os limites de controle do GC-u (n = 1). 
 
Resposta: 
12,11
25
278
==u ; LM = 11,12 e LC = 11,12 ± 3 12,11 = 11,12 ± 10,00 
LIC = 1,12 e LSC = 21,12 
 
O veículo 20, com 27 defeitos, deve voltar à linha de montagem. Recalculando os limites: 
 
46,10
24
251
==u ; LM = 10,46 e LC = 10,46 ± 3 46,10 = 10,46 ± 9,70 
LIC = 0,76 e LSC = 20,16 
 
Agora, o veículo 15, com 21 defeitos, também deve voltar à linha de montagem. Recalculando mais 
uma vez os limites: 
 
00,10
23
230
==u ; LM = 10,00 e LC = 10,00 ± 3 00,10 = 10,00 ± 9,49 
LIC = 0,51 ≅ 0 e LSC = 19,49 ≅ 19 
 
VEÍCULO c VEÍCULO c 
1 7 14 8 
2 14 15 21 
3 13 16 12 
4 17 17 8 
5 7 18 9 
6 11 19 5 
7 6 20 27 
8 11 21 9 
9 16 22 15 
10 13 23 3 
11 17 24 7 
12 10 25 5 
13 7 TOTAL 278 
 
Exercício 3.21. Construir o GC-c com os dados obtidos de uma fábrica de fio de cobre, onde se faz um 
inventário do número de falhas na película do esmalte isolante em peças com 30 metros de 
comprimento. Foram examinadas 20 peças. Os dados encontram-se na página seguinte. 
 
Resposta: 70,6
20
134
==c ; LC = 6,70 ± 3 70,6 = 6,70 ± 7,76; LIC = 
0 e LSC = 14,46 
 
Eliminando o item 2, fica: 
 
PEÇA c PEÇA c PEÇA c 
1 7 8 0 15 4 
2 15 9 11 16 11 
3 9 10 13 17 0 
4 5 11 0 19 12 
5 0 12 5 19 3 
6 4 13 8 20 10 
7 11 14 6 TOTAL 134 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxvi 
xxvi
26,6
19
119
==c ; LC = 6,26 ± 3 26,6 = 6,26 ± 7,50; LIC = 0 e LSC = 13,76 
 
Exercício 3.22. É muito importante a definição da dimensão da amostra (não confundir com tamanho, 
n). Se, por exemplo, houvessem sido examinados 20 peças de fio com apenas 10 metros de 
comprimento, poderiam ter sido encontrados os seguintes resultados: 
 
 
Resposta: 25,2
20
45
==c ; LC = 2,25 ± 3 25,2 = 2,25 ± 4,5; LIC = 0 e LSC = 
6,75 
 
Nesse caso, o item 2 passaria pelo teste! 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 3.23. Uma fábrica começou com uma produção muito baixa, aumentando-a com o tempo. O 
Controle de Qualidade registrou o tamanho do refugo ao longo de todo esse tempo (Quadro abaixo). 
Interpretar os resultados. 
Notação: 
Pt = prod. total; Pu = prod. útil; Ref = refugo; Pmin = prod. mínima; Po = prod. ótima e Pmax = prod. máxima. 
 
Pt Pu Ref Ref% Pu/Ref 
0 0 0 0 0 
10 2 8 80 0,25 
20 5 12 60 0,42 
30 15 15 50 1,00 
40 30 10 25 3,00 
50 45 5 10 9,00 
60 50 10 17 5,00 
70 55 15 21 3,67 
80 60 20 25 3,00 
90 58 32 36 1,81 
100 55 45 45 1,22 
110 50 60 55 0,83 
120 45 75 63 0,60 
 
O gráfico abaixo (Figura 7) mostra que a produção ótima se dá com Pt = 50 , que a partir de Pt = 80 a 
produção útil começa a cair em termos absolutos, que a fábrica só tem rentabilidade na faixa 
compreendida entre Pmin e Pmax e que abaixo de Pmin o custo de produção é exageradamente alto. 
PEÇA c PEÇA c 
1 2 12 2 
2 5 13 3 
3 3 14 2 
4 2 15 1 
5 0 16 4 
6 1 17 0 
7 4 19 4 
8 0 19 1 
9 4 20 3 
10 4 TOTAL 45 
11 0 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxvii 
xxvii
 
Figura 7 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxviii 
xxviii 
4. INSPEÇÃO DE QUALIDADE 
 
Exercício 4.1. Numa partida de N = 50, com D = 2, qual a probabilidade de aceitação (PA) e a 
probabilidade de rejeição (PR), inspecionando-se uma amostra com n = 10 e a = 1 ?: 
 
Resposta: 
 
A equação pode ser escrita como abaixo: 
 
 
 
 
que pode ainda ser escrita como: 
 
 
onde as letras maiúsculas indicam valores do lote e as letras minúsculas indicam valores da amostra. A 
probabilidade de aceitação (PA) é dada pela relação: 
 
F (a) = P (0 ≤ d ≤ a) 
 
e a probabilidade de rejeição (PR) é dada pela relação: 
 
1 – F(a) = P (d > a) 
 
Para calcular F(a) para um dado valor de a deve ser efetuado o somatório: 
 
 
 
onde f(d) representa o modelo de distribuição escolhido (no caso, a hipergeométrica, pois n/N = 
0,2 > 0,1). Para efeito de simplificação, doravante serão omitidos os símbolos acima e abaixo do sinal 
de somatório. 
 
Cálculos: 
 
Como N = 50, D = 2 e n = 10, temos: 
 
Para a = 0: 
 
f(d) = [2!/0!(2 – 0)!] X {(50 – 2)!/[10![(50 – 2) – (10 – 0)!]} X [10!(50 – 10)!/50!] 
f(d) = 1 X [48!/10!(48 – 10)!] X 10!40!/50! 
f(d) = (48!/10!38!) X (10!40!/50!) 
 
com outra apresentação: 
 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxix 
xxix
Refazendo o cálculo para a = 1, fica f (d) = 0,326. Logo, PA = 0,637 + 0,326 = 0,963 ou 96,3%. 
Finalmente, PR = 1 – 0,963 = 0,037 ou 3,7%. 
 
Exercício 4.2. Foram extraídas 50 amostras de um lote de tamanho 1000, cuja fração defeituosa 
conhecidaé P = 0,04. Calcular PA e PR para a = 2, a = 3 e a = 6. Usar a distribuição binomial. 
 
Resposta: 
 
equações: 
 
F(d) = ∑ n!/d!(n-d)! x Pd x Q(n-d), onde Q = 1 – P 
 
Cálculos: 
 
Para d = 0: f(d) = 50!/0!(50-0)! x (0,04)0 x (1 – 0,04)(50 – 0) = 1 x 1 x (0,96)50 = 0,130 
Para d = 1: f(d) = 0,270 
Para d = 2: f(d) = 0,276 
Para d = 3: f(d) = 0,184 
Para d = 4: f(d) = 0,090 
Para d = 5: f(d) = 0,034 
Para d = 6: f(d) = 0,010 
 
Fazendo o somatório, fica: 
 
Para a = 2: F (a) = 0,130 + 0,270 + 0,276 = 0,676 
Para a = 3: F (a) = 0,676 + 0,184 = 0,860 
Para a = 6: F (a) = 0,860 + 0,090 + 0,034 + 0,010 = 0,994 
 
Logo, considerando que PA = F (a) e PR = 1 – F (a), temos: 
 
Para a = 2: PA = 0,676; PR = 0,324 
Para a = 3: PA = 0,860; PR = 0,140 
Para a = 6: PA = 0,994; PR = 0,006 
 
Exercício 4.3. Recalcular o exercício anterior, usando a distribuição de Poisson. 
 
Resposta: 
 
equações: 
m = n.P 
F (a) = ∑ md/(em.d!) 
 
Cálculos: 
 
m = 50 X 0,04 = 2 
em = e2 = (2,72)2 = 0,07344 ⇒ 1/e2 = 1/7,3984 = 0,135 
 
Para d = 0: f(d) = 20 x 0,135/0! = 0,135 
Para d = 1: f(d) = 21 x 0,135/1! = 0,270 
Para d = 2: f(d) = 22 x 0,135/2! = 0,270 
Para d = 3: f(d) = 23 x 0,135/3! = 0,180 
Para d = 4: f(d) = 24 x 0,135/4! = 0,090 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxx 
xxx
Para d = 5: f(d) = 25 x 0,135/5! = 0,036 
Para d = 6: f(d) = 26 x 0,135/6! = 0,012 
 
Somatórios: 
 
Para a = 2: PA = 0,135+0,270+0,270 = 0,675; PR = 0,325 
Para a = 3: PA = 0,675+0,180= 0,855; PR = 0,145 
Para a = 6: PA = 0,855+0,090+0,036+0,012= 0,993; PR = 0,007 
 
Sugestão: comparar estes resultados com os anteriores. 
 
Exercício 4.4. São dados: 
 
N = 5000 
P1 = NQA = 1% 
P2 = NQI = 8% 
α = 5% 
β = 10% 
 
O Plano empregado é o de inspeção simples, com Nível de Inspeção I. Determinar n e a. Em seguida, 
empregando a distribuição de Poisson, recalcular o plano. 
 
Resposta: 
 
a) Na Tabela 9 encontra-se a Letra J; na Tabela 10: n = 80 e a = 2. 
 
Recalculando: 
 
Tentativa 1 
 
Para
 
o fabricante: PA = {[(80 x 0,01)0/e(80 x 0,01)] x 1/0!} + {[(80 x 0,01)1/e(80 x 0,01)] x 1/1!} + {[(80 x 
0,01)2/e(80 x 0,01)] x 1/2!} = 1/e0,8 + 0,8 x 1/e0,8 + 0,82 x 1/e0,8 x ½! 
PA = 0,4504 + 0,8 x 0,4504 + 0,64 x 0,4504 x1/2 = 0,4504 + 0,3603 + 0,1441 = 0,9548 = 95,5% ⇒ α = 
100 – 95,5 = 4,5% < 5% 
 
Para
 
o comprador: PA = {[(80 x 0,08)0/e(80 x 0,08)] x 1/0!} + {[(80 x 0,08)1/e(80 x 0,08)] x 1/1!} + {[(80 x 
0,08)2/e(80 x 0,08)] x 1/2!} = 1/e6,4 + 6,4 x 1/e6,4 + 6,42 x 1/e-6,4 x ½ = 0,001694 + 6,4 x 0,001694 + 40,96 
x 0,001694/2 
PA = 0,001694 + 0,01084 + 0,03469 = 0,047 = 4,7% ⇒ β = 4,7% < 10%. 
 
Tentativa 2 
 
Se diminuirmos o valor de n para 60, por exemplo, fica: 
 
Para
 
o fabricante: PA = {[(60 x 0,01)0/e(60 x 0,01)] x 1/0!} + {[(60 x 0,01)1/e(60 x 0,01)] x 1/1!} + {[(60 x 
0,01)2/e(60 x 0,01)] x 1/2!}= 1/e0,6 + 0,6 x 1/e0,6 + 0,36 x 1/e0,6 x ½! 
PA = 0,5498 + 0,6 x 0,5498 + 0,36 x 0,5498/2 = 0,5498 + 0,3299 + 0,09896 = 0,9787 = 97,9% ⇒ α = 100 
– 97,9 = 2,1% < 5% 
 
Para
 
o comprador: PA = {[(60 x 0,08)0/e(60 x 0,08)] x 1/0!} + {[(60 x 0,08)1/e(60 x 0,08)] x 1/1!} + {[(60 x 
0,08)2/e(60 x 0,08)] x 1/2!} = 1/e4,8 + 4,8 x 1/e4,8 + 23,04 x 1/e4,8 x ½ 
PA = 0,00835 + 0,04008 + 0,0962 = 0,1446 = 14,5% ⇒ β = 14,5% > 10%. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxi 
xxxi
Comparemos os resultados encontrados até agora com os valores desejados: 
 
Situação Valor de a Valor de n Valor de α Valor de β 
esperada 2 80 5 10 
tentativa 1 2 80 4,5 4,7 
tentativa 2 2 60 2,1 14,5 
 
A tentativa 1 forneceu um valor para α muito próximo do desejado. Além disso, forneceu um valor de β 
muito menor, o que deveria agradar ao comprador. Entretanto, com um tamanho de amostra igual a 80, 
o custo poderá ficar muito alto. Por isso foi feita a tentativa 2. Infelizmente, ela elevou o valor de β 
consideravelmente, levando-nos a tentar trabalhar com um valor de n intermediário (70). 
 
Para
 
o fabricante: PA = {[(70 x 0,01)0/e(70 x 0,01)] x 1/0!} + {[(70 x 0,01)1/e(70 x 0,01)] x 1/1!} + {[(70 x 
0,01)2/e(70 x 0,01)] x 1/2!} 
PA = 1/e0,7 + 0,7 x 1/e0,7 + 0,49 x 1/e0,7 x ½ 
PA = 0,4976 + 0,7 x 0,4976 + 0,49 x 0,4976/2 = 0,4976 + 0,3483 + 0,1219 = 96,8% ⇒ α = 100 – 96,8 = 
3,2% < 5% 
 
Para
 
o comprador: PA = {[(70 x 0,08)0/e(70 x 0,08)] x 1/0!} + {[(70 x 0,08)1/e(70 x 0,08)] x 1/1!} + {[(70 x 
0,08)2/e(70 x 0,08)] x 1/2!} 
PA = 1/e5,6 + 5,6 x 1/e5,6 + 31,36 x 1/e5,6 x ½ 
PA = 0,00376 + 0,021056 + 0,05896 = 0,0838 = 8,4% ⇒ β = 8,4% < 10%. 
 
Plano: N = 5000; n = 70; a = 2; P1 = 1%; P2 = 8%; α = 3,2% e β = 8,4%. 
 
Exercício 4.5. Uma amostra de tamanho n = 100 é retirada da produção. Admite-se que NQ pode 
variar entre 0% e 20%. Calcular e construir a CCO para a = 10, empregando a equação de Poisson. 
Dica: quanto mais pontos, mais bem definida fica a curva. 
 
Resposta: Atribuir vários valores para P (porcentagem de defeituosos), entre 0,0 e 0,2 (0% e 20%) e 
calcular o correspondente valor de PA. A CCO é construída colocando-se P na abcissa e PA na 
ordenada.
 
 
Equações: 
 
m = n.P; PA = ∑ md/(em.d!) 
 
Desenvolvimento: calcular m e PA para cada valor de P. 
 
1) P = 0% = 0 
 
m = 100 x 0 = 0 
 
PA = (00/e0) x 1/0! + (01/e0) x 1/1! + (02/e0) x 1/2! + (03/e0) x 1/3! + (04/e0) x 1/4! + (05/e0) x 1/5! + 
(06/e0) x 1/6! + (07/e0) x 1/7! + (08/e0) x 1/8! + (09/e0) x 1/9! + (010/e0) x 1/10! 
 
PA = (1/1) x 1/1 + (0/1) x 1/1 + (0/1) x 1/2 + (0/1) x 1/6 + (0/1) x 1/24 + (0/1) x 1/120 + (0/1) x 1/720 
+ (0/1) x 1/5040 + (0/1) x 1/40320 + (0/1) x 1/362880 + (0/1) x 1/3628800 
 
PA = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 
 
PA = 1 = 100% 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxii 
xxxii
2) P = 0,5% = 0,005 
 
m = 100 x 0,005 = 0,5 
 
PA = (0,50/e0,5) x 1/0! + (0,51/e0,5) x 1/1! + (0,52/e0,5) x 1/2! + (0,53/e0,5) x 1/3! + (0,54/e0.5) x 1/4! + 
(0,55/e0,5) x 1/5! + (0,56/e0,5) x 1/6! + (0,57/e0,5) x 1/7! + (0,58/e0,5) x 1/8! + (0,59/e0,5) x 1/9! + 
(0,510/e0,5) x 1/10! 
 
PA = (1/1,649) x 1/1 + (0,5/1,649) x 1/1 + (0,25/1,649) x 1/2 + (0,125/1,649) x 1/6 + (0,0625/1,649) x 
1/24 + (0,03125/1,649) x 1/120 + (0,015625/1,649) x 1/720 + (0,0078125/1,649) x 1/5040 + 
(0,00390625/1,649) x 1/40720 + (0,001953125/1,649) x 1/362880 + (0,0009765625/1,649) x 
1/3628800 
 
PA = 0,6064 x 1 + 0,3032 x 1 + 0,1516 x 0,5 + 0,0758 x 0,1667 + 0,0379 x 0,04167 + 0,01895 x 
0,008333 + 0,009475 x 0,001389 + 0,0047375 x 0,0001984 + + (0,00390625/1,649) x 1/40320+ 
0,001184375 x 0,000002756 + 0,0005921875 x 0,0000002756 
 
PA = 0,6064 + 0,3032 + 0,0758 + 0,01264 + 0,001579 + 0,0001579 + 0,00001316 + 0,0000009399 + 
0,00000005875 + 0,000000003264+ 0,0000000001632 
 
PA = 1,00 = 100,00% 
 
3) P = 1% = 0,01 
 
m = 100 x 0,01 = 1 
 
PA = (10/e1) x 1/0! + (11/e1) x 1/1! + (12/e1) x 1/2! + (13/e1) x 1/3! + (14/e1) x 1/4! + (15/e1) x 1/5! + 
(16/e1) x 1/6! + (17/e1) x 1/7! + (18/e1) x 1/8! + (19/e1) x 1/9! + (110/e1) x 1/10! 
 
PA = (1/2,72) x 1/1 + (1/2,72) x 1/1 + (1/2,72) x 1/2 + (1/2,72) x 1/6 + (1/2,72) x 1/24 + (1/2,72) x 
1/120 + (1/2,72) x 1/720 + (1/2,72) x 1/5040 + (1/2,72) x 1/40320 + (1/2,72) x 1/362880 + (1/2,72) x 
1/3628800 
 
PA = 0,36765 + 0,36765 + 0,18382 + 0,061274 + 0,01532 + 0,003064 + 0,0005106 + 0,00007294 + 
0,000009118 + 0,000001013 + 0,0000001013 
 
PA = 0,9994 = 99,94% 
 
Obs.: Como o leitor deve ter observado, o cálculo manual é bastante trabalhoso, verdadeiramente 
exaustivo. Para facilitar, é importante o conhecimento de aplicativos (programas computacionais) que 
façam esse trabalho braçal por nós. Uma vez calculados vários valores de PA, os mesmos são 
colocados num gráfico (na ordenada) e correlacionados com os correspondentes valores deP (na 
abcissa). Este gráfico pode, por exemplo, ser construído manualmente, em papel milimetrado, mas 
também com auxílio de algum aplicativo (o próprio Excel ou o Origin, entre outros tantos disponíveis 
no mercado especializado). 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxiii 
xxxiii 
5. TABELAS ÚTEIS 
 
As tabelas apresentadas a seguir deverão ser utilizadas para a melhor compreensão dos 
exercícios, bem como a resolução de exercícios equivalentes. 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxiv 
xxxiv
TABELA 1 (Capítulo 1) 
 
ÁREAS )z z (0)(z oo P A ≤≤= para zo = (x - µ)/σ (ramo positivo da curva)4 
 
zo A zo A zo A zo A zo A zo A 
0,00 0,0000 0,60 0,2257 1,20 0,3849 1,80 0,4641 2,40 0,4918 3,00 0,4987 
0,01 0,0040 0,61 0,2291 1,21 0,3869 1,81 0,4649 2,41 0,4920 3,01 0,4987 
0,02 0,0080 0,62 0,2324 1,22 0,3888 1,82 0,4656 2,42 0,4922 3,02 0,4987 
0,03 0,0120 0,63 0,2357 1,23 0,3907 1,83 0,4664 2,43 0,4925 3,03 0,4988 
0,04 0,0160 0,64 0,2389 1,24 0,3925 1,84 0,4671 2,44 0,4927 3,04 0,4988 
0,05 0,0199 0,65 0,2422 1,25 0,3944 1,85 0,4678 2,45 0,4929 3,05 0,4989 
0,06 0,0239 0,66 0,2454 1,26 0,3962 1,86 0,4686 2,46 0,4931 3,06 0,4989 
0,07 0,0279 0,67 0,2486 1,27 0,3980 1,87 0,4693 2,47 0,4932 3,07 0,4989 
0,08 0,0319 0,68 0,2517 1,28 0,3997 1,88 0,4699 2,48 0,4934 3,08 0,4990 
0,09 0,0359 0,69 0,2549 1,29 0,4015 1,89 0,4706 2,49 0,4936 3,09 0,4990 
0,10 0,0398 0,70 0,2580 1,30 0,4032 1,90 0,4713 2,50 0,4938 3,10 0,4990 
0,11 0,0438 0,71 0,2611 1,31 0,4049 1,91 0,4719 2,51 0,4940 3,11 0,4991 
0,12 0,0478 0,72 0,2642 1,32 0,4066 1,92 0,4726 2,52 0,4941 3,12 0,4991 
0,13 0,0517 0,73 0,2673 1,33 0,4082 1,93 0,4732 2,53 0,4943 3,13 0,4991 
0,14 0,0557 0,74 0,2704 1,34 0,4099 1,94 0,4738 2,54 0,4945 3,14 0,4992 
0,15 0,0596 0,75 0,2734 1,35 0,4115 1,95 0,4744 2,55 0,4946 3,15 0,4992 
0,16 0,0636 0,76 0,2764 1,36 0,4131 1,96 0,4750 2,56 0,4948 3,16 0,4992 
0,17 0,0675 0,77 0,2794 1,37 0,4147 1,97 0,4756 2,57 0,4949 3,17 0,4992 
0,18 0,0714 0,78 0,2823 1,38 0,4162 1,98 0,4761 2,58 0,4951 3,18 0,4993 
0,19 0,0753 0,79 0,2852 1,39 0,4177 1,99 0,4767 2,59 0,4952 3,19 0,4993 
0,20 0,0793 0,80 0,2881 1,40 0,4192 2,00 0,4772 2,60 0,4953 3,20 0,4993 
0,21 0,0832 0,81 0,2910 1,41 0,4207 2,01 0,4778 2,61 0,4955 3,21 0,4993 
0,22 0,0871 0,82 0,2939 1,42 0,4222 2,02 0,4783 2,62 0,4956 3,22 0,4994 
0,23 0,0910 0,83 0,2967 1,43 0,4236 2,03 0,4788 2,63 0,4957 3,23 0,4994 
0,24 0,0948 0,84 0,2995 1,44 0,4251 2,04 0,4793 2,64 0,4959 3,24 0,4994 
0,25 0,0987 0,85 0,3023 1,45 0,4265 2,05 0,4798 2,65 0,4960 3,25 0,4994 
0,26 0,1026 0,86 0,3051 1,46 0,4279 2,06 0,4803 2,66 0,4961 3,26 0,4994 
0,27 0,1064 0,87 0,3078 1,47 0,4292 2,07 0,4808 2,67 0,4962 3,27 0,4995 
0,28 0,1103 0,88 0,3106 1,48 0,4306 2,08 0,4812 2,68 0,4963 3,28 0,4995 
0,29 0,1141 0,89 0,3133 1,49 0,4319 2,09 0,4817 2,69 0,4964 3,29 0,4995 
0,30 0,1179 0,90 0,3159 1,50 0,4332 2,10 0,4821 2,70 0,4965 3,30 0,4995 
0,31 0,1217 0,91 0,3186 1,51 0,4345 2,11 0,4826 2,71 0,4966 3,31 0,4995 
0,32 0,1255 0,92 0,3212 1,52 0,4357 2,12 0,4830 2,72 0,4967 3,32 0,4995 
0,33 0,1293 0,93 0,3238 1,53 0,4370 2,13 0,4834 2,73 0,4968 3,33 0,4996 
0,34 0,1331 0,94 0,3264 1,54 0,4382 2,14 0,4838 2,74 0,4969 3,34 0,4996 
0,35 0,1368 0,95 0,3289 1,55 0,4394 2,15 0,4842 2,75 0,4970 3,35 0,4996 
0,36 0,1406 0,96 0,3315 1,56 0,4406 2,16 0,4846 2,76 0,4971 3,36 0,4996 
0,37 0,1443 0,97 0,3340 1,57 0,4418 2,17 0,4850 2,77 0,4972 3,37 0,4996 
0,38 0,1480 0,98 0,3365 1,58 0,4429 2,18 0,4854 2,78 0,4973 3,38 0,4996 
0,39 0,1517 0,99 0,3389 1,59 0,4441 2,19 0,4857 2,79 0,4974 3,39 0,4997 
0,40 0,1554 1,00 0,3413 1,60 0,4452 2,20 0,4861 2,80 0,4974 3,40 0,4997 
0,41 0,1591 1,01 0,3438 1,61 0,4463 2,21 0,4864 2,81 0,4975 3,42 0,4997 
0,42 0,1628 1,02 0,3461 1,62 0,4474 2,22 0,4868 2,82 0,4976 3,44 0,4997 
0,43 0,1664 1,03 0,3485 1,63 0,4484 2,23 0,4871 2,83 0,4977 3,46 0,4997 
0,44 0,1700 1,04 0,3508 1,64 0,4495 2,24 0,4875 2,84 0,4977 3,48 0,4997 
0,45 0,1736 1,05 0,3531 1,65 0,4505 2,25 0,4878 2,85 0,4978 3,50 0,4998 
0,46 0,1772 1,06 0,3554 1,66 0,4515 2,26 0,4881 2,86 0,4979 3,54 0,4998 
0,47 0,1808 1,07 0,3577 1,67 0,4525 2,27 0,4884 2,87 0,4979 3,58 0,4998 
0,48 0,1844 1,08 0,3599 1,68 0,4535 2,28 0,4887 2,88 0,4980 3,62 0,4999 
0,49 0,1879 1,09 0,3621 1,69 0,4545 2,29 0,4890 2,89 0,4981 3,66 0,4999 
0,50 0,1915 1,10 0,3643 1,70 0,4554 2,30 0,4893 2,90 0,4981 3,70 0,4999 
0,51 0,1950 1,11 0,3665 1,71 0,4564 2,31 0,4896 2,91 0,4982 3,74 0,4999 
0,52 0,1985 1,12 0,3686 1,72 0,4573 2,32 0,4898 2,92 0,4982 3,78 0,4999 
0,53 0,2019 1,13 0,3708 1,73 0,4582 2,33 0,4901 2,93 0,4983 3,82 0,4999 
0,54 0,2054 1,14 0,3729 1,74 0,4591 2,34 0,4904 2,94 0,4984 3,86 0,4999 
0,55 0,2088 1,15 0,3749 1,75 0,4599 2,35 0,4906 2,95 0,4984 3,90 0,5000 
0,56 0,2123 1,16 0,3770 1,76 0,4608 2,36 0,4909 2,96 0,4985 
0,57 0,2157 1,17 0,3790 1,77 0,4616 2,37 0,4911 2,97 0,4985 
0,58 0,2190 1,18 0,3810 1,78 0,4625 2,38 0,4913 2,98 0,4986 
0,59 0,2224 1,19 0,3830 1,79 0,4633 2,39 0,4916 2,99 0,4986 
 
4
 Ver figura na próxima página. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxv 
xxxv
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxvi 
xxxvi
TABELA 2 (Capítulo 2) 
 
 
Valores Críticos de Q para Eliminação de Erros Grosseiros 
 
P(%) 
n – 1 
90 95 99 
3 0,886 0,941 0,988 
4 0,679 0,765 0,889 
5 0,557 0,642 0,760 
6 0,482 0,560 0,698 
7 0,434 0,507 0,637 
8 0,330 0,390 0,550 
9 0,275 0,320 0,490 
10 0,230 0,270 0,435 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxvii 
xxxvii
TABELA 3 (Capítulo 2) 
 
 
Valores de Kn para Cálculo da Segunda Estimativa do Desvio Padrão (sR) 
 
n Kn eficiência* 
2 0,8862 1,00 
3 0,5908 0,99 
4 0,4857 0,98 
5 0,4299 0,96 
6 0,3946 0,93 
7 0,3698 0,91 
8 0,3512 0,89 
9 0,3367 0,87 
10 0,3249 0,85 
(*) Eficiência com que Kn estima o desvio padrão. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxviii 
xxxviii 
TABELA 4 (Capítulo 2) 
 
 
Valores de F para Avaliação da Precisão Relativa de Dois Conjuntos de Dados 
 
(n - 1) PARA O MÉTODO A (n -1) 
de B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1 161 200 216 225 230 234 237 239 241 242 
2 18,5 19 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,4 
3 10,1 8,6 9,9 9,1 9,0 8,9 8,8 8,8 8,8 8,8 
4 7,7 6,9 6,6 6,4 6,3 6,2 6,1 6,1 6,0 6,0 
5 6,6 5,8 5,4 5,2 5,1 5,0 4,9 4,8 4,8 4,8 
6 6,0 5,1 4,8 4,5 4,4 4,3 4,2 4,2 4,1 4,1 
7 5,6 4,7 4,4 4,1 4,0 3,9 3,6 3,7 3,6 3,6 
8 5,3 4,5 4,1 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 3,3 3,3 
9 5,1 4,3 3,9 3,6 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,1 
10 5,0 4,1 3,7 3,5 3,3 3,2 3,1 3,1 3,0 3,0 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xxxix 
xxxix
TABELA 5 (Capítulo 2) 
 
 
Valores de t para Avaliação da Exatidão 
 
 P(%) 
n - 1 90 95 99 
1 6,314 12,706 63,657 
2 2,920 4,303 9,925 
3 2,353 3,182 5,841 
4 2,132 2,776 4,608 
5 2,015 2,571 4,032 
6 1,943 2,447 3,707 
7 1,895 2,365 3,499 
8 1,860 2,306 3,355 
9 1,833 2,262 3,250 
10 1,812 2,228 3,169 
11 1,796 2,201 3,106 
12 1,782 2,179 3,055 
13 1,771 2,160 3,012 
14 1,761 2,145 2,977 
15 1,753 2,131 2,947 
16 1,746 2,120 2,921 
17 1,740 2,110 2,891 
18 1,734 2,101 2,878 
19 1,729 2,093 2,861 
20 1,725 2,086 2,845 
25 1,708 2,060 2,787 
30 1,697 2,042 2,750 
∞ 1,645 1,960 2,576 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xl 
xl
TABELA 6 (Capítulo 3) 
 
Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Média 
 
n A A1 A2 Fórmulas: 
2 2,121 3,760 1,880 
3 1,732 2,394 1,023 a) Norma conhecida: 
4 1,500 1,880 0,729 
 LM = µ 
5 1,342 1,596 0,577 
 LC = LM + Aσ 
6 1,225 1,410 0,483 
7 1,134 1,277 0,419 b) Norma desconhecida: 
8 1,061 1,175 0,373 
 LM = X 
9 1,000 1,094 0,337 
 LC =LM + A1.s ou 
10 0,949 1,028 0,308 
 LC = LM + A2.R 
 
TABELA 7 (Capítulo 3) 
 
Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC do Desvio Padrão 
 
n c2 B1 B2 B3 B4 Fórmulas: 
2 0,5642 0,000 1,843 0,000 3,267 
3 0,7236 0,000 1,858 0,000 2,568 a) Norma conhecida: 
4 0,7979 0,000 1,808 0,000 2,266 
 LM = s = c2.σ 
5 0,8407 0,000 1,745 0,000 2,089 
 LIC = B1.σ 
6 0,8686 0,026 1,711 0,030 1,970 
 LSC = B2.σ 
7 0,8882 0,105 1,672 0,118 1,882 
8 0,9027 0,167 1,638 0,185 1,815 b) Norma desconhecida 
9 0,9139 0,219 1,609 0,239 1,761 
 LM = s 
10 0,9227 0,262 1,584 0,284 1,716 
 LIC = B3. s 
 
 LSC = B4. s 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xli 
xli
TABELA 8 (Capítulo 3) 
 
 
Valores para Cálculo dos Limites de Controle em GC da Amplitude 
 
n d2 D1 D2 D3 D4 
2 1,128 0,000 3,686 0,000 3,267 
3 1,693 0,000 4,358 0,000 2,575 
4 2,059 0,000 4,698 0,000 2,282 
5 2,326 0,000 4,918 0,000 2,115 
6 2,534 0,000 5,078 0,000 2,004 
7 2,704 0,205 5,203 0,076 1,924 
8 2,847 0,387 5,307 0,136 1,864 
9 2,970 0,546 5,394 0,184 1,816 
10 3,078 0,687 5,469 0,223 1,777 
 
Fórmulas: 
 
a) Norma conhecida: LM = d2.σ; LIC = D1.σ; LSC = D2.σ 
b) Norma desconhecida: LM = R; LIC = D3. R; LSC = D4. R 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xlii 
xlii 
TABELA 9 (Capítulo 4) 
 
 
Código de letras dos níveis de inspeção, para uso das Tabelas 9, 10 e 11.a,b,c. 
 
Níveis de Inspeção Tamanho do lote (N) 
I II III S-1 S-2 S-3 S-4 
000.002 a 000.008 B B B B B B B 
000.009 a 000.015 B B C B B B B 
000.016 a 000.025 B C D B B B B 
000.026 a 000.050 C D E B B B C 
000.051 a 000.100 C E F B B C C 
000.101 a 000.150 D F G B B C D 
000.151 a 000.300 E G H B C D E 
000.301 a 000.500 F H J B C D E 
000.501 a 001.000 G J K C C E F 
001.001 a 003.000 H K L C D E G 
003.001 a 010.000 J L M C D F G 
010.001 a 035.000 K M N C D F H 
035.001 a 150.000 L N P D E G J 
150.001 a 500.000 M P Q D E G J 
500.001 acima N Q R D E H K 
 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xliii 
xliii
TABELA 10 (Capítulo 4) 
 
Planos de Inspeção com Amostragem Simples. 
 
Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 
0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0 Letra de 
código 
Tamanho 
da 
amostra 
a r a r a r a r a r a r a r a r a r 
A 
r 
a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 
A 2 | | | | | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 | | ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 
B 3 | | | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 
C 5 | | | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑ 
D 8 | | | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑ | | 
E 13 | | | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 30 31 44 45 ⇑ | | | | 
F 20 | | | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ ⇑ ⇑ | | | | | | 
G 32 | | | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | 
H 50 | | ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | 
J 80 ⇓ 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | 
K 125 0 1 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
L 200 ⇑ ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
M 315 ⇓ 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
N 500 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
P 800 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
Q 1250 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
R 2000 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22 ⇑ | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 
⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N), realize inspeção completa. 
⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta. 
a = Número de Aceitação. 
r = Número de Rejeição. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xliv 
xliv
TABELA 11 (Capítulo 4) 
 
Planos de Inspeção com Amostragem Dupla. 
Letra Ordem Tamanho Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 
de d a da amostra 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0 
código Amostra simples acumul. a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 
A 
 
 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
⇓ * 
| | 
| | 
| | 
⇓ * * * * * * * * * 
B 1
a
 
2a 
2 
2 
2 
4 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
⇓ * 
⇑ 
| | 
| | 
⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
17 22 
37 38 
25 31 
56 57 
C 1
a
 
2a 
3 
3 
3 
6 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
⇓ * 
⇑ 
| | 
| | 
⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
17 22 
37 38 
25 31 
56 57 
⇑ 
| | 
D 1
a
 
2a 
5 
5 
5 
10 
| | 
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| | 
| | 
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⇓ * 
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⇓ 
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1 2 
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3 4 
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6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
17 22 
37 38 
25 31 
56 57 
⇑ 
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E 1
a
 
2a 
8 
8 
8 
16 
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⇓ * 
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8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
17 22 
37 38 
25 31 
56 57 
⇑ 
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F 1
a
 
2a 
13 
13 
13 
26 
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3 4 
1 4 
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6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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G 1
a
 
2a 
20 
20 
20 
40 
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6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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H 1
a
 
2a 
32 
32 
32 
64 
| | 
| | 
| | 
⇓ * 
⇑ 
| | 
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⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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J 1
a
 
2a 
50 
50 
50 
100 
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⇓ * 
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⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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K 1
a
 
2a 
80 
80 
80 
160 * 
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⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
L 1
a
 
2a 
125 
125 
125 
250 
⇑ 
| | 
| | 
⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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M 1
a
 
2a 
200 
200 
200 
400 
| | 
⇓ 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
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| | 
| | 
N 1
a
 
2a 
315 
315 
315 
630 
0 2 
1 2 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
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| | 
| | 
P 1
a
 
2a 
500 
500 
500 
1000 
0 3 
3 4 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
Q 1
a
 
2a 
800 
800 
800 
1600 
1 4 
4 5 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
R 1
a
 
2a 
1250 
1250 
1250 
2500 
2 5 
6 7 
3 7 
8 9 
5 9 
12 13 
7 11 
18 19 
11 16 
26 27 
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| | 
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⇓ = Empregue o primeiro plano abaixo da seta. Quando o tamanho da amostra (n) for igual ou maior do que o tamanho da partida (N), realize inspeção completa. 
⇑ = Empregue o primeiro plano acima da seta. a = Número de Aceitação. r = Número de Rejeição. 
* = Empregue o correspondente plano de amostragem simples, ou o plano duplo imediatamente abaixo, se existir. 
Controle Estatístico - Alexandre R. P. Schuler 
 
xlv 
xlv
TABELA 12 (Capítulo 4) 
 
Planos de Inspeção com Amostragem Múltipla (Códigos de Tamanho do Lote de A a G) 
 
Letra Ordem Tamanho Tamanho Nível de qualidade aceitável, NQA (% defeituosos ou defeitos por 100 unidades) 
de da da da amostra 0,10 0,15 0,25 0,40 0,65 1,0 1,5 2,5 4,0 6,5 10,0 15,0 25,0 40,0 65,0 100,0 150,0 250,0 400,0 650,0 1000,0 
código amostra amostra acumulada a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r a r 
A 
B 
C 
 
 
 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
* 
 
 
D 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
| | 
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⇓ 
 
 
 
* 
⇑ 
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⇓ 
# 2 
# 2 
0 2 
0 3 
1 3 
1 3 
2 3 
# 2 
0 3 
0 3 
1 4 
2 4 
3 5 
4 5 
# 3 
0 3 
1 4 
2 5 
3 6 
4 6 
6 7 
# 4 
1 5 
2 6 
3 7 
5 8 
7 9 
9 10 
0 4 
1 6 
3 8 
5 10 
7 11 
10 12 
13 14 
0 5 
3 8 
6 10 
8 13 
11 15 
14 17 
18 19 
1 7 
4 10 
8 13 
12 17 
17 20 
21 23 
25 26 
2 9 
7 14 
13 19 
19 25 
25 29 
31 33 
37 38 
4 12 
11 19 
19 27 
27 34 
36 40 
45 47 
53 54 
6 12 
17 27 
29 39 
40 49 
53 58 
63 68 
77 78 
⇑ 
| | 
| | 
| | 
| | 
⇑ 
| | 
| | 
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| | 
 
 
E 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
3 
6 
9 
12 
15 
18 
21 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
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⇓ 
 
 
 
* 
⇑ 
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⇓ 
# 2 
# 2 
0 2 
0 3 
1 3 
1 3 
2 3 
# 2 
0 3 
0 3 
1 4 
2 4 
3 5 
4 5 
# 3 
0 3 
1 4 
2 5 
3 6 
4 6 
6 7 
# 4 
1 5 
2 6 
3 7 
5 8 
7 9 
9 10 
0 4 
1 6 
3 8 
5 10 
7 11 
10 12 
13 14 
0 5 
3 8 
6 10 
8 13 
11 15 
14 17 
18 19 
1 7 
4 10 
8 13 
12 17 
17 20 
21 23 
25 26 
2 9 
7 14 
13 19 
19 25 
25 29 
31 33 
37 38 
4 12 
11 19 
19 27 
27 34 
36 40 
45 47 
53 54 
6 16 
17 27 
29 39 
40 49 
53 58 
65 68 
77 78 
⇑ 
| | 
| | 
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| | 
| | 
| | 
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| | 
| | 
| | 
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| | 
 
 
F 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
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| | 
⇓ 
 
 
 
* 
⇑ 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
| | 
⇓ 
# 2 
# 2 
0 2 
0 3 
1 3 
1 3 
2 3 
# 2 
0 3 
0 3 
1 4 
2 4 
3 5 
4 5 
# 3 
0 3 
1 4 
2 5 
3 6 
4 6 
6 7 
# 4 
1 5 
2 6 
3 7 
5 8 
7 9 
9 10 
0 4 
1 6 
3 8 
5 10 
7 11 
10 12 
13 14 
0 5 
3 8 
6 10 
8 13 
11 15 
14 17 
18 19 
1 7 
4 10